《因式分解--公式法》课件

一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02

（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反 右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)

9
3
3
其中(qízhōng)正确的有
B(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第十八页，共四十一页。
★3.因式(yīnshì)分解:(2a+b)2-(a+2b)2=________3_(a_+_b_)_(a_-_b_). ★4.因式分解: 世纪金榜导学号 (1)(a+b)2-4a2. (2)25(m+n)2-(m-n)2.
决下面的问题,并归纳结论: 1.计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2)=_______x_2.-4 (2)(1+3a)(1-3a)=_________1_-9a2.
第三页，共四十一页。
(3)x2-4= ________(_x_+_2_)_(x_-_2.)
(4)1-9a2= _________(1_+_3_a_)_(_1_-3_a. )
第三十三页，共四十一页。
【火眼金睛(huǒ yǎn jīn 】 jīng)
因式分解:(x-y+1)2-(x+y-3)2
第三十四页，共四十一页。
【正解】原式=(x-y+1+x+y-3)(x-y+1-x-y+3)= (2x-2)(4-2y) =4(x-1)(2-y).
第三十五页，共四十一页。
【一题多变】
已知x-y=3,y-z=3,x+z=14,求x2-z2的值.
第三十六页，共四十一页。
解:因为(yīn wèi)x-z=(x-y)+(y-z)=6,
所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×6=84.
第三十七页，共四十一页。

(4)ax2 2a 2 x a3 ;
(5) 3x2 6xy 3y 2.
初中数学
知识拓展
1.若x,y为任意实数,且m x2 y 2 , n 2xy, 则m,n的 大小关系是___m___n_____；
解: m n (x2 y 2 ) 2xy
(x y)2,
x, y 为任意实数, (x y)2 0.
初中数学
例 分解因式：
(1)16 x2 24 x 9;
分析：
16 x 2 (4x)2，9 32，
24x 2 4x 3，
16x2 24x 9 (4x)2 2 4x 3 32
a2 2ab b2.
所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即
初中数学
例 分解因式：
解:(1)16 x2 24 x 9 （4x）2 24x 32 （4x）2 + 2 4x 3 32
请你根据所学知识将下面的多项式分解因式： (1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
完全平方公式： 有公因式先提公因式，再检查是否可用平方差公式.
4(m+2)(m-2)
例 利用简便方法计算.
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
若x,y为任意实数,且
则m,n的
Hale Waihona Puke 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
[x2 − 2 x 2y (2 y)2 ]
在括号中填入适当的式子，使等式成立：
在括号中填入适当的式子，使等式成立： 例 利用简便方法计算. 有两项是两数的平方和，
（x 2 y）2 ;
问题：因式分解的一般步骤是什么？
初中数学
例 分解因式：

方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.

12.5 因式分解
2. 分解因式--公式法
甘肃清水*王河中学 刘贵*
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1
温故知新
1 一． 因式分解：把一个多项式化为几个整 式的积的形式，叫做多项式的因式分解
二． 如：ma+mb+mc = m（a+b+c）
三．
a2-b2 =（a+b）（a-b）
2 提公因式法：如 ma+mb+mc = m（a+b+c） 公因式：如 上式中m 公因式的特征：1,2,3
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§12.2.1 单项式与单项式相乘
小结注意：
(1) 因式分解的运算过程与多项式的乘法运算过程 刚好是互逆运算，不能混淆，更式法应将负号 一起提取，是括号里的第一项系数为正数；
(3) 分解到每一个多项式不能再继续分解为止
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一．
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§12.5.2 因式分解--公式法
整式乘法公式回顾
1 平方差公式 a2-b2 = (a+b)(a-b) 2 完全平方公式 ( 两数和（差）公式 )
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2 =a2-2ab+b2
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§12.5.2 因式分解--公式法
整式乘法公式回顾
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公因式的特征
（1）公因式中的系数是多项式中各项 系数的最大公约数
（2）公因式中的字母（或因式）是多 项式中各项的相同字母（或因式）
（3）公因式中字母（或因式）的指数 取相同字母（或因式）的最小指数
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温故知新
1 填空（把下列各式分解因式，要求直接写出结果）

归纳：运用公式（完全平方公式 和 平方差 公式）进行因式分 解的方法叫 公式法 .
2.小试牛刀
把下列各式分解因式：
（1）x2 – 4= (x+2)(x-2) （2）x2-2xy+y2 = (x-y)2 （3）1-36n2 = (1+6n)(1-6n) （4）y2-6y+9 = (y-3)2
探究(二) 1.视察以上“小试牛刀”的多项式, 回答
从因式分解的角度用语言叙述为:
如果一个三项式能化为“两个数的平方 和加上(或减去)这两个数的积的2倍”, 那么 它就能分解为“这两个数的和(或差)的平方”.
如果一个二项式能化为“两个数的平方 差”, 那么它就能分解为“这两个数的和与这 两个数的差的积”.
例如 x2 +8x+16= (x+4)2 x2-16= (x+4)(x-4)
（3）4x2- 100=(2x+10)(2x-10) （4）9y2-6y+1 =(3y-1)2 （5）25m2-80m+64 =(5m-8)2 （6）-16+a2b2 =(ab+4)(ab-4)
素养提升 例题2. 把下列各式的分解因式:
（1）(a+b)2-4(a+b)+ 4
（2）x4 – 81 （3）4a2-3b(4a-3b)
2021-280217 =4035
七、作业: P78 习题 第4题
广西靖西市第二中学
电教处录制
202X年4月23日
八、课外拓展 1.如果4x2-12xy+ n是一个 完全平方式, 那么n为 9y2 。
2.如果x2+ mxy+9y2是一个完 全 两道题都是三项式,其中二项有平方且同号, 第三项是底数乘积的2倍, 则能用完全平方公式.

解 -4x2+12xy-9y2 = -(4x2-12xy+9y2) = -[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2] = -(2x-3y)2
例7 把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2 = (a2)2 + 2 ·a2 ·b + b2 = (a2+ 因式分解.
本课节内容 3.3
公式法
动脑筋
如何把 x2-25 因式分解？ 我们学过平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用， 得 a2-b2=(a+b)(a-b) . 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) .
a2-b2= (a+b)(a-b) .
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用， 就可以把某些情势的多项式进行因式分解，这 种因式分解的方法叫做公式法.
结束
(2)m2 1 n2 mn 4
m2 2 • m • 1 n (1 n)2 (m 1 n)2.
22
2
小结与复习
1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与 多项式的乘法有什么关系？ 2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？ 3. 因式分解有哪些方法？写出公式法分解 因式时所用的公式.
本章知识结构
动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2 进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，就可以 把形如这样的多项式进行因式分解. 例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .

－4
－4x－2x=－6x
十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
例2：
步骤：
x2 6x 7 (x 7)(x 1)
x
7
x 1
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式
顺口溜：
x7x 6x
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。
试一试：
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
2.把代数式x2﹣4x+4分解因式，下列结果中正确的是 D
（）
A．（x+2）（x﹣2）
B．（x+2）2
C．（x﹣4）2
D．（x﹣2）2
3.若a=2b﹣2，则a2﹣4ab+4b2的值是 4
．
4.如果多项式x2﹣6x+c可以分解为（x﹣3）2，那么c的值
是9 ． 5.分解因式4x2﹣4x+1=（2x﹣1）．2
（2）完全平方公式的特点 等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或 两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项 是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均 可． 等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差） 的平方，当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是 和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时， 是差的平方． 归纳：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得 到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊情势的多 项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
以进行如上的因式分解。
即：x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
x
a
x
b
x2 ax＋bx=(a＋b)x ab
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，

a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
因式分解的一般步骤： (1)当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当 多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符 合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (2)当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可 根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公 式法的形式，再分解因式； (3)当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解 就结束了.
下角； (2)分解常数项，分别写在十字交 叉线的右上角和右下角； (3)交叉相乘，求代数和，使其等
1p
1q 1×q+1×p=q+p
于一次项系数.
一次项系数
(1)运用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解需要 满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式； ②二次项系数是1，常数项可以分解成两个数的积， 且一次项系数是这两个数的和； (2)当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的 积，符号与一次项的符号相同；当常数项是负数时， 可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的 符号与一次项的符号相同； (3)有时候需要多次尝试才能分解.
1.分解因式：x3+5x2+6x=___________. x(x+2)(x+3)
分析：x3+5x2+6x =x(x2+5x+6) =x(x+2)(x+3).
12
13 1×3+1×2=5
2.分解因式：2x2-6x+4=__________. 2(x-1)(x-2)

练习：课本100页，知识技能1
例2
把下列各式因式分解:
总结
1.分解因式的步骤：
(1)9(m＋ n)2－(m－n)2
(2)2x3－8x
（1）提；（2）套
2.整体思想
解：(1)原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2 (2）原式＝2x(x2-4)
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] ＝2x(x2-22)
(2)原式=-( − + ) =-(a-2b)2 1.提 2.套
(3）原式＝y(y2－4y+4）
= y(y－2)2．
（4）原式= (y2 + x2 )2 -（)
=(y2 + x2 +2xy)(y2 + x2 -2xy) = + 2 ( − )2
先破后立
练习：名校课堂67页-68页
=( 2 +4 2 )(x+2y)(x-2y)
=(x+3)(x-3)
先破后立：
若一个多项式没有公因式，也不能直接运用公式时，
要把多项式化简，然后再考虑用适当的方法分解
练习：课本100页知识技能2（1）（3）（5）
想一想:以前学过两个乘法公式
a b
2
a b
2
a 2ab b
y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2） -16
（3） （ − ) +2(x-5)
解（2）原式= ( 2 )2 −( )
(3)原式= -2x+1+2x-10

典例精析
例1 ：将下列多项式因式分解
9x2 3x 1 4
（3x）2 2 3x 1 ( 1 ) 2 22
（3x 1 ）2 2
4x2 12 xy 9 y2
(4x2 12 xy 9 y2 ) [(2x)2 2 2x 3y (3y)2 ]
(2x 3y)2
a4 2a2b b2
三、运用新知
1、判断：下列各式是不是完全平方式？并说明你的理由.
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
分析： （2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与：
1. x²+4x+4= ( x)²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m)²- 2·(m)·(3 )+( 3 )²=( m - 3)² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=(a + 2b )² 像上面这样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式 的多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法.
1.简便计算（1）992 +198+1 （2）20142 −2014×4026+20132
2. 将 4x2 1 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你 有几种方法？
课后作业： 课本第67页第2题 1、2、6、7。
a2+2ab+b2 观察这两个式子：
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的首项和尾项有什么特征？