辽宁省实验中学2017年高考数学四模试题理及答案【word版】.doc

2016届辽宁省实验中学高三第四次模拟数学（理）试题一、选择题1．复数11ii-+的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i【答案】A【解析】试题分析：()()()211111i i i i i i --==-++-，虚部是1-． 【考点】复数的虚部． 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．命题“x R ∈,若20x >,则0x >”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“x R ∈,若0x >,则20x >”为真命题，故其否命题为真命题.故选C. 【考点】四种命题及真假性判断．3．已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,4,6M N ==,下列说法错误的是（ ） A ．M N φ⊆ B ．M N φ⊆C ．M N φ∈D ．{}M N φ∈【答案】C【解析】试题分析：MN φ∈错误，因为M N φ=，集合于空集间没有属于关系.【考点】集合子集、交集的概念．4．使用如图所示算法对下面一组数锯进行统计处理，则输出的结果为（ ）A ．0B ．【答案】A【解析】试题分析：程序框图的作用是计算232016tantan tan tan3333ππππ++++，周期为3，每三项的和为0，2016能被3整除，故和为0.【考点】算法与程序框图．5．2014年3月8日，马肮370MH 航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有3个水下机器人,,A B C 和2个蛙人,a b ,各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排1个水下机器人或1个蛙人下水，其中C 不能安排在第一个下水,A 和a 必须相邻安排，則不同的搜寻方式有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种 【答案】B【解析】试题分析：A 和a 捆绑，相当于4个，先排第一位，则方法数有1333236C A ⨯⋅=种.【考点】排列组合．6．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．60【答案】D【解析】试题分析：242a =-=-，62122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222rrrrr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r -==，系数为()244612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【考点】定积分、二项式定理．7．已知,x y 满足：3403400x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩,若3y z x =+,则z 的最大值和最小值分别为（ ）A ．最大值是2,最小值是12-B ．最大值是3,最小值是12-C ．最大值是2,最小值是13-D ．最大值是3,最小值是13-【答案】A【解析】试题分析：3yz x =+表示的是可行域内的点和点()3,0-连线的斜率的取值范围，画出可行域如下图所示，由图可知最优解分别在()()2,2,1,1---处取得，故最大值是2,最小值是12-.【考点】线性规划．8．数列{}n a 为等比数列, 前n 项和记为n S ,若(),,nmn S k rk r R m Z =+∈∈,则下列叙述正确的是（ ）A ．1,r m =为偶数B ．1,r m =为奇数C ．1,r m =-为偶数D ．1,r m =-为奇数 【答案】D【解析】试题分析：n S 为等比数列前n 项和，故1mr =-，故选D. 【考点】等比数列的基本概念．9．设平面,αβ,直线,a b ,集合A ={垂直于α的平面}，B ={垂直于β的平面}，M ={垂直于a 的直线}，N ={垂直于b 的直线}，下列四个命题中①若AB φ≠，则αβ②若αβ，则A B = ③若,a b 异面，则MN φ=④若,a b 相交，则M N =不正确的为（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④ D.②④ 【答案】C【解析】试题分析：A B 表示同时垂直于两个平面的平面，如墙角，两个侧面都垂直于底面，但是这两个侧面不平行，故①错误.在一个正方体中，垂直与两条异面直线的直线可以是同一条，故③错误.同理在一个正方体，垂直于两条相交直线中的一条，可能会平行于另一条，故④错误. 【考点】空间点线面位置关系．10．已知OA 与OB 不共线,若点C 满足()2OC OA OB λλ=+-,点C 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．以上都不对 【答案】A【解析】试题分析：不妨设,O A O B是两个相互垂直的单位向量，设()()(),,0,1,1,0C x y O A O B ==，由()2OC OA OB λλ=+-，得2x y λλ=-⎧⎨=⎩，消去参数得20x y +-=，故轨迹为直线. 【考点】向量运算、圆锥曲线定义． 11．已知二次涵数()2114f x x =+,过点(),0M a 作直线12,l l 与()f x 的图象相切于,A B 两点,则直线AB （ ）A ．过定点()0,1B ．过定点()0,2C ．过定点(),1aD ．过定点(),2a 【答案】B【解析】试题分析：由图可知，切线的斜率存在，设斜率为k ，切线方程为()y k x a =-，联立直线的方程和二次函数的方程并化简得24440x k x k a -++=，判别式()22164440,10k ka k ka -+=--=，'112y x =+设切点为()00,x y ，则切线方程为()000112y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭.不妨设0a =则1k =±，由2440,2x x x -+==，由2440,2x x x ++==-，故()2,2,(2,2)A B-，直线AB 过()0,2.设32a =，则121,22k k =-=，求得切点为()11,,4,54A B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 也过()0,2，故选B ．【考点】导数与切线．【思路点晴】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线切线问题.由于本题是一个选择题，我们采用特殊值的方法，首先设出切线方程，联立直线的方程和二次函数的方程并化简，并求其判别式，可得到,k a 两者的关系，令0a =，求出1k =±，可求得两个切点的坐标为()2,2,(2,2)A B -，这条直线过()0,2，为了确保答案正确，再取32a =，用同样的方法求得切点为()11,,4,54A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AB 也过()0,2，故选B. 12．已知奇涵数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x <；②()112f =；③()()22f x f x =,则不等式()224f x x x<的解集为（ ） A ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,00,44⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．φ 【答案】B【解析】试题分析：不妨设()()102f x x x =≠，满足题目给的三个条件，故221122,416xx x x <>解得11,44x x <->.【考点】函数导数与不等式．【思路点晴】对于抽象函数的问题，我们可以构造一个具体的函数还解决.本题中，要符合三个条件的函数()f x ，由于这是一个奇函数，我们很容易想到()f x kx =，又因为需要满足()112f =，故取12k =，由此构造函数()12f x x =，经过验证之后可知函数()12f x x =符合题目给定的桑格条件，然后代入()224f x x x<就可以解出结果来.二、填空题 13．为了了解2400名学生的学习情况,计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，則分段间隔为 ． 【答案】24【解析】试题分析：间隔为240024100=. 【考点】系统抽样．14．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a =且223b c bc +=+,则角A 为 ．【答案】3π 【解析】试题分析：由余弦定理得222231cos ,2223b c a bc a A A bc bc π+-+-====. 【考点】解三角形、正余弦定理．15．某工厂零件模型的三视图如图所示,则该零件的体积为 3mm ．【答案】11003【解析】试题分析：该几何体的直观图如下图所示，故体积为一个长方体加四个四棱锥构成，即1110010102555433⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.【考点】三视图求体积． 【思路点晴】几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． 16．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 其中11a =,且()1n n nS a n N a λ*+=∈记3nn n a b =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的()n k k N *≥∈,都有3144n T n-<,则常数k 的最小值为 ． 【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12211,S a a a λλ==，当2n =时，23321,1S a a a λλ==+，前三项成成等差数列，故1212,2λλλ+==，且数列首项为11,1,n a d a n ===，3n n n b =，利用错位相减法求得323443n n n T +=-⋅，32314434n nn T n+-=<⋅，2233n n n +<，经验证，当4n ≥时成立，故k 最小值为4.【考点】数列求和、最值问题．【思路点晴】本题先采用特殊项123,,a a a 求出12λ=，进而求出数列的通项公式n a n =，代入3n n n a b =得3nnnb =，这是一个等差数列除以一个等比数列，我们采用错位相减法求得其前n 项和323443n n n T +=-⋅，代入题目中给定的不等式3144n T n-<，即32314434n nn T n+-=<⋅，化简得到2233nn n +<，然后逐一代入，可验证当4n ≥时成立，故k 最小值为4.三、解答题17．已知函数()()()()sin sin 2cos 44f xg x x f x f x ==+，,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（1）将函数()g x 化简成()()()sin ,,0,,A x B A B R ωϕωϕππ++∈>∈-的形式； （2）求函数()g x 的值域. 【答案】（1）()1sin 262g x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求得()sin 2cos sin f x x x =-，()cos 42f x x =，利用二倍角公式和辅助角公式，求得()1sin 262g x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；（2）()21,02,0,46362x x g x ππππ⎡⎫⎡⎫⎛⎤∈-⇒-∈-⇒∈⎪⎪ ⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎭⎝⎦.试题解析：（1）(),0sin 2sin cos cos sin 4x f x x x x x π⎡⎫∈-⇒==-=-⎪⎢⎣⎭(),0cos 4224x f x x x π⎡⎫∈-⇒===⎪⎢⎣⎭()()111sin cos sin 2sin 22cos 2sin 22262g x x x x x x x x π⎛⎫⇒=-=+-=--- ⎪⎝⎭. （2）()211,02,sin 21,0,4636622x x x g x πππππ⎡⎫⎡⎫⎛⎫⎡⎫⎛⎤∈-⇒-∈-⇒-∈--⇒∈⎪⎪ ⎪⎪ ⎢⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦.【考点】三角恒等变换、三角函数求值域．18．为了保卫我国领海，保卫海上资源，我国海军将舰队分为甲，乙，丙三个编队，分别在“黄海”，“东海”和“南海”进行巡逻，每个舰队选择“黄海”，“东海”和“南海”进行巡逻的概率分别为111,,632，现在三个编队独立地任意地选择以上三个海洋的一个进行巡逻.（1）求甲、乙、丙三个编队所选取的海洋互不相同的概率； （2）设巡逻“黄海”，“东海”和“南海”每个编队需要投入分别为100万元、100万元、200万元.求投入资金ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）16；（2）分布列见解析，450万元 【解析】试题分析：（1）三个舰队选三个地方，全排列有336A =种，三个编队的选择是独立的，故概率列式为()()()()()()1231322132P PA B CP A BC PAB =+++++，并求得16P =；（2）资金投入ξ可取的值为300,400,500,600，利用列举法和相互独立事件的概率计算公式，可求得其分布列和数学期望. 试题解析：（1）甲、乙、丙三个编队巡逻“黄海”，“东海”和“南海”的事件分别记为,,(123)i i i A B C i =,则()()()()()()()()()111222333111,,632P A P B P C P A P B P C P A P B P C =========,甲、乙、丙三个编队所选的海洋互不相同的概率()()()()()()123132213231312321P P AB C P AB C P A BC P A B C P A BC P A B C =+++++113211116326C C ==. （2）资金投入ξ可取的值为300,400,500,600,()()()()()111121112122300P P ABC P AB C P ABC P AB C ξ==+++()()()()211212221222P A BC P A BC P A B C P A B C ++++11111111111111111111111116666366636333663363633338=+++++++=,()()()()()()113123213223311400P P ABC P AB C P A BC P A B C P A BC ξ==++++()()()()()()()31232132213113223123238P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C +++++++=,()()()()()()()13323331332333133235008P P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ξ===+++++=,()()33316008P P A B C ξ====.所以ξ的分布列为所以3004005006004508888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）.【考点】相互独立事件的概率及分布列．19．如图,矩形ABCD 所在平面与平面PAD 垂直PA AD ⊥,且2,AD AB E =为BC 上的动点.（1）当E 为BC 的中点时,求证：PE DE ⊥；（2）若PA AB =,在线段BC 上是否存在点E ,使得二面角P ED A --的大小为4π.若存在,确定点E 的位置,若不存在,说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）E 在线段BC 上距B 点2【解析】试题分析：易证PA ⊥平面ABCD ,以A 为原点,,,AB AD AP 所在直线,,x y z 轴,建立空间直角坐标系.（1）计算0PE DE ⋅=可得PE DE ⊥；（2）设BE x =，利用向量法，根据二面角P ED A --的大小为4π可求得2x = 试题解析：解：平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面,,ABCD AD PA AD PA =⊥∴⊥平面ABCD ,以A 为原点,,,AB AD AP 所在直线,,x y z 轴,建立空间直角坐标系如图.（1）不妨设A P a =,则()()()0,0,,1,1,0,0,2,0P a E D ,从而()()1,1,,1,1,0P E a D E =-=-,于是()()1,11,1PE D E a=--=-,,PE DE PE DE ∴⊥∴⊥. （2）设B =,则()()()()()0,0,1,1,,0,0,2,0,1,,1,1,2,0P E x D PE x DE x =-=-.易知向量()0,0,1AP =为平面AED 的一个法向量,设平面P D E 的法向量(),,n a b c =,则0n PE n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()020a bx c a b x +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得2c b =,令1b =,则2,2c a x ==-,从而()2,1,2n x =-,依题意2c o s 42n AP n APπ==,即=,解得12x =（舍去）,12x =所以点E 在线段BC 上距B 点2. 【考点】空间向量与立体几何．20．已知椭圆方程：()222210x y a b a b+=>>,()()121,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上的点,12PF F ∆的内切圆为112,O PF F ∆的外接圆为2O ,若1230F PF ∠=时,1O 的半径为2.（1）求椭圆方程； （2）设圆2O 的面积为2S ,1O 的面积为1S ,求21S S 的最小值.【答案】（1）22143x y +=；（2）4 【解析】试题分析：（1）依题意1c =，设121,,PF p PF q O ==的半径为1r，利用椭圆的定义和余弦定理建立方程组，求得2pq =，根据三角形的面积公式，求得()(412pq a =+，联立，解得2a =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）设()00,P x y ，根据圆的几何性质求得圆心02030,26y O y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得半径020326y r y ∴=+，212r r ≥，214S S ≥. 试题解析：（1）设121,,PF p PF q O ==的半径为1r ,2222cos304p q a p q pq +=⎧⎨+-=⎩,(22244,pq a pq ∴=-∴=, ()()(()(12111sin 302212,41222PF F S pq a r a pq a ∆==+=+∴=+,()(24122a a =+∴=∴椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()00010111,422223y P x y r y r +=⨯⨯∴=,线段1PF 的垂直平分线方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭线段12F F 的垂直平分线方程为0x = 000200000000111112222220y x x y x x x y x y y y y y x ⎧+-⎛⎫-=--⎛⎫+--⎪⎛⎫ ⎪∴=--+=+⎝⎭⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩2200020314326x y y y O y +=∴=-∴的圆心02030,26y O y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 020326y r y ∴==+,002222202010111min326913244223y y r r SS y y r y r S S +⎛⎫==+≤∴≥∴≥∴= ⎪⎝⎭. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明．21．设定义在R 上的函数()43201234f x a x a x a x a x a =++++()0123,,,a a a a R ∈,函数()g x =当1x =-时,()f x 取得极大值23,且函数()1y f x =+ 的图象关于点()1,0-对称. （1）求函数()f x 的表达式；（2）求证：当0x >时,()()11(g x e e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦为自然对数的底数）； （3）若()()()11g n n b g n n N *+=∈,数列{}nb 中是否存在()nm bb n m =≠？若存在,求出所有相等的两项,若不存在,说明理由. 【答案】（1）()313f x x x =-；（2）证明见解析；（3）存在，28b b = 【解析】试题分析：（1）函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-对称，则函数()y f x =的图象关于点()0,0对称,即函数()y f x =是奇函数.再结合当1x =-时,()f x 取得极大值23，导数为零，可求得()313f x x x =-；（2）由（1）知(),g x x =∴当0x >时不等式()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦即为：11xe x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，等价于11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，构造函数()()()ln 10h x x x x =+->，利用导数证明函数()h x 在()0,+∞上是减函数，故有0x >时,()ln 1x x +<成立, 用1x 代换x 得：0x >时,11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立；（3）依题意11n n b n+=，利用特殊项可知28b b =，利用商比较法证明n b 的单调性，由此求得28b b =是唯一结果.试题解析：（1）将函数()1y f x =+的图象向右平移一个单位,得到函数()y f x =的图象,∴函数()y f x =的图象关于点()0,0对称,即函数()y f x =是奇函数,()()321313'3f x a x a x f x a x a ∴=+∴=+,由题意得：()()1313'130213f a a f a a -=+=⎧⎪⎨-=--=⎪⎩,所以()13311,331a f x x x a ⎧=⎪=-⎨⎪=-⎩,经检验满足题意. （2）由（1）知(),g x x =∴当0x >时不等式()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦即为：11111l n 11l n 1xe x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<⇔+<⇔+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,构造函数()()()ln 10h x x x x =+->,则()1101'1x x xh x -=-<++=,所以函数()h x 在()0,+∞上是减函数, 因而0x >时,()()00h x h <=,即：0x >时,()ln 1x x +<成立,用1x代换x 得：0x >时,11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立,所以0x >时,()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦成立.（3）11n n b n+=,则由（2）知：()()()()()()()()()12112222121131111n n n nn n n n n b n e n n n n n n n n b +++++++++++⎛⎫==+<< ⎪⎝⎭,令()2311n n+<,得：2330n n -->,结合n N *∈得：4n ≥,因此,当4n ≥时,有()()()()()()121121n n n n n n b b +++++<,所以当4n ≥时,1n n b b +>,即：456...b b b >>>,又通过比较1234,,,b b b b 的大小知：1234b b b b <<<,因为11b =,且1n ≠时111n n b n +=≠,所以若数列{}n b 中存在相等的两项,只能是2b 、3b 与后面的项可能相等,又11113964283528,35b b b b ====>=,所以数列{}n b 中存在唯一相等的两项,即：28b b =.【考点】函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 22．选修4-1：几何证明选讲如图,圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点, AB 是圆2O 的直径, 过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ,并与1BO 的延长线交于,P PB 分别与圆1O 、圆2O 交于,C D 两点. （1）求证：PA PD PE PC =； （2）求证：AD AE =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由切割线定理及其推论，有PA PE PD PB ⋅=⋅，2PA PC PB =⋅，故PA PD PE PC ⋅=⋅；（2）连接,AC DE ，由（1）知，,//,PA PCAC ED AB DE PE PD=⊥，AB 是1O 的直径，故,ADE AED AD AE ∠=∠=.试题解析： （1）,PE PB 分别是2O 的割线,PA PE PD PB ∴= ① 又,PA PB 分别是1O 的切线与割线,2PA PC PB ∴= ② 由 ① ,②得PA PD PE PC =.（2）连接,,AC DE BC 是1O 的直径,90CAB ∴∠=, 由（1）知，,,PA PCAC ED AB DE PE PD=∴∴⊥. AB 是1O 的直径,,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=.【考点】几何证明选讲．23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）, 曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）, 以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<≤⎪⎝⎭,将射线1l 顺时针旋转6π得到2:6l πθα=-,且射线1l 与曲线1C 交于O 、P 两点, 射线2l 与曲线2C 交于O 、Q 两点, 求OP OQ 的最大值.【答案】（1）1C 直角坐标方程为4cos ρθ=，2C 极坐标方程为4sin ρθ=；（2）4.【解析】试题分析：（1）曲线1C 直角坐标方程为()2224x y -+=，曲线2C 直角坐标方程为()2224x y +-=，利用极坐标与直角坐标互化公式，可求得1C 直角坐标方程为4cos ρθ=，2C 极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设点P 极点坐标()1,4cos ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,4s i n 6πρα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入12OP OQ ρρ⋅=，利用三角函数求最值的方法可求得最大值为4.试题解析：（1）曲线1C 直角坐标方程为()2224x y -+=,所以1C 直角坐标方程为4cos ρθ=,曲线2C 直角坐标方程为()2224x y +-=,所以2C 极坐标方程为4sin ρθ=.（2）设点P 极点坐标()1,4cos ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,4sin 6πρα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则12314cos 4sin 16cos sin cos 8sin 24626OP OQ ππρραααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,50,,2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当262ππα-=,即3πα=时,OP OQ 取最大值4.【考点】坐标系与参数方程． 24．选修4-5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--. （1）解不等式：()0f x >；（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立, 求m 的取值范围. 【答案】（1）{}|15x x x ><-或；（2）9m ≤.【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，分成三段，去掉绝对值，可求得解集为{}|15x x x ><-或；（2）原不等式的左边()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=恒成立，故9m ≤.试题解析：（1）当4x ≥时,()()21450f x x x x =+--=+>, 得5x >-,所以4x ≥成立.当142x -≤<时,()214330f x x x x =++-=->, 得1x >,所以14x <<成立. 当12x <-时,()50f x x =-->, 得5x <-,所以5x <-成立. 综上,原不等式的解集为{}|15x x x ><-或.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=,当142x -≤≤时等号成立,所以9m ≤.【考点】不等式选讲．。

2017年辽宁省鞍山一中高考数学四模试卷（理科）一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分共60分）1．已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．已知集合A={x|y=ln（x﹣a）}，B={﹣2，2，3}，A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，3）3．已知命题，则￢p为（）A．B．C．D．不存在4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为（）A．15 B．27 C．30 D．405．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．36．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．12 B．15 C．25 D．507．2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.88．若△ABC的三边分别为a，b，c，且圆x2+y2=1与直线ax+by+c=0没有公共点，则△ABC一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定9．己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A．3 B．2 C．6 D．510．点P为△ABC所在平面内一点，当取最小值时，点P为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣2x2，函数g（x）=lg|x﹣2|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数为（）A．18 B．19 C．20 D．1712．已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（）A．（f（1）+1）•e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1C．3•e≥f（1）+1 D．3e2与f（2）+1大小不确定二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．定积分．15．如图，已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，△F2AB的内切圆与BF2相切于点E，若|AF2|=2|BF1|，则|BE|=．16．已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知如图为f（x）=msin（ωx+φ）+n，m＞0，ω＞0的图象．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，求△ABC的周长的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，∠ABC=60°，PA=3，AB=2．（1）若直线CE与平面BDF没有公共点，求λ；（2）求平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值；（3）在（1）的条件下，求三棱锥E﹣BDF的体积．19．某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y（单元：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：（1）求y关于x的回归直线方程=x+；（2）若天气预报明天的最低气温为10℃，用所求回归方程预测该店明天的营业额；（3）设该地3月份的日最低气温X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，求P（0.6＜X＜3.8）．附：（1）回归方程=x+中，=，=﹣，22+52+82+92+112=295，2×12+5×10+8×8+9×8+11×7=287，（2）；若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545．20．已知椭圆与y轴的正半轴相交于点，且椭圆的离心率为．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（1）求曲线E的方程；（2）证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（3）求△ABM的面积的最大值．21．，，已知f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．（1）求φ的值；（2）若对∀x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（3）利用如表数据证明：．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在直角坐标系xoy，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）已知C1与C2的交于A，B两点，且AB过极点，求线段AB的长．23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）＜4的解集．（1）求M；（2）证明：对∀a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．2017年辽宁省鞍山一中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一个正确答案，每题5分共60分）1．已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算法则，化简复数为a+bi的形式，求出复数的虚部．【解答】解：==，∵复数是纯虚数，∴6﹣a=0，∴z=2i，∴z的虚部为2，故选：A2．已知集合A={x|y=ln（x﹣a）}，B={﹣2，2，3}，A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，3）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】将A∩B=B转化为A∩B=B，判断出集合端点的大小，求出a的范围．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A，∵A={x|y=ln（x﹣a）}=（a，+∞），B={﹣2，2，3}，∴a＜﹣2，故选C．3．已知命题，则￢p为（）A．B．C．D．不存在【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p故选：B4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为（）A．15 B．27 C．30 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2（a1+2d）=3+a1，可得a1+4d=3=a5．则S9==9a5=27．故选：B．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．据此可求出原几何体的体积．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C．6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A．12 B．15 C．25 D．50【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为50．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1，i=3，v=1×2+3=5，i=2，v=5×2+2=12，i=1，v=12×2+1=25，i=0，v=25×2+0=50，i=﹣1，跳出循环，输出v的值为50．故选：D．7．2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．8．若△ABC的三边分别为a，b，c，且圆x2+y2=1与直线ax+by+c=0没有公共点，则△ABC一定是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离d大于半径r=1，从而a2+b2＜c2，进而cosC=＜0，由此得到△ABC一定是钝角三角形．【解答】解：∵△ABC的三边分别为a，b，c，且圆x2+y2=1与直线ax+by+c=0没有公共点，∴圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离d大于半径r=1，即d=＞r=1，∴a2+b2＜c2，cosC=＜0，∴C是钝角，∴△ABC一定是钝角三角形．故选：A．9．己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A．3 B．2 C．6 D．5【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】首先通过三角恒等变换把函数变形成正弦型函数，进一步利用整体思想利用区间与区间的子集关系求出ω的范围，进一步利用代入法进行验证求出结果．【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（）所以：当k=0时，由于：f（x）在区间（，）单调递减，所以：解不等式组得到：当ω=2时，f（）+f（）=0，故选：B．10．点P为△ABC所在平面内一点，当取最小值时，点P为△ABC 的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【考点】平面向量数量积的运算．【分析】= [•（）+•（）+]，以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，则B，P，D三点共线时，取得最小值，同理可得•（）和取得最小值时的条件，从而确定P的位置．【解答】解：= [•（）+•（）+]，以PA，PC为邻边做平行四边形PACD，设PD交AC于M，则=2，∴当与方向相反时，取得最小值，此时P为△ABC的中线BM上，同理：当P为△ABC的边BC上的中线上时，•（）取得最小值，当P为△ABC的边AB上的中线上时，取得最小值，∴当P为△ABC的三条中线的交点即重心时，取最小值．故选：C．11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣2x2，函数g（x）=lg|x﹣2|，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数为（）A．18 B．19 C．20 D．17【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数等于函数y=f（x）与y=g （x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数，数形结合求得结果．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数．函数g（x）=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，12]内零点的个数，等于函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的交点个数．在同一坐标系中作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间﹣6，12]内的图象，可得共有18个交点，故选A．12．已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f′（x）＞f（x）+1，则下列正确的为（）A．（f（1）+1）•e＞f（2）+1 B．3e＜f（2）+1C．3•e≥f（1）+1 D．3e2与f（2）+1大小不确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由此可得结论．【解答】解：构造函数g（x）=，∴g′（x）=＞0，∴函数在R上单调递增，∴g（2）＞g（1）＞g（0），∴（f（1）+1）•e＜f（2）+1，3•e＜f（1）+1，3e2＜f（2）+1，∴3e＜f（2）+1，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【考点】二项式定理的应用．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．定积分8．【考点】定积分．【分析】把被积函数分段取绝对值，然后把积分区间分段，求出被积函数的原函数，由微积分基本定理得答案．【解答】解：∵x∈[﹣2，0]时，x2﹣2x≥0，x∈（0，2]时，x2﹣2x＜0．∴（x2﹣2x）dx+（﹣x2+2x）dx=（x3﹣x2）+（﹣x3+x2）=8．故答案为8．15．如图，已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点A在双曲线的右支上，线段AF1与双曲线左支相交于点B，△F2AB的内切圆与BF2相切于点E，若|AF2|=2|BF1|，则|BE|=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|BF1|=m，则|AF2|=2m，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2m，|BF2|=m+2a，|EF2|=m+2a﹣|BE|，再由内切圆的性质，求得a解得|BE|=2a=2．【解答】解：设|BF1|=m，则|AF2|=2m，由双曲线的定义有|AF1|=|AF2|+2a=2a+2m，|BF2|=m+2a，|EF2|=m+2a﹣|BE|∵|AB|=|AF2|﹣|EF2|+|BE|=2m﹣（m+2a﹣|BE|）+|BE|∴|AF1|=∵|AB|+|BF1|即有2a+2m=2m﹣（m+2a﹣|BE|）+|BE|+m，解得|BE|=2a=2．故答案为：2．16．已知△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为．【考点】解三角形．【分析】设出x=，y=，根据b+2c≤3a，c+2a≤3b变形得到两个不等式，分别记作①和②，然后根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别列出不等式，变形得到三个不等式，分别记作③④⑤，画出图形，如图所示，得到由四点组成的四边形区域，根据简单的线性规划，得到x的范围，即得到的取值范围．【解答】解：令x=，y=，由b+2c≤3a，c+2a≤3b得：x+2y≤3①，3x﹣y≥2②，又﹣c＜a﹣b＜c及a+b＞c得：x﹣y＜1③，x﹣y＞﹣1④，x+y＞1⑤，由①②③④⑤可作出图形，得到以点D（，），C（1，0），B（，），A（1，1）为顶点的四边形区域，由线性规划可得：＜x＜，0＜y＜1，则的取值范围为（，）．故答案为：（，）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知如图为f（x）=msin（ωx+φ）+n，m＞0，ω＞0的图象．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，求△ABC 的周长的取值范围．【考点】正弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由图象列出方程组求出m、n的值，由周期公式求出ω的值，把点代入解析式求出φ的值，即可求出f（x）；（2）由（1）化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出b、c，表示出△ABC的周长，由整体思想和正弦函数的性质求出△ABC的周长的取值范围．【解答】解：（1）由图得，，解得m=2、n=1，且=2π，则T=4π，由得，因为过点，所以，即，所以φ=，则；（2）由（1）得，，化简得，，由0＜A＜π得，，则，所以，由正弦定理得，，则b=2sinB，c=2sinC，所以周长为===，又，则，即，所以，则周长范围是．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，，∠ABC=60°，PA=3，AB=2．（1）若直线CE与平面BDF没有公共点，求λ；（2）求平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值；（3）在（1）的条件下，求三棱锥E﹣BDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（1）连结GE，GC，连结AC交BD于O，则GC∥FO，从而GC∥平面BDF，再求出CE ∥平面BDF，从而平面BDF∥平面GEC，由此能求出λ．（2）由题意得FO⊥BD，PO⊥BD，平面BDE与平面BDF所夹角即二面角F﹣BD﹣P，其平面角即为∠POF，由此能求出平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值．（3）三棱锥E﹣BDF的体积，由此能求出结果．【解答】解：（1）如图，G为PF中点，连结GE，GC，连结AC交BD于O，则GC∥FO，∵GC⊄平面BDF，FO⊂平面BDF，∴GC∥平面BDF，∵CE与平面BDF没有交点，∴CE∥平面BDF，∵GC∩CE=C，∴平面BDF∥平面GEC．则GE∥FD，故λ=1．（2）由ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，由题意得FO⊥BD，PO⊥BD，而平面BDE与平面BDF所夹角即二面角F﹣BD﹣P，由二面角定义，其平面角即为∠POF，，∴平面BDE与平面BDF所夹角的余弦值为．（3）三棱锥E﹣BDF的体积：．19．某羽绒服卖场为了解气温对营业额的影响，营业员小孙随机记录了该店3月份上旬中某5天的日营业额y（单元：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：（1）求y关于x的回归直线方程=x+；（2）若天气预报明天的最低气温为10℃，用所求回归方程预测该店明天的营业额；（3）设该地3月份的日最低气温X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，求P（0.6＜X＜3.8）．附：（1）回归方程=x+中，=，=﹣，22+52+82+92+112=295，2×12+5×10+8×8+9×8+11×7=287，（2）；若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据题意，计算平均数、和回归系数、，写出回归直线方程；（2）计算x=10时的值即可预测结果；（3）由X～N（7，10），计算P（3.8＜x＜7）值，得出P（0.6＜x＜3.8）的值．【解答】解：（1）根据题意，计算=×（2+5+8+9+11）=7，=×（12+10+8+8+7）=9，===﹣0.56，=﹣=9﹣（﹣0.56）×7=12.92，∴y关于x的回归直线方程=﹣0.56x+12.92；（2）x=10时，=﹣0.56×10+12.92=7.32，预测该店明天的营业额为7320元；（3）由题意，平均数为μ=7，方差为σ2=10，所以X～N（7，10），所以P（3.8＜x＜7）=P（3.8＜x＜10.2）=0.34135，P（0.6＜x＜3.8）=P（0.6＜x＜13.4）﹣P（3.8＜x＜10.2）=0.1359．20．已知椭圆与y轴的正半轴相交于点，且椭圆的离心率为．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（1）求曲线E的方程；（2）证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标；（3）求△ABM的面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆方程可知：b=，利用离心率公式可知则=，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）若直线AB的斜率不存在，不成立，则设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理，直线的斜率公式及，即可求得故或，由x1x2≠0知，即直线AB恒过定点．（3）利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△ABM的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可知：b=，离心率e===，则=，∴a2=4，∴曲线E的方程为．（2）证明：由曲线E的方程得，上顶点，记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，且，因此，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，①由直线AB与曲线E有公共点A，B，则方程①有两个非零不等实根x1，x2，∴，，又，，由，得，即，∴，化简得，故或，结合x1x2≠0知，即直线AB恒过定点．（3）由△＞0且得或，又=，当且仅当4k2﹣9=12，即时，△ABM的面积最大，最大值为，△ABM的面积的最大值．21．，，已知f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．（1）求φ的值；（2）若对∀x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；（3）利用如表数据证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（0）=0，求出φ的值即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）根据三角函数的性质累加即可．【解答】解：（1），则；（2），即恒成立，g（0）=﹣a+2≤0，则a≥2，，则g（x）递减．所以a≥2时，；（3）证明：==．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．在直角坐标系xoy，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）已知C1与C2的交于A，B两点，且AB过极点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C1的参数方程求出C1的普通方程，从而得到C1为以C1（，0）为圆心，以a为半径的圆，由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1的极坐标方程．（2）法一：，相减得公共弦方程，由AB过极点，求出公共弦方程为=0，求出C2（0，1）到公共弦的距离为d，由此能求出线段AB的长．法二：由已知得与ρ2=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，从而或θ=．由此能求出线段AB的长．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．∴C1的普通方程为，∴C1为以C1（，0）为圆心，以a为半径的圆，由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C1的极坐标方程为．（2）解法一：∵曲线．∴，二者相减得公共弦方程为，∵AB过极点，∴公共弦方程过原点，∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程为=0，则C2（0，1）到公共弦的距离为d==．∴．解法二：∵AB：θ=θ0，∴与ρ2=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，∴或θ=．∴．23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，M为不等式f（x）＜4的解集．（1）求M；（2）证明：对∀a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）去掉绝对值，利用分段函数，求M；（2）利用分析法，即可证明．【解答】解：（1），解得M=（﹣2，2）；（2）要证明|ab+4|＞|a+b|，只要证明ab+4＞|a+b|，即﹣ab﹣4＜a+b＜ab+4，显然成立．∴对∀a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．。

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．2606．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．1349．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝．15．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．【解答】解：由i•z＝（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S＝2××2×2+×π×2×＝4+π，故选：C．4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：＝（3+4+5+6）＝＝4.5，则＝0.7×4.5+0.35＝3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵＝（2.5+t+4+4.5）＝3.5，得t＝3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3＝a3，即a3＝0又∵a11＝20，∴d＝S13＝•（a1+a13）＝•（a3+a11）＝•20＝130故选：B．6．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A．7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，否；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＞2017，否；i＝4，A＝1﹣＝，…；i＝2017＝3×672+1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2018＝3×672+2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A＝﹣1．故选：C．8．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为＝（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．【解答】解：∵f（x）＝sin x cos x﹣sin2x＝sin2x﹣＝sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin[2（x﹣）+]﹣＝sin2x ﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y＝g（x）＝sin2x﹣+2＝sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x ＝α对称，∴2α＝kπ+，求得α＝+，k∈z，故可取α＝，∴g（α+）+g（）＝sin（+）++sin+＝4，故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b＝3，∴a+b﹣2＝1，∴＝（）（a+b﹣2）＝2+1++≥3+2，当且仅当a＝（b﹣2）时取等号，即b＝1+，a＝2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y＝x，渐近线为l2方程y＝﹣x，则设P点坐标（x，x），则直线PF1的斜率k＝＝，直线PF2的斜率k＝＝，由l2⊥PF1，则×（﹣）＝﹣1，＝1，①l2∥PF2，则＝﹣，解得：x＝，②由①②整理得：＝3，由双曲线的离心率e＝＝＝2，∴双曲线的离心率2，故选：A．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）＝﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝7．【解答】解：抛物线x2＝2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y＝﹣0，5，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|3﹣（﹣0.5）|＝7，故答案为：715．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r ＝，所以点O到平面ABC的距离d＝，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d＝2，此棱锥的体积为V＝＝，故答案为：．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）＝0；当n为奇数时，f（3n）＝﹣＝2×，∴S100＝2（30+31+…+349）＝＝350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．【解答】解：（1）由图象知A＝1，，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cos B＝b cos C，根据正弦定理，得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C∴2sin A cos B＝sin（B+C），∴2sin A cos B＝sin A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴cos B＝，即B＝∴A+C＝，即那么：，故得．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4＝168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4＝10．（2）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）＝0.9974，∴P（ξ≥180）＝（1﹣0.9974）＝0.0013，∵0.0013×100 000＝130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴E（ξ）＝0×+1×+2×＝．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵△P AB和△PBD都是等边三角形，∴P A＝PB＝PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA＝OB＝OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD＝BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB＝2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面P AB的法向量为，则，，得，，取x＝1，得y＝﹣1，z＝1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s＝0，，取r＝1，则t＝1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y＝c时，|MN|＝|x1﹣x2|＝，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|＝c|MN|＝，又∵，解得b2＝1，a2＝4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m＝0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m＝0时，存在实数λ，使得+λ＝4，当m≠0时，由+λ＝4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ＝4，⇒λ＝3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，由已知得△＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2＝，x1x2＝．由得x1＝﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4＝0显然m2＝1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【解答】证明：（1）当m＝1时，f（x）＝e x﹣lnx﹣2，f′（x）＝e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）＝0；（2）f′（x）＝me mx﹣，f″（x）＝＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）＝m（），由（1）得，存在唯一实数mx0＝t∈（），使得f（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）＝e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t＝﹣lnt，∴f（x0）＝．设h（t）＝，当t∈（）时，h′（t）＝＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）＝h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝3，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2＝0，由ρ＞0解得ρ＝2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ＝6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|＝|ρB﹣ρA|＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）＝9，可得x＝﹣5或x＝4，如图所示，函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为＝28．。

2016届辽宁省实验中学高三第四次模拟数学（理）试题一、选择题1．复数11ii-+的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i【答案】A【解析】试题分析：()()()211111i i i i i i --==-++-，虚部是1-． 【考点】复数的虚部． 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．命题“x R ∈,若20x >,则0x >”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“x R ∈,若0x >,则20x >”为真命题，故其否命题为真命题.故选C. 【考点】四种命题及真假性判断．3．已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,4,6M N ==,下列说法错误的是（ ） A ．M N φ⊆ B ．M N φ⊆C ．M N φ∈D ．{}M N φ∈【答案】C【解析】试题分析：MN φ∈错误，因为M N φ=，集合于空集间没有属于关系.【考点】集合子集、交集的概念．4．使用如图所示算法对下面一组数锯进行统计处理，则输出的结果为（ ）A ．0B 33．3-【答案】A【解析】试题分析：程序框图的作用是计算232016tantan tan tan3333ππππ++++，周期为3，每三项的和为0，2016能被3整除，故和为0.【考点】算法与程序框图．5．2014年3月8日，马肮370MH 航班客机从吉隆坡飞往北京途中失联,随后多国加入搜救行动，同时启动水下黑匣子的搜寻，主要通过水机器人和娃人等手段搜寻黑匣子.现有3个水下机器人,,A B C 和2个蛙人,a b ,各安排一次搜寻任务，搜寻时每次只能安排1个水下机器人或1个蛙人下水，其中C 不能安排在第一个下水,A 和a 必须相邻安排，則不同的搜寻方式有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种 【答案】B【解析】试题分析：A 和a 捆绑，相当于4个，先排第一位，则方法数有1333236C A ⨯⋅=种.【考点】排列组合．6．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．60【答案】D【解析】试题分析：242a =-=-，62122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()()662112366112222rrrrr r rC x x C x----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1230,4r r -==，系数为()244612602C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【考点】定积分、二项式定理．7．已知,x y 满足：3403400x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩,若3y z x =+,则z 的最大值和最小值分别为（ ）A ．最大值是2,最小值是12-B ．最大值是3,最小值是12-C ．最大值是2,最小值是13-D ．最大值是3,最小值是13-【答案】A【解析】试题分析：3yz x =+表示的是可行域内的点和点()3,0-连线的斜率的取值范围，画出可行域如下图所示，由图可知最优解分别在()()2,2,1,1---处取得，故最大值是2,最小值是12-.【考点】线性规划．8．数列{}n a 为等比数列, 前n 项和记为n S ,若(),,nmn S k rk r R m Z =+∈∈,则下列叙述正确的是（ ）A ．1,r m =为偶数B ．1,r m =为奇数C ．1,r m =-为偶数D ．1,r m =-为奇数 【答案】D【解析】试题分析：n S 为等比数列前n 项和，故1mr =-，故选D. 【考点】等比数列的基本概念．9．设平面,αβ,直线,a b ,集合A ={垂直于α的平面}，B ={垂直于β的平面}，M ={垂直于a 的直线}，N ={垂直于b 的直线}，下列四个命题中①若A B φ≠，则αβ②若αβ，则A B =③若,a b 异面，则MN φ=④若,a b 相交，则M N =不正确的为（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④ D.②④ 【答案】C【解析】试题分析：A B 表示同时垂直于两个平面的平面，如墙角，两个侧面都垂直于底面，但是这两个侧面不平行，故①错误.在一个正方体中，垂直与两条异面直线的直线可以是同一条，故③错误.同理在一个正方体，垂直于两条相交直线中的一条，可能会平行于另一条，故④错误. 【考点】空间点线面位置关系．10．已知OA 与OB 不共线,若点C 满足()2OC OA OB λλ=+-,点C 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．以上都不对 【答案】A【解析】试题分析：不妨设,OA OB 是两个相互垂直的单位向量，设()()(),,0,1,1,0C x y OA OB ==，由()2OC OA OB λλ=+-，得2x y λλ=-⎧⎨=⎩，消去参数得20x y +-=，故轨迹为直线. 【考点】向量运算、圆锥曲线定义． 11．已知二次涵数()2114f x x =+,过点(),0M a 作直线12,l l 与()f x 的图象相切于,A B 两点,则直线AB （ ）A ．过定点()0,1B ．过定点()0,2C ．过定点(),1aD ．过定点(),2a 【答案】B【解析】试题分析：由图可知，切线的斜率存在，设斜率为k ，切线方程为()y k x a =-，联立直线的方程和二次函数的方程并化简得24440x kx ka -++=，判别式()22164440,10k ka k ka -+=--=，'112y x =+设切点为()00,x y ，则切线方程为()000112y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭.不妨设0a =则1k =±，由2440,2x x x -+==，由2440,2x x x ++==-，故()2,2,(2,2)A B -，直线AB 过()0,2.设32a =，则121,22k k =-=，求得切点为()11,,4,54A B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 也过()0,2，故选B ．【考点】导数与切线．【思路点晴】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线切线问题.由于本题是一个选择题，我们采用特殊值的方法，首先设出切线方程，联立直线的方程和二次函数的方程并化简，并求其判别式，可得到,k a 两者的关系，令0a =，求出1k =±，可求得两个切点的坐标为()2,2,(2,2)A B -，这条直线过()0,2，为了确保答案正确，再取32a =，用同样的方法求得切点为()11,,4,54A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AB 也过()0,2，故选B. 12．已知奇涵数()f x 定义域为()()(),00,,'f x -∞+∞为其导函数,且满足以下条件①0x >时,()()3'f x f x x <；②()112f =；③()()22f x f x =,则不等式()224f x x x <的解集为（ ） A ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,00,44⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．φ 【答案】B【解析】试题分析：不妨设()()102f x x x =≠，满足题目给的三个条件，故221122,416xx x x <>解得11,44x x <->.【考点】函数导数与不等式．【思路点晴】对于抽象函数的问题，我们可以构造一个具体的函数还解决.本题中，要符合三个条件的函数()f x ，由于这是一个奇函数，我们很容易想到()f x kx =，又因为需要满足()112f =，故取12k =，由此构造函数()12f x x =，经过验证之后可知函数()12f x x =符合题目给定的桑格条件，然后代入()224f x x x <就可以解出结果来.二、填空题 13．为了了解2400名学生的学习情况,计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，則分段间隔为 ． 【答案】24【解析】试题分析：间隔为240024100=. 【考点】系统抽样．14．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知a =,且223b c bc +=+,则角A 为 ．【答案】3π 【解析】试题分析：由余弦定理得222231cos ,2223b c a bc a A A bc bc π+-+-====. 【考点】解三角形、正余弦定理．15．某工厂零件模型的三视图如图所示,则该零件的体积为 3mm ．【答案】11003【解析】试题分析：该几何体的直观图如下图所示，故体积为一个长方体加四个四棱锥构成，即1110010102555433⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.【考点】三视图求体积． 【思路点晴】几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形． 16．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和, 其中11a =,且()1n n n S a n N a λ*+=∈记3nn n a b =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的()n k k N *≥∈,都有3144n T n-<,则常数k 的最小值为 ． 【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12211,S a a a λλ==，当2n =时，23321,1S a a a λλ==+，前三项成成等差数列，故1212,2λλλ+==，且数列首项为11,1,n a d a n ===，3n n n b =，利用错位相减法求得323443n nn T +=-⋅，32314434n n n T n +-=<⋅，2233n n n +<，经验证，当4n ≥时成立，故k 最小值为4.【考点】数列求和、最值问题．【思路点晴】本题先采用特殊项123,,a a a 求出12λ=，进而求出数列的通项公式n a n =，代入3n n n a b =得3n n n b =，这是一个等差数列除以一个等比数列，我们采用错位相减法求得其前n 项和323443n nn T +=-⋅，代入题目中给定的不等式3144nT n -<，即32314434n n n T n+-=<⋅，化简得到2233nn n +<，然后逐一代入，可验证当4n ≥时成立，故k 最小值为4.三、解答题17．已知函数()()()()sin sin 2cos 4f x g x x f x f x ==+，,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（1）将函数()g x 化简成()()()sin ,,0,,A x B A B R ωϕωϕππ++∈>∈-的形式； （2）求函数()g x 的值域. 【答案】（1）()1sin 262g x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求得()sin 2cos sin f x x x =-，()cos42f x x =，利用二倍角公式和辅助角公式，求得()1sin 262g x x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；（2）()21,02,0,46362x x g x ππππ⎡⎫⎡⎫⎛⎤∈-⇒-∈-⇒∈⎪⎪ ⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎭⎝⎦.试题解析：（1）(),0sin 2sin cos cos sin 4x f x x x x x π⎡⎫∈-⇒==-=-⎪⎢⎣⎭(),0cos 4224x f x x x π⎡⎫∈-⇒===⎪⎢⎣⎭()()111sin cos sin 2sin 22cos 2sin 22262g x x x x x x x x π⎛⎫⇒=-=+-=--- ⎪⎝⎭. （2）()211,02,sin 21,0,4636622x x x g x πππππ⎡⎫⎡⎫⎛⎫⎡⎫⎛⎤∈-⇒-∈-⇒-∈--⇒∈⎪⎪ ⎪⎪ ⎢⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦.【考点】三角恒等变换、三角函数求值域．18．为了保卫我国领海，保卫海上资源，我国海军将舰队分为甲，乙，丙三个编队，分别在“黄海”，“东海”和“南海”进行巡逻，每个舰队选择“黄海”，“东海”和“南海”进行巡逻的概率分别为111,,632，现在三个编队独立地任意地选择以上三个海洋的一个进行巡逻.（1）求甲、乙、丙三个编队所选取的海洋互不相同的概率； （2）设巡逻“黄海”，“东海”和“南海”每个编队需要投入分别为100万元、100万元、200万元.求投入资金ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）16；（2）分布列见解析，450万元 【解析】试题分析：（1）三个舰队选三个地方，全排列有336A =种，三个编队的选择是独立的，故概率列式为()()()()()()123132213231312321P P A B C P A B C P A BC P A B C P A BC P A B C =+++++，并求得16P =；（2）资金投入ξ可取的值为300,400,500,600，利用列举法和相互独立事件的概率计算公式，可求得其分布列和数学期望. 试题解析：（1）甲、乙、丙三个编队巡逻“黄海”，“东海”和“南海”的事件分别记为,,(123)i i i A B C i =,则()()()()()()()()()111222333111,,632P A P B P C P A P B P C P A P B P C =========,甲、乙、丙三个编队所选的海洋互不相同的概率()()()()()()123132213231312321P P A B C P A B C P A BC P A B C P A BC P A B C =+++++113211116326C C ==. （2）资金投入ξ可取的值为300,400,500,600,()()()()()111121112122300P P A BC P A B C P A BC P A B C ξ==+++()()()()211212221222P A BC P A BC P A B C P A B C ++++11111111111111111111111116666366636333663363633338=+++++++=,()()()()()()113123213223311400P P A BC P A B C P A BC P A B C P A BC ξ==++++()()()()()()()31232132213113223123238P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C +++++++=,()()()()()()()13323331332333133235008P P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ξ===+++++=,()()33316008P P A B C ξ====.所以ξ的分布列为ξ300 400 500 600P18 38 38 18 所以3004005006004508888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）.【考点】相互独立事件的概率及分布列．19．如图,矩形ABCD 所在平面与平面PAD 垂直PA AD ⊥,且2,AD AB E =为BC 上的动点.（1）当E 为BC 的中点时,求证：PE DE ⊥；（2）若PA AB =,在线段BC 上是否存在点E ,使得二面角P ED A --的大小为4π.若存在,确定点E 的位置,若不存在,说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）E 在线段BC 上距B 点23处【解析】试题分析：易证PA ⊥平面ABCD ,以A 为原点,,,AB AD AP 所在直线,,x y z 轴,建立空间直角坐标系.（1）计算0PE DE ⋅=可得PE DE ⊥；（2）设BE x =，利用向量法，根据二面角P ED A --的大小为4π可求得23x = 试题解析：解：平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面,,ABCD AD PA AD PA =⊥∴⊥平面ABCD,以A为原点,,,AB AD AP所在直线,,x y z轴,建立空间直角坐标系如图.（1）不妨设AP a=,则()()()0,0,,1,1,0,0,2,0P a E D,从而()()1,1,,1,1,0PE a DE=-=-,于是()()1,11,1,0110PE DE a=--=-=,,PE DE PE DE∴⊥∴⊥.（2）设BE x=,则()()()()()0,0,1,1,,0,0,2,0,1,,1,1,2,0P E x D PE x DE x=-=-.易知向量()0,0,1AP=为平面AED的一个法向量,设平面PDE的法向量(),,n a b c=,则n PEn DE⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()20a bx ca b x+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩,解得2c b=,令1b=,则2,2c a x==-,从而()2,1,2n x=-,依题意2cos42n APn APπ==,即()22225x=-+,解得123x=（舍去）,123x=所以点E在线段BC上距B点23处.【考点】空间向量与立体几何．20．已知椭圆方程：()222210x ya ba b+=>>,()()121,0,1,0F F-分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上的点,12PF F∆的内切圆为112,O PF F∆的外接圆为2O,若1230F PF∠=时,1O 的半径为23.（1）求椭圆方程；（2）设圆2O的面积为2S,1O的面积为1S,求21SS的最小值.【答案】（1）22143x y+=；（2）4【解析】试题分析：（1）依题意1c =，设121,,PF p PF q O ==的半径为1r，利用椭圆的定义和余弦定理建立方程组，求得2pq =，根据三角形的面积公式，求得()(412pq a =+，联立，解得2a =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）设()00,P x y ，根据圆的几何性质求得圆心02030,26y O y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求得半径020326y r y ∴=+，212r r ≥，214S S ≥.试题解析：（1）设121,,PF p PF q O ==的半径为1r ,2222cos304p q a p q pq +=⎧⎨+-=⎩,(22244,pq a pq ∴+=-∴=,()()(()(12111sin 302212,41222PF F S pq a r a pq a ∆==+=+∴=+, ()(24122a a =+-∴=∴椭圆方程为22143x y +=.（2）设()()00010111,422223y P x y r y r +=⨯⨯∴=,线段1PF 的垂直平分线方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭线段12F F 的垂直平分线方程为0x = 000200000000111112222220y x x y x x x y x y y y y y x ⎧+-⎛⎫-=--⎛⎫+--⎪⎛⎫ ⎪∴=--+=+⎝⎭⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩2200020314326x y y y O y +=∴=-∴的圆心02030,26y O y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 020326y r y ∴===+, 002222202010111min326913244223y y r r SS y y r y r S S +⎛⎫==+≤∴≥∴≥∴= ⎪⎝⎭. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明．21．设定义在R 上的函数()43201234f x a x a x a x a x a =++++()0123,,,a a a a R ∈,函数()g x =当1x =-时,()f x 取得极大值23,且函数()1y f x =+ 的图象关于点()1,0-对称. （1）求函数()f x 的表达式；（2）求证：当0x >时,()()11(g x e e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦为自然对数的底数）； （3）若()()()11g n n b g n n N *+=∈,数列{}nb 中是否存在()nm bb n m =≠？若存在,求出所有相等的两项,若不存在,说明理由. 【答案】（1）()313f x x x =-；（2）证明见解析；（3）存在，28b b = 【解析】试题分析：（1）函数()1y f x =+的图象关于点()1,0-对称，则函数()y f x =的图象关于点()0,0对称,即函数()y f x =是奇函数.再结合当1x =-时,()f x 取得极大值23，导数为零，可求得()313f x x x =-；（2）由（1）知(),g x x =∴当0x >时不等式()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦即为：11xe x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，等价于11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，构造函数()()()ln 10h x x x x =+->，利用导数证明函数()h x 在()0,+∞上是减函数，故有0x >时,()ln 1x x +<成立, 用1x 代换x 得：0x >时,11ln 1x x⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立；（3）依题意11n n b n+=，利用特殊项可知28b b =，利用商比较法证明n b 的单调性，由此求得28b b =是唯一结果.试题解析：（1）将函数()1y f x =+的图象向右平移一个单位,得到函数()y f x =的图象,∴函数()y f x =的图象关于点()0,0对称,即函数()y f x =是奇函数,()()321313'3f x a x a x f x a x a ∴=+∴=+,由题意得：()()1313'130213f a a f a a -=+=⎧⎪⎨-=--=⎪⎩,所以()13311,331a f x x x a ⎧=⎪=-⎨⎪=-⎩,经检验满足题意. （2）由（1）知(),g x x =∴当0x >时不等式()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦即为：11111ln 11ln 1xe x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<⇔+<⇔+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,构造函数()()()ln 10h x x x x =+->,则()1101'1x xxh x -=-<++=,所以函数()h x 在()0,+∞上是减函数, 因而0x >时,()()00h x h <=,即：0x >时,()ln 1x x +<成立,用1x代换x 得：0x >时,11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立,所以0x >时,()()11g x e g x ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦成立.（3）11n n b n+=,则由（2）知：()()()()()()()()()12112222121131111n n n nn n n n n b n e n n n n n n n nb +++++++++++⎛⎫==+<< ⎪⎝⎭, 令()2311n n+<,得：2330n n -->,结合n N *∈得：4n ≥,因此,当4n ≥时,有()()()()()()121121n n n n n n b b +++++<,所以当4n ≥时,1n n b b +>,即：456...b b b >>>,又通过比较1234,,,b b b b 的大小知：1234b b b b <<<,因为11b =,且1n ≠时111n n b n+=≠,所以若数列{}n b 中存在相等的两项,只能是2b 、3b 与后面的项可能相等,又11113964283528,35b b b b ====>=,所以数列{}n b 中存在唯一相等的两项,即：28b b =.【考点】函数导数与不等式．【方法点晴】解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 22．选修4-1：几何证明选讲如图,圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点, AB 是圆2O 的直径, 过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ,并与1BO 的延长线交于,P PB 分别与圆1O 、圆2O 交于,C D 两点. （1）求证：PA PD PE PC =； （2）求证：AD AE =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由切割线定理及其推论，有PA PE PD PB ⋅=⋅，2PA PC PB =⋅，故PA PD PE PC ⋅=⋅；（2）连接,AC DE ，由（1）知，,//,PA PCAC ED AB DE PE PD=⊥，AB 是1O 的直径，故,ADE AED AD AE ∠=∠=.试题解析： （1）,PE PB 分别是2O 的割线,PA PE PD PB ∴= ① 又,PA PB 分别是1O 的切线与割线,2PA PC PB ∴= ② 由 ① ,②得PA PD PE PC =.（2）连接,,AC DE BC 是1O 的直径,90CAB ∴∠=, 由（1）知，,,PA PCAC ED AB DE PE PD=∴∴⊥. AB 是1O 的直径,,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=.【考点】几何证明选讲．23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）, 曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）, 以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<≤⎪⎝⎭,将射线1l 顺时针旋转6π得到2:6l πθα=-,且射线1l 与曲线1C 交于O 、P 两点, 射线2l 与曲线2C 交于O 、Q 两点, 求OP OQ 的最大值.【答案】（1）1C 直角坐标方程为4cos ρθ=，2C 极坐标方程为4sin ρθ=；（2）4. 【解析】试题分析：（1）曲线1C 直角坐标方程为()2224x y -+=，曲线2C 直角坐标方程为()2224x y +-=，利用极坐标与直角坐标互化公式，可求得1C 直角坐标方程为4cos ρθ=，2C 极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设点P 极点坐标()1,4cos ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,4sin 6πρα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入12OP OQ ρρ⋅=，利用三角函数求最值的方法可求得最大值为4.试题解析：（1）曲线1C 直角坐标方程为()2224x y -+=,所以1C 直角坐标方程为4cos ρθ=,曲线2C 直角坐标方程为()2224x y +-=,所以2C 极坐标方程为4sin ρθ=. （2）设点P 极点坐标()1,4cos ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,4sin 6πρα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭,则12314cos 4sin 16cos sin cos 8sin 246226OP OQ ππρραααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,50,,2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当262ππα-=,即3πα=时,OP OQ 取最大值4.【考点】坐标系与参数方程． 24．选修4-5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--. （1）解不等式：()0f x >；（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立, 求m 的取值范围. 【答案】（1）{}|15x x x ><-或；（2）9m ≤.【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，分成三段，去掉绝对值，可求得解集为{}|15x x x ><-或；（2）原不等式的左边()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=恒成立，故9m ≤.试题解析：（1）当4x ≥时,()()21450f x x x x =+--=+>, 得5x >-,所以4x ≥成立.当142x -≤<时,()214330f x x x x =++-=->, 得1x >,所以14x <<成立. 当12x <-时,()50f x x =-->, 得5x <-,所以5x <-成立. 综上,原不等式的解集为{}|15x x x ><-或.（2）()()34212421289f x x x x x x +-=++-≥+--=,当142x -≤≤时等号成立,所以9m ≤.【考点】不等式选讲．。

2017年辽宁省普通高中学生学业水平考试·真题数 学(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间90分钟)一、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,2}M =，{2,3}N =，则M N = （ ）A ．{1,2,3} B.{1,3} C.{2} D.φ2．3sin 4π= （ ）A.0B.12 C. 22 D. 13．下列函数为奇函数的是 （ ）A.y x =-B.cos y x =C. 23y x = D.||y x =4．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，若向图中随机掷一粒豆子，则豆子落 在阴影部分的概率为 （ ）A. 14 B. 12 C. 23 D. 345．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，其中，3a =，5c =， 4cos 5A =，则b = （ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知函数,0()2,0x a x x f x x -≥⎧=⎨<⎩有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．0a <B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥7．如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗实线画出的是某空间几何体的 三视图（其中主视图、左视图、俯视图都是等腰直角三角形），则该空间几何体的体积为（ ）。

A.92 B. 9 C. 272 D. 278．已知函数2()43f x x x =++，则()f x 在[3,1]-上的最大值为（ ）。

A.9B. 8C.3D. 1-9．如图，DE 是ABC ∆的中位线，F 是DE 的中点，设AB =a ，AC =b ，则AF =（ ） A.1122+a b B. 1122-+a b C. 1142+a b D. 1142-+a b 10．已知变量,x y 满足约束条件2020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）。

17．解：（Ⅰ）ABC △的内角和πA B C ++=∵π3A =∴2π03B <<．即2π03x << ∵AC BC =∴sin 4sin BC AC B x ==sinAB AC A =2πππ7π6sin cos )2)6666x x x x x =+=-+-<-< 当ππ2x -=即πx =时，y 取得最大值 18．解：（Ⅰ）1100(0.00040.00080.00210.00250.00060.00040.0002)2100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =．设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯， 故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度． （Ⅱ）200户居民月均用电量在[700,800)度的户数是8，月均用电量在[800,900]度的户数是4．故随机变量X 的取值为0，1，2，3，4，且4841270(0)495C P X C ===，1348412224(1)495C C P X C ===，2248412168(2)495C C P X C ===，314841232(3)495C C P X C ===，40484121(3)495C C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为：19．解：（Ⅰ）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，60ADC ∠=，所以2DC =，又1AB =，因为AOB CDO ∽△△，因此:2:1CO AO =，所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形，所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF ；（Ⅱ）在平面ABCD 内过点C 作GC CD ⊥，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，则CF ⊥平面ABCD ，即CF GC ⊥，CF DC ⊥，以点C 为原点，分别以CD ，CG ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2B ，(2,0,0)D ，3(2E ，(0,0,1)F ， 所以(1,0,1)BE =，1(,2BF =-，1(,2DE =-，(2,0,1)DF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m BE m BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴0102x z x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取(1,1)m =--， 同理可得平面DEF 的法向量(1,3,2)n =-，所以10cos ,||||522m n m n m n <>===，椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上∴12|2|||F F PF =，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，（Ⅱ）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =＋由221,2x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+ 且2111F M kx m k x +=-，2221F N kx m k x +=- 由已知παβ+=，得220F M F N k k +=，即1212011kx m kx m x x +++=-- 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++．整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x -=因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)． 21．解：（Ⅰ）∵233()a x ax a f x x a x x--+-'=-+=，∴(1)42f a '=- 由题意1422a -=-，解得94a =； （Ⅱ）由题意，1x ，2x 为()0f x '=的两根，∴24(3)0030a a a a ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，∴23a <<又12x x a +=，123x x a =-∴22121212121()()()()(3)ln 2f x f x x x a x x a x x +=+-++- 213(3)ln(3)2a a a a =-+-+--设21()3(3)ln(3),(2,3)2h a a a a a a =-+-+--∈ 则()ln(3)h a a a '=---12()1033a h a a a-''=-+=>--，故()h a '在(2,3)递增，又(2)20h '=-< 3a →时，()h a '→+∞，∴0(2,3)a ∃∈，当0(2,)a a ∈时，()h a 递减，当0(,3)a a ∈时，()h a 递增 ∴22min 000000011()()3(3)()23522h a h a a a a a a a ==-+-+--=-->- ∴(2,3)a ∀∈，()5h a >-综上，5)()(21->+x f x f ．22．解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为55cos 4sin x t y t t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 则曲线1C 的普通方程为22(5)(4)25x y -+-=，曲线1C 的极坐标方程为210cos 8sin 160ρρθρθ--+=．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程210cos 8sin 160ρρθρθ--+=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立得πsin(2)θ+=，又[0,2π)θ∈，则0θ=或πθ=， 23．解：（Ⅰ）∵1m =时，()|2||2|1f x x x =+--+．∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负；当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<； 当2x ≥时，()50f x =>恒成立． （Ⅱ）由方程()f x x =可变形为|2||2|m x x x =+--+．令4,2,()|2||2|,22,4, 2.x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩作出图象如图所示．于是由题意可得22m -<<．。

辽宁省实验中学分校2017届高三高考仿真模拟数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,3,5,}9{17,A =，{0,3,6,9,12}B =,则A C B =N （ ） A ．{1,5,7}B ．{3,5,7}C ．{1,3,9}D ．{1,2,3}2．已知复数ii ia --在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．23．若,,,a b c d ∈R ，则“a d b c +=+”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数2()1log f x x =+与1g()2x x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A B C D5．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1{}a 的前5项和为（ ）A ．12π33+ 7．若()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有()()88f t f t +=-，且()38f =-，则实数m 的值等于（ ） A ．1-B ．5±C ．5-或1-D ．5或18．某人向平面区域||||x y +则飞镖恰好落在单位圆221x y +=内的概率为（ ）9．已知双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆2223()x y －＋＝相切，则双曲线的方程为（ ）A ．221913x y -=B ．221139x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20092010，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．?2008=iB ．?2009>iC ．?2010>iD ．?2012=i11．已知O 是ABC △内部一点，0OA OB OC ++=，2AB AC =，60BAC ∠=︒且，则OBC △的面积为（ ）A B ．1 C D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共分．把答案填在答题卡上的相应位置上．||1a =，||2b =，若||3a b -=，则向量a ，b 的夹角为________14．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆221(0)x y a b a b+=>> 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．16．设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有1(3)()f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()2f x x =，则(113.5)f =________．18．为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图： 男生成绩：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表：优秀男生 a 根据此数据你认为能否有99.9% 以上的把握认为体育运动知识竞赛成绩是否优秀与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（n a b c d =+++），（Ⅰ）求证：PB ∥平面（Ⅱ）求三棱锥F ADC -2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M ，2F N 的倾斜角分别为α，β，且+=παβ求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． 21．已知函数21()=(3)ln 2f x x ax a x -+-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值； （Ⅱ）设()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：12()()5f x f x +>-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

辽宁省实验中学分校2017届高三高考仿真模拟理科数学试卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,3,5,}9{17,A =，{0,3,6,9,12}B =,则N A C B =（ ）A ．{1,5,7}B ．{3,5,7}C ．{1,3,9}D ．{1,2,3} 2．已知复数i i i a --在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．23．若a b c d ∈R 、、、，则“a d b c +=+”是“a 、b 、c 、d 依次成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数2()1log f x x =+与1g()2x x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A B C D5．已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1{}a 的前5项和为（ ）B ．9C ．10D ．11 ππ)=cos()(0,)x x ωϕωϕ+>-<<图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）8．已知双曲线221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点为()2,0F ，且双曲线的渐近线与圆2223()x y －＋＝相切，9．一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（ ）A ．2B ．83 C ．3 D ．10310．设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩．若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12，则23b a ab +的最小值为（ ）A ．256B ．83 C ．113 D ．411．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内（含边界）一动点，则MA MB 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,2]- C ．[1,3]- D ．[1,4]- 12．已知函数()e x a f x x -=+，()ln(2)4e a x g x x -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln21--B ．1ln2-+C ．ln2-D ．ln2第Ⅱ卷 非选择题（共90分）注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．5(2)(1)x x --的展开式中2x 项的系数为________．2|||PF （其某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800)，[800,900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中m 的值并估计居民月均用电量的中位数；（Ⅱ）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用X 表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD AB BC ===，π3ADC ∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上．（Ⅰ）当FM EM为何值时，AM 20．（本题满分12分）21．（本题满分12分）已知函数21()(3)ln 2f x x ax a x -+-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值； （Ⅱ）设()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：12()()5f x f x +>-．请考生在第（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为55cos 45sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥，02πθ≤<）．23．（本题满分12分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x m =+--+（m ∈R ）．（Ⅰ）若1m =，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有三个实根，求实数m 的取值范围．。