1.1从梯子的倾斜程度谈起导学案(第一课时)

第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。

2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。

重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。

難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。

二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。

2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。

3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。

實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。

假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。

《从梯子的倾斜程度谈起》学案九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》1.《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时学案一、学习目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.二、学习重难点：重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.三、教学过程（一）知识要点1.如图，在RtAABC中，如果锐角A确定，那么ZA的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做ZA的正切（tangent）,记作tanA,即tanA= A的对边.A的邻边注意：1.tanA是一个完整的符号，它表示ZA的正切，记号里习惯省去角的符号2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中ZA的对边与邻边的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A” .4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，ZA是锐角的正切.梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡.（二）例题评析练习一:1.在 RtAABC 中，ZC=90° , AC=6. BC=8，则 tanA=2.在ZkABC 中，ZC=90° , BC = 16 cm, AC = 20 cm,贝I] tan A=, tan B=3._________________________________________________________ 在ZABC 中，ZC = 90° , BC= 12 cm, AB = 20 cm,则 tan A= _____________________________ , tanB=4如图，AABC是等腰直角三角形，你能根据图中必额箱，求出tanC吗cm,求底角的正切D C练习二 1.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC： AB=3： 5,则 tan A=, tanB= __________知三角形三边的比是25 ： 24 ： 7,则最小角的正切值为例 3.在 RtAABC 中，ZC=90° , BC=3, tan A=练习三：1.已知 tan A=2 3 .如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD = 4 cm, DE = 6 cm, AB = 8 cm,求 tan A 的值.5,求AC。

第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起第一课时刘小鹏教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法探索法.教具准备PPT演示教学过程1.创设问题情境，引入新课用PPT课件动画演示本章的章头图，提出问题[问题]随着改革开放的深入，建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.你能应用数学知识和适当的途径得到大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).2．自主探究，合作交流用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?[生]梯子AB 比梯子EF 更陡. [师追问]你是如何判断的?[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[生可能回答]我觉得是因为AC ＝ED ，所以只要比较BC 、FD 的长度即可知哪个梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡.[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? [生]先自主探究，再小组交流意见[师提示]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢? [生可能回答]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水平宽度BC 和FD 不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡. [生计算][师]多媒体演示：想一想如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系? (2)和111AC C B 222AC C B 和有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度.下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法.[生]独思，独做[生]小组评议 [生]全班交流 （在上图中，我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.由图还可知：B 2C 2⊥AC 2，B 1C 1⊥AC 1，得 B 2C 2//B 1C 1，Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. 相似三角形的对应边成比例，得2221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即.如果改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)，222111AC C B AC C B =总成立.）（∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关.也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定.）3．得出结论。

《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时——教案设计武进区寨桥初级中学王小松一、教学目标1、经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的意义。

2、能运用tanA表示直角三角形的两边比，并进行简单的计算及运用。

3、经历将实际问题转化成数学问题过程，培养学生自主探究的能力及数形结合的思想。

二、重点难点1、理解tanA的意义。

2、能运用tanA进行简单计算及解决一些实际问题。

三、教具准备例题投影片、实物展示台、数码投影仪四、教学过程Ⅰ课堂导入师：大家听到这样一个消息没有，常州红梅公园对外免费开放了。

红梅公园中现在有两座高塔，其中一座叫做文笔塔。

同学们，有谁能利用所学的知识来求得文笔塔的实际高度吗生：（可能会用相似的方法）我明白这位同学的意思，也就是用相似的方法来求塔高。

师：但利用影子的方法来求塔高的要求很高，比如高塔旁不能有建筑物和树，而实际上文笔塔旁既有建筑，也有树。

师：70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗生：。

师：这大厦名叫金茂大厦，它的高度要比文笔塔高得多。

大家能应用所学得的知识求出金茂大厦的实际高度吗生：。

师：通过本章的学习，相信大家一定能够解决以上这些问题。

今天这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起，继续来研究直角三角形的相关知识。

(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)。

Ⅱ讲授新课师：梯子是我们日常生活中常见的物体。

我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，他们是如何判断的呢“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度的。

现在我们也一起来研究一下梯子的倾斜程度。

请同学们拿出课前发给大家的材料。

师:在图中，梯子AB和EF哪个更陡你是怎样判断的你有几种判断方法（请同学们在讨论时，结合图中所反映的信息来寻找判断梯子陡的方法）（1）（2）（3）（4）(学生讨论5分钟)师：经过刚才的讨论，大家一定得出了判断哪个梯子陡的方法了。

第一章 解直角三角形课题：1、1从梯子的倾斜程度谈起——第一课时一、教学目标：1、通过具体问题情境,抽象出锐角的正切的概念，并让学生进一步体会用直角三角形两直角边的比值来刻画梯子的倾斜程度即倾斜角的大小。

2、使学生理解从特殊到一般是认识事物的基本方法。

重点：通过丰富的实例，抽象出锐角的正切的概念。

难点：使学生理解：在直角三角形中，当锐角A 固定时，它的对边与邻边的比值也是一个固定值。

二、教学和活动过程：（一） 教学准备：制做相应的课件 （二） 教学过程： 第一环节：引入新课：课件播放1分钟的录象，说明梯子是我们日常生活中常见的物体 第二环节：新课讲解课件展示梯子实物，提问下列问题：实例1：（1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？ 你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 实例2：（2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？2.5m2m 5m5mFEDCBA1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA你是怎样判断的？学生四人小组讨论 设计意图：1、课件展示梯子实物，教师应引导学生分析后，抓出关键的直角三角形。

2、实例1学生还可能有的思路： 1）测量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然后比较∠EMD 与∠F 的大小。

3、实例2学生也会有许多自己的想法，教师应给学生充分的发挥空间，让他们各抒己见，从而使课堂气氛达到第一次高潮。

实例3： 想一想：如图(见课本)：如果现在有一个梯子搭在城墙上， 我们手头只有皮尺与计算器，请同学们思考我们可以通过测量哪些数据来刻画梯子的倾斜程度呢？ 学生答：过B 1点沿着墙面向地面引垂线B 1C 1，连接AC 1，测量B 1C 1与AC 1的长度，计算B 1C 1与AC 1的比值，来刻画梯子的倾斜程度。

假设我们的皮尺比较短，或不想爬到城墙上，还可以测量哪些数据来刻画梯子的倾斜程度呢？为什么？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什么关系? (2)111AC C B 和222AC C B 有什么关系?C 2B 2C 1B 1A(3) 如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什么结论? 设计意图：原来教材上的问题是：小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出他们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量B 2C 2及AC 2,算出他们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? 教师做了适当的改编，以实际测量的问题的形式给出，增强趣味性。

上街实验初级中学导学案
总第1 课时课题1.1从梯子的倾斜程度谈起（1）班级：姓名：编制教师：
1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）
A 、扩大2倍
B 、缩小2倍
C 、扩大4倍
D 、没有变化
2．在Rt △ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4
3
3.在Rt △ABC 中，∠C=90º，tanA ·tanB 的值（ ）
A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定
4.如图所示:在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相邻两树间的坡面距离是( )米.
5.已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且坡度为3：4，现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
6．如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DBC=45º，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交AB 、AC 于F 、E ，若AD=2，BC=8，求：（1）BE 的长
（2）∠CDE 的正切值
B。

10图2C 图1第一章 直角三角形的三边关系1.1从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比．问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？问题1：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？(2)111AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？结论：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ．注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．2．tan A 表示一个比值，没有单位。

3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”．4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切．练习：1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB如图 (2), tanB ＝10:7如图 (2), tan A ＝AC:BC2.填空:1.tan =AC:BCtan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB.tan ∠ACD= , tanB=3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值．思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？。

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一）学习目标1、理解锐角三角函数（正切）的意义，并能够举例说明2、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比，并会进行简单的计算 学习重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 学习过程一、自主学习 学习指导：按书中内容，完成添空。

1、梯子的倾斜程度梯子是我们是日常生活中常见的物体。

（1）在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？（2）在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 归纳小结：如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值 ，则梯子越陡； 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值 ，则梯子越陡； 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值 ，则梯子越陡； 2、想一想如图1-3,小明想通过测量11C B 及1AC ，算出它们的比，来说明 梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量22C B 及2AC ，算出它们 的比，也能说明梯子的倾斜程度，你同意小亮的看法吗？ （1）直角三角形11C AB 和直角三角形22C AB 有什么关系？ (2)111AC C B 和222AC CB 有什么关系？ （3）如果改变2B 在梯子上的位置呢？比值 。

由此我们得出结论：当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也 。

二、小组合作通过对前面的问题的讨论，我们知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。

当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。

这一比值只与倾斜角的 有关，而与直角三角形的大小 。

正切函数（1）明确各边的名称 （2）的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）A tan 表示的是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

（4）通常用倾斜角的正切值来表示一个物体的倾斜程度，也经常用坡角的正切来描ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边2述山坡的坡度（山坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，也称坡比）．tanA 的值越大，梯子越陡 ☆巩固练习一 1、如图1，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；2、如图2，在△ACB 中，tanA = 。