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广东省高一上学期数学第二次段考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·兴庆期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一上·曲靖月考) 已知集合，则集合的子集个数为（）A . 8B . 16C . 32D . 644. （2分） (2018高一上·马山期中) 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示至少打开一个水口给出以下3个论断：点到3点只进水不出水；点到4点不进水只出水；点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2019高一上·珠海期中) 已知为奇函数，当时，，则在上是（）A . 增函数，最小值为B . 增函数，最大值为C . 减函数，最小值为D . 减函数，最大值为6. （2分）(2020·龙岩模拟) 已知函数，则的图象不可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·攀枝花月考) 函数的部分图象大致是（）.A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·金华期中) f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（）A . （0，+∞）B . （0，2）C . （2，+∞）D . （2，）9. （2分）若函数，则（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A . y=lnxB . y=x2C . y=cosxD . y=2﹣|x|11. （2分） (2016高一上·蓟县期中) 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f （1）=（）A . ﹣1B . ﹣3C . 1D . 312. （2分） (2020高一下·金华月考) 若不等式的解集恰为不等式的解集，则a-b=（）A . 3B . -3C . 5D . -5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知集合A由方程（x﹣a）（x﹣a+1）=0的根构成，且2∈A，则实数a的值是________．14. （1分） y=log0.5[cos（ + ）]的单调递增区间为________．15. （1分）(2020·平邑模拟) 已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，若在内关于的方程（且）有且只有个不同的根，则实数的取值范围是________.16. （1分） (2016高一上·包头期中) 若函数f（x）=|x+a|的图象关于y轴对称，则f（x）的单调减区间为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x﹣1＜3}，B={x|2x﹣9≥6﹣3x}．求：①A∪B；②∁U（A∩B）18. （10分） (2016高一上·太原期中) 已知非空集合A={x|a＜x＜2a+3}，B={x|0＜x＜1}（1）若a=﹣，求A∩B（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19. （5分） (2019高二下·虹口期末) 不等式的解集是，关于x的不等式的解集是。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = 1，则f(x)的图像是：A. 上升的直线B. 下降的直线C. 平行于x轴的直线D. 平行于y轴的直线2. 下列各式中，表示集合{1, 3, 5}的子集的是：A. {1, 2}B. {1, 3}C. {2, 4}D. {1, 3, 5}3. 已知等差数列{an}的公差为2，若a1 = 3，则a10的值为：A. 21B. 23C. 25D. 274. 下列函数中，有最小值的是：A. y = x^2B. y = -x^2C. y = x^3D. y = -x^35. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点是：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, 3)6. 若log2x = 3，则x的值为：A. 8B. 16C. 32D. 647. 已知三角形ABC中，AB = 5，BC = 8，AC = 10，则三角形ABC的面积是：A. 20B. 30C. 40D. 508. 下列各式中，能表示圆的方程的是：A. x^2 + y^2 = 4B. x^2 + y^2 + 2x - 4y + 3 = 0C. x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0D. x^2 + y^2 + 2x + 4y + 3 = 09. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面内的轨迹是：A. 以点(1, 0)为圆心，半径为2的圆B. 以点(1, 0)为圆心，半径为1的圆C. 以点(0, 1)为圆心，半径为2的圆D. 以点(0, 1)为圆心，半径为1的圆10. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项a5的值为：A. 18B. 54C. 162D. 486二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。
2024届广东省深圳红岭中学高一数学第二学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b +=（ ） A ．3B ．6C ．7D ．82．已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞3．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②4．ABC ∆中，若cos c a B =⋅，则ABC ∆的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形D ．直角三角形5．如图，正四面体A BCD -，P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ，BD 所成角为α，β，则（ ）A ．αβ≥B ．αβ≤C ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≥D ．当102t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，αβ≤ 6．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．在ABC 中，22223ABC a b ab c S ∆+-==，则ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14-B ．14C ．23-D ．239．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．25B ．13C ．35D ．2310．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
红岭中学（红岭教育集团）2025届⾼三第⼆次统⼀考试数学(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每题5分，共40分，每⼩题的4个选项中仅有⼀个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1．设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．2．化简等于（）A．B．C．D．3．已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（）A．B．C．D．4．甲、⼄、丙、丁、戊共5名同学参加100⽶⽐赛，决出第1名到第5名的名次．⽐赛结束后甲说：“我不是第1名”，⼄说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5⼈的名次排列情况种数为（）A．72B．78C．96D．1205．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．6．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知，，，其中为⾃然对数的底数，则，，的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．8．将⽅程的所有正数解从⼩到⼤组成数列，记，则=（）A．B．C．D．⼆、选择题（本⼤题共3⼩题，每题6分，共18分，每⼩题的4个选项中有多个选项是正确的,少选的按⽐例给分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）9．记为数列的前项和，下列说法正确的是（）A．若对，，有，则数列⼀定是等差数列B．若对，，有，则数列⼀定是等⽐数列C．已知，则⼀定是等差数列D．已知，则⼀定是等⽐数列10．已知△ABC的内⻆所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（）A．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞BB．若，则是等腰三⻆形C．若在线段AB上，且，则△ABC的⾯积为8D．若，动点在△ABC所在平⾯内且，则动点的轨迹的⻓度为11．已知矩形，，，将沿对⻆线进⾏翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成⽴的是（）A．三棱锥的体积最⼤值为B．三棱锥的外接球体积不变C．异⾯直线与所成⻆的最⼤值为D．与平⾯所成⻆余弦值最⼩值为三、填空题（本⼤题共3⼩题，每题5分，共15分，请将答案填写在答题卷相应位置上）12．盒中有a个红球，b个⿊球，今随机地从中取出⼀个，观察其颜⾊后放回，并加上同⾊球c个，再从盒中抽取⼀球，则第⼆次抽出的是⿊球的概率是.13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右⽀上，，若与C的⼀条渐近线垂直，垂⾜为N，且，其中O 为坐标原点，则双曲线C的标准⽅程为.14．已知函数有三个不同的零点，其中则的值为.四、解答题（共77分，请将答案填写在答题卷相应位置上，答错位置不给分，要求要有必要的⽂字叙述和推理说明）15．(本⼩题13分)设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满⾜，且，求数列的通项公式．16．(本⼩题15分)如图，、、为圆锥三条⺟线，.(1)证明:；(2)若圆锥侧⾯积为为底⾯直径，，求平⾯PAB和平⾯PAC所成⻆的余弦值．17．(本⼩题15分)已知椭圆：的离⼼率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三⻆形⾯积为．(1)求的⽅程；(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点,并求出这个定点．18．(本⼩题17分)已知函数．(1)若的极⼤值为，求的值；(2)当时，若，使得，求的取值范围．19.(本⼩题17分)法国数学家费⻢在给意⼤利数学家托⾥拆利的⼀封信中提到“费⻢点”，即平⾯内到三⻆形三个顶点距离之和最⼩的点，托⾥拆利确定费⻢点的⽅法如下：①当的三个内⻆均⼩于120∘时，满⾜∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O为费⻢点；②当有⼀个内⻆⼤于或等于120∘时，最⼤内⻆的顶点为费⻢点．请⽤以上知识解决下⾯的问题：已知的内⻆A,B,C所对的边分别为a,b,c，点M为的费⻢点，且cos2A+ cos2B−cos2C=1．(1)求C；(2)若c=4，求MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最⼤值；(3)若MA+MB=t MC，求实数t的最⼩值．。
红岭中学2023—2024学年度第一学期高三第二次统一考试数学试卷一、单选题(共 24 分)1已知复数z 满足z̅⋅(1−i )=2i 其中z̅为z 的共轭复数则z=（ ） A 1+i B −1+i C 1−i D −1−i【答案】D 【分析】设z=a+bi 根据共轭复数的定义得到z̅；根据已知得到a 、b 的方程解方程求出a 、b 进而求出z ． 【详解】解设z=a+bi 则z̅=a-bi 由z̅⋅(1−i )=2i 得(a-bi)⋅(1-i)=2i化简得a-b-(a+b)i=2i ∴{a−b=0a+b=−2解得{a=−1b=−1∴z=−1−i ． 故选D ． 2集合M ={x |x =kπ2+π4,k ∈Z }N ={x |x =kπ4+π2,k ∈Z },则（ ）A M =N ；B M ⊂N ；C M ⊃N ；D M ∩N =∅．【答案】B 【分析】化简两个集合再判断集合间的关系 【详解】 M ={x |(2k+1)π4,k ∈Z },N ={x |(k+2)π4,k ∈Z },2k+1,k∈Z表示奇数k+2,k∈Z表示整数所以M⊂N故选B3已知等差数列{a n}满足a2+a4+a6=π则cos(a1+a7)=（）A−12B12C√22D√32【答案】A【分析】利用等差中项求解即可【详解】因为数列{a n}是等差数列所以a2+a4+a6=3a4=π即a4=π3所以cos(a1+a7)=cos2a4=cos2π3=−12故选A4已知AB是△ABC的内角“△ABC为锐角三角形"是“sinA>cosB”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立再举出反例得到必要性不成立【详解】因为△ABC为锐角三角形所以A,B∈(0,π2)且A+B>π2所以A>π2−B其中π2−B∈(0,π2)因为y=sinx在x∈(0,π2)上单独递增所以sinA>sin(π2−B)=cosB充分性成立若sinA>cosB不妨设A=π2,B=π3满足sinA>cosB但△ABC为直角三角形故必要性不成立故选A5已知函数f(x)={2x,x≤1−lnx,x>1则函数y=f(−x)在(2,+∞)上的单调性为（）A单调递增B单调递减C先增后减D先减后增【答案】B 【分析】先根据f (x )={2x ,x ≤1−lnx,x >1求出y =f (−x )在(2,+∞)上的解析式进而可根据指数函数的单调性进行判断 【详解】当x ∈(2,+∞)时−x ∈(−∞,−2) 此时y =f (−x )=2−x =(12)x由指数函数的性质知x ∈(2,+∞)函数y =f (−x )在(2,+∞)上单调递减 故选B6古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作现据《重差》测量一个球体建筑物的高度如图已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点）地面上BC 两点与点A 在同一条直线上且在点A 的同侧．若在BC 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°且BC =100m 则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）（ ）A5860m B5674m C5076m D4925m【答案】C 【分析】设球的半径为R 再根据球相切的性质结合三角函数关系求解即可 【详解】如图设球的半径为R 球心为OD 为BE 与球O 的切线则AB =√3R∵BC =Rtan10°−√3R =100∴R =1001tan10°−√3=100sin10°cos10°−√3sin10°=100sin10°2sin (30°−10°)=50sin10°sin20°=50sin10°2sin10°cos10°=25cos10°=250.985∴2R=500.985≈50.76故选C7{a n}是各项均为正数的等差数列其公差d≠0{b n}是等比数列若a1=b1a1012=b1012S n和T n分别是{a n}和{b n}的前n项和则（）A S2023>T2023B S2023<T2023C S2023=T2023D S2023和T2023的大小关系不确定【答案】B【分析】分析可知等比数列{b n}为正项单调数列利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出S2023与T2023的大小【详解】因为{a n}是各项均为正数的等差数列其公差d≠0则S2023=2023(a1+a2023)2=2023a1012且a1012=a1+1011d≠a1则b1012≠b1设等比数列{b n}的公比为q则q1011=b1012b1>0且q1011≠1即q>0且q≠1又因为b1>0所以等比数列{b n}为正项单调数列由基本不等式可得b1+b2023>2√b1b2023=2b1012b2+b2022>2√b2b2022=2b1012⋯b1011+b1013>2√b1011b1013=2b1012所以T2023=b1+b2+⋯+b2023>2023b1012=2023a1012=S2023故选B8已知函数f(x)=x3+3x2+x+1设数列{a n}的通项公式为a n=−2n+9则f(a1)+f(a2)+⋯+f(a9)=（）A36B24C20D18【答案】D【分析】先根据解析式求出对称中心再结合等差数列项的性质计算求解即可【详解】f (x )=x 3+3x 2+x +1=(x +1)3−2(x +1)+2所以曲线f (x )的对称中心为(−1,2)即f (x )+f (−2−x )=4因为a n =−2n +9易知数列{a n }为等差数列a 5=−1a 1+a 9=a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5=−2 所以f (a 1)+f (a 9)=f (a 2)+f (a 8) =f (a 3)+f (a 7)=f (a 4)+f (a 6)=4所以f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 9)=4×4+2=18 故选:D二、多选题(共 12 分)9已知实数abc 满足2<a <b <c 则下列说法正确的是（ ） A a +1b >b +1a B √a +b >√a +√b C b a >b+ca+cD log (a−1)a >log a (a +1)【答案】CD 【分析】利用不等式的性质和对数式的运算规则比较大小 【详解】实数abc 满足2<a <b <c函数y =x −1x 在(2,+∞)上单调递增则a −1a <b −1b 即a +1b <b +1a A 选项错误； 由a +b <a +2√ab +b 得(√a +b)2<(√a +√b)2即√a +b <√a +√b B 选项错误； 由ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )>0得b a >b+ca+c C 选项正确；由a >2有lg(a +1)>lga >lg (a −1)>0log (a−1)a −log a (a +1)=lga lg (a −1)−lg (a +1)lga =lg 2a −lg (a −1)lg (a +1)lgalg (a −1)而lg(a −1)lg (a +1)<[lg (a−1)+lg (a+1)2]2=[lg(a 2−1)2]2<(lga 22)2=lg 2a即lg 2a −lg (a −1)lg (a +1)>0又lg(a −1)lga >0则lg 2a−lg (a−1)lg (a+1)lgalg (a−1)>0所以log (a−1)a −log a (a +1)>0即log (a−1)a >log a (a +1)D 选项正确 故选CD10下列命题为真命题的是（ ） A 若sin2α=23则cos 2(α+π4)=16 B f (x )=tanx 1−tan 2x 的最小正周期为π2C 函数f (x )=2sin (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=2sin (2x +π6)的图象 D 函数ℎ(x )=−2sin (2x +π6)的单调递减区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z ) 【答案】ABD 【分析】对于A 选项利用降幂公式求解即可；对于B 选项利用正切的二倍角公式即可；对于C 选项利用函数的平移变换即可；对于D 选项利用正弦型三角函数的单调性求解即可 【详解】 对于A sin2α=23 ∴cos 2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1−sin2α2=16故A 正确；对于B f (x )=tanx 1−tan 2x =12×2tanx1−tan 2x =12tan2x 最小正周期T=π2故B 正确；对于C 函数f (x )=2sin (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数 g (x )=f (x −π6)=2sin [2(x −π6)+π3]=2sin2x 故C 错误； 对于D 函数ℎ(x )=−2sin (2x +π6) 令2kπ−π2≤2x +π6≤π2+2kπ(k ∈Z ) 解得kπ−π3≤x ≤π6+kπ(k ∈Z )故ℎ(x )的单调递减区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z )D 正确 故选ABD11已知函数f (x )=2x2x +1则（ ）A 函数f (x )是增函数B 曲线y =f (x )关于(0,12)对称C 函数f (x )的值域为(0,12)D 曲线y =f (x )有且仅有两条斜率为15的切线 【答案】AB 【分析】由f (x )=2x2x +1=1−12x +1可得f (x )是增函数且对于任意x ∈R 满足f (−x )+f (x )=1所以y =f (x )关于(0,12)对称可得AB 正确；利用指数函数值域易得函数f (x )的值域为(0,1)即C 错误；令f ′(x )=15整理可得(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0易知25<e 4可得Δ=(5ln2−2)2−4<0即方程(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0无解因此曲线y =f (x )不存在斜率为15的切线即D 错误 【详解】根据题意可得f (x )=2x2x +1=1−12x +1易知y =12x +1是减函数 所以f (x )=1−12x +1是增函数即A 正确；由题意可得f (−x )=2−x2−x +1=12x +1所以f (−x )+f (x )=2x2x +1+12x +1=1即对于任意x ∈R 满足f (−x )+f (x )=1所以y =f (x )关于(0,12)对称即B 正确； 由指数函数值域可得2x +1∈(1,+∞)所以12x +1∈(0,1)即f (x )=1−12x +1∈(0,1) 所以函数f (x )的值域为(0,1)所以C 错误； 易知f ′(x )=2x ln2(2x +1)2令f ′(x )=15整理可得(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0令2x =t ∈(0,+∞)即t 2−(5ln2−2)t +1=0易知Δ=(5ln2−2)2−4又因为25=32<36<6.252=2.54<e 4即25<e 4 所以5ln2<4即0<5ln2−2<2因此Δ=(5ln2−2)2−4<0； 即关于t 的一元二次方程t 2−(5ln2−2)t +1=0无实数根；所以(2x )2−(5ln2−2)⋅2x +1=0无解即曲线y =f (x )不存在斜率为15的切线即D 错误； 故选AB12历史上著名的伯努利错排问题指的是一个人有n (n ≥2)封不同的信投入n 个对应的不同的信箱他把每封信都投错了信箱投错的方法数为a n 例如两封信都投错有a 2=1种方法三封信都投错有a3=2种方法通过推理可得a n+1=n(a n+a n−1)高等数学给出了泰勒公式e x=1+x+x22!+x33!+⋯+x nn!+⋯则下列说法正确的是（）A a4=9B{a n+1−(n+1)a n}为等比数列C a n n!=(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)nn!D信封均被投错的概率大于1e【答案】ABC【分析】选项A用列举法即可得；选项B构造新数列{a n+1−(n+1)a n}利用定义法可证明是等比数列；选项C由递推关系a n−na n−1=(−1)n−2变形可得裂项形式裂项后利用累加法求通项即可证；选项D利用泰勒公式可得1e −a nn!=(−1)n+1(n+1)!+(−1)n+2(n+2)!+⋯,再对n分奇偶讨论即可判断【详解】选项A令4封信分别为b1,b2,b3,b4当b1在第2个信箱时共3种错排方式第1种第2种第3种同理可得b1在第3和4个信箱时也分别有3种错排方式所以共a4=3×3=9种方法故A选项正确；选项B a n+1=n (a n +a n−1)∴a n+1−(n +1)a n = −a n +na n−1=−(a n −na n−1) 又a 3−3a 2=−1≠0则a n+1−(n+1)a n a n −na n−1=−1(n ≥2)故B 选项正确；选项C a 3−3a 2=−1,a n −na n−1=−1×(−1)n−3=(−1)n−2 两边同除以n!得 ∴a nn!−a n−1(n−1)!=(−1)n−2n!=(−1)n n!a n n!=a n n!−a n−1(n−1)!+a n−1(n−1)!−an−2(n−2)!+⋯+a 33!−a 22!+a 22!=12!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!=(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!故C 选项正确； 选项D 装错信封的概率为a nA nn =a n n!∵e x=1+x +x 22!+x 33!+⋯则e−1=1+(−1)+(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)n n!+(−1)n+1(n+1)!+⋯即1e −a n n!=(−1)n+1(n+1)!+(−1)n+2(n+2)!+⋯,当n 为奇数时1e −a n n!=[1(n+1)!+−1(n+2)!]+[1(n+3)!+−1(n+4)!]+⋯=n+1(n+2)!+n+3(n+4)!+⋯>0； 当n 为偶数时1e −a n n!=[−1(n+1)!+1(n+2)!]+[−1(n+3)!+1(n+4)!]+⋯=−(n+1)(n+2)!+−(n+3)(n+4)!+⋯<0；综上当n为奇数时an n!<1e ；当n 为偶数时ann!>1e 故D 项错误故选ABC 【点睛】关键点睛本题B 选项的关键是通过构造变形得a n+1−(n+1)a n a n −na n−1=−1(n ≥2)D 选项的关键是利用所给的泰勒公式再分奇偶讨论 三、填空题(共 6 分)13函数f (x )=cosx −sin2xx ∈[0,2π]的零点个数为______． 【答案】4 【分析】由f (x )=0可知cosx =0或sinx =12在x ∈[0,2π]上分别解出符合题意得x 的取值即可 【详解】令f (x )=cosx −sin2x =0由二倍角公式可得cosx −2sinxcosx =0 即cosx (1−2sinx )=0解得cosx =0或sinx =12 当x ∈[0,2π]时若cosx =0时解得x =π2或x =3π2；若sinx =12解得x =π6或x =5π6；综上所述函数f(x)=cosx−sin2x在[0,2π]上的零点个数为4个故答案为414已知数列{a n}满足a1+a2=0a n+2+(−1)n(n+1)2a n=2则数列{a n}的前12项的和为______．【答案】12【分析】根据递推公式以及a1+a2=0可推出a3+a4=4,a5+a6=0按照此规律可得a4k−1+a4k= 4,a4k−3+a4k−2=0,k∈N∗即可求出{a n}的前12项的和为12【详解】由a n+2+(−1)n(n+1)2a n=2可知令n=1,2可得a3−a1=2a4−a2=2；两式相加可得a3+a4−(a1+a2)=4；分别令n=3,4可得a5+a3=2a6+a4=2；两式相加可得a3+a4+a5+a6=4；由a1+a2=0可得a3+a4=4,a5+a6=0以此类推可得a4k−1+a4k=4,a4k−3+a4k−2=0,k∈N∗所以数列{a n}的前12项的和为124×4=12故答案为12四、双空题(共3 分)15记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知A=2B若b=2,c=1则a=________；若b+ c=√3a则B=________【答案】(1) √6(2) π6##30°【分析】①由A=2B可得sinA=2sinBcosB由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出a；②由{b+c=√3aa2−b2=bc可得{c=2ba=√3b再由余弦定理即可求出B【详解】①由题意A=2B则sinA=sin2BsinA=2sinBcosB又由正弦定理与余弦定理可得a=2b×a 2+c2−b22ac即a2c=b(a2+c2−b2)则a2(c−b)=b(c2−b2)故a2=b(c+b)则a=√2×(2+1)=√6②由①a 2=b (c +b )又b +c =√3a 故a 2=√3ab 又a >0则a =√3b 则b +c =3b,c =2b 由余弦定理cosB =a 2+c 2−b 22ac=24√3b 2=√32又B ∈(0,π)所以B =π6 故答案为√6；π6 五、填空题(共 3 分)16若函数f (x )=x −13sin2x +asinx 在(−∞,+∞)单调递增则a 的取值范围是______． 【答案】[−13,13] 【分析】根据导数与函数单调性的关系由函数在(−∞,+∞)单调递增得到不等式利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题运算即可得解 【详解】解函数f (x )=x −13sin2x +asinx (x ∈R )的导数为f ′(x )=1−23cos2x +acosx 由题意函数f (x )=x −13sin2x +asinx 在(−∞,+∞)上单调递增 ∴f ′(x )=1−23cos2x +acosx ≥0在(−∞,+∞)上恒成立 即−43cos 2x +acosx +53≥0在(−∞,+∞)上恒成立 令t =cosx 则t ∈[−1,1]g (t )=−43t 2+at +53 ∵−43cos 2x +acosx +53≥0在(−∞,+∞)上恒成立 ∴g (t )=−43t 2+at +53≥0在[−1,1]上恒成立 又∵g (t )=−43t 2+at +53的图象是开口向下的抛物线 ∴{g (−1)=−43−a +53≥0g (1)=−43+a +53≥0 解得−13≤a ≤13∴a 的取值范围是[−13,13] 故答案为[−13,13] 【点睛】方法点睛导数与函数单调性的关系1f′(x)>0(<0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的充分不必要条件2f′(x)≥0(≤0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的必要不充分条件3若f(x)在区间(a,b)的任意子区间上都不恒等于零则f′(x)≥0(≤0)是函数f(x)在区间(a,b)上单调递增（减）的充要条件六、计算题(共6 分)已知等比数列{a n}的各项均为正数前n项和为S n且满足a1+a2=4S4=40．17 求{a n}的通项公式；18 若数列{b n}满足b n=na n求{b n}的前n项和T n．【答案】17 a n=3n−118 T n=(2n−1)⋅3n+14【分析】（1）根据题意求出首项与公比再根据等比数列的通项即可得解；（2）利用错位相减法求解即可【17题详解】设公比为q(q>0)因为a1+a2=4S4=40所以a3+a4=a1q2+a2q2=(a1+a2)q2=36即4q2=36所以q=3（q=−3舍去）则a1+a2=a1+3a1=4所以a1=1所以a n=3n−1；【18题详解】由（1）得b n=n⋅3n−1则T n=1+2×3+3×32+⋯+n⋅3n−1①3T n=3+2×32+3×33+⋯+n⋅3n②由①−②得−2T n=1+3+32+⋯+3n−1−n⋅3n=1−3n1−3−n⋅3n=(12−n)⋅3n−12所以T n=(2n−1)⋅3n+14七、解答题(共6 分)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,cC=120°．19 若a=2b求tanA的值；20 若∠ACB的平分线交AB于点D且CD=2AD=√7求△ABC的面积．【答案】19 √3220 9√32【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件由此求得tanA（2）根据三角形的面积公式、角平分线的性质求得a,b从而求得△ABC的面积．【19题详解】由a=2b以及正弦定理得sinA=2sinB=2sin(A+C)=2sin(A+2π3)=2(−12sinA+√32cosA)=−sinA+√3cosA所以2sinA=√3cosA,tanA=√32【20题详解】依题意∠ACD=∠BCD=60°由正弦定理得ADsin60°=bsin∠ADC,BDsin60°=asin∠BDC由于sin∠ADC=sin∠BDC所以ADBD =ba,BD=√7ab所以c=√7+√7ab =√7(1+ab)=√7(a+b)bbc=√7(a+b)由S△ABC=S△ACD+S△BCD12absin120°=12b⋅2⋅sin60°+12a⋅2⋅sin60°ab=2(b+a)=2×bc√7c=√72a由余弦定理得c2=a2+b2−2abcos120°=a2+b2+ab即74a2=a2+b2+ab3a2−4ab−4b2=0(a−2b)(3a+2b)=0,a=2b 则由ab=2(b+a)得2b2=6b,b=3,a=2b=6所以S△ABC=12absinC=12×6×3×√32=9√32八、问答题(共6 分)若函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值．21 求c的值．22 函数g(x)=f(x)+6x2−(9+3a)x+1恰有一个零点求实数a的取值范围．【答案】21 322 (−∞,√232)【分析】（1）利用导数在x=x0处取到极值的必要不充分条件f′(x0)=0从而求出c值再对c进行检验即可求出结果．（2）利用导数研究函数单调性通过极值的范围求实数a的取值范围．【21题详解】因为f(x)=x(x−c)2所以f′(x)=(x−c)(3x−c)又因为函数f(x)=x(x−c)2在x=3处有极小值所以f′(3)=(3−c)(9−c)=0解得c=3或c=9当c=3时f′(x)=(x−3)(3x−3)则1<x<3时f′(x)<0x>3时f′(x)>0f(x)在(1,3)上单调递减在(3,+∞)上单调递增可得函数f(x)在x=3处取得极小值；当c=9时f′(x)=(x−9)(3x−9)则x<3时f′(x)>03<x<9时f′(x)<0f(x)在(−∞,3)上单调递增在(3,9)上单调递减可得函数f(x)在x=3处取得极大值不合题意舍去．所以c的值为3【22题详解】g(x)=f(x)+6x2−(9+3a)x+1=x3−6x2+9x+6x2−(9+3a)x+1=x3−3ax+1函数定义域为R g′(x)=3x2−3a当a≤0时g′(x)≥0恒成立g(x)在R上单调递增a=0时g(x)=x3+1有一个零点-1；a<0时g(1a )=1a3−3+1<0g(0)=1>0g(x)恰有一个零点当a>0时g′(x)>0解得x<−√a或x>√ag′(x)<0解得−√a<x<√a g(x)在(−∞,−√a)和(√a,+∞)上单调递增在(−√a,√a)上单调递减x =−√a 时g (x )有极大值x =√a 时g (x )有极小值g (x )恰有一个零点g(−√a)=2a √a +1<0或g(√a)=−2a √a +1>0 解得0<a <√232综上可知函数g (x )=f (x )+6x 2−(9+3a )x +1恰有一个零点实数a 的取值范围为(−∞,√232) 九、计算题(共 9 分)已知数列{a n }的前n 项和为S n a n >0且a n 2+2a n =4S n −1．23 求{a n }的通项公式； 24 设b n =S n a n a n+1的前n 项和为P n 求P n ．25 记数列{(−12)a n +12}的前n 项和为T n 若λ≤T n −1T n≤t 恒成立求t −λ的最小值．【答案】23 a n =2n −1 24 n (n+1)2(2n+1) 25 94 【分析】（1）根据a n 2+2a n =4S n −1及a n−12+2a n−1=4S n−1−1可得到{a n }是首项为a 1=1公差为2的等差数列结合定义法求通项公式即可；（2）根据（1）的结果求得b n 结合裂项相消法求和即可； （3）根据（1）的结果得到(−12)a n +12=(−12)n进而得到当n ≥3时T 1=−12＜T n ＜T 2=−14结合T n −1T n随T n 的增大而增大得到T n −1T n最值即可得到λ≤32,t ≥154进而得到答案【23题详解】因为a n 2+2a n =4S n −1所以当n =1时a 12+2a 1=4S 1−1=4a 1−1解得a 1=1 当n ≥2时a n−12+2a n−1=4S n−1−1 两式相减得a n 2−a n−12+2a n −2a n−1=4a n化简得(a n −a n−1−2)(a n +a n−1)=0 因为a n >0所以a n +a n−1＞0则a n −a n−1=2 即{a n }是首项为a 1=1公差为2的等差数列所以{a n }的通项公式为a n =1+2(n −1)=2n −1 【24题详解】 由（1）知S n =n (1+2n−1)2=n 2因为b n =S na n a n+1所以b n =n 2(2n−1)(2n+1)=n 24n 2−1=14+14(2n−1)(2n+1)=14+18(12n−1−12n+1)所以P n =n4+18(1−13+13−⋯−12n+1)=n4+18(1−12n+1)=n 4+n 4(2n +1)=n (n +1)2(2n +1)【25题详解】 由（1）知(−12)a n +12=(−12)2n−1+12=(−12)n所以T n =−12+14−18+116+⋯+(−12)n 所以当n ≥3时T 1=−12＜T n ＜T 2=−14 因为T n −1T n随T n 的增大而增大所以(T n −1T n)max=T 2−1T 2=−14+4=154(T n −1T n )min =T 1−1T 1=−12+2=32所以λ≤32,t ≥154所以t −λ的最小值为154−32=94十、解答题(共 12 分)一条直角走廊的平面图如图所示宽为2米现有一辆转动灵活的平板车其平板面为矩形ABCD 它的宽为1米26 若平板车被卡在此直角走廊内如图设∠PAB =θ(rad )试用θ表示平板车的长度f (θ)； 27 要想平板车能顺利通过直角走廊其长度不能超过多少米？【答案】26 f(θ)=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ(0<θ<π2)27 (4√2−2)m 【分析】（1）延长CD交边P APB分别相交于EF得到EF=2cosθ+2sinθ且DE=1tanθCF=tanθ结合AB=DC=EF−(DE+CF)即可求解；（2）设sinθ+cosθ=t得到f(θ)=g(t)=4t−2t2−1利用导数求得函数的单调性与最小值结合最小值即可求解【26题详解】解由题意延长CD直角走廊的边P APB分别相交于EF则EF=OF+OE=2cosθ+2sinθ其中0<θ<π2又由DE=DAtanθ=1tanθCF=BC⋅tanθ=tanθ可得AB=DC=EF−(DE+CF)于是f(θ)=2cosθ+2sinθ−(tanθ+1tanθ)=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ其中0<θ<π2【27题详解】解设sinθ+cosθ=t则t=√2sin(θ+π4)于是1<t≤√2又sinθcosθ=t 2−12因此f(θ)=g(t)=4t−2t2−1因为g′(t)=−4t2−4t+4(t2−1)2=−4(t−12)2+3(t2−1)2<0恒成立因此函数g(t)=4t−2t2−1在t∈(1,√2]上是减函数所以g(t)min=g(√2)=4√2−2故平板车被此走廊卡住的最小长度为(4√2−2)m从而平板车长不大于(4√2−2)m能在此走廊转弯平板车的长度大于(4√2−2)m 则不能在此走廊转弯故要想平板车能顺利通过此走廊其长度不能超过(4√2−2)m米设函数f(x)=cosx−1+x 22(x≥0) 28 求f(x)的最值；29 令g(x)=sinxg(x)的图象上有一点列A i(12i ,g(12i))(i=1,2,...,n,n∈N*)若直线A i A i+1的斜率为k i(i=1,2,...,n−1)证明k1+k2+...+k n−1>n−76【答案】28 f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=0f(x)在[0,+∞)上无最大值29 见解析【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负故可判断导数非负据此可求原函数的最值（2）根据（1）可得sinx≥x−x 36(x≥0)结合二倍角的正弦可证k i>1−76×122i+2结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式【28题详解】f′(x)=−sinx+x设s(x)=−sinx+x则s′(x)=−cosx+1≥0（不恒为零）故s(x)在(0,+∞)上为增函数故s(x)>s(0)=0所以f′(x)>0故f(x)在[0,+∞)上为增函数故f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=0f(x)在[0,+∞)上无最大值【29题详解】先证明一个不等式sinx≥x−x 36(x≥0)证明设u(x)=sinx−x+x 36,x≥0则u′(x)=cosx−1+x22=f(x)≥0（不恒为零）故u(x)在[0,+∞)上为增函数故u(x)≥u(0)=0即sinx≥x−x 36(x≥0)恒成立当i∈N∗时k i=g(12i+1)−g(12i)12i+1−12i=2i+1(sin12i−sin12i+1)=2i+1(2sin12i+1cos12i+1−sin12i+1)=2i+1sin12i+1×(2cos12i+1−1)由（1）可得cosx≥1−x 22(x>0)故cos12i+1≥1−122i+3>0故2i+1sin12i+1×(2cos12i+1−1)≥2i+1sin12i+1×[2(1−122i+3)−1]=2i+1sin12i+1×(1−122i+2)≥2i+1(12i+1−16×23i+3)(1−122i+2)=(1−16×22i+2)(1−122i+2)=1−76×122i+2+16×124i+4>1−76×122i+2,故k1+k2+...+k n−1>n−1−76(124+126+⋯+122n)=n−1−76×124(1−14n−1)1−14=n−1−76×(112−13×14n)=n−1−772+718×14n>n−7972>n−76【点睛】思路点睛导数背景下数列不等式的证明需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式从而得到相应的数列不等式再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式。
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：C3. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 3x < 2x + 1C. 3x ≤ 2x + 1D. 3x ≥ 2x + 1答案：B4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则S10的表达式为：A. 10a1 + 45dB. 10a1 + 50dC. 10a1 + 55dD. 10a1 + 60d答案：A5. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1 + b2 + b3 = 27，则b1的值为：A. 3B. 9C. 27D. 81答案：B6. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于y轴的对称点为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)答案：C7. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则S10的表达式为：A. 10a1 + 45dB. 10a1 + 50dC. 10a1 + 55dD. 10a1 + 60d答案：A8. 若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，若b1 + b2 + b3 = 27，则b1的值为：A. 3B. 9C. 27D. 81答案：B9. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于y轴的对称点为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)答案：C10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则S10的表达式为：A. 10a1 + 45dB. 10a1 + 50dC. 10a1 + 55dD. 10a1 + 60d答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 3x - 2的图像向上平移2个单位，则新函数的表达式为__________。
一、选择题1．(0分)[ID ：12708]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 2．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 3．(0分)[ID ：12695]已知集合A ={1,2,3}, B ={x|x 2<9}，则A ∩B = A ．{−2,−1,0,1,2,3} B ．{−2,−1,0,1,2} C ．{1,2,3} D ．{1,2} 4．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 1B 1C ．32D ．326．(0分)[ID ：12685]已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-7．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +8．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 9．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞10．(0分)[ID ：12658]1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)211．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=12．(0分)[ID ：12644]若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：12726]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15814．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1015．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．6,10B ．6,22C ．(2,22D ．（2，4）二、填空题16．(0分)[ID ：12816]在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．17．(0分)[ID ：12804]已知ABC ，135B ∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ⋅=______．18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．20．(0分)[ID ：12784]若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.21．(0分)[ID ：12780]如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.22．(0分)[ID ：12758]关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．23．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.24．(0分)[ID ：12770]在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______．25．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三、解答题26．(0分)[ID ：12916]在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.27．(0分)[ID ：12906]已知不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}. （1）求a,b ；（2）解关于x 的不等式ax 2−(ac +b)x +bc <028．(0分)[ID ：12880]已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.29．(0分)[ID ：12871]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .30．(0分)[ID ：12844]在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B2．A3．D4．A5．C6．C7．A8．D9．A10．B11．C12．C13．D14．C15．A二、填空题16．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为17．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通20．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题21．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数22．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析23．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题24．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形25．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B 解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】试题分析：由x 2<9得−3<x <3，所以B ={x|−3<x <3}，因为A ={1,2,3}，所以A ∩B ={1,2}，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦ 50500=⨯=故选C 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．7．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．8．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.9．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.10．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤⎥⎝⎦.本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．13．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构14．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．15．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.二、填空题16．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形17．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题解析：16 【解析】 【分析】由正余弦定理可得cos A ∠，由平面向量的数量积公式有：25cos 2221016AB AC AB AC A ⋅=∠==，得解． 【详解】由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-⨯=， 所以210AC = 由正弦定理得：sin sin135BC ACA =∠， 所以5sin 5A ∠=， 所以25cos A ∠=， 即25cos 2221016AB AC AB AC A ⋅=∠==， 故答案为16 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】 【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围. 【详解】令2xt =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->-若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->-⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-，则只需220m m ->-，整理得2200m m --<， 解得m ∈()4,5-. 故答案为：()4,5-. 【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.21．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数解析：7【解析】 【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min177MN==故答案为: 77【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.22．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.23．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题解析：-1或2 【解析】【分析】根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】当0x ≤时，()0,f x >1[()]02f f a =-<， 411[()]log (()),()22f f a f a f a ∴==-∴=，当410,()log ,22a f a a a >==∴=， 当10,()2,12aa f a a ≤==∴=-， 所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.24．【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC 使用二倍角公式求出cos2C 【详解】由题意在中面积为12则解得∴故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式二倍角公式在解三角形中的应用其中解答中应用三角形 解析：725【解析】 【分析】利用面积公式即可求出sinC ．使用二倍角公式求出cos2C ． 【详解】由题意，在ABC ∆中，8a =，5b =，面积为12， 则120122S absinC sinC ===，解得35sinC =． ∴297212122525cos C sin C =-=-⨯=． 故答案为725． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．25．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面 解析：①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1.∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确.故答案为①②④.【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．三、解答题26．（1）3,2a c ==；（2）2327 【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得2sin 3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b=3，所以2292213a c +=+⨯=.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，22122sin 1cos 1()3B B =-=-=由正弦定理，得22242sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1()99C C =-=-=. 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223393927⋅+⋅=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.27．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值；（2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；由根与系数的关系，得{1+b =3a 1×b =2a， 解得a ＝1，b ＝2；（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题．28．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <-【解析】【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---，所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-.【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题. 29．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB ，,E G 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=，∴平面//EFG 平面11BDD B .【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.30． （Ⅰ）5-（Ⅱ）25 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B=，得2a b =. 由)2225ac a b c =--，及余弦定理，得222555cos 2ac b c a A bc ac +-===. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得25sin A =sin 4sin a A b B =，得sin 5sin 4a A B b ==. 由（Ⅰ）知，A 为钝角，所以225cos 1sin B B =-=.于是4sin22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭ 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。
红岭中学2019-2020学年度高一第二学期第二学段考试数学试卷（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）一、选接题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确 的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1. 已知集合肱={- 1,0,1}, N = {0,l,2},则M P N=()B. (-1，0, 2)C. {—1，0, 1, 2}2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（） C y = In V D. “ y — A3. 己知向量S = (—2,秫),£ = (1,2)，若alb-^实数m 的值为()A. —1B. —C. —D. 1 2 24. 己知暴函数y = /(x)的图象经过点(3,响，则*料'⑶的值是() 1 1 A, — B. 1 C. — D. -13 3 5. 己知直线mx + 2y + 3 = 0与直线3x+(m-l)y = 0平行，则实数秫的值为()A. -2B. 1C. 5D. —2 或 36, 下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. y(x)=e"', g(x)=x—4 B ・ f(x) = z^,g(x)=x —2C. f (x)=：m2x ,g(x)=sinx 2cosxD. /(x) = |4 g(x)=履一个不透明的口袋中放有形状和大小相同的3个红球和1个白球，若从口袋中随机取出两个小球，则取到D. {—1，0, 1}A. {0, 1}两个红球的概率为（）9. 某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 12D. 24TV 7T 10. 将函数y = 2sin （2x + -）的图象向左平移石个单位长度，则所得函数（）TFB. 其图象以为一条对祢轴C,其图象以［J ，。
］为一个对称中心 D.在区间［°，J 上为单调递减函数 11. 已知圆C:（x-l ）2+（y + 2）2=2,若直线y = —4上总存在点?，使得过点P 的圆C 的两条切线互 相垂直，则实数R 的取值范围是（）43 L k<——或k>0 B. k<——2 yd1A.- 3B. 2C.— 3 3D.- 8.设 /(-V )= < 3<2)心2) A. 0B. 1C. 2D. 3A,是奇函数 A.3 43C. k<——或炉1D. k3 4 14二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置上）12,已知锐角△43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c? =。
红岭中学2018－2019学年度第一学期第二学段考试高一数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）1．设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,2{=A ，}5,4,2,1{=B ，则集合)(B A C U 中的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若两条直线ax －y －2＝0和 (a －3)x ＋2y ＋1＝0互相平行，则a 等于A ．2B ．1C ．0D ．－13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB 与CD 所成角的大小是A ．030 B ．045 C ．060D ．0904．一个圆锥的母线长为2，母线与轴的夹角为030，则此圆锥的体积为A ．π33B ．πC ．π3D ．π35．下列函数中，既是奇函数，又在),0(+∞上单调递增的幂函数是A ．xy 1-= B ．21x y =C ．2x y =D ．3x y =6．已知c b a ,,是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．b a c b c a //,⇒⊥⊥ B ．b a b a ////,//⇒αα C ．βαγβγα//,⇒⊥⊥D ．βαγβγα////,//⇒7．函数)1lg(910)(2--+=x x x x f 的定义域为A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]8．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为A. 213B. 53C.253D.43A BCD9．函数y ＝x 33x －1的图象大致是10．在正三棱柱111C B A ABC -中（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），若1,21==AA AB ，则点A 到平面BC A 1的距离为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数)2(-=x f y ，当x ＞－2时，=)(x f 21-+x e （e 为自然对数的底数），若存在Z ∈k ，使方程)(x f ＝0的实数根)1,(0+∈k k x ，则k 的取值集合是A ．}1,4{--B ．}0,4{-C ．}1,3{--D ．}0,3{-12．已知点P 是直线1-=x y 上的动点，点Q 是圆0231022=+-+x y x 上的动点，则PQ 的中点M 到原点O 的最短距离是A ．22 B ．2C ．223 D ．22二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．过点)2,1(P 引一直线，使其倾斜角为直线3:-=x y l 的倾斜角的两倍，则该直线的方程是_________________.14．计算：=++-3255825.6log 2log 2_________________.15．如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点(,)A x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是()y f x =，则()f x 在区间[]2,1-上的解析式是 ．（说明：“正三角形PAB 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续；类似地，正三角形PAB 也可以沿x 轴负方向逆时针滚动）4323433316．在体积为34的三棱锥ABC S -中，SC SA ABC BC AB ==∠==,90,2，且平面⊥SAC 平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
