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2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sinx y 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33，射线:3OM 与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y，又cos ,sinx y ;所以圆C 的极坐标方程是2cos. ---5分(2)设11(,)为点P 的极坐标，则有1112cos 3解得1113.设22(,)为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3cos )333解得2233由于12，所以122PQ，所以线段PQ 的长为 2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ayt （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值．解：（1）∵2222268(36si )n81xyy xy ，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1xy ；(5分）（2）把直线l 的参数方程431x t ayt （t 为参数）化为普通方程得：34340x y a ，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a da或376a，∴376a或92a．(10分）3．已知曲线C 的参数方程为sin51cos 52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin θ+cos θ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为sin51cos 52yx(α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincos yx代入并化简得：=4cos θ+2sin θ即曲线c 的极坐标方程为=4cos θ+2sin θ(2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225=234．已知曲线C ：2219xy，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sinxy（为参数），直线l 的直角坐标方程为2x y（2）设(3cos,sin)P ，P 到直线l 的距离10cos()23cossin 222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P 到直线l 的距离的最大值max52d 5．设经过点(1,0)P 的直线l 交曲线C ：2cos 3sinxy(为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60时，求||||PA PB 与||||PA PB 的值．解：（1）C ：22143xy．（2）设l ：11232x tyt（t 为参数）联立得：254120tt 212121216||||||45PA PB t t t t t t ，1212||||||5PA PB t t 6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2，若直线l 过点P ，且倾斜角为6，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB．解：（1）直线l 的参数方程为31,212,2x t yt 为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2x t yt 代入22(3)9xy ，得2(31)70tt ，127t t ，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PAt PBt ,7.PAPB7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x tyt （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cos sin )4(cos sin )2，将代入,得22440xyx y ，所以，圆C 的直角坐标方程是22440xyxy.cos sinxy（2）把直线l 的参数方程22222x tyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222,40t t t t ，所以2121212()426t t t t t t .∴121212111126642t t PAPBt t t t .8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos10，曲线13cos :2sin x C y（为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194xy（2）曲线C 的标准方程是：210xy 设点(3cos ,2sin)M ，由点到直线的距离公式得：3cos 4sin 1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d ，此时98(,)55M 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t yt（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1yx交于A ，B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为322,4，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l 的参数方程为122322x t yt ，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100tt ．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t ，1210t t ，所以12||||214AB t t ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t ，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM ．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6，（1）写出直线l 的参数方程。
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程．这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础． 【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示． 在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xy θ 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f xb t a ≤≤……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数)；(3)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ 为参数)；(4)椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用． 【例题分析】例1 (1)判断点)35π,23(-是否在曲线2cos θρ=上． (2)点P 的直角坐标为)3,1(-，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π) (3)点P 的极坐标为)4π,3(-，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为2365πcos2cos-==θ，所以点)35π,23(-是在曲线2cos θρ=上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，)0(tan =/=x xy θ， 得ρ ＝2，3tan -=θ，又点P 在第四象限，2π23π≤<θ，所以35π=θ， 所以点P 的极坐标为).3π5,2( (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得223,223-==y x ， 所以点P 的直角坐标为).223,223(- 例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．(2)直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______． 解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2， 所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为2．(2)将直线)(3πR ∈=ρθ与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得 由3π=θ得xy=3πtan ，即x y 3=，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为21311=+=d ， 所以.3)21(12||2=-=AB评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一；(3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如：①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ．⑤若O (0，0)，A (2a ，2π)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ． 对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x 即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4 (1)曲线的参数方程是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x (参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由t x 11-=得x t -=11，带入y ＝1－t 2，得,)1()2()11(122--=--=x x x x y 注意到111=/-=t x ，所以已知参数的普通方程为⋅--=2)1()2(x x x y (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离.222|620|=-+=d 评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题； (2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为).1()1()2(2<--=x x x x y 例5 求椭圆12222=+by a x 的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为)2π,0(∈θ，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． 评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2， 故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x (α 为参数)，两式平方相加得x2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且53cos -=α的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标． 解：(1)由已知53cos -=α得,54sin =α所以已知直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x …………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得.095542=+-t t …………………②②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知 ｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数527221=+=t t t ，代入参数方程， 得,2533,2544==y x 所以M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值221t t t M +=，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题14一、选择题 1．极坐标)34π(2,的直角坐标为 (A)(1，3)(B)(－3，－1) (C)(－1，－3) (D)(－1，3)2．椭圆⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x (θ 为参数)的焦距等于( )(A)21 (B)221 (C)29 (D)2923．已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若)3π,2(--P 是极坐标系中的一点，则、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N)(Z ∈k 四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是)4π5,2()4π,2(B A 、，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A))4π3,4( (B))43π,32( (C))π,32((D)(3，π)二、选择题 6．过极点，倾斜角是6π的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________．8．直线⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3(t 为参数)过定点____________．9．曲线⎩⎨⎧=+-=ty t x ,12(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x (θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点)4π,3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆14922=+y x 上求一点，使点M 到直线021032=-+y x 的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．14．已知点M (2，1)和双曲线1222=-y x ，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l的方程．参考答案习题14一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．)(6πR ∈=ρθ； 7．)47π,23(； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)； 三、解答题 11．⋅=223cos θρ12．解：由题设知椭圆参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x (θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd即d 的最小值为26134，此时4π=θ．所以M 的坐标为).2,223(13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．(2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． 由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ． 14．解：设AB 的方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．。
第十五章 新增内容和创新题目三、极坐标与参数方程【考题分类】（一）选择题（共 3题）（A ）两个圆（C ） 一个圆和一条射线 【答案】C（B ）两条直线（D ） —条直线和一条射线cos和参数方程y 2 3t （ t 为参数）所表示的图形分别是 A 、圆、直线 C 圆、圆【答累】ALB 析】极坐标方程口二込召化備普通方程加「十护亍十資“施的方程： 餐数方程［"T7化为普通方程为 弘+¥+1=0吕工+叶1 = 0次的直线闻亓程，故选A【命题意图】朮题考査H1的极坐标方程和直址的参数右程与互化普通右程的属容易题x 1 t3.（湖南卷文4）极坐标P c °s 和参数方程 y 2 t （t 为参数）所表示的图形分别是 A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D. 圆、直线【解析】扱坐标方程卩二匚小&化为普通方程为：工r b’s 工*十厂二片为圆的方程： 萝数方程尸一 一。
化为普通方程丸X+L +1 = 03¥+L —1 = 0为的直线的方程，故选 y =2+3/」D（二）填空题（共 4题）1.（广东卷理 15）在极坐标系（P,0）（0 <0 <2 n ）中，曲线p =2sin 与pcos 1的交点的极坐标为 _____________塔案】（、児）1.（北京卷理5）极坐标方程（p-1）（ ）=（p 0）表示的图形是 【解析】•原方程等价于，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。
2.（湖南卷理3文4）极坐标方程 、直线、圆 、直线、直线【解析】. 由极坐标方程与普通方程的互化式 cos ,sin知，这两条曲线的普通方程分2别为X 2 y 2y ,x 1•解得 y1,1.由 cos ,sin得点（-1 , 1）的极坐标为2.（广东卷文15）在极坐标系（p. ）（0 v 2）中，曲线 cos sin 1与sin cos 1的交点的极坐标为 w*w.k s 5 u.c*o*m解：转化为直角坐标系下^-Fv=l 与］-"1的交鬲可知奁点舟（L 0）垓点■在极坐标系下耒示丸］ x cos3.（陕西卷理15C ）已知圆 C 的参数方程为y 1sin（a 为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 I 的极坐标方程为sin 1,则直线I 与圆C 的交点的直角坐标系为 【答案】1,1,11 【解析】由题设知，在直角坐标系下, 直线I 的方程为 2y 1，圆c 的方程为X又解方程组 ，得 1.故所求交点的直角坐标为1,1, 1,1cos 4.（陕西卷文 【答案】X2 + （三）解答题（共 4题） 15C ）参数方程 (y — 1) 2= 1 1 sin (为参数）化成普通方程为1.（福建卷理21②）在直角坐标系 y xOy 中，直线I 的参数方程为 三3t2 .5 2t2 （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 °为极点，以x 轴正半轴为 极轴）中，圆C 的方程为 2'5sin。
2020年高考全国1卷省份高考模拟理科数学分类----参数方程极坐标1.（2020深圳模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【分析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解； （2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得11S ρ=，222S ρ=，化简即可得解.【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=， 又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由2C的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=， 可得2C的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.2.（2020福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与1C 相切于第二象限的点P ，与2C 交于A ，B 两点，且7||||3PA PB ⋅=，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）221x y +=，22143x y +=；（2）3π. 【分析】（1）直接消去参数，把参数方程化成普通方程，利用互化公式，将极坐标方程转换成直角坐标方程；（2）设l 的倾斜角为β，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，写出直线l 参数方程，代入2C ：22143x y+=，得出关于t 的一元二次方程，写出韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【详解】（1）因为1C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以1C 的普通方程为：221x y +=.因为2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得2C 的直角坐标方程为：22143x y+=.（2）如图，设l 的倾斜角为β，依题意0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则P 在1C 中的参数角2παβ=+，故(sin ,cos )P ββ-，所以可设l 的参数方程sin cos ,cos sin x t y t ββββ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.把l 的参数方程代入22143x y+=，得()222sin 32(sin cos )cos 90t t ββββ+++-=，所以2122cos 90sin 3t t ββ=-<+. 则221222cos 99cos ||||sin 3sin 3PA PB t t ββββ--⋅===++， 又7||||3PA PB ⋅=，所以229cos 7sin 33ββ-=+，解得：sin β=3πβ=；即直线l 的倾斜角为3π. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，以及直线参数方程中参数的几何意义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．3.（2020山西运城模拟）曲线1C 的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A 、B （A 、B 异于原点），当斜率k ∈时，求1OA OB+的最小值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为sin ρθ=；曲线2C 的直角坐标方程23x y =.（2）3【分析】(1)消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程220x y y +-=，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程，求得2OA t =，再把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程，得2OB t =，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=，分别代入曲线1C ，2C 的极坐标方程，得sin OA α=，23sin cos OB αα=，得出21cos sin 3sin OA OB ααα+=+，即可基本不等式，即可求解. 【详解】(1) 由题曲线的参数方程为1cos 21122x y sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数，可得曲线1C 的直角坐标方程为2211()24x y +-=，即220x y y +-=， 则曲线1C 的极坐标方程为2sin 0ρρθ-=，即sin ρθ=，又因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=，即22cos 3sin ρθρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解曲线2C 的直角坐标方程23x y =.(2)解法1：设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为cos x t y tsin αα=⎧⎨=⎩（α为参数，63ππα≤≤），把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通坐标方程得：2sin 0t t α-=，解得10t =，2sin t α=，2sin OA t α∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通坐标方程得：22cos 3sin t t αα=， 解得10t =，223sin cos t αα=，223sin cos OB t αα∴==， 21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，3[,k ∈，即tan α∈，63ππα≤≤，1sin 2α∴≤≤，12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=，即sin α=1OA OB +.解法2：设直线l 的极坐标方程为θα=(63ππα≤≤），代入曲线1C 的极坐标方程，得sin ρα=，sin OA ρα∴==，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的极坐标方程得：2cos 3sin ρθα=，23sin cos αρα∴=，即23sin cos OB αρα==，21cos sin 3sin OA OB ααα∴+=+11(2sin )3sin αα=+，曲线1C 的参3[,k ∈，即tan α∈，63ππα≤≤，1sin 2α∴≤≤，12sin sin αα∴+≥=当且仅当12sin sin αα=，即sin 2α=时取等号，故1OA OB +的最小值为3.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.（2020福建泉州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为4,,x t y kt =-⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l的普通方程为1yx k，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，记点P 的轨迹为曲线C .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 的极坐标方程； （2）已知点,A B 在C 上，4AOB π∠=，求AOB 的面积的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）；（2）2+.【分析】（1）将直线1l 化为普通方程，与直线2l 联立消去k ，得C 的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.（2）设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，根据三角形的面积公式可得1sin cos 244AOBSOA OB ππθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由4x ty kt =-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()4y k x =-，设(),P x y ，由题意得()4,1.y k x y x k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去k 得C 的普通方程2240(0)x y x y +-=≠.把222x y p +=，cos x ρθ=代入上式，24cos 0ρρθ-=，可得C 的坐标方程为4cos ρθ=（0ρ≠且4ρ≠）.（2）由题意可设()1,A ρθ，()212,0,04B πρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，121sin cos 2444AOBSOA OB p p ππθθ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ()21cos 2sin 24cos sin cos 422θθθθθ+⎛⎫=-=-⎪⎝⎭224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当cos 214πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()4k k Z πθπ=-∈时，AOB的面积取得最大值，其最大值为2+.【点睛】本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.5（2020江西南昌市模拟）.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x -1)2+y 2=1，曲线C 2的参数方程为.x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=6π(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||3AB =【分析】（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果. （Ⅱ）将射线θ=6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22221120x y x y x -+=⇒+-=，由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，曲线2C 的普通方程为232360x y +-= 则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=（Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2222222cos3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2||OB ρ==1||2cos 6OA πρ===故||||||AB OA OB =-=． 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.的6.（2020江西赣州模拟）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为6cos 1sin x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 是圆C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最小值．【答案】（1）圆C 的普通方程为()()22611x y +++=；直线l 的直角坐标方程为20x y -+=；（2）12-．【分析】（1）在圆C 的参数方程中消去参数t ，可得出圆C 的普通方程，将直线l 的极坐标方程变形为cos sin 20ρθρθ-+=，进而可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，利用点到直线的距离公式以及正弦函数的有界性可求出结果．【详解】（1）由6cos 1sin x t y t=-+⎧⎨=-+⎩消去参数t ，得()()22611x y +++=，所以圆C 的普通方程为()()22611x y +++=．由sin 04πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． （2）设点P 的坐标为()6cos ,1sin t t -+-+，则点P 到直线l的距离为d ==sin 24t π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 当sin 14t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，d取最小值，min 12d =-． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．7.（2020湖南师大附中模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2） 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =，2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103xy y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d==所以当sin13πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，d的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.（2020湖南长郡中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2sinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y--上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l'.（1）求直线l'的普通方程；（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l'的距离的最小值及此时点P的坐标.【答案】（1）直线l'的普通方程为7x y-=；（2）点P到直线l'的距离的最小值为2，此时点P的坐标为(3,1)-.【分析】(1)设直线l'上的点为(,)x y'',再将123x xy y''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入方程621=0x y--即可得到直线l'的方程;(2)利用点到直线的距离公式,结合三角函数即可求出距离的最小值,进而得出点P的坐标.【详解】(1)设直线l'上点为(,)x y'',由题可知212133x xx xy yy y=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y--,所以33210x y''--=,即70x y''--=,因此直线l'的普通方程为:70x y--=;(2)点,2sin)Pαα到直线l'的距离d==,所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 【点睛】本题主要考查伸缩变换以及参数方程的应用,考查学生的运算及思维转换能力,难度不大.9.（2020湖北宜昌市模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知定点()2,4M --，直线l 与曲线C 分别交于P 、Q 两点，求||||||||MQ MP MP MQ +的值. 【答案】（1）l 的普通方程为20x y --=,曲线C 的直角坐标方程为22y x = （2）3 【分析】 （1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，用消元法可化参数方程为普通方程；（2）直线l的参数方程为224x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩正好是标准参数方程，参数t 表示直线上的点到M 点距离的绝对值，直接把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程应用韦达定理易求得结论．【详解】解：（1）由24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为20x y --=. 由2sin 2cos ρθθ=得曲线C 的直角坐标方程为22y x =.（2）将2242x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22y x =得22002t -+=.设方程两根为1t ，2t ，则>0∆，12t t +=1240t t =，故()22212121212122||||3||||t t t t t t MQ MP MP MQ t t t t +-++====. 【点睛】本题考查参数方程与变通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于中档题．10.（2020湖北武汉市模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． （1）求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值． 【答案】（1）2212516x y +=，（x ﹣2）2+y 2＝1；（2）2.【分析】（1）由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.（2）设点P （5cosθ，4sinθ），根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0，整理得（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设点P （5cosθ，4sinθ）在曲线C 1上，圆心O （2，0），所以：PO ===， 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3，所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.的11.（2020河南郑州市模拟）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a．3a ∴，即22234a da -，则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -，则35252aa a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题．12.（2020河南南阳市模拟）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a>）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为1x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. 【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【分析】（1）化简得到直线方程为y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由1x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消t得，0x -=即y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 13.（2020河南省理科模拟）在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2C 的极坐标方程为22483sin ρθ=+.（1）求曲线1C 和曲线2C 的一般方程；（2）若曲线2C 上任意一点P ，过P 点作一条直线与曲线1C 相切，与曲线1C 交于A 点，求PA 的最大值.【答案】（1）()2211x y -+=，2211612x y +=（2）max AP =【分析】(1)根据圆的标准方程可得1C 的一般方程,再根据222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2C 化简可得2C 的一般方程.(2)易得PA =再设点P 的坐标为()4cos θθ,再利用三角函数范围以及二次函数的范围求解PA 的取值范围,进而求得max AP 即可.【详解】解：（1）曲线1C 表示圆心为()1,0,半径为1的圆.故1C 的一般方程是()2211x y -+=∵222x y ρ+=,且cos x ρθ=,sin y ρθ=,给2222222483sin 4834483sin x y ρρρθθ=⇒+=⇒+=+. ∴曲线2C 的一般方程为2211612x y+=（2）设点P 的坐标为()4cos θθ,∵PA =()()()2222214cos 14cos 8cos 134cos 19PC θθθθθ=-+=-+=-+∴PA =≤即cos 1θ=-时,max AP =【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了设点的参数坐标求解距离的最值问题.属于中档题.14.（2020河北保定市理科模拟）.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2cos ,22sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，点P 满足2OP OM =，且其轨迹为2C .（1）求2C 的直角坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE 与1C 、2C 的交点分别为A 、B （均异于O ），求线段AB 中点Q 的轨迹的极坐标方程.【答案】（1）22(4)16x y +-=（2）6sin ρθ=【分析】（1）设(,)P x y ，则,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，利用M 点在曲线1C 上，代入求得曲线2C 的方程，并转化为直角坐标方程；（2）将曲线1C ，2C 都转化为极坐标方程，利用条件求出AB 的中点Q 的轨迹的极坐标方程. 【详解】解：（1）法1：设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在1C 上， 所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）消去参数得到所求的直角坐标方程为22(4)16x y +-=法2：由2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩得，2cos 22sin x y αα=⎧⎨-=⎩，即1C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=设(,)P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于M 点在1C 上，所以M 的坐标适合上述方程 即222422x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得所求的直角坐标方程为22(4)16x y +-= （2）因为222x y ρ+=，sin y ρθ=，代入上式得1C 的直角坐标方程得，其极坐标方程为4sin ρθ=，同理可得曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ= 设(,)Q ρθ，()1,A ρθ，()2,B ρθ， 则AB 的中点Q 的轨迹方程为116sin 2ρρρθ+==即AB 的中点Q 的轨迹极坐标方程为6sin ρθ=.【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及轨迹方程的求解. 15.（2020厦门市理科模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x =-，曲线C 的方程为22(1)1x y -+=，动点P 到原点O 的距离与到l 的距离相等．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程和P 点轨迹的极坐标方程； （2）若Q 是曲线C 上一点，且4OP OQ =，求||OP ． 【答案】（1）2cos ρθ=，21cos ρθ=-.（2）4分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，代入圆的方程2220x y x +-=，即可得到圆的极坐标方程；对点P 在y 轴右侧时，P 在y 轴，y 轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到21cos ρθ=-；（2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=，求出cos θ的值，即可得答案；【详解】（1）由22(1)1x y -+=得，2220x y x +-=.因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2cos ρθ=，即为C 的极坐标方程.当P 在y 轴右侧时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，作y 轴的垂线，垂足为N ，设l 与x 轴的交点为R ， 因为点P 到原点距离与到l 距离相等，所以||||||||||OP PN MR OR OM ===+. 在RT OPM 中，||||cos cos OM OP θρθ==，所以2cos ρρθ=+.因为0θ≠，所以21cos ρθ=-.当P 在y 轴或y 轴左侧时，满足21cos ρθ=-.综上，P 点轨迹的极坐标方程为21cos ρθ=-. （2）因为4OP OQ =，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=. 又122,2cos 1cos ρρθθ==-，所以28cos 1cos θθ=-，【解得1cos 2θ=，所以2||4112OP ==-. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等． 16.（2020安徽合肥市理科模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +. 【答案】（1）()()222313x y -+-=（2）【分析】()1利用极坐标与直角坐标的互化公式:222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可求解;()2联立直线l 的方程和曲线C 的方程,整理化简得到关于t 的一元二次方程,由题知点A 在直线l 上,利用参数方程中参数的几何意义及一元二次方程中的韦达定理即可求出AM AN +的值.【详解】()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+， ∴24cos 6sin ρρθρθ=+，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ∴2246x y x y +=+，化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（2）把直线32:12x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根，设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-==所以AM AN +=【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程中参数的几何意义等知识，考查学生的运算能力、.推理论证能力；其中正确掌握参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题.17.（2020河北省理科模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2t 2y =2t （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（√3cos θ+sin θ）＝8． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若射线m 的极坐标方程为θ=π6（ρ≥0），设m 与C 相交于点M （非坐标原点），m 与l 相交于点N ，点P （6，0），求△PMN 的面积．（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用极径的应用和点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式求出结果． （1）曲线C 的参数方程为{x =2t 2y =2t （t 为参数），转换为直角坐标方程为：y 2＝2x ．直线l 的极坐标方程为ρ（√3cos θ+sin θ）＝8．转换为直角坐标方程为√3x +y −8=0． （2）曲线C 的极坐标方程为ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将θ=π6代入得到ρ1=4√3．将θ=π6代入ρ（√3cos θ+sin θ）＝8得到ρ2＝4． 所以|MN |＝|ρ1−ρ2|=4√3−4．点P （6，0）到直线MN ：x −√3y =0的距离d =62=3， 所以S △PMN =12×3×(4√3−4)=6(√3−1)． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18.（2020华南师大附中理科模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝4，求实数α的值．【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsin θ，由此能求出C 2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C 1化为极坐标方程为ρ＝4cos θ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB |＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sin α﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴﹣，∴，解得．【点评】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．不等式选讲1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．答 案 极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t=⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题. 4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.不等式选讲1.（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x+的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x xf x x xx x⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x+的图象，如图所示：由()3511x x--=+-，解得76x=-．所以不等式()(1)f x f x>+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．2.（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a=-+-+.（1）当2a=时，求不等式()4f x的解集；（2）若()4f x，求a的取值范围.【答案】（1）32x x⎧≤⎨⎩或112x⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】（1）分别在3x≤、34x<<和4x≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a=时，()43f x x x=-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 3.（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++ 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=. .当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题. 4.（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果 【详解】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤,所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.。
12 极坐标和参数方程1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=，平方得1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】(1)将A ,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos 2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00xy ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.。
