【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第二章 函数与基本初等函数2-1 Word版含解析

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2014·某某期中试题)函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R [答案]C[解析]函数的定义域就是使函数式有意义的自变量x 的取值X 围，本题中要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，所以x ≥－1且x ≠0，故选C. (理)(2014·某某市一中月考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案]B[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，得－13<x <1，所以选B.2．(文) (2011·某某月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝1xC ．y ＝－(12)x D ．y ＝[答案]B[解析]由对数函数和幂函数的单调性可知，A ，D 在(0，＋∞)递增；由指数函数的单调性可知y ＝(12)x 在R 内单调递减，故y ＝－(12)x 递增；由反比例函数y ＝1x 的图像可知，函数在(0,1)上是减函数，故选B.(理)(2014·某某质量调研)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2x D ．f (x )＝－tan x [答案]C[解析]f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调．f (x )＝－x 为非奇非偶函数．f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.3．(文)(2014·某某调研) 已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0(x >0)π(x ＝0)π2＋1(x <0)，则f (f (f (－1)))的值等于( ) A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．π D ．0 [答案]C[解析]f (－1)＝π2＋1，所以f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π，选C.(理)(2014·某某调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 [答案]B[解析]本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的X 围，43>0，∴f (43)＝2×43＝83.－43<0，∴f (－43)＝f (－43＋1) ＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝2×23＝43，∴f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4. 4．(文)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.36C.33D.24[答案]D[解析]由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x －12＝8－12＝18＝24，选D.(理)(2014·某某一模) 已知集合A ＝{x ∈R|2x <e }，B ＝{x ∈R|1x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ∈R|0<x <log 2e }B ．{x ∈R|0<x <1}C ．{x ∈R|1<x <log 2e }D ．{x ∈R|x <log 2e } [答案]B[解析]因为集合A ＝{x ∈R|2x <e }＝{x ∈R|x <log 2e }． B ＝{x ∈R|1x >1}＝{x ∈R|0<x <1}，所以A ∩B ＝{x ∈R|0<x <1}．5．(2014·某某省高阳中学高三上学期第一次月考)已知函数f (x )＝ln(21－x ＋a )(a 为常数)是奇函数，则实数a 为( )A ．1B ．－3C ．3D ．－1 [答案]D[解析]函数在x ＝0处有意义，所以f (0)＝ln(2＋a )＝0，得a ＝－1.6．(2014·某某一中上学期期中考试)设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．Q <R <P B ．R <Q <P C ．Q <P <R D ．R <P <Q [答案]B[解析]题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，它们都是增函数，从而知0<log 32<1，log 23>1，log 2(log 32)<0，因此选B.7．(2014·某某调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中abc <0，则函数图像可能是( )[答案]C[解析]a <0时，开口向下，因为abc <0，所以b ，c 同号，对于A 、由图像可知c >0，则b >0，∴－b 2a >0，选项A 不符合题意，由B 图可知c <0，故b <0，∴－b2a <0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项B 不符合题意，当a >0时，因为abc <0，所以b ，c 异号，由C ，D 图可知c <0，故b >0，∴－b2a<0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项D 不符合题意，C 符合，故选C.8．(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥01，x <0，若f (4)＝f (0)，f (2)＝2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]因为f (4)＝f (0)，f (2)＝2，所以16＋4b ＋c ＝c 且4＋2b ＋c ＝2，解得b ＝－4，c ＝6，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥01，x <0.当x ≥0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得x 2－4x ＋6－x ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x＝3.当x <0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得1－x ＝0，解得x ＝1，不成立，舍去． 所以函数的零点个数为2个，选C.9．(2014·湘西州联考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞) [答案]B[解析]令g (x )＝6－ax ，∵对数的底数a >0，∴g (x )在[0,2]上为减函数， 又∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴a >1且6－2a >0， 即1<a <3.10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆Ox 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是( )A ．f (x )＝e x ＋e －x B ．f (x )＝ln5－x5＋xC ．f (x )＝tan x2D ．f (x )＝4x 3＋x[答案]A[解析]由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A 中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图像不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不为“和谐函数”；B 中，f (0)＝ln 5－05＋0ln1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；C 中f (0)＝tan0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；D 中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”；故选A.(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．γ>α>βB ．β>α>γC ．α>β>γD ．β>γ>α [答案]A[解析]g ′(x )＝1，所以由g (α)＝g ′(α)得α＝1.h ′(x )＝1x ＋1，所以由h (β)＝h ′(β)得ln(β＋1)＝1β＋1，由图像可知0<β<1，φ′(x )＝3x 2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)计算3log 32＋lg 12－lg5的结果为________．[答案]1[解析]由对数恒等式知3log 32＝2，根据对数运算法则知lg 12－lg5＝lg(12÷5)＝lg 110＝－1，∴3log 32＋lg 12－lg5＝2－1＝1.(理)(2014·苏北四市高三调研)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．[答案]x ＝log 34[解析]两边同乘以3(3x －1)，整理得：13·(3x )2－43·3x －8＝0，解得x ＝log 34. 12．(文)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值为________．[答案]0或3[解析]当a >0时，f (a )＝log 3a ＝1，解得a ＝3； 当a ≤0时，f (a )＝(13)a ＝1，解得a ＝0.综上a ＝0或3.(理)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案]－34[解析]本题是分段函数，1－a 与1＋a 哪个大于1，哪个小于1不确定，因此分类讨论，a >0时，1－a <1,1＋a >1，f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a,2－a ＝－1－3a ，a ＝－32<0，不合题意，舍去；同理a <0时，得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a＝－34，符合题意．故a ＝－34.13．(文)(2014·某某市一模)已知方程x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值X 围为________．[答案][－7，－1)[解析]由x 2＋2x ＋2a －1＝0，参变量分离得 2a ＝－(x ＋1)2＋2，记f (x )＝－(x ＋1)2＋2，且x ∈(1,3]， 所以－14≤f (x )≤－2，即－14≤2a <－2. 故实数a 的取值X 围为[－7，－1)．(理)(2014·某某市摸底考试)若存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案]a >0[解析]∵存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立， ∴a >(4x －2x )min ，∴令y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14，∵x >0，∴2x >1，∴y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14>0，∴a >0.14．(2014·某某省某某一中期中考试)对于函数f (x )定义域中任意的x 1, x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2) ，②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2，当f (x )＝ln x 时，上述结论中正确结论的序号是________． [答案]②④[解析]把函数f (x )＝ln x 代入结论①②：ln(x 1＋x 2)＝ln x 1ln x 2，ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0说明x 1<x 1时，f (x 1)>f (x 2)从而f (x )为减函数，但函数f (x )＝ln x 是增函数，故③错误；④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2等价于ln x 1＋x 22>ln x 1＋ln x 22⇔ln x 1＋x 22>ln(x 1x 2)12⇔x 1＋x 22>x 1x 2，当x 1，x 2>0且x 1≠x 2时，上式显然成立．故④也是正确的．15．(文)(2014·某某调研)定义在R 上的函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |，满足f (2x －1)>f (x ＋1)，则x 的取值X 围是________．[答案]x >2或x <0[解析]因为函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f (2x －1)>f (x ＋1)，得|x ＋1|<|2x －1|，解得x >2或x <0.(理)已知函数f (x )＝lg(x ＋x 2＋1)＋x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则a 的取值X 围是________．[答案]{a |a >1，或a <－2} [解析]f (－x )＝lg(x 2＋1－x )－x＝lg(1x 2＋1＋x)－x ＝－lg(x 2＋1＋x )－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )递增， 故x ∈R 时，f (x )递增，所以 f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)， ∴1－a 2<a －1，解得a >1，或a <－2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)用定义证明函数f (x )＝x 2＋2x－1在(0,1]上是减函数．[解析]证明一个函数为单调函数，根据定义设x 1，x 2为所给区间上的任意两个实数，且x 1<x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，但一定要注意的是，对差f (x 1)－f (x 2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差f (x 1)－f (x 2)是正是负．证明：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0,1]，则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<1，x 1＋x 2<2，2x 1x 2－(x 1＋x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋2x －11－x 22－2x －12＝(x 21－x 22)＋2(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)[2x 1x 2－(x 1＋x 2)]>0.∴函数f (x )＝x 2＋2x －1在(0,1]上是减函数．17．(本小题满分12分)(文) (2014·某某部分重点中学教学检测) 已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析]∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数， ∴当x >0时，－x <0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2， 故当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2. ∴当x ∈[1，32]时，f (x )是增函数；当x ∈[32，3]时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f (32)＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.(理)(2014·某某调研)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a >0，a ≠1)． (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．[解析](1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝4 ①(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ②由②得log 2a ＝0或log 2a ＝1， 解得a ＝1(舍去)或a ＝2， 由a ＝2得k ＝2.(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某第一次质检)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的X 围． [解析](1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图像的对称轴为直线x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.所以m 的取值X 围为m ∈(－∞，－1)．(理)(2014·某某潍坊模拟) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >00，x ＝0x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值．(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．[解析](1)设x <0，则－x >0,∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2) 根据(1)中所求m ＝2，利用函数的图像，可知函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)单调递减，在(－1,1)单调递增，又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )图像可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1，∴1<a ≤3. 从而实数a 的取值X 围是(1,3]．19．(本小题满分12分)(文)(2014·某某市月考)已知f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，g (x )＝λf (x )，(1)某某数a 的值；(2)若g (x )≤x log 2x 在x ∈[2,3]上恒成立，求λ的取值X 围．[解析](1)∵f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝ln(e 0＋a )＝0，解得a ＝0.(2)由(1)f (x )＝x ，不等式g(x)≤x log2x为λx≤x log2x，∵x∈[2,3]，∴λ≤log2x.在x∈[2,3]时，log2x的最小值为log22＝1，故λ≤1.∴λ的取值X围是(－∞，1]．(理) (2014·某某市调研)设函数f(x)＝a x－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值X 围．[解析](1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，当k＝2时f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)，f(－x)＝－f(x)成立，函数f(x)是奇函数，∴k＝2.另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)a x＝－a x＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(a x＋a－x)＝0，又∵a x＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵a x单调递减，a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.20．(本小题满分13分)(2014·某某一中上学期期中考试) 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)若关于x 的方程F (x )－m ＝0在区间[0,1)内仅有一解，某某数m 的取值X 围．[解析](1)F (x )＝2f (x )＋g (x )＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a >0且a ≠1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，所以函数F (x )的定义域为(－1,1)．令F (x )＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0(*)方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x )，(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.经检验x ＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0，所以函数F (x )的零点为0.(2)m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(0≤x <1) m ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)， a m ＝1－x ＋41－x－4， 设1－x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝t ＋4t在区间(0,1]上是减函数， 当t ＝1时，此时x ＝1，y min ＝5，所以a m ≥1.①若a >1，则m ≥0，方程有解；②若0<a <1，则m ≤0，方程有解．21．(本小题满分14分)(文)某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低3x 4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)，(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．[解析](1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x 4元，年销售量为1－2x万件 纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x ＝198.5－400x －x 4(万元) (2)f (x )＝198.5－400x －x 4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5 等号当且仅当400x ＝x 4此时x ＝40(万元)即f (x )的最大值是178.5万元，以及f (x )取得最大值时x 的值40万元．(理)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析](1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)． 所以L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000 此时，x ＝10000x，即x ＝100时L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x | [答案]C[解析]本题考查了偶函数的判断及单调性的判断，y ＝1x是奇函数，A 错；y ＝e －x 是非奇非偶函数，B 错；y ＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0lg (－x )，x <0，，当x >0时是增函数，D 错；由二次函数图像性质知C 正确.(理)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 [答案]B[解析]∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上是增加的，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.选B. 2．(文)函数y ＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)内是增加的B ．在(－1，＋∞)内是减少的C ．在(1，＋∞)内是增加的D ．在(1，＋∞)内是减少的 [答案]C[解析]函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．根据复合函数的单调性可知，y 1＝1x －1在(1，＋∞)上是减少的．所以y ＝1－1x －1在(1，＋∞)上是增加的． (理)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案]B[解析]本题考查函数的奇偶性以及单调性．对于A ，y ＝x 3不是偶函数，A 错误；B 正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C ，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D ，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B.3．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4) [答案]C[解析]本题考查函数的值域的求法以及换元的方法． 令u ＝16－4x ，则y ＝u ，u ≥0， 因为4x >0，－4x <0，所以0≤16－4x <16 ∴y ＝u ∈[0,4)，故选C.4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)， 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) [答案]A[解析]由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．在A 中，由f ′(x )＝－1x 2<0，得x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)<0得x <1， 所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C 中，由f ′(x )＝e x >0，知f (x )在R 上为增函数． 在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1>0知，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)[答案]A[解析]本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题． 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0，选A.6．(文)函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) [答案]A[解析]由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．(理)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32] B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案]D[解析]函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．二、填空题7．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减少的，则a 的取值X 围是________．[答案][0，34][解析]当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，显然f (x )在(－∞，3)上是减少的．当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，3)上是减少的，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)2×2a ≥3，即0<a ≤34.综上可知a ∈[0，34]．8．(文)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和为________． [答案]8[解析]函数y ＝x ＋2x 在其定义域上是增函数，所以x ＝0时有最小值N ＝0，x ＝4时有最大值M ＝8，M ＋N ＝8.(理)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． [答案]⎣⎡⎦⎤0，32 [解析]y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.9．(文)若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．[答案]3[解析]对于g (x )＝x ＋1x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2，∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3.∴f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )在该区间上的最大值为3.(理)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值X 围是________．[答案](－∞，1][解析]本题考查指数函数与分段函数的对称性． ∵f (x )＝e |x |的对称轴为x ＝0，∴f (x )＝e |x －a |的对称轴为x ＝a ，若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a ≤1. 三、解答题10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围． [解析](1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上知0<a ≤1.能力强化训练一、选择题1．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a (x <0)，a x (x ≥0)(a >0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(0，23]B ．(13，1)C ．(2,3)D ．(12，23][答案]A[解析]由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f (0)＝a 0≤3－3a .化简得0<a ≤23.(理)(2013·某某高考)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]C[解析]本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.2．定义在R 上的函数f (x )的图像关于x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32 [答案]B[解析]∵f (x )的图像关于x ＝1对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫43.又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，且43<32<53，∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13. 二、填空题3．函数y ＝1－x 21＋x 2的值域为________．[答案](－1,1][解析]解法1：(反解法)由y ＝1－x 21＋x 2得x 2＝1－y 1＋y≥0，解得－1<y ≤1.解法2：(分离常数法)y ＝1－x 21＋x 2＝－(x 2＋1)＋2x 2＋1＝－1＋2x 2＋1.∵x 2＋1≥1，∴0<2x 2＋1≤2，∴－1<－1＋2x 2＋1≤1.4．(文)设a ，b ∈R ，定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥bba <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )，则f (x )的最小值是______．[答案]32[解析]令y 1＝|x ＋1|，y 2＝|x －2|，在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f (x )的图像为图中的射线P A ，PB 构成，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝x ＋1，解得y ＝32.即为函数f (x )的最小值．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值X 围是________． [答案](－2,1)[解析]由图像知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析](1)设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0. f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的． (2)f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2. ∴⎩⎨⎧1a －2＝121a －12＝2，∴a ＝25.(理)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．[分析] 在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑．[解析](1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知f (x )在[1,2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，易知f (x )在[1，＋∞)上为增加的，∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋ax ＋2在(0，a ]上是减少的，在[a ，＋∞)上是增加的．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋ ∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2； 若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间 [1，＋∞)上是增加的． ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3(0<a ≤1)2a ＋2(a >1).6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性； (2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．[解析](1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )>0，∴f (x 1x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，因此f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)．由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，得f(164)＝f(16)－f(4)，而f(4)＝2，∴f(16)＝4.∴f(x)在[5,16]上的最大值为4.。

基础达标检测一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副 [答案] D[解析] 利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4000)≥0.解得x ≥800.2．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 2 [答案] D[解析] y ＝12·x ·x ·sin60°＝34x 2.(理)2010年7月1日某人到银行存入一年期款a 元，若年利率为x ，按复利计算，则到2015年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )6元C ．a ＋(1＋x )5元D ．a (1＋x 5)元[答案] A[解析] 因为年利率按复利计算，一年后可取回a (1＋x )元，二年后可取回a (1＋x )2元，…，所以到2015年7月1日可取款a (1＋x )5.3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元[答案] A[解析] 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．(文)(原创题)《走向高考》系数丛书2014年的销量比2012的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的销量确定[答案] B[解析](1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B.(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为() A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.51[答案] B[解析]依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大()A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C [解析] 由图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25x ＋12，故x ＝5时y x 最大．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min ，组装第A 件产品用时15min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[答案] D [解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解． 依题意：当x ≤A 时，f (x )单调递减；当x ≥A 时，f (x )恒为常数．因此，c 4＝30，c A＝15，解得：c ＝60，A ＝16，故选D. 二、填空题7．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择.亿元，则应选的项目是________(只需写出项目的代号)．[答案] A 、B 、E 或B 、D 、E 、F[解析] 当投资为13亿元且利润大于1.6亿元时，有以下两种投资选择方案：f (A ，B ，E )＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(亿元)；f (B ，D ，E ，F )＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(亿元)．8．(2014·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案] 4[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.9．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2 500[解析]总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.故当Q＝300时，总利润最大，为2 500万元．三、解答题10．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．[解析]设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货货款总额为8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10，则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.能力强化训练一、选择题1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 [答案] A [解析] 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.2．对函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 作代换x ＝g (t )，则总不改变f (x )值域的代换是( )A ．g (t )＝log 12 tB ．g (t )＝(12)tC ．g (t )＝(t －1)2D ．g (t )＝cos t [答案] A[解析] 只有A 中函数的值域与f (x )中x 的取值范围一致，即R ，所以只有A 中函数代换后f (x )值域不变．二、填空题3．如图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．[答案] 30cm,20cm[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[答案] 6 10 000[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力．(1)M ＝lg1 000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A 9，A 5，则9＝lg A 9－lg A 0,5＝lg A 5－lg A 0，两式相减得4＝lg A 9－lg A 5＝lg A 9A 5，即A 9A 5＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．三、解答题5.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系．[解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．6．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由．[解析] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习7-2基本不等式课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是() A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]本题考查一元二次方程根的个数问题．“方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m2－4>0，解得m>2或m<－2.2．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，则()A．a≥1 B．a<－1C．a>－1 D．a∈R[答案]C[解析]∵不等式的解集为{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.3．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列{a n}的第四项为()A．3 B．－1C．2 D．3或－1[答案]D[解析]∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3.∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.4．不等式4x－2≤x－2的解集是() A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案]B[解析]①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值X 围是( )A ．－1<a <15B ．a >15C ．a <－1或a >15D ．a <－1 [答案]C[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号．[解析]由题意得f (－1)·f (1)<0，即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C. 6．(文)(2013·某某高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝()A.52B.72C.154D.152[答案]A[解析]∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为(x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ，∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52. (理)(2013·某某高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值X 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30][答案]C[解析]本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t ，由相似知识得x 40＝40－t 40， ∴t ＝40－x ，所以(40－x )x ≥300，即x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30，故选C.二、填空题7．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值X 围为________．[答案]－1<a <1[解析]令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a <1.8．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则p q＝________. [答案]127[解析]由－4<2x －3<4，得－12<x <72. 由题意得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ， ∴p q ＝127. 9．关于x 的不等式ax x －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a ＝____________. [答案]12[解析]原不等式可化为(a －1)x ＋1x －1＜0. ∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}，∴a －1＜0且－1a －1＝2. ∴a ＝12. 三、解答题10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .[解析](1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.能力强化训练一、选择题1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案]C[解析]因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x >0，即⎩⎨⎧ x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C.2．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是() A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]本小题主要考查不等式解法．∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1)得x 2－4x ＋6>3，∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( ) A ．{x |－1≤x ≤2－1} B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}[答案]C[解析]不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1 或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1， 解不等式组(1)得x <－1；解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.二、填空题3．(2013·某某高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为_____________．[答案](－5,0)∪(5，＋∞)[解析]本题考查函数性质和解不等式应用．当x >0时，x 2－4x >x ，∴x >5，当x ＝0时，f (0)＝0，不合题意．当x <0时，－x >0时，f (－x )＝(－x )2＋4x ＝x 2＋4x ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x >x ，∴－5<x <0，综上f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．4．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．[答案]20[解析]由题意得，3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.三、解答题5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝⎛⎭⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值X 围．[解析](1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a . ∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1. 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0<m ≤12. 6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值X 围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．[解析](1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值X 围是(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0.所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m |m <67}．方法二：因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34， 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值X 围是{m |m <67}．。

1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：选B.因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排除选项A 和C ；又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D ，故选B.2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1C ．3 D.3＋2解析：选D.因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 016)＋f (2 017)＝f (672×3＋0)＋f (672×3＋1)＝f (0)＋f (1)，而由图像可知f (1)＝1，f (0)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＝0＋1＝1.4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x －2，g (x )＝x 3＋tan x ，那么( )A ．f (x )·g (x )是奇函数B ．f (x )·g (x )是偶函数C ．f (x )＋g (x )是奇函数D ．f (x )＋g (x )是偶函数解析：选A.由已知易得f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，故f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数，A 正确，B 错误；f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f (x )在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f (3)＜f (1)，则( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (0)＞f (－1)C ．f (－1)＜f (1)D ．f (－3)＞f (－5)解析：选A.函数f (x )在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f (3)＜f (1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f (x )在区间[－5，5]上是减函数． 选项A 中，－3＜－1，故f (－3)＞f (－1)．选项B 中，0＞－1，故f (0)＜f (－1)．同理，选项C 中f (－1)＞f (1)，选项D 中f (－3)＜f (－5)．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图像如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________． 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.★答案☆：－－x －18．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________．解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． ★答案☆：1 －19．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.★答案☆：－110．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1， 则g (－x )＝－2x －sin x x 2＋1＝－g (x )， 所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.★答案☆：211．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．－1C.45 D ．－45解析：选B.因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )的周期为4，由4<log 220<5得f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 45＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。

基础达标检测一、选择题1．函数y ＝1－1x －1的图像是( )[答案] B[解析] 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) [答案] C[解析] y ＝f (－|x |)＝⎩⎨⎧ f (－x )，x ≥0，f (x )，x <0.3．(文)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[答案] A[解析] 本题考查函数的图像与性质．∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1，则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0，所以排除B 、D ，选A.(理)(2013·四川高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )[答案] C[解析]本题考查函数图像的形状．函数的定义域为：3x－1≠0，∴x≠0，排除A；取x＝－1，则f(－1)＝－11 3－1>0，排除B；当x→＋∞时，3x－1比x3增大要快，∴x33x－1大于0而且趋向于0，排除D. 故选C.4．函数y＝2x－x2的图像大致是()[答案] A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是()①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④[答案] C[解析]由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C.6．(2013·北京高考)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1[答案] D[解析]∵曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x 的图像向左平移1个单位即得到函数f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案]x[解析]因为f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x.8．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．[答案](2,8][解析]当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．9．(2014·厦门调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．[答案] 6[解析]在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.三、解答题10．若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？[解析]原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①作出函数y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)的图像如图，显然该图像与直线y ＝a 的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当 3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝1314时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解.能力强化训练一、选择题1．(2013·安徽高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A．{2,3} B．{2,3,4} C．{3,4} D．{3,4,5} [答案] B[解析]如图所示f(x1)x1＝f(x2)x2＝…＝f(x n)x n.可以看作点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(x n，f(x n))与原点(0,0)连线的斜率．对于l1，l2，l3满足条件的x分别有2个、3个、4个，故选B.2．(文)(2014·宁都一中月考)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图像如图所示，则函数g(x)＝log a(x＋b)的图像可能为()[答案] B[解析] 由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图像可知，a >1,0<b <1，所以排除A ，D ；函数g (x )的图像是由函数u (x )＝log a x 的图像向左平移b 个单位得到的，故选B.(理)(2014·南丰调研)我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf (x 1＋x 2＋…＋x n n )，那么下列四个图像中在[0，π2]上满足凹函数定义的是( )[答案] A[解析] 要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A ，B ，C 这三个选项中可以考虑特殊值法．取x 1＝0，x 2＝π2，则显然选项B ，C 不满足f (x 1)＋f (x 2)≥2f (x 1＋x 22)，故选A.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案] 0[解析] 由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 [解析] 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >14a －14<1，解得1<a <54.4．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝________.[答案] 3[解析]由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2014)＋f(2015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2014)＋f(2015)＝1＋2＝3.三、解答题5．(文)已知函数f(x)＝2x－a2x，将y＝f(x)的图像向右平移两个单位，得到y＝g(x)的图像．(1)求函数y＝g(x)的解析式；(2)若函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝1对称，求函数y＝h(x)的解析式．[解析](1)由题设，g(x)＝f(x－2)＝2x－2－a2x－2.(2)设(x，y)在y＝h(x)的图像上，(x1，y1)在y＝g(x)的图像上，则⎩⎨⎧ x 1＝x ，y 1＝2－y ，∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2.(理)设函数f (x )＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．[解析] (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．6．(2014·南昌模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．[解析](1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图像上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图像上，所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，－2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋7，x ∈[－4，－2]－2x －1，x ∈[－2，0].。