志鸿同步测控设计2019-2019学年北师大版数学选修2-2 第

综合检测时间：90分钟 满分：100分 第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点(1，－32)处的切线的倾斜角为( )A ．－1B ．45°C ．－45°D ．135°解析：∵y ′＝x －2，∴k ＝1－2＝－1，故倾斜角为135°. 答案：D2．若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：∵z ＝1＋2i i ＝(1＋2i )i－1＝2－i ，∴z ＝2＋i.答案：D3．已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ≥1)，则这个数列的通项公式是( )A ．nB.1nC ．n ＋1D.1n ＋1解析：由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n(n ≥1)得a 2＝a 11＋a 1＝12，a 3＝a 21＋a 2＝13， a 4＝a 31＋a 3＝14，则归纳出a n ＝1n. 答案：B4．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ， 该复数对应的点的坐标是(2，－1)． 答案：D5.如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43 C. 3D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1)d x －⎠⎛021d x＝(－13x 3＋x 2＋x )|20－x |20＝43.答案：B6．若m ，n 是正整数，则m ＋n >mn 成立的充要条件是( ) A ．m ，n 都等于1 B ．m ，n 都不等于2 C ．m ，n 都大于1D ．m ，n 至少有一个等于1解析：因为m 、n ∈N ＋，所以m ＋n >mn 成立时，只有m 、n 都为1或m ，n 中一个为1，综合以上两种情况，答案选D. 答案：D7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.因为f (x )在x ＝－3时取得极值，则f ′(－3)＝30－6a ＝0，得a ＝5.答案：D8．已知f (z －1)＝z 2＋1＋2i z，则f (i 7)等于( )A ．1－i B.12－12i C ．－12－12iD ．－12＋12i解析：令i 7＝－i ＝z －1，∴z ＝1－i.∴z 2＋1＋2i z ＝(1－i)2＋1＋2i 1－i ＝－1－i 2＝－12－12i.答案：C9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)2，n ∈N ＋，记f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，通过计算f (1)，f (2)，f (3)，f (4)的值，由此猜想f (n )等于( ) A.n ＋22(n ＋1)B.n ＋24nC.2n －1(n ＋1)2D.n ＋1n (n ＋1)解析：∵a 1＝14，a 2＝19，a 3＝116，a 4＝125，∴f (1)＝1－14＝34；f (2)＝(1－14)(1－19)＝23＝46； f (3)＝23×1516＝58； f (4)＝58×2425＝35＝610. ∴可猜想：f (n )＝n ＋22(n ＋1).答案：A10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，则f (a )的最大值是( )A.23 B.29 C.43D.49解析：f (a )＝(2a 3x 3－12a 2x 2)|10＝2a 3－a 22＝－12a 2＋2a 3＝－12(a 2－4a 3)＝－12[(a －23)2－49]＝－12(a －39答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z －＝________. 解析：设z ＝－5＋b i(b ∈R 且b >0)， 则|z |＝ 5＋b 2＝3，解得b ＝2， ∴z ＝－5＋2i.∴z －＝－5－2i. 答案：－5－2i12.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0,1]对应的线段，对折后(坐标1所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后，原来的坐标14、34变成12，原坐标12变成1，等等)，那么原闭区间[0,1]上(除两个端点外)的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是________．解析：第一次操作完成后原坐标14、34的点变成12，原坐标12变成1，在第二次操作完成后，原坐标14、34变成1，所以与1重合的点所对应的坐标为14、34. 答案：14、3413．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－2x ×4x (x 2＋1)2＝4x 2－8x 2＋4(x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2，由f ′(x )>0，所以x 2<1，所以－1<x <1.因而⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，所以－1<m ≤0.答案：－1<m ≤014．由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________．解析：S ＝⎠⎛1312x 2d x ＝16x 3|31＝133.3三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)设复数z ＝1－i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解析：将z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i ， 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.16．(10分)已知a ＋b ＋c >0，abc >0，ab ＋bc ＋ca >0，求证：a ，b ，c 都大于0. 证明：假设a >0不成立，则a ≤0，分两种情况证明． 当a <0时，∵abc >0，∴bc <0.又a ＋b ＋c >0，∴b ＋c >－a >0，∴a (b ＋c )<0， 从而ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与已知矛盾． 当a ＝0时，abc ＝0，与abc >0矛盾． 由以上分析可知假设不成立，因此a >0. 同理可得，b >0，c >0. 故a ，b ，c 都大于0.17．(12分)在数列{a n }中，a 1＝13，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n －1倍(n ∈N ＋)．(1)写出此数列的前5项；(2)归纳猜想{a n }的通项公式，并加以证明． 解析：(1)由已知a 1＝13，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn＝(2n －1)a n ，分别取n ＝2,3,4,5，得a 2＝15a 1＝13×5＝115， a 3＝114(a 1＋a 2)＝15×7＝135， a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝17×9＝163，a 5＝144(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝19×11＝199， 所以数列的前5项是a 1＝13，a 2＝115，a 3＝135，a 4＝163，a 5＝199.(2)由(1)中的分析可以猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，猜想显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1).那么由已知，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＋a k ＋1k ＋1＝(2k ＋1)a k ＋1，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝(2k 2＋3k )a k ＋1， 所以(2k 2－k )a k ＝(2k 2＋3k )a k ＋1， 即(2k －1)a k ＝(2k ＋3)a k ＋1. 又由归纳假设，得(2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝(2k ＋3)a k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)，即当n ＝k ＋1时，公式也成立．由①和②知，对一切n ∈N ＋，都有a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)成立．18．(12分)已知点M 为曲线y ＝13x 6上一点，直线l 满足：(1)过点M ；(2)与点M 处的曲线的切线垂直；(3)在y 轴上的截距最小．试求点M 的坐标． 解析：设M (t ，u )，则u ＝13t 6，∵y ′＝2x 5，∴y ′|x ＝t ＝2t 5，依题意，得直线l 的斜率k ＝－12t 5(t ≠0)，∴直线l 的方程为y －u ＝－12t5(x －t )． 令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距b ＝f (t )＝u ＋12t 4＝13t 6＋12t4(t ≠0)，∴f ′(t )＝2t 5－2t 5＝2(t 10－1t5)．令f ′(t )＝0，得t ＝±1，当t 变化时，f ′(t )及f (t )的变化情况如下表：∴当t ＝±1时，f (t )有极小值，又∵f (1)＝f (－1)＝6，∴当t ＝±1时，b 有最小值56，此时u ＝13，∴M 点的坐标为(±1，13)．BSD。

第四章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由三条直线x=1,x=3,y=2x+5和一条曲线y=x 2所围成的图形的面积可表示为( ) A.∫ 31(2x+5+x 2)d x B.∫ 31(2x+5-x 2)d x C.∫ 31(x 2-2x-5)d x D.∫ 31(x 2-2x+5)d x 答案:B2.定积分∫ 10(2x+e x )d x 的值为( )A.e +2B.e +1C.eD.e -1解析:因为(x 2+e x )'=2x+e x ,所以∫ 10(2x+e x )d x=(x 2+e x )|01=(1+e 1)-(0+e 0)=e . 答案:C3.已知f (x )={x 2,-1≤x ≤0,1,0<x ≤1,则∫ 1-1f (x )d x 的值为( )A.32 B.43C.23D.-23答案:B4.已知一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v (t )=27-0.9t (速度的单位:m/s),则列车刹车后前进多少米才能停车( ) A .405 mB .540 mC .810 mD .945 m解析:令v (t )=27-0.9t=0,则t=30,所以列车刹车30 s 后可停车,列车由开始刹车到停车所走过的路程为s=∫ 300v (t )d t=∫ 300(27-0.9t )d t=(27t-0.45t 2)|030=405(m). 答案:A5.已知某物体从A 处向B 处运动的速度为1.4t m/s(t 为运动的时间),到B 处时的速度为35 m/s,则A ,B 间的距离为( ) A .120 m B .437.5 m C .360 m D .480 m解析:因为从A 处到B 处所用的时间为25 s,所以|AB|=∫ 2501.4t d t=0.7t 2|025=437.5(m). 答案:B6.∫ 4-2e |x|d x 的值等于( ) A.e 4-e -2 B.e 4+e 2 C.e 4+e 2-2D.e 4+e -2-2解析:∫ 4-2e |x|d x=∫ 0-2e -x d x+∫ 40e x d x=-e -x |-20+e x |04=-(1-e 2)+(e 4-1)=e 4+e 2-2.答案:C7.设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成封闭图形的面积为a 2,则a=( ) A.49B.29C.23D.解析:由已知得S=∫ a0√x d x=23x 32|0a =23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a=49. 答案:A8.已知f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x ,则f (a )的最小值是( )A.-1B.1C.14D.-14解析:f (a )=∫ 10(3a 2x 2-2ax )d x=(a 2x 3-ax 2)|01 =a 2-a=(a -12)2−14.当a=12时,f (a )取得最小值-14. 答案:D 9.如图所示的阴影部分的面积为 ( )A.2√3B.9-2√3C.323 D.353解析:阴影部分的面积S=∫ 1-3(3-x 2-2x )d x=(3x -13x 3-x 2)|-31=323.答案:C10.由曲线y=x 2-2x 与直线x=1,x=3及x 轴所围成的图形的面积为( ) A.2B.83C.43D.23解析:∫ 31|x 2-2x|d x=∫ 21[-(x 2-2x )]d x+∫ 32(x 2-2x )d x=(-13x 3+x 2)|12+(13x 3-x 2)|23=23+43=2. 答案:A11.已知某物体在变力F (x )=5-x 2(力的单位:N,位移的单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向做直线运动,则由x=1运动到x=2时,F (x )做的功为( ) A .√3 J B .2√33 JC .4√33 JD .2√3 J由于F (x )与位移方向成30°角,如图.F 在位移方向上的分力F'=F ·cos 30°,所以W=∫ 21(5-x 2)·cos 30°d x=√32∫ 21(5-x 2)d x=√32(5x -13x 3)|12=√32×83=4√33(J).答案:C12.将由曲线y=1x-2,x=14,x=2,y=0围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) A .(21-6ln 2)π B .(212-12ln2)π C .(212-6ln2)πD .(21-12ln 2)π解析:所围成的平面图形如图中阴影部分所示.所以所求体积为V=π∫ 1214(1x -2)2d x+π∫ 212(1x -2)2d x=π∫ 214(1x -2)2d x=π∫ 214(1x 2-4x +4)d x =π(-1x -4ln |x |+4x)|142=π[-12-4ln2+8-(-4-4ln 14+1)] =(212-12ln2)π. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某动点P 从原点出发,沿x 轴运动,其速度v (t )=2-t (速度的正方向与x 轴的正方向一致),则当t=3时,动点P 移动的路程为 .解析:∵由v (t )=2-t ≥0,得0≤t ≤2,∴当t=3时,点P 移动的路程为s=∫ 20(2-t )d t-∫32(2-t )d t=(2t -12t 2)|02−(2t -12t 2)|23=52. 答案:5214.把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上的坐标原点处,形成一个电场,已知在该电场中,距离坐标原点为r 处的单位电荷受到的电场力由公式F=k ·qr 2(其中k 为常数)确定.在该电场中,一个单位正电荷在电场力的作用下,沿着r 轴的方向从r=a 处移动到r=b (a<b )处,则电场力对它所做的功为 .解析:W=∫ ba k ·q r 2d r=-k ·q r |ab =k (q a -qb ). 答案:k (q a -qb )15.将由曲线xy=a (a>0),x=a ,x=2a 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为 . 解析:曲线方程可改写为y=ax ,因此所求体积为V=∫ 2a a π·a 2x 2d x=-πa 2x -1|a 2a =-πa 2·12a +πa 2·1a=πa2.答案:πa216.将曲线y=sin x (x ∈(0,π))及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .解析:所求体积V=π∫ π0sin 2x d x=π∫ π1-cos2x 2d x=π(12x -14sin2x)|π0 =π[π2-14sin2π-(-14sin0)]=π22. 答案:π22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)物体A 以速度v=3t 2+1在一条直线上运动,在此直线上与物体A 同时出发的物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v=10t 的速度与A 同向运动,问两物体何时相遇?相遇时物体A 走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s)解设A 追上B 时,所用的时间为t 0,依题意有s A =s B +5,即∫ t00(3t 2+1)d t=∫ t0010t d t+5,t 03+t 0=5t 02+5,t 0(t 02+1)=5(t 02+1),解得t 0=5 s,所以s A =5t 02+5=130 m . 18.(12分)是否存在常数a (a ≤2),使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解存在常数a 满足题意.当a ≤0时,由题意得∫ 0a (x 2-2x )d x=43,即(13x 3-x 2)|a 0=43,a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵a ≤0,∴a=-1.当0<a ≤2时,由题意得∫ a0|x 2-2x|d x=∫ a0(2x-x 2)d x=43,即a 3-3a 2+4=0,解得a=-1或a=2.∵0<a ≤2,∴a=2.故存在a=-1或a=2使得由抛物线y=x 2-2x 及直线x=0,x=a ,y=0围成的平面图形的面积为43.19.(12分)设两条抛物线y=-x 2+2x ,y=x 2所围成的图形为M ,求: (1)M 的面积;(2)将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.如图.(1)解方程组{y =-x 2+2x ,y =x 2,得x 1=0,x 2=1,交点坐标为(0,0),(1,1).M 的面积为S=∫ 10[(-x 2+2x )-x 2]d x=∫ 10(-2x 2+2x )d x=(-2×13x 3+x 2)|01=13. (2)旋转体的体积为V=π∫ 10[(-x 2+2x )2-(x 2)2]d x =π∫ 10(-4x 3+4x 2)d x=π(-x 4+43x 3)|01=π3. 20.(12分)如图,直线l 与抛物线y=x 2相交于A ,B 两点,AB 与抛物线所围成的图形的面积恒等于43,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.解设抛物线y=x 2上的两点为A (a ,a 2),B (b ,b 2)(a<b ),l 与抛物线所围成的图形的面积为S ,则S=∫ b a [(a+b )x-ab-x 2]d x=(a+b 2x 2-abx -13x 3)|a b =16(b-a )3=43,得b=a+2. 设线段AB 的中点为P (x ,y ), 则x=a+b 2,y=a 2+b22,即{x =a +1,y =a 2+2a +2,消去a ,得y=x 2+1,即为点P 的轨迹方程. 21.(12分)如图,在某一温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m 上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P (单位:N/m 2)与体积V (单位:m 3)的函数关系式为P=80V ,而正压力F (单位:N)与压强P 的函数关系为F=PS ,其中S (单位:m 2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半(开始活塞处于圆柱顶端),求活塞克服气体压力所做的功.解设活塞运动的距离为x m,则活塞受到的压强为P=80V =800.01π(0.8-x ), 从而活塞受到的压力为 F=PS=800.01π(0.8-x )×0.01π=800.8-x . 所以活塞克服气体压力所做的功为W=∫ 0.40800.8-x d x=[-80ln(0.8-x )]|00.4=80ln 2(J), 故活塞克服气体压力所做的功为80ln 2 J . 22.(12分)如图,已知抛物线y 2=x.(1)求抛物线上过点(-1,0)的切线方程; (2)求抛物线与(1)中的切线围成的图形的面积; (3)求将(2)中的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0),由y=±√x ,得y'=±2√x.则抛物线y 2=x 在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=±2√x (x-x 0).因为切线过点(-1,0),所以-y 0=±2√x (-1-x 0).又y 02=x 0,由{-y 0=2√x -1-x 0),y 02=x 0,解得{x 0=1,y 0=1或{x 0=1,y 0=-1.所以切线方程为y=±12(x+1).(2)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形的面积S 1=2∫ 10√x d x=2×23x 32|01=43.两条切线与直线x=1围成的图形的面积为S 2=12×2×2=2.故所求面积为S 2-S 1=2-43=23.(3)抛物线y 2=x 与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为V 1, 所以V 1=π∫ 10x d x=π·12x 2|01=π2. 两条切线与直线x=1围成的图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V 2=13π×12×2=2π3. 所以所求体积为V=V 2-V 1=2π3−π2=π6.。

（7）计算导数1、设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则1*(=)n y x n +∈N ()1,1x n x 的值为( )12...n x x x ⋅⋅⋅A. 1nB. 11n +C. 1nn +D. 12、曲线在点处的切线过原点,则该切线的斜率为( )y lnx =M A. 1B. eC. 1-D. 1e3、曲线在处切线的倾斜角为( )31y=x 31x =A. 1B. 4π-C. 4πD. 54π4、给出下列结论:①;()=cosx sinx '②;'=cos 33sin ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭③若,则;21y=x 1y x '=④.'⎛= ⎝其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.35、曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )x y e =()22,e A. 294e B. 22e C. 2e D. 22e 6、已知直线是曲线的切线,则的值是( )y kx =ln y x =k A. eB. e-C. 1eD. 1e-7、过曲线上一点的切线的斜率为,则点的坐标为( )1y x =P 4-P A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 或1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭8、下列结论不正确的是( )A.若,则3y =0y '=B.若,则y='y =C.若,则y ='y =D.若,则3y x ='3y =9、已知,若,则的值等于( )()f x x α=()'14f -=-αA.4 B.-4 C.5 D.-510、下列各式中正确的是( )A. ()41log 'x x=B. ()ln log ' a a x x =C. ()3'3x x =D. ()3'3ln 3x x =⋅11、函数的导函数是，则______.1()ln 2x f x x x -=+'()f x '(1)f =12、曲线在点处的切线方程为__________.9y x =()3,3M 13、曲线在点处的切线的斜率是__________.34y x =()16,8Q 14、下列四个命题中,正确命题的个数为__________.①若则;②;③加速度是位移对时间的导数;④()f x x =()00f '=()log 'ln a x x a =s t 曲线在点处没有切线.2y x =()0,015、当常数为何值时,直线与曲线相切?并求出切点坐标.k y x =2y x k =+答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：由题意得1n nx n =+则,故选B.12n 12311x x ...x =...23411n n n n n -⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯=++2答案及解析：答案：D解析：设,()00,M x lnx 由得y lnx =1,y x'=所以切线斜率,00|1x x k y x =='=所以切线方程为()0001.y lnx x x x -=-由题意得,即,()0001001lnx x x -=-=-01lnx =所以.0x e =所以故选D.11k=x e0=3答案及解析：答案：C解析：∵,∴,2y x '=11|x y ='=∴切线的倾斜角满足,∵,α1tan α=0απ≤<∴4πα=4答案及解析：答案：B解析：因为,所以①错误;()=-cosx sinx '而,所以②错误;3sin π='0=,所以③错误;2321'()2x x x --⎛⎝⎭'=⎫=⎪-所以④正确,故选B.1232'(12)x x --'⎛===- ⎝5答案及解析：答案：D解析：∵,∴切线的斜率,'x y e =2k e =∴切线方程为,它与两坐标轴的交点坐标分别为,22y e x e =-()()20,,1,0e -∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.22e6答案及解析：答案：C解析： 依题意,设直线与曲线切于点则有由此得y kx =ln y x =()00,x kx 000ln ,1,kx x k x ==⎧⎪⎨⎪⎩,解得,,故选C. 0ln 1x =0x e =1k e=7答案及解析：答案：B解析：由,得则点的坐标为或()2'4f x x-=-=-12x =±P 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭8答案及解析：答案：B解析：对于B,故选项B 不正确.113122211''22y x x x ----⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭9答案及解析：答案：A解析： ,∴,∴,当时, ()f x x α=()1'f x x αα-=()()1'11f αα--=-4α=,符合题意,故应选A.()()3'1414f -=⨯-=- 10答案及解析：答案：D 解析：11答案及解析：答案：12解析：，222(1)'22(1)1222111'()(2)42x x x x x f x x x x x x x -⋅----++=+=-.111'(1)122f =-=12答案及解析：答案：60x y +-=解析：∵,∴.∴过点的切线方程为,即29'y x =-3'|1x y ==-()3,3()33y x -=--.60x y +-=13答案及解析：答案：38解析：14答案及解析：答案：0解析： ①因为,当趋近于时平均变化率不存在极限,所以在()'f x =x 0()'f x 处不存在导数,故错误;②,故错误;③瞬时速度是位移对时间的0 x =()1log 'ln a x x a =s t 导数,故错误;④曲线在点处的切线方程为,故错误.2y x =()0,00y =15答案及解析：答案：设切点为,()200,A x x k +∵,'2y x =∴∴020021,{,x x k x =+=01,2{1.4x k ==故当时,直线与曲线相切,且切点坐标为.14k =y x =2y x k =+11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：。

阶段质量评估(五) 数系的扩充与复数的引入(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪cos α2. ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2<0.∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2. 答案：B2．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1. 答案：C3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0，2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4>0. ∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴复数在平面内对应的点在第二象限． 答案：B4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( ) A ．x 0＝4 B ．x 0＝1 C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在解析：由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20－5x 0＋4＝0，－x 0－1＝0.该方程组无解． 答案：D5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于( )A ． 2B ．2C ．10D ．4解析：由题意得AB →＝OB →－OA →，则AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i.故|A B →|＝2. 答案：B 6．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －等于( ) A ．14B ．12C ．1D ．2解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i＝－3＋i4，∴|z |2＝⎝⎛⎭⎫－342＋⎝⎛⎭⎫142＝14. ∴z ·z －＝|z |2＝14.答案：A7．在复平面内，复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．15D ．17解析：由已知得BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i.因为BD →＝BA →＋BC →，所以BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.故BD 的长为13.答案：B8．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C ．5＋2iD ．5－2i解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝－ 5. 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4.∴y ＝±2. ∵复数z 对应的点在第二象限， ∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i. 答案：A9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( ) A ．－1 000－1 000i B ．－1 002－1 002i C ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i 解析：1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i,5i 4＋6i 5＋7i 6＋8i 7＝5＋6i －7－8i ＝－2－2i ，故原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.答案：C10．设复数z 满足1－z 1＋z ＝i ，则|1＋z |等于( )A ．0B ．1C ． 2D ．2解析：由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i1＋i ＝－i.故|1＋z |＝|1－i|＝ 2. 答案：C11．有下列四个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时，其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定互为共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否为实数； ④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应． 答案：A12．若集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 4n ，n ∈N ，则集合M 等于( )A ．∅B ．{0}C ．{0,2}D ．{2}解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 4n ＝(－i)4n ＝[(－i)4]n ＝1，∴z ＝0. ∴M ＝{0}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：(z 1－z 2)i ＝(4＋29i －6－9i)·i ＝(－2＋20i)i ＝ －20－2i ，故实部为－20. 答案：－2014．已知(a －i)2＝2i ，其中i 是虚数单位，那么实数a ＝__________________. 解析：∵(a －i)2＝a 2－1－2a i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a ＝2.解得a ＝－1. 答案：－115．使关于x 的方程x 2＋2i x －4tan θ＋4i ＝0有实数根的锐角θ的值是________． 解析：设m 是方程的实根，代入方程，整理得(m 2－4tan θ)＋(2m ＋4)i ＝0，由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4tan θ＝0，2m ＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝1，m ＝－2.由θ为锐角，得θ＝π4.答案：π416．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．解析：根据题意，得z *z －＝|z |＋|z －|2＝|z |＝a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝⎛⎭⎫a －322＋92. 因此当a ＝32时，z *z －有最小值，且最小值为322.答案：322三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z ·z －＋2i z ＝9＋2i.求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i. ∵z ·z －＋2i z ＝9＋2i ，∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②得a ＝1.代入①得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4. ∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.18．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z .(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2ab ＝2.解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1. 故z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i. 则A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)． 所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 则A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)． 故S △ABC ＝1.19．(12分)已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，求yx的最大值．解：由|x －2＋y i|＝3， 得(x －2)2＋y 2＝3.故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，yx 表示圆上的点(x ，y )与原点连线的斜率．如图所示，由平面几何知识，易知yx的最大值为 3.20．(12分)已知ω＝z ＋i(z ∈C )，z －2z ＋2是纯虚数，且|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －2z ＋2＝(a －2)＋b i (a ＋2)＋b i ＝(a 2＋b 2－4)＋4b i (a ＋2)2＋b 2. ∵z －2z ＋2为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－4＝0，b ≠0. ∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|(a ＋1)＋(b ＋1)i|2＋|(a －1)＋(b ＋1)i|2＝(a ＋1)2＋(b ＋1)2＋(a －1)2＋(b ＋1)2＝2(a 2＋b 2)＋4b ＋4＝8＋4b ＋4＝12＋4b .∴12＋4b ＝16.∴b ＝1.把b ＝1代入a 2＋b 2＝4，解得a ＝±3. ∴z ＝±3＋i.∴ω＝±3＋2i.21．(12分)已知复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点．求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2(1＋i )1－i (a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i.∵|z |＝4，∴(－2a )2＋(－2b )2＝4，即a 2＋b 2＝4. ∵复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点， ∴|z |＝|z －z －|.把z ＝－2a －2b i 代入，化简得b ＝±1. 又∵点Z 在第一象限，∴a <0，b <0.∴a＝－3，b＝－1.22．(12分)已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．解法一：设ω＝z－3＋4i，则z＝ω＋3－4i.∴z＋1－i＝ω＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.则ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心、1为半径的圆，如图(1)所示．∴|ω|max＝41＋1，|ω|min＝41－1.解法二：由已知条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1，1)为圆心、1为半径的圆，|z －3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离．在圆上，与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示．故|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.。

．最大值、最小值问题．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．．如图为＝()，∈[，]的图像．问题：试说明＝()的极值．提示：()，()为函数的极大值，()，()为函数的极小值．问题：你能说出＝()，∈[，]的最值吗？提示：函数的最小值是()，()，()中最小的，函数的最大值是()，()，()中最大的．问题：根据问题回答函数＝()，∈[，]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．．最值点()最大值点：函数＝()在区间[，]上的最大值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过()．()最小值点：函数＝()在区间[，]上的最小值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于()．．最值函数的最大值与最小值统称为最值．()一般地，连续函数()在[，]上有最大值与最小值．()函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．()函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[例]()求函数()()求函数()＝＋在区间[π]上的最大值与最小值．[思路点拨]先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．[精解详析]()因为()＝－－＋，所以′()＝－－.令′()＝，解得＝－，＝.因为＝，()＝，(－)＝－，()＝，所以函数()在[－]上的最大值是，最小值是－.()因为()＝＋，所以′()＝＋，令′()＝，解得＝，＝.因为()＝，＝＋，＝－，(π)＝π，所以函数()在[π]上的最大值是π，最小值是.[一点通]求函数()在[，]上的最大值和最小值的步骤：()求函数的导数′()；()求方程′()＝的全部实根；()将()的各个值与()，()进行比较，确定()的最大值与最小值．．函数()＝－＋－在区间[－]上的最大值为．解析：因为′()＝－＋＝(－)＋>，∴函数()在区间[－]上单调递增，∴当＝时，函数()取得最大值()＝－.答案：－．求函数()＝－在上的最大值和最小值．解：′()＝－.令′()＝，∈，解得＝－或＝.而＝－，＝－，＝，＝－，所以函数()的最大值为，最小值为－.。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2 D．2B[z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.]2．已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[∵z＝11＋i ＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.]3．观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2 <211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A．a＋b＝22 B．a＋b＝21C．ab＝20 D．ab＝21B[由归纳推理可知a＋b＝21．故选B.]4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝() A．－e B．－1C．1 D．eB[∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1．]5．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A[根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．] 6．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A．94e2B．2e2C．e2D．e2 2D[∵f′(x)＝e x，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为12×1×e2＝e22.]7．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是()A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－2D[由归纳推理可知，第k项的第一个数为a k－1，且共有k项．故选D.] 8．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤1 3A[由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.]10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1增加的项数是()A．1 B．2k＋1 C．2k－1 D．2kD[∵f(k)＝1＋12＋13＋…＋12k－1，又f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1.从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．]11．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4 B.π2C.3π4D．πC[法一：f(x)＝cos x－sin x＝2cos x＋π4.当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a＋π4，所以结合题意可知，a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4.故选C.法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－2sin x＋π4.于是，由题设得f′(x)≤0，即sin x＋π4≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.]12．如图所示，设不等式组⎩⎨⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线为抛物线y ＝x 2的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.23 B.13 C.12D.14A [由题意得，长方形ABCD 的面积为2×1＝2，阴影部分的面积为＝2·23＝43.由几何概型的概率计算公式得所求概率为432＝23.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________． －3 [∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.]14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 [第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212．]15．曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________． 3－π3 [由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为16．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x ＋e －x 相切，则k ＝________. 1－e [函数y ＝x ＋e －x 的导函数为y ′＝1－e －x .设切点为(x 0，kx 0)，则1－e －x 0＝k ，kx 0＝x 0＋e －x 0，整理得k (x 0＋1)＝x 0＋1，当x 0＝－1时，k ＝1－e ；当x 0≠－1时，k ＝1，不满足1－e －x 0＝k . 综上，k ＝1－e.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i 5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1． (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1．当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由． [解] ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2．∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n 32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列．综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列．20．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[解] (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)证明：由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2(x 2＋2x ＋3)(x 2＋x ＋1)2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．[解] (1)设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1．由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t＝x 1．整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)． 设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1. 设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． [解] (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1．由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1， 由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)． 证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立．则由①②知，n∈N，a n＝n－n－1.＋。