江西信丰中学2020届高三数学(理)第一次月考试卷附答案详析

江西省信丰中学2020届高三数学上学期周考七（理B 层）一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A B ．-C D ． 2．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2222222cos a b cA bc +-=+，2a c =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C4．将函数f （x ）=sin （ωx +4π）（ω＞0）的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则函数f （x ）的最小正周期不可能是（ ） A ．9πB ．5π C ．πD ．2π5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，A ≠2π，sin C ＋sin(B －A )sin 2A ，则角A 的取值范围为( ) A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A.3π-B.0C.3π D.23π 7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（ ）（米/秒） A ．110B ．310C ．12D ．7108．已知()2sin f t t =，[,]62t ππ∈，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2222x mx m x +-<+恒成立，则x 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2)C ．(1,1]-D ．(1,2)-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 10．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.11.如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3AD =，则BD 的长为______． 12．已知ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足()2cosA a s b C c co -＝.若3a ＝，则ABC ∆周长的最大值为_________．三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）13．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且22cos c a B =，a =（Ⅰ）若c =ABC ∆的面积；（Ⅱ）若ABC ∆c -的取值范围. 14．已知函数ln ()()xf x a x a=∈+R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线与直线80x y ++=垂直. （1）试比较20192018与2018 2019的大小，并说明理由；（2）若函数()()=-g x f x k 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：212x x e ⋅>.高三（理科）数学周考七答案（对半裁）一、选择题 1-4、CDCD 5-8、BDBA 二、填空题 9．43-10．91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,11．9 三、解答题13．解：（Ⅰ）∵22cos c a B =，由正弦定理得，2sin 2sin cos C B A B -=，∴()2sin 2sin cos A B B A B +=，∴2cos sin A B B =， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴cos A =，∵()0,A π∈，∴6A π=.……………………2分由余弦定理得：2732b =+-， 2340b b --=，()()410b b -+=，∴4b =……………4分∴111sin 4222ABC S bc A ∆==⨯=……………6分（Ⅱ）由正弦定理得：1sin sin sin 2a b c A B C ====5sin 6c B B π⎤⎛⎫-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦1cos 26B B B π⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.……………8分 ∵ABC ∆是锐角三角形，∴32B ππ<<，……………9分663B πππ<-<，1sin 26B π⎛⎫<-<⎪⎝⎭11分c -∈.……………12分14．解：（1）函数ln ()()x f x a x a =∈+R ，21ln ()()ax xf x x a +-'=+，所以21(1)(1)a f a +'=+， 又由切线与直线80x y ++=垂直， 可得()11f '=，即111a=+，解得0a =，……2分 此时2ln 1ln ()()x xf x f x x x -'=⇒=， 令()0f x '>，即1ln 0x ->，解得0x e <<， 令()0f x '<，即1ln 0x -<，解得x e >，即有()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减……………4分 所以ln 2018ln 2019(2018)(2019)2019ln 20182018ln 201920182019f f ⇒>⇒>⇒>即2019201820182019>……………5分 （2）不妨设210x x >>，由条件：()()2122110ln ln 0g x g x x kx x kx ==⇒-=-=()1212ln ln x x k x x +=+，()1212ln ln x x k x x -=-……………6分要证：212x x e ⋅>只需要证：12ln ln 2x x +>，也即为()122k x x +>，由2121ln ln x x k x x -=-只需要证：()2121221121212ln ln 2ln x x x x x x x x x x x x -->⇒>-++，……………6分设211x t x =>即证：2(1)ln (1)1t t t t ->>+，设2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+，……………10分 则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++ ()h t 在()1,+∞上是增函数，故()(1)0h h ι>=，即()21ln 1t t t ->+得证，所以212x x e ⋅>.……………12分。

2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RAB ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞， 所以(),3RB =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =， 所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2， 故选：C 【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆=⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】 因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+， 所以该复数位于第四象限，故选D ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.6．已知集合{}2|4120A x x x =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB==,所以()()()4|5P ABP B AP A==，故选A.【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（）①若mα⊥，nβ⊥，则//m n；②若mαγ=，nβγ=，//m n，则//αβ；③若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果. 【详解】因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射， 由22y x x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象， 所以(],1t ∉-∞，因此1t >. 故选：A. 【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型.11．已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =在区间(),-∞+∞上既是奇函A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象. 【详解】 解：函数()(2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()(2log a f x x x b =+在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a g x x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）555【答案】C【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围．【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤， 又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-． 由()g x 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．二、填空题13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案； 【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式6(2x x展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个． 【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果. 【详解】由()()()0h x f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期； 又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤． （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤．【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式； （2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅；当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-； 当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-； ∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x a xa R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->．（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B ⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()3122x a x a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆， 所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-． （2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-， 对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆；②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩， 又因为2m >，所以23m <≤，综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件． 【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-； 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． 即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）．当80x ≥时，10000()120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）． 因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26． 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512 C.514+ D.512+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0PQ =，则P Q =（ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,2 C ． {}3,0,1 D ．{}3,0,1,22．已知α、β均为锐角，若p ：sinα＜sin （α+β），q ：α+β＜，则p 是q 的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 3.已知函数，则该函数是（ ）A ． 非奇非偶函数，且单调递增B ． 偶函数，且单调递减C ． 奇函数，且单调递增D ． 奇函数，且单调递减4.函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，6）5. 已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=x 21垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．m ≤2B ．m>2C ．m ≤21 D ．m>21- 6．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-（ ） A. 25-B.35-C. 310-D. 257.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ） A.21 B. 61 C. 41 D. 318．函数()()221x a x af x x+--=是奇函数,且在()0,+∞上单调递增,则a 等于（ ）A.0B.-1C.1D.1±9.、已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是（ ）(A) (,0]-∞ (B) (,1]-∞ (C) [－2,1] (D) [－2,0] 10.已知定义在R 上的奇函数f （x ），设其导函数f′（x ），当x ∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x ）＜f （﹣x ），则满足的实数x 的取值范围是（ ）A ． （﹣1，2）B ． （﹣1，）C ． （，2）D ． （﹣2，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

信丰中学高三理科数学加练〔四〕命题人： 审题人：一、单项选择题〔每题5分，总60分〕 1．设集合，，那么〔 〕A ．B ．C ．D ．2．命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，那么以下命题中为真命题的是( ) A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．p q ∧ A.B.C.D.5．两向量，，那么在方向上的投影为( )A.B. C.D.6．函数，假设，那么不等式恒成立，那么实数的取值范围是( ) A.B.C.D.7．()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，假设a b +与a b -夹角为90，那么212sin cos cos θθθ=+〔 〕A ．1B ．1-C ．5D ．158．数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,那么数列{}n a 的前10项和为〔 〕 9．定义式子运算为将函数3sin ()1cos xf x x=的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值为〔 〕 A ． B ． C ． D ．10．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =，那么sin sin A B +的最大值是〔〕A.1B.2C.311．数列{}n a 满足143a = ，且*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈ 那么122017111a a a ++的整数局部是() A ．0 B ．1 C ．2D ．312．函数，，假设与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，那么实数的取值范围是〔 〕A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数()()1ln 11xxxf x e ex--=+-+，假设()1f a =，那么()f a -=______________。

14．假设1tan 2α=，那么cos(2)2πα+=_____________.15．ABC 的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，()()()3sinB sinA c sinC a a +-=-，且b 3=，那么ABC 面积的最大值为______。

精益求精之美作者：龚嘉斌婵子来源：《音响改装技术》2013年第03期本刊在前不久曾测试过阿尔派的一款10.2英寸的超大屏幕导航主机，其震撼效果让笔者记忆犹新，大屏幕带来的视觉效果不言而喻，而且，阿尔派独特的设计风格也是着实让人叹为观止。

但针对一些车内空间较小，外形比较秀气的车型来说，这样的大屏可能就显得过于偏大，那么本次，笔者将给大家带来一款同为阿尔派的6.1英寸的导航主机。

相比于市面上主流的导航主机，阿尔派INE-W601C导航主机显得比较秀气，这恰好能让它与一些小空间的车型达到完美的匹配。

从外形上看，阿尔派INE-W601C导航主机延续了阿尔派一贯的设计风格，精致无比的外观让它原本娇小的身躯显得更加地秀外慧中，笔者相信，这款产品一定能博得女性车主们的一致好评。

而且，俗语有云：“麻雀虽小，五脏俱全”，这在阿尔派INE-W601C导航主机身上也得到了充分得体现。

阿尔派INE-W601C导航主机采用了ALL in One的设计理念，集影音、导航、蓝牙和iPod 播放等功能于一体，操作简单方便，是一台高性价比的实用型个性AVN产品。

在硬件配置上，这款导航主机内置45W x 4功率放大器，拥有6.1英寸的WVGA触摸显示屏，支持DVD±R/±RW/MP3/WMA播放，支持MPEG-1/MPEG-2/AVI 视频格式播放和JPEG图片浏览，还支持iPod音、视频内容播放。

另外特别值得提及的功能也有几个。

蓝牙功能与用户切换首先，这款主机具有蓝牙免提功能，可以让车主驾驶通讯两不误。

而且，通过用户匹配蓝牙手机后，主机自动同步手机上的电话簿，通过屏幕拨打或者挂断电话，大大提高了驾驶的安全性，还可以通过蓝牙对手机里面的音乐进行播放，让使用更加方便快捷。

而且，这款主机中还可以自动切换当前用户的设定信息，车主可以通过蓝牙连接手机，把手机和用户1或者用户2进行绑定，然后选择“自动切换用户”，这样只要再连接这款手机，就可以自动切换到该用户的“我的最爱”信息。

2020学年高三年级半月考数学（一）(理BC)试卷命题人：许平 审题人：杨小员一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.１、已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U I 等于（ D ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2、“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( B )A ．充分不必要条件 、、B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、函数1y =+04x ≤≤）的反函数是（ A ）A ．2(1)y x =-（13x ≤≤） B.2(1)y x =-（04x ≤≤）C.21y x =-（13x ≤≤） D.21y x =-（04x ≤≤）4、函数)(x f y =与函数x y 2log =的图象关于直线0＝x 对称，则（ C ） A ．xx f 2)(-= B ．xx f 2)(= C ．)(log )(2x x f -= D ．x x f 2log )(-= 5、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 6、已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ，则yx 311+的最小值是 （ C ）A ．2B ．22C ．4D ．327．函数()x log a x f a x+=在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为41-，最大值与最小值之积为83-，则a 等于（B ） A ．2 B ．21 C ．2或21 D ．328．函数()2ax x log y 2a +-=在[2，+∞]上恒为正数，则实数a 的取值范围是 （C ）A ．0<a<1B ．1<a<2C ．1<a< 25D ． 2<a<39．若函数f (x)= e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为（C ）A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角 10、若关于x 的方程242+=-kx x 只有一个实根，则实数k 的取值为（ D ） A ．0=k B ．10>=k k 或 C ．11-<>k k 或 D ．110-<>=k k k 或或 11、设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C )Ａ．13 Ｂ．2 Ｃ．132 Ｄ．21312．设 f (x)的定义域为R 且存在反函数，若f(2x －1)与()1x f 1+-互为反函数，且已知()x f lim 1x -+∞→存在，则()x f lim 1x -+∞→)等于（A ）A ．1B ．21 C ．2 D ．23 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．不等式x >61x -的解集是 14、不等式056)5(2>++--a x x a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（－4，4）. .15、函数12()log (423)x x f x +=-+的值域为______[1，+∞) ___________.16、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于()x f 的判断：①()x f 是周期函数； ②()x f 的图像关于直线x ＝1对称③()x f 在[0，1]上是增函数 ④()()02f f = 其中正确的判断是 124 （把你认为正确的判断都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。