历年北京高中数学合格性考试汇编：三角函数(教师版)

2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数一．选择题（共23小题）1．（2020秋•通州区期末）“，”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•通州区期末）已知函数：①，②，③，则其中最小正周期为的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．（2020秋•通州区期末）已知为第三象限角，则下列判断正确的是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•通州区期末）下列各角中与终边相同的角是 A ．B ．C ．D ．5．（2020秋•顺义区期末）单位圆圆周上的点以为起点做逆时针方向旋转，10分钟转一圈，24分钟之后，从起始位置转过的角是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•海淀区校级期末）可化简为 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•东城区期末）若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为 A ．B ．C ．D ．8．（2020秋•东城区期末）已知，则 A ．B ．C ．D ．9．（2020秋•海淀区校级期末）已知，，，那么的值为 A ．2B ．C ．D ．10．（2020秋•丰台区期末）已知，，则的值为 26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=()tan y x =sin ||y x =|sin |y x =π()θ()sin 0θ>cos 0θ>sin tan 0θθ⋅>sin 2tan 0θθ⋅>60︒()300-︒240-︒120︒390︒O e P A OP OA ()245π-125π145π245πsin 2021︒()sin 41︒sin 41-︒cos 41︒cos 41-︒π()π1π-2π-12π-tan 1α=-222sin 3cos (αα-=)74-12-1234222cos 3sin 1αα-=3(2πα∈-)π-tan α()2-1212-3sin 5α=2παπ<<tan α()A ．B ．C ．D ．11．（2020秋•西城区校级期末）已知角的终边经过点，那么 A ．B ．C ．D ．12．（2020秋•顺义区期末）“是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020秋•通州区期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度14．（2020秋•朝阳区期末）设函数，若存在实数，，，，满足当时，，则正整数的最小值为 A ．505B ．506C ．507D ．50815．（2020秋•朝阳区期末）已知，均为第一象限角，则“”是“”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020秋•大兴区期末）等于 A ．B ．CD ．117．（2020秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，若，则 )A ．BC ．D ．18．（2020秋•大兴区期末）下列函数中，周期为且为偶函数的是 A ．B ．C ．D ．19．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则的取值可以为 ABC ．D ．20．（2020秋•海淀区校级期末）如图，一个摩天轮的半径为，轮子的最低处距离地面3434-4343-α(3,4)P -sin (α=)3545-3434-sin θ3πθ=()cos 2y x =sin 2y x =()4π4π2π2π()4|sin|2xf x π=1x 2x ⋯n x 12n x x x <<⋯<12231|()()||()()||()()|2021n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋯⋯+-=n ()αβαβ<sin sin αβ<()3tan4π()1-αβy x =1cos 3α=-sin (β=1313-π()()tan 2f x x =()sin cos f x x x=()cos(2)2f x x π=+22()cos sin f x x x=-3sin()sin()2παπα--+=cos sin αα-()10m 2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30分钟转一圈，且当摩天轮上某人经过点（点与摩天轮天轮中心的高度相同）时开始计时，在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于的时间大约是 A ．8分钟B ．10分钟C ．12分钟D ．14分钟21．（2020秋•海淀区校级期末）函数，，的值域为 A ．B ．C ．D ．22．（2020秋•丰台区期末）函数在区间上的最大值为 A ．B ．1CD ．223．（2020秋•顺义区期末）如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点，，分别是半径，及扇形弧上的三个动点（不同于，，三点），则关于的周长说法正确的是 A ．有最大值，有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值二．填空题（共12小题）24．（2020秋•通州区期末） ．25．（2020秋•通州区期末）已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为 ；面积为 ．26．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．27．（2020秋•大兴区期末）已知角终边与单位圆的交点为，则 ； ．28．（2020秋•顺义区期末）已知是第三象限角，且， ．29．（2020秋•顺义区期末） ．P P O 17m ()sin()2y x π=+(3x π∈-5]6π()1[2[1[,1]2-1[2-()2sin(6f x x π=-[,32ππ()2-OPQ r 4πA B C OP OQO P Q ABC ∆()5sin6π=αx P tan α=α1()2cos α=sin()απ+=α4cos 5α=-sin α=sin()4π-=30．（2020秋•海淀区校级期末）若角与角的终边关于直线对称，则角的终边上的所有角的集合可以写为 31．（2020秋•东城区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则 ．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则 ．32．（2020秋•丰台区期末）若函数的一个零点为，则 ．33．（2020秋•丰台区期末） ．34．（2020秋•朝阳区期末）若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为 ．35．（2020秋•通州区期末）若，是第二象限的角，则 ．三．解答题（共13小题）36．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值；（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值．37．（2020秋•通州区期末）已知函数，再从①，；②，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题．（Ⅰ）求；（Ⅱ）写出的最小正周期及一条对称轴方程（只写结果）；（Ⅲ）求函数在，上的最大值和最小值．38．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）写出函数的振幅、周期、初相；（Ⅱ）用“五点法”作出在一个周期内的图象（先列表，再画图）．β23πα=y x =βxOy αOx 12(,)13P m tan α=α2πβcos β=()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=ϕ=5tan4π=()cos(2)f x x ϕ=+3x π=ϕ4sin 5α=αtan 2α=2()2sin cos(2)13f x x x π=+--()6f π[0,]2x π∈()f x ()f x (0)m m >cos 2y x =m 212()2cos sin f x x x ωω=+11ω=22ω=11ω=21ω=(0)f ()f x ()f x [0]2π()2sin(26f x x π=+()f x ()f x39．（2020秋•通州区期末）已知锐角、的终边与单位圆的交点分别为，．（Ⅰ）求及的值；（Ⅱ）求．40．（2020秋•通州区期末）（1）若，求的值；（2）已知锐角，满足，若，求的值．41．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（1）当时，求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最大值及最小值，并指出相应的值．42．（2020秋•大兴区期末）（Ⅰ）已知，求的值；（Ⅱ）若，求的一个值．43．（2020秋•海淀区校级期末）已知关于的方程的两根为和，．（1）求实数的值；（2）求的值．44．（2020秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求函数的最小正周期和单调递增区间．45．（2020秋•朝阳区期末）已知函数αβ1(2A B tan βcos()πα+sin()αβ-3tan 4α=-sin cos sin cos αααα+-αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=cos β1()sin(2)23f x x π=-x R ∈()f x ()f x [,]44ππ-x 1sin ,(,)32πααπ=∈tan αcos 2sin()x x x ϕ-=+ϕx 21204x bx -+=sin θcos θ3(,)44ππθ∈b 2sin cos 1cos sin θθθθ+-xOy αOx O e 1)2sin αsin()2πα-(0,)2πα∈()sin(sin )f x x αα=-()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<只能同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④．（Ⅰ）请指出同时满足的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的解析式；（Ⅲ）求的单调递增区间．46．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围．47．（2020秋•大兴区期末）已知函数．（Ⅰ）用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）说明函数的图象可以通过的图象经过怎样的变换得到？（Ⅲ）若，写出的值．48．（2020秋•东城区期末）已知函数，其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图象关于点对称；条件③：函数图象关于对称．2π(0)1f =-(03f π-=()f x ()f x ()f x ()2cos()sin 3f x x x π=-()f x ()f x ()f x [0]m m ()3sin(26f x x π=+()y f x =()y f x =sin y x =003(),[2,3]2f x x ππ=∈0x ()sin()f x x ωϕ=+0,(0,)2πωϕ>∈()f x ()f x [0,2π()f x π()f x (,0)6π-()f x 12x π=2021北京高一数学上学期期末汇编：三角函数参考答案一．选择题（共23小题）1．【分析】先利用特殊角的三角函数值，求出，再利用充分条件与必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：等价于或，所以“，”是“”的充分不必要条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了三角方程的求解，属于基础题．2．【分析】根据三角函数的周期性进行判断即可．【解答】解：①的周期，满足条件．②是偶函数，图象不具备周期性，不满足条件．③的周期，则的周期，满足条件，故选：．【点评】本题主要考查三角函数周期的判断，结合三角函数的周期公式是解决本题的关键，是基础题．3．【分析】由的范围逐一核对四个选项得答案．【解答】解：为第三象限角，，，，故，错误；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查三角函数值的符号，是基础题．4．【分析】把角化为对于，，，的形式，再判断即可．【解答】解：对于，，与是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角；对于，，与不是终边相同的角．故选：．【点评】本题考查了终边相同的角的概念与应用问题，是基础题．5．【分析】利用一周为，然后求出每分钟转的弧度数，再求解24分钟转的弧度数即可．【解答】解：因为一周为，1sin 2α=1sin 2α=26k παπ==52,6k k Z παπ=+∈26k παπ=+k Z ∈1sin 2α=A tan y x =T π=sin ||y x =sin y x =2T π=|sin |y x =T π=B θθ tan 0θ∴>sin 0θ<cos 0θ<A B sin tan 0θθ⋅<C sin 2tan 2sin cos tan 0θθθθθ⋅=>D D 360k α⨯︒+k Z ∈[0α∈︒360)︒A 300136060-︒=-⨯︒+︒60︒B 2401360120-︒=-⨯︒+︒60︒C 120︒60︒D 390136030︒=⨯︒+︒60︒A 2π2π故10分钟转了，所以每分钟就转了，故24分钟转了，所以从起始位置转过的角是．故选：．【点评】本题考查了角的概念的理解和应用，解题的关键是求出每分钟转的弧度数，属于基础题．6．【分析】直接利用诱导公式化简即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．7．【分析】计算扇形的弧长，再求扇形弧长所对的圆心角．【解答】解：扇形的半径为1，周长为，所以扇形的弧长为，扇形弧长所对的圆心角为．故选：．【点评】本题考查了计算扇形弧长所对的圆心角应用问题，是基础题．8．【分析】利用“弦化切”及其平方关系化简已知等式即可得出．【解答】解：因为，则．故选：．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．9．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可求解．【解答】解：因为，可得，，因为，，所以．故选：．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．2π2105ππ=242455ππ⨯=OP OA 245πD sin 2021sin(3606139)︒=︒⨯-︒sin(139)sin139sin 41=-︒=-︒=-︒B π2π-221ππ-=-C tan 1α=-222222222232321312sin 3cos 1(1)12sin cos tan sin cos tan αααααααα--⨯--====-++-+B 22222cos 3sin 2(1sin )3sin 1αααα-=--=21sin 5α=24cos 5α=3(2πα∈-)π-sin α=cos α=sin 1tan cos 2ααα==-D10．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可得，．【解答】解：，，，则．故选：．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【解答】解：由于角的终边经过点，，，，，故选：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【解答】解：推不出，不是充分条件，推出，是必要条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题．13．【分析】利用诱导公式化简函数为，然后利用函数图象的平移推出正确选项．【解答】解：因为函数，所以可由的图象，向左平移个单位长度，得到函数的图象．故选：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的诱导公式的应用，函数图象的平移变换，注意三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．14．【分析】利用函数，得到的值域，从而得到，然后迭加得到，根据选项进行判断即可．【解答】解：由的值域可得，，即，故，即，当时，，当时，，故正整数的最小值为507．cos αtan α 3sin 5α=2παπ<<4cos 5α∴==-sin 3tan cos 4ααα==-B sin αα(3,4)P -3x ∴=4y =-||5r OP ==4sin 5y r α∴==-B sin θ=3πθ=3πθ=sin θ=B cos 2y x =sin(2)2y x π=+cos 2sin(22y x x π==+sin 2y x =4πsin[2()]sin(2)cos 242y x x x ππ=+=+=B ()4|sin|2xf x π=()f x 12|()()|4f x f x -…20214(1)n -…sin y x =()[0f x ∈4]12|()()|4f x f x -…12231|()()||()()||()()|4(1)n n f x f x f x f x f x f x n --+-+⋯+--…20214(1)n -…506n =4(1)20202021n -=<507n =4(1)20242021n -=>n故选：．【点评】本题考查了三角函数性质的应用，涉及了三角函数值域的应用，解题的关键是构造绝对值相加的等式，属于中档题．15．【分析】举例说明前面不能推后面，后面不能推前面，结合充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：取、，、均为第一象限角，且，但，、均为第一象限角，，取、，但，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查了三角不等式，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．16．【分析】利用诱导公式得到：．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．17．【分析】设的终边经过点，则由题意的终边经过点，利用任意角的三角函数的定义即可得解．【解答】解：在平面直角坐标系中，角，角的终边关于直线对称，设的终边经过点，则的终边经过点，，．故选：．【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性即可求解．【解答】解：，函数的周期为，故不满足题意；，函数的周期为，，是奇函数，故不满足题意；，是奇函数，故不满足题意；，最小正周期为且为偶函数，故满足题意．故选：．【点评】本题考查了函数的周期性以及函数的奇偶性，是基础题．C 60α=︒390β=︒αβαβ<sin sin αβ>αβsin sin αβ<390α=︒60β=︒αβ>αβ<sin sin αβ<D 3tantan 44ππ=-3tan tan()tan 1444ππππ=-=-=-B α(,)m n β(,)n m αβy x =∴α(,)m n β(,)n m 1cos 3α==- 1sin 3β∴==-D ()tan 2f x x =2πA ()sin cos sin 2f x x x x ==π()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-B ()cos(2)sin 22f x x x π=+=-C 22()cos sin cos 2f x x x x =-=πD D19．【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：因为所以，整理得，所以①当时，②当时，，则故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20．【分析】根据题意求出此人相对于地面的高度函数，利用，求出此人相对于地面的高度不小于17的时间即可．【解答】解：由题意知，，解得，所以在时摩天轮上某人所转过的角为，所以在时此人相对于地面的高度为，由，得，解得，所以，且，所以此人有10分钟相对于地面的高度不小于17 ．故选：．【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．21．【分析】利用诱导公式将函数化简，再由余弦函数的性质即可求值域．【解答】解：，3sin()sin()3cos sin 2παπααα--+=+=223cos sin cos sin 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩210cos 10αα++=cos α=-cos α=sin α=cos sin αα-=cos α=sin α=cos sin αα-=C ()h t ()17h t …230T πω==15πω=t 15t πt 10sin12(0)15h t t π=+…10sin 121715t π+…1sin 152t π…56156t πππ… (52522)t (255)1022-=m B sin(cos 2y x x π=+=因为，，所以，，即函数的值域为，．故选：．【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的最值，属于基础题．22．【分析】直接利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值．【解答】解：由于，所以，则：，故．所以当故选：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．【分析】将、分别关于半径，对称的线段为，，将的周长的最值转化为三条线段的最值进行分析求解即可．【解答】解：将、分别关于半径，对称的线段为，，则的周长，当，，，共线时取等号，故的周长有最小值，最大值无限趋近，但取不到，故无最大值．故选：．(3x π∈-5]6πcos [x ∈1][1]B [,32x ππ∈[,663x πππ-∈1sin()[62x π-∈()f x ∈2x π=C AC BC AP AQ AC ''BC 'ABC ∆BC AB AC '++''AC BC AP BQ AC ''BC 'ABC ∆L BC AB AC BC AB AC C C =++='++'''''…C 'A B C ''ABC ∆OPQ ∆C【点评】本题考查了三角形周长最值的求解，涉及了线段求和的最值的解法，解题的关键是将其中两条线段作对称，当三条线段共线时找到最值，属于中档题．二．填空题（共12小题）24．【分析】利用诱导公式化简求值即可得解．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．25．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，所以该扇形的半径为；面积为．故答案为：1，1．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．26．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．27．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．【解答】解：由于角终边与单位圆的交点为，则，．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．28．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算求解．【解答】解：因为是第三象限角，且，所以．故答案为：．51sin sin()sin 6662ππππ=-==1221||2l r α===221121122S r α=⋅=⨯⨯=扇形 αx P 1tan 2α∴==12α1(2cos α=1sin()sin 2απα+=-=-12-α4cos 5α=-3sin 5α==-35-【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．29．【分析】由题意利用诱导该公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查诱导该公式的应用，属于基础题．30．【分析】由已知利用终边相同的角的概念即可求解．【解答】解：角的取值集合是，，角与角的终边关于直线对称，可得，，可得角的取值集合是，，故答案为：，．【点评】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．31．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解．【解答】解：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则，则，保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则．故答案为：，．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中应用，属于基础题．32．【分析】由函数的零点代入，由三角函数的值及的范围，可得的值．【解答】解：因为函数的一个零点为，所以，可得，，又因为，所以，故答案为：【点评】本题考查三角函数的性质及零点与方程根的关系，属于基础题．sin(sin 44ππ-=-=α2{|23k πααπ=+}k Z ∈β23πα=y x =2222(23346k k ππππβππ=+-⨯-=-+k Z ∈β{|26k πββπ=-+}k Z ∈{|26k πββπ=-+k Z ∈}αβOx x αOx 12(,)13P m 513m ==121213tan 5512α==α2πβ12cos cos()sin 213πβαα=+=-=-1251213-ϕϕ()sin(2)(22f x x ππϕϕ=+-<<6x π=sin(2)06πϕ⋅+=3k πϕπ=-k Z ∈22ππϕ-<<3πϕ=-3π-33．【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．【解答】解：，故答案为：1．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．34．【分析】余弦函数的图象的对称性，求得常数的一个取值．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，令，可得常数，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．35．【分析】先求出的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，，，故答案为：．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．三．解答题（共13小题）36．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的关系式的变换，变形成正弦型函数，进一步求出结果；（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；（Ⅲ）利用函数的图象的平移变换的应用和函数的对应关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）函数．所以．（Ⅱ）由于，所以，所以当时，，当时，．（Ⅲ）将函数的图象向左平移个单位长度，5tan tan 144ππ== ϕ ()cos(2)f x x ϕ=+3x π=23k πϕπ∴⨯+=k Z ∈1k =3πϕ=3πtan αα4sin 5α=3cos 5α=-sin 4tan cos 3ααα∴==-22tan 24tan 217tan ααα==-24721()2sin cos(2)1cos 22cos 2sin(2)326f x x x x x x x ππ=+--=+-=-1()sin()6362f πππ=-=[0,]2x π∈52[,]666x πππ-∈-0x =1()(0)2min f x f ==-3x π=()()13max f x f π==()f x (0)m m >所得函数的图象与函数的图象重合，故，解得，当时，．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换，属于基础题．37．【分析】若取①：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用正弦函数的周期公式可求的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．（Ⅲ）由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解其最值．若取②：（Ⅰ）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．（Ⅱ）利用函数的周期性和对称性即可求解．（Ⅲ）由题意可求，利用二次函数的性质即可求解其最值．【解答】解：若取①，（Ⅰ），；（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，，函数在，．若取②，（Ⅰ），；()sin(22)6g x x m π=+-cos 2y x =22()62m k k Z πππ-=+∈()3m k k Z ππ=+∈0k =3min m π=()f x 52444x πππ+……0sin 1x ……11ω=22:ω=2()2cos sin 2cos 2sin 21)14f x x x x x x π=+=++=++(0)1124f π∴=+==()14f x x π=++ ()f x ∴22T ππ==8x π=02x π……∴52444x πππ+……∴()f x [02π112π+=+()f x [0]2π5104π+=11ω=21:ω=222171()2cos sin 22sin sin 2(sin )84f x x x x x x =+=-+=--2171(0)2(0)284f ∴=-⨯-=（Ⅱ），的最小正周期，一条对称轴方程为．（Ⅲ），，函数在，上的最大值为：，函数在，上的最小值为：．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，属于中档题．38．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式的形式，根据振幅为，周期，初相为，可得答案．（Ⅱ）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期，的大致图象即可．【解答】解：（Ⅰ）由于，可得函数的振幅为2、周期为、初相为．（Ⅱ）列表如下：0200在一个周期内的图象如图所示：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．39．【分析】先由已知求出，角的大小，进而可以对应各个问题逐个求解．【解答】解：由已知可得：，2171()2(sin )84f x x =-- ()f x ∴2T π=2x π=02x π……0sin 1x ∴……∴()f x [02π178()f x [0]2π21712(1184-⨯-=sin()y A x ωϕ=+A 2T πω=ϕ[02]π()2sin(26f x x π=+()f x π6π26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 2-()f x αβ,34ππαβ==（Ⅰ），，故，；（Ⅱ）故．【点评】本题考查了三角函数的定义以及求解三角函数值，考查了学生的运算能力，属于基础题．40．【分析】（1）弦化切即可求解；（2）根据已知求出对应的三角函数值，利用配凑法求出的值，由此可以求解．【解答】解：（1）因为，则；（2）因为锐角，满足，，则，，则，，所以，所以【点评】本题考查了两角和与差的三角函数求值的问题，涉及到角的范围，考查了学生的运算能力，属于基础题．41．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．【解答】解：（1）函数，所以函数的最小正周期为．令，解得，tan tan14πβ==1cos()cos(cos332πππαπ+=+=-=-tan 1β=1cos()2πα+=-sin()sin cos cos sin sin coscossin3434ππππαβαβαβ-=-=-12-=sin()αβ-=cos 2β3tan 4α=-31sin cos tan 1143sin cos tan 1714αααααα-+++===-----αβ11cos()14αβ+=-sin()αβ-=(,)2παβπ+∈(0,)2παβ-∈sin()αβ+==1cos()7αβ-==cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=cos β==1()sin(223f x x π=-22T ππ==222()232k x k k Z πππππ-+-+∈……5()1212k x k k Z ππππ-++∈……故函数的单调递增区间为．（2）由于，所以，故，当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．42．【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．（Ⅱ）利用二倍角的正弦公式化简已知等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为，可得，可得（Ⅱ）若，可得，可得的一个值为．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．43．【分析】（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出的值即可；（2）由的值，利用完全平方公式求出的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出值．【解答】解：（1）方程的两根为、，，，，，，即，，解得：（负值舍去），5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈[,]44x ππ∈-52[,]366x πππ-∈-11()[,]24f x ∈-12x π=-12-4x π=141sin ,(,)32πααπ=∈cos α==sin tan cos ααα==cos 2sin()x x x ϕ=+152(cos )2sin(2sin()26x x x x πϕ=+=+ϕ56πbb sin cos θθ± 21204x bx -+=sin θcos θsin cos 2b θθ∴+=1sin cos 08θθ=> 3(,)44ππθ∈(42ππθ∴+∈)πsin cos )04πθθθ+=+>22221(sin cos )sin cos 2sin cos 1284b θθθθθθ∴+=++=+⨯=b =则（2），，．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．44．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义与诱导公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据，可得，进而得出及其周期、及其单调性．【解答】解：（Ⅰ）依题意知，所以．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因为，所以，所以，令，由得，，且的最小正周期为，即，于是，所以，由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为．（在求周期时，直接用公式获得答案的，同样给分）由得，，所以函数的单调递增区间是．（9分）【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．45．【分析】（Ⅰ）若函数满足条件③，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件③；b =22213(sin cos )sin cos 2sin cos 1284θθθθθθ-=+-=-⨯= sin cos θθ∴-=sin cos θθ+ ∴22sin cos 1(sin cos )cos sin cos sin θθθθθθθθ++==--1sin 2α=(0,)2πα∈α()f x 1sin 2α=cos α=sin()cos 2παα-==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1sin 2α=(0,2πα∈6πα=1()sin(26f x x π=-126z x π=-x R ∈z R ∈sin y z =2πsin(2)sin z z π+=11sin(2)sin(2626x x πππ-+=-11sin((4))sin()2626x x πππ+-=-()f x 4π2||T πω=122,2262k x k k Z πππππ-+-+∈……2444,33k x k k Z ππππ-++∈……()f x 24[4,4],33k k k Z ππππ-++∈⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x（Ⅱ）由条件①，利用周期公式可求，由条件②，可得，由条件④，可得，结合范围，可求，可得函数解析式；（Ⅲ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④，（Ⅱ）由条件①，可得，又因为，可得，由条件②，可得，由条件④，可得，又因为，所以，所以；（Ⅲ）由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．46．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可．（Ⅱ）根据函数的单调性进行求解即可．（Ⅲ）根据函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），即函数的周期．（Ⅱ）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，1ω=2A =()06f π-=02πϕ<<3πϕ=()f x (0)sin 1f A ϕ==-0A >02πϕ<<()f x ()f x 22||ππω=0ω>1ω=2A =(2sin()033f ππϕ-=-+=02πϕ<<3πϕ=()2sin()3f x x π=+22232k x k πππππ-++……k Z ∈52266k x k ππππ-+……k Z ∈()f x 5[26k ππ-2]()6k k Z ππ+∈sin()y A x ωϕ=+21()2(cos )sin sin cos 2f x x x x x x x=+=+11cos 21sin 2sin 22sin(2)2223x x x x x π-==-+=-22T ππ==222232k x k πππππ--+……k Z ∈522266k x k ππππ-+……k Z ∈51212k x k ππππ-+……k Z ∈[12k ππ-5]12k ππ+k Z ∈由，，得，，即，，即函数的单调递减区间为，，．（Ⅲ）当时，函数的递增区间为，，若函数在，上单调递增，则，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的周期性，单调性的性质是解决本题的关键，是中档题．47．【分析】（Ⅰ）用五点法作函数在一个周期上的简图；（Ⅱ）根据函数的图象变换规律，可得结论；（Ⅲ）由正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（Ⅰ）列表：0300描点，连线，作图如下：（Ⅱ）法一：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，再将得到的图象向左平移得到．法二：将函数的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到，3222232k x k πππππ+-+…k Z ∈51122266k x k ππππ++……k Z ∈5111212k x k ππππ++……k Z ∈5[12k ππ+1112k ππ+k Z ∈0k =[12π-512π()f x [0]m 5012m π<…m 5012m π<…sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+26x π+2ππ32π2πx12π-6π512π23π1112π()f x 3-sin y x =3sin y x =123sin 2y x =12π()3sin(2)6f x x π=+sin y x =3sin y x =再将得到的图象向左平移得到，再将得到的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到．（Ⅲ）若，则，即，或，，即，或，，又，所以或或．【点评】本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换规律以及正弦函数的性质，属于中档题．48．【分析】（Ⅰ）根据所选条件确定函数的解析式，再由正弦函数的单调性即可求得的单调递增区间；（Ⅱ）由正弦函数的性质即可求得最值．【解答】解：选择条件①②解答如下：（Ⅰ）由函数最小正周期，得．又图象关于点对称，有，又已知，故．因此．，解得，．所以的单调递增区间为．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值1；当，即时，取得最小值．如果选择条件①③解答如下：由函数最小正周期，得．又函数图象关于对称，有，6π3sin(6y x π=+12()3sin(2)6f x x π=+03()2f x =033sin(2)62x π+=02266x k πππ+=+k Z ∈052266x k πππ+=+k Z ∈0x k π=k Z ∈03x k ππ=+k Z ∈0[2x π∈3]π02x π=03x π=73πsin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x (,0)6π-sin[2()]06πϕ⨯-+=(0,)2πϕ∈3πϕ=()sin(23f x x π=+222,232k x k k Z πππππ-+++∈由……51212k x k ππππ-++……k Z ∈()f x 5[,]()1212k k k Z ππππ-++∈02x π (423)33x πππ+……232x ππ+=12x π=()f x 4233x ππ+=2x π=()f x ()f x 2||T ππω==2ω=()f x 12x π=sin(2)112πϕ⨯+=±。

第10章 三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x2017年1月T82018年1月T122018年1月T172019年1月T162020年1月T6⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月某某学考)角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，以下等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月某某学考)假设sin α>0，且cos α<0，那么角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角； 由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．应选B ．]3．(2019·1月某某学考)角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，那么cos α＝.45[r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，那么sin α＝y r，cos α＝x r.当α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·某某市学考模拟题)角β的终边经过点P (1，－2)，那么sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，应选C ．]2．(2019·某某学考模拟题)角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，那么tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，那么2sin α＋cosα的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·某某高一期中)点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α的终边在第象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，那么tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)假设tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月某某学考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，那么tan θ＝.52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.](1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数． 2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·某某高二期末)sin α＝14，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.]3．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)假设sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，那么cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·某某市学考模拟题)tan θ＝2，那么sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.] 三角函数的图象和性质 [基础知识填充]三角函数的图象与性质 解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减 在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无[学考真题对练](2018·1月某某学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，那么f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，应选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．1．(2019·某某学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·某某学考模拟题)以下函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·某某高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，应选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZC [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，应选C ．]7．(2019·某某高二月考)假设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，那么φ＝.π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得假设f (x )是偶函数，那么φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基础知识填充]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法〞作图：用“五点法〞作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法〞作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·某某高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·某某市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·某某市学考模拟题)以下函数中，图象的一部分如下图的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·某某市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，那么ω＝.π2 [由两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·某某市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如下图，那么φ＝.π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如下图坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4. (2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·某某市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)某某验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点：。

2024北京高中合格考数学（第一次）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，则AB =（ ） A. {}1B. {}2C. {}1,2D. {}1,0,1,2− 2. 复数2i =（ ）A. iB. i −C. 1D. 1−3. 函数()()21f x x x =+的零点为（ ） A. 1− B. 0 C. 1 D. 24. 已知向量()()0,1,2,1a b ==，则a b −=（ ）A. ()0,2−B. ()2,0C. ()2,0−D. ()2,2 5. 不等式21x >的解集为（ ） A. {}10x x −<< B. {}01x x << C. {}11x x −<< D. {1x x <−或}1x > 6. 在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （ ）A. 相交B. 平行C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线7. 在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =−的图象（ ）A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称 8. 已知,a b R R ，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 1610. 已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（ ） A. 12 B. 12− C. 2 D. 2−11. 在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（ ）A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒12. 下列函数中，存在最小值的是（ ）A. ()1f x x =−+B. ()22f x x x =−C. ()e x f x =D. ()ln f x x = 13. 贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：A. 40.3%B. 40.45%C. 40.6%D. 41.4%14. 若tan 1α=−，则角α可以为（ ）A. π4B. π6C. 3π4D. 5π615. 66log 2log 3+=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 16. 函数()f x =的定义域为（ ） A. [)3,∞−+ B. [)2,−+∞ C. [)2,+∞ D. [)4,+∞17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP −的体积为（ ）A. 2B. 1C. 12D. 16 18. ()2sin15cos15︒+︒=（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 219. 已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b −的取值范围是（ ）A. []1,0−B. []0,1C. []1,1−D. []22−,20. 某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（ ）A. 最多有1651名学生B. 最多有1649名学生C. 最少有618名学生D. 最少有617名学生第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22. 已知,a b R R ，且a b >，则2a −________3b −（填“>”或“<”）.23. 已知向量,,a b c ，其中()1,0a =.命题p ：若a b a c ⋅=⋅，则b c =，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b =________，c =________.24. 已知的()11f x x =+，给出下列三个结论： ①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 26. 阅读下面题目及其解答过程. ①________.D ∈，且f )个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），()0,+∞ )27. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28. 已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成. ①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =−=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2. 【答案】D【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=−.故选：D.3. 【答案】B【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =， 即函数()()21f x x x =+的零点为0， 故选：B4. 【答案】C【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴−=−.故选：C.5. 【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<−或1x >， 所以原不等式的解集为{1x x <−或1}x >.故选：D6. 【答案】D【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7. 【答案】B【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =−互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =−的图象关于x 轴对称.故选：B.8. 【答案】A【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时， a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9. 【答案】A【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=. 故选：A.10. 【答案】A【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x =>， 故由()02f x =，得001122,x x =∴=， 故选：A11. 【答案】D【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===， 由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +−+−===−⨯⨯, 而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12. 【答案】B【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =−+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =−在(),1−∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13. 【答案】B【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%， 中位数为40.3%40.6%40.45%2+=. 故选：B14. 【答案】C【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=−,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4. 故选：C.15. 【答案】B【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16. 【答案】C【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x −≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17. 【答案】D【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S −=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：D.【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=， 故选：C19. 【答案】C【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =−，所以10a −≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a −=−−=−∈−.故选：C.20. 【答案】D【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷=,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650−−=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21. 【答案】2【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222. 【答案】<【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b −<−，所以23a b −+<−+，即23a b −<−.故答案为：<23. 【答案】 ①. ()0,1（答案不唯一） ②. ()0,2（答案不唯一）【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=即可，如()()0,1,0,2b c ==，此时b c ≠故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k =与()()1y g x x x ==+的交点个数即可. 【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确； 对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确； 对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=， 作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨−+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增， 故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②. 三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25. 【答案】（1） π（2） 最大值为2，最小值为-2【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】 由2π2ππ2T ω===， 知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤， 令2x θ=，则0πθ≤≤， 函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1， 所以2()2f x −≤≤，即函数()f x 在π[0,]2上的最大值为2，最小值为-2.26. 【答案】ABABA【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22x x f x −=+的定义域为R ，故A 正确； ②由于()2()2x x x x f f −−=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x −<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴−>，故A 正确.27. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28. 【答案】（1）是 （2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当1i =时，451,561,561,963−=−−=−−=−−=，共三个1−，一个3； 当2i =时，341,853,451,891−=−−=−=−−=−，共三个1−，一个3； 任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈−−−−中有三个1−，一个3， 则13i i a a +−=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反； 因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=−，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++−=−−−=−−−， 分三种情况：（i ）若11i i a a +−=−，且11i i b b +−=−，则10i i +∆∆=−； （ii ）若11i i a a +−=−，且13i i b b +=−，则14i i +∆−=−∆； （iii ）若13i i a a +−=，且11i i b b +−=−，则14i i +∆∆=−； 均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈k k b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”； 类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”； “存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”； 所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3. 其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈， 使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c −>−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−>−≥−−>，()332240d c d c −≥−−>，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c −>，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ， 则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =−−=，()()1100221148,44d c d c d c d c −≥−−=−≥−−≥， ()332240d c d c −≥−−≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++−=−=−，则111,1k k k k a a b b ++−=−−=−，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。

2021-2023北京高中合格考数学汇编三角函数1．（2023·北京·高三统考学业考试）已知1sin 2α=，则()sin α-=（ ） A ．12- B ．12 C ．22- D ．222．（2023·北京·高三统考学业考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π3．（2022·北京·高三统考学业考试）()sin 45-︒=（ ）A ．22B ．22-C ．12D ．12- 4．（2022·北京·高三统考学业考试）sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ5．（2022·北京·高三统考学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x = C ．2()log f x x = D ．()sin f x x =6．（2021·北京·高二统考学业考试）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45C ．34-D ．347．（2021·北京·高二统考学业考试）sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12B ．22C ．32D ．18．（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数()1sin 2f x x =+．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最大值，并写出相应的一个x 的值．9．（2021·北京·高二统考学业考试）已知函数()sin 2f x x =.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[0,4π]上的最大值及相应x 的值.三、填空题11．（2021·北京·高二统考学业考试）计算sin13cos32cos13sin32+=____________.1．A【分析】根据诱导公式求解即可．【详解】由诱导公式得()sin sin αα-=-，因为1sin 2α=，所以()1sin sin 2αα-=-=-， 故选：A ．2．C【分析】根据广义角的定义角和正切函数值求解.【详解】由题意1tan 11α==-- ，并且点()1,1- 在第二象限，3π4α∴= ； 故选：C.3．B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()2sin 45sin 452-︒=-︒=-. 故选：B4．A【分析】利用二倍角公式即得. 【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ. 故选：A.5．B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意；1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意； 2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.6．B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果.【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴2244cos 543α==+. 故选：B.02x π，444x ππ-．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，4π=-，即x ＝0时，4π=，即2x π=时，()sin13cos32cos13sin 32sin 1332sin 4522+=+== 2。

专题05北京高考三角函数选填真题1.【2024年北京卷06】已知()()sin 0f x x ωω=>，()11f x =−，()21f x =，12min π||2x x −=，则ω=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 2.【2024年北京卷12】已知ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且α与β的终边关于原点对称，则cos β的最大值为________．由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=−，3.【2023年北京卷13】已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p 为假命题的一组α,β的值为α= ，β= ． 【答案】 9π4π3单位圆因为f (x )=tanx 在(0,π2)上单调递增，若0<α0<β0<π2，则tanα0<tanβ0， 取α=2k 1π+α0,β=2k 2π+β0,k 1,k 2∈Z ，则tanα=tan (2k 1π+α0)=tanα0,tanβ=tan (2k 2π+β0)=tanβ0，即tanα<tanβ， 令k 1>k 2，则α−β=(2k 1π+α0)−(2k 2π+β0)=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)， 因为2(k 1−k 2)π≥2π,−π2<α0−β0<0，则α−β=2(k 1−k 2)π+(α0−β0)>3π2>0，即k 1>k 2，则α>β.不妨取k 1=1,k 2=0,α0=π4,β0=π3，即α=9π4,β=π3满足题意.故答案为：9π4;π3. 4.【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ）A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 5.【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】 ∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3) f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2 【三角函数性质灵活考查】（2022北京卷改编）若()sin f x A x x =关于3x π=对称，则A =________．【答案】3− 【解析】对称性运用 ∵f(2π3)=f(0)，∴A =−36. 【2021年北京07】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 7.【2021年北京13】若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k ∈Z 即可）8. 【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)【答案】A单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为12nsin 30°n，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为2tan 30°n，其周长为12ntan 30°n，∴2π=12nsin30°n +12ntan 30°n2=6n (sin 30°n+tan30°n)，则π=3n (sin 30°n+tan30°n).9.【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）. 10. 【2019年北京文科06】设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数），则“b =0”是“f (x )为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C解：设函数f (x )=cosx +bsinx （b 为常数）， 则“b ＝0”⇒“f (x )=cosx 为偶函数”，“f （x ）为偶函数”⇒()()f x f x =− ，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−，cos sin cos sin x b x x b x ∴+=−sin sin b x b x ∴=−，2sin 0b x ∴=对任意x 成立；∴0b =11. 【2019年北京文科08】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A.44cos ββ+B.44sin ββ+C.22cos ββ+D.22sin ββ+【答案】B解：由题意可得22AOB APB β∠=∠=，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO ⊥AB ，即有QO ＝2，Q 到线段AB 的距离为22cos β+，224AB sin sin ββ==，扇形AOB 的面积为12•2β•4=4β，△ABQ 的面积为12(2+2cosβ)•4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sin β． 12. 【2019年北京理科09】函数2()2f x sin x =的最小正周期是 ． 【答案】π213. 【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ.sinθ)到直线x −my −2=0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解：法一：由题意d =|cosθ−msinθ−2|√12+m 2=|√m 2+1sin(θ+α)−2|√m 2+1，tan α=1m =yx ，∴当sin (θ+α)=−1时，d max ＝1+2√m 2+1≤3．∴d 的最大值为3．法二： P 点在单位圆221x y +=上动，圆心到直线距离的最大值（圆心到过定点的距离）+半径 14. 【2018年北京理科11】设函数π()cos()6f x x ω=−(0)ω>．若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23 15. 【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，AB ̂，CD ̂，EF ̂，GH ̂是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB ̂ B ．CD ̂C ．EF ̂D ．GH ̂ 【答案】C解：A ．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cos α＜sin α不成立，故A 不满足条件． B ．在CD 段正切线最大，则cos α＜sin α＜tan α，故B 不满足条件． C ．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tan α＜cos α＜sin α，D ．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cos α＜sin α＜tan α不满足tan α＜cos α＜sin α． 16. 【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos (α−β)= ．解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ=sinα=13，cosβ=−cosα=−2√23， ∴cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−7917. 【2016年北京理科07】将函数sin(2)3y x π=−图象上的点(,)4t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点'P .若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则A.12t =,s 的最小值为6πB.t =,s 的最小值为6πC.12t =,s 的最小值为3π D.t =,s 的最小值为3π【答案】A将x =π4代入得：t =sin π6=12，将函数y =sin (2x −π3)图象上的点P 向左平移s 个单位， 得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y =sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）=cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π618. 【2014年北京理科14】设函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==−,则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π．则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T 4⇒T ＝π．。

十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题05三角函数与解三角形本专题考查的知识点为：三角函数与解三角形，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三角函数的性质，正余弦定理解三角形，正余弦定理的实际应用，三角函数的实际应用，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以三角函数的性质，正余弦定理解三角形的方法为重点较佳.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“ 割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A ．3n (sin 30°n +tan 30°n ) B ．6n (sin 30°n +tan 30°n) C ．3n (sin60°n+tan60°n)D ．6n (sin60°n+tan60°n)2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x ﹣my ﹣2＝0的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6 B ．t =√32，s 的最小值为π6 C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π34．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ．6．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos（α﹣β）＝．8．【2015年北京理科12】在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC=．9．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f（π2）＝f（2π3）＝﹣f（π6），则f（x）的最小正周期为．10．【2012年北京理科11】在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B=−14，则b＝．11．【2011年北京理科09】在△ABC中．若b＝5，∠B=π4，tan A＝2，则sin A＝；a＝．12．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．13．【2019年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−12．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．14．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．15．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．16．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A+cos C的最大值．17．【2015年北京理科15】已知函数f（x）=√2sin x2cos x2−√2sin2x2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC=17．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．19．【2014年北京理科18】已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．20．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√322．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√33．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π48．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√312．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π414．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x−π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为（）A．π6B．π4C．π3D．π216．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)．若关于x的方程f(x)= 1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（）A．3B．4C．5D．617．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√6319．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．3221．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋√3asinC－b－c＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，∠ABC =90°，已知AD =√3，BD =√6.（1）求sin∠ABD 的值；（2）若CD =2，且CD >BC ，求BC 的长.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cosA =13．(1)求sin 2B+C 2+cos2A 的值；(2)若a =√3，求△ABC 面积的最大值．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32． （1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.28．【2020届北京市海淀区高三一模】已知函数f(x)=2cos 2ω1x +sinω2x . (I)求f (0)的值；(II)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[−π2,π6]上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.29．【北京市第十三中学2020届高三下学期开学测试】已知△ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3；②cosB =−23；③a =7；④b =3． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求△ABC 的面积．30．【2020届北京市石景山区高三4月统一测试】已知锐角△ABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A =π3②a =13③c =15④sinC =13 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求△ABC 的面积.1．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.2．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√12+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m2+1，tanα=1m =yx，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝1√m2+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C ．3．【2016年北京理科07】将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P （π4，t ）向左平移s （s ＞0）个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ） A ．t =12，s 的最小值为π6B ．t =√32，s 的最小值为π6C ．t =12，s 的最小值为π3D ．t =√32，s 的最小值为π3【答案】解：将x =π4代入得：t ＝sin π6=12，将函数y ＝sin （2x −π3）图象上的点P 向左平移s 个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ，则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．4．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可） 【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.5．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ）， ∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2，26．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0则ω的最小值为：23．故答案为：23．7．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sin α=13，当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79，98．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2AsinC = ． 【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2AsinC =2×√74×343√78=1．故答案为：1．9．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ． 【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12，则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0），由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π． 故答案为：π．10．【2012年北京理科11】在△ABC 中，若a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14，则b ＝ ． 【答案】解：由题意，∵a ＝2，b +c ＝7，cos B =−14， ∴b 2=22+(7−b)2−2×2×(7−b)×(−14)∴b ＝4 故答案为：411．【2011年北京理科09】在△ABC 中．若b ＝5，∠B =π4，tan A ＝2，则sin A ＝ ；a ＝ ．【答案】解：由tan A ＝2，得到cos 2A =11+tan 2A =15， 由A ∈（0，π），得到sin A =√1−15=2√55，根据正弦定理得：asinA=b sinB，得到a =bsinA sinB=5×2√55√22=2√10．故答案为：2√55；2√10 12．【2020年北京卷17】在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积． 条件①：c =7,cosA =−17；条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32,S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74,S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =2A =4√37由正弦定理得：a sinA =c sinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74. 13．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：csinC =b sinB，∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37． 14．【2018年北京理科15】在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sin A =asinB b=7×4√378=√32， 则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0，得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 15．【2017年北京理科15】在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积． 【答案】解：（1）∠A ＝60°，c =37a ，由正弦定理可得sin C =37sin A =37×√32=3√314， （2）a ＝7，则c ＝3， ∴C ＜A ，∵sin 2C +cos 2C ＝1，又由（1）可得cos C =1314， ∴sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C =√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12ac sin B =12×7×3×4√37=6√3．16．【2016年北京理科15】在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ． ∴cos B =a 2+c 2−b 22ac=√2ac2ac=√22， ∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ，∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ） =√2cos A −√22cos A +√22sin A =√22cos A +√22sin A ＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．17．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2 =√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22， 则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22， 则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22． 18．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314． （2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．19．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2] （1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinx x＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0， 所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减， 从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0， g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0 （x 0，π2） g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）＝0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c≥0即0＜c≤2π综上所述当且仅当c≤2π时，g（x）＞0对任意x∈（0，π2）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，π2）恒成立，所以若a＜sinxx ＜b对x∈（0，π2）上恒成立，则a的最大值为2π，b的最小值为120．【2013年北京理科15】在△ABC中，a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求c的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a＝3，b=2√6，∠B＝2∠A，利用正弦定理可得asinA =bsinB，即3sinA=2√6sin2A=2√62sinAcosA．解得cos A=√63．（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即9=(2√6)2+c2﹣2×2√6×c×√63，即c2﹣8c+15＝0．解方程求得c＝5，或c＝3．当c＝3时，此时a＝c＝3，根据∠B＝2∠A，可得B＝90°，A＝C＝45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2＝b2，故舍去．当c＝5时，求得cos B=a 2+c2−b22ac=13，cos A=b2+c2−a22bc=√63，∴cos2A＝2cos2A﹣1=13=cos B，∴B＝2A，满足条件．综上，c＝5．21．【2012年北京理科15】已知函数f（x）=(sinx−cosx)sin2xsinx．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．【答案】解：f(x)=(sinx−cosx)sin2xsinx =(sinx−cosx)2sinxcosxsinx=2(sinx−cosx)cosx＝sin2x﹣1﹣cos2x=√2sin（2x−π4）﹣1k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为[kπ−π8，kπ)，k∈Z，(kπ，kπ+3π8]，k∈Z22．【2011年北京理科15】已知f（x）＝4cos x sin（x+π6）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．【答案】解：（Ⅰ）∵f(x)=4cosxsin(x+π6)−1，＝4cos x（√32sinx+12cosx）﹣1=√3sin2x+2cos2x﹣1=√3sin2x+cos2x＝2sin（2x+π6），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵−π6≤x≤π4，∴−π6≤2x+π6≤2π3，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f（x）取最大值2，当2x+π6=−π6时，即x=−π6时，f（x）取得最小值﹣1．1．sin75o cos30o−cos75o sin30o的值为（）A．1B．12C．√22D．√32【答案】C 【解析】sin75o cos30o−cos75o sin30o2．【北京市石景山区2019届高三第一学期期末】在△ABC中，a＝7，c＝3，∠A＝60°，则△ABC的面积为（）A．152√3B．154√3C．12√3D．6√3【答案】D【解析】∵a＝7，c＝3，∠A＝60°，∴由正弦定理可得：sin C=c•sin Aa=3×√327=3√314，∵a＞c，C为锐角，∴cos C=√1−sin2C=1314，∴可得：s inB=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C＝=√32×1314+12×3√314=4√37，∴SΔABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．故选D．3．【2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习】函数y=2cos2x−1的最小正周期为（）A．π2B．πC．2πD．4π【答案】B【解析】由题可知：y=2cos2x−1=cos2x所以最小正周期为T=2π|ω|=2π2=π故选：B4．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.5．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=12sinx B．y=sin12xC．y=cos(x+π4)D．y=12tanx【答案】D【解析】由函数y=12sinx的最小正周期为2π，故排除A；由函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故排除B；由函数y=cos(x+π4)的最小正周期为2π，故排除C；由正切函数的最小正周期的公式，可得函数y=12tanx的最小正周期为π，故D满足条件，故选：D.6．把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（）A．y=sin(2x−π3),x∈R B．y=sin(2x+π3),x∈RC．y=sin(12x−π6),x∈R D．y=sin(12x+π6),x∈R【答案】D 【解析】由题意将函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度可得到函数y=sin(x+π6)(x∈R)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(12x+π6),x∈R的图象.故选：D.7．【北京市人大附中2019届高三高考信息卷（三）】在三角形ABC中,AB=1,AC=√2,∠C=π6,则∠B=（）A．π4B．π4或π2C．3π4D．π4或3π4【答案】D 【解析】由正弦定理得ABsinC =ACsinB∴1sinπ6=√2sinB,sinB=√22∴B=π4或B=3π4，选D.8．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（）A．sin(2x+π6)B．sin(2x+2π3)C．cos2x D．−cos2x 【答案】C【解析】由题意g(x)=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x.故选：C.9．【北京市西城外国语学校2019-2020学年高一第二学期诊断性测试】为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度【答案】D 【解析】sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，据此可知，为了得到函数y=sin(2x−π4)的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移π8个单位长度.本题选择D选项.10．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知△ABC，则sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若sinA=cosB，则A+B=π2或A=B+π2，不能推出△ABC是直角三角形；若A=π2，则sinA≠cosB，所以△ABC是直角三角形不能推出sinA=cosB;所以sinA=cosB”是△ABC是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.11．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面积是32，则b=（）A．1+√3B．1+√32C．2+√32D．2+√3【答案】A 【解析】由已知S=12acsinB=12acsin30°=14ac=32，ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：A．12．【2020届北京市高考适应性测试】为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为，所以为得到y=sin(2x−π3)的图象，只需要将y=sin2x的图象向右平移π6个单位；故选D．13．【北京市第四中学2019届高三高考调研】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=a(cosC+√33sinC )，a=2，c=2√63，则角C=()A．π3B．π6C．3π4D．π4【答案】D 【解析】∵b =a (cosC +√33sinC)， ∴由正弦定理可得：sinB =sinAcosC +√33sinCsinA ，又∵sinB =sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC ， ∴可得：√33sinA =cosA ，可得：tanA =√3，∵A ∈(0,π)，∴A =π3，可得：sinA =√32， 又∵a =2，c =2√63， ∴由正弦定理可得：sinC =c ⋅sinA a=2√63×√322=√22，∵c <a ，C 为锐角，∴C =π4．故选：D ．14．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】若f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象如图，为了得g(x)=sin(2x −π3)的图象，则需将f(x)的图象（）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向左平移π3个单位【答案】B 【解析】由已知中函数f(x)=Asin(ωx +φ)（其中A >0，|φ|<π2）的图象， 可得：A =1,T =4(7π12−π3)=π，即ω=2 即f (x )=sin(2x +φ)，将(7π12,−1)点代入得：7π6+φ=3π2+2kπ,k ∈Z 又由|φ|<π2∴φ=π3∴f(x)=sin(2x +π3)，即f(x)=sin(2x +π3)=sin2(x +π6)g(x)=sin(2x −π3)=sin2(x −π6)所以将函数f (x )的图象向右平移π6−(−π6)=π3个单位得到函数g(x)=sin(2x −π3)的图象， 故选：B15．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】在△ABC 中，若a =7，b =8，cosB =−17，则∠A 的大小为（） A ．π6 B ．π4C ．π3D ．π2【答案】C 【解析】cosB =−17，B ∈(π2,π)，故sinB =√1−cos 2B =4√37，根据正弦定理：a sinA =bsinB ，故sinA =7×4√378=√32，A ∈(0,π2)，故A =π3.故选：C.16．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】已知函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)．若关于x 的方程f(x)=1在区间[0 ， π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令t =ωx +π6，∵x ∈[0 ， π]，∴π6≤ωx +π6≤ωπ+π6，∵y =sint 的图象如图所示，∵关于x 的方程f(x)=1在区间[0，]上有且仅有两个不相等的实根，∴y=sint=1在[π6,ωπ+π6]上有且仅有两个不相等的实根，∴5π2≤ωπ+π6≤17π4⇒52≤ω≤4912，∴ω的最大整数值为4，故选：B.17．【2020届北京市第22中学高三第一学期第二次阶段性考试】为了得到函数y=sin(2x−π3)的图像，只需将函数y=sin2x的图像（）A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π3个单位【答案】A 【解析】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为y=sin(2x−π3)=sin2(x−π6),只需将y=sin2x的图象向右平移π6个单位，即可得到y=sin(2x−π3)的图像，故选A.18．【2019届北京市十一学校高考前适应性练习】在ΔABC中，A=60°，B=75°，BC=10，则AB= A．5√2B．10√2C．5√6D．10√63【答案】D【解析】由内角和定理知C=180°−(60°+75°)=45°，所以ABsinC =BCsinA，即AB=BCsinCsinA =10×sin45°sin60°=10√63，故选D.19．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考】将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin(2x+π4)B．y=2sin(2x+π3)C．y=2sin(2x−π4)D．y=2sin(2x−π3)【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+π6)的周期为π，将函数y=2sin(2x+π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y=2sin[2(x−π4)+π6)]=2sin(2x−π3)，故选D.20．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】已知函数f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12(ω>0，x∈R)，若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，则ω的最大值是()A．512B．56C．1112D．32【答案】C 【解析】f(x)=cos2ωx2+√32sinωx−12=√32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6),令f(x)=0,ωx+π6=kπ(k∈Z),x=kπω−π6ω(k∈Z)，函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点，{kπω−π6ω≤π(k+1)πω−π6ω≥2π解得k−16≤ω≤k+12−112(k∈Z)，ω>0,∴k=0,0<ω≤512，k=1,56<ω≤1112ω的最大值是1112.故选:C.21．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】设函数f(x)=sin(ωx−π6)+sin(ωx−π2)，其中0<ω<3.已知f(π6)=0.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[−π4,3π4]上的最小值.【答案】(Ⅰ)ω=2.(Ⅱ)−32. 【解析】（Ⅰ）因为f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)， 所以f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx=√3sinωx −3cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3(sinωx −π3)由题设知f(π6)=0， 所以ωπ6−π3=kπ，k ∈Z . 故ω=6k +2，k ∈Z ，又0<ω<3， 所以ω=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=√3sin(2x −π3) 所以g(x)=√3sin(x +π4−π3)=√3sin(x −π12). 因为x ∈[−π4,3π4]，所以x −π12∈[−π3,2π3]，当x −π12=−π3，即x =−π4时，g(x)取得最小值−32.22．【北京市人大附中2019届高考信息卷（二）】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acosC ＋√3asinC －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cosB ＝17，AD ＝√1292，求△ABC 的面积．【答案】（1）A ＝60°；（2）10√3 【解析】(1)acosC ＋√3asinC －b －c ＝0，由正弦定理得sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sinB ＋sinC ， 即sinAcosC ＋√3sinAsinC ＝sin(A ＋C)＋sinC ，又sinC≠0，所以化简得√3sinA －cosA ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cosB ＝17，所以sinB ＝4√37. 所以sinC ＝sin(A ＋B)＝√32×17＋12×4√37＝5√314. 由正弦定理得，a c =sin A sinC =75.设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcosB， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsinB ＝10√3.23．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，b =2√3，c =3，cosB =−13． （1）求sinC 的值； （2）求ΔABC 的面积． 【答案】（1）√63；（2）√2【解析】（1）在ΔABC 中，cosB =−13， ∴sinB =√1−cos 2B =√1−(13)2=2√23， ∵b =2√3，c =3，由正弦定理b sinB =csinC 得√32√23=3sinC ，∴sinC =√63．（2）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得12=a 2+9−2×3a ×(−13)， ∴a 2+2a −3=0，解得a=1或a=−3（舍）∴SΔABC=12acsinB=12×1×3×2√23=√2．24．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）】如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°，已知AD=√3，BD=√6.（1）求sin∠ABD的值；（2）若CD=2，且CD>BC，求BC的长.【答案】（1）√64（2）BC=1【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD =BDsin∠A，因为∠A=60°，AD=√3，BD=√6，所以sin∠ABD=ADBD ×sin∠A=√2×√32=√64；（2）由（1）可知，sin∠ABD=√64，因为∠ABC=90°，所以cos∠CBD=cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD=√64，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcos∠CBD，因为CD=2，BD=√6，所以4=BC2+6−2BC×√6×√64，即BC2−3BC+2=0，解得BC=1或BC=2，又CD>BC，则BC=1.25．【北京市西城区第八中学2019-2020学年高三上学期期中】ΔABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=13．(1)求sin2B+C2+cos2A的值；(2)若a=√3，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）−19；（2）3√24【解析】 (1)sin 2B +C 2+cos 2A =sin 2π−A 2+2cos 2A −1=cos 2A +2cos 2A −1=1+cos A +2cos 2A −1=1+132+2×19−1=−19；(2)由cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bc cos A =b 2+c 2−23bc ≥2bc −23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b =c =32，取得等号．则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b =c =32时，△ABC 的面积取得最大值3√24．26．【2020届北京市大兴区高三第一次模拟】在ΔABC 中，c =1，A =2π3，且ΔABC 的面积为√32．（1）求a 的值；（2）若D 为BC 上一点，且，求sin∠ADB 的值．从①AD =1，②∠CAD =π6这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【答案】（1）a =√7；（2）选①，sin∠ADB =√217；选②，sin∠ADB =2√77．【解析】（1）由于c =1，A =2π3，S ΔABC =12bcsinA ，所以b =2，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得a =√7．（2）①当AD =1时，在ΔABC 中，由正弦定理b sinB =BC sin∠BAC ，即2sinB =√7√32，所以sinB =√217．因为AD =AB =1，所以∠ADB =∠B ．所以sin∠ADB =sinB ，即sin∠ADB =√217．②当∠CAD =30°时，在ΔABC 中，由余弦定理知，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =2√7×1=2√77．因为A =120°，所以∠DAB =90°，所以∠B +∠ADB =π2，所以sin∠ADB =cosB ，即sin∠ADB =2√77．27．【2020届北京市房山区高三第一次模拟】在△ABC 中，a =√2，c =√10，________.（补充条件） （1）求△ABC 的面积；（2）求sin （A +B ）.从①b ＝4，②cosB =−√55，③sinA =√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC 中，因为a =√2，c =√10，b ＝4，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =√2)22√10)22×2×4=√22，因为C ∈（0，π），所以sinC =√1−cos 2C =√22，所以S =12absinC =12×√2×4×√22=2.（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以sin(A +B)=sinC =√22.选择②（1）因为cosB =−√55，B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√55，因为a =√2，c =√10，所以S =12acsinB =12×√2×√10×2√55=2.（2）因为a =√2，c =√10，cosB =−√55，。

2023北京高中合格考数学（第一次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则UA =（ ）A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ）A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =−的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1−，则角α可以是（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π 5．已知三棱柱111ABC A B C −的体积为12，则三棱锥111A A B C −的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sin α−=（ ）A ．12−B ．12C ．2−D ．27．lg100=（ ）A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ）A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =−B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =−，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x −D ．21log x −+13．四棱锥P ABCD −如图所示，则直线PC （ ）A ．与直线AD 平行B ．与直线AD 相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线 14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b −=（ ）A ．2BC．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[,0−∞C ．[)1,+∞D ．[),1−∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪−>⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：a bc 甲 8585 90 乙 90 85 80 丙 85 80 85 丁858090则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。

2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数一．选择题（共17小题）1．（2021•北京学业考试）函数2()log f x x =的定义域是( ) A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞2．（2021•北京学业考试）已知函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，若(1)3f -=，则不等式()5f x 的解集为( )A ．[2-，1]B ．[3-，3]C ．[2-，2]D ．[2-，3]3．（2021•北京学业考试）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，则(1)(f -= )A ．2-B ．2C ．3-D ．34．（2019•北京学业考试）函数()(1)f x lg x =-的定义域为( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞5．（2019•北京学业考试）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=-，那么f （1）的值为( ) A ．0B ．12C ．1D ．26．（2019•北京学业考试）给出下列四个函数： ①2y x =； ②3y x =； ③|1|y x =+； ④x y e =．其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④7．（2018•北京学业考试）在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年．五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1.9%，保持较低水平． 2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中 “2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如图：说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2017年12月与2016年12月相比较；同比增长率=（本期数一同期数）÷同期数100%⨯．环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率=（本期数一上期数）÷上期数100%⨯．根据上述信息，下列结论中错误的是( )A ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B ．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌D ．从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大 8．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y ③2log y x =； ④3x y =． 其中在区间(0,)+∞上是减函数的为( ) A ．①B ．②C ．③D ．④9．（2018•北京学业考试）给出下列四个函数①1y x=；②||y x =； ③y lgx =； ④31y x =+，其中奇函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④10．（2017•北京学业考试）给出下列四个函数： ①1y x =-；②2y x =；③y lnx =；④3y x =． 其中偶函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④11．（2017•北京学业考试）已知定义在R 上的函数()f x 是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式()3f x <的解集为( )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-12．（2021•北京学业考试）下列函数中是偶函数，且在(,0)-∞上单调递增的是( ) A ．23()f x x = B ．||()2x f x = C ．21()log |1|f x x =+ D ．1()||||f x x x =- 13．（2018•北京学业考试）在函数①1y x -=；②2x y =；③2log y x =；④tan y x =中，图象经过点(1,1)的函数的序号是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④14．（2018•北京学业考试）已知函数2()1xf x x =+，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(,)-∞+∞； ②()f x 的值域是11[,]22-；③()f x 是奇函数；④()f x 是区间(0,2)上的增函数． 其中推断正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．415．（2018•北京学业考试）为应对我国人口老龄化问题，某研究院设计了延迟退休方案，第一步：2017年女干部和女工人退休年龄统一规定为55岁；第二步：从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁，至2045年时，退休年龄统一规定为65岁，小明的母亲是出生于1964年的女干部，据此方案，她退休的年份是( ) A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．（2021•北京学业考试）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A ．2y x =B ．y =C ．2x y =D ．1()2x y =17．（2018•北京学业考试）已知函数2()|2|f x x x a a =--+在区间[1-，3]上的最大值是3，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．1[,)2+∞二．填空题（共1小题）18．（2021•北京学业考试）已知函数1()f x x x=+，则()f x 是 函数（填“奇”或“偶” )；()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是 ． 三．解答题（共3小题）19．（2021•北京学业考试）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求(2)f -与f （2）的值； （2）求()f x 的最大值．解：（1）因为20-<，所以(2)f -= ． 因为20>，所以f （2）= ． （2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为 ． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为 ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ” )．20．（2021•北京学业考试）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=． （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，求实数t 的取值范围．21．（2018•北京学业考试）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为()x xf x ae be -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828)e =⋯． （1）当1a =，()f x 为偶函数时，b = ；（2）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的a ，b 值； （3）如果()f x 的最小值为2，求a b +的最小值．2017-2021北京高中数学合格性考试汇编：函数参考答案一．选择题（共17小题）1．【分析】利用对数函数的性质可得答案． 【解答】解：2()log f x x =，0x ∴>，∴函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞，故选：B ．【点评】本题考查函数的定义与及其求法，属于基础题．2．【分析】由1(1)13f a --=+=，解得12a =，从而21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，由此能求出不等式()5f x 的解集．【解答】解：函数21,0()1,0x x x f x a x ->⎧=⎨+⎩，(1)3f -=，1(1)13f a -∴-=+=，解得12a =， ∴21,0()1()1,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨+⎪⎩，()5f x ，∴当0x >时，215x -，解得03x <，当0x 时，1()152x +，20x -．综上，不等式()5f x 的解集为[2-，3]． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得(1)f f -=-（1），运算求得结果． 【解答】解：已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，22()f x x x=+，(1)f f ∴-=-（1）(12)3=-+=-，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．4．【分析】由函数的解析式可得10x ->，解得1x >，从而得到函数的定义域． 【解答】解：由函数()(1)f x lg x =-可得10x ->，解得1x >，故函数()(1)f x lg x =-的定义域为(1,)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域，属于基础题．5．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （1）(1)f =--，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-， 又由(1)2f -=-，则f （1）(1)2f =--=； 故选：D ．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的性质，属于基础题． 6．【分析】判断每个函数的奇偶性即可．【解答】解：2y x =是偶函数，3y x =是奇函数，|1|y x =+和x y e =都是非奇非偶函数． 故选：A ．【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义及判断．7．【分析】根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：由折线图知：从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌，故A 正确；在B 中，从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大，故B 正确； 在C 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌，故C 错误； 在D 中，从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大，故D 正确． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．【分析】根据常见函数的性质分别判断即可．【解答】解：①21y x =-+，在区间(0,)+∞上是减函数，符合题意；②y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ③2log y x =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； ④3x y =，在区间(0,)+∞上是增函数，不合题意； 故选：A ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，本题是一道常规题．9．【分析】运用奇函数的定义，即可得到所求结论． 【解答】解：①1y x=满足()()f x f x -=-，为奇函数；②||y x =满足()()f x f x -=，为偶函数； ③y lgx =为对数函数，为非奇非偶函数； ④31y x =+不满足()()f x f x -=-，不为奇函数． 故选：A ．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题． 10．【分析】根据题意，依次分析所给四个函数是不是偶函数，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析所给的4个函数： 对于①，1y x =-，为一次函数，不是偶函数； 对于②，2y x =，为二次函数，是偶函数， 对于③，y lnx =，为对数函数，不是偶函数， 对于④，3y x =，为幂函数，是奇函数不是偶函数， 则四个函数中只有②是偶函数． 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 11．【分析】结合图象即可求得不等式的解集．【解答】解：由图象可知，(0)3f =，且函数()f x 为减函数， 所以不等式()3f x <，即()(0)f x f <的解集为(0,)+∞． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用函数图象解不等式，属于基础题．12．【分析】选项A 和B 对应的函数在(,0)-∞上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明． 【解答】解：函数23()f x x =在(,0)-∞上单调递减，即A 错误； 函数||()2x f x =在(,0)-∞上单调递减，即B 错误； 函数21()log |1|f x x =+的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞，是非奇非偶函数，即C 错误； 对于选项D ，定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，11()||||()||||f x x x f x x x -=--=-=-，是偶函数， 当0x <时，1()f x x x-=-+，任取120x x <<，则1212121212111()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=-++-=-+， 120x x <<，∴121210,10x x x x -<+>，12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，即D 正确．故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．13．【分析】把点(1,1)代入各个选项检验，可得结论．【解答】解：把点(1,1)代入各个选项检验，可得只有1y x -=的图象经过点(1,1)， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的图象经过定点问题，属于基础题．14．【分析】根据()f x 的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出()f x 的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误． 【解答】解：①函数2()1xf x x =+， ()f x ∴的定义域是(,)-∞+∞，故①正确； ②1()1f x x x=+，0x >时：1()2f x ， 0x <时：1()2f x -， 故()f x 的值域是11[,]22-，故②正确；③()()f x f x -=-，()f x 是奇函数， 故③正确；④由2221()(1)x f x x -'=+，令()0f x '>，解得：11x -<<， 令()0f x '<，解得：1x >或1x <-， ()f x ∴在区间(0,2)上先增后减，故④错误； 故选：C ．【点评】本题考查了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题．15．【分析】按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，再据此方案，能求出她退休的年份． 【解答】解：小明的母亲是出生于1964年的女干部，∴按原来的退休政策，她应该于：1964552019+=年退休，从2018年开始，女性退休年龄每3年延迟1岁， ∴据此方案，她退休的年份是2020年．故选：B ．【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16．【分析】利用基本初等函数单调性的性质对四个选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，y =在区间(0,)+∞上单调递增，故B 错误； 对于C ，2x y =在区间(0,)+∞上单调递增，故C 错误； 对于D ，1()2x y =在区间(0,)+∞上单调递减，故D 正确，故选：D ．【点评】本题考查基本初等函数单调性的性质与判断，属于基础题．17．【分析】先求出22x x -的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a 的范围． 【解答】解：22()|2||(1)1|f x x x a a x a a =--+=---+， 其对称轴为1x =，(1)f f -=（3）|3|a a =-+， 当0a >时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意，当0a 时，f （1）|1|123a a a =++=+，解得1a ， 此时|3|33a a a a -+=-+=，满足题意， 综上所述a 的取值范围为(-∞，1] 故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的性质，以及分段函数，考查了函数的最值问题，属于中档题 二．填空题（共1小题）18．【分析】由函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性，由对勾函数的单调性即可求解()f x 在区间(0,)+∞上的最小值．【解答】解：1()f x x x =+的定义域为{|0}x x ≠，且1()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数， 1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()f x 在区间(0,)+∞上的最小值是f （1）2=．故答案为：奇；2．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．三．解答题（共3小题）19．【分析】依据题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得出答案．【解答】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩， （1）因为20-<，所以(2)231f -=-+=，因为20>，所以f （2）22220=-+⨯=．（2）因为0x 时，有()33f x x =+，而且(0)3f =，所以()f x 在(-∞，0]上的最大值为3，又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+，而且f （1）1=，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为1，综上，()f x 的最大值为3．故答案为：（1）①A ②B ．（2）③A ④A ⑤B ．【点评】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20．【分析】（1）由()log a f x x =，且f （3）1=，可得3a =及函数()f x 的定义域；（2）依题意，(4)(2)x x f t f t ⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，可转化为[1x ∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -，又122x x y =-为增函数，[1x ∈，2]时，14[15y ∈，2]3，从而可得实数t 的取值范围．【解答】解：（1）()log (0,1)a f x x a a =>≠，且f （3）1=，log 31a ∴=，3a =，函数()f x 的定义域为(0,)+∞；（2）由（1）知，3()log f x x =，为定义域上的增函数，(4)(2)x x f t f t ∴⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立42x x t t ⇔⋅-对任意[1x ∈，2]恒成立，即(41)2x x t -对任意[1x ∈，2]恒成立．0410x x >⇒->，[1x ∴∀∈，2]，2114122x x x x t =--恒成立，即1()122max x x t -， 又122x x y =-为增函数，[1x ∴∈，2]时，3[2y ∈，15]4，14[15y ∈，2]3， 23t ∴，即实数t 的取值范围为2[3，)+∞． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的单调性的判定与应用，突出考查等价转换思想与运算能力，属于中档题．21．【分析】（1）当1a =时，结合函数是偶函数，利用偶函数的定义进行求解即可．（2）根据指数函数的单调性进行求解即可．（3）利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：（1）当1a =时，()x x f x e be -=+，()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，即x x x x e be e be --+=+，则1b =．（2）当1a =时，1b =-时，()x x f x e e -=-，为增函数．（3）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()222x x x x fx ae be ae be --=+==， 1=，即1ab =，则22a b ab +=，即a b +的最小值为2．故答案为：1【点评】本题主要考查函数奇偶性和最值的应用，结合指数函数的性质是解决本题的关键．。