2013届高考文科数学一轮复习课时作业(25)平面向量的数量积B

高三数学一轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )A.12B.233 C ．2 D. 3解析：选A.c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝|a |2－12|a ||b |＝0，∴|a ||b |＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49 解析：选A.M 是BC 的中点，则 PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝PA →·A P →＝－(PA →)2＝－(23MA →)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA→|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，得a ·b ＝－2＋8＝6， ∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 25．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|＝________.解析：AP →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝－2 ∴|AC →|＝ 5. 答案： 56．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0. 16k －16(2k －1)－2×64＝0， ∴k ＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：选B.∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.2．共点力F 1(lg2，lg2)，F 2(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：选D.F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2) 又s ＝(2lg5,1)所以W ＝F ·s ＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．120°D ．150°解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c 所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b)b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·aa ·b)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．因此，AP →·BP →＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值1，此时P (3,0)． 答案：(3,0)8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°， ∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30°10．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7， ∴|a ＋2b |＝7. (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.∴a·b ＝|a |2.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝32.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°， ∴〈a ，b 〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2， 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即co s(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A2)，n ＝(cos A 2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．。

高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。

第2讲 平面向量的数量积1．(2011年辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．122．(2011年湖北)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π43．(2013年广东东莞二模)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．24．扇形OAB 的半径为2，圆心角∠AOB ＝90°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，则CD →·OB →的值为( )A. 2 B ．2 2C ．0D ．35．(2013年大纲)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2012年新课标)已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.7．(2012年安徽)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________．8．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.9．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．10．在△ABC 中，A (2,3)，B (4,6)，C (3，－1)，点D 满足CA →·CD →＝CB →·CD →.(1)求点D 的轨迹方程；(2)求|AD →|＋|BD →|的最小值．第2讲 平面向量的数量积1．D 解析：∵2a －b ＝(5,2－k )，∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5，2－k )＝10＋2－k ＝0，∴k ＝12.2．C 解析：因为2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，所以|2a ＋b |＝3 2，|a －b |＝3.设2a ＋b与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b ||a －b |＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 3．A 解析：根据投影的定义，可得向量a 在向量b 方向上的投影是：|a|cos α＝ab |b|＝－4.故选A.4．B 解析： CD →·OB →＝(CO →＋OD →)·OB →＝CO →·OB →＋OD →·OB →＝0＋|OD →|·|OB →|cos π4＝2 2. 5．B 解析：因为(m ＋n )⊥(m －n )，则m 2＝n 2，即(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22,2λ＝－6，λ＝－3.6．3 2 解析：因为|2a －b |＝10，所以(2a －b )2＝10，即4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，所以4＋|b |2－4|b |cos45°＝10，整理得|b |2－2 2|b |－6＝0，解得|b |＝3 2或|b |＝－2(舍去)．7．－98解析：|2a －b |≤3⇔4a 2＋b 2≤9＋4a ·b,4a 2＋b 2≥4|a ||b |≥－4a ·b ⇒9＋4a ·b ≥－4a ·b ⇔a ·b ≥－98. 8．－14解析：由题意画出图形如图D65，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos60°＝－14.图D659．解：(1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2. ∴2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π，即θ＝π4时，f (θ)min ＝3. 10．解：(1)设D (x ，y )，则CA →＝(－1,4)，CD →＝(x －3，y ＋1)，CB →＝(1,7)．∵CA →·CD →＝CB →·CD →，∴(－1)·(x －3)＋4·(y ＋1)＝(x －3)·1＋(y ＋1)·7，整理，得点D 的轨迹方程为2x ＋3y －3＝0.(2)易得点A 关于直线2x ＋3y －3＝0的对称点的坐标为M ⎝⎛⎭⎫－1413，－2113， ∴|AD →|＋|BD →|的最小值为|BM →|＝14 15713.。

课时作业(二十五)A [第25讲 平面向量的数量积][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝( )A ．1B ．－1C ．－5D ．52．[2011·辽宁卷] 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．123．[2011·惠州三模] 已知向量|a |＝10，且|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( )A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.655B.65C.135D.13能力提升5．[2011·重庆南开中学月考] 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32 D. 36．[2011·三明三校联考] 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关7．[2011·江门一模] 设向量a ＝(－1,2)、b ＝(1,3)，下列结论中，正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a －b )D ．a ⊥(a －b )8．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确．．．的是( )A ．(a ＋b )⊥(a －b )B ．a 与b 的夹角等于α－βC ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等9．[2011·新余二模] 已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．10．[2012·淮阴模拟] 已知a 、b 、c 都是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．11．[2010·金华十校] △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．12．(13分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．难点突破13．(12分)[2011·广州一模] 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )·a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．课时作业(二十五)A【基础热身】1．C [解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.2．D [解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.3．B [解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，故θ＝120°.4．A [解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×(－4)＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655.【能力提升】5．B [解析] |a |＝2，a·b ＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×12＝1.6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．D [解析] a －b ＝(－1,2)－(1,3)＝(－2，－1)，而a ·(a －b )＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等． 9.7 [解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7.10.12 [解析] b ＝c －a ，两边平方，并结合单位向量，得a ·c ＝12.11．3 [解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.12．[解答] 由条件知，cos45°＝a·b |a|·|b|，∴a·b ＝3， 设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝(a ＋λb )·(λa ＋b )|a ＋λb |·|λa ＋b |<0， ∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k <0，使a ＋λb ＝k (λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧kλ＝1，λ＝k .∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1.【难点突破】13．[解答] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )·a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.。

课时分层训练(二十五) 平面向量的数量积及其应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0C ．32D ．3A [依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.] 2．(·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8D [法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.]3．(·湛江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( ) 【导学号：00090138】 A ．5 B ．4 C ．3D ．2A [∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5，选A ．]4．(·安徽黄山二模)已知点A (0,1)，B (－2,3)，C (－1,2)，D (1,5)，则向量AC →在BD →方向上的投影为( ) A ．21313B ．－21313C ．1313D ．－1313D [∵AC →＝(－1,1)，BD →＝(3,2)，∴AC →在BD →方向上的投影为|AC →|cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|BD →|＝－1×3＋1×232＋22＝－113＝－1313.故选D ．]5．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6C [∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.]二、填空题6．(·黄冈模拟)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________．23π [∵b 在a 上的投影为－3， ∴|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋32＝2，∴a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a·b ＝1×3＋3m ，∴3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，∴|b |＝32＋－332＝6，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－62×6＝－12，∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为23π.]7．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”). 【导学号：00090139】 垂心 [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心．]8．如图4­3­1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．图4­3­122 [由题意知：AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB －316×64，解得AB →·AD →＝22.] 三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )． [解] 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. 2分(1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3.4分②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b |＝16 3.6分 (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0， 8分∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，∴k ＝－7. 即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直.12分10．(·德州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影.【导学号：00090140】[解] (1)由m·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，2分化简得cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 4分(2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，6分 因为a ＞b ，所以A ＞B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.8分由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，10分 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·山西四校联考)向量a ，b 满足|a ＋b |＝23|a |，且(a －b )·a ＝0，则a ，b 的夹角的余弦值为( ) A ．0 B ．13 C ．12D ．32B [(a －b )·a ＝0⇒a 2＝b·a ，|a ＋b |＝23|a |⇒a 2＋b 2＋2a·b ＝12a 2⇒b 2＝9a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝b·a |b|·|a |＝a 23|a|·|a|＝13.]2．(·武汉模拟)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.9 [因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．【导学号：0009041】[解] (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C ．根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，2分即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 5分 (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，7分即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)， 即ac ≤3(2＋2)，9分故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤32＋12， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.12分。