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2.4用公式法进行因式分解第一课时课件

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《公式法》因式分解PPT(第1课时)

《公式法》因式分解PPT(第1课时)

B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的

初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件

初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两

2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2.4 用因式分解法求解一元二次方程第一课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活 选择方程的解法，体会解决问题的多样性
复习回顾
1.将下列各式因式分解
2.一物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过X秒 物体离地的高度为10x-4.9x²，物体经过多少秒落回地面 呢？
解：设物体经过x秒后落回地面
依题意，得 10x-4.9x²=0
①
思考：除配方法和公式法外找其他的方法解方程①
次方程的方法叫
。
例1 解下列一元二次方程
（1）5X2=4X
解：原方程可变形为 5X2-4X=0 X(5X-4)=0
X=0或5X-4=0
X1=0, X2=
（2）X-2=X(X-2)
解：原方程可变形为 （X-2）-X(X-2)=0 (X-2)(1-X)=0 X-2=0或1-X=0 X1=2, X2=1.
2.一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数 解：设这个数为x
依题意，得2x²=7x
解得x=0或x=3.5
归纳
课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路
转化 一元二次方程
一次方程 即降次
2.应用因式分解法解某些一元二次方程时比较简单
课后作业
习题2.7 第1～3题
课间休息时间
请做做眼保健操，记得保护眼睛哦。
小华：对于x(x-2)=x-2,两边都除以x-2,得x=1 小丽：由x(x-2)=x-2，得(x-2)(x-1)=0,得x1=2 x2=1
小华是错误的，x-2可以为0，方程两边除以x-2，会 造成丢根
随堂练习
1.解下列一元二次方程
(1)2x²+3x=0
(2)2(y-3)=3y(y-3)
（3）x²-4=0
想一想
10x-4.9x²=0

新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)

新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7

数学课件-2.4 用因式分解法求解一元二次方程

数学课件-2.4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程
知识点1 由ab=0直接求解 1.( 原创 )方程( x-2 )( x+5 )=0的解是( D ) A.x=2 B.x=-5 C.x1=-2,x2=5 D.x1=2,x2=-5
2.( 原创 )解方程:( 3x-1 )( 5x+8 )=0.
解:由题意,得 3x-1=0 或 5x+8=0, ∴x1=13,x2=-85.
解:( 2 )∵x2-3x-4=0, ∴( x+1 )( x-4 )=0, 则x+1=0或x-4=0, 解得x1=-1,x2=4.
• 不习惯读书进修则退2022年4月25日星期一上午11时49分14秒11:49:1422.4.25 • 读书，永远不恨其晚。晚比永远不读强。2022年4月上午11时49分22.4.2511:49April 25, 2022
( 2 )( x-3 )( x-1 )=3. x1=0,x2=4
知识点3 用公式法分解因式解一元二次方程 6.用因式分解法解下列方程: ( 1 )x2+6x=-9; x1=x2=-3
( 2 )( 2y-3 )2-( 3y-2 )2=0.
y1=1,y2=-1
知识点4 灵活运用四种方法解一元二次方程 7.( 原创 )我们学习了一元二次方程的解法有:①直接开平方法;②配方法;③因式分解法;④ 求根公式法.认真观察下列几个方程,选出较为合适的方法.( 填序号 ) ( 1 )x2+8x=3,应选用 ② 较为合适; ( 2 )3( x-2 )( x+1 )=( x-2 )( x+3 ),应选用 ③ 较为合适; ( 3 )3x2-x-1=0,应选用 ④ 较为合适.
x1=3,x2=9

《公式法因式分解》课件

《公式法因式分解》课件

因式分解的基本思想？
因式分解的基本思想是将多 项式中的公因式提出来，然 后对剩余部分进行因式分解。
公式法因式分解
1
什么是公式法因式分解？
公式法因式分解是指通过特定的公式，将多项式分解成几个单项式的积。
2
列举公式法因式分解的几个公及其应用
例如： ①平方差公式分解：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ②三项完全平方公式分解：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ ③一次多项式因式公式分解：$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
总结与思考
总结公式法因式分解方法 的优缺点
总结公式法因式分解方法的优 点和不足之处，引导学生思考 这一方法的适用范围和限制条 件。
思考其他因式分解方法的 应用场景
向学生介绍不同的因式分解方 法，让他们了解不同的思路和 技巧，开拓视野、拓宽思路。
强调学生掌握因式分解方 法的重要性和未来发展前 景
通过对因式分解实际应用的案 例介绍，并引领学生关注相关 前沿科技和产业，激发他们学 习的兴趣和动力。
公式法因式分解PPT课件
这份PPT课件将带你深入了解因式分解中最常用的公式法，并向你展示这一简 单易学却极其实用的技巧。
பைடு நூலகம்
背景介绍
什么是因式分解？
因式分解即将多项式写成几 个单项式的积的形式。
因式分解的意义和应用？
因式分解可以帮助我们更简 洁、准确地表达多项式，同 时在化简代数式、解方程、 求极值、证明等方面具有广 泛的应用。
3
详细步骤介绍
详细介绍公式法因式分解的每一个步骤，包括提取公因式、使用公式、检验结果等。
实例演练

用公式法进行因式分解第一课时课件


因式分解
我们把多项式a² ＋2ab＋b²和
a² －2ab＋b²叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
(1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
a2+2Βιβλιοθήκη b+b2 =(a+b)2. a2−2ab+b2 =(a−b)2.
两数的平方和，加上（或者减去）这两 数的积的2倍，等于这两数和或差的平方. 像 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平式
当堂达标：
1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 是（ D ） A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y D. - X² + y² 2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
考考你
除了平方差公式外，还有哪些公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2 ;
怎样用语言表述
两数和或差的平方，等于这两数的平方和 加上（或者减去）这两数的积的2倍.
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 两个数的平方 和，加上(或减 整式乘法 去)这两数的积 2 a²＋2ab＋ b² = (a＋b) 的2倍，等于这 a²－2ab＋ b² = (a－b)2 两数和(或差)的 平方。
用公式法进行因式分解
教学目标 1.理解运用平方差公式和完全平方公式分 解因式与整式乘法是相反的变形. 2.学会运用平方差公式和完全平方公式分 解因式，并且分解到底. 3.培养观察分析问题的能力. 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 法.

用因式分解法解一元二次方程PPT课件(北师大版)


二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
视察下列各式,也许你能发现些什么
开启 智慧
二次三项式 ax2+bx+c
的因式分解 一般地,要在实数范围 内分解二次三项式
ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
动脑筋
争先赛
• 1.解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1.
解 :1.x 2 0,或x - 4 0.
x1 2; x2 4.
2.4x2x1 32x1 0,
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般情势的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
• (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
• 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显 示了“二次”转化为“一次”的过程.
明确
1、用因式分解法解一元二次方程时，等
. 号的一边必须是0
2、另一边可分解成两个因式乘积的情
势.

2.4因式分解法解一元二次方程课件

1 2 x1 , x2 . 2 3
11 11 x1 , x2 . 2 2 2 (6)(x 4) (5 2x)2
x1 3, x2 1.
用适当的方法解下列方程
5.5( x x) 3( x x);
2 2
6.(x 2) 2x 3 ;
2 2
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式 法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了. 即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
1.x 2 7; 2.3 y 2 y 14. 解 : 1. 一元二次方程 解 : 2. 一元二次方程
解：去分母，得 2( x 2 3) 3x(3 2 x) 2 x(3x 1),
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
想一想
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r 10r 25 0
r 10 2 200 .
负值舍去 , r 5 5 2.
动脑筋
x 2 3 x(3 2 x) x(3x 1) 解方程 3 2 3
x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.

2.4用因式分解法求解一元二次方程

1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应 选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般 式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分 解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法 也较简单.
a·b=0 a=0或b=0
注意
“二者中至少有一个为0”的意思，包括二者同
时为0；二者不能同时为0。
a·b=0
a=0或b=0
a=0，b≠0 a≠0，b=0
a=b=0
知识点 2 因式分解法的概念
因式分解法的概念： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式 的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的 方法称为因式分解法．
解题技巧
解一元二次方程方法的选择顺序： 先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分 解法，不能用这两种方法时，再用公式法，但对 于系数较大时，一般不适宜用公式法；没有特殊 要求的，一般不用配方法．其中配方法和公式法 适合于所有一元二次方程
解题技巧
解一元二次方程方法的口诀 ①方程没有一次项，直接开方最理想； ②如果缺少常数项，因式分解没商量； ③ b，c相等都为0 ，等根是0不要忘； ④ b，c同时不为0，因式分解或配方，
如果ab=0,那么
.
导入新课
分解因式:ma+mb+mc= m（a+b+c）. 提公因式法
分解因式: x2-y2 = ( x+y )(x－y) 套公式法（平方差公式）
x2+2xy+y2=( x+y )(x+y ) 套公式法
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自主学习与合作交流一：
对照平方差公式将下面的多项式分解因式； 对照平方差公式将下面的多项式分解因式；由此你能归纳出用 平方差公式分解因式的步骤吗？ 平方差公式分解因式的步骤吗？
1)
4x² - 25
2)
1 16a² - b² 9
4x² - 25= (2x)² - 5² =( 2x + 5) ( 2x-5) a² - b² = ( a + b) ( a - b )
课堂小结：
1.能用平方差公式分解因式的多项式，其 每一项都必须能写成平方差的形式。 2.因式分解的一般步骤是： （1）若多项式中有公因式，应先提 取公因式； （2）然后再考虑能否用乘法公式进 一步分解因式。 （3）分解因式要彻底，必须分解到 每个多项式的所有因式都不能再分解为 止。
当堂达标： 当堂达标： 1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 选择题： 选择题 是（ D ） A. 4X²+y² D. - X²+ y² 2. 把下列各式分解因式： 把下列各式分解因式： 1）18-2b² ） 2) x4 –1 B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)

巩固练习二 选择题： 一、选择题： 1）-4a² +1分解因式的结果正确的是 ( ) ） 分解因式的结果正确的是 A.-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) C.-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2）把16－x4分解因式，其结果是（ ） － 分解因式，其结果是（ ） A、(2－x)4 B、(4＋x2)( 4－x2) 、 － 、 ＋ － C、(4＋x2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x) 、 ＋ ＋ － 、 ＋ － 填空题： 二、填空题： 3）x2－(_______)2=(x＋5y)( x－5y) ＋ － ） 4）a2－4(ab)2=(__________)·(__________) ） 三、分解因式 5）X-Xy2 6） 2a3-50ab2 7）25a2-4(b+c)2 ） ） ）
课前准备 教学目标 自主探究 合作交流 巩固练习 当堂达标 课堂小结
教学目标 1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘 理解运用平方差公式分解因式与整式乘 法是相反的变形. 法是相反的变形 2.学会运用平方差公式分解因式，并且分 学会运用平方差公式分解因式， 学会运用平方差公式分解因式 解到底. 解到底 3.培养观察分析问题的能力 培养观察分析问题的能力. 培养观察分析问题的能力 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 体会“ ”“换元 体会 整体”“换元” 法.
课前准备：运用平方差公式计算： 课前准备：运用平方差公式计算： 1) .（2+a)(a-2) （ 2). (-4s+t)(t+4s) 3) . (m²+2n²)(2n²- m²) 4). (2a +b-c)(2a-b+c ) 看谁做得最快最 正确！ 正确！
§2.4运用平方差公式分解因式 2.4运用平方差公式分解因式
1 1 1 1 16a² - b²=(4a)²-( b)²=(4a+ b)(4a- b) 3 3 3 9
阶段小结（一）
• 运用平方差公式分解因式的关键是要把分 解的多项式看成两个数（或者式）的平方 差，尤其当系数是分数或小数时，要正确 化为两数的平方差.
平方差公式： 平方差公式：
(a+b)(a-b) = a² - b²
整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b)
平方差公式反 过来就是说： 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
因式分解
巩固练习一： 巩固练习一：
1.课本第 页“练习 课本第44页 课本第 1.”
自主学习与合作交流（ 自主学习与合作交流（二）
下面两道题跟前面做的几道题有什 么区别？ 么区别？应该怎样进行因式分解 呢？ 1）-2x4+32x2 ） 2） (a-2b)2— (2a+b)2 ）
阶段总结（二）
• 在因式分解时，若多项式中有公因式，应 应 先提取公因式， 先提取公因式，再考虑运用平方差公式分 解因式；直到分解到不能再分解为止. 解因式；直到分解到不能再分解为止 公式 a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以 是数，也可以是单项式或多项式，要注意 “整体”“换元”思想的运用。