【全国市级联考】广西梧州市2017届高三上学期摸底联考理数(原卷版)

绝密★启用前2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．下列集合中，是集合A ={x |x 2<5x }的真子集的是（ ）A. {2,5}B. (6,+∞)C. (0,5)D. (1,5)2．复数z =3+7i i 的实部与虚部分别为（ ）A. 7，−3B. 7，−3iC. −7,3D. −7,3i3．设2log 5a =， 2log 6b =， ） A. c b a >> B. b a c >> C. c a b >> D. a b c >> 4．设向量()1,2a = ， ()3,5b =- ， ()4,c x = ，若a b c λ+= （R λ∈），则x λ+的值为（ ）A. B. 5．已知tan 3α=，则 ）A. B. 6．设x ，y 满足约束条件{2x +y −7≤0,x −y −2≤0,x −2≥0,则y x 的最大值为（ ） A. 32 B. 2 C. 13 D. 07．得到()f x 的图象，则（ ） A. ()sin2f x x =- B. ()f x 的图象关于C. D. ()f x 的图象关于 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x =2，n =4，则输出的s 等于（ ）A. 94B. 99C. 45D. 2039．直线2y b =与双曲线右支分别交于B 、C 两点， A 为右顶点， O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[]10,14， []15,19， []20,24， []25,29， []30,34的爱看比例分别为10%， 18%， 20%， 30%， %t ．现用这5个年龄段的中间值x 代表年龄段，如12代表[]10,14， 17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的线性回归方程为()ˆ 4.68%ykx =-，由此可推测t 的值为（ ） A. 33 B. 35 C. 37 D. 3911．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 163+8πB. 323+8πC. 16+8πD. 163+16π12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()2,eB.C.D.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．()71x -的展开式中2x 的系数为__________．14．已知曲线C 由抛物线28y x =及其准线组成，则曲线C 与圆()22316x y ++=的交点的个数为__________．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为__________．16．(数学（文）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.三、解答题17．某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记n a 表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列{}2n n a ⋅的前20项和20S ，求2202log log 20S -的值． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为2532，45，45，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率； （2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC 都是菱形，11160ACC CC B ∠=∠= ，（1）求证： 11AB CC ⊥；（2 11AC 的中点为1D ，求二面角11C AB D --的余弦值．20．如图， 1F ， 2F 为椭圆C ： D ， E 是椭圆的两个顶点， ，若点()00,M x y 在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．直线l 与椭圆交于A ， B 两点， A ， B 两点的“椭点”分别为P ， Q ，已知以PQ 为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）试探讨AOB ∆的面积S 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21 ()()g x f x b =+，其中a ， b 为常数． （1）若1x =是函数()y xf x =的一个极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有2个零点， ()()f g x 有6个零点，求a b +的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，圆C 的方程为(x − 3)2+(y +1)2=9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线O P ：θ=π6（ρ∈R ）与圆C 交于点M 、N ，求线段M N 的长．23．选修4-5：不等式选讲M 为不等式()0f x >的解集．（1）求M ；（2）求证：当x ， y M ∈时，参考答案1．D【解析】试题分析：因为A ={x |x 2<5x }={x |0<x <5}，所以由真子集的概念知集合A 的真子集是(1,5)，故选D ．考点：1、不等式的解法；2、集合间的关系．2．A【解析】试题分析：∵z =i (3+7i )−1=7−3i ，∴z 的实部与虚部分别为7，−3,故选A ．考点：复数及其运算．3．A，故选A.4．C，故选C.5．B【点睛】本题考查同角三角函数关系中的弦化切问题，已知角α的正切值，求与正余弦相关的式子的值，首先把所求式子转化为分式（一次齐次式或二次齐次式），然后分子和分母同除以cos α（或2cos α），转化为用tan α表示的形式，最后带入求值. 6．A【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又y x 表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线O A 的斜率最大，即(yx )max =3−02−0=32，故选A ．考点：简单的线性规划问题．【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7．B，故选B. 8．A【解析】试题分析：由框图程序得第一次运行第二次运行第三次运行第四次运行.此时满足终止运行,输出,故选A.考点：程序框图.9．D【解析】由双曲线的对称性可得D. 10．B【解析】前4， （把百分数转化为小数），而0.0468bx -， 0.19519.50.0468b ∧∴=⨯-， 0.0124b ∧∴=， ，当1.2432 4.6835t =⨯-=. 11．A【解析】试题分析：由三视图，知该几何体为底面半径为2，高为4的圆柱的二分之一和底面为矩形高为2的四棱锥，其中矩形的两边分别为4和2，则该几何体体积为V =12⋅π×22×4+13×2×4×2＝8π+163，故选A ．考点：1、空间几何体的三视图；2、圆柱与棱锥的体积． 【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．12．D【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，又()ln 1ln 1ax x ax x --=--++，则()()()l n 1l n 121f a x x f a x x f -+++--≥ 可华化为： ()()2ln 121f ax x f --≥，即()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则. ，在(],3e 上递减， []1,3 上递减，综上得： a 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及利用函数性质解决不等式问题，由于偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，把不等式变形为()()ln 11f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，问题转化为1ln 11ax x -≤--≤恒成立，即对[]1,3x ∈同时恒成立.最后利导数解决恒成立问题.13．21-【解析】利用通项公式()7171r r r r T C x -+=⋅- ，令72r -=， 5r = ，则展开式中2x 的系数为2721C -=-.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1r n r r r n T C a b -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.14．4【解析】由上图可得交点个数为4.15．18π 【解析】设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则1ab =，由于体积为4，则4c = ，长方体的体对角线长为，则球O 的表面积（当且仅当【点睛】长方体的外接球的直径的大小就是长方体的体对角线的长度，根据题目所提供的条件表示出长方体的对角线的长，然后表示出球的表面积，结合基本不等式求出表面积的最小值.16．21【解析】设ABC ∆ 的对应边边长分别13a = 里， 14b = 里， 15c = 里【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.17．（1）230（2）21【解析】试题分析：此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，该等差数列首项为2，公差为1，根据等差数列的通项公式写出答案，但注意实际问题的要求，注明n 的取值范围；第二步为错位相减法求和，要求运算熟练准确.试题解析：（1）由题可知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，∴211n a n n =+-=+（120n ≤≤）．（2）∵1220202232212S =⨯+⨯+⋯+⨯， ∴23212022232212S =⨯+⨯+⋯+⨯，∴2320212121204222212424212S -=+++⋯+-⨯=+--⨯， ∴2120202S =⨯，∴2122022log log 20log 221S -==．【点睛】本题为应用题，首先读题审题，把实际问题转化为数学问题，此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，求出通项公式，第二步求和问题，利用错位相减法求和，数列求和问题需要掌握裂项相消法、错位相减法、分组求和法等基本方法. 18． (1)18 (2)详见解析【解析】 试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为12，X 的次数的取值是1、2、3，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件A ，则P (A )=2532×45×(1−45)=18.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为2532×45×45=12.由题意可得X 可取0,1,2,3，则有P (X =0)=(1−12)3=18,P (X =1)=C 31×12×(1−12)2=38,P (X =2)=C 32×(12)2×(1−12)=38,P (X =3)=(12)3=18.所以X 的分布列为:故E (X )=0×18+1×38+2×38+3×18=32(或12×3=32).19．（1）详见解析（2【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取1CC 中点O ，连接OA ， 1OB ，利用条件证明1CC ⊥平面1OAB .以O 为坐标原点，分别以1OB ， 1OC ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面1CAB 和平面11AB D 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值. 试题解析：（1）证明：连接1AC ， 1CB ，则1ACC ∆和11B C C ∆皆为正三角形．取1CC 中点O ，连接OA ， 1OB ，则1CC OA ⊥， 11CC OB ⊥，从而1CC ⊥平面1OAB ，11CC AB ⊥．（2）解：由（1）知， 13OA OB ==，满足22211,OA OB AB +=所以1OA OB ⊥，OA ⊥平面11B C C ．如图所示，分别以1OB ， 1OC ， OA 为正方向建立空间直角坐标系，则， ()13,0,0B ， ()0,0,3A ，，，设平面1CAB 的法向量为(),,m x y z =，因为()13,0,3AB =- ，设平面11AB D 的法向量为n ，因为，因为二面角11C AB D --为钝角，所以二面角11C AB D --的余弦值为 【点睛】证明线线垂直一般来说寻求线面垂直，利用线面垂直的性质定理，说明线线垂直，另外也可由面面垂直得到，证明垂直问题时，要寻求垂直方面的条件，除了根据有关垂直的定理、性质外，有时还需要数据计算利用勾股定理判断垂直关系.建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角属于常规方法，考生应在“熟练+准确”上下功夫.20．（12）ABC ∆的面积为定值1． 【解析】试题分析：求圆锥曲线的标准方程，常用待定系数法，列出关于a b c 、、的关系后解联立方程组，求出,a b 的值，定点、定值问题是解析几何常见的常规题型之一，是高考高频考点，针对本题务必对直线的斜率进行讨论，否则会失分.研究三角形的面为定制问题，首先把面积表示出来 ，这就需要联立方程组，求弦长和高，最终说明面积为定值.试题解析：（1）解得224,{1,a b ==故椭圆C 的标准方程为 （2）设()11,A x y ， ()22,B x y ，则由OP OQ ⊥，即①当直线AB 的斜率不存在时，②当直线AB 的斜率存在时，设其直线为y kx m =+（0m ≠），联立22,{44,y kx m x y =++=得()222418440kx kmx m +++-=， 则()221641k m ∆=+-， *），整理得22412k m +=．此时2160m ∆=>， ，∴1S =．综上， ABC ∆的面积为定值1．【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．（1）714y x =-（2）2a b +<【解析】试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面 ，首先搞清函数()()y f x g x =- 零点个数的三种判断方法，其一：()()y f x g x =-的图象与x 轴交点的横坐标 ；其二：方程()()f x g x = 的根；其三：函数()y f x = 与()y g x = 的图象的交点的横坐标 ；本题根据函数()f x 存在2个零点，2个不同的实根，解出3a =，再根据()()f g x 有6个零点，求出a b +范围.试题解析：（1）∵()341y xf x x ax ==+-，∴2'12y x a =-，∴120a -=，即12a =． ，∴()'17f =，∵()157f a =-=-， ∴所求切线方程为()771y x +=-，即714y x =-．（2）若函数()f x 存在22个不同的实根，，令()'0h x >，得 令()'0h x <，得0x <， ，∴()h x 的极小值为 ，∴由()h x 的图象可知3a =．∴令()()0f g x =，或()1g x =-，()1f x b =--，而()()f g x 有6与()1f x b =--都有三个不同的解， 且10b -->，∴1b <-，∴2a b +<． 【点睛】函数()()y f x g x =- 零点个数的三种判断方法，其一： ()()y f x g x =-的图象与x 轴交点的横坐标 ；其二：方程()()f x g x = 的根；其三：函数()y f x = 与()y g x = 的图象的交点的横坐标 ；涉及()()y f g x = 零点问题，一般设()t g x = ，则()y f t = ，先考虑()f t 的零点，找出对应的t 值（或范围），再根据()g x t = 找出对应的x 值（或个数），需要借助函数图象数形结合去完成. 22．（1）ρ2−2 3ρcos θ+2ρsin θ−5=0；（2）.【解析】试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令θ=π6，得到ρ2−2ρ−5=0利用即可.试题解析：（1）(x−3)2+(y−1)2=9可化为x2+y2−23x+2y−5=0，故其极坐标方程为ρ2−23ρcosθ+2ρsinθ−5=0.……5分（2）将θ=π6代入ρ2−23ρcosθ+2ρsinθ−5=0，得ρ2−2ρ−5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=−5.∴|M N|=|ρ1−ρ2|=(ρ1+ρ2)−4ρ1ρ2=26.……10分考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.23．（1（2）详见解析【解析】解：（1综上，（2）因为x，y M∈，∴。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}|31,|24A x x x B x x =≥≤=<<或，则()R C A B = （ ）A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,4 【答案】C 【解析】试题分析：{}31<<=x x A C R ，()()3,2=B A C R ，故选C. 考点：集合的运算.2.设i 是虚数单位 ，如果复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ） A ．13 B ． 13- C ．3D ．-3 【答案】C 【解析】考点：复数的概念.3.若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-，则m =（ ）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12-【答案】D 【解析】试题分析：由()1,2=，()1,1-=，得()3,32=+，()m m m -+=-1,2，由于()()m -+//2，故()()m m +=-2313，解得21-=m ，故选D. 考点：共线向量的坐标表示. 4.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()cos 2πα-=（ ）A ．9-B ．79-C ．79D ．9【答案】B 【解析】 试题分析：由1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭得31sin -=α，则()971si n 22co s 2co s 2-=-=-=-αααπ，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.5.在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含7x 的项的系数是（ ）A ．60B ．160C ．180D ．240 【答案】D 【解析】考点：二项式定理.6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若24x =，则2x ≠”B ．命题“2,210x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,210x R x x ∀∈+->” C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题D ．若“p 或q ”为真命题，则,p q 至少有一个为真命题 【答案】D 【解析】试题分析：命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若42≠x ，则2x ≠”，故A 错误；命题“2,210x R x x ∃∈+-<”的否定是“012,2≥-+∈∀x x R x ，故B 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为“若y x sin sin ≠，则y x ≠”为真命题，故C 错误；故选D. 考点：命题的真假.7.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为则直线的倾斜角为（ ） A ．566ππ或B ．33ππ-或C ．66ππ-或 D ．6π 【答案】A 【解析】考点：直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．求出圆()()22234x y -+-=的圆心，半径，圆心()3,2到直线3y kx =+的距离，由此利用直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为32，由勾股定理能求出k ，在由倾斜角和斜率的关系得到倾斜角.8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．(4π+B ．6π+C ．6πD ．(8π+ 【答案】C 【解析】试题分析：圆柱的侧面积为ππ42121=⨯⨯=S ，半球的表面积为ππ21222=⨯=S ，圆锥的侧面积为ππ2213=⨯⨯=S ，所以几何体的表面积为ππ26321+=++=S S S S ，故选C.考点：由三视图求表面积.9.执行如图2的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B 【解析】考点：程序框图.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A ．24316πB ．8116πC ．814πD ．274π【答案】A 【解析】试题分析：如图，正四棱锥ABCD P -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE ，AF ，由球的性质可知PAF ∆为直角三角形且PF AE ⊥，根据平面几何中的射影定理可得PE PF PA ⋅=2，因为2=AE ，所以侧棱长23162=+=PA ，R PF 2=，所以4218⨯=R ，所以49=R ，所以1424349343ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=V ．故选A ．考点：球的表面积和体积.11.给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程 ()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，已知函数 ()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00,M x f x ，则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上C ．在直线4y x =-D ．在直线4y x =上 【答案】B 【解析】考点：导数的运算.【方法点晴】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）A B CD 【答案】A 【解析】考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．在该题中，可设c x -=，代入椭圆方程，求得A 的坐标，设出()y x C ,，由23A B C B C F S S ∆∆=，可得C F AF 222=，运用向量的坐标运算可得x ，y ，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若,x y 满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为___________．【答案】12- 【解析】试题分析：由2z x y =-得221z x y -=，作出不等式组010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图（阴影部分），平移直线221z x y -=，由图象可知当直线221zx y -=，过点A 点，由⎩⎨⎧=+=-10y x y x 可得⎪⎭⎫⎝⎛21,21A 时，直线221z x y -=的截距最大，此时z 最小，∴目标函数2z x y =-的最小值是21-．故答案为：21-．考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.在[]4,3-上随机取一个实数m ，能使函数()22f x x =++在R 上有零点的概率为___________． 【答案】37【解析】考点：几何概型.15.函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移__________个单位得到．【答案】6π 【解析】试题分析：由图可知πππ43312543=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，故π=T 则222===πππωT ，故()()ϕ+=x x f 2si n 2，将点⎪⎭⎫ ⎝⎛2125，π代入解析式得⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=ϕπ1252sin 22，即Z k k ∈+=+,2265ππϕπ结合22πϕπ<<-得3πϕ-=，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ，故()x x g 2sin 2=向右平移6π个单位得到()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f ，故答案为6π.考点：（1）由()ϕω+=x A y sin 得部分图象求其解析式；（2）三角函数图象的变换.16.已知ABC ∆中，角3,,2B C A 成等差数列，且ABC ∆的面积为1AB 边的最小值是__________． 【答案】2. 【解析】考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知及等差数列的性质可得C B A 3=+，结合三角形内角和定理可求B 的值，利用三角形面积公式可得()222+=ab ，利用余弦定理及基本不等式即可解得AB 边的最小值． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21222l o g l o g l o g n n b a a a =+++，求使()8n n b nk -≥对任意n N +∈恒成立的实数k 的取值范 围．【答案】（1）()*2n n a n N =∈；（2）10k ≤-.【解析】考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.18.（本小题满分12分）质检部门从企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图4所示的55,65,65,75,75,85内的频率之比为：4：2：频率分布直方图，质量指标值落在区间[)[)[]1．75,85内的频率；（1）求这些产品质量指标值落在区间[]（2）若将频率视概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）05.0；（2）分布列见解析，()8.1=x E .【解析】（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6P =因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()002300.60.40.064P X C ==⨯⨯=； ()112210.60.40.288P X C ==⨯⨯=；()222320.60.40.432P X C ==⨯⨯=；()130310.60.40.216P X C ==⨯⨯=所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量的期望与方差；（3）离散型随机变量及其分布列.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且060DAB ∠=，PAB ∆是边长为a的正三角形，且平面PAB 平面ABCD，已知点M是PD的中点．PB平面AMC；（1）证明：//（2）求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）直线与平面所成的角.【方法点睛】本题主要考查了利用线面平行判定定理判定线面平行以及利用向量法求直线与平面所成的角，属于基础题；常见的证明线面平行方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等，在该题中利用（1），向量法在立体几何中的应用相当广泛，在该题中考查了在直线与平面所成的角中的应用即直线与平面所成角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值.20.（本小题满分12分）已知点C 的坐标为()1,0，,A B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB = ．（1）求证：点,,A C B 共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈ ，当0OQ AB =时，求动点Q 的轨迹方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭. 【解析】考点：抛物线的简单性质.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；（3）若正实数12,x x 满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明1212x x +≥． 【答案】（1）单调减区间为()1,+∞，函数()f x 的增区间是()0,1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】所以当()10,,0x g x a ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1a x 是减函数， 故函数()g x 的最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()1lna 2h a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()12ln 204h =-<，又因为()h a 在()0,a ∈+∞是减函数， 所以当2a ≥时，()0h a <，即对于任意正数x 总有()0g x <，所以关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；考点：（1）利用导数研究函数的单调性（2）函数恒成立问题.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 44πρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值．【答案】（1）()()22224x y -+-=，其表示一个以()2,2为圆心，半径为2的圆；（2）最大为4，最小值3432+-.【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法⎪⎩⎪⎨⎧==+=θρθρρsin cos 222y x y x ，即可得出结论；（2）由题意知曲线 1C是过点)P的直线，结合图形可知，当直线1C 过圆心时，弦长最长，当AB为过点)且与2PC 垂直时，弦长最短. 考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化为普通方程.【方法点睛】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用图形的几何特征解决直线与曲线交点的距离等内容．常见的极坐标与直角坐标转化通过⎪⎩⎪⎨⎧==+=θρθρρsin cos 222y x y x 实现，根据直线的参数方程的意义可知，直线过定点)且在圆内，本小题同时还考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =-++．（1）若1a =，解不等式()22f x x ≤-；（2）若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12x ≤；（2）0a ≥或4a ≤-. 【解析】试题分析：（1）当1a =时，不等式即12x x +≤-，再根据绝对值的意义，求得不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求得a x x ++-2的最小值为2+a 可得22a +≥，由此求得a 的范围．试题解析：（1）当1a =时，()22f x x ≤-，即12x x +≤-，解得12x ≤； （2）()()222f x x x a x x a a =-++≥--+=+， 若()2f x ≥恒成立，只需22a +≥，即22a +≥或22a +≤-，解得0a ≥或4a ≤-.考点：绝对值不等式的解法.。

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345A B =，，，则UA 不可能是（ ） A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅数212i i-=+（ ）A ．iB ．i -C ．22i -D ．22i -+等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1564.已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48817+B ．32817+C.48D ．80点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ．21y x =-程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k >C.6?k >D ．7?k >知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13-C ．43D ．34-知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =，则当()20x ∈-，时，()f x =（ ） A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x +10.在ABC △中，已知1310tan cos 2A B ==，，若ABC △10 ） A 2B 3 5 D ．2P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ） A ．154B ．152C.15 D ．10颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A ．24种B ．48种 C.64种D ．72种第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒=．知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 .棱柱的底面连长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 .知函数()322sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，． （1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据： 日期12月1日12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x （℃） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗） 2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniii i x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知2122AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，，点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值； （Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE 相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC=； （Ⅱ）DF FE =23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2017年高考广西名校第一次摸底考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．D ，解析：由已知得A 可能为{}345，，，故选D ． 2．B ．解析：()1221212i i i i ii-+-==-++．3．B ．解析：由()()1479112324a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是()()1134101313132622a a a a S ++===． 4．C ．解析：由条件得22a b a -=，所以223cos 16cos a b a a b αα=+===⨯⨯，所以1cos 2α=，即3πα=．5．A ．解析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为()24424172248172+⨯⨯+⨯⨯=+，所以几何体的表面积为48817+，故选A ．6．C ．解析：由斜率的存在性可选C ． 7．A ．解析：当5k =时，有57S =．8．D ．解析：由cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得tan 36πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3tan 2tan 364ππαα⎛⎫⎛⎫-=2-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．B ．解析：由已知有函数()f x 是周期为2，当()01x ∈，时，有()223x +∈，，故()()22f x f x x =+=+，同理，当[]21x ∈--，时，有()()44f x f x x =+=+，又知()f x 是偶函数，故()10x ∈-，时，有()01x -∈，，故()()2f x f x x =-=-，即()20x ∈-，时，有()31f x x =-+，故选B ． 10．A ．解析：由1tan 02A =>，得cos sin 55A A =，cos 010B >，得sin 10B = cos cos()cos cos sin sin 02C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有10c =b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得2b =． 11．B ．解析：设()5cos 3sin P αα，，由()142OQ OP OF OQ =+=，，得2245cos 3cos 1622αα+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即216cos 40cos 390αα+-=，解得3cos 4α=或13cos 4α=-（舍去），即点P 的横坐标为154，故点P 到抛物线215y x =的距离为152． 12．D ．解析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S 、A 、B 的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC 、BD 同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种． 二、填空题 13.32-，解析：()()3sin15cos15sin15cos15cos 302︒+︒︒-︒=-︒=-．14．35+．解析：如图作出可行域，有圆心()11，到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为35+．15．283π73，故它的外接球的表面积为283π． 16．3．解析：()32sin 232cos 22sin 226f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，故1sin 2162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，即函数()f x 的值域为[]12-，，故答案为3． 三、解答题17.【解析】（1）由已知有()()1121121222n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++-=-=--=-=，又12112b a a =-=-， ∴{}n b 是首项为12-，公比为12-的等比数列，即1112nn n b b q -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………………6分（2）由已知有21log 2nn n n c b b n ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，即()123111111123122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………①于是()23411111111231222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………②-①②得1231311111222222nn n S n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---------+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∴21212119232n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．…………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， 所以()431105P A =-=，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是35．…………………………4分（Ⅱ）由数据，求得()()111113121225202627397233x y x y =++==++==，，． 31112513*********i i i x y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x ==++=∑，23432x =，由公式求得3132219779725343443223i i i i i x yb a y bx x x==-====-=---∑∑，．19.（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于12AB ， 于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形，即CM DN ∥，又DN ⊆平面PAD ，故CM ∥平面PAD ．………………………………………………6分（Ⅱ）依题意知：222PA AB PD +=，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，即PA ⊥平面ABCD ，建立如图所示空间坐标系O xyz -，()()()()210011200002C M D P ，，，，，，，，，，，， 于是有()201CM =-，，，()010DC =，，，()202DP =-，，， 设平面PDC 的法向量为()n a b c =，，，由0n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有0220b a c =⎧⎨-+=⎩，得()101n =，，， 所以10cos 10n CM n CM n CM<≥=-，， 故直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值为1010． 小题满分12分解（Ⅰ）由抛物线()220y px p =>过点()12P ，，得2P =，设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PA PB k k =-， 即12122211y y x x --=--， 将22112244y x y x ==，，代入得124y y +=-．…………………………………………5分（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由22112244y x y x ==，， 得()211221124AB y y k x x x x y y -==≠-+，由（Ⅰ）得124y y +=-，将其代入上式得1241AB k y y ==-+．因此，设直线AB 的方程为y x b =-+，由24y xy x b⎧=⎨=-+⎩，消去y 得()22240x b x b -++=，由()222440b b ∆=+-≥，得1b ≥-，这时，2121224x x b x x b +=+=，，AB ==P 到直线AB的距离为d =所以311412222ABP b S AB d b -==+=△ 令()()()[]()21313f x x x x =+-∈-，，则由()2'3103f x xx =-+，令()'0f x =，得13x =或3x =． 当113x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()'0f x >，所以()f x 单调递增，当133x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，故()fx 的最大值为1256327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ABP △面积ABP S △=…………………………………………12分（附：()()()()()3322133821333b b b b b ++-+-⎡⎤⎛⎫+-≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当13b =时取等号，此求解方法亦得分）21.解：（Ⅰ）()2121'20x ax f x x a x x+-=+-=≤在[]12，上恒成立，令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-．…………………………………………………………4分（Ⅱ）由()ln g x ax x =-，(0]x e ∈，，得()11'ax g x a x x-=-=， ①当0a ≤时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）， ②当10e a <<时，()g x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1(]e a ，上单调递增，∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，2a e =，满足条件．③当1e a ≥时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 413g x g e ae a e==-==，（舍去）， 综上，有2a e =．…………………………………………………………8分（Ⅲ）令()2ln F x e x x =-，由（Ⅱ）知，()min 3F x =，令()()2ln 51ln '2x x x x x x ϕϕ-=+=，， 当0x e <≤时，()()'0x h x ϕ≥，在(0]e ，上单调递增，∴()()max 15153222x e e ϕϕ==+<+=， ∴2ln 5ln 2x e x x x ->+，即()2251ln 2e x x x x ->+．……………………………………12分 小题满分10分．选修4-1：几何证明选讲：解（Ⅰ）∵DF BC ∥，∴ADC ABG △∽△，即DF AF BG AG =， 同理AF FE AG GC =，于是DF FE BG GC=．…………………………………………5分（Ⅱ）∵DF BC ∥，∴DFO CGO △∽△，即DF FO GC GO =，同理FE FO BG GO=， 所以DF FE DF GC GC BG FE BG=⇒=， 又由（Ⅰ）有DF FE GC FE BG GC BG DF =⇒=， 所以DF FE FE DF=，即DF FE =．…………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．解：（Ⅰ）曲线M 的普通方程为()2224x y +-=，由sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有sin cos cos sin 833ππρθρθ+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， ∴曲线N 3160x y +-=．……………………………………5分 （Ⅱ）圆M 的圆心()02M ，，半径2r =．点M 到直线N 的距离为216731d -==+，故AB 的最小值为725d r -=-=．………………………………………………………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 解：（Ⅰ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =．…………5分 （Ⅱ）当1a =时，()1f x x =-，设()()()5g x f x f x =++，于是，()23414541231x x g x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，故当4x <-时，()5g x >，当41x -≤≤时，()5g x =，当1x >时，()5g x >， 所以实数m 的取值范围为5m ≤．…………………………………………10分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B =，，，，，{}345AB =，，，则U A ð不可能是（ ）A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅ 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得A 可能为{}3,4,5，故选D. 考点：集合的元素及交并补运算.2.=（ ）A ．iB ．i -C ．i -D ．i -+ 【答案】B考点：复数的运算.3.在等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ）A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】B 【解析】试题分析：由1479112()3()24a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是1134101313()13()2622a a a a S ++===，故选B.考点：等差数列的性质，等差数列求和.4.已知()162a b a b a ==-=，，，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】C考点：向量的数量积运算.5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．32+ C.48 D ．80 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为(24)4242242+⨯⨯+=+，所以几何体的表面积为48+，故选A ．考点：空间几何体四棱台的特征.6.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ．y =【答案】C考点：直接法求轨迹.【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程了.设出点(,)P x y ,表示出两线的斜率,利用其乘积为1-建立方程化简即可得到点P 的轨迹方程.7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k > C.6?k > D ．7?k > 【答案】A 【解析】试题分析：当2,4;3,11;4,26;5,57.k S k S k S k S ========即当5k =退出循环，所以判断框内应填“4?k >”.故本题正确答案为A. 考点：算法的含义和程序框图.8.已知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13-C ．43D ．34-【答案】D 【解析】试题分析：由cot()33πα+=-，得tan()36πα-=，所以3tan(2)tan 2()364ππαα-=-=-,故选D ． 考点：诱导公式；二倍角的正切公式. 9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =， 则当()20x ∈-，时，()f x =（ ）A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x + 【答案】B考点：函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式.10.在ABC △中，已知1tan cos 2A B ==，，若ABC △，则最短边长为（ ）A B D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由1tan 02A =>，得cos A A ==，由cos B =，cos 0B =>，得sinB =cos cos()cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有c =，又sin sin ,B A b a <∴<，最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得b =，故选A.考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系.【方法点晴】根据cos B 的值及B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B 的值，由tan A 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin ,cos A A 的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出cos C ，由cos C 的值为负数及C 的范围得到C 为钝角即最大角，即c =，又sin sin ,B A b a <∴<，∴b 为最小边，根据正弦定理，由sin ,sin B C 及c 的值即可求出b 的值．11.点P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+=，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ） A ．154 B ．152C.15 D ．10 【答案】B考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程.12.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所 有涂法共有（ ）A ．24种B ．48种 C.64种 D ．72种 【答案】D 【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S A B 、、的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC BD 、同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种,故选D ．考点：分类计数原理，排列组合.【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒= ．【答案】【解析】试题分析：2330cos )15cos 15)(sin 15cos 15(sin -=-=-+ ． 考点：二倍角公式.14.已知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 .【答案】3+考点：线性规划，数形结合.15.正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 . 【答案】283π考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离.【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径.因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上.所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出.16.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即函数()f x 的值域为[]1,2-，故答案为3． 考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域.【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，()2sin 22cos 22sin(2)26f x x x x x x ππ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，进而利用02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，的范围得到72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即为换元思想，把26x π+看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，．（1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）n n n q b b )21(11-==-；（2）212121[1()]()9232n n n S+=--+⋅-．（2）由已知有nn n n n b b c )21(log 2--=⋅=， 即nn n n n S )21()21()1()21(3)21(2)21(11321-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=- ………………① 于是1432)21()21()1()21(3)21(2)21(121+-⋅--⋅----⋅--⋅--⋅-=-n n n n n S …………②-①②得1321)21()21()21()21()21(23+-+---------=n n n 1)21()21(1])21(1)[21-(+-⋅+----=n n n12)21(32])21(1[92+-⋅+--=∴n n n S ．…………………………………………12分考点：数列递推求通项公式；数列求和. 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录 了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被 选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的 线性回归方程y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回 归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211nni iiii i nniiii x yn x y xxyyb a y bx xn xxx====---===---∑∑∑∑，）【答案】（Ⅰ）53；（Ⅱ）325-=∧x y ；（Ⅲ）可靠．3,254324349729773312231-=-==--=-=∧∧==∧∑∑x b y a xx yx b i i i i i ．所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y ．……………………………………………………8分（Ⅲ）当10=x 时，22322,22325<-=-=∧x y ，同样地，当8=x 时，21617,173825<-=-⨯=∧y ，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．……………………………………………………12分 考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率.【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从5组数据中选取2组数据共有10种情况，用正难则反的思想找到4种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知21AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，， 点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；试题解析：（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于AB21，于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形，即DN CM //，又⊆DN 平面PAD ，故//CM 平面PAD ．………………………………………………6分考点：线面平行的判定，直线和平面所成角. 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，， 当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值．【答案】（I ）421-=+y y ；（Ⅱ）9616.试题解析：解（Ⅰ）由抛物线)0(22>=p px y 过点)2,1(P ，得2=p ， 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PB PA k k -=，即12122211--=--x y x y ， 将2221214,4x y x y ==，代入得421-=+y y ．…………………………………………5分（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由2221214,4x y x y ==，令()()])3,1[(31)(2-∈-+=x x x x f ，则由3103)(2'+-=x x x f ，令0)('=x f ，得31=x 或3=x ．当)31,1(-∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 单调递增，当)3,31(∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 单调递减，故)(x f 的最大值为27256)31(=f ，故ABP ∆面积ABP S ∆的最大值为9616)312=f ．…………………………………………12分（附：332)38(3)3()3(1(2)3)(1(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++≤-+b b b b b ），当且仅当31=b 时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值. 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，．（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值；（Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（Ⅰ）72a ≤-；（Ⅱ）2a e =；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅱ）由],0(,ln )(e x x ax x g ∈-=，得x ax x a x g 11)('-=-=，①当0≤a 时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ，e a 4=（舍去），②当e a <<10时，)(x g 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增，∴3ln 1)1()(min =+==a a g x g ,2e a =，满足条件．③当e a ≥1时，)(x g 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e g x g ,e a 4=（舍去），综上，有2e a =．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）令x x e x F ln )(2-=，由（Ⅱ）知，3)(min =x F ，令2'ln 1)(,25ln )(x xx x x x -=+=ϕϕ，考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式.【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成'()0f x ≤在区间[]1,2上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于0，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在(0,]e 单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以x 后，左右两个函数有max 1515()()3222x e e φφ==+<+=，易得结果. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE 相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC =； （Ⅱ）DF FE =【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）利用三角形相似易得；（II ）由DFO ∆∽CGO ∆，即DF FO GC GO =，同理FE FOBG GO=，易得DF FE =．试题解析：解（Ⅰ）BC DF // ∵，ADC ∴∽ABG ∆，即AG AF BGDF =，同理GC FE AG AF =，于是GC FEBG DF =．…………………………………………5分（Ⅱ）BC DF // ，∴DFO ∆∽CGO ，即GO FO GC DF =，同理GO FO BG FE =， 所以BG GCFE DF BG FE GCDF =⇒=， 又由（Ⅰ）有DF FEBG GC GCFE BG DF =⇒=， 所以DF FEFEDF =，即FE DF =．…………………………………………10分 考点：三角形相似判定和性质.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值．【答案】（Ⅰ）曲线M 的普通方程为22(2)4x y +-=，曲线N 160y +-=（Ⅱ）5.考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2=a ；（Ⅱ）5m ≤. 【解析】试题分析：（I ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，可得出2a =；（II ）对23,4()|1||4|5,4123,1x x g x x x x x x --≤⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，分段解不等式即可.试题解析：解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3≤-a x ，解得33+≤≤-a x a ，又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a ．…………5分 （Ⅱ）当1=a 时，1)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是， ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-≤--=++-=1,3214,54,32|4||1|)(x x x x x x x x g ，故当1-<x 时，5)(>x g ，当14≤≤-x 时，5)(=x g ，当1>x 时，5)(>x g ， 所以实数m 的取值范围为5m ≤．…………………………………………10分 考点：绝对值不等式的解法.：。

2017年高考数学理科模拟试卷（二）（8、9）一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（ ） A ．[1,4)-B ．(2,3]C ．(2,3)D ．(1,4)-2．设复数z 满足11zi z+=-，则z =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．23．已知平面向量n m ，的夹角为,6π且2,3==n m ，在ABC ∆中，n m AB 22+=，n m AC 62-=，D 为BC 边的中点，则AD =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0116 B ．0927 C ．0834 D ．07265．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ． 340cm6. 若3cos()cos()02πθπθ-++=，则cos2θ的值为（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-7. 若202n x dx =⎰ ，则12nx x -()的展开式中常数项为（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．32-8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0B ．32 C ．3 D ．32-9．有4名优秀大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．48010. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设412(log 7),(log 3),a f b f ==0.6(0.2)c f =则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+ 成立，且(6)2f -=-，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．则给出下列命题：①(2016)2f =-； ②6-=x 为函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在()9,6--上为减函数； ④方程0)(=x f 在[]9,9-上有4个根；其中正确的命题个数为（ ）A.1B.2C.3D.412．如图，1F ，2F 分别是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则21F BF ∆的面积为（ ） A ．8 B ．28 C ．38 D ．16 二、填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）13．已知实数x y 、满足条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为__________.14. 设等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，已知83=S ，76=S 则2a =__________.15．已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点,A B ，满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为_________.16．已知三棱锥S ABC -中，底面ABCSA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为_________.三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）在数列}{n a 中，2+4=1+n n a S ，1=1a （1）n n n a a b 2=1+，求证数列}{n b 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S .21111111121112212111212)13(414343)1(21243,21}2{43222322,3}{)1()2(2,3}{2)2(2244)24(2432523,24)1(:--+-++++++++++⋅-=-=⨯-+===⨯=-===-=--=+-+=-==-==++=+n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a a a a a q b b ，b b b a a a a a a a a s s a a a b ，a a a a 所以的等差数列公差为是首项为因此数列于是所以公比中等比数列知由的等比数列公比为是首项为因此数列即于是故解得由已知有解所以22)43(22)43(424131+-=+-=+=---n n n n n n a S18．（本题满分12分）众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为43，32，21，且各场比赛互不影响.（1）若甲至少获胜两场的概率大于107，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD //，︒=∠90ADC ，平面⊥PAD 底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2===AD PD PA ，1=BC ，3=CD （1）求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（2）若MC PM 3=，求二面角C BQ M --的大小． .证明：（1）∵Q 为AD 的中点，P A=PD=AD=2，BC=1， ∴PQ ⊥AD ，QDBC ， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴DC ∥QB ，∵底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°， ∴BQ ⊥AD ， 又BQ∩PQ=Q ，∴AD ⊥平面PQB ， ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD ．…………………………………… 6分（2）∵PQ ⊥AD ，平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD =AD ，∴PQ ⊥底面ABCD 以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则Q （0，0，0），B （0，，0），C （﹣1，，0），P （0，0，），设M （a ，b ，c ），则，即（a ，b ，c ﹣）=（﹣1，，﹣）=（﹣，，﹣），∴，b=，c=，∴M （﹣，，），=（﹣，，），=（0，，0），设平面MQB 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x =1，得=（1，0，），平面BQC 的法向量=（0，0，1），设二面角M ﹣BQ ﹣C 的平面角为θ，则cosθ==，∴θ=，∴二面角M ﹣BQ ﹣C 的大小为．…………………………… 12分20．（本题满分12分）已知抛物线E ：，直线与E 交于A 、B 两点，且，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线E 的方程； （2）已知点C 的坐标为)0,3(-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明22221211m k k -+为定值.21．（本题满分12分）已知函数21()()2g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线与直线20+x y =垂直.（1）求实数a 的值；（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（3）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求12()()g x g x -的最小值.解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x'=+. ∵与直线20x y +=垂直，∴112x k y a ='==+=，∴ 1a =.…………………2分（Ⅱ）()()()()()221111ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x--+'=+--∴=+--=由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()210123140b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪∆=-->⎩或b<-1故b 的取值范围是()3,+∞……………………………6分（Ⅲ）2'1(1)1()(1)x b x g x x b x x--+=+--=令 '()0g x = 得2(1)10x b x --+=由题12121,1x x b x x +=-= 221111122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 221121221ln()(1)()2x x x b x x x =+----22112121221ln ()()()2x x x x x x x x =+--+- 2211211221222111ln ln 22x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭12x t x =，则1111()()()ln ()2g x g x h t t t t-==-- ………………………8分 120x x <<，所以令12(0,1)x t x =∈， 又72b ≥，所以512b -≥， 所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤10,4t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦…………………10分 2'22111(1)()1022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减 ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭ 故11()()g x g x -的最小值是152ln 28-………………………12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时标出所选题目的题号.22．（本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点,且AB ∥DC ，DC 的延长线交PQ 于点Q ．（1）求证：；（2）若AQ ＝2AP ，AB ＝2，BP ＝2，求QD ．解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴AC CQ ＝ABAC ，即AC 2＝CQ ·A B …………………5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴BP PC ＝AP PQ ＝AB QC ＝13，由AB ＝2，BP ＝2，得QC ＝32，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴AP 2＝PB ·PC ＝12，∴AP ＝23，∴QA ＝43，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴AQ 2＝QC ·QD QD ＝82………………10分23．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知射线C 1：θ＝π6(ρ≥0)，动圆C 2：(x 0∈R )．（1）求C 1，C 2的直角坐标方程；（2）若射线C 1与动圆C 2相交于M 与N 两个不同点，求x 0的取值范围．解：(1)∵tan θ＝y x ，θ＝π6(ρ≥0)，∴y ＝33x (x ≥0)．所以C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0).2分 ∵⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 2的直角坐标方程x 2＋y 2－2x 0x ＋x 20－4＝0…………4分 (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6（ρ≥0），ρ2－2x 0ρcos θ＋x 20－4＝0（x 0∈R ），关于ρ的一元二次方程ρ2－3x 0ρ＋x 20－4＝0(x 0∈R )在[0，＋∞)内有两个实根…………6分即⎩⎨⎧Δ＝3x 20－4（x 20－4）>0，ρ1＋ρ2＝3x 0>0，ρ1·ρ2＝x 20－4>0，……8分得⎩⎨⎧－4<x 0<4，x 0>0，x 0>2，或x 0<－2，即2≤x 0<4……………10分24.（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1．（1）求a ＋b ＋c 的取值范围；（2）若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)由柯西不等式得，(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3，∴－3≤a ＋b ＋c ≤3，∴a ＋b ＋c 的取值范围是[－3，3]……………5分 (2)同理，(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3………………7分 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则|x －1|＋|x ＋1|≥3，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞………………10分2017届柳州联考试卷（二） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABBACACBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.11 14. 163-15. 8316.π5三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.21111111121112212111212)13(414343)1(21243,21}2{43222322,3}{)1()2(2,3}{2)2(2244)24(2432523,24)1(:--+-++++++++++⋅-=-=⨯-+===⨯=-===-=--=+-+=-==-==++=+n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a a a a a q b b ，b b b a a a a a a a a s s a a a b ，a a a a 所以的等差数列公差为是首项为因此数列于是所以公比中等比数列知由的等比数列公比为是首项为因此数列即于是故解得由已知有解所以22)43(22)43(424131+-=+-=+=---n n n n n n a S19.证明：（1）∵Q 为AD 的中点，P A=PD=AD=2，BC=1，∴PQ⊥AD，QD BC，∴四边形BCDQ是平行四边形，∴DC∥QB，∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，∴BQ⊥AD，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，∵AD⊂平面P AD，∴平面PQB⊥平面P AD．……………………………………6分（2）∵PQ⊥AD，平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥底面ABCD，以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，则Q（0，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，），设M（a，b，c），则，即（a，b，c﹣）=（﹣1，，﹣）=（﹣，，﹣），∴，b=，c=，∴M（﹣，，），=（﹣，，），=（0，，0），设平面MQB的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），平面BQC的法向量=（0，0，1），设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴θ=，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为．……………………………12分21. 解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1a f x x'=+. ∵与直线20x y +=垂直，∴112x k y a ='==+=，∴ 1a =.…………………2分 （Ⅱ）()()()()()221111ln 1,12x b x g x x x b x g x x b x x--+'=+--∴=+--= 由题知()0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()210123140b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪∆=-->⎩或b<-1故b 的取值范围是()3,+∞……………………………………6分（Ⅲ）2'1(1)1()(1)x b x g x x b x x --+=+--= 令 '()0g x = 得2(1)10x b x --+=由题12121,1x x b x x +=-=221111122211()()ln (1)ln (1)22g x g x x x b x x x b x ⎡⎤⎡⎤-=+---+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦221121221ln ()(1)()2x x x b x x x =+----22112121221ln ()()()2x x x x x x x x =+--+- 2211211221222111ln ln 22x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭12x t x =，则1111()()()ln ()2g x g x h t t t t-==-- ………………………8分 120x x <<，所以令12(0,1)x t x =∈， 又72b ≥，所以512b -≥， 所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥ 整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤ 10,4t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦………………………………………10分 2'22111(1)()1022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减 ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭ 故11()()g x g x -的最小值是152ln 28-………………………………12分 22．解：(1)∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴AC CQ ＝AB AC ，即AC 2＝CQ ·A B …………………5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴BP PC ＝AP PQ ＝AB QC ＝13，由AB ＝2，BP ＝2，得QC ＝32，PC＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴AP 2＝PB ·PC ＝12，∴AP ＝23，∴QA ＝43，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴AQ 2＝QC ·QD QD ＝82………………10分23．解：(1)∵tan θ＝y x ，θ＝π6(ρ≥0)，∴y ＝33x (x ≥0)．所以C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0).2分 ∵⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 2的直角坐标方程x 2＋y 2－2x 0x ＋x 20－4＝0…………4分 (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6（ρ≥0），ρ2－2x 0ρcos θ＋x 20－4＝0（x 0∈R ），关于ρ的一元二次方程ρ2－3x 0ρ＋x 20－4＝0(x 0∈R )在[0，＋∞)内有两个实根………………………6分即⎩⎨⎧Δ＝3x 20－4（x 20－4）>0，ρ1＋ρ2＝3x 0>0，ρ1·ρ2＝x 20－4>0，……………………8分得⎩⎨⎧－4<x 0<4，x 0>0，x 0>2，或x 0<－2，即2≤x 0<4……………………10分 24．解：(1)由柯西不等式得，(a ＋b ＋c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)＝3，∴－3≤a ＋b ＋c ≤3，∴a ＋b ＋c 的取值范围是[－3，3]……………5分(2)同理，(a －b ＋c )2≤[12＋(－1)2＋12](a 2＋b 2＋c 2)＝3………………7分 若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，则|x －1|＋|x ＋1|≥3，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞………………10分。

2017年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

全卷满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上. ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回。

参考公式：柱体体积公式：V Sh = （其中S 为底面面积，h 为高）锥体体积公式:13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高） 球的表面积、体积公式：2344,3S R V R ==ππ （其中R 为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数12iz i-+=（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 2．已知集合M=｛x ｜y=lg｝，N=｛y|y=x 2+2x+3},则(∁R M ）∩N= （ ）A ． {x|0＜x ＜1｝B ． ｛x ｜x ＞1}C ． {x|x≥2}D ． {x|1＜x ＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2 .。

.960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间［1,450]的人做问卷A ，编号落人区间［451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C 。

则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ） A. 15 B 。

10 C 。

9 D. 7 4.设{n a ｝ 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，且12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ． 105C ． 90D ．755.由2y x =和23y x =-所围成图形面积是 （ )A.B 。

一、选择题（题型注释）1、下列集合中，是集合的真子集的是（）A． B． C． D．2、复数的实部与虚部分别为（）A．， B．， C．, D．,3、设，，，则（）A． B． C． D．4、已知，则等于（）A． B． C． D．5、设，满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．06、将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（）A． B．的图象关于对称C． D．的图象关于对称7、执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（）A．94 B．99 C．45 D．2038、直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9、2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，．现用这5个年龄段的中间值代表年龄段，如12代表，代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的线性回归方程为，由此可推测的值为（）A． B． C． D．10、某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11、已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．12、设向量若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（题型注释）13、的展开式中的系数为__________．14、已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为__________．15、若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为__________．16、(数学（文）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.三、解答题（题型注释）17、某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）求数列的前项和，求的值．18、如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（1）求证：；（2）若，的中点为，求二面角的余弦值．19、如图，，为椭圆：的左、右焦点，，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”．直线与椭圆交于，两点，，两点的“椭点”分别为，，已知以为直径的圆经过坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．20、已知函数，，其中，为常数．（1）若是函数的一个极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有2个零点，有6个零点，求的取值范围．21、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．22、选修4-5：不等式选讲已知，为不等式的解集．（1）求；（2）求证：当，时，．23、已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．参考答案1、D2、A3、A4、B5、A6、B7、A8、D9、B10、A11、D12、C13、14、415、16、2117、（1）（2）18、（1）详见解析（2）19、（1）（2）的面积为定值1．20、（1）（2）21、（1）；（2）.22、（1）．（2）详见解析23、 (1) (2)详见解析【解析】1、试题分析：因为，所以由真子集的概念知集合的真子集是，故选D．考点：1、不等式的解法；2、集合间的关系．2、试题分析：∵，∴的实部与虚部分别为,故选A．考点：复数及其运算．3、，故选A.4、 .【点睛】本题考查同角三角函数关系中的弦化切问题，已知角的正切值，求与正余弦相关的式子的值，首先把所求式子转化为分式（一次齐次式或二次齐次式），然后分子和分母同除以（或），转化为用表示的形式，最后带入求值.5、试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又表示区域内的点与原点间连线的斜率，由图知连线的斜率最大，即，故选A．考点：简单的线性规划问题．【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6、由已知可得，故选B.7、试题分析：由框图程序得第一次运行第二次运行第三次运行第四次运行.此时满足终止运行,输出,故选A.考点：程序框图.8、由双曲线的对称性可得，故选D.9、前4个数据对应的，（把百分数转化为小数），而，，，，当，.10、试题分析：由三视图，知该几何体为底面半径为2，高为4的圆柱的二分之一和底面为矩形高为2的四棱锥，其中矩形的两边分别为4和2，则该几何体体积为＝，故选A．考点：1、空间几何体的三视图；2、圆柱与棱锥的体积．【方法点睛】解答此类问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11、由于定义在上的偶函数在上递减，则在上递增，又，则可华化为：，即对恒成立，则，所以：且对同时恒成立.设，，则在上递增，在上递减，.设，，在上递减，.综上得：的取值范围是.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性及利用函数性质解决不等式问题，由于偶函数在上递减，把不等式变形为对恒成立，问题转化为恒成立，即且对同时恒成立.最后利导数解决恒成立问题.12、由已知可得，故选C.13、利用通项公式，令，，则展开式中的系数为.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案.14、由上图可得交点个数为4.15、设长方体的长、宽、高分别为，则，由于体积为4，则，长方体的体对角线长为，则球的表面积（当且仅当时取等号）.【点睛】长方体的外接球的直径的大小就是长方体的体对角线的长度，根据题目所提供的条件表示出长方体的对角线的长，然后表示出球的表面积，结合基本不等式求出表面积的最小值.16、设的对应边边长分别里，里，里故正确答案为 .【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.17、试题分析：此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，该等差数列首项为2，公差为1，根据等差数列的通项公式写出答案，但注意实际问题的要求，注明的取值范围；第二步为错位相减法求和，要求运算熟练准确.试题解析：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴（）．∴此看台的座位数为．（2）∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题为应用题，首先读题审题，把实际问题转化为数学问题，此看台的座位数符合等差数列定义，转化为等差数列去解决，求出通项公式，第二步求和问题，利用错位相减法求和，数列求和问题需要掌握裂项相消法、错位相减法、分组求和法等基本方法.18、试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取中点，连接，，利用条件证明平面.以为坐标原点，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：连接，，则和皆为正三角形．取中点，连接，，则，，从而平面，．（2）解：由（1）知，，又满足所以，平面．如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以取．设平面的法向量为，因为，，同理可取．则，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．【点睛】证明线线垂直一般来说寻求线面垂直，利用线面垂直的性质定理，说明线线垂直，另外也可由面面垂直得到，证明垂直问题时，要寻求垂直方面的条件，除了根据有关垂直的定理、性质外，有时还需要数据计算利用勾股定理判断垂直关系.建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角属于常规方法，考生应在“熟练+准确”上下功夫.19、试题分析：求圆锥曲线的标准方程，常用待定系数法，列出关于的关系后解联立方程组，求出的值，定点、定值问题是解析几何常见的常规题型之一，是高考高频考点，针对本题务必对直线的斜率进行讨论，否则会失分.研究三角形的面为定制问题，首先把面积表示出来，这就需要联立方程组，求弦长和高，最终说明面积为定值.试题解析：（1）由题可知解得故椭圆的标准方程为．（2）设，，则，．由，即．（*）①当直线的斜率不存在时，；②当直线的斜率存在时，设其直线为（），联立得，则，，同理，代入（*），整理得．此时，，，∴．综上，的面积为定值1．【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20、试题分析：结合极值点导数为零及导数的几何意义求出切线方程；函数零点问题是导数的一个应用方面，首先搞清函数零点个数的三种判断方法，其一：的图象与轴交点的横坐标；其二：方程的根；其三：函数与的图象的交点的横坐标；本题根据函数存在2个零点，转化为方程有2个不同的实根，解出，再根据有6个零点，求出范围.试题解析：（1）∵，∴，∴，即．又，∴，∵，∴所求切线方程为，即．（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，则，令，得；令，得，，∴的极小值为．∵，∴由的图象可知．∵，∴令，得或，即或，而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，∴且，∴，∴．【点睛】函数零点个数的三种判断方法，其一：的图象与轴交点的横坐标；其二：方程的根；其三：函数与的图象的交点的横坐标；涉及零点问题，一般设，则，先考虑的零点，找出对应的值（或范围），再根据找出对应的值（或个数），需要借助函数图象数形结合去完成.21、试题分析：(1)利用即可得到极坐标方程；（2）在圆的极坐标方程中令，得到利用即可.试题解析：（1）可化为，故其极坐标方程为.……5分（2）将代入，得，，..……10分考点：直角坐标与极坐标互化，弦长公式.22、解：（1）当时，由，得，舍去；当时，由，得，即；当时，由，得，即．综上，．（2）因为，，∴，，所以．23、试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的次数的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件，则.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为.由题意可得可取，则有,.故(或).。

绝密★启用前【全国省级联考word 】广西2017届高三5月份考前模拟适应性联合考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、圆：与直线相交于、两点，则等于（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】因为圆心半径分别为，所以圆心到直线的距离，由弦心距、半径、弦长之间的关系可得弦长：，应选答案B 。

试卷第2页，共17页2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是矩形与梯形且等高的两个棱柱的组合体，，应选答案C 。

3、已知变量，满足约束条件则的最小值为（ ）A ．B ．1C ．D ．【答案】C【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，则，应选答案C 。

点睛：本题旨在考查线性规划等有关知识的综合运用，解答这类问题的常规思路是将不等式组表示的区域在平面直角坐标系中直观地表示出来，再运用数形结合的思想，借助图形的直观求出目标函数的最值，从而使得问题获解。

4、若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32试卷第4页，共17页【答案】C【解析】从题设所提供的算法流程图可知：当时，，则，由于；则，由于，则，此时，此时运算程序结束，输出，应选答案C 。

5、已知等差数列的前项和为，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为，即，所以，则，应选答案B 。

广西梧州市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·汕头期中) 设，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列，则等于（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）设，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·山东) 从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A .B .C . 4D .7. （2分）函数的部分图象如右图，则，可以取的一组值是（）.A .B .C .D .8. （2分）若，且，则的值为（）A . 1或B . 1C .9. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 下列推理正确的是（）A . 如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B . 因为a＞b，a＞c，所以a﹣b＞a﹣cC . 若a，b均为正实数，则lga+lgb≥2D . 若ab＜0，则 + =﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2 ≤﹣210. （2分）已知函数f（x）的图象是连续不间断的，且有如下的x，f（x）对应值表：x123456f（x）11.88.6﹣6.4 4.5﹣26.8﹣86.2则函数f（x）在区间[1，6]上的零点有（）A . 2个B . 3个C . 至少3个D . 至多2个二、解答题 (共8题；共67分)11. （2分）(2020·桂林模拟) 已知双曲线是的左右焦点，是双曲线右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A .B . 3C . 212. （10分）已知（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合；（2）求函数f（x）的单调减区间．13. （10分）(2017·黑龙江模拟) 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份x12345y（万盒）44566（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程 = + ，根据表中数据已经正确计算出 =0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．14. （5分） (2017高二下·和平期末) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．15. （10分） (2015高二下·赣州期中) 已知点是抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，设A（2，y0）是抛物线上的一点．（1）求该抛物线在点A处的切线l的方程；（2）求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．16. （10分） (2020高二下·越秀月考) 已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当，函数，证明：存在唯一的极大值点，且 .17. （10分） (2016高二上·福州期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．18. （10分）(2020·安徽模拟) 已知非零实数满足．（1）求证：；（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由三、填空题 (共4题；共4分)19. （1分）(2017·蚌埠模拟) 若（）a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．20. （1分）若x，y满足，且z=2x+y的最大值为4，则k的值为________21. （1分） (2016高三上·日照期中) 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，依此规律，则A（15，2）=________．22. （1分）若f（x）=x3﹣3x+m有且只有一个零点，则实数m的取值范围是________参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、解答题 (共8题；共67分)11-1、12-1、12-2、13-1、13-2、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、三、填空题 (共4题；共4分) 19-1、20-1、21-1、22-1、。

广西梧州市数学高三理数第一次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·重庆模拟) 如果x﹣1+yi与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则x+y=（）A . ﹣1B . 1C .D . ﹣2. （2分） (2016高三上·邯郸期中) “x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A . 4B . 3C . 2D . 04. （2分） (2015高三上·盘山期末) 已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A . 3B . 2C . ﹣2D . ﹣35. （2分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·德阳模拟) 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·辽宁期中) （|x|+ ﹣2）3的展开式中的常数项为（）A . ﹣20B . 19C . ﹣18D . 219. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·黑龙江期中) 10张奖券中有3张是有奖的,某人从中不放回地依次抽两张,则在第一次抽到中奖券的条件下,第二次也抽到中奖券的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三下·武邑期中) 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，则p等于（）A .B .C . 2D . 112. （2分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A . ①②B . ②④C . ①④D . ②③二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知，则的值为________.14. （1分）设，若f（m）的取值范围是（0，+∞），则m的取值范围是________15. （1分） (2016高三上·湖北期中) 关于x的不等式表示的平面区域是等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．16. （1分）(2020·定远模拟) 若函数对定义域内的任意，当时，总有，则称函数为单调函数，例如函数是单纯函数，但函数不是单纯函数，下列命题：①函数是单纯函数；②当时，函数在是单纯函数；③若函数为其定义域内的单纯函数，，则④若函数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在使其导数，其中正确的命题为________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2020·阿拉善盟模拟) 如图，在中，，点在边上，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.18. （10分）(2019高二上·郑州期中) 已知数列的前项和为，，.（1）求，，的值及数列的通项公式；（2）求证： .19. （10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC1；（Ⅱ）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．20. （10分） (2016高一上·六安期中) 设函数f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）（1）若f（1）＜0，求a的取值范围；（2）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21. （10分）(2016·肇庆模拟) 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．22. （10分） (2018高二下·遵化期中) 设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若 a = 1 ，证明：当 x > 0 时， f ( x ) < e x − 1 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。