【教师版】苏州市2014届高三调研测试数学(精)

苏州市2014届高三调研测试数学Ⅰ试题 2014．1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1． 已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A ∩B = ▲ ． 2． 已知i 为虚数单位，计算2(12i)(1i)+-= ▲ ． 3． 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．4． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ．5． 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ▲ ．6． 运行右图所示程序框图，若输入值x ∈[-2，2]，则输出值y 的取值范围是 ▲ ．7． 已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．8． 函数e ln y x x =-的值域为 ▲ ．9． 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a +（1 - t ）b ．若b ·c = 0，则实数t 的值为 ▲ ．10． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-1，1}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限的概率是 ▲ ．11． 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．12． 在直角坐标系xOy 中，已知A （-1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P（第6题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．的个数为 ▲ ．13． 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ▲ ．14． 若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=．（1）求角A 的大小；（2）若a 4b =，求边c 的大小．16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证： （1）P A ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．（第16题）P M D C B A甲、乙两地相距1000km ，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h ，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的14倍，固定成本为a 元．（1）将全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？18． （本小题满分16分） 如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A （2，0），点P （2e ，12）在椭圆上（e 为椭圆的离心率）． （1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC BA λ=，且0OC OB ⋅=，求实数λ的值．设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在2()f n an bn c =++（a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式．20． （本小题满分16分）已知a ，b 为常数，a ≠ 0，函数()()e x bf x a x=+．（1）若a = 2，b = 1，求()f x 在（0，+∞）内的极值；（2）① 若a > 0，b > 0，求证：()f x 在区间[1，2]上是增函数；② 若(2)0f <，2(2)e f --<，且()f x 在区间[1，2]上是增函数，求由所有点(,)a b 形成的平面区域的面积．苏州市2014届高三调研测试数学Ⅱ（附加题） 2014．121．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ， 求证：AB ·CD = BC ·DE ．B ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知a ，b ∈R ，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x - y = 3变换成自身，试求 实数a ，b ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回. 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．NME DC BA （第21-A 题）C ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，求点M π(2,)6关于直线π4θ=的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD的侧棱长与底边长都为M ，N 分别 在P A ，BD 上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面P AD 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ= 0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．（1）求概率P （ξ= 0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．（第22题）江苏省苏州市2014届高三1月第一次调研数学考试试题11 / 11。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题错误！未指定书签。

．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2,且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.【答案】 1222=-y x错误！未指定书签。

．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5,则m 的值为____.【答案】由22214x y m m -=+得22==4=4a m b m c m m +++，，.∴24===5c m m e a m++,即244=0m m -+,解得=2m . 错误！未指定书签。

．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.【答案】0错误！未指定书签。

．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB = ,则直线的斜率为_____.【答案】12±错误！未指定书签。

．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的标准方程为________.【答案】答案:221520y x -=. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申 错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.【答案】1222=+y x错误！未指定书签。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题错误！未指定书签。

．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n = ，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,则{}n a 的通项公式是______.【答案】22n a n n =-+错误！未指定书签。

．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3错误！未指定书签。

．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.【答案】14错误！未指定书签。

．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知数列}{na 满足122n n aqa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ▲ ．【答案】2-或126错误！未指定书签。

．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *,31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-错误！未指定书签。

2014届江苏省高三年级百校联合调研考试数学卷（二）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．设集合{1,0,1}A =-，2{|0}B x x x =+≤，则A B ⋂=________. 2．已知i 是虚数单位，则31ii-+的虚部为________. 3．执行右面的框图,若输出结果为21,则输入的实数x 的值是____. 4．直线:tan105l x y π++=的倾斜角α=_______________.5．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 若教 练员选派两人之一参加比赛，则 的可能性较大。

6. 已知)0,2(πα-∈，4cos 5α=，则=+)4tan(πα ． 7. 将一颗骰子投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by -=与圆()2222x y -+=相交的概率为 ．8．设向量1e u r 、2e u u r 满足12||||1e e ==u r u u r，非零向量12,0,0a xe ye x y =+>>r u r u u r ，若2||x a =r，则1e u r 、2e u u r 的夹角θ的最小值为________.9.在等比数列{}n a 中,1234,n a a a +=·164,n a -=且前n 项和62n S =,则项数=n 10．在ABC ∆中，7AC =，60B =︒，BC 边上的高33h =，则BC =______. 11．双曲线228xy -=的左右焦点分别是12F F ，,点n P ()()123n n x y n =L ，，，在其右支上, 且满足2121F F F P ⊥，121F P F P n n =+,则2014x 的值是12．如图所示，互不相同的点),3,2,1(,,n i C B A i i i Λ=分别在以O 为顶点的三棱锥的三条棱上，所有平面),3,2,1(n i C B A i i i Λ=相互平行，且所有三棱台111+++-i i i i i i C B A C B A 的体积均相等，设n n a OA =，若312=a ，22=a，则=86a13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=)1(,212)10(,1)(x x x x f x ，设0≥>b a 时，有)()(b f a f =，则)(a f b ⋅的取值范围是14．若函数32()f x x ax bx c =+++的三个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则ba的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =u u u u r为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM u u u u r 的伴随函数． （Ⅰ）设函数()sin()2cos 22g x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，试求()g x 的伴随向量OM u u u u r 的模；（Ⅱ）记(1,3)ON =u u u r 的伴随函数为()h x ，求使得关于x 的方程()0h x t -=在[0,]2π内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．16. (本小题满分14分)如图,菱形ABCD 的边长为4,60BAD ∠=o,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起,得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点,22DM =.(1)求证://OM 平面ABD ; (2)求证:平面DOM ⊥平面ABC ;17. (本小题满分14分)已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，须另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x 千件并全部销售完，每1千件的销售收入为()x R 万元，且()22110.8,010301081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？18. (本小题满分16分)如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，且经过点)23,1(，F 为椭圆的右焦点，1A 、2A 为椭圆的左、右顶点，B 为上顶点．P 为椭圆上异于1A 、2A 的任一点，点Q 满足0=⋅． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若=，求F PA 1∆的面积；（Ⅲ）若P 为直线PQ 与椭圆唯一的公共点，求证：Q 点恒在一条定直线上．19. (本小题满分16分)设各项均为正实数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S （*N n ∈）．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列}{n b 的通项公式为ta ab n nn +=，是否存在正整数t ，使1b ，2b ，mb （N m m ∈≥,3）成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列}{n a 中的三项1n a ，2n a ，3n a ．A CE BD OF 20. (本小题满分16分)已知函数()ln f x x =，21()22g x x x =-． （Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()(2)2b af a b f a a-+-<； （Ⅲ）设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.第Ⅱ卷（附加题 共40分）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。

【名师综述】1.本试卷难度适中，知识点单一的小题较多,如前十题，也有拉开档次的题目（如,13,14,19，20)，考查知识点和能力点基本到位。

其中，第14题将圆中弦长问题和最值问题交汇在一起，试题的选拔性和交汇性极高。

挖掘“圆心到直线距离不大于CP ”这一隐含条件是确保解题正确关键.第13题，容易在研究“-∞→x 时，函数)(x f 恒小于零”上出错。

运用数学结合解题应严格分析图形在各单调区间趋势范围。

第18题求椭圆定值问题，有一定运算量.学生失分原因:除去畏难心理外，还有忽略整体感知，导致方向性错误的因素。

建议考生:多练、多思。

2.本套试题题型稳中有变，内容鲜活,富有时代气息.第19题数列题，一改其常规面目，以“类等比”给出n S 与na 关系式,将“叠乘法” 化简数列 “隐身”其中,试题的交汇天衣无缝！第20题是导数题，是对恒成立的考查，以两种不同说法的形式，给出了问题，动中有静，静中有动，动静结合,命题者独具匠心!恒成立问题关键在于等价转化不等式。

第20题第(2）小题设计两道坎，一是绝对值，二是两个变量依存关系。

第20题第（3)小题，难度上升一个层次，设计三个参量，重点考查学生思维能力。

【易错题解读】1.【理科试卷第13题】已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+,若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ．【原创题解读】1。

【理科试卷第14 题】在平面直角坐标系xOy中，已知点(3,0)P在圆222+--+-=内，动直线AB过点P且交圆C于,A B两点，若△ABC :24280C x y mx y m的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为．【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，过点O作直线l与圆。

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）理科数学一、填空题：1.已知集合{}1,2,3,4A=，{},4,7B m=，若{}1,4A B=，则A B=▲．2.若复数z =13i1i+-（i为虚数单位），则 | z | = ▲．3.已知双曲线2218x ym-=的离心率为3，则实数m的值为▲．4.一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是▲．5.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ▲ ．6.设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ▲ ．【答案】2【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f考点：函数性质7.四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA = 4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为▲．8.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为▲．9.已知2tan()5+=，1tan3=，则tan+4⎛⎫⎪⎝⎭的值为▲．10.设等差数列{}na的前n项和为n S，若13a=-，132ka+=，12kS=-，则正整数k= ▲．11.已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ▲ ．12.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC=+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲ ．考点：向量共线表示13.已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．【答案】27321,{0,}22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数图像14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[323,327)(327,323]++--【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径4 2.r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得327327.m -<<+设C 到直线距离为d ,则.d CP ≤又222222112162222ABCd r d r S d AB d r d ∆+-=⋅=⋅-≤==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此2(3)24CP m ≥-+，即323m ≥+或32 3.m ≤-综上实数m 的取值范围为[323,327)(327,323]++--.考点：直线与圆位置关系二、解答题15.（本小题满分14分）设函数2()6cos 23sin cos f x x x x =-． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．（2）由()0f B =，得π3cos(2)6B +=． B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． …………………9分 ∵4cos 5A =，(0,)A ∈，∴243sin 1()55A -． …………………10分 在△ABC 中，由正弦定理得32sin 435sin 3b A a B⨯===． …………………12分∴231343sin sin()=sin()sin 322C A B A A A +=---=+=． …………………14分考点：倍角公式，正余弦定理16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC 平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ．17.（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC ∠=，木梁的体积为V （单位：m3），表面积为S （单位：m2）． （1）求V 关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V =+∈，（2）3=，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S也最大．（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2++，(0,)2∈． 2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2++++，(0,)2∈．…………………10分 设()cos 2sin 12g =++，(0,)2∈．∵2()2sin 2sin 222g =-++，∴当1sin 22=，即3=时，()g 最大． …………………12分 又由（2）知3=时，sin cos sin +取得最大值，所以3=时，木梁的表面积S 最大． …………………13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． …………………14分 考点：利用导数求函数最值18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，32(32,)A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值. 【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………2分所以椭圆的标准方程为22127272x y+=．…………………3分19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}na的前n项和为Sn,已知11a=，且11()(1)n n n nS a S aλ+++=+对一切*n∈N都成立．（1）若λ = 1，求数列{}na的通项公式；（2）求λ的值，使数列{}na是等差数列．【答案】（1）an = 2n-1（2）λ = 0. 【解析】（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ………………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ……………… 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ）， 所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． ………………… 16分考点：已知n S 求na20.（本小题满分16分） 已知函数e ()ln ,()e x xf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2e m >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． ………………… 1分列表如下：x （-∞，1） 1 （1，+∞） ()g x '+ 0 - g(x)↗极大值↘附加题21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB AD=，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切．求证：CD AB AB BE=．【答案】详见解析 【解析】21.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β． 【答案】【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n nM αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为22cos,()2sinxy=+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程．21.D．选修4—5：不等式选讲已知函数2()122f x x x a a=++---，若函数()f x的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．22.（本小题满分10分）甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲 同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．（2）由题意1,2,3,4,5=．2(1)3P ==，122(2)339P ==⨯=，1122(3)33327P ==⨯⨯=，3122(4)3381P ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，411(5)381P ⎛⎫===⎪⎝⎭．的分布表为1 2 34 5 P 23 29 227 281 181…………………8分的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………10分 考点：概率分布，数学期望值23.（本小题满分10分） 设01212(1)mm n nn n n mS C CCC---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=．（1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；。

0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距2014届江苏省高三年级百校联合调研考试数学卷（一）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟.第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1．已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B = ．2．复数iia 212+-(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 ． 3．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．4．某算法的伪代码如图所示,若输出y 的值为1,则输入x 的值为 ．5．已知双曲线2214x y b-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________. 6．已知2sin 3cos 0θθ+=，则tan 2θ=________.7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长 ．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则不等式x ⊙(x －2)＜0的解集是 ．9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为10．函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ． 11．如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则•的最大值为 ．12. 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(2)n n S S n n -+=≥．若对任意的*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是 ．13. 已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 ． 14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .已知实数1x y ≤≤且三数能构成三角形的三边长，若11max ,,min ,,x x t y y x y x y ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则t 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知(3,cos())a x ω=-，(sin(b x ω=，其中0ω>，函数()f x a b=⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．且()2Af=，a =，求角A 、B 、C 的大小．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，AB PB =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ； （2）平面BEF ⊥平面PAB ．17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t （秒）的变化规律大致可用22(14sin)20(sin )6060t t y x x ππ=-++（t 为时间参数，x 的单位：m ）来描述，其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴。

江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三教学情况调查（一）理科数学试卷（带解析）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{},4,7B m =，若{}1,4A B =，则AB = ．【答案】{}1,2,3,4,7 【解析】 试题分析：因为{}1,4AB =，所以B ∈1,.1=m 因此AB ={}1,2,3,4,7.考点：集合运算 2．若复数z =13i1i+-（i 为虚数单位），则|z |= ．【解析】试题分析：因为13i 1i +-,21242i i +-=+-=所以.5||=z 也可利用复数模的性质求解，即.5210|1||31|||==-+=i i z考点：复数的模3．已知双曲线2218x y m -=m 的值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：由题意得：,38=+mm 解得.4=m 解答此类问题，要明确对应关系，一是,8,22==b m a 二是双曲线中.222b a c +=考点：双曲线离心率4．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：(]10,20，2；(]20,30，3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4；(]60,70，2．则样本在(]10,50上的频率是 ． 【答案】710【解析】试题分析：因为样本在(]10,50上的频数共有 145432=+++，所以样本在(]10,50上的频率是1072014=.也可从反面求解，即样本不在(]10,50上的频数共有 624=+，所以样本在(]10,50上的频率是107206-1=.考点：样本频率5．执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于 ．【答案】63 【解析】试题分析：第一次循环，,2,3==x y 第二次循环，,3,7==x y 第三次循环，,4,15==x y 第四次循环，,5,31==x y 第六次循环，,56,63>==x y 终止循环，输出63=y . 考点：流程图6．设函数2()sin f x a x x =+，若(1)0f =，则(1)f -的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：因为(1)0f =，所以1sin 1-=a .因此(1)f -.211sin =+-=a 本题也可应用函数性质求解，因为2)()(=-+x f x f ，所以,2)1()1(=-+f f .2)1(=-f考点：函数性质 7．四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA =4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为 ．【解析】试题分析：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PC 与底面ABCD 所成角的为.PCA ∠，因此.2224tan ===∠AC PA PCA考点：直线与平面所成角8．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ． 【答案】23【解析】试题分析：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人共有624=C 种基本事件，而甲乙两人中有且只有一个被选取包含41212=C C 种基本事件，所以所求概率为3264=.考点：古典概型概率9．已知2tan()5a b +=，1tan 3b =，则tan +4p a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】98【解析】试题分析：因为171315213152tan )tan(1tan )tan()tan(tan =⋅+-=++-+=-+=bb a b b a b b a a ，所以8917111711tan 1tan 1)4tan(=-+=-+=+aa a π. 考点：两角和与差正切10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-，132k a +=，12k S =-，则正整数k = ． 【答案】13 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 公差为d ，则12)1(213,233-=-+-=+-d k k k kd ，消去d得：.13=k考点：等差数列通项公式及前n 项和公式11．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy +的最小值为 ．【答案】9 【解析】 试题分析：因为9)16210(21)1610(21)22)(81(818=+≥++=++=+=+x y y x y x x y x y xy y x ，当且仅当22,16=+=y x x y y x 即31,34==y x 时取等号，所以8x y xy +的最小值为9. 考点：基本不等式求最值12．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15A D AB A C=+λ()∈R λ，则λ的值为 ．【答案】65【解析】试题分析：因为,2=所以31313231+=+=.又CD ∥AG ，可设,AG m CD =从而mm m m 3)31(33++=++=+=.因为15A D A B A C =+λ，所以5631,513=+==m m λ. 考点：向量共线表示13．已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ． 【答案】27321,{0,22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：由2(2)(0)x y x x e x =-≤求导得2(2)x y x e '=-，故2(2)(0)xy x x e x =-≤在(上单调增，在(,-∞上单调减,且当0x <时，恒有2(2)0xy x x e =-<.又243(0)y x x x =-++>在(0,2)上单调增，在(2,)+∞上单调减,所以可作出函数()y f x =的图像，如图.由图可知，要使函数()g x 恰有两个不同的零点，需20k -=或2k -=327k <-<,即实数k 的取值范围为27321,{0,22e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭.考点：利用导数研究函数图像14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ．【答案】[3(327,3++-- 【解析】试题分析：由题意得圆心(,2),C m 半径.r =因为点(3,0)P 在圆222:24280C x y m x y m +--+-=内，所以223060280m m +--+-<，解得3727.m-<<设C 到直线距离为d,则.d CP ≤又222211162222ABCd r d r S d AB d ∆+-=⋅=⋅==，当且仅当222d r d =-，即216,4d d ==时取等号，因此4CP ≥≥，即3m ≥+3m ≤-综上实数m 的取值范围为[3(327,3++--. 考点：直线与圆位置关系15．设函数2()6cos cos f x x x x =-．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0f B =且2b =，4cos 5A =，求a 和sin C ．【答案】（1） π,[3-+,（2）534,10343+.【解析】试题分析：（1）要研究三角函数的性质，首先先将三角函数化为B x A y ++=)sin(ϕω型.利用降幂公式22cos 1cos 2x x +=及倍角公式xx x 2sin 21cos sin =可将函数次数化为一次，再利用配角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 化为3)62s i n (32++=πx y ，然后利用基本三角函数图像求其最小正周期和值域，（2）解三角形问题，一般利用正余弦定理解决.本题为已知两角及一对边，选用正弦定理.由于是锐角△ABC ，开方时取正.试题解析：（1）1+cos2()622xf x x =⨯=3cos223x x +=)36x p++． 3分 所以()f x 的最小正周期为22T pp ==， 4分值域为[3-+． 6分（2）由()0f B =，得πcos(2)6B +=． B 为锐角，∴ππ7π2666B <+<，π5π266B +=，∴π3B =． 9分 ∵4cos 5A =，(0,)A p ∈，∴3sin 5A ==． 10分 在△ABC中，由正弦定理得32sin sin b A a B⨯===． 12分∴21sin sin()=sin()sin 32C A B A A A p p =---=+= 14分考点：倍角公式，正余弦定理16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒，AC BC =，D 是AB 的中点．（1）求证：平面1A DC ⊥平面ABC ； （2）求证：1BC ∥平面1A DC ． 【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，关键找出线面垂直.因为侧面11AA B B 为菱形， 且160A AB ∠=︒,所以△1A AB 为正三角形，因而有1AB A D ⊥.又AC BC =，D 是AB 的中点，所以有A B C D ⊥，这样就可得到AB ⊥平面1A DC ，进而可证平面1A DC ⊥平面ABC .（2）证明线面平行，关键找出线线平行. 条件“D 是AB 的中点”,提示找中位线.取1AC 中点E ，就可得DE ∥1BC ，利用线面平行判断定理即可.解决此类问题，需注意写全定理成立的所有条件，不可省略.试题解析：（1）证明：∵ 11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒， ∴△1A AB 为正三角形． 2分D 是AB 的中点，∴1AB A D ⊥．∵AC BC =，D 是AB 的中点，∴ AB CD ⊥． 4分 1A DCD D =，∴AB ⊥平面1A DC ． 6分∵AB ⊂平面ABC ，∴平面1A DC ⊥平面ABC ． 8分 （2）证明：连结1C A ，设11AC AC E =，连结DE ．∵三棱柱的侧面11AA C C 是平行四边形，∴E 为1AC 中点． 10分 在△1ABC 中，又∵D 是AB 的中点，∴DE ∥1BC ．12分∵DE ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴ 1BC ∥平面1A DC ． 14分考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理 17．一个圆柱形圆木的底面半径为1m ，长为10m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD （如图所示，其中O 为圆心，,C D 在半圆上），设BOC q ∠=，木梁的体积为V （单位：m 3），表面积为S （单位：m 2）．（1）求V 关于θ的函数表达式； （2）求q 的值，使体积V 最大；（3）问当木梁的体积V 最大时，其表面积S 是否也最大？请说明理由．【答案】（1）()10(sin cos sin ),(0,)2V p q q q q q =+∈，（2）3pq =，（3）当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．【解析】 试题分析：（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形ABCD 的面积.利用角BOC q ∠=表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数的导数2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在3pq =时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时3p q =是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形ABCD 的面积，有两个. 侧面积为梯形ABCD 周长与圆木的长的乘积.再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值. 试题解析：（1）梯形ABCD 的面积 2cos 2sin 2ABCD S q q +=⋅=sin cos sin q q q +，(0,)2pq ∈． 2分 体积()10(sin cos sin ),(0,)2V pq q q q q =+∈． 3分 （2）2()10(2cos cos 1)10(2cos 1)(cos 1)V q q q q q '=+-=-+．令()0V q '=，得1cos 2q =，或cos 1q =-（舍）．∵(0,)2p q ∈，∴3pq =． 5分 当(0,)3p q ∈时，1cos 12q <<，()0,()V V q q '>为增函数；当(,)32p p q ∈时，10cos 2q <<，()0,()V V q q '<为减函数． 7分 ∴当3pq =时，体积V 最大． 8分（3）木梁的侧面积210S AB BC CD =++⋅侧（）=20(cos 2sin 1)2q q ++，(0,)2pq ∈．2ABCD S S S =+侧=2(sin cos sin )20(cos 2sin 1)2q q q q q ++++，(0,)2pq ∈． 10分 设()cos 2sin 12g q q q =++，(0,)2p q ∈．∵2()2sin 2sin 222g q qq =-++，∴当1sin22q =，即3pq =时，()g q 最大． 12分又由（2）知3pq =时，sin cos sin q q q +取得最大值，所以3p q =时，木梁的表面积S 最大． 13分 综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大． 14分 考点：利用导数求函数最值18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的三点，A ，(3,3)B --，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM ON ⋅为定值并求出该定值．【答案】（1）求椭圆方程一般用待定系数法.本题已知椭圆过两点，列两个方程222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解出b a ,的值,（2）求点(,)C m n 的坐标，需列出两个方程.一是点C 在椭圆上，即22227m n +=，二是BC 的中点在直线OA 上，即23m n =-.注意到C 在第三象限，舍去正值.（3）题意明确，思路简洁，就是求出点N M ,的坐标，算出OM 为定值.难点是如何消去参数.因为点N M ,在直线OA ： 20x y -=上，所以可设11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．选择00(,)P x y 作为参数，即用00(,)P x y 表示点N M ,的坐标.由,,P B M 三点共线，解得001003()23y x y x y -=--，同理解得00200523y x y x y -=-+.从而有2220000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+，这里主要用到2200227x y +=代入化简.本题也可利用椭圆参数方程或三角表示揭示21y y 为定值. 【解析】试题分析：（1）22127272x y +=,（2）(5,1)--,（3）452.试题解析：（1）由已知，得222291821,991,a b a b ⎧⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2227,27.2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩2分 所以椭圆的标准方程为22127272x y +=． 3分（2）设点(,)C m n (0,0)m n <<，则BC 中点为33(,)22m n --．由已知，求得直线OA 的方程为20x y -=，从而23m n =-．①又∵点C 在椭圆上，∴22227m n +=．②由①②，解得3n =（舍），1n =-，从而5m =-． 5分 所以点C 的坐标为(5,1)--． 6分（3）设00(,)P x y ，11(2,)M y y ，22(2,)N y y ．∵,,P B M 三点共线，∴11033233y y y x ++=++，整理，得001003()23y x y x y -=--． 8分∵,,P C N 三点共线，∴22011255y y y x ++=++，整理，得00200523y x y x y -=-+． 10分∵点C 在椭圆上，∴2200227x y +=，2200272x y =-．从而22200000001222200000003(56)3(3627)393449241822x y x y y x y y y x y x y y x y +--+===⨯=+---+． 14分所以124552OM ON y y ⋅==15分∴OM ON ⋅为定值，定值为452． 16分考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ,已知11a =，且11()(1)n n n n S a S a λ+++=+对一切*n ∈N 都成立．（1）若λ=1，求数列{}n a 的通项公式； （2）求λ的值，使数列{}n a 是等差数列． 【答案】（1）an = 2n -1（2）λ = 0. 【解析】试题分析：（1）本题属于“已知n S 求n a ”,利用)2(1≥-=-n S S a n n n 化简关系式. 因为11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，所以先分离n S 与n a ，即1111n n n nS a S a +++=+，这是类等比，利用叠乘法得到1112n n S a +++=，再利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，消去n S 得12n n a a +=.求数列{an}通项公式时，需讨论当n = 1时是否满足2n ≥的情形.（2）解答本题需注意逻辑关系，由数列{}n a 是等差数列得λ= 0，这是一个必要条件，还需验证其充分性，即λ = 0时，数列{}n a 是等差数列.这可类似（1）的解答过程.试题解析：解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．①4分∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=，∴12n na a +=（2n ≥）．6分∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n -1（*n ∈N ）．8分（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． 10分要使数列{}n a是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==． 当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． 15分 综上所述，1n a =（*n ∈N ）， 所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． 16分考点：已知n S 求n a20．已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值；（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e ]x ∈，在区间(0,e ]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 -22e 3．（3）3[,)e 1+∞-．【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域为,R 再求其导数为e(1)()e x x g x -'=．由()0g x '=，得x = 1.分析导数在定义区间符号正负，确定函数先增后减，所以y =()g x 有极大值为1，无极小值．（2）不等式恒成立问题，先化简不等式212111()()()()f x f xg x g x -<-．化简不等式的难点有两个，一是绝对值，二是两个参量12,.x x 可从函数单调性去绝对值，分析两个函数，一是()y f x =，二是1()y g x =.利用导数可知两者都是增函数，故原不等式等价于21212111()(),()()()f x f x x xg x g x -<->，变量分离调整为21212111()(),()()()f x f x x x g x g x -<->,这又等价转化为函数1()()()u x f x g x =-在区间[3,4]上为减函数，即21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在[3,4]上恒成立．继续变量分离得11e ex x a x x ---+≥恒成立，即11m a xe (e )x x a x x---+≥.最后只需求函数11e ex x y x x --=-+在[3,4]上最大值,就为a 的最小值.（3）本题含义为：对于函数()y g x =在(0,e]上值域中每一个值，函数()y f x =在(0,e]上总有两个不同自变量与之对应相等．首先求出函数()y g x =在(0,e]上值域(0,1]，然后根据函数()y f x =在(0,e]上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含(0,1].由()f x 在(0,e]不单调得2e m >，由每段单调区间对应的值域都需包含(0,1]得(e)1f ≥，3e 1m -≥. 试题解析：（1）e(1)()e x x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 1分列表如下：∵g(1) = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3分 （2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞． ∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 4分设1e ()()e x h x g x x ==，∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． 5分设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-，即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x =-=---⋅，则u(x)在[3,4]为减函数． ∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． 6分∴11e ex x a x x---+≥恒成立．设11e ()ex x v x x x--=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 -22e3． 8分∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e3． 9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． 10分 ∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意． 11分当0m ≠时，2()()m x mf x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调，所以20e m <<，即2e m >．①12分 此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m 上递增，∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．②由①②，得3e 1m -≥． 13分 ∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立． 14分下证存在2(0,]t m ∈，使得()f t ≥1． 取emt -=，先证e 2m m -<，即证2e 0mm ->．③设()2e xw x x =-，则()2e 10xw x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立．∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立．再证()e mf -≥1．∵e e 3()1e 1m mf m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 16分考点：函数极值，不等式恒成立21．如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB AD =，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD ABAB BE=． 【答案】详见解析 【解析】试题分析：要证明CD ABAB BE =，主要利用相似三角形.难点在找出对应的两个三角形.由AB AD =，可证CDA ∆与ABE ∆相似.利用圆内接四边形性质得D ABE ∠=∠，再由等弦对等角得EAB ACB ∠=∠，ACD ACB ∠=∠，从而ACD EAB ∠=∠.试题解析：证明：连结AC ．EA 是圆O 的切线，∴EAB ACB ∠=∠． 2分AB AD =，∴ACD ACB ∠=∠． ∴ACD EAB ∠=∠ 4分圆O 是四边形ABCD 的外接圆，∴D ABE ∠=∠． 6分 ∴CDA ∆∽ABE ∆． 8分 ∴CD DAAB BE =，AB AD =，∴CD ABAB BE =． 10分考点：圆内接四边形性质22．已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，计算6M β． 【答案】29132919⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：利用矩阵特征值λ及其对应特征向量α性质：n nM αλα=进行化简.先根据矩阵M 的特征多项式求出其特征值123,1λλ==-，进而求出对应的特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α.再将17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β分解成特征向量，即1243=-βαα，最后利用性质求结果，即6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α试题解析：解：矩阵M 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----．令12()031f λλλ===-，解得，，对应的一个特征向量分别为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，211⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α． 5分 令12m n =+βαα，得4,3m n ==-．6666661212112913(43)4()3()433(1)112919⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=⨯--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦M βM ααM αM α． 10分考点：：矩阵特征值、特征向量及其应用23．在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为22cos ,()2sin x y a a a =+⎧⎨=⎩为参数，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．【答案】（1）22(2)4x y -+=．（2）4cos ρθ=．【解析】试题分析：（1）根据22sin cos 1αα+=消去参数α得圆的直角坐标方程：22(2)4x y -+=.（2）利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，可得圆的极坐标方程为4cos ρθ=．试题解析：解：（1）圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． 5分 （2）把cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上述方程，得圆的极坐标方程为4cos ρθ=． 10分考点：参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间互化24．已知函数2()122f x x x a a =++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围． 【答案】(1,3)- 【解析】 试题分析：因为12|(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，所以()f x 的最小值为232a a --.因为函数()f x 的图象恒在x 轴上方，所以min ()0.f x ≥因此有223a a -<，解得(1,3)a ∈-．试题解析：解：()f x 的最小值为232a a --， 5分由题设，得223a a -<，解得(1,3)a ∈-． 10分考点：绝对值不等式的应用25．甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．（1）求甲同学至少有4次投中的概率；（2）求乙同学投篮次数x 的分布列和数学期望． 【答案】（1）112，（2）12181E =x，.【解析】 试题分析：（1）求概率问题关键在于明确题意，即事件是什么. 甲同学至少有4次投中，指甲同学在5次投篮中“恰投中4次”及“恰投中5次”这两个互斥事件.其概率为441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243．（2）求概率分布，首先正确确定随机变量取值情况，本题1,2,3,4,5=x ，其次要正确确定随机变量对应各个概率，本题中5=x 的概率，直接求时要注意，第5次乙同学不论是否投中都停止，即第5次不考虑乙同学是否投中.也可间接求,利用各概率和为1，即(5)1(1)(2)(3)(4)P PP P P ==-=-=-=-=x x x x x ，这也是一种验证方法.试题解析：解：（1）设甲同学在5次投篮中，有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则(4)(5)P P x P x ==+= 2分=441550552222()(1)()(1)3333C C -+-=112243 4分 （2）由题意1,2,3,4,5=x ．2(1)3P ==x ，122(2)339P ==⨯=x ，1122(3)33327P ==⨯⨯=x ，3122(4)3381P x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 411(5)381P x ⎛⎫===⎪⎝⎭． x 的分布表为8分x 的数学期望22221121123453927818181E =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 10分 考点：概率分布，数学期望值26．设01212(1)m m n n n n n m S C C C C ---=-+-+-，*,m n ∈N 且m n <，其中当n 为偶数时，2nm =；当n 为奇数时，12n m -=． （1）证明：当*n ∈N ，2n ≥时，11n n n S S S +-=-；（2）记01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，求S 的值． 【答案】（1）详见解析，（2）12014S =-. 【解析】试题分析：（1）利用组合数性质111r r r n n n C C C +++=+进行化简.根据奇偶性，对n 进行分类讨论，这不增加难度，仅是便于表示.00112211112()()()n n n n n n n n S S C C C C C C ++----=---+-=01120n n C C ---+-,规律清晰，易于归纳（2）利用组合数性质11k k n n kC nC --=进行化简.123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+-0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C =-+++-++-+010213210071006201420132012201220112011201010071006()()()()C C C C C C C C C =-+++-++-+=20142012S S -．再根据11n n n S S S +-=-得周期6T =，从而20142012421S S S S -=-=-，12014S =-．试题解析：解：（1）当n 为奇数时，1n +为偶数，1n -为偶数， ∵1101221112(1)n n n n nn S CC C+++++=-++-，110122112(1)n n n n n n S C C C---+=-++-，11012211212(1)n n n n n n S CCC------=-++-，∴1111110011222221111111222()()(1)()(1)n n n n n n n n n n n n n n S S C C C C CCC-+-++-++-++++-=---++--+-=11012212112((1))n n n n n n CCCS --------++-=-．∴当n 为奇数时，11n n n S S S +-=-成立 5分同理可证，当n 为偶数时， 11n n n S S S +-=-也成立． 6分（2）由01231007201420132012201110071111120142013201220111007S C C C C C =-+-+-，得123100720142013201220111007201420142014201420142013201220111007S C C C C C =-+-+- =0112233100710072014201320132012201220112011100710071231007()()()()2013201220111007C C C C C C C C C -+++-++-+=0121007012100620142013201210072012201120101006()()C C C C C C C C -+----+-+=20142012S S -． 9分又由11n n n S S S +-=-，得6n n S S +=， 所以20142012421S S S S -=-=-，12014S =-． 10分考点：组合数性质。

高三数学2013.09正 题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B = ___▲___. 2．设x ∈R ，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ___▲___． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___. 4．若2x >，则12x x +-的最小值为 ▲ ． 5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___．11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，T ←1 i ←3 While T <10 T ←T +i i ←i +2 End WhileEFABCDPFED 1C 1B 1BCDA 1A113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= ___▲___.12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ． 13．已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2AB =，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11,321,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数,为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．F E DCBA l 2l 1公路公路19．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ，B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)AD kb k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ． （Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程； （Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）图（2）20．（本小题满分16分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2xf x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．FEy xO P DCB A FEyxO P D CBAOPB AC2014届高三暑假自主学习测试试卷数学 2013.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在．．相应的答题区域．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，90APB ∠=︒， PC 平分APB ∠，交⊙O 于点C ．求证：ABC ∆为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足a ≠b ，求证：4422a b ab a b +>+（）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设11(,0)A x ，22(,0)A x 是x 轴上的两点1212(0,0)x x x x +≠≠，过点12,A A 分别作x 轴的垂线，与曲线C 分别交于点12,A A ''，直线12A A ''与x 轴交于点33(,0)A x ，这样就称12,x x 确定了3x ．同样，可由23,x x 确定了4x ．现已知126,2x x ==，求4x 的值．23．（本小题满分10分）设a ，b 为实数，我们称（a ，b ）为有序实数对．类似地，设A ，B ，C 为集合，我们称（A ，B ，C ）为有序三元组．如果集合A ，B ，C 满足||||||1A B B C C A === ，且A B C =∅ ，则我们称有序三元组（A ，B ，C ）为最小相交（||S 表示集合S 中的元素的个数）． （Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N 为最小相交的有序三元组的个数，求N 的值．2014届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 2013.09正 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(0,1] 2．23 3．5 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,12)-+ 11．3212．2 13．2- 14．54 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分 故1cos 2C =或cos 1C =-（舍）， 又0C π<<，所以3C π=． ………………… 7分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⨯=． ① ………………… 9分由余弦定理2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，及6AB =得，12AC BC +=． ② …………………12分由①②解得6,6AC BC ==． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点，所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分 又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且12AE CD =． ………………… 3分 所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． ………………… 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ………………… 7分 （Ⅱ）设AC DE H = ，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为2AB =，1BC =，所以3AC =，1333AG AC ==．所以23AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆．所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……………… 10分 又DE PA ⊥，PA AC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵2(1)n n n S a a =+，①∴当2n ≥时，1112(1)n n n S a a ---=+，②以上两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-， ………………… 2分 即111()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵0n a ≠，∴当2n ≥时，有11n n a a --=． ………………… 5分 又当1n =时，由1112(1)S a a =+及10a ≠得11a =，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n *()n ∈N ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11,321,n n n n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数；为偶数． ………………… 9分 所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分2(14)(1)314n n n n -=++⨯+- 212222n n n +=++-． ………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分 （Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………… 10分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………………… 11分列表α(0,)6π6π 0(,)6πα ()f α'+ 0 - ()f α单调递增极大值单调递减F E D C B A l 2l1公路公路M所以当6πα=时有max ()3f α=-，此时有min 80603W =+．………………… 15分答：排管的最小费用为80603+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵PCD ∆的面积为12，∴122122a b ⨯⨯=，即6ab =．① ………………… 2分此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为20bx ay ab -+=．∴点O 到PD 的距离224abd b a =+＝65． ② …… 4分由①②解得3,2a b ==． …………… 6分∴所求椭圆方程为22194x y +=． ………… 7分（Ⅱ）如图，当k ＝2时，(,2),(,2)C a b D a b ---，设12(,0),(,0)E x F x ，由D ，E ，P 三点共线，及1(,2)DE x a b =+ ，00(,2)DP x a y b =++（说明：也可通过求直线方程做） 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+，∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+，即002()2b x a AE y b⋅+=+．…… 9分由C ，F ，P 三点共线，及2(,2)CF x a b =-， 00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-，∴0202()2b a x a x y b⋅--=+，即002()2b a x FB y b ⋅-=+．…… 11分 又2200221x y a b +=，∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++． ………………… 13分 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴2EF AE FB =⋅，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：()f x 为“局部奇函数”等价于关于x 的方程()()0f x f x +-=有解． （Ⅰ）当2()24()f x ax x a a =+-∈R 时，方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，所以()f x 为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当()2xf x m =+时，()()0f x f x +-=可化为2220x xm -++=，因为()f x 的定义域为[]1,1-，所以方程2220xxm -++=在[]1,1-上有解．………… 5分FEyxO P D CB A FEyxO P DCBA令12[,2]2x t =∈，则12m t t-=+． 设1()g t t t=+，则22211()1t g t t t -'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '<，故()g t 在(0,1)上为减函数，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '>，故()g t 在(1,)+∞上为增函数． ………………… 7分所以1[,2]2t ∈时，5()[2,]2g t ∈．所以52[2,]2m -∈，即5[,1]4m ∈--． ………………… 9分（Ⅲ）当12()423xx f x m m +=-+-时，()()0f x f x +-=可化为2442(22)260x x x x m m --+-++-=． 22[2,)x x t -=+∈+∞，则2442x x t -+=-，从而222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解即可保证()f x 为“局部奇函数”．……… 11分 令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得1313m -+≤≤； ……………… 13分 2° 当(2)0F >时，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于2244(28)0,2,(2)0,m m m F ⎧∆=--⎪>⎨⎪>⎩≥解得1322m +<≤． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为1322m -≤≤． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由90APB ∠= 得AB 为直径，所以90ACB ∠=︒． …………………… 2分由AC AC =，得APC ABC ∠=∠，同理BPC BAC ∠=∠． …………………… 4分 又因为PC 平分APB ∠，所以CPA CPB ∠=∠． …………………… 6分 所以BAC ABC ∠=∠，故BC AC =． …………………… 8分从而，ABC ∆为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 7分 所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． ………………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． ………………… 5分 曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分 ＝33()()a b a b --＝222()()a b a ab b -++ …………………… 4分 ＝2223()[()]24b a b a b -++． …………………… 6分 因为a ≠b ，所以a ，b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->， 所以2223()[()]024b a b a b -++>，即有4422a b ab a b +>+（）． …………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点1(0,)2M 的距离与到直线12y =-的距离相等， 根据抛物线定义知，曲线C 是以点1(0,)2M 为焦点，直线12y =-为准线的抛物线， 故其方程为22x y =． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，21111(,)2A x x '，22221(,)2A x x '，则12222121211()12()2A A x x k x x x x ''-==+-， 故12A A l ''：2221211()()22y x x x x x -=+-． ……………… 6分 令0y =，得12111x x x =+，即3121111162x x x =+=+． ……………… 8分 同理，42311111172626x x x =+=++=， ……………… 9分 于是467x =． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设{1,2}A =，{2,3}B =，{1,3}C =，则{2}A B = ，{3}B C = ，{1}C A = ，A B C =∅ ，且||||||1A B B C C A === ．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分（Ⅱ）令{1,2,3,4,5,6}S =，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的,,x y z S ∈，使得{}A B x = ，{}B C y = ，{}C A z = （如图），要确定,,x y z 共有654⨯⨯种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有34种确定方法． 所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =365447680⨯⨯⨯=．……………… 10分 C BA z yx。