2.5 等腰三角形的轴对称性(1)复习

课题：2.5等腰三角形的轴对称性(1)课型：新授 主备：丁虎平 备课组长：丁虎平 教研组长：班级 姓名 学号【教材分析】掌握等腰三角形的性质，能用等腰三角形的性质进行有关的计算和说理【学习目标】1. 掌握“等边对等角”的性质。

2. 能用等腰三角形的性质及判定进行有关的计算和说理。

【重点难点】重点：根据等腰三角形的轴对称性得出并掌握等腰三角形的等边对等角“三线合一”的性质；难点能够熟练的运用等腰三角形的相关性质解决问题.【温故知新】1.什么叫轴对称图形？轴对称图形的对称轴是直线、射线还是线段？2.线段是轴对称图形吗？其对称轴是什么？角呢？3. 等腰三角形是轴对称图形吗？【数学实验室】在一张薄纸上画一个等腰三角形，把纸片沿着顶角的平分线折叠，你发现了什么？D B C A 21D B C AD B CA DBC A归纳：等腰三角形的两个____相等（简称：等边对等角）；等腰三角形的____平分线、____上的中线和_____上的高重合（简称等腰三角形三线合一）【新知应用】例1．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，若AD =BD ，AB =AC =CD ，求：∠BAC 度数.【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°,求等腰三角形的另外两角的度数分别是多少度?例2．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC , DE ⊥AB , DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ，则下列五个结论：（1）BD =CD ；（2）DE =DF ;（3）AD ⊥BC ；（4）BE =CF ；（5）∠B =∠C .其中正确的个数有（ ）【变式】如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是__________________①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD ③AB ＋BD ＝AC ＋CD④AB －BD ＝AC －CD （把所有正确答案的序号都填写在横线上）实践与操作（尺规作图）（1）作任意等腰三角形；（2）已知底边和腰长，做等腰三角形；（3）已知底边和底边上的高，作等腰三角形。

第2章轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课程标准课标解读1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．1.理解等腰三角形是轴对称图形2.掌握等边对等角的性质3.掌握“三线合一”的性质知识点01 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C 是底角．【微点拨】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .1802A︒-∠目标导航知识精讲【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长10cm ，则它的周长是（ ） A ．20cm B ．25cmC ．20cm 或25cmD ．无法确定【答案】B 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ． 故选：B ．知识点02 等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【即学即练2】2．如图，ABC 面积为9，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，连结CP ，则BPC △的面积为（ ）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.5【答案】B 【分析】延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得△ABP△△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ，推出S△PBC=12S△ABC ． 【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△BP 平分△ABC ， △△ABP=△EBP ， △AP△BP ，△△APB=△EPB=90°， 在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP BP BPAPB EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABP△△EBP （ASA ）， △AP=PE ，△S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ， △S△PBC=12S△ABC=12×9=4.5， 故选：B ．知识点03 等腰三角形的判定1. 对应顶点，对应边，对应角定义如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【微点拨】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【即学即练3】3．如图，ABC 中，,BF CF 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作//DE BC 交AB于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：△DFB DBF ∠=∠；△ECF EFC ∠=∠；△ADE 的周长等于BFC △的周长；△1902BFC A ∠=︒+∠．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】C 【分析】△根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF DFB ∠=∠；△同理可得△的结论；△用特殊值法，当ABC ∆为等边三角形时，连接AF ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF AF CF ==，进而得BF CF AC +>，便可得出；ADE ∆的周长不等于BFC ∆的周长；△利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC ∠和BAC ∠之间的关系式． 【详解】 解：△BF 是ABC ∠的角平分线，ABF CBF ∴∠=∠，又//DE BC ，CBF DFB ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，故△正确；△同理ECF EFC ∠=∠，故△正确；△假设ABC ∆为等边三角形，则AB AB BC ==，如图，连接AF ，D BF D FB ∠=∠，ECF EFC ∠=∠，BD DF ∴=，EF EC =，ADE ∴∆的周长AD DF EF AE AD BD AE EC AB AC =+++=+++=+， F 是ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF 平分BAC ∠， ABC ∆为等边三角形，60BAC BCA ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30FAB FBA FAC FCA ∴∠=∠=∠=∠=︒， FA FB FC ∴==， FA FC AC +>， FB FC AC ∴+>，FB FC BC BC AC ∴++>+， FB FC BC AB AC ∴++>+，即BFC ∆的周长AD E >∆的周长，故△错误；△在ABC ∆中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（1）， 在BFC ∆中180CFB FBC FCB ∠+∠+∠=︒， 即1118022CFB ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（2），（2）2⨯-（1）得1902BFC BAC ∠=︒+∠，故△正确；故选C ．考法01 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．【典例1】如图所示，OB 平分,CBA OC ∠平分ACB ∠，且//BC MN ，设18,16,12AB BC AC ===，则AMN 的周长为（ ）A ．30B ．33C ．36D ．39【答案】A 【分析】能力拓展根据BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ，且MN△BC ，可得出MO=MB ，NO=NC ，所以三角形AMN 的周长是AB+AC ． 【详解】解：△BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ， △△MBO=△OBC ，△OCN=△OCB ， △MN△BC ，△△MOB=△OBC ，△NOC=△OCB ， △△MBO=△MOB ，△NOC=△NCO ， △MO=MB ，NO=NC ， △AB=18，AC=12，△△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30． 故选：A ．考法02 等腰三角形的判定判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边） 【典例2】如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），在AB 同侧分别作等边ACD △和等边,BCE AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下四个结论：△EAB BDC ∠=∠；△CGH 为等边三角形；△60FGH FHG ∠+∠=︒；△AC DH =．其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE△△DCB ，就可以得出△CAE ＝△CDB ，通过证明△ACG△△DCH 就可以得出CG ＝CH ，AG=DH ，可以得出△GCH 是等边三角形，再判断AC 与DH 的大小关系，求出△DFG=△GCA=60°，利用外角定理即可得到60FGH FHG ∠+∠=︒． 【详解】△△ACD 和△BCE 是等边三角形，△AD ＝AC ＝CD ，CE ＝CB ＝BE ，△ACD ＝△BCE ＝60°． △△ACB ＝180°， △△DCE ＝60°． △△DCE ＝△BCE ．△△ACD ＋△DCE ＝△BCE ＋△DCE ， △△ACE ＝△DCB ．在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE△△DCB （SAS ）， △CAE CDB ∠=∠即EAB BDC ∠=∠，△正确；在△ACG 和△DCH 中，60ACG DCH AC DC CAG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ACG△△DCH （ASA ）， △GC=HC,AG=DH 又△GCH=60°，△CGH 为等边三角形，△正确； 又AC≠AG ，△DH≠AC ，△错误；△△GAC+△ACG+△AGC=180°，△GDF+△DFG+△DGF=180° 又△AGC=△DGF ，△GAC=△GDF △△DFG=△ACG=60°又△DFG=FGH FHG ∠+∠， △60FGH FHG ∠+∠=︒，△正确； 故选A ．题组A 基础过关练1．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为6cm ，则腰长为（ ）分层提分A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对【答案】B【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】解：△当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；△当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为10cm．故答案为：B．2．等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），所以该三角形的周长是20 cm，故选：B．3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（）A．是等腰三角形B．三个角都相等C．三条边都相等D．只有一条对称轴【答案】D【分析】利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．【详解】解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；D 、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D ．4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ，则斜边的长为（ ） A ．8 cm B ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm【答案】A 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长． 【详解】解：△直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ， △斜边长为8cm ． 故选：A ．5．已知ABC ∆中，3,60,AC AB C ==∠=︒则ABC ∆的周长等于（ ）A B ．3 C ．6 D ．9【答案】D 【分析】判断ABC 为等边三角形即可求出其周长． 【详解】根据题意可知ABC 为等边三角形， △ABC 的三条边相等且等于3， △ABC 的周长为33=9⨯． 故选：D ．6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm 和3cm ．那么它的第三边的长是（ ） A ．3cm B ．4cmC ．7cmD ．3cm 或7cm【答案】C 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：若7cm 为等腰三角形的腰长， △3＋7＞7△3cm 、7cm 、7cm 能构成三角形，故符合题意； 若3cm 为等腰三角形的腰长， △3＋3＜7△3cm 、3cm 、7cm 不能构成三角形，故不符合题意； 综上：它的第三边的长是7cm 故选C ．7．若等腰三角形的一个角为100︒，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．50︒ B ．40︒C ．10︒D ．80︒【答案】A 【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出=40B ACB ∠=∠︒，由CD BD ⊥，可得90B BCD ∠+∠=︒，则BCD ∠可得．【详解】 如图：△等腰三角形的一个角为100°，△等腰三角形的顶角为100°，即100BAC ∠=︒， △△ABC 是等腰三角形， △AB=AC ，△=40B ACB ∠=∠︒， △CD BD ⊥, △90D ∠=︒， △90B BCD ∠+∠=︒,△90904050BCD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故选：A ．题组B 能力提升练1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．同位角相等，两直线平行 B ．等边三角形是锐角三角形 C ．若两个角是直角，则它们相等 D ．全等三角形的对应角相等【答案】A 【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】A 、逆命题：两直线平行，同位角相等， 此逆命题是真命题，此项符合题意；B 、逆命题：锐角三角形是等边三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意；C 、逆命题：若两个角相等，则它们是直角， 此逆命题是假命题，此项不符题意；D 、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意； 故选：A ．2．已知等边ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为（ ） A ．6 B ．9C ．3或6D ．3或9【答案】D 【分析】△E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，△当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，根据等边三角形的性质求出BE 长和60ABC ∠=︒，解直角三角形求出BF ，求出CF ，即可求出答案． 【详解】解：点E 在直线AB 上，6AE =，点E 位置有两种情况： △E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，633BE ∴=-=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1322BF BE ∴==， 39322CF ∴=+=， ED EC =，CF DF ∴=，9292CD ∴=⨯=；△如图2，当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，639BE ∴=+=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1922BF AE ∴==， 93322CF ∴=-=， ED EC =，CF DF ∴=，3232CD ∴=⨯=；C=或3，即9故选：D．3．下列命题是假命题的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；故选：D．4．下列命题中，假命题是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．5．等腰ABC中，过点B的直线BD分ABC为两个等腰三角形，则顶角为_____度．【答案】36°或1807或90°或108°【分析】根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，△△A=△ABD，△BDC=△C，则△C=△BDC=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+2△A+2△A=180°，△△A=36°；若AD=BD，BC=CD，△△A=△ABD，△CBD=△CDB，则△CDB=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+△A+2△A+3△A=180°，△△A=1807︒；若AD=BD ，AD=CD ， △△B=△C=△BAD=△CAD ， △△BAC+△ABC+△C=180°， △△BAD=△CAD=45°， △△BAC=90°；若AD=BD ，AC=CD ，△△B=△BAD ，△CAD=△CDA ，则△CDA=2△BAD ，△C=180°-2△CAD=180°-4△BAD ， △△B=△C ，△△BAD=180°-4△BAD ， △△BAD=36°，△△BAC=3△BAD=108°；故答案为：36°或1807︒或90°或108°． 6．已知在ABC 中，16C ∠=︒且为最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则B∠=_______︒【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，由题意可得：△DBC=△BDC=（180°-△C）÷2=82°，△△ABD=△BAD=12△BDC=41°，△△ABC=△ABD+△DBC=123°，△△ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD；如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：△DBC=△C=16°，△△ADB=2△C=32°，△△A=△ADB=32°，△ABD=180°-△A-△ADB=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=132°，符合最小的内角为△C=16°，如图，若BD=CD，AB=AD，则△C=△DBC=16°，△△ADB=△ABD=2△C=32°，△△A=180°-2×32°=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=48°；如图，若BD=CD，AD=BD，△△ADB=2△C=2△DBC=32°，△△A=△ABD=（180°-32°）÷2=74°，△△ABC=△ABD+△DBC=90°；若BD=BC，则△C=△CDB=16°，△△ADB=180°-△CDB=164°，则只能满足AD=BD，△△A=12△CDB=8°，即△A＜△C，不满足；综上：△ABC 的度数为123°或132°或90°或48°． 故答案为：123°或132°或90°或48°．7．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE ∠=︒，则线段AE 的最大值为___________．【答案】10 【分析】作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ，如图所示：△C 是BD 边的中点， △CB=CD=12BD=2， △点B 、点F 关于AC 对称，△CF=CB=2，AF=AB=3，△BCA=△FCA ． 同理CD=CG=2，ED=EG=5，△DCE=△GCE ， △CG=CF=2， △△ACE=120°，△△BCA+△DCE=180°-120°=60°． △△FCA+△GCE=60°． △△FCG=60°．△△FGC 是等边三角形． △FG=2，△AE≤AF+FG+EG=3+2+5=10，△当A 、F 、G 、E 共线时，AE 的值最大2，最大值为10， 故答案为：10．题组C 培优拔尖练1．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点P 是CA 延长线上一点，点O 在AD 延长线上，OP OB =，下面的结论：△30APO OBD ∠-∠=︒；△BPO △是正三角形；△AB AP AO -=；△2BOC AOBP S S =四边形△，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由题意易得OB=OC ，则有△OBD=△OCD ，△APO=△OCP ，进而根据角的关系可证△，然后可得△PBO=△PBA+△APO ，由三角形内角和可得△OPB=60°，可判断△，在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ，由此可得AP=PE=AE ，△APE=60°，进而可证△BPE△△OPA ，然后根据全等三角形的性质可判断△，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断△． 【详解】解：△AB AC =，AD BC ⊥，120BAC ∠=︒， △BD=DC ，△ACB=△ABC=30°， △OB=OC ， △△OBD=△OCD ， △OB=OP ， △OC=OP ， △△APO=△OCP ，△△OCP -△OCB=△ACB=30°，△30APO OBD ∠-∠=︒，故△正确； △OP=OB ， △△OPB=△PBO ，△△PBO=△PBA+△ABD+△OBC=△PBA+30°+△APO -30°， △△PBO=△PBA+△APO ，△在△ABC 中，△BAC+△ABC+△ACB=180°，即△OPB+△APO+△PBA+△ABC+△ACB=180°， △2△OPB+60°=180°， △△OPB=60°，△△BPO 是正三角形，故△正确；在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，如图所示：△△PAE=60°，△△PAE 是等边三角形， △AP=PE=AE ，△APE=60°，△△BPE=△APB -△APE ，△OPA=△APB -△BPO ， △△BPE=△OPA ， △OP=BP ，△△BPE△△OPA （SAS ）， △BE=AO ， △AB -BE=AE ， △AB -OA=AP ，△AB AP AO -=，故△正确；延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ， △△ABF 是等边三角形， △△ABF=60°，△△ABO+△OBF=60°，△ABO+△PBA=60°， △△PBA=△OBF ，△PB=OB ，AB=BF ， △△APB△△FOB （SAS ）， △AOBP S S =四边形△ABF ，如要证2BOC AOBP S S =四边形△，需证12OD AD =，由题意无法证明12OD AD =，故△错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接EN ，下列结论：△AFE ∆为等腰三角形；△DF DN =；△AN BF =；△EN NC ⊥．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】△由等腰直角三角形的性质得△BAD=△CAD=△C=45°，再根据三角形外角性质可得到△AEF=△AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对△进行判断；求出BD=AD ，△DBF=△DAN ，△BDF=△ADN ，证△DFB△△DAN ，即可判断△△；连接EN ，只要证明△ABE△△NBE ，即可推出△ENB=△EAB=90°，由此可知判断△． 【详解】解：△等腰Rt△ABC 中，△BAC=90°，AD△BC ， △△BAD=△CAD=△C=45°，BD=AD ， △BE 平分△ABC ， △△ABE=△CBE=12△ABC=22.5°， △△AEF=△CBE+△C=22.5°+45°=67.5°， △AFE=△FBA+△BAF=22.5°+45°=67.5°， △△AEF=△AFE ，△AF=AE ，即△AEF 为等腰三角形，所以△正确；△M 为EF 的中点， △AM△BE ，△△AMF=△AME=90°，△△DAN=90°−67.5°=22.5°=△MBN ， 在△FBD 和△NAD 中FBD NAD BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△FBD△△NAD （ASA ），△DF=DN ，AN=BF ，所以△△正确； △AM△EF ，△△BMA=△BMN=90°， △BM=BM ，△MBA=△MBN ， △△MBA△△MBN ， △AM=MN ，△BE 垂直平分线段AN ， △AB=BN ，EA=EN ， △BE=BE ， △△ABE△△NBE ， △△ENB=△EAB=90°， △EN△NC ，故△正确， 故选：D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分△ABC ，过点C 作CF △BF 于F 点，过A 作AD △BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：△BE ＝2CF ；△AD ＝DF ；△AD ＋DE =12BE ；△AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（ ）A ．只有△△△B ．只有△△C ．只有△△△D ．只有△△【答案】A 【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF 并交BA 延长线于H△证明△ABE△△ACH ，得到BE=CH ，又可证CH=2CF ，故可得BE ＝2CF△若要得到AD ＝DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明△DAF 为45°即可 △过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，EM MF =12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+===△过E 作EN BC ⊥于点N ，证明2AE AE EN AE EC AC =+<+=，得到22AB BC AE BC AE +>+>，即可证明△错误. 【详解】△延长BA 、CF ，交于点H ，△,BF CH CBF HBF ⊥∠=∠ △BCH H ∠=∠ △BC BH = △2CH CF =△90ABE AEB ∠+∠=︒ 90FCE FEC ∠+∠=︒ AEB FEC ∠=∠ △ABF ACF ∠=∠△90BAF CAH ∠=∠=︒ AB AC = △BAE CAH ≌ △,2BE CH BE CF ==△由△知，F 为CH 中点，又CAH 为直角三角形 故12AF CH CF HF === △H FAH ∠=∠△,45BC BH HBC =∠=︒ △67.5H FAH ∠=∠=︒ △90HAC ∠=︒ △22.5FAC ∠=︒ 又BF 为HBC ∠的平分线 △22.5HBF ∠=︒ △67.5BAD ∠=︒△9067.522.5CAD ∠=︒-︒=︒45FAD FAC DAC ∠=∠+∠=︒在RT ADF 中，45DAF DFA ∠=∠=︒ △AD DF =△过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，由△知，CA 为△DAF 的平分线△,DE EM AD AM == △EMF 为等腰直角三角形 △EM MF =△12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+=== △过E 作EN BC ⊥于点N ，可知AE EN =在RT ENC 中，EN EC <△2AE AE EN AE EC AC =+<+= 即2AE AC <,而AC AB = △2AE AB <故22AB BC AE BC AE +>+>△2AB BC AE +≠,故△错误，本题答案选A.4．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ， 当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出△AFB 的度数即可． 【详解】解：如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，△AC=BC ，△CH=AC，△△HCB=90°，AD△BC，△AD//CH，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC，△FH=CE，△FH+BF=CE+BF最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则△ABC与△C 的关系为（）A．△ABC=2△C B．△ABC=52△C C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C【答案】D【分析】延长BM到E,证明△ABF△△AEM,利用线段长度推出△BCE是等腰三角形,再根据角度转换求出即可.【详解】证明:延长BM，交AC于E，△AD平分△BAC，BM△AD，△△BAM=△EAM ，△AMB=△AME 又△AM=AM ， △△ABM△△AEM ，△BM=ME ，AE=AB ，△AEB=△ABE, △BE=BM+ME=4，AE=AB=5, △CE=AC -AE=9-5=4, △CE=BE ，△△BCE 是等腰三角形， △△EBC=△C ，又△△ABE=△AEB=△C+△EBC. △△ABE=2△C ，△△ABC=△ABE+△EBC=3△C. 故选D.6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个． △EF BE CF =+；△90BGC A ∠=︒+∠；△点G 到ABC 各边的距离相等； △设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；△AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】△根据△ABC 和△ACB 的平分线相交于点G 可得出△EBG=△CBG ，△BCG=△FCG ，再由EF△BC 可知△CBG=△EGB ，△BCG=△CGF ，故可得出BE=EG ，GF=CF ，由此可得出结论；△先根据角平分线的性质得出△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；△根据三角形角平分线的性质即可得出结论；△连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；△根据BE=EG ，GF=CF ，进行等量代换可得结论．【详解】解：△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△EBG=△CBG，△BCG=△FCG．△EF△BC，△△CBG=△EGB，△BCG=△CGF，△△EBG=△EGB，△FCG=△CGF，△BE=EG，GF=CF，△EF=EG+GF=BE+CF，故△正确；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A），△△BGC=180°-（△GBC+△GCB）=180°-12（180°-△A）=90°+12△A，故△错误；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△点G也在△BAC的平分线上，△点G到△ABC各边的距离相等，故△正确；△连接AG，作GM△AB于M，如图所示：△点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，△GD=GM=m，△S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故△错误．△△BE=EG，GF=CF，△AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故△正确，故选：C．7．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，△EF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MC，△MC+DM＝MA+DM≥AD，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．。

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。

2.5 等腰三角形的轴对称性（1）（教案）连云港外国语学校 张兆驹教学目标：1、通过“折纸、画图、观察、归纳”的活动，知道等腰三角形的轴对称性和相关性质；2、会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以”等方式进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力.教学重点：等腰三角形相关性质的应用教学难点：等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用 教学过程：一、情境创设同学们，我们在七年级已研究了一般三角形的性质，今天我们一起来探究特殊的三角形---等腰三角形． 那么，你对等腰三角形有哪些了解？（师生共同回忆等腰三角形及其相关的名称，并板书） 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角． 腰和底边的夹角叫做底角．生活中有哪些物体让你联想到等腰三角形？ （学生举例）设计意图：首先让学生明确：本学段的几何图形都是按一般到特殊的顺序研究的．通过学生描述等腰三角形在生活中的应用，让学生感受到数学就在我们身边，以及研究等腰三角形的必要性． 二、操作探究 剪纸游戏：你能利用手中的这个矩形纸片剪出一个等腰三角形吗? 你是如何想到的呢?学情分析：大部分学生会有自己的想法，根据轴对称图形的性质，利用对折纸片，再“剪一刀”就是就得到了两条“腰”； 可能还有的同学会利用正方形的折法，获得特殊的等腰直角三角形； 可能还有同学先画图，再依线条剪得．DC BA D C (B )(A )D C (B )(A )设计意图：设计了问题“你是如何想到的？”，为的是剖析学生的思维过程：“折叠”就是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就是就得到了两条“腰”,由“重合”保证了“等腰”．这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁．从实际操作中得到证明的方法，也为发现“三线合一”做了铺垫．在这个过程中，注重落实三维目标．让学生在获取新知的过程中更好的认识自我,建立自信.要不失时机的对学生给予鼓励和表扬，使活动更加深入,课堂充满愉悦和温馨． 折纸游戏：利用手中的这个等腰三角形，把它沿顶角的平分线对折，你有什么发现呢？（同学们动手操作）通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出： 等腰三角形的性质：性质一：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线．．．．．是它的对称轴． 你能用图形和符号语言（简洁的符号表达）来描述上述性质吗？ （教师可以和学生一起分析性质的条件和结论）如右图，在△ABC 中，如果AB =AC ，AD 为顶角的平分线，则AD 所在的直线是△ABC 的对称轴． 根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形有什么其它性质吗？（小组探究并获得相关结论） 性质二：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质三：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 你也能用图形和符号语言来描述上述两个性质吗？ （小组讨论，并填写在学案上，表达时可以和同学们一起描述过程，加深印象）1.在△ABC 中，如果AB =AC ，那么∠B =C .2.在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上. 如果∠BAD =∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD =CD . 如果BD =CD ，那么∠BAD =∠CAD ，AD ⊥BC . 如果AD ⊥BC ，那么∠BAD =∠CAD ，BD =CD . 及时巩固：完成课本练习1．C B AC (B )ADCBADCBADCBA学情分析：这个环节是本节课的重点，也是教学难点．尽管在教学过程中，因为学生的相异构想，数学猜想的初始叙述不准确，甚至不正确，但不应立即去纠正他们，而是让同学们不断地质疑﹑辨析、研讨和归纳，逐渐完善结论．让他们真正经历数学知识的形成过程，真正的体现以人为本的教学理念，努力创设和谐的教育教学的生态环境．通过设置恰当的动手实践活动，引导学生经历观察、动手实践、猜想、验证等数学探究活动，这种探究的学习过程，恰恰是研究几何图形性质的一般规律和方法．设计意图：能让学生观察的，尽量让学生观察；能让学生思考的，尽量让学生思考；能让学生表达的，尽量让学生表达；能让学生作结论的，尽量让学生作结论．把学习的过程真正还给学生，不怕学生说不好，不怕学生出问题，其实学生说不好的地方、学生出问题的地方都正是我们应该教的地方，是教学的切入点、着眼点、增长点． 三、例题示范例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，且AD =BD . （1）找出图中相等的角并说明理由； （2）若∠ADC =70O，求∠BAC 的度数．例2.如图，D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB =AC ，AD =AE ， 求证：BD =CE .例3：如右图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且AD =BD =BC ， 求∠A 的度数．（及时巩固：完成课本剩余练习）设计意图：带有说理的求解题，主要关注和检测学生在叙述过程理由是否合理、充分，求解过程是否简洁． 例1补充了第二小问，使问题具体化，是让学生对第一小问说理的再认识．例2中证明方法多样,可以利用全等三角形证明线段相等；也可以作辅助线，利用刚刚学过的性质2，通过此题，教会学生选择简捷方法,并能有效利用所学知识综合解题，本题对于学生知识的灵活应用、能力的提高都有一定的作用充例3，主要是拓展学生的视野，了解黄金三角形的特殊性，同时进一步巩固等腰三角形的性质．DCBADCBAEDCBAAOHGFEB四、课堂小结畅谈收获：总结活动情况，重在肯定与鼓励．引导学生回忆从本课学习中所得到的新知识，运用的数学思想方法，新旧知识的联系等，提高学生自主建构知识网络、分析解决问题的能力．设计意图：帮助学生梳理知识，回顾探究过程中所用到的从特殊到一般的数学方法，启发学生更深层次的思考，为学生的下一步学习做好铺垫．反思过程不仅是学生学习过程的继续，更重要的是一种提高和发展自己的过程． 五、课后作业1．基础性作业：习题对应练习 2．拓展性作业：连云港三年大变样,要在拥堵路段铺设高架桥, 如图∠AOB 是一钢架，∠AOB ＝10°,为使钢架更坚固，需要内部添加一些钢管EF 、FG 、GH …， 添加的钢管的长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管多少根？ 设计意图：通过基础性作业，让所有的学生通过写作业，都有成功的收获；利用拓展性作业，激发学生进一步学习新知识的兴趣． 六、教学后记本节课的教学内容是等腰三角形的第一课时，通过剪纸、折纸开始，让学生重新认识了等腰三角形，观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；通过动手操作、观察、思考，积累数学活动经验，感受数学思考过程的条理性，发展抽象思维能力.通过学生之间的交流活动，培养学生主动与他人合作交流的意识.设计力求体现使学生“学会学习，为终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，让学生在活动中获得知识、形成技能和能力；在教法上采用启发探索式教学模式，整堂课以问题为思维主线，引导学生通过观察，自主探索，使学生观察、主动思考，并充分利用计算机辅助教学，以加强感性认识并培养学生用运动联系的观点观察现象、解决问题.整个教学环节层层推进、步步深入，融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体，注重调动学生思维的积极性，把知识的形成过程转化为学生亲自观察、实验、发现、探索、运用的过程．使学生在获得知识的同时提高兴趣、增强信心、提高能力.最终实现“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学以及不同的人在数学上都能得到不同的发展”，让学生真正感受到:课伊始，趣已生；课继续，情更浓；课已尽，意犹存．让数学课堂真正焕发出无穷的活力！。

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2一. 教材分析《等腰三角形的轴对称性》是苏科版数学八年级上册第二章第五节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握等腰三角形的轴对称性，并会运用轴对称性解决一些实际问题。

教材通过引入等腰三角形的定义和性质，引导学生探究等腰三角形的轴对称性，从而让学生更深入地理解等腰三角形的性质。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。

但等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它的性质和普通三角形有所不同，所以学生需要通过学习来掌握等腰三角形的性质。

另外，学生已经学习过轴对称的概念，但对轴对称性的理解和应用还不够深入，这也是本节课需要重点解决的问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的轴对称性，并能运用轴对称性解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。

2.教学难点：如何引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的轴对称性。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的性质，引出等腰三角形的定义和性质。

2.探究：让学生分组讨论，每组尝试找出等腰三角形的轴对称性，并说明理由。

3.展示：每组选出一名代表，向全班展示他们的探究成果。

4.讲解：教师对学生的探究结果进行点评，并给出正确的证明过程。

5.练习：让学生运用轴对称性解决一些实际问题，巩固所学知识。

6.小结：对本节课的内容进行总结，强调等腰三角形的轴对称性。

七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的轴对称性1.定义：等腰三角形2.性质：轴对称性3.证明：利用几何画板，展示等腰三角形的轴对称性八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

2.5　等腰三角形的轴对称性（1）分层练习考查题型一等腰三角形的性质1“等边对等角”1．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（）A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSSC．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL【答案】C【解析】解：A、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SAS），即添加方法和对应全等判定依据正确；B、∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），即添加方法和对应全等判定依据正确；C、作辅助线时，不能直接说BC的垂直平分线经过了点A，即添加方法和对应全等判定依据错误；D、∵AD是BC边上的高线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，∴在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（HL），即添加方法和对应全等判定依据正确；故选：C．2．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）在解答“若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是（）A．函数思想B．整体思想C．公理化思想D．分类讨论思想【答案】D【解析】解：70°的内角可以是顶角也可以是底角两种情况，分别求出顶角的度数为70°或40°，所以涉及的数学思想是分类思想，故选：D．3. (2023·福建省三明市·期末考试)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。