2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列复数是纯虚数的是（）A．3﹣3i B．1+i2C．i3D．2．（5分）在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是钝角，则∠A+∠B＜90°”的过程中，应该假设（）A．∠A+∠B＞90°B．∠A+∠B≥90°C．∠A和∠B都小于90°D．∠A和∠B都不小于90°3．（5分）篮球运动员在比赛中每次罚球，命中得1分，不中得0分，若运动员甲罚球命中的概率为0.8，X表示他罚球一次的得分，则X的期望E（X）为（）A．0.3B．0.8C．0.2D．14．（5分）若sin xdx＝dx（a＞1），则实数a的值为（）A．B．2C．e D．35．（5分）若函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．a≤1B．a C．a D．a≤e6．（5分）某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩X服从正态分布N（110，σ2）（σ＞0），若P（100≤X≤110）＝0.3，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为（）A．70B．80C．90D．1007．（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上至多站2人，则不同的站法种数是（）A．258B．336C．486D．4628．（5分）有下列一列数：2，1，1，1，，，，，，，…，按照规律，b ﹣a应为（）A．2B．4C．7D．109．（5分）已知某离散型随机变量X服从二项分布P（X＝k）＝0.2k0.84﹣k（k＝0，1，2，3，4），则X的方差DX＝（）A．0.56B．0.64C．0.72D．0.8010．（5分）已知（1+x）（2﹣3x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，其中a i（i＝0，1，…8）是常数，则a1+a2+..+a8＝（）A．﹣130B．﹣256C．﹣332D．﹣51211．（5分）一批型号相同的产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，直到将2件次品全部区分为止．假定抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）满足：（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＝x+﹣2，f（e）＝e﹣1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则函数y＝f（x）在区间[，]的取值范围为A．[0，e]B．[0，1]C．[0，]D．[0，1﹣]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z＝在复平面内对应的点位于第象限．14．（5分）（1﹣x）（1+2x）6展开式中，x3的系数为．15．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）＝[log3x]，得到下列结论：结论1：当1≤x＜3时，f（x）＝0；结论2：当3≤x＜9时，f（x）＝1；结论3：当9≤x＜27时，f（x）＝2；照此规律，得到结论n（n∈N*）：．16．（5分）在某次空军阅兵仪式中，要安排6架飞机飞行表演，决定将这6架飞机编成两组，每组3架，且甲与乙两架飞机不在同一小组，如果甲所在小组的3架飞机先进行飞行表演，那么这6架飞机先后不同的表演顺序共有种（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）某校为了分析本校高中生是否喜欢数学与性别之间的关系，在高中生中随机地抽取了90名学生调查，得到了如下列联表：（1）求①、②、③、④处分别对应的值；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高中生喜欢数学与性别”有关？参考数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+6x2﹣36x+1．（1）求函数y＝ff（x）的单调区间；（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积．19．（12分）用数学归纳法证明：12+32+52+…+（2n﹣1）2＝n（4n2﹣1）（n∈N*）．20．（12分）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D （ξ）．21．（12分）某服装店经营某种服装，在某天内获纯利y（元），与这一天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：（1）画出散点图，并根据散点图判断y＝x+a与y＝x2+c哪一个适宜作为获纯利y关于服装件数x的回归方程？（不要求说理）．（2）根据（1）的判断结果，求出y与x的回归方程（方程中的参数保留一位小数）；①根据回归方程，若某天销售件数x＝6时，纯利润的预报值是多少元？②若在表中数据（x，y）对应的5个点中随机可重复地取点，求取4次恰有2次所得点在回归方程所对应的图象的上方的概率．参考公式：＝x，＝＝，＝22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，求a的值；（2）若函数f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）若函数y＝f（x）有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市六校联考高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：∵3﹣3i是虚数，1+i2＝0为实数，i3＝﹣i是纯虚数，为实数．∴是纯虚数的是i3．故选：C．【点评】本题考查虚数单位i的性质，考查复数的基本概念，是基础题．2．【考点】FC：反证法．【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若∠C是钝角，则∠A+∠B＜90°”的过程中，应该假设结论不成立，即“∠A+∠B≥90°”．故选：B．【点评】本题考查了用反证法证明命题的过程中，应该假设结论不成立，是基础题．3．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1；因为P（X＝1）＝0.8，P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，所以EX＝1×0.8+0×0.2＝0.8．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是基础题．4．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【解答】解：由题目可知，，即，即﹣（0﹣1）＝lna，即1＝lna，故a＝e．故选：C．【点评】简单题目，不过求函数sin x的原函数很容易出错．5．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由f（x）＝e x﹣ax2，得f′（x）＝e x﹣2ax，∵函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）＝e x﹣2ax≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即在区间（0，+∞）上恒成立．令g（x）＝，则g′（x）＝＝．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则g（x）min＝g（1）＝e．∴2a≤e，则a≤．∴实数a的取值范围为a≤．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，训练了分离变量法，是中档题．6．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，σ2）．∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称，∵P（100≤ξ≤110）＝0.30，∴P（ξ≥120）＝P（ξ≤100）＝（1﹣0.3×2）＝0.20，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.20×500＝100．故选：D．【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ＝110对称，属于中档题．．7．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：由题意知本题需要分类解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72＝336种．故选：B．【点评】本题主要考查分类计算原理，关键如何分类，分类要做到不重不漏．8．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：数列可化为2，，，，，，，，，…，除第一个数外，其余的分子分母为连续的质数，则＝，则b﹣a＝29﹣19＝10，故选：D．【点评】本题考查了观察法、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：某离散型随机变量X服从二项分布P（X＝k）＝0.2k0.84﹣k（k＝0，1，2，3，4），∴X～B（4，0.2），∴则X的方差DX＝4×0.2×（1﹣0.2）＝0.64．故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：∵（1+x）（2﹣3x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，其中a i（i＝0，1，…8）是常数，令x＝0，求得a0＝128，再令x＝1，可得128+a1+a2+..+a8＝﹣2，则a1+a2+..+a8＝﹣130，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．11．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【解答】解：由题意第五次抽出的为次品，前四次抽取的有3件正品，一件次品．故概率为P＝C41×××××+××××＝；故选：B．【点评】本题考查古典概型问题，考查分析问题、解决问题的能力．12．【考点】63：导数的运算；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：设F（x）＝，F′（x）＝，由（x﹣1）f′（x）﹣f（x）＝x+﹣2，可得F′（x）＝＝，由f（e）＝e﹣1，可得F（e）＝＝1，可得F（x）＝lnx，即f（x）＝（x﹣1）lnx，f′（x）＝lnx+1﹣，当＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，可得f（x）递增，可得f（x）的最小值为f（1）＝0；f（）＝1﹣，f（）＝（﹣1）＜1﹣，f（x）的最大值为f（）＝1﹣，则f（x）的值域为[0，1﹣]．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1﹣x）（1+2x）6＝（1﹣x）•（1+12x+60 x2+160x3+240x4+192x5+64x6），故x3的系数为160﹣60＝100，故答案为：100．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：结论1：当1≤x＜3时，即30≤x＜31，f（x）＝1﹣1＝0；结论2：当3≤x＜9时，即31≤x＜32，f（x）＝2﹣1＝1；结论3：当9≤x＜27时，即32≤x＜33，f（x）＝3﹣1＝2，通过规律，不难得到结论n：当3n﹣1≤x＜3n时，f（x）＝n﹣1，故答案为：当3n﹣1≤x＜3n时，f（x）＝n﹣1．【点评】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键，属于基础题．16．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：依题意，从除去甲、乙2架飞机后的4架飞机中选两辆与甲一组，共有种方法，这一组的3架飞机先开出有A33种方法，另一组的3架飞机的出发方法为A33种，由分步乘法计数原理得：共有C42•A33•A33＝6×6×6＝216种方法．故答案为：216．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，得到甲所在小组3辆汽车是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】BL：独立性检验．【解答】解：（1）由列联表知，①处的数据为45﹣30＝15，②处的数据是45﹣25＝20，③处的数据是30+20＝50，④处的数据是15+25＝40；（2）由表中数据，计算K2＝＝4.5＞3.841，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高中生喜欢数学与性别”有关．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．18．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】（本小题满分14分）解：（1）函数f（x）＝x3+6x2﹣36x+1，函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）．（1分）f′（x）＝3x2+12x﹣36＝3（x+6 ）（x﹣2）．（4分）当x∈（﹣∞，﹣6）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；（5分）当∈（﹣6，2）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；（6分）当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．（7分）所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣6）与（2，+∞），单调减区间为（﹣6，2）．（9分）（2）因为f（1）＝13+6﹣36+1＝﹣32，切点坐标（1，﹣32）（10分）f'（1）＝﹣21，切线的斜率为﹣21，（11分）所以所求切线方程为y+32＝﹣21（x﹣1），即21x+y+11＝0．（12分），切线在坐标轴上的焦距分别为：；﹣11．切线l与坐标轴围成的三角形的面积：＝．（14分）【点评】本题主要考查导数的计算，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切线方程，考查计算能力．19．【考点】RG：数学归纳法．【解答】证明：①n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2＝k（4k2﹣1），那么，当n＝k+1时，12+32+52+…+（2k﹣1）2+（2k+1）2＝k（4k2﹣1）+（2k+1）2＝[4（k+1）3﹣（k+1）]＝（k+1）[4（k+1）2﹣1]，等式成立．由①②可知12+32+52+…+（2n﹣1）2＝n（4n2﹣1）（n∈N*）．【点评】本题考查数学归纳法，掌握用数学归纳法的证题步骤与思路，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．20．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的为事件A；则P（A）＝＝，∴从袋中任取3个球，恰好取到2个黄球的概率为：．（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，得P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，ξ的分布列为：EX＝0×+1×+2×＝（个）．方差D（ξ）＝＝．【点评】本题考查随机事件的概率的求法，以及求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，是中档题．21．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（1）由图可知用y＝x2+c更合适，；（2）设x2＝t，则＝11，＝9.8，＝≈0.8，c＝﹣＝1，故y＝0.8x2+1，①当x＝6时，纯利润y的预报值是29.8元；②在表中对应的5个点中有3个点在图象上方，取1个点，在上方的概率P1＝，故可重复取点，取4次，恰有2次所得点的图象上方的概率P＝＝．【点评】本题考查了散点图问题，考查回归方程以及概率求值问题，考查转化思想，是一道综合题．22．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵，由f（1）＝1﹣a，f'（1）＝1﹣a，故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（1﹣a）＝（1﹣a）（x﹣1），整理为：y＝（1﹣a）x，由切线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切有，解得：．（2）∵为（0，+∞）上的增函数，∴，即，解得：1＜a＜11．（3）由，当x＞0时由函数为增函数，则函数y＝f（x）若存在零点，有且仅有一个，令g（x）＝3x3﹣ax﹣2．①当a＝1时，，令h（x）＝3x3﹣x﹣2（x＞0），由h'（x）＝9x2﹣1＞0有，故当时函数h（x）单调递增，当单调递减，又由h（1）＝0，h（0）＝﹣2，，可知当0＜x＜1时f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞1时f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，故f（x）min＝f（1）＝0，此时函数y＝f（x）有且只有一个零点．②当a＜1时，由g（1）＝1﹣a＞0，g（0）＝﹣2，故方程g（x）＝0在区间（0，1）上有解．③当a＞1时，由g（0）＝﹣2，g（a）＝3a3﹣a2﹣2＝2（a3﹣1）+（a3﹣a2）＝2（a3﹣1）+a2（a﹣1）＞0，故方程g（x）＝0在区间（0，a）上有解，由上知当a≠1时函数y＝f（x）有唯一的极小值点，记为x＝x0，有，可得，要使得函数y＝f（x）有两个零点，至少需要＝＝，可得，由函数l（x）＝x3+lnx单调递增，且l（1）＝1，可得：x0＞1，由，可得a ＞1，由上知当a＞1时，f（x）极小值＝f（x0）＜0，且x0＞1，而＝，由常用不等式e x≥x+1，可知e a＞a，故f（e a）＝e3a﹣2a﹣ae a＞e3a﹣2e a﹣ae a＝[e2a﹣（a+2）]e a≥[（2a+1）﹣（a+2）]e a＝（a﹣1）e a＞0，又，故f（e﹣a）＝e﹣3a+2a﹣a•e﹣a＝e﹣3a（1+2a•e3a﹣a•e2a）＝e﹣3a[1+ae﹣2a（2e a﹣1）]＞0，故此时函数y＝f（x）有且仅有两个零点，由上知a的取值范围为a＞1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．。

哈尔滨市第六中学2010—2011学年度上学期期末考试高二（理科）数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（每题5分共60分） 1.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25 B ．5 C ．215D ．10 2. 下列命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈> B. ∀*x N ∈,2(1)0x -> C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x =3.由曲线x y =2和直线1x =围成图形的面积是 （ ）A ．3B ．23C ．34D ．324. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m //5. 函数32y x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，3) 6设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L ，则双曲线的离心率为A. 2B. 27. 已知向量(0,2,1),(1,1,2)a b ==--，则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180°8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角的度数是（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．150º 9.函数3223125y x x x =--+在区间[0,3]上最大值与最小值分别是（ ） A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 10.已知直线1y x =+与曲线y ln()x a =+相切，则a 的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-211.已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为12. 设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-二．填空题：（每题5分共20分）13.如图，已知一四棱锥的主视图、左视图都是等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积为 14. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ． 15.已知⎰-=122)2()(dx x a axa f ，则函数)(a f 的最大值为16. 如图，矩形ABCD 中，DC=3，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE 沿AE 翻折到D 1点，点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 . 三．解答题17. 已知函数()bx ax x x f --=233，其中b a ,为实数. (Ⅰ) 若()x f 在1=x 处取得的极值为2，求b a ,的值;（Ⅱ）若()x f 在区间[]2,1-上为减函数，且a b 9=，求a 的取值范围.(10分)18. 如图在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD=600，AB=2，PA=1,PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点。

一、选择题。

（每小题1.5分，共40道选择题60分）读北半球经纬线俯视图，完成下列各题。

1. 如果一架飞机从A地飞往B地，最近的飞行的方向是（）A. 一直向东B. 一直向西C. 一直向东南D. 先向西北，再向西南2. 如果AB所在的纬度为60度，则纬线段AB的长度为（）A. 10000kmB. 5000kmC. 2500kmD. 3000km【答案】1. D 2. B【解析】试题分析：【1题详解】球面上最近距离的走向，是大圆的劣弧。

所以方向是先向西北，再向西南。

选择C项。

【2题详解】把地球看成正球体所有纬线线都算大圆，赤道是一个最大的大圆，长度为4万千米，经度60°是赤道圈的长度的一半2万千米，AB占纬线的四分之一，即5 000 km.【考点定位】经线和纬线【名师点睛】利用经纬网定“最短航线”地球上两点间最短航线为球面最短距离，即经过两点的大圆劣弧长度。

(注：所谓大圆指过地心的平面与球面的交线)(1)同一经线上的两点，其最短距离的劣弧线就在经线上(如图中弧AB)。

(2)同一纬线上的两点，其最短距离的劣弧线向较高纬度凸起(如图中同一条纬线上MK之间的最短航线是弧MPK，而不是弧MQK，赤道上除外)。

(3)晨昏线上的两点，由于晨昏线本身就是一个大圆，故两点最短线就是两点之间的较短晨昏线(即劣弧线)。

2018年6月21日，国务院关于同意设立“中国农民丰收节”的批复发布，同意自2018年起，将每年农历秋分节气那一天设立为“中国农民丰收节”。

将极大调动起亿万农民的积极性、主动性、创造性，提升亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感。

回答下列各题。

3. 国务院批复发布农民丰收节的当天，太阳直射点接近下图中的哪个位置（）A. ①B. ②C. ③D. ④4. 全国农民在庆祝首届丰收节时，我国昼夜情况接近哪幅图（）A. B.C. D.5. 我国华北地区的一句农谚所言：“白露早，寒露迟，秋分种麦正当时”，种麦时，地球位于公转轨道中的哪个位置（）A. AB. BC. CD. D【答案】3. B 4. B 5. B【解析】【3题详解】国务院批复发布农民丰收节的当天为6月21日，6月22日前后太阳直射北回归线，故B正确。

2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若3420242024C C m m -=，则m =（）A .2B.6C.2或6D.2或5072.设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（）A.1- B.1C.3D.63.若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（）A.()2,+∞ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()0,∞+4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.14405.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.函数()f x '在(),b c 上单调递增B.函数()f x 至少有2个极值点C.函数()f x 在(),a e 上单调递减D.函数()f x 在x c =处取得极大值6.已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（）A.15B.115 C.154D.4157.已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是()A.(2,0)- B.(0,2) C.(90,2D.9(,0)2-8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A.314B.13C.23D.27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A .第4项B.第5项C.第6项D.第7项10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.()5|12P C A =D.()1|6P B A =11.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．13.已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．16.已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.8415.0246.6357.87918.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？19.定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若3420242024C C m m -=，则m =（）A.2B.6C.2或6D.2或507【答案】D 【解析】【分析】通过组合数的性质即可得到答案.【详解】由题意知34,m m =-或342024,m m +-=所以2m =或507.m =故选：D ．2.设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（）A.1-B.1C.3D.6【答案】B 【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为1x =时的预测值为619ˆ3y=⨯+=，所以残差为1091-=．故选：B ．3.若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（）A.()2,+∞ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()0,∞+【答案】C 【解析】【分析】由导函数定义可得()f x '，再利用导函数求单调减区间即可.【详解】()()1limx f x x f x x xx∆→+∆--=∆ ，1()x f x x-'∴=，()0,x ∈+∞，由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,1).故选：C.4.李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（）A.180B.360C.720D.1440【答案】D 【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【详解】先将甲、乙排为一列，有22A 种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有66A 种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为2626A A 1440=．故选：D ．5.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A.函数()f x '在(),b c 上单调递增B.函数()f x 至少有2个极值点C.函数()f x 在(),a e 上单调递减D.函数()f x 在x c =处取得极大值【答案】D 【解析】【分析】根据()f x '的图象判断其符号，进而可知()f x 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.【详解】由()f x '的图象可知：当x a <或>x e 时，()0f x '>；当a x e <<时，()0f x '≤；可知()f x 在(),a ∞-，(),e ∞+上单调递增，在(),a e 上单调递减，则函数()f x 有且仅有两个极值点,a e ，结合选项可知：ABC 正确；D 错误；故选：D.6.已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（）A.15B.115 C.154D.415【答案】A 【解析】【分析】由随机变量(),X B n p 的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为()35E X np ==，()()12125D X np p =-=，所以()()415D X pE X =-=，即15p =，所以3n =，所以15np=．故选：A ．7.已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是()A.(2,0)- B.(0,2) C.(90,2D.9(,0)2-【答案】D 【解析】【分析】求得2()3f x x x '=+，得出函数()f x 的单调性与极值，结合()f x 有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．【详解】由函数3213()32f x x x c =++，可得2()3f x x x '=+，令()0f x '=，解得0x =或3x =-，令()0f x '>，解得0x >或3x <-；令()0f x '<，解得30x -<<，则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又由9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，解得902c -<<，所以实数c 的取值范围是9(,0)2-．故选：D ．8.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A.314B.13C.23D.27【答案】B 【解析】【分析】先由古典概率公式求出()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，再由全概率公式求出()314P A =，最后由条件概率求出()11|3P B A =即可.【详解】用A 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用1B 表示丢掉的小球为红球，2B 表示丢掉的小球为黑球，则()()1212P B P B ==，()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，由全概率公式可得()()()()()112111123||272714P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以()()()1111127|3314P AB P B A P A ⨯===，故选：B.【点睛】关键点点睛：条件概率公式为()()()11|P AB P B A P A =，全概率公式为()()()()()1121||P A P B P A B P B P A B =+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项【答案】CD 【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.【详解】因为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38C C n n =；所以11n =，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．10.甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（）A.事件A 与B 相互独立B.事件A 与C 不是互斥事件C.()5|12P C A =D.()1|6P B A =【答案】BCD 【解析】【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D.【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有21342322C C A 36A ⋅=种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，各有223323C A +A =12种方案，∴()()()13P A P B P C ===；甲、乙均学习VisualBasic 编程语言，有22A 2=种方案，∴()213618P AB ==；甲学习VisualBasic 编程语言且乙学习VisualC ＋＋编程语言，有11221C C 5+=种方案，∴()536PAC =，对于A ，∵()()()P AB P A P B ≠，∴事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，∵()5036P AC =≠，∴事件A 与C 不是互斥事件，故B 正确；对于C ，()()()5|12P AC P C A P A ==，故C 正确；对于D ，()()()1|6P AB P B A P A ==，故D 正确.故选：BCD.11.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑【答案】AB 【解析】【分析】根据题意分析可知4为()f x '的周期，关于2x =对称，关于点()1,0对称，进而判断AB ；分析可知4为()f x 的周期，但没有充分条件求()2f ，进而判断CD.【详解】因为()41f x +为偶函数，则()()4141f x f x +=-+，即()()11f x f x +=-+，可知()f x 关于1x =对称，又因为()2f x '+为偶函数，则()()22f x f x '+=-+'，可知()f x '关于2x =对称，且()()11f x f x +=-+，则()()11f x f x +=--'+'，即()()2f x f x '=--+'，可得()f x '关于点()1,0对称，且()()2f x f x ''=-+，则()()()()244f x f x f x f x ''''⎡⎤=-+=--+=+⎣⎦，可知4为()f x '的周期，由()()2f x f x '=--+'，可得()()11f f ''=-，即()10f '=，则()()()()130,241f f f f ''''=-==-=-，即()()()()12340f f f f ''''+++=，所以()()()()202311231i f i f f f ='=++'''=-∑，()202410i f i ='=∑，故AB 正确；因为()()4f x f x ''=+，则()()4f x c f x c +=++，即()()4f x f x =+，可知4为()f x 的周期，又因为()()22f x f x '+=-+'，则()()222f x f x c +=--++，即()()222f x f x c ++-+=，可知()f x 关于点()2,c 对称，但没有充分条件求()2f ，故无法求CD 选项的值，故CD 错误；故选：AB.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．【答案】87##117【解析】【分析】根据分布列的性质概率之和为1可求.【详解】已知()2i aP X i ==（1,2,3i =），则由分布列的性质可得231117(1)(2)(3)12228P X P X P X a a ⎛⎫=+=+==++== ⎪⎝⎭，解得87a =，故答案为：87.13.已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】因为()f x 有两个极值点，所以()223f x x ax =+-'有两个变号解，结合韦达定理得出122x x a +=-，又因为1225x x -=，联立得出125425,,33a a x x -+==-又因为123x x =-，所以得出1a =-或1.4a =-再利用()f x 的极小值为整数即可得出答案.【详解】()223,f x x ax =+-'由题意知12,x x 是2230x ax +-=的两根，所以24120,a ∆=+>且12x x +=122,3,a x x -=-又1225,x x -=所以125425,,33a a x x -+==-所以54253,33a a -+⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即24a +510,a +=解得1a =-或1.4a =-当1a =-时，123,1,x x ==-此时()f x 的极小值为()263,3f =-不合题意；当14a =-时，1232,,2x x ==-此时()f x 的极小值为()24,f =-符合题意．故1.4a =-故答案为：14-.14.五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.【答案】①.516##0.3125②.n【解析】【分析】X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到n X 与X 关系，得到()2n X X n X X n =--=-，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.【详解】设X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率()333661150C 12216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，X 表示向右移动的次数则n X -表示向左移动的次数，则()2n X X n X X n =--=-，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭则()()111224n D X np p n =-=⨯⨯=，所以()()()22244n nD X D X n D X n =-=⨯=⨯=.故答案为：516；n .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．【答案】（1）128（2）2m =或53-【解析】【分析】（1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】在7280128(1)(1)x x a a x a x a x --+=+++⋅⋅⋅+中，取1x =，得01280a a a a =+++⋅⋅⋅+，取=1x -，得018256a a a -=-+⋅⋅⋅+，以上两式相减，得1357128a a a a +++=．【小问2详解】7(1)mx +的通项为777177C ()C k k k k k k T mx m x ---+==，若270a =-，可得62577C C 70m m -=-，所以23100m m --=，解得2m =或53-．16.已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）40x y +-=（2）极大值为127e -，极小值为e.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.【小问1详解】由()()2254e xf x x x =-+，()f x 的定义域为R ，得()()221e xf x x x '=--，所以()00e 1f '=-=-，又()04f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为4y x =-+，即40x y +-=；【小问2详解】()()()()221e 121e x x f x x x x x '=--=-+，由()0f x '=，得12x =-，或1x =，当12x <-或1x >时，()0f x ¢>，()f x 在()1,,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增；当112x -<<时，()0f x '<，()f x 在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；故函数()f x 在12x =-处取得极大值，极大值为1217e 2f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；在1x =处取得极小值，极小值为(1)e f =.故函数()f x 有极大值，也有极小值，极大值为127e -，极小值为e.17.光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）答案见解析（2）0.08794【解析】【分析】（1）根据题意完善22⨯列联表，求2χ，并与临界值对比分析；（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求()90P X <，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：22⨯列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设0H ：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得()220.10102404 1.667 2.7066428x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，依据小概率值0.10α=的独立性检验，可以推断0H 成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】由题意可得，物理成绩的平均分为()1849082848381838190828410x =+++++++++=（分）；方差()()()()()()()222222221848490848284848483848184838410s ⎡=-+-+-+-+-+-+-⎣()()()22281849084828410⎤+-+-+-=⎦，结合题意可知：()84,10X N :，即84,3μσ==≈，则290μσ+=，可得()()1221+0.954590=0.9772522P X P X μσμσ+-<<+<=≈，记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A ，则A 为“4人物理成绩的等第都是非优秀”，故()()4419010.9772510.912060.08794P A P X ⎡⎤=-<≈-≈-=⎣⎦，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为0.08794.18.2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40（2）①减少了；②增加了【解析】【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X 的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．2611(10)C 15P X ===，26224(15)C 15P X ⨯===，2611(20)C 15P X ===，2622(35)C 15P X ===，2622(40)C 15P X ===，2622(65)C 15P X ===，2622(70)C 15P X ===，2611(90)C 15P X ===，所以X 的分布列为X 1015203540657090P11541511521521521521511514122221()1015203540657090401515151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n 人，则门票收入为120n 元，举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为(140%)(12040)112120n n n +-=<，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，则期望值为1111153040602363⨯+⨯+⨯=．不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为11547512033n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为475497475(140%)40333n n n ⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了19.定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；【解析】【分析】（1）借助导数，分0a ≤及0a >讨论即可得；（2）（i ）结合定义，令()()f x g x =，构造函数()()2e 2xk x x ax =---，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明()002e e 0xx --≤，构造函数()()2e e x h x x =--，借助导数求出其在()0,2上的最大值即可得.【小问1详解】()2e x f x a ='-，当0a ≤时，()0f x '>对任意x ∈R 恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '<，得ln 2a x <；令()0f x '>，得ln 2a x >，故函数()f x 在,ln 2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】（i ）令()()f x g x =，得2e e 2x x ax x -=+，得()2e 20xx ax ---=，设()()2e 2xk x x ax =---，则()()1e xk x x a =--'，设()()1e xm x x a =--，则()e xm x x '=-，当()0,x ∞∈+时，()0m x '<，()m x 单调递减，即()k x '在()0,∞+上单调递减，且()010k a ='->，()10k a '=-≤，故(]10,1x ∃∈，使得()10k x '=，当()10,x x ∈时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，当()1,x x ∞∈+时，()0k x '<，函数()k x 单调递减，因为()00k =，()2220k a =--<，所以()k x 在()0,2上只有一个零点0x ，故函数()k x 在()0,∞+上只有一个零点0x ，即函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ii ）因为002x <<，所以要证()0ln 11x a ⎡⎤+<⎣⎦，即证()01e x a +<，即证00e 0ax x +-<，只需证0e 0ax +2-≤，因为()()00002e 20xk x x ax =---=，得()0002e2x x ax -=+，所以只需证()002e e 0xx --≤即可，令()()2e e xh x x =--，02x <<，则()()1e xh x x ='-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()()max 10h x h ==，即()002e e 0xx --≤，原不等式即证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助()()00002e 20xk x x ax =---=，从而消去参数a ，将()01e x a +<转化为()002e e 0x x --≤.。

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}2．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）4．已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos（α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．5．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a8．已知p：∃x0∈R，使sinx0=；q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假9．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①11．已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=．14．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为．15．若函数为奇函数，则a=．16．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（4）=f（﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf（x）＞0的解集为．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．18．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．20．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣1，x∈R．（1）求证：f（x）≥﹣x2+x；（2）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．22．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}，则A∩B=（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|0≤x＜3}C．{3}D．{3，4}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A=[0，4），集合B={x|x2﹣2x≥3，x∈N}={x|x≤﹣1或x≥3，x∈N}，所以A∩B={3}．故选：C．2．cos（﹣）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：cos（﹣）=﹣cos（﹣+13π）=﹣cos（﹣）=﹣cos=﹣，故选：B．3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f （x）不是奇函数”的充要条件是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0） D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，进行判断即可．【解答】解：f （x）不是奇函数，则等价为∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）不成立，即∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0），故选：C．4．已知sin（π+α）=，且α是第四象限的角，那么cos（α﹣2π）的值是（）A．B．﹣C．±D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式，【解答】解：sin（π+α）=，可得sinα=﹣，α是第四象限的角，cosα==．cos（α﹣2π）=cosα=．故选：A．5．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（23）+f（﹣14）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，∴f（23）+f（﹣14）=f（25﹣2）+f（﹣15+1）=f（﹣2）+f（1）=﹣f（2）+f（1）=﹣2+1=﹣1，故选：A6．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），故选C．7．已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的性质、换底公式求解．【解答】解：∵a=log46＞b=log40.2，c=log23=log49＞a=log46，∴c＞a＞b．故选：A．8．已知p：∃x0∈R，使sinx0=；q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故p：∃x0∈R，使sinx0=是假；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故q：∀x∈（0，+∞），x＞sinx是真，故￢q是假，故选：B．9．将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．B．x=C．x=D．x=﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin（8x﹣），利用正弦函数的对称性即可求得答案．【解答】解：将函数y=sin（4x﹣）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）=sin（2x﹣），再将g（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到y=g（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+﹣）=sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z），得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A．10．现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如图，则按照从左到右的顺序，图象对应的函数序号正确的一组是（）A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数值得特点即可判断．【解答】解：①y=xsinx是偶函数，其图象关于y轴对称；②y=xcosx是奇函数，其图象关于原点对称；③y=x|cosx|是奇函数，其图象关于原点对称．且当x＞0时，y≥0；④y=x•2x为非奇非偶函数，且当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0；故选B．11．已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）∴函数f（x）为奇函数又∵f′（x）=+cosx＞0，∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1解得＜a＜2故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．故选：A．12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=，设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==，又t=as2，n=lnm，即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0，所以由f'（s）＞0得到当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞．故选D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则=10．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【分析】根据函数图象过定点，由函数解析式确定出定点P坐标，进而利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x﹣2）+4（a＞0且a≠1），其图象过定点P，∴P坐标为（3，4），∵角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，∴sinα==，cosα==，则原式==10，故答案为：1014．（文）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值为﹣3．【考点】二倍角的余弦；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式对已知函数化简，f （x ）=cos2x +2sinx=﹣2sin 2x +2sinx +1结合﹣1≤sinx ≤1及二次函数的性质可求函数的最小值【解答】解：∵f （x ）=cos2x +2sinx=﹣2sin 2x +2sinx +1=﹣2+∵﹣1≤sinx ≤1当sinx=﹣1时，函数有最小值﹣3 故答案为：﹣315．若函数为奇函数，则a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质得到f （﹣x ）=﹣f （x ），从而得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：若函数为奇函数，则f （﹣x ）=﹣x ﹣+2a +1+1=﹣f （x ）=﹣x ﹣﹣（2a +1）﹣1，∴2（2a +1）+2=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．16．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：f （4）=f （﹣2）=0，在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，则不等式xf （x ）＞0的解集为 （﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4） ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数的图象关于y 轴对称，且f （4）=f （2）=f （﹣2）=f （﹣4），画出f （x ）的单调性示意图，由不等式xf （x ）＞0，可得①或②．，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）满足：f （4）=f （﹣2）=0， 可得函数的图象关于y 轴对称，且f （4）=f （2）=f （﹣2）=f （﹣4），在区间（﹣∞，﹣3）与[﹣3，0]上分别递增和递减，画出f （x ）的单调性示意图，如图：则由不等式xf （x ）＞0，可得①或②．解①求得2＜x ＜4，解②求得x ＜﹣4 或﹣2＜x ＜0． 综上可得，不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）， 故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，0）∪（2，4）．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=sin2x﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期．（2）由x∈[﹣，]，可求2x+的范围，根据正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）的范围，从而可求函数y=f（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣1，∴由三角函数的周期性及其求法可得函数f（x）的最小正周期T=．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，π]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴y=f（x）=sin（2x+）﹣1∈[﹣2，]，∴函数y=f（x）在[﹣，]上的值域是：[﹣2，]．18．已知，且，（1）求cosα的值；（2）若，，求cosβ的值．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）把已知条件平方可得sinα=，再由已知，可得cosα的值．（2）由条件可得﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=，再根据cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]，利用两角和差的余弦公式，运算求得结果．【解答】解：（1）由，平方可得1+sinα=，解得sinα=．再由已知，可得α=，∴cosα=﹣．（2）∵，，∴﹣＜α﹣β＜，cos（α﹣β）=．∴cosβ=cos（﹣β）=cos[（α﹣β）﹣α]=cos（α﹣β）cosα+sin（α﹣β）sinα=+=﹣．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调增区间；（2）若x0为f（x）的一个零点（0≤x0≤），求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的单调增区间；（2）由f（x0）=0，求得sin（2x0﹣）=﹣，由x0的取值范围，即可求得2x0﹣的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x0﹣）的值，由2x0=（2x0﹣）+，根据两角和的余弦公式即可求得cos2x0的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+2sinxcosx+sin（x+）sin（x﹣），=sin2x+sin2x+（sinx+cosx）（sinx﹣cosx），=sin2x+sin2x+（sin2x﹣cos2x），=（1﹣cos2x）+sin2x﹣cos2x，=sin2x﹣cos2x+，=2sin（2x﹣）+，∵令，k∈Z，解得：，函数f （x ）的单调递增区间：；…（2）由f （x 0）=2sin （2x 0﹣）+=0，得sin （2x 0﹣）=﹣＜0，…又由0≤x 0≤，得﹣≤2x 0﹣≤，…∴﹣≤2x 0﹣＜0，…∴cos （2x 0﹣）==，…则 cos2x 0=cos [（2x 0﹣）+]，=cos （2x 0﹣）cos ﹣sin （2x 0﹣）sin …=×﹣（﹣）×，=，cos2x 0=．20．已知函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣1，x ∈R ．（1）求证：f （x ）≥﹣x 2+x ；（2）若f （x ）＞kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；（2）问题转化为对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，令，根据函数的单调性求出k 的范围即可．【解答】证明：（1）令g （x ）=f （x ）+x 2﹣x=e x ﹣x ﹣1，由g'（x ）=e x ﹣1=0得x=0，当x ∈（﹣∞，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（0，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）单调递增，∴g （x ）min =g （0）=0，从而f （x ）≥﹣x 2+x ；解：（2）f （x ）＞kx 对任意的x ∈（0，+∞）恒成立⇔对任意的x ∈（0，+∞）恒成立，令，∴，由（1）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，令φ'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0得0＜x＜1，∴φ（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴k＜φ（x）min=φ（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．21．已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），其中k∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）确定函数的定义域，利用导数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（2）利用导数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的最值即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f'（x）=lnx+1．…令f'（x）≥0，得lnx≥﹣1=lne﹣1，；令f'（x）≤0，得．…∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是，∴函数的极小值为，f（x）无极大值…（2）g（x）=xlnx﹣k（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣k，由g'（x）=0，得x=e k﹣1，所以，在区间（0，e k﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e k﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…当e k﹣1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以，g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k．…当1＜e k﹣1＜e，即1＜k＜2时，g（x）的最大值是g（1）或g（e）g（1）=g（e），得当时，g（e）=e﹣ek+k＞0=g（1），g（x）最大值为g（e）=e﹣ke+k当时，g（e）=e﹣ek+k＜0=g（1），g（x）最大值为g（1）=0…当e k﹣1≥e，即k≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最大值为g（1）=0．综上，当时，g（x）最大值为e﹣ke+k；当时，g（x）的最大值是0…22．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，在x=0处的切线与直线3x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）已知点A（2，m），求过点A的曲线y=f（x）的切线条数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=f′（﹣1）=0，f′（0）=﹣3，解方程可得a，b，c，进而得到f（x）的解析式；（2）设切点为（t，t3﹣3t），求得f′（x）=3x2﹣3，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，代入A的坐标，整理可得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，求出导数，单调区间和极值，画出y=g（t）的图象，讨论m的范围，即可得到所求切线的条数．【解答】解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意可得，解方程可得a=1，b=0，c=﹣3．所以f（x）=x3﹣3x．（2）设切点为（t，t3﹣3t），由（1）知f′（x）=3x2﹣3，所以切线斜率k=3t2﹣3，切线方程为y﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（x﹣t）．又切线过点A（2，m），代入得m﹣（t3﹣3t）=（3t2﹣3）（2﹣t），解得m=﹣2t3+6t2﹣6．设g（t）=﹣2t3+6t2﹣6，令g′（t）=0，即﹣6t2+12t=0，解得t=0或t=2．所以（）的极小值为（）﹣，极大值为（）．作出函数草图可知：①当m＞2或m＜﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6只有一解，即过点A只有一条切线；②当m=2或m=﹣6时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6恰有两解，即过点A有两条切线；③当﹣6＜m＜2时，方程m=﹣2t3+6t2﹣6有三解，即过点A有三条切线．2016年9月6日。

哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=，则m n += ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 2．=-+)2)(1(i i ( )A ．i --3B ．i +-3C ．i -3D ．i +3 3．某学校有男学生400名，女学生600名为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 ( ) A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法4．一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ( )A ．B ．C ． D. 5．已知函数⎩⎨⎧≤-->+=0,10,log 3)(22x x x x x x f ，则不等式5)(≤x f 的解集为 ( ) A. []1,1- B. []4,2- C. (]()4,02,⋃-∞- D. (][]4,02,⋃-∞- 6．如果函数)2sin(2ϕ-=x y 的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为正视图左视图( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7. 函数)sin()(ϕω+=x x f （其中||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到x y ωsin =的图象，只需把)(x f y =的图象上所有点（ ）A. 向右平移12π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度8．若函数x x f y sin )(+=在区间)32,6(ππ-内单调递增，则)(x f 可以是（ ）A.)sin(x -πB.)cos(x -πC.)2sin(x -πD.)2cos(x +π9．已知向量),1(k =，)2,2(=，且a 与b 垂直，那么k 的值为 ( ) A ．4B ．3C ．2D ．1-10．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为2，则点)0,4(到C 的渐近线的距离为 ( ) A ．2B ．2C ．223D ．2211．若x x x f sin cos )(-=在[]a ,0是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．43π B ．2π C ．4πD ． π12．已知0x （10>x ）是函数11ln )(--=x x x f 的一个零点，若),1(0x a ∈， ),(0+∞∈x b ，则( )A ．0)(<a f ，0)(<b fB ．0)(>a f ，0)(>b fC ．0)(<a f ，0)(>b fD ．0)(>a f ，0)(<b f第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若p 是q 的充分不必要条件,则p ⌝是q ⌝的 条件.14．已知31)3sin(=-πα，则cos()6πα+= . 15曲线x y ln 2=在点)0,1(处的切线方程为 .16．已知)(x f 为奇函数，3)2(,9)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f __________.三、解答题：(本大题共6小题，共70分) 17. （本题满分12分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期.（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.18. （本题满分12分）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，已知1cos 24C =- (1)求C sin 的值.(2)当2=a ，C A sin sin 2=，C 为锐角时,求b 及c 的长．19. （本题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。

哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 复数等于（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】分析：直接由复数的除法运算得到结果即可.详解：故答案为：D.点睛：本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.2. 设集合小于7的正整数，，，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先用列举法写出U，B，根据交集、补集的意义直接求解即可．详解：U={1，2，3，4，5，6}，对于B，解+1≤0可得2＜x≤5，又由x∈N，则B={3，4，5}C U B={1，2，6}，A={1，2，5}则A∩（C U B）={1，2}，故选：C．点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的性质，及集合的运算，是简单的基础题，注意集合的运算顺序：先求补，再求交．3. 设命题P：且，则是（）A. 且B. 或C. 且D. 或【答案】D【解析】试题分析：命题的否定既要否定条件，又要否定结论，故选D考点：命题的否定4. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于，当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2=log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，故选：B．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5. 若实数满足，则关于的函数图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．详解：∵，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选：B．点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.6. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可先判断出在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f （x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围详解：∵在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：C．点睛：本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题.偶函数，比较函数值大小时，比较的是距离对称轴的，离轴越远函数值越大或者越小.7. 现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( )A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种【答案】B【解析】试题分析：从4题种选一道作为不被选中的题有4种，从4位教师中选2位，这两位是选同样题目的有种，被选中两次的题目有3种方案，剩下的两位教师分别选走剩下的2题，共种.考点：排列组合.8. 已知（）是函数的一个零点，若，，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得结论．详解：令f（x）=lnx﹣=0，从而有lnx=，此方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=的图象，由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些。

哈尔滨市第六中学校2017-2018学年度高一下学期期末考试物理试题一、选择题：本题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，第1～11题只有一项符合题目要求，第12～15题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1. 关于万有引力定律的发现和引力常量的测定，下面说法正确的是（）A. 牛顿发现万有引力定律，卡文迪许测定引力常量B. 开普勒发现万有引力定律，卡文迪许测定引力常量C. 牛顿发现万有引力定律，胡克测定引力常量D. 开普勒发现万有引力定律，伽利略测定引力常量【答案】A【点睛】熟悉天体运动在物理学上的认识过程，通过比较得到答案.2. 如图为人造地球卫星轨道的示意图，则卫星（）A. 在a轨道运行的周期为24 hB. 在b轨道运行的速度始终不变C. 在c轨道运行的速度大小始终不变D. 在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的【答案】D【解析】同步卫星的运行周期为24小时，即相对地球静止，所以只能在赤道平面内，A错误；b轨道内的卫星做圆周运动，其速度方向时刻变化，所以其速度时刻变化着，B错误；c轨道为椭圆轨道，根据，可知在近地点速度大，在远地点速度小，根据，同一卫星在近地轨道受到的引力大，在远地轨道受到的引力小，C错误D正确．3. 一个物体以速度v0水平抛出，落地速度为v，则运动时间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，根据，得：；将落地的速度分解为水平方向和竖直方向，水平方向的速度等于，则竖直方向上的速度为：，根据，得，故选BC.4. 质点仅在恒力F的作用下，在xOy平面内由坐标原点运动到A点的轨迹如图所示，经过A 点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿（）A. x轴正方向B. x轴负方向C. y轴正方向D. y轴负方向【答案】D【解析】由于物体做的是曲线运动，根据物体做曲线运动的条件可知，因v0有沿y轴正向分量，而v A沿y轴正向分量为零，所以恒力F必有沿y轴负向分量，因此物体受到的恒力的方向应该y轴负方向，故D正确，ABC错误．故选D．5. 下列说法正确的是（）A. 匀速圆周运动是匀速运动B. 匀速圆周运动是匀变速运动C. 匀速圆周运动是变加速运动D. 做圆周运动的物体其合力一定与速度方向垂直【答案】C【解析】匀速圆周运动中速度方向时刻发生变化，加速度方向时刻指向圆心，是变加速曲线运动，C对；变速圆周运动的合力方向不一定与速度方向垂直，ABD错；6. 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市六校高二下学期期末联考数学试题1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A．9 B．8 C．6 D．52.随机变量的分布列如表：则（）1 2 3A．B．C．D．3.已知是函数的导函数，若，则（）A．4 B．2 C．8 D．4.一批产品共有20件，其中2件次品，18件合格品，从这批产品中任意抽取2件，则至少有1件是次品的概率是（）A．B．C．D．5.设为随机变量，且，若随机变量的数学期望，，则（）A．B．C．D．6.五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（）A．24 B．12 C．8 D．67.若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务.已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（）A．32 B．40 C．48 D．569.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10.若，则（）A．80 B．50 C．D．11.已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则的数学期望的取值范围是（）A．B．C．D．13.设随机变量服从正态分布，若，则______．14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y与当天的平均气温进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为.气温10 6 2售出热饮的杯4815.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一方，则___________.16.已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______．17.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的最小值．18.已知的展开式中第9项为常数项.(1)求该二项展开式中含项的系数；(2)求该二项展开式中二项式系数最大的项.19. 2022年3月5日是我国二十四节气中的节气之一——惊蛰，农谚描述“惊蛰过，暖和和，蛤蟆老角唱山歌”“惊垫不耙地，好像蒸锅跑了气”等，随着气温升高，冬眠的动物和昆虫都陆陆续续出来了，人们也开始了田间的劳作．某科研团队对惊蛰前后青蛙外出活动时间与平均气温之间的关系进行分析研究，分别记录了3月3日至3月8日的平均气温x （℃）与活动时间y （小时），得到如下数据：(2)假设在惊蛰前后，青蛙外出活动时间和平均气温符合线性相关关系，请根据所给6组数据，求出y关于x 的线性回归方程（结果精确到0.0001）； (3)根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报3月12日的白天平均气温是26（℃），请预测青蛙外出活动时间（结果精确到0.01）．参考公式：，．参考数据：，．20. 司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命，为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门通过道路监控随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.(1)完成下面的列联表，依据小概率值的独立性核验，分析开车时使用手机与司机的性别的关联性；为开车时不使用手机的男性司机人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：参考公式：，其中.21.某公司为了丰富员工的业余生活，举行了乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制，即先赢四局者获胜．每局比赛胜一球得1分，先得11分的参赛者该局为胜方，若出现10平比分，双方轮流发球，则以先多得2分者为胜方．甲、乙两名员工进行单打比赛．(1)已知甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，若某局出现10平比分后甲先发球，求甲以获胜的概率；(2)若每局比赛甲获胜的概率均为，比赛局数为X，求X的分布列和数学期望．22.已知函数（）．(1)当时，求的单调区间；(2)令，若是函数的极值点，且，求证：．。

哈尔滨市第六中学 2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间 120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的3i11．复数等于（ ）13i iA.3i B.2i C.2iD.032． 设 集 合 U小 于 7的 正 整 数， A1,2,5，， 则B x1 0, xN2 xA(C B ) U为（）A ．1,2,5B ．1,5C ．1,2D ．2,53．设命题 P ：nN , f (n ) N 且 f (n ) n ，则 p 是（ ）A.n N , f (n ) N 且 f (n ) nB.n N , f (n ) N 或 f (n ) nC.且n 0 N , f (n 0 ) Nf (n )nD., ( 0 ) 或nN f nNf (n ) n3 log x , x(x )4. 已知函数 ，则不等式 的解集为 ( )f2f (x ) 5x1, x2xA ．1,1B ．2,4C ．,2 0,4D ．,20,41 5.若实数 x , y 满足 x1ln 0 ，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是( )y- 1 -A. B. C. D.6．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0时， f (x ) 2x 1，若 f (2 a 2 ) f (a ) ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． (,1)(2,) B ． (1,2) C ． (2,1) D ．(,2) (1,)7．现有 4名教师参加说课比赛，共有 4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道 题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这 4位教师选中的情况有( )A ．288种B ．144种C ．72种D ．36种28．已知（）是函数的一个零点，若(1, x ) ， b，x x1 ( ) 0f xlnxa(x ,)x 1则( )A. f (a ) 0 ， f (b )0 B. f (a ) 0 ， f (b )0 C. f (a )0， f (b )D. f (a )0， f (b )9．已知函数 f (x ) 是(,) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都有 f (x 2） f (x ) ，且当x [0, 2)f xx ）f (2018) f (2019)时，，则的值为（）( ) log (12A.2B.1 C.1D.210．如右图，设抛物线 yx 2 1的顶点为 A ，与 x 轴正半轴的交点为 B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为 M ，随机往 M 内投一点 P ，则点 P 落在AOB内的概率是() 3 4 2 A.B.C.D.4535 611． 已 知 f (x ) 是 定 义 在(0,) 上 的 函 数 ， 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数， 都 有x1,x2- 2 -f(sin)x f(x)x f(x)f(2)f(log3)0.262112a,b,c，记，则（）x x2log30.221sin6A．c b a B．c a b C．b a c D．b c af(m2m)12．已知定义在R上的可导函数f(x)满足：f'(x)f(x)0，则与的大f(1)m m12e小关系是（）f()f m)m m2f(m2m)(m2A．> B．< C．= D．不确定f(1)f(1)f(1)m m1m m1m m1222e e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13. 函数f(x)x2ln x在点1,1处的切线方程为.14．已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)6,g(1)3，则f(1)__________.5122x x15．在的二项展开式中, 的系数为.5x16．对于函数y f(x)，若在其定义域内存在x，使得x f x成立，则称x为函数f(x)0(0)100的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是___________.①f(x)2x22；②f(x)sin x,x[0,2]；1③，；④；⑤f(x)x x(0,)f(x)e x f(x)2l n xx三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l过点M(2,4)，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22c os.（1）写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，且MA MB40,求倾斜角的值.18. （本小题满分12分）- 3 -已知函数22x x f x kx lnx( )24（1）若 k1,求函数 f (x ) 的单调减区间；（2）若 f (x ) 的极小值大于 0，求实数 k 的取值范围.19．（本小题满分 12分）2015年 12月 10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡 献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾 标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高 度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为 x , y , z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标x y z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若4 ，则长势为一级；若 23，则长势为二级；若 0 1，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了 10块青蒿人工种植地，得到如下结果： 种植地编号A 1AA 32A4A5x , y , z0,1, 01, 2,12,1,12, 2, 20,1,1种植地编号A6A7A8A 9A10x , y , z1,1, 22,1, 22, 0,12, 2,10, 2,1（1）在这 10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标 z 相同的概率； （2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量 X m n ，求 X 的分布列及其数学期望.- 4 -20. （本小题满分 12分）在 三 棱 锥 PABC 中 ， 平 面 PAB 平 面 ABC ， AB 6, BC 2 3, AC 2 6 ，D 、EAB , BCAD 2DB ,CE 2EB , PD AC分别为线段上的点，且.(1)求证: PD平面 ABC;(2)若直线 PA 与平面 ABC 所成角为 ,求平面 PAC 与平面 PDE 所成的4锐二面角的大小.21. （本小题满分 12分）x2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 O : x2y24 ，椭圆 C :21， Ay4为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于 B 、C 两点，直线 AB 与圆 O 的 另一交点为 P ，直线 PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中 ( 6 ,0) ．设直D 5Py线 AB , AC 的斜率分别为 1, 2 ．k kB（1）求 的值；k k1 2DOA x（2）记直线 PQ , BC 的斜率分别为 k ,k ，是否存在常数 ，使得PQBCQCkk？若存在，求值；若不存在，说明理由.PQBC21．（本小题满分12分）已知 f (x )x (lnx k 1)(k R )（1）若对于任意x e ,e 2，都有 f (x ) 4lnx 成立，求 k 的取值范围；（2）若 x 1x 2 ，且 f xf x ，证明： x x e 2( )( )k121 2- 5 -。

哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合}2|||{≤=x x M ，集合},03|{2Z x x x x N ∈≥+=，则)(N C M Z ⋂等于（ ） A.}20|{≤<x x B.}02|{<≤-x x C.}2,1{ D.}1,2{--2.设函数⎩⎨⎧≤+>=-0,140,log )(2x x x x f x，则)3log ()2(2-+f f 的值为（ ）A.9B.10C. 11D. 12 3.已知)2(+x f 是偶函数，且函数)(x f 在),2[+∞上是单调递增，则（ ）A.)0()3(f f >B.)1()3(f f >C.)1()0(f f <D.)1()4(f f > 4．设2.03=a ，3log 4=b ，)1(log 25.0+=m c ，则（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.a b c << D ．b c a <<5. 若ax x x g --=2)(在区间),3(+∞上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.3≤a B.32≤<a C.2>a D ．2<a6．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为( )A.2ln 23+B.3C.322-e D.e 7． 有下列四个：:1p 若幂函数m kx x f =)(过)9,3(，则2=mk ;:2p 函数x e x f =)(的反函数为x x g ln )(=; :3p “1,1>>b a ”是“)1,0()(≠>-=a a b a x f x ”的图象不过第二象限的必要不充分条件; :4p “q p ∨”为假是“q p ∧”为假的充分不必要条件。

其中正确的是（ ）A.321,,p p pB.421,,p p pC.431,,p p pD.432,,p p p8．若⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,21,2)21()(x a x x a x f x 对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，那么a 的范围是（ ）A ．)1,21(B ．)1,43[C ．]43,21(D ．]43,0(9．已知函数xxP x f -⋅-=22)(，则下列结论正确的是 （ ）A ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的减函数B ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的减函数C ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的增函数D ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的增函数10. 若函数)(x f 的零点与82ln )(-+=x x x g 的零点之差的绝对值不超过5.0， 则)(x f 可以是（ ） A.)25ln()(-=x x f B.2)4()(-=x x f C. 1)(2-=-x ex f D. 63)(-=x x f11．若函数)(),(x g x f 分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足2)()(x a a x g x f x x +-=+-（1,0≠>a a ），若a g =)2(，则=)1(f （ ） A.2 B.415 C. 417 D. 23 12.已知⎩⎨⎧>-≤-=0,230,2)(2x x x x x f ，若x a x f )1(|)(|-≥在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A.),0[]1(+∞--∞B.]0,1[-C.]1,0[D.)0,1[- 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知)(x f 的定义域为]4,0[，则1)2(-x x f 的定义域为_________ 14．设定义在R 上的函数)(x f 满足10)2()(=+⋅x f x f .若2)1(=f ，则=)2015(f _______ 15．已知函数12)(+=x xx f ，函数)0(22)(>+-=a a ax x g ，若存在]1,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是_________16.已知函数⎩⎨⎧>-≤<=3,)4(30|,log |)(23x x x x x f ，若方程m x f =)(有四个不同的实数根,由小到大依次为4321,,,x x x x ，则43214x x x x +++的取值范围是_______三、解答题（本大题共6个小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知函数|12|)(-=x x f （1）解关于x 的不等式3)(≥x f ；（2）若方程ax x x f =-+|2|)(在),1[+∞上有解，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2PEDCBA（1）估计该班同学中，参加排球兴趣小组的同学的比例；（2）请根据数据画出列联表的等高条形图，并通过条形图判断参加“篮球小组”或“排球小组”与性别是否有关？（3）请根据题中数据，判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）已知函数x ae x x f -+-=1)(（R a ∈）（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）当1=a 时，若直线1:-=kx y l 与曲线)(x f y =在]21,2[--上有两个公共点，求k 的取值范围.20.(本小题满分12分)如图，底面为菱形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，︒=∠60ABD ，E 为PC 上一动点，AC PA = （1）求证AE BD ⊥；（2）当⊥AE 平面PBD 时，求CEPE的值；（3）在（2）的条件下，求AD 与平面PBD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos y x （α为参数），M 是1C 上的动点，N 点满足2=，N 点的轨迹为曲线2C .（1）求曲线2C 的方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程是2=ρ，正三角形的顶点都在3C 上，且C B A ,,依逆时针排列，点A 的极坐标为)6,2(π，设P 是2C 上任意一点，求222||||||PC PB PA ++的取值范围.22.（本小题满分12分）已知x ax xe x f x-+=2)(，22e a ≤（1）当21-=a 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若对0≥x 时,恒有x x f x f ≥-)()('成立,求实数a 的取值范围.高二理科数学参考答案1---5 DCDAB 6---10 BBCCA11---12 DC 13.]2,1(;14.5;15.]2,21[;16.)13,12[17解（1）23|12|3)(≥⇒≥-⇒≥x x x f 或1-≤x ------------4分；（2）⎩⎨⎧<≤+≥-=-+-=-+21,12,33|2||12||2|)(x x x x x x x x f ------------------5分当2≥x 时，xa ax x 3333-=⇒=-，)3,23[∈a -----------------------7分 当21<≤x 时，xa ax x 111+=⇒=+，]2,23(∈a -----------------------9分 综上，)3,23[∈a --------------10分（数形结合也可）18.解（1）比例734218=-------------------4分； （2）如图，有关--------------------------------8分 (3)2k 841.3582.4110504>≈=--------------------所以有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关--12分 ，19.解（1）xae x f --=1)(/,e a ae f =⇒=-=-01)1(1/-----------4分（1）111)(+=⇒-=+-=--xe a kx ae x xf xx，---------5分， 1)(+=-x e x g x ，,)1()(2/xe x x g x -+-=-----------------6分 1,0)1()(2/-==+-=-x x e x x g x ,列表（略）————————————8分，21221)21(,21)2(,1)1(e g e g e g -=--=--=---------------------9分 )1,21[e e k --∈————————————————————————12分20.解（1）菱形ABCD BD AC ⊥⇒⊥PA 面ABCD BD PA ⊥⇒又A AC PA = ,所以⊥BD 面PAC ，又⊂AE 面PAC ，所以AE BD ⊥————————4分 （2）连接AC 交BD 于点O ，以O 为圆心，OB OA ,分别为y x ,轴，建立如图所示空间坐标系 设2=AB ，则)0,0,3(),0,0,3(-C A ，)0,1,0(B ，)0,1,0(-D ，)32,0,3(P ，设0>=λPCPE)3232,0,323(λλ--E ，⊥AE 平面PBD ，0=⋅PD AE ，则32=λ，2=CEPE———8分 （3）因为⊥AE 平面PBD ，所以AE 是平面PBD 的一个法向量，取)1,0,2(-=A设AD 与平面PBD 所成角为θ，则515||||sin =⋅=AE AD θ——————————12分 21.解（1）曲线2C 的方程位⎩⎨⎧==ααsin 4cos 2y x （α为参数）----------4分（2）4222=+⇒=y x ρ-------------------5分C B A ,,三点的直角坐标分别为)2,0(),1,3(),1,3(--C B A ————————7分设)sin 4,cos 2(ααP ，24sin36||||||2222+=++αPC PB PA ------------10分]1,0[sin 2∈α，]60,24[||||||222∈++PC PB PA -------------12分21. (本小题满分12分) （1）12)1()('-++=ax e x x f x当21-=a 时，)1)(1()1()1()('-+=+-+=xx e x x e x x f ——————————2分 当0>x 或1-<x 时，0)('>x f 当01<<-x 时，0)('<x f单调增区间为),0(),1,(+∞--∞，单调减区间为)0,1(-————————————————5分 （2）设12)()()(2'-+-=-=ax ax e x f x f x g x)(22)('x u a ax e x g x =+-=a e x u x 2)('-=————————————————————————-6分0≥x 时, 1≥x e ,(1)当12≤a ，即21≤a 时，0)('≥x u ，a ax e x g x 22)('+-=在),0[+∞上是单调递增的，a x g 21)('+≥， （i ）21021)('-≥⇒≥+≥a a x g ，)(x g 在),0[+∞上是单调递增，)0()(g x g ≥恒成立， 2121≤≤-a（ii ）21021)('-<⇒<+≥a a x g ，存在),0(0+∞∈x ，0)('0=x g ，),0(0x x ∈，)(x g 递减，0)0()(=<g x g 与)0()(g x g ≥矛盾舍（2）当12>a ，即2212e a ≤<时，0)('=x u ，a x 2ln =a ax e x g x 22)('+-=的最小值为0)2ln 2(22ln 24)2(ln '≥-=-=a a a a a a g)(x g 在),0[+∞上是单调递增，)0()(g x g ≥恒成立，2212e a ≤<，综上2212e a ≤≤-。

哈尔滨市第六中学2017-2018学年度下学期期末考试高二文科数学选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. 已知，集合，集合，若，则( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】因为则，,n=1, 则=8.故答案为：D.2. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。

详解：故选D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。

3. 某学校有男学生400名，女学生600名为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是( )A. 抽签法B. 随机数法C. 系统抽样法D. 分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选D.考点：分层抽样.【方法点晴】分层抽样是将总体按照一定标志分成若干层，分别从各层中抽检一定数量样本，最后汇总推算所需的总体估计量的一种统计抽样技术．分层抽样一般有三个步骤：第一，将样本分层；第二，确定在每个层次上总体的比例（或抽样比）；第三，利用这个比例，可计算出样本中每组（层）应调查的人数；第四，调查者必须从每层中抽取独立简单随机样本．4. 一个锥体的正视图和左视图如图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A，B，D对应的直观图分别如下：故选C.考点：空间几何体的三视图与直观图.5. 已知函数，则不等式的解集为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于，当x＞0时，3+log2x≤5，即log2x≤2=log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2﹣x﹣1≤5，即（x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，4]，故选：B．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.6. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为函数的图象关于点中心对称，所以，根据诱导公式可得，所以，即，，令得故选C.考点：正弦函数的图象与性质.7. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】分析：根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．详解：由题意可得∴ω=2．再由五点法作图可得2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=si nωx的图象，故选：D．点睛：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.8. 若函数在区间内单调递增，则可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用四个选项代入f（x），分别求出函数y的解析式化简后，通过函数的单调增区间判断正确选项即可．详解：对于A，y=f（x）+sinx=2sinx，显然函数在区间内x=时函数取得最大值，函数存在增函数区间也存在减函数的区间，所以函数不单调递增，不正确；对于B，y=f（x）+sinx=sinx﹣cosx=sin（x﹣），区间内，所以函数是单调增函数，正确．对于C，y=f（x）+sinx=sinx+cosx=sin（x+），区间内，所以，函数不是单调增函数，不正确．对于D，y=f（x）+sinx=0，在区间内单调递增，不正确；故选：B．点睛：本题考查函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的判断，考查计算能力．两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式将函数化为的形式.9. 已知向量，且与垂直，那么的值为()A. 4B. 3C. 2D.【答案】D【解析】分析：由已知向量的坐标，再由与垂直，列式求得k值．详解：∵=（1，k），=（2，2），又与垂直，∴1×2+2k=0，解得k=-1．故选：D．点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础题．10. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为( )A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。