高三数学总复习知能达标训练第十章第二节

新教材人教A版高中数学必修第二册第十章概率知识点汇总及解题规律方法提炼第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A 发生．(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．■名师点拨必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．4．事件的关系或运算的含义及符号表示(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．典型应用1事件类型的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．判断事件类型的思路要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．典型应用2样本点与样本空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．典型应用3事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．典型应用4互斥事件与对立事件的判定某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．10.1.3古典概型1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．典型应用1样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：事件，故共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第十章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”的关系为（）A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对2.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是第一名的概率是（）A.15B.13C.14D.163.甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（）A.13B.427C.49D.1274.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（）A.110B.18C.16D.155.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A.13B.12C.23D.346.某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A.15B.16C.56D.35367.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.15B.25C.825D.9258.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前都放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A.14B.716C.12D.9169.在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（）A .34B .58C .12D .1410.设一元二次方程20x Bx C ++=，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为（ ）A .112B .736C .1336D .1936二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）11.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为451：：，其中青年教师有120人.现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________.12.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为12，13，14且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是________.13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.14.如图10-4-6所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________. 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率.16.[12分]某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X 1 2 3 4 5 fa0.20.45bc（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5的2件日用品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y 这5件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.[13分]某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，3名女同学1B ，2B ，3B .现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率.18.[13分]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. （注：若三个数a ，b ，c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）第十章综合测试答案解析一、 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】B【解析】从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为42105=. 8.【答案】B【解析】四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币，抛出的硬币正面记为0，反面记为1，则总的样本点为（0，0，0，0），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，0，1，1），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，1，1，1），（1，0，0，0），（1，0，0，1），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（1，1，0，0），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1），共有16种情况.若四个人同时坐着，有1种情况；若三个人坐着，一个人站着，有4种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有2种情况，所以没有相邻的两个人站起来的情况共有1427++=（种），故所求概率716P =. 9.【答案】C【解析】分析题意可知，共有（0，1，2），（0，2，5），（1，2，5），（0，1，5），4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率12P =. 10.【答案】D【解析】因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况。

高三数学总复习知能达标训练第八章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 C2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A3．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，依题意有a 22＋12＝|a |， 得圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1. 答案 D4．(2012·台州模拟)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 解析 设弦心距为d ，则d ＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22≤1， 即|2k －3＋3|k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33. 答案 B6．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C 1化为标准式(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0⇒y ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，C 2：y ＝0此时C 2与C 1仅有两交点；当m ≠0时，易知要满足题意需(x －1)2＋y 2＝1与y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时m ＝±33，∴直线处于两切线之间，即－33＜m ＜0或0＜m ＜33.综上m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·中山模拟)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4， 即d 2＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案 08．过点(－1，－2)的直线被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 当斜率不存在时，易知l 与圆相离，∴斜率存在，设圆的斜率为k ，∴l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即：kx －y ＋k －2＝0，对于圆的方程，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)，半径为1，∴圆心到l 的距离：d ＝|k －1＋k －2|k 2＋1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒(7k －17)(k －1)＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案 k ＝1或k ＝1779．(2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________．(2)圆C 上任一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆心(0,0)，∴d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2)如图设直线l ′∥l ，且l ′与圆交于P 、Q 两点，过圆心作AB ⊥l 交l 于B 交l ′于C ，∵|BC |＝2，|OC |＝5－2＝3，又|OP |＝12＝23，∴∠OPQ ＝60°，平移A 到l 距离小于2，则A 在PAQ 上，∴P ＝60°360°＝16.答案 (1)5 (2)16三、解答题(38分)10．(12分)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明：直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证明 证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵M 、N 在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴过M 、N 的切线方程分别是：x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2，又P 是两切线公共点，即有：x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2，上两式表明点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在二元一次方程x 0x ＋y 0y ＝r 2表示的直线上．所以直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证法二 以OP 为直径的圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12y 02＝14(x 20＋y 20)， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，又圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，两式相减得x 0x ＋y 0y ＝r 2，这便是过切点M 、N 的直线方程．11．(12分)一直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．解析 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， ∴|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3， 解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．(14分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)对于y ＝x 2－6x ＋1，令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，∴曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴交于(0,1)与x 轴交于(3＋22，0)及(3－22，0)，设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将以上三点代入．解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1.∴x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0即(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0(x －3)2＋(y －1)2＝9消y 得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知Δ＝(2a －8)2－2×4(a 2－2a ＋1)＝56－16a －4a 2＞0.∴－2－32＜a ＜－2＋32(*)∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0⇒a ＝－1符合(*)，∴a ＝－1.。

10．1.2 事件的关系和运算[目标] 1.了解事件的关系与运算；2.理解互斥事件、对立事件的概念．[重点] 事件的关系、运算.[难点] 事件关系的判定．要点整合夯基础知识点事件的关系与运算[填一填][答一答]1．下列说法正确吗？(1)在掷骰子的试验中，{出现1点}⊆{出现的点数为奇数}；(2)不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C是任一事件)；(3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.提示：(1)(2)(3)的说法都正确，研究事件的关系可以类比集合间的关系．2．并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？提示：并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．例如，并事件包含三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A，B同时发生，即事件A，B中至少有一个发生．3．事件A与事件B互斥的含义是什么？提示：事件A与事件B互斥的含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．4．互斥事件与对立事件的关系是怎样的？提示：互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．典例讲练破题型类型一事件关系的判断[例1]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各1张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[分析]要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．[解](1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．(2)利用集合观点设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.[变式训练1]从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(D)A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．类型二事件的运算[例2]掷一枚骰子，下列事件：A＝“出现奇数点”，B＝“出现偶数点”，C＝“点数小于3”，D＝“点数大于2”，E＝“点数是3倍数”．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记H为事件H的对立事件，求D，A C，B∪C，D＋E.[分析]利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．[解](1)A∩B＝∅，BC＝{2}．(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，B＋C＝{1,2,4,6}．(3)D＝{1,2}；A C＝BC＝{2}；B∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；D＋E＝{1,2,4,5}．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.[变式训练2]盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是(B) A．C＝(A∩B)∪EB．C＝A∪B∪EC．C＝(A∪B)∩ED．C＝A∩B∩E解析：由题意可知C＝A∪B∪E.课堂达标练经典1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(C)A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．2．如果事件A，B互斥，那么(B)A．A∪B是必然事件B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件解析：A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．3．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(C)A．①B．②④C．③D．①③解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．4．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为B∪D ∪E.解析：由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E.5．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？解：(1)用数组(a，b，c)表示可能的结果，a，b，c分别表示三个圆所涂的颜色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．(2)A＝{(红，黄，蓝)}，B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．(3)由(2)可知C⊆B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．——本课须掌握的问题概率论与集合论之间的对应关系。

第十章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数....................................................................................... - 1 -10.1.1两角和与差的余弦.................................................................................... - 1 -10.1.2两角和与差的正弦.................................................................................... - 5 -10.1.3两角和与差的正切.................................................................................... - 8 -10.2二倍角的三角函数............................................................................................. - 11 -10.3几个三角恒等式................................................................................................. - 15 - 10.1两角和与差的三角函数10.1.1两角和与差的余弦知识点两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．cos(90°－30°)＝cos 90°－cos 30°成立吗？[提示]不成立．重点题型类型1两角和与差的余弦公式的简单应用【例1】求下列各式的值：(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；(2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°．[解](1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝3 2．(2)原式＝cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋6 4．(3)∵cos 60°＝12，sin 60°＝32，∴12cos 15°＋32sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝2 2．1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．类型2已知三角函数值求角【例2】已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β的值．以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos α，sin β的值，在此基础上，借助cos(α＋β)的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.[解]因为α，β为锐角，且sin α＝55，cos β＝31010，所以cos α＝1－sin2α＝1－15＝255，sin β＝1－cos2β＝1－910＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22．由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π．因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4．已知三角函数值求角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围； 第三步：根据角的范围写出所求的角. 类型3 给值求值问题【例3】 (对接教材P 51例3)已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<3π2，π2<β<π，求cos(α－β)．[解] ∵sin α＝－45，π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35．又∵sin β＝513，π2<β<π， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．1．(变条件)若将本题改为已知sin α＝－45，sin β＝513，且π<α<2π，0<β<π2，求cos(α－β)．[解] ∵sin β＝513，0<β<π2， ∴cos β＝1－sin 2β＝1213． 又sin α＝－45，且π<α<2π，①当π<α<3π2时，cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665；②当3π2<α<2π时，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝1665．综上所述，cos(α－β)＝－5665或1665．2．(变条件)若将本例改为已知sin α＝－45，π<α<3π2，cos(α－β)＝1665，π2<β<π．求sin β．[解] ∵sin α＝－45，且π<α<3π2， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35． 又∵π2<β<π， ∴－π<－β<－π2， ∴0<α－β<π． 又cos(α－β)＝1665，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β) ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16652＝6365， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1665＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×6365＝－1213， ∴sin β＝1－cos 2β＝513．1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．10.1.2 两角和与差的正弦知识点 两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦公式：S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． (2)两角差的正弦公式：S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． (3)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， 令cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcos x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba ，φ为辅助角．重点题型类型1 两角和与差的正弦公式的简单应用 【例1】 求下列各式的值： (1)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (2)2cos 55°－3sin 5°sin 85°．(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值. (2)注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.[解] (1)原式＝sin 163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°) ＝sin 163°cos 133°－cos 163°sin 133° ＝sin(163°－133°)＝sin 30°＝12． (2)原式＝2cos (60°－5°)－3sin 5°sin (90°－5°)＝cos 5°＋3sin 5°－3sin 5°cos 5°＝cos 5°cos 5°＝1．1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．类型2 给值求值【例2】 已知0＜β＜π4，π4＜α＜3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求cos(α＋β)的值．注意⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2＋(α＋β)，可通过求出3π4＋β和π4－α的正、余弦值来求cos (α＋β).[解] 由0＜β＜π4，π4＜α＜3π4得 －π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，cos(α＋β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365．解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式. 类型3 形如a sin x ＋b cos x 的函数的化简及应用【例3】 (对接教材P 54探究)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．等式a sin x ＋b cos x ＝A sin (x ＋φ)中A 和φ一定存在吗？它们与a ，b 有什么关系？[解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π， ∴π3≤x －π6≤5π6． ∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1．∴函数f (x )的值域为[1，2]．1．(变结论)本例条件不变，将函数f (x )用余弦函数表示． [解] f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x sin π3－cos x cos π3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3．2．(变结论)本例条件不变，求函数f (x )的单调区间． [解] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3，与π2≤x ≤π取交集得π2≤x ≤2π3，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3；由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2，得2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3，与π2≤x ≤π取交集得2π3≤x ≤π， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π．此类问题的求解思路如下：首先将函数f (x )化简为f (x )＝a sin x ＋b cos x 的形式；,然后借助辅助角公式化f (x )为f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)的形式；最后，类比y ＝sin x 的性质，树立“x ＋φ”的团体意识研究y ＝f (x )的性质.10.1.3 两角和与差的正切知识点 两角和与差的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β．T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β．公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．重点题型类型1条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4．2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4可以用tan 2α表示出来.[解]tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan(α＋β)＋tan(α－β)1－tan(α＋β)tan(α－β)＝5＋31－5×3＝－47，tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)1＋tan(α＋β)tan(α－β)＝5－31＋5×3＝18，tan⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－471＋47＝311．求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.类型2 给值求角【例2】 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β．利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan (α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.[解] 因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3．1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．类型3 T (α±β)公式的变形及应用【例3】 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？[解] ∵3tan A ＋ 3 tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33．又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6． ∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33， ∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．10.2 二倍角的三角函数知识点 倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α．(1)T 2α对任意角α都成立吗？(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．重点题型类型1 直接应用二倍角公式求值【例1】 (对接教材P 63例1)已知sin 2α＝513，π4＜α＜π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π． 又因为sin 2α＝513， 所以cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213． 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－120169；cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝119169；tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119．对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；…，又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…．类型2逆用二倍角公式化简求值【例2】化简：2cos2α－12tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α．[解]原式＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－12sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α·cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1．1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．类型3活用“倍角”关系巧解题【例3】已知sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，0＜x＜π4，求cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的值．本题中角“π4－x”与角“π4＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x的转换？[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝513，又0＜x＜π4，∴π4＜x＋π4＜π2，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝1213．∴cos 2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2413．1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．[解]∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4，由sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513，得cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝1213，cos 2x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169．2．(变结论)本例条件不变，求sin 2x－2sin2x1－tan x的值．[解]∵⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＋⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝π2，∴cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝513．∵sin 2x－2sin2x1－tan x＝2sin x cos x－2sin2x1－sin xcos x＝2sin x(cos x－sin x)cos x－sin xcos x＝2sin x cos x＝sin 2x，又sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1－2×25169＝119169．∴sin 2x －2sin 2x 1－tan x＝119169．当遇到π4±x 这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：(1)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；(2)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1；(3)sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.10.3 几个三角恒等式知识点1 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]． (2)和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2， sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2， cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2， cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2．知识点2 半角公式与降幂公式半角公式降幂公式sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin αsin 2α＝1－cos 2α2， cos 2α＝1＋cos 2α2， tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2．重点题型类型1 应用和差化积或积化和差求值【例1】 求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50° 的值． [解] 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70° ＝34．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.类型2 万能代换公式的应用 【例2】 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．利用万能代换公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.[证明] 由sin θ＝2tan θ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ2＝(1＋t )21＋t 2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t2， 故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.类型3 f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质【例3】 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间．[解] f (x )＝53×1＋cos 2x 2＋3×1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4． ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22．∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－22．∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减．1．(变结论)本例中，试求函数f (x )(x ∈R )的对称轴方程． [解] f (x )＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ． 所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ．2．(变条件)本例中，函数解析式变为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )，求f (x )的单调减区间．[解] ∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z ．1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简． (2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式．(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 2．对三角函数式化简的常用方法 (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个角”的函数．。

《第十章概率》复习教案10.1随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件【基础知识拓展】建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型．因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题．在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间．【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形的内角和为180°是必然事件．( )(2)“掷硬币三次，三次正面朝上”是不可能事件．( )(3)“下次李华英语考试成绩在95分以上”是随机事件．( )答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品；④下周六是晴天．其中，是随机事件的是( )A．①②B．②③C．③④D．②④(2)李晓同学一次掷出3枚骰子，这一事件包含________个样本点．( )A．36 B．216C．72 D．81答案(1)D (2)B【核心素养形成】题型一样本空间的概念例1 根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间． (1)任意抽取1张，记录它的花色； (2)任意抽取1张，记录它的点数；(3)在同一种花色的牌中一次抽取2张，记录每张的点数； (4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和．[解] (1)一副扑克牌有四种花色，所以样本空间为Ω＝{红心，方块，黑桃，草花}．(2)扑克牌的点数是从1～6，所以样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}． (3)一次抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示．故样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}．(4)一次抽取2张，计算两张点数之和，样本空间为Ω＝{3,4,5,6,7,8,9,10,11}．【解题技巧】 理解样本点与样本空间应注意的几个方面 (1)由于随机试验的所有结果是明确的，从而样本点也是明确的． (2)样本空间与随机试验有关，即不同的随机试验有不同的样本空间． (3)随机试验、样本空间与随机事件的关系： 随机试验―→样本空间――→子集随机事件． 【跟踪训练】写出下列试验的样本空间．(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果；(2)某人射击一次命中的环数(均为整数)；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素．解(1)样本空间为Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．(2)样本空间为Ω＝{0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环}．(3)样本空间为Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.题型二随机事件的判断例2 指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．(1)函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称；(2)y＝kx＋6是定义在R上的增函数；(3)若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同号．[解] (1)是必然事件；(2)(3)是随机事件．对于(2)，当k>0时是R上的增函数；当k<0时是R上的减函数；当k＝0时函数不具有单调性．对于(3)，当|a＋b|＝|a|＋|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab>0；另一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab＝0.【解题技巧】必然事件和不可能事件具有确定性，在一定条件下能确定其是否发生，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．当然，条件的不同以及条件的变化都可能影响事件发生的结果，要注意从问题的背景中体会条件的特点．【跟踪训练】在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件，下列事件中：①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．其中随机事件有________，必然事件有________，不可能事件有________．(填上相应的序号)答案①②④③解析抽出的3件可能都是正品，也可能不都是正品，故①②是随机事件；这12件产品中共有2件次品，那么抽出的3件不可能都是次品，其中至少有1件是正品，故③是不可能事件，④是必然事件.题型三事件与样本空间例3 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；(4)说出事件C＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}，D＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}所表示的含义．[解] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)样本点的总数为16.(3)事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}；事件B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}．(4)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．【解题技巧】(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．【跟踪训练】甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出这个游戏对应的样本空间；(2)写出这个游戏的样本点总数；(3)写出事件A：“甲赢”的集合表示；(4)说出事件B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}所表示的含义．解(1)用(锤，剪)表示甲出锤，乙出剪，其他样本点用类似方法表示，则这个游戏对应的样本空间为Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)这个游戏的样本点总数为9.(3)事件A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(4)事件B表示“平局”.【课堂达标训练】1．以下现象是随机现象的是( )A．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为abD．实系数一次方程必有一实根答案 B解析标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾，是必然事件；走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab，是必然事件；实系数一次方程必有一实根，是必然事件．故选B.2．在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能答案 A解析从十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1＋2＋3＝6，所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．故选A.3．同时掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 D解析因为事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共包含6个样本点．故选D.4．先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则事件：y＝1包含的样本点有________．log2x答案(1,2)，(2,4)，(3,6)解析先后掷两枚质地均匀的骰子，骰子朝上的面的点数有36种结果．解y＝1得y＝2x，则符合条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)．方程log2x5．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．解样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}.10.1.2 事件的关系和运算【基础知识拓展】事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )(2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( )(3)互斥事件一定是对立事件．( )答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C.其中正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．②③(3)下列各对事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________．答案(1)B (2)A (3)①③④【核心素养形成】题型一事件关系的判断与集合表示例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；(2)用集合的形式表示事件A∪B；(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．A＝{00,010,100}．B＝{011,101,110,111}．(2)A∪B＝Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．(3)∵C＝{010,011,100,101,110,111}，∴B⊆C.【解题技巧】概率论与集合论之间的对应关系【跟踪训练】如果事件A，B互斥，那么( )A．A∪B是必然事件 B.A－∪B－是必然事件C.A－与B－一定互斥D.A－与B－一定不互斥答案 B解析可由Venn图判断，易得A－与B－分别表示集合A，B的补集，则A－∪B－＝Ω，B正确．题型二事件的运算例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C⊆D3，C4⊆D3.3同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.6且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G，E＝D2＋D3.【解题技巧】事件间运算的方法(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．【跟踪训练】掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案 C解析设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.题型三对立事件与互斥事件的辨析例3 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【解题技巧】互斥事件与对立事件间的关系互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．【跟踪训练】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E 是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.【课堂达标训练】1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥答案 D解析由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( ) A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案 B解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？( )①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 A解析①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件．但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件．②事件“两球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件．③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选A.4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．答案2次都中靶解析事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9或10环．解A∩B＝{10环}≠∅，故A与B不是互斥事件；显然A∩C＝∅，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件；A∩D＝{8环，9环，10环}≠∅，故A与D不是互斥事件；显然B∩C＝∅，所以B与C是互斥事件．又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件；B∩D＝{10环}≠∅，因此B与D不是互斥事件；显然C∩D＝∅，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件．10.1.3 古典概型【基础知识拓展】1．从集合的角度理解古典概型的概率公式用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝kn.如图所示．把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则集合A是集合I的一个子集，故有P(A)＝k n .2．求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)．(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性．(3)计算样本点总个数n及事件A包含的样本点个数k，求出事件A的概率．P(A)＝事件A包含的样本点个数样本空间的样本点总数＝kn.【跟踪训练】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型．( )(2)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．( )(3)若一个古典概型的样本点总数为n，则每一个样本点出现的可能性均为1n.( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝k n .A．②④B．①③④C．①④D．③④(2)掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率是( )A.12B.16C.13D.14(3)从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )A.12B.13C.23D．1答案(1)B (2)A (3)C【核心素养形成】题型一样本点的计数方法例1 (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点数为( ) A．2 B．3C．4 D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解析] (1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．[答案] (1)C (2)见解析【解题技巧】样本点的两个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．【跟踪训练】口袋中有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，求样本点的总数．解把2个白球和2个黑球分别编号为1,2,3,4，所有可能结果如树状图所示，共24个样本点．题型二古典概型的判定例2 袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球．(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？[解] (1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型．【解题技巧】判断一个试验是古典概型的依据一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性．【跟踪训练】下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析①不属于．原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于．原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于．原因是显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于．原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于．原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性.题型三古典概型的求法例3 从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1或5}；(2)事件B＝{三个数字中含1或5}．[解] 这个试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，样本点总数n＝10，这10个样本点发生的可能性是相等的．(1)因为事件A＝{(2,3,4)}，所以事件A包含的样本点数m＝1.所以P(A)＝mn＝110.(2)因为事件B＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，所以事件B包含的样本点数m＝9.所以P(B)＝mn＝910.【解题技巧】1.古典概型概率的求法步骤(1)确定等可能样本点总数n；(2)确定所求事件包含的样本点数m；(3)P(A)＝m n .2．使用古典概型概率公式的注意点(1)首先确定是否为古典概型；(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．【跟踪训练】甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢．(1)若以A表示事件“和为6”，求P(A)；(2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(3)这个游戏公平吗？请说明理由．解将所有的样本点列表如下：由上表可知，该试验共有25个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)事件A包含了(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个样本点，故P(A)＝525＝15.(2)事件B包含了(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共16个样本点，所以P (B )＝1625. (3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为1325，“和为奇数”的概率是1225，二者不相等，所以游戏不公平.题型四 较复杂的古典概型的概率计算例4 有A ，B ，C ，D 四位贵宾，应分别坐在a ，b ，c ，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率； (3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．[解] 将A ，B ，C ，D 四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，共24个等可能发生的样本点，属于古典概型．(1)设事件A 为“这四人恰好都坐在自己席位上”，则事件A 只包含1个样本点，所以P (A )＝124. (2)设事件B 为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B 包含9个样本点，所以P(B)＝924＝38.(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝824＝13.【解题技巧】(1)当样本点个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．(2)在求概率时，若样本点可以表示成有序数对的形式，则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．【跟踪训练】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个样本点．由于每一个样本点被抽取的机会均等，因此这些样本点的发生是等可能的．用M表示“A1被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，共6个样本点，因此P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N－表示“B1，。

第十章 10.1 10.1.3A 级——基础过关练1．(多选)下列是古典概型的是( )A ．从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B ．同时掷两颗骰子,点数和为7的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【解析】A,B,D 为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性,而C 不适合等可能性,故不为古典概型．故选ABD ．2．(2021年郑州模拟)一部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则第一册和第二册相邻的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34 【答案】C【解析】设一部三册的小说为1,2,3,所以试验的样本空间Ω＝{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)},共6个样本点,事件“第一册和第二册相邻”包含4个样本点,故第一册和第二册相邻的概率为p ＝46＝23. 3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛,则甲、乙都当选的概率为( ) A ．25B ．15C ．310D ．35【答案】C【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),而甲、乙都当选的结果有3种,故所求的概率为310.故选C ． 4．(2021年河南模拟)(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56 【答案】BD【解析】由题意设一等品编号为a ,b ,二等品编号为c ,次品编号为d ,从中任取2件的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d ),共6种．对于A,两件都是一等品的基本情况有(a ,b ),共1种,故两件都是一等品的概率P 1＝16,故A 错误；对于B,两件中有1件是次品的基本情况有(a ,d ),(b ,d )(c ,d ),共3种,故两件中有1件是次品的概率P 2＝36＝12,故B 正确； 对于C,两件都是正品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共3种,故两件都是正品的概率P 3＝36＝12,故C 错误；对于D,两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),共5种,故两件中至少有1件是一等品的概率P 4＝56,故D 正确． 5．某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．23 【答案】B【解析】所有样本点为(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点,所以p ＝26＝13.故选B ． 6.(2021年南充模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(——表示一根阳线, 表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( )A ．18B ．14C ．38D ．12【答案】C 【解析】从八卦中任取一卦,基本事件总数n ＝8,这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m ＝3,∴所求概率为P ＝38.故选C ． 7．(2021年太原月考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ,从{1,2,3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是________．【答案】15【解析】设所取的数中b >a 为事件A ,如果把选出的数a ,b 写成一数对(a ,b )的形式,则试验的样本空间Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)},共15个,事件A 包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,因此所求的概率P (A )＝315＝15.8．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书,若某同学从中任意选出2本书,则选出的2本书编号相连的概率为__________．【答案】25【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种,满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种,故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x ,y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ,求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ,求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,抛掷第2次,它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果,因为骰子共抛掷2次,所以共有36种结果．(1)事件A 发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果,所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果,所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16. 10．(2021年安庆期末)某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析,求抽取的2名教师均为初级教师的概率．解：(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3,2,1.(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A 1,A 2,A 3,2名中级教师分别记为A 4,A 5,高级教师记为A 6,则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 6),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 6),(A 3,A 4),(A 3,A 5),(A 3,A 6),(A 4,A 5),(A 4,A 6),(A 5,A 6)},即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B )的样本点为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),共3种．所以P (B )＝315＝15. B 级——能力提升练11．两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】设两位男同学分别为A ,B ,两位女同学分别为a ,b ,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知,共有24种等可能的结果,其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种,故所求概率为1224＝12.故选D ． 12．从1,2,3,4中任取两个不同的数,则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16 【答案】B【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3),(2,4)共2种结果,故取出两个数之差的绝对值为2的概率p ＝26＝13.故选B ． 13．(2021年哈尔滨月考)在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合再任意排成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】C【解析】一个五位数能否被2或5整除关键看其个位数字,而由1,2,3,4,5组成的五位数中,个位数是1,2,3,4,5是等可能的,“被2或5整除”这一事件等价于个位数字为2,4,5,∴所求概率为35＝0.6.故选C ． 14．(2021年聊城期末)在国庆阅兵中,某兵种A ,B ,C 三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B 先于A ,C 通过的概率为________．【答案】13【解析】用(A ,B ,C )表示A ,B ,C 通过主席台的次序,则试验的样本空间Ω＝{(A ,B ,C ),(A ,C ,B ),(B ,A ,C ),(B ,C ,A ),(C ,A ,B ),(C ,B ,A )},共6个样本点,其中事件B 先于A ,C 通过的有(B ,C ,A )和(B ,A ,C ),共2个样本点,故所求概率P ＝26＝13.15．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数,b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数,构成一个样本点(a ,b )．记“这些样本点中,满足log b a ≥1”为事件E ,则E 发生的概率是________．【答案】512【解析】事件E 发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字,共有12种结果,满足条件的样本点是满足log b a ≥1,可以列举出所有的样本点,当b ＝2时,a ＝2,3,4；当b ＝3时,a ＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是3＋212＝512. 16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛,其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学,从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言,写出所有可能的结果,并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画,写出所有可能的结果,并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ,B ,C ,其中A 为女同学,B ,C 为男同学,选出的3名高二乙班同学为D ,E ,F ,其中D 为男同学,E ,F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),(D ,E ),(D ,F ),共9种,故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种,选出的2名同学性别相同的有(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(C ,D ),共4种,所以选出的2名同学性别相同的概率为49. C 级——探索创新练17．(2020年江西月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选,第一轮测身高和体重,第二轮足球基础知识问答,测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到频率分布直方图如图所示．(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组,若从6人中随机选2人担任小组负责人,求这2人来自第3,4组各1人的概率．解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x ＋0.02)×5＝1,所以x ＝0.04.所以成绩的平均值为0.05×75＋802＋0.35×80＋852＋0.30×85＋902＋0.20×90＋952＋0.10×95＋1002＝87.25. (2)第3组学生人数为0.30×40＝12,第4组学生人数为0.20×40＝8,第5组学生人数为0.10×40＝4,所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.第3组的3人分别记为A 1,A 2,A 3,第4组的2人分别记为B 1,B 2,第5组的1人记为C ,则从中选出2人的基本事件为共15个,记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人,这2人来自第3,4组各1人”为事件M , 则事件M 包含的基本事件为(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),共6个,所以P (M )＝615＝25.。

高三数学总复习知能达标训练第二章第十一节定积分的观点与微积分基本定理(时间 40 分钟，满分 80 分)一、选择题 (6× 5 分＝ 30 分)ππ1．(2011 湖·南 )由直线 x ＝－ 3， x ＝ 3， y ＝ 0 与曲线 y ＝ cos x 所围成的关闭图形的面积为1 B ．1A. 2 3C. 2D. 33cos xdx ＝sin x|3ππ分析S ＝＝ sin 3－sin－3＝ 3.33答案 D2．以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体， t 秒时辰的速度 v ＝ 40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为160 80A. 3 mB. 3 m40 20 C. 3 mD. 3 m分析v ＝ 40－10t 2＝ 0， t ＝2，2210 3210160|0 ＝40×2－(40 10t )dx ＝ 40t － 3 t3 ×8＝3 (m)．答案A3．一物体在变力 F(x)＝ 5－ x 2(力单位： N ，位移单位： m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x ＝1 运动到 x ＝2 时 F(x)作的功为2 3 A. 3 JB.3 J4 3C. 3JD ． 2 3 J分析因为 F(x)与位移方向成 30°角．如图： F 在位移方向上的分力 F ′＝F ·cos 30 ，°2 x 2) ·cos 30 dx °W ＝(5132x 2 )d x＝ 2(512 31 3 |＝ 2 5x －3x13 84 3＝ 2 ×3＝ 3 (J)．答案C4．由曲线 y ＝x 2 和直线 x ＝0，x ＝1，y ＝ t 2，t ∈ (0,1)所围成的图形 (如图 )(暗影部分 )的面积的最小值为2 1A. 3B.31 1C.2D.411 32 3分析 1 3x 2 d x3，S ＝t － t＝t －3t ＝ 3t1x 2 d x －(1－t)t 2 S 2＝ t1 1 32 ＝3－3t －(1－t)t2 3 2 1＝3t －t ＋3， S 1＋ 2＝ 4 3 2 1 ∈ ．t － ＋ ，(0,1)S 3 t 3 t11可由导数求适当t＝2时， S1＋S2取到最小值，最小值为4.答案D5．计算A．4πC．π分析2x2 d x 的结果是4B． 2ππD.22x2 d x 表示曲线y＝4－x2与两坐标轴围成的暗影部分的面积，412由图知该面积为4πr ＝π.答案C6．(2011 ·标全国卷课 )由曲线 y＝x，直线 y＝x－2 及 y 轴围成的图形的面积为10A. 3B．416C. 3D．6分析如图， y＝ x与 y＝ x－ 2 交点为 P(4,2)，2( x x 2)d x ＝231416∴S＝03x 22x22x |0＝3.答案C二、填空题 (3× 4 分＝ 12 分)7．从如下图的长方形地区内任取一个点M(x，y)，则点 M 取自暗影部分的概率为 ________．1231S阴11分析依据题意得： S 阴＝03x d x ＝x|0＝1，则点M取自暗影部分的概率为S矩＝3×1＝3.答案1 38．设 y＝f(x)为区间 [0,1] 上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，能够用随机模拟方法近似计算积1分0 f ( x) d x .先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的平均随机数x1，x2，，x N和y1，y2，，yN，由此获得 N 个点 (x i，y i)(i＝ 1,2，， N)．再数出此中知足y i≤f(x i )(i ＝1,2，， N)的点数 N1，那么1由随机模拟方法可得积分 f ( x) d x的近似值为________．分析由平均随机数产生的原理知：在区间 [0,1] 知足 y i≤ f(x i )的点都落在了函数0≤ x≤ 1N1，由积分的几何意义知又因为 0≤f(x)≤ 1，所以由 0≤ y≤ 1围成的图形面积是Ny≤ f xy＝f(x)的下方，1f (x) d x ＝N1.0N答案N1 N．已知一次函数的图象经过点，且1f(x)f (x) d x ＝1，则f(x)＝________.9(3,4)0分析设 f(x)＝ kx＋b(k≠0)，因为图象过点 (3,4)，所以 3k＋b＝4.①1 (kx k1k又∫10f(x)dx＝02b)d x＝2x ＋bx |0＝2＋ b＝ 1，②6 2所以由①②得 k＝5，b＝5.6 2故 f(x)＝5x＋5.6 2答案5x＋5三、解答题 (38 分 )10．(12 分 )如图在地区Ω＝{( x，y)|－ 2≤ x≤2,0≤y≤4} 中随机撒 900 粒豆子，假如落在每个区域的豆子数与这个地区的面积近似成正比，试预计落在图中暗影部分的豆子数．分析地区Ω的面积为 S1＝16.图中暗影部分的面积221232S2＝S1－2 x d x ＝16－3x3|2＝3.设落在暗影部分的豆子数为m，m S2由已知条件900＝S1，900S2即 m＝S1＝600.所以落在图中暗影部分的豆子约为600 粒．11．(12 分)一质点在直线上从时辰t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋ 3(m/s)运动，求：(1)在 t＝ 4 s 的地点；(2)在 t＝ 4 s 内运动的行程．分析(1)在时辰 t＝4 时该点的地点为421 3244(t |004t 3) d t＝3t－2t＋3t＝3(m)，4即在 t＝ 4 s 时辰该质点距出发点3m.(2)因为 v(t)＝t2－ 4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间 [0,1] 及[3,4] 上的 v(t)≥0，在区间 [1,3] 上 v(t)≤0，所以 t＝ 4 s 时的行程为14t3)d t ＋324t3)d t ＋44t3) d tS＝(t 2(t(t2 013 13211＋3t|0t32t23t3＝ t －2t＋133|1324444|3＋3t －2t＋3t＝3＋3＋3＝4(m)即质点在 4 s 内运动的行程为 4 m.12．(14 分)已知 f(x)为二次函数，且 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝ 0，1f ( x) d x ＝－2. 0(1)求 f(x)的分析式；(2)求 f(x)在[ －1,1]上的最大值与最小值．分析(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠ 0)，则 f′(x)＝2ax＋b.由 f(－ 1)＝2，f′ (0)＝0，得a－ b＋ c＝2 b＝ 0，即c＝ 2－a b＝ 0.∴f(x)＝ax2－a＋2.又∫10f(x)dx＝∫10[ax2＋(2－ a)]dx1123＝3ax ＋ 2－ a x |0＝ 2－3a＝－ 2.∴a＝ 6，∴c＝－ 4.进而 f(x)＝6x2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[ －1,1]，所以当 x＝0 时， f(x)min＝－ 4；当 x＝±1 时， f(x)max＝2.。

10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件P229练习1.写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=；（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.2.如图，由A ，B 两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件M =“电路是通路”包含的样本点；（3）对并联电路，写出事件N =“电路是断路”包含的样本点.【答案】解：A ，B 两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；（2）对串联电路，只有当A ，B 都正常时电路才是通路，故M 包含的样本点为()1,1；（3）对并联电路，只有当A ，B 都失效时电路才是断路，故N 包含的样本点为()0,0.3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A =“摸到球的号码小于5”，事件B =“摸到球的号码大于4”，事件C =“摸到球的号码是偶数”【答案】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=；（2）{}1,2,3,4A =；{}5,6,7,8,9B =；{}2,4,6,8C =.10.1.2事件的关系与运算P233练习1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（）A.至多一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都没中靶【答案】对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件；对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件；对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件；对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件.2.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：i C =“点数为i ”，其中1,2,3,4,5,6i =；1D =“点数不大于2”，2D =“点数大于2”，3D =“点数大于4”；E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C 与2C 互斥；（2）2C ，3C 为对立事件；（3）32C D ⊆；（4）32D D ⊆；（5）12D D =Ω ，12D D =∅；（6）356D C C = ；（7）135E C C C = ；（8）E ，F 为对立事件；（9）232D D D = ；（10）233D D D = 【答案】解：该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6Ω=,由题意知{}i C i =,{}11,2D =,{}23,4,5,6D =,{}35,6D =,{}1,3,5E =,{}2,4,6F =.（1）{}11C =,{}22C =,满足12C C =∅ ,所以1C 与2C 互斥,故正确；（2）{}22C =,{}33C =,满足23C C =∅ 但不满足23C C ⋃=Ω.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）{}565,6C C = ,所以356D C C = ,故正确；（7）{}1351,2,3C C C = ,故135E C C C = 正确；（8）因为E F ⋂=∅,E F ⋃=Ω,所以E ,F 为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.10.1.3古典概型P239练习1.判断下面的解答是否正确，并说明理由.某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用y 表示命中，用n 表示没有命中，那么试验的样本空间{},,,yy yn ny nn Ω=，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25.【答案】解：该解答不正确，原因如下：运动员练习时命中目标与没有命中目标的概率是不相等的，所以样本点发生的可能性是不相等的，所以该试验并不是古典概型，故解答错误.2.从52张扑克牌（不含大小王）中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：（1）抽到的牌是7；（2）抽到的牌不是7；（3）抽到的牌是方片；（4）抽到J 或Q 或K ；（5）抽到的牌既是红心又是草花；（6）抽到的牌比6大比9小；（7）抽到的牌是红花色；（8）抽到的牌是红花色或黑花色.3.从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：（1）这个数平方的个位数字为1；（2）这个数的四次方的个位数字为1.【答案】解：从0~9这10个教中随机选样一个款，共有10种可能，其样本空间可表示为{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Ω=.10.1.4概率的基本性质P242练习1.已知()()0.5,0.3P A P B ==.（1）如果B A ⊆，那么()P A B = ___________，()P AB =___________；（2）如果A ，B 互斥，那么()P A B = ___________，()P AB =___________.【答案】（1）如果B A ⊆,那么A B A ⋃=,A B B = ,所以()()0.5P A B P A ⋃==,()()0.3P AB P B ==（2）如果A ,B 互斥,那么A B =∅ ,所以()()()0.50.30.8P A B P A P B ⋃=+=+=,()0P AB =故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；02.指出下列表述中的错误：（1）某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5；（2）如果事件A 与事件B 互斥，那么一定有()()1P A P B +=.【答案】（1）某地区“明天下雨”与“明天不下雨”互为对立事件,它们的概率之和应为1,则若某地区明天下雨的概率为0.4,明天不下雨的概率应为0.6（2）如果事件A ,B 互斥,那么()()()1P A P B P A B +=≤ ,只有当A ,B 互为对立事件时才有()()1P A P B +=3.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：1G 2G 3G M182014F 17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F = ____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P M G = ____________，()3P FG =____________()1P M F = ；()()0P MF P =∅=；习题10.1P243复习巩固1.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字.（1）用表格表示试验的所有可能结果；（2）列举下列事件包含的样本点：A =“两个数字相同”，B =“两个数字之和等于5”，C =“蓝色骰子的数字为2”.【答案】解：（1）该试验的所有可能结果如下表：（2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）；B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）；C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）.2.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）.（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.【答案】解：（1）第一轮的两场比赛中，当,a c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,acbd acdb cabd cadbadbc adcb dabc dacb 第一轮的两场比赛中，当a,d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bcad bcda cbad cdda 第一轮的两场比赛中，当,b c胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,bdca bdac dbca bdac 第一轮的两场比赛中，当,b d胜出时，比赛最终可能的结果为：,,,则该试验的样本空间可表示为:,,,,,,,,,,,,,,,{}acbd acdb cabd cadb adbc adcb dabc dacb bcad bcda cbad cdda bdca bdac dbca bdac Ω=；（2）事件A 包含的所有结果为：, , , acbd acdb adbc adcb ；（3）事件B 包含的所有结果为：, , , ,,.,, acbd acdb adbc adcb cab dabc d cadb acb d 3.(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”写出样本空间，并列举A 和B 包含的样本点；【答案】事件空间：｛（正正），（正反），（反正），（反反）｝，事件A 的样本点：（正正），（正反），事件B 的样本点：（正反），（反反）．(2)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币正面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）．A.A 与B 互为对立事件B.A 与B 互斥C.A 与B 相等D.()()P A P B =【答案】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A 包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B 包含的结果有：(正，反)，(反，反)，显然事件A ，事件B 都含有“(正，反)”这一结果，即事件A ，事件B 能同时发生，因此，事件A ，事件B 既不互斥也不对立，A ，B 都不正确；事件A ，事件B 中有不同的结果，于是得事件A 与事件B 不相等，C 不正确；4.判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例（1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；（2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】解：（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误.设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立.（2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则5.生产某种产品需要2道工序，设事件A =“第一道工序加工合格”，事件B =“第二道工序加工合格”，用A ，B ，A ，B 表示下列事件：C =“产品合格”，D =“产品不合格”．【答案】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A ，B 同时发生，所以C =AB ；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，6.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？游戏1游戏2游戏3袋子中球的数量和颜色1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取球规则取1个球依次取出2个球依次取出2个球获胜规则取到红球→甲胜两个球同色→甲胜两个球同色→甲胜取到白球→乙胜两个球不同色→乙胜两个球不同色→乙胜7.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率；（1）标签的选取是不放回的；（2）标签的选取是有放回的.【答案】解：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m 表示第一张标签的标号，n 表示第二张标签的标号，设A =“两张标签上的数字为相等整数”，则（1）数组（m ，n ）表示该试验的一个样本点，,{1,2,3,4,5}m n ∈，且m n ≠.因此该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}m n m n Ω=∈，且m n ≠}中共有20个样本点，其中m ，n 为相等整数的样本点个数()0n A =.故所求概率为0；（2）该试验的样本空间{(,)|,{1,2,3,4,5}}m n m n Ω=∈中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5A=,5)}，所8.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为：9) ,(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7){(1,3,,(3,5,5),(1,3,7),(1,39),(3,7,9)(5,,7,9)Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9)(5,7,9)，共3个，故P244综合运用9.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少？（1）A =“恰有1支一等品”；（2）B =“两支都是一等品”；（3）C =“没有三等品”.【答案】解：用123,,a a a 表示3支一等品，用12,b b 表示2支二等品，用c 表示三等品，则该试验的样本空间可表示为()()({)()()()()()()121323111221223132,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b a b Ω=()()()()()()}1212312,,,,,,,,,,,b b ac a c a c b c b c ，共有15个样本点.（1）()()()()()()({)()()}111212122231323,,,,,,,,,,,,,,,,,A a b a b a c a b a b a c a b a b a c =，其()()()()()({)()()()()}12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b =10.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用（x ，y ）表示一次试验的结果，设A =“两个点数之和等于8”，B =“至少有一颗骰子的点数为5”，C =“红色骰子上的点数大于4”（1）求事件A ，B ，C 的概率；（2）求,A B A B ⋃⋂的概率.【答案】解：该试验的样本空间可表示为{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈，共有36个样本点11.某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？【答案】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)，共4个若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),4) ,(4(3,1,1),),(3,2),(4,2),(43(3,)}Ω=，，共有12个12.假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A ，B ，C ，D ，E ）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩A 得到一个职位；（2）女孩A 和B 各得到一个职位；（3）女孩A 或B 得到一个职位.【答案】解：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为{(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B ),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)}D Ω=，，共有10个样本点.13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数不超过5环.【答案】解：用x 表示命中的环数，由频率表可得.（1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=；（3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=；（4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：（1）没有出现6点；（2）至少出现一次6点；（3）三个点数之和为9.【答案】解：该试验的样本空间表示为{(,,)|,5,6,{1}2},,3,4x y z x y z Ω=⋅∈，，共有666216⨯⨯=（个）样本点.（1）事件“没有出现6点”包含的样本点(,,)x y z 满足,,{1,2,3,4,5}x y z ∈，共有125P245拓广探索15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A 表示订阅数学学习资料的学生，B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生．（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；（2）用A ，B ，C 表示下列事件：①至少订阅一种学习资料；②恰好订阅一种学习资料；③没有订阅任何学习资料.【答案】（1）由给定图形可知，区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅；区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料；区域5表示该生只订阅语文学习资料；区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.（2）①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A发生，或者事件B发生，或者事件C发生，所以至少订阅一种学习资料的事件为：A+B+C；料的16.从1-20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率；（1）这个数既能被2整除也能被3整除；（2）这个数能被2整除或能被3整除；（3）这个数既不能被2整除也不能被3整除.【答案】解：1-20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个,17.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设k A =“一年内需要维修k 次”，k =0,1,2,3,请填写下表：事件0A 1A 2A 3A 概率事件0123,,,A A A A 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？（2）求下列事件的概率：①A =“在1年内需要维修”;②B =“在1年内不需要维修”；③C =“在1年内维修不超过1次”.【答案】解：（1）因为一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%所以0()1(0.150.060.04)0.57P A =-++=，123()0.15,()0.06,()0.04P A P A P A ===事件0123,,,A A A A 满足两两互斥，不满足等可能性.（2）①()()()()123123()0.25P A P A A A P A P A P A =++=++=；②()0()0.75P B P A ==；③()()()0101()0.9P C P A A P A P A =+=+=.10.2事件的相互独立性P249练习1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第1枚正面朝上”，事件B =“第2枚正面朝上”，事件C =“2枚硬币朝上的面相同”，A B C ，，中哪两个相互独立？()()()P AC P A P C =⋅()()()P BC P B P C =⋅由独立事件概率性质可知A 与B ,A 与C ,B 与C 都相互独立.2.设样本空间{},,,a b c d Ω=含有等可能的样本点，且{}{}{},,,,,A a b B a c C a d ===，请验证A ，B ，C 三个事件两两独立，但()()()()P ABC P A P B P C ≠.即A ,B ,C 两两独立3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都降雨的概率；（2）甲、乙两地都不降雨的概率；（3）至少一个地方降雨的概率.【答案】设事件A =“甲地降雨”,事件B =“乙地降雨”,则事件A 与B 相互独立.由题意知()()0.2,0.3P A P B ==.（1）()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=；4.证明必然事件Ω和不可能事件∅与任意事件相互独立.【答案】设任意事件记作A ,则,A A A Ω=∅=∅ .因为()()1,0P P Ω=∅=所以()()()()()1P A P A P A P A P Ω==⨯=Ω()()()()()00P A P P A P A P ∅=∅==⋅=∅所以A 与Ω,A 与∅都相互独立习题10.2P250复习巩固1.掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）．A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【答案】解：掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，事件A 与B 能同时发生，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；事件A 与B 不相等，故选项D 错误.故选：C.2.假设()0.7P A =，()0.8P B =，且A ，B 相互独立，则()P AB =______；()P A B = ______.【答案】解：（1）∵()0.7P A =，()0.8P B =，且A 与B 相互独立，∴()()()0.70.80.56P AB P A P B =⨯=⨯=；（2）()()()()0.70.80.560.94P A B P A P B P AB =+-=+-= ，故答案为：0.56；0.94．3.若()0P A >，()0P B >，证明：事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．【答案】证明：若事件A ，B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>；若事件A ，B 互斥，则()0P AB =，所以事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥不能同时成立．综合运用4.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是13，14求；（1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率．【答案】（1）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，（2）记“甲译出密码”的事件为A ，“乙译出密码”的事件为B ，“密码被成功5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{}1,2,3,4,5,6,7,8Ω=．构造适当的事件A ，B ，C ，使()()()()P ABC P A P B P C =成立，但不满足A ，B ，C 两两独立．【答案】设事件{}1,2,3,4A =，{}1,2,3,5B =,{}1,6,7,8C =则{}{}{}{}1,1,2,3,1,1ABC AB AC BC ====满足()()()()P ABC P A P B P C =，由于()()()P AB P A P B ≠,()()()P BC P B P C ≠,()()()P AC P A P C ≠即A 与B ,B 与C ,A 与C 都不相互独立，即不满足A ，B ，C 两两独立P250拓广探索6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题．1E ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A =“两枚都正面朝上”．2E ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件B =“命中两次目标”．3E ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件C =“两次都摸到红球”（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；（2）指出这三个试验的共同特征和区别；（3）分别求A ，B ，C 的概率．【答案】（1）解：1E 中用有序数对(),m n ，{},0,1m n ∈表示样本点，其中“0”表示正面朝上，“1”表示反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；2E 中用有序数对()12,x x ，{}12,0,1x x ∈表示样本点，其中“0”表示未命中，“1”表示命中，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；3E 中用有序数对(),x y ，{},0,1x y ∈表示样本点，其中“0”表示摸到红球，“1”表示摸到黄球反面朝上，其样本空间为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；(2)三个实验的共同特征：完成一次实验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果，所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式；三个试验的区别：1E 中的样本点具有等可能性，2E 3E 中的样本点不具有等可能性.()0.60.60.36P B =⨯=，因为是从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性P254练习1.判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两次硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；（2）抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；（3）当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；（4）在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5.【答案】解：（1）错误，理由：抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上.（2）错误，理由：事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4.（3）正确，理由：这是频率的稳定性.（4）错误，理由：随机事件发生的概率不一定是0.5.2.用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？【答案】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，3.据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下：血型A B O AB 人数/人77041076589703049频率（1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）；（2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？【答案】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488，（2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294.4.分别举出一个生活中概率很小和很大的例子.【答案】解：概率很小的例子：买了一张彩票，中了特等奖.概率很大的例子：买了一张彩票，没有中奖.10.3.2随机模拟P257练习1.将一枚质地均匀的硬币连掷4次,设事件A=“恰好两次正面朝上”,（1）直接计算事件A的概率;（2）利用计算器或计算机模拟试验80次,计算事件A发生的频率.【答案】(1)随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次,出现的情况如下,(正,正,正,正),(正,正,正,反),(正,正,反,正),(正,反,正,正),(反,正,正,正),(反,反,正,正),(反,正,反,正),(反,正,正,反),(正,反,反,正),(正,反,正,反),(正,正,反,反),(正,反,反,反),(反,正,反,反),(反,反,正,反),(反,反,反,正),(反,反,反,反).共有16种等可能的结果其中恰好两次正面朝上情况共有:6种规定:数据是奇数代表硬币的反面,数据的偶数代表硬币的正面由数表可得恰好两次正面朝上的组数有:262.盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球.（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？（4）设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计“取出的球是白球”的概率.【答案】(1)从中任意取出一个球,“取出的球是黄球”是不可能事件,它的概率为0.(4)用计算机产生1-9的随机数,规定1-4代表白球,5-9代表黑球.3.（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率；（2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率；（3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？【答案】(1)抛掷两枚骰子,向上的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6);(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6);(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6);(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6);(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6).共36种情况,其中点数和为7的有6种情况,(2)第二个数字代表第二个骰子出现的数字从表格中可以查出点数和为7等于23个数据习题10.3P257复习巩固1.在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染，根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率；（1）圆形细胞；（2）椭圆形细胞；（3）不规则形状细胞.【答案】解：（1）有圆形细胞的豚鼠中没有被感染的，故概率的估计值为0；2.用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数（如下表）.如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.四面体的面1234频数221821393.在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示：元音字母A E I O U频率7.88%12.68%7.07%7.76% 2.80%（1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率；（2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.【答案】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母，其中元音字母出现频数和频率如下表，A出现38次，频率为：5.97%E出现96次，频率为：15.07%I出现47次，频率为：7.38%O出现52次，频率为：8.16%U出现12次，频率为：1.88%（2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.4.人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表：子女血型的概率父母血型的基因类型组合O A B ABai bi⨯⨯ai bb⨯aa bi⨯aa bb⨯，得子女血型的基因类型有【答案】解：当父母血型的基因类型组合ai bi则O型血的概率为0，A型血的概率为0，B型血的概率为0，AB型血的概率为1，填入表中，如表所示：能结果如下：,,,ai ab bi ii ，,,,ab ab bi bi ，,,,ab ai ab ai ，,,,ab ab ab ab 共16个，P258综合运用5．“用事件A 发生的频率f （A ）估计概率P （A ），重复试验次数n 越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明．【答案】略6.在一个袋子中放6个白球，4个红球，揺匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球.设事件=i A “第i 次摸到红球”，i =1，2，3.（1）在两种摸球方式下分别猜想事件123,,A A A 发生的概率的大小关系；（2）重复做10次试验，求事件123,,A A A 发生的频率，并填入下表.放回摸球不放回摸球()101f A ()102f A ()103f A （3）在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率()103f A 差别大吗？在不放回摸球方式下，事件123,,A A A 的频率差别大吗？请说明原因.【答案】（1）有放回摸球，每次试验，摸到红球的概率相等，无放回摸球，可以看成对十个球进行排序，红球在任何一个位置都是等可能的，所以概率相等；。