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一、引言作业布置作为教学重要环节之一，是检查学生学情、反馈教学效果的重要手段。
长期以来，教师为了更快速、便捷地达到熟悉、巩固知识点的目的，布置的作业仍以现成的学案或套题为主，形式单一、效率不高、缺乏评价。
这与新一轮课程改革提出的把核心素养与学科素养相融合的培养目标不符合。
2019年6月，国务院办公厅《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》提出：“深化课堂教学改革。
提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业。
”[1]实践性作业是根据学生的知识经验设计的，以提升数学素养、培养实践能力、发展数学情感为目标，需要学生动手实践、自主探索、合作交流的一种数学作业形式。
融于丰富情境的实践性作业，以提升学生数学核心素养（包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析这六大方面）、培养实践能力、发展数学情感为目标，通过学生动手实践、自主探索、合作交流激发学生的学习热情，并将理论知识与实践应用真正有机结合，是学校学科教育作业体系改革中重点关注的方向。
本研究从教材和课程标核心素养视域下 高中数学实践性作业实施研究——以“数学建模”为例● 范 力摘 要：本研究聚焦学生核心素养提升，进行实践性作业设计研究。
在“建立函数模型解决实际问题”这一单元中，以构造“茶水温度随时间变化的函数模型”为例，在实践性作业设计原则、设计策略上进行实践性作业设计探索，希望以此案例为高中数学教师开展实践性作业设计提供借鉴。
关 键 词：高中数学；实践性作业；作业设计策略课题来源：山东省教育教学研究课题“核心素养视域下高中数学实践性作业设计研究” （编号：2023JXY510）。
作者简介：范力，山东省菏泽市第二中学高中数学教师，中学高级教师。
准出发，以学科核心素养为切入点，在数学文献、高考情境试题、学生熟悉的生活场景中寻求实践活动素材，进行作业设计。
选取“建立函数模型解决实际问题”这一主题单元，以构造“茶水温度随时间变化的函数模型”为例，在实际教学中开展实践性作业的设计和设施，进而探讨高中数学实践性作业设计的策略。
数学建模是数学应用到生活实践的过程---《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学实例分析数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，高中数学建模教学首先在北京、上海等发达地区展开实践，2003年数学建模首次被写进《普通高中数学课程标准（实验）》，这标志着数学建模成为高中生正式学习的内容，2018年初由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》把数学建模作为数学六大核心素养之一，要求数学建模作为课程内容主线，并安排了具体课时，这意味着我国高中数学建模教学又往前迈进了一大步，但现在数学建模教学还处于起步阶段，还存在很多需要解决的问题，现在高中数学建模内容贫乏，缺乏适合学生学习数学建模问题，本文将通过案例《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学的实例分析，期待对数学建模教学有借鉴意义.1 核心素养数学建模的内涵数学建模就是建立数学模型解决实际问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017版）》把“数学建模”定义为是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程，如果问题没有得到很好的解决，还需要重复进行建模过程.2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键.2 案例《茶水最佳饮用时间问题》数学建模教学实例分析2.1教学内容及核心素养解析根据《普通高中数学课程标准（2017版）》的新人教A版教材数学必修一建立函数模型解决实际问题的内容.主要是通过研究茶水的最佳饮用时间，了解数学建模的一般过程：观察实际情况发现和提出问题收集数据选择函数模型求解函数模型检验模型得出实际问题的解.这是学生学习基本初等函数以后的能力拓展课，通过建立数学模型，解决实际问题，体会学习数学的实用性、重要性.在数学建模这一学习过程中，体现了课程标准中“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（发现问题、提出问题、发现问题、解决问题的能力）.通过实验收集数据，使学生在获得基本活动经验，通过数据分析、选择函数模型、计算函数模型的过程发展学生的数据分析、逻辑推理、数学建模的核心素养，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新能力和自主学习能力.2.2《茶水最佳饮用时间问题》教学过程设计1）创设情境，提出问题问题1 在室温下，一杯刚泡好200ml的的茶，放置多少时间才能达到？在这个问题中有几个变量？变量之间有什么关系？设计意图：从茶水最佳饮用问题实例引入，激发学生的学习兴趣，用数学模型解决实际问题铺垫，培养学生数学建模的能力，通过将实际问题进行简化和抽象，建立函数模型解决实际问题.2）数据收集，数据分析活动一：(学生实验，收集数据)在实验过程中，学生观察并思考，温度与时间存在怎样的关系？活动二：(小组提问，分析数据)根据收集的数据，你们认为茶水温度有着怎样的变化规律？设计意图：（1）通过实验，实践探究与合作交流的形式收集数据，让学生们通过基本活动经验获得温度变化与时间之间的关系.（2）通过实验数据，分析出数据的特定：随着时间的变化温度在降低，这是一个递减的函数;单位时间内降辐越来越小，温度降至室温就不能再降了.（3）茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型，可以先画出散点图，利用图像直观分析这组数据的变化规律，选择函数模型.3）选择函数模型，计算函数模型问题2茶水温度和时间之间存在着何种形式的函数关系？根据实验数据，计算出你选择的函数模型中各个参数的值.分析：（1）茶水的温度是递减的（单调性），递减的速度越来越慢（凹凸性），最终会无限接近室温（渐近线），茶水温度有确切的范围（值域）.（2）模型的选择，一次函数模型不具备有渐近线，二次函数模型不符合单调性的要求，对数型函数不符合值域的要求，反比例函数比较符合，指数型函数比较符合条件也可以考虑.设计意图：通过实验选择函数模型，不断优化所选的函数模型，结合实际数据，选择计算方法，用计算机Excel完成数据运算。
2019年第2期（下)中学数学研究31高中生核心素养之“数学建模”能力的培养与思考一以“建立数列模型解决实际问题”教学为例广东省广州市番禺区石楼中学（511447) 梁振强数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型、用数学知识解决问题的素养，是 学生高中阶段必备的数学核心素养之一.《普通高中数学课 程标准P017年版）》明确指出：“数学核心素养是数学课程 目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.高中 阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直 观想象、数学运算和数学分析.”其中,更是强化了数学建模 思想的核心地位,并以主题的形式要求学生参与数学建模活 动与数学探究活动的全过程，使学生认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用,提升实践能力、增强创新意 识和科学精神.笔者认为，要想提高学生核心素养，首先要提高学生数 学建模能力.如何在高中数学课堂教学中渗透数学模型核心 素养能力的培养，值得一线数学教师实践与思考.下面以“建 立数列模型解决实际问题”的教学为依托，浅谈一下学生核 心素养的根植与培养•一、教学内容与目标1.教材和学情分析本节课是对普通高中新课程标准实验教科书《数学5》(人教A版)第二章《数列》中2.2节一2.5节内容进行整合而 形成的一节实际应用课,主要内容是通过对日常生活中的两 个实例分析，得到等差、等比两种数列模型以及建立数列模 型的具体步骤.数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型，等差、等比数列又是数列中最特殊的两种 数列，在日常生活中有着广泛的应用.本节课是关于等差、等 比数列及其求和公式实际应用的一节整合课,是本章内容的 升华，目的是让学生感受这两种数列模型应用的广泛性，并 能够利用它们解决生活中的实际问题.学习本节课之前，学生已经对等差、等比数列的概念及 其前n项和公式有了较深的认识，这对建立这两种数列模型 做好了知识储备.从认知结构方面，大量的数学思维方法如 类比思想、归纳思想、数形结合思想、方程思想等已为学生所 习知.但在分析问题的实际背景、明确问题的复杂条件等方 面还有一定的困难，尤其是用函数的背景和研究方法来认识、研究数列,还没有形成思维习惯，所以“建模”和“解模”两步对学生来说还是个难点.2.教学目标要解决日常生活中有关数列的问题，必须从实际情境中抽象出相应的数列模型，进而转化成数学问题求解.基于以上学情分析，本节课的教学目标如下：(1)学会解决有关等差数列模型的实际问题.⑶学会解决有关等比数列模型的实际问题.(3)明确建立数列模型的步骤.教学重点:建立数列模型的步骤，解决有关等差、等比数列模型的实际问题.教学难点：从生活背景中提炼出相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造等差、等比数列模型，并加以解决.二、主体教学过程设计(—)回顾旧知问题1等差、等比数列相关知识的复习.问题2解决应用问题的思路.教师活动:提问与引导；设计意图让学生更加熟悉数列建模的必备知识并憧得数学知识的系统性与关联性.(二）实例情境1假设某市2013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2〇13为累计 第一年)将首次不少于4750万平方米？(2) 当年建造的中低价房的面积占建造住房面积的比例 首次大于85%?设计意图以实际生活实例让学生感受建立两种特殊数列模型的方法和步骤.问题1描述中低价房的关键信息是什么？它的数学实质是什么？如何把第（1)问转化为数学问题？32教师活动：多重设问引导学生提炼关键信息，板书建模 解模步骤；设计意图使学生很自然地从实际情境中抽象出等差数 列模型并明确“建模”步骤:设—建—解—答.问题2描述新建住房的关键信息是什么？它的数学实 质是什么？如何把第(2)问转化为数学问题？教师活动:提问并组织学生交流解题过程；设计意图培养学生从实际情境中抽象出等比数列模型 醜力.问题3解模中的不等式“n+ 4 > 6.8 x 1.08"-1”能否 用数形结合的方法？教师活动:用几何画板演示.设计意图通过数形结合的方法使学生进一步理解数列 是一种特殊函数.问题4 “每年新建住房面积平均比上一年增长8%”和 “中低价房的面积比上一年增加50万平方米”的数学实质是 什么？设计意图强化学生“识模”B U“抓关键信息”的能九总结建模的步骤:识模—建模—解模—答模，从而突出重点.(三） 实例情境2某家庭打算在2013年的年底花40万购一套商品房，为 此，计划从2007年初开始,每年初存入一笔购房专用款，使 这笔款到2013年底连本带息共有40万元.如果每年的存款 数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存人多少 钱？（1.027«1.1487)设计意图实践建模方法过程.问题5题目中的关键信息是什么？它的数学实质又是 什么？设计意图训练学生抓关键信息、分析关键信息的能力.问题6从2007年到2013年共存了几次钱？每次存的 万元到2013年底的本利和分别是多少？如何把这一问题 转化为数学问题？设计意图明确数列中的计数问题，亲历建立等比数列 模型的方法,重视解模答模的过程，从而突破难点.(四） 目标检测目标检测题1某市一家商场的新年最高促销奖设立了 两种领奖方式，获奖者可以选择2000元的奖金,或者从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天 领取的奖品的价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加 10元，哪种领奖方式获奖者受益更多？你会选择哪种方式？目标检测题2 —名体育爱好者为了观看2016年里约热 内卢奥运会，从2010年起,每年的5月1日到银行存人a元 一年期定期储蓄，假定年利率为P(利息税已扣除)且保持不2019年第2期（下）变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2016年5月1日将所有存款和利息全部取出，则可取出的钱的总数是（）A.-(1+p)7B.®[(l+p)6-(l+p)]P PC.^[(l+p)7-(l+p)]D.^(1+p)6设计1图了解建立等差数列、#比数列模型的达成情况.三、 教学思考数学建模素养作为主要的核心素养，加强其在平常教学中的渗透尤为重要.教师要善于发挥教学的主导和引领作用,促进数学建模素养的落实.新颁布的高中数学课程标准修订稿将数学建模素养划分为三个水平，并且有十分详细的描述,如了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义;能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用;能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题等.教师的教学活动应基于数学核心素养而进行，特别是针对三个水平展开对学生数学建模素养的培养•(一） 丰富课堂阅读材料，为学生的数学建模思想应用奠 基.教师应为学生提供丰富的阅读材料，让学生多接触实际生活中的数学问题，了解所熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，从而为学生用数学模型解决现实问题积累经验.(二） 组织学生开展数学建模活动，培养学生的数学能 力.通过开展数学建模活动，可以让学生经历发现问题、解决问题的过程，进而体会数学建模的思想和方法.在数学建模活动中，通过讨论式的教学方法，让学生参与到教学环节中，充分发挥学生的主体作用.(三：）从日常教学抓起,促进学生的综合发展.在教学中不断引导学生会学习、会思考、会应用,能够用数学的思维方式去观察、分析和表示实际问题中的各种度量关系和位置关系，从纷繁复杂的具体问题中抽象出数学信息并建立数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，使数学建模意识成为学生思考问题和解决问题的习惯,在数学教学中进行主题式教学设计和实施，让数学建模素养真正落地.四、 结语重视培养学生数学建模的能力已成为数学教育界的共识，在新课程改革的稳步推进中，数学建模将逐步成为数学教育者关注的重点议题.通过数学模型教学案例探析教学活动，学生的数学运算、逻辑思维能力、数学分析等几个核心素养在模型建构中也会有充分的体现，应用数学的意识肯定能得到逐步增强•可以说六大核心素养是蕴含（下接第15页）中学数学研究中学数学研究15 2019年第2期（下）—、几点感悟1. 关注概念的获得过程.心理学研究成果表明，概念获得方式主要有两种：概念 的同化、概念的形成.数学概念的教学要经历“具体^象体”的认识过程，B卩“概念的外延分类念内涵的归纳、概括-«念的外延辨析”的认识过程，教学设计中要从具体的 角的分类和辨析，归纳得到圆周角的内涵，再通过具体圆周 角的辨析，完成概念的同化和形成过程.于本节课而言，明确 圆周角从那里来尤为重要.章建跃博士指出，“明数学之道，方能优教学之术圆周角首先是一个角，它有一个顶点、两条射线.圆周角,顾名思 义，自然与圆有关，与圆有怎样的关联呢？我们在引导的时候 要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并 且两边一定要截一段弧;在圆上，一个圆周角对应圆上一条 弧，圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆 心角，但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联 系，因此圆周角与它所对的弧有关，是圆上的一条“弧”维系 着圆心角的“一”与圆周角的“多可以说，圆周角、圆心角 都与它们所对的弧有联系，圆周角因圆而产生，它来源于圆 中的“弧在课堂中，教师利用几何画板，让图形由原来的“不动”变成了“多动”，学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验 证等活动.弥补了传统教学中获得方式的不足，极大地丰富 了学生获取知识的途径.2. 突出图形性质探究中的思维过程.几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究 任务来引导学生的探究活动，并使学生的几何直观和推理 能力（数学思维)得到发展.在圆周角性质的探究过程中，通 过从特殊到一般的过程获得性质，再通过演绎推理证明性 质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力，符合几何学习的一 般规律,突出思维过程.在教学中，教师利用几何画板度量 ZAOS,得到ZAOS=80°,由此可验证同学们的猜想.并将 其从特殊到一般，在几何画板中改变弧A B的大小，然后再度 量乙40S与角乙4CB,我们同样得到= •乙40S,由此进一步验证同学们的猜想.3. 数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.在图形性质的探究过程中，渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想，要让学生在具体的探究活动中体验和 反思，形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力，要符合学 生的认识规律，不能将思想方法的运用直接抛给学生，而忽 视学生的认知过程.在圆周角性质的探究中，若直接告知学 生分成三种类型，学生不理解要为什么要如此分？为什么首 先研究最特殊的情形？用思维的结果代替思维过程，不符合 学生的认知过程;通过对各种图形进行分析，自主选择研究 (当然也可以首先研究最特殊情形)，反思研究的几种类型，学生感悟到分成三种类型是必要的，明确分类的标准和方法, 完成性质定理的探究和证明，符合学生的“认知生成过程”.本课中，教师利用几何画板，当移动圆周角的顶点时,就出现 了圆心与圆周角的三种位置关系一圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部.较好地突破将 无数个圆周解分成三种位置类型这一难点，为证明作好铺垫.4.几何画板辅助教学要找准切入点，切忌花俏.“教之道在于度，学之道在于悟几何画板的辅助教学如何引导，何时介入，介入多少，这里便有个“度”的问题，要 处理好这个“度”的问题关键是找准切人点.几何画板与数学 课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规 律的生成以及数学思想方法的呈现等.同时，在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不 是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏，容易分散学生的 课堂注意力，几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思 想;是否体现新的数学思想;是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚 的问题，不一定要用多媒体，特别是例题或习题讲解时，切忌 用多媒体，要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现 给学生的一个重要载体.参考文献[1]胡滨.“圆周角”教学设计应特别关注的三个环节[J].中学数学月刊,2014(7).[2]张爱平.几何课程中体现“过程”的教学策略妨探[J].初中数学教与学，2〇13(1).[3]佘飞.有效设问激活数学课堂的活力[J].教师通讯，2015(2).(上接第32页）在模型建构教学的整个过程中的，因此应当重 视学生的数学建模能力，发展学生的应用意识，从而将学生 的数学核心素养落实到位.参考文献[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准(2017年版）[M]，人民教育出版社，2018.[2]牛伟强，张倜，熊斌，中国中小学数学建模研究的回顾与反思[J],数学教育学报，2017,（5): 66-70.[3]彭慧，高中数学核心素养之建模能力的培养[J],数学教学通讯，2017 (2) : 62-63.。
构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模教学内容摘要：数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。
在初中数学教学中，教师应帮助学生树立模型思想，让学生通过对初中常见数学模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、统计、概率模型等的学习，领会数学模型的思想和方法。
教师还要引导学生根据题意建立数学模型。
使学生明白：数学建模过程就是通过运用观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决实际问题，从而使学生体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣。
关键词: 初中数学，数学建模，问题解决一、 问题提出数学新课标指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。
数学与人类的活动息息相关。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。
”数学素养他包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。
数学建模既有“数学意识”的因素，又有“问题解决”的因素。
“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
在新课标对学习内容的要求中，又着重强调“数与代数”的教学中，应帮助学生树立模型思想，“模型”是数与代数的重要内容。
代数是表示交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从单纯关注计算转向关注模型表示与计算，因而在初中进行数学建模教学是提高学生应用意识和培养数学素养的重要途径，这也体现了新课标提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。
二、初中数学建模的过程与类型 （一）、 初中数学建模的过程解释与应用从现实生活中抽象出数学问题建立数学模型求出数学模型的结果（二）、初中数学常见数学模型及教学2.1、方程（组）模型方程（组）是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
因此，在方程（组）的教学中，应关注数学建模应用的过程，以培养学生良好的方程观念，增强学生的数学应用意识，用数学思想构造模型，解方程（组）则是另一个方面。
数学建模建立函数模型解决实际问题课标要求素养要求收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.通过生活中具体的数学模型，进行提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来发展数据分析、数学抽象及数学建模素养.教材知识探究数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.问题你知道什么是数学建模吗？提示数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤(1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析；(2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；(3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；(4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；(5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；(6)检验模型：利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.2.数学建模活动的要求(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.教材拓展补遗[微判断]1.在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.(√)2.在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.(√)3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的.(√)[微思考]数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？提示科学研究通常需要经历四个基本步骤(1)选题；(2)开题；(3)做题；(4)结题.题型一数学建模主要步骤的探究【例1】[提出问题]在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？[建立模型]此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.(1)每条线路都有往返双向线；(2)设4条路分别为A，B，C，D；(3)以A为起始，①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D，②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.[求解模型]第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能；②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能.[检验结果]如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况. 【例2】[提出问题]两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时.现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？[建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l 厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x 、y (厘米/小时)，则有y ＝l ＝3x ；②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R 、r ，则R ＝3r .[求解模型] 根据条件有：l －r y ＝l －3rx (燃烧时间相同)化简为l ＝4r ，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的14⎝ ⎛⎭⎪⎫也即燃烧了34，所以燃烧的时间为34l y ＝34l l ＝34(小时).[检验结果] 为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.【例3】 [提出问题] 李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次. [建立模型] ①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具；②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x ，y ，z 次，x ，y ，z ∈N ＋，然后解不定方程组. [求解模型] 由条件得不定方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝10，①9x ＋5y ＋2z ＝61，②②－2×①消去z 得7x ＋3y ＝41.正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝9(不合方程①)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝3，[检验结果] 验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5、2、3次，总共得分61分.【例4】[提出问题]甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点)[建立模型]要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？①经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.[求解模型]所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.[检验结果]从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？题型二数学建模活动主要过程的探究【例5】关于外卖垃圾问题的分析与解决[选题]餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.[开题]从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果网站ele.me理论单月垃圾产生量月总量.线上外卖网站理论单月垃圾产生量①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多. 二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比①大部分的塑料都是以填埋的方式处理；②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃；③塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比[1.问题分析填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展.因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地.因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展.假设垃圾填埋场为规则的立体图形.因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样.所以我们的目的便是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.2.模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形.如图：(周围为污染区)设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c，总污染面积为S.那么S＝ab＋2ac＋2bc＋πc2＝ab＋2c(a＋b)＋πc2在表面积固定的情况下：ab为定值，c、π均为定值，因此使(a＋b)最小即可.由均值不等式可得：a＋b≥2ab且当a＝b时取等号.因此若使S最小，即a＝b，因此我们得出结论：垃圾填埋场呈正方形比呈长方形要好.之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好.为了方便计算和更好的解决问题，以下模型均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立.(1)圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.设正方形边长为d，对四周土地进行污染的半径为c，圆的半径为r.d2＝πr2，r ＝d π， 正方形总污染为S 正方形＝πc 2＋4dc ＋d 2，圆形总污染为S 圆形＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d π＋c 2π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2π＋2dc ππ＋c 2·π＝d 2＋2dc π＋c 2·π， 作差得S 圆形－S 正方形＝c 2π＋2dc π＋d 2－πc 2－4dc －d 2 ＝2dc π－4dc ＝2dc (π－2)， 又因为π－2<0，因此S 圆形<S 正方形，所以圆形更好. 因此在之后的比较中用圆形即可. (2)正三角形设正三角形边长为e ，则S 三角形＝34e 2， 因为我们要使圆形与三角形的表面积相同，则 34e 2＝πr 2， r ＝e 23π，因此通过计算可得S 三角形污染面积＝34e 2＋πc 2＋3ce ， S 圆形污染面积＝⎝⎛⎭⎪⎫e23π＋c 2·π ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24·3π＋ec 3π＋c 2·π ＝34e 2＋ec3π＋c 2·π，S圆形污染面积－S三角形污染面积＝34e2＋ec3π＋c2·π－34e2－πc2－3ce＝ec(3π－3)<0，因此S圆形污染面积<S三角形污染面积，所以圆形更好.综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案.因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积.模型优化成立.[结题] 1.模型优点：A.该模型可以有效的减少土地污染体积；B.该模型不需要耗费大量的人力物力.2.模型缺点：A.该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；B.该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场.3.我们了解到填埋是我国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.【例6】牙膏价格与重量关系的数学建模[选题]在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁银牙膏50 g装的每支1.50元，120 g装的每支3.00元.我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜.[开题] 1.分析问题商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本.生产成本与重量W成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关.单位重量商品价格c＝总价格总重量.牙膏可以近似为圆柱体来思考.2.模型假设设如下变量：商品价格为C ，商品重量为W ，单位重量价格为c ，商品包装面积为S ，生产成本为C 1，包装成本为C 2，其它成本为C 3.3.研究的大体思路、方法与步骤(1)分析商品价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素.(2)求单位重量价格c 与W 的关系，可以用简图分析.最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.4.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.[做题] 1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本＝生产成本＋包装成本＋其他成本，故C ＝C 1＋C 2＋C 3，生产成本与重量W 成正比，设C 1＝k 1W (k 1为大于0的常数)，包装成本与表面积S 成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积S 2，牙膏可以近似为无底的圆柱体，设牙膏包装面积S 1即圆柱体侧面积.设此圆柱体的半径为R ，高为L ，S 1＝2πRL ，①由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V 近似为圆柱体积的一半，则V ＝12πR 2L ，②设牙膏密度为ρ，则V ＝W ρ，③一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设R ＝k 2L (k 2为大于0的常数)，④根据②③④，可以得出：半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ13，⑤由①④⑤得出S 1＝2πk 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23， 我们可以把牙膏盒看成一个长为L ，宽高都为2R 的长方体，故牙膏盒包装面积S 2＝8R 2＋8RL ，再根据④⑤求得S 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23， 则包装成本C 2＝k 32πk 2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23＋k 48⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23， k 3、k 4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值.其他成本C 3为固定常数，与W 、S 无关.即C ＝C 1＋C 2＋C 3＝k 1W ＋k 32πk 2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23＋k 48⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2W ρπ23＋C 3. 由于k 1，k 2，k 3，k 4，ρ都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大.对于单位重量价格c 与商品重量W 的关系，我们已知c ＝C W ，由于k 1，k 2，k 3，k 4，ρ都是大于零的常数，我们发现包装成本与商品重量成正比，可以简化为C 2＝k 5×W 23，所以c ＝C W ＝k 1＋k 5×13W＋C 31 W 2.模型解释c －W 的简图如图所示：由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W 的增加，c 的减少幅度减少，当W 很大时，则c 不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.[结题]对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法、数学模型解题的过程.在构建模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据，再进行分析、建模.下面摘录一些中学生曾经研究过的问题供参考，同学们可根据情况组织团队进行建模活动.自然方面的问题公路上雪的融化速度；都江堰宝瓶口的水有多深；圭表与日晷原理的数学分析；利用灯光促进植物生长的实验；由氢键理论推算冰的密度；从拼图游戏到人类基因组计划；水草治理问题；天体日、月相在旋转点阵屏上运行的数学模型；云南白马雪山地区树木年轮宽度与气候变化的相关性研究；植物叶表粗糙程度与吸附大气颗粒物能力的关系探究；孔雀鱼体色基因类型初步研究.社会方面的问题“110”巡警站的位置安排；公路护栏的改良；防错拨的城市电话号码设置方案；对小区学生择校问题的研究；如何使防护林达到最佳防护效果；保安巡更路线方案及软件流程设计；高峰期学校门前十字路口红绿灯周期时间的设计；利用数码相机测量桥梁裂纹；埙的容积对音高的影响；考试焦虑的影响因素分析；老年人免费乘公交车的社会成本；“梦之队”组建的最优化选择；汉字结构特征及其识别；“月上柳梢头，人约黄昏后”——古诗中的天文学问题；中国古建筑建造中“举折法”屋面曲线猜想；泰森多边形在环境空气监测网络布设中的应用.生活方面的问题流行歌曲的流行趋势分析；地铁站旅客流通情况及优化方案；暖瓶的最佳保温水位；讨论适合拼音输入法的键盘布局；游览卢浮宫的最佳路线；抽取式面巾纸的包装盒优化设计；汽车后视镜的角度分析及安装改进；14款笔记本电脑性价比报告；地区加油站各区域分布数量方案；为数独定难度；太阳能电池板发电设备优化；区域养老院规划；城市周边地区住房入住率估算与分析；碘酸钾碘盐在烹饪食物时碘损失率的研究.结束语数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等等的过程.。
建立函数模型解决实际问题一．单元教学内容本节主要是引导学生通过建立函数模型解决实际问题。
主要包括：在实际情境中从数学视角发现和提出问题，收集数据，分析问题，构建模型，确定参数，计算求解，检验并改进模型，最终解决实际问题。
完成数学建模活动，并根据要求撰写研究报告。
二．单元目标1.经历从实际情境中用数学的眼光发现问题，提出问题的过程，发展数学抽象素养。
2.掌握分析问题和解决问题的能力，提高“四能”。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
三．教学问题诊断分析.学生学习过一次函数，二次函教，幂函数，指数函教，对数函数等概念和性质。
对初等函数比较熟悉，初步具备建立函数模型的知识基础，但对于如何建立模型尚不明确，选择函数模型是本节课的难点,对于函数模型的选择，要让学生知道函数模型的选取是多样的，通过分析探究，交流合作，小组展示，师生释疑等环节，设计环环相扣的问题，引导学生思考，对比，选择最优模型。
四．教学支持条件分析.借用图形计算器对数据进行分析-画散点图，根据散点图选择函数模型，观察函数模型和实际数据的吻合程度，通过计算相关指数对所选函数模型进行评价，寻找最优函数模型。
五．教学过程设计.(一).课时教学内容本节主要内容是建立函数模型解决实际问题，引导学生发现生活中所蕴含的数学信息，提出数学问题，分析问题，用函数模型解决问题。
(二).课时教学目标1.会从数学视角发现生活中蕴含的数学信息，提出问题。
2.掌握分析问题，解决问题的能力。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
(三).教学重点与难点重点：函数模型的选择和建立难点：函数模型的选择(四)教学过程1.情境引入我们生活中有很多问题都需要用数学知识解决，比如十一假期即将到来，商场需根据以往的销售数据策划新的销售方案，从而使利润达到最大。
我们每天看的天气预报等等，这些都需用数学建模的知识。
设计意图:从实际生活出发，引入问题，让学生感受数学的应用价值，通过设疑，引入主题，让学生初步认识数学建模。
亲力亲为,落地数学建模核心素养∗茶水最佳饮用问题 教学设计与反思Ә施爽爽㊀㊀(慈中书院,浙江慈溪㊀315300)㊀㊀摘㊀要:数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容之一.文章以 茶水最佳饮用 问题为例,师生共同亲历发现问题㊁收集数据㊁建立模型㊁计算求解㊁检验模型㊁解决问题等环节,展示中学数学建模的完整过程.关键词:数学建模;亲力亲为;茶水最佳饮用中图分类号:O12㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2020)06-0005-041㊀教学内容分析1.1㊀地位与作用本课是人教A版‘数学(必修1)“(以下简称 教材 )中的一节数学建模活动实例.此前,学生已经学习了指数函数㊁对数函数和幂函数,这些函数与现实生活有着密切联系.本节内容取材就是身边熟悉的实例,通过对身边问题的抽象和建模,从而达到解决问题的目的,这个过程进一步突出了 数学来源于生活,应用于生活 的思想,也培养了学生用数学的语言表达问题㊁用数学的思维思考问题㊁用数学的方法积累经验的能力.1.2㊀教学内容分析本节课主要让学生结合之前所学的函数,借助信息技术手段,收集数据,分析其中的变量㊁常量以及相互关系,明确变化的特征,构建 茶水温度随时间变化 的数学模型,再通过运算求解函数模型,最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.大多数高一学生对数学建模是陌生的,但是由于数学建模不同于课本知识,富有趣味性,因此本课应让学生多参与㊁多思考,激发学生的学习热情,让学生初步了解建模步骤,提升数学建模和数学运算的素养.教学重点㊀从实际问题中抽象出数学模型,并用数学模型刻画茶水温度随时间变化的规律.教学难点㊀对函数模型合理选择以及对参数的计算求解.2㊀教学目标和目标解析2.1㊀教学目标1)了解数学建模的概念,初步掌握数学建模的步骤,能运用数学知识解决茶水最佳饮用问题;2)通过参与数学建模的过程,培养学生的创新精神和实践能力;3)初步培养学生的数学建模意识,提高学习数学的兴趣,体会数学的应用价值.2.2㊀目标解析达到上述目标的标志是:1)学生能熟悉数学建模的基本步骤 收集数据㊁画散点图㊁建立模型㊁计算求解㊁检验模型㊁解决问题,为下次进行独立的数学建模活动起到参考作用;2)能积极主动地参与数学建模过程,会对所学的函数模型进行比较和选择,愿意尝试有别于课本的数学模型,并进行对比分析,给出自己的想法和建议,应用于实际;3)能有亲自动手实验收集数据的意识,并会借助工具和信息技术收集数据,会根据实际情况对数据进行取舍,建立合适的数学模型,会计算求解并回归到实际中解决问题,进而培养了学生的数学建模㊁数据分析和数学运算等素养.3㊀教学问题诊断对函数模型的合理选择以及对参数的计算求解是本节课的难点.学生画出散点图后,利用这组数据的变化规律,从已经学过的函数模型中进行选择.为了体现学生的主体地位,也为了保证模型的∗收文日期:2019-12-28;修订日期:2020-01-30作者简介:施爽爽(1986-),女,浙江慈溪人,中学一级教师.研究方向:数学教育.多样性,教师可以引导学生不要局限于课本的指数函数模型,可以小组讨论,然后选择合理的模型进行计算求解.在计算过程中学生会遇到困难,教师可以引导学生利用Excel进行计算,并对算出来的数据进行合理取舍.对于多组数据,为了减少误差,也可以考虑取平均值的方法或者利用最小二乘法减少误差.在教学过程中,教师可以指导学生用几何画板 检验函数模型图像和散点图的拟合程度,从而判断哪个模型更符合实际情况.4㊀教学支持条件分析虽然高一的学生之前没有接触过数学建模,但是他们对茶水温度随时间变化的生活经验是熟悉的,而且先前的导学案也让学生对数学建模有了大致了解.另外,为了让学生动手实践,教师在课前已经准备好温度计㊁烧杯㊁秒表㊁安吉白茶㊁科学计算器㊁小组记录表等.5㊀教学过程5.1㊀发现问题师:如今的奶茶店铺天盖地,同学们也特别喜欢喝奶茶,请问奶茶的主要成分是什么?有茶吗?正宗的奶茶是由牛奶㊁茶叶㊁糖烹制而成,不过市面上的很多奶茶是由奶精㊁糖以及茶汤组成,茶成分比较劣质甚至没有茶成分,那么为何品牌创始人命名的时候,大多都要以茶来命名?比如 喜茶 皇茶 悟茶师:不仅是因为奶茶中有茶,更因为中国的茶文化博大精深,茶是中华民族的举国之饮.今天,我们就来研究一下有关茶水最佳饮用问题.思考1㊀现有一款安吉白茶,假设它用85ħ的水泡制,并在60ħ时饮用,口感最佳,茶水温度的变化不受茶具材质和泡茶工艺的影响,那刚泡好的茶水大概需要放置多久才能达到最佳饮用口感?设计意图㊀从学生身边熟悉的问题引入,不仅让学生感受数学来源于生活,而且还具有教育意义,有些奶茶只有糖和油的成分,属于高糖㊁高油㊁高热量的饮品,为了身体健康,不建议多喝.与此同时,还传播了中国的茶文化.建议这个环节放在导学案中,让学生课前阅读完成,把更多的课堂时间留给 建立模型 计算求解 和 检验模型 . 5.2㊀收集数据以4人一组为单位,讨论模型假设,拟定方案,规划步骤,明确分工,动手实验,收集数据.为了落实数学建模素养,笔者在课前亲自动手实验收集了一组数据.教师先行经历数据收集过程,是为了更有效地指导学生活动.2019年10月14日上午10ʒ00,室温25ħ,笔者在室内进行实验,收集数据.待烧杯内300ml的水降至85ħ时,将水倒入已经放置茶叶的杯中,然后每隔1min测量一次温度并记录,得到表1的一组数据,最后当温度达到60ħ时,秒表记录时间为07ʒ19.81,这个数据留作后面检验模型之用.表1㊀教师收集的数据时间/min水温/ħ085.0169.5267.7366.5465.3564.0662.3760.4㊀㊀思考2㊀教材中已经提供了数据,我们有必要亲自动手实验收集数据吗?设计意图㊀教材已经给了一组数据,但是笔者认为凡是能亲自收集的数据,一定要让学生亲手实验收集,因为每个人考虑问题的角度不同,就会产生不同的模型假设,收集到不一样的数据,若是条件允许,教师也可先行经历这个过程.而且只有亲历数据收集的过程,才能让学生感悟数学与现实的联系,才能在建立模型和计算求解过程中,做到准确判断和合理解释.建议数据的收集让学生课前完成,为之后的环节预留课堂时间.5.3㊀建立模型图1茶水温度是时间的函数,但是没有现成的模型,为此,先画散点图(如图1),利用图像直观分析这组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.思考3㊀根据散点图分布情况,可以选择哪些函数模型进行拟合,使它能比较近似地反映茶水温度随时间变化的函数关系?对照散点图分布状况,并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,选择较符合变化规律的函数模型y=ka x+b(其中kɪR,0<a<1,x>0).设计意图㊀新课程改革倡导自主㊁合作㊁探究,根据散点图分布情况,让学生小组讨论,自主选择模型,经历建立模型和求解模型的过程,感受解决问题的喜悦.教师在这个过程中,作为参与者㊁引导者和合作者,积极发展学生的数学建模思维,让学生将理论知识和数学方法应用于生活情境问题的解决.5.4㊀计算求解思考4㊀如何计算函数关系式中的参数?如何减少计算误差?根据茶水温度降至室温就不能再降的事实,可知b=25,得到y=ka x+25,为了求得k,a,把函数化成y-25=ka x,从第2分钟的温度数据开始,计算每分钟(y-25)的值与上一分(y-25)值的比值,列出表2.表2㊀函数模型y=ka x+25的相关数据时间/min y y-25比值k的值085.060.0㊀㊀169.544.50.741746.2278 267.742.70.959646.0802 366.541.50.971946.5241 465.340.30.971146.9329 564.039.00.967747.1825 662.337.30.956446.8779 760.435.40.949146.2174平均值㊀㊀0.9626242846.57753338㊀㊀从表2中发现第1分钟与第0分钟的数据比值与后面数据比值差异较大,对比教材数据,发现笔者实验收集的数据(表1)中第1分钟内温度变化较之后几分钟大很多,而教材中研究人员收集的数据(表3)每分钟温度变化都差不多,这引起了笔者思考.回想自己的实验过程,是待水温降至85ħ时,把水倒入放置茶叶的空杯中去泡制的,这个过程,会散去很多热量,让水温骤降.显然教材给的数据是待水温降至85ħ时,把茶叶放入杯中泡制的.考虑到实际情况,笔者认为亲自做的实验收集的数据更符合日常泡茶事实,但由于第1分钟内的温度变化不符合函数模型,因此把这个数据剔除,取了后面比值的平均,得a=0.9626,再根据这个a,算得对应的每一个k,然后取平均,得k=46.5775,最后得到函数模型y=46.5775ˑ0.9626x+25(其中xȡ0).只有亲历收集数据这个过程,才能明确自己选择模型与计算参数的合理性.数学建模的意义就在于此,可以大胆质疑教材的数据,提出自己的观点,并根据自己所学去分析问题和解决问题,这样有利于提高学生的实践能力,增强创新意识和科学精神.表3㊀教材给出的数据时间/min水温/ħ085.00179.19267.7366.5465.3564.0㊀㊀设计意图㊀根据学生现阶段掌握的知识,只能通过代入点进行求解,其实只需代入两个点就可以.因为选择的点不同,小组求得的参数就会不同,所以为了减少误差,在求温度的衰减比例时,是用每分钟(y-25)的值与上一分(y-25)值的比值,然后再求各比值的平均作为衰减比例的.另外,教材把当x=0时,y=85代入,求得k=60,此处也进行了调整,因为0时刻的温度已经剔除,所以在求得a之后,根据每组数据求得对应的k,再取平均.随后教师可以告诉学生,其实用专业软件进行函数模型求解时,会将所有的点代入,它的原理就是运用了最小二乘法,得到的结果是拟合程度最高的.图2 5.5㊀检验模型思考5㊀利用 几何画板 ,将求得的函数图像与之前的点进行拟合,观察求得函数模型的合理性.画出函数y=46.5775ˑ0.9626x+25(其中xȡ0)的图像(如图2),可以发现,这个函数模型与实际数据基本吻合,这说明求得的函数模型能较好地反映茶水温度随时间的变化规律.设计意图㊀一个模型建立和求解后,需要对结果进一步分析,检验所建立模型的可靠性.若是在误差允许范围内,则函数模型是合理的;若是误差较大,则需要对模型进行优化.通过这个环节,让学生体会检验在数学建模过程中的必要性.5.6㊀解决问题思考6㊀利用你求得的函数模型,计算茶水温度降至60ħ时所需的时间,与实际秒表测得数据进行对比.把y=60代入指数函数模型60=46.5775ˑ0.9626x+25,解得x=log0.96263546.5775ʈ7.86,这与实际记录的时间7.33接近,因此泡制一杯最佳口感的茶水所需时间大约是7~8分钟.设计意图㊀数学建模活动就是让学生把所学的知识学以致用,因此建模最后还要让分析结果回到实际问题中,用模型求得的结果与实际数据进行对比,以检验模型的合理性和适应性,也让学生从中体会学习数学的乐趣和应用价值.6㊀教学反思6.1㊀精心设计导学案高一学生对数学建模是陌生的,导学案是教学设计的 蓝本 ,学生根据导学案可以初步了解和熟悉数学建模,能让课堂更有效.数学建模的课堂容量大,45分钟的课堂重心应该放在 建立模型㊁计算求解和检验模型 上,因此有了导学案,有些环节可以让学生在课前或课后完成.比如,本次建模的问题提出和数据收集工作可以放在课前,研究报告和评价可以放在课后.6.2㊀师生都亲力亲为‘普通高中数学课程标准(实验)“要求一线教师要积极探索数学建模的教学案例,为学生学习数学营造更为广阔的空间[1].但事实上,教师的数学建模能力是有限的,只有教师对数学建模的每一个环节(包括数据的收集㊁模型的建立求解等)亲力亲为,才能对学生在数学建模过程中提出的问题㊁困惑做到心中有数,并进行有效地释疑解惑.教师是学生学习的引领者,亲力亲为是为了更好地提升自己的素养,帮助学生释疑解惑,但是最终还是要放权给学生.数学建模问题的数据能让学生亲自搜集的一定要让学生亲自搜集,因为只有自己亲历搜集数据的过程,才能对模型的选择作出准确判断,才能对模型求解和检验过程中个别数据的不合理性作出解释.比如茶水最佳饮用问题中,正因为亲自搜集了数据,所以才明白为何第0分钟到第1分钟的温度变化特别大,与教材给出的数据差异大很多.在明白原因之后,仔细分析,果断采用了自己的实验数据,因为笔者认为这更符合实际情况.之后的模型建立㊁求解和检验用的都是这组数据.而且,在计算参数时,对这组数据的不合理性也心知肚明,并把这个不合理的数据进行了剔除,让模型更为合理.6.3㊀评价方式多样化数学建模问题属于开放型题,没有唯一的答案,在这个过程中需要学生多方面的能力.教师在数学建模教学过程中,要更加注意对学生学习过程的关注与评价.除了要学生重视数学知识㊁技能的掌握和运用外,还要重视在解决实际问题中数学知识的运用.开展数学建模学习的目的之一是培养学生学习数学的兴趣,提高学生学习数学的热情,因此在评价学生的时候要以鼓励㊁激励为主,同时注重学生的自评互评,发挥评价的积极作用,提高学生学习数学的热情.6.4㊀组建建模小组教师的数学建模能力是有限的,教师一个人的力量也是单薄的,但是数学建模素养的教育目的是不言而喻的.鉴于现在的教学现状,教师应该有意识地将学生组成建模小组,以建模兴趣小组的形式开展教学活动,教师作为指导者,让学生自由发挥㊁自主探索㊁相互学习㊁分享学习成果,从而让学生在数学建模的过程中体会数学的乐趣,感悟数学与现实的关系.积极开展组内㊁组外自评与互评,不断完善和发展建模小组.最终发挥教师引导者的作用,发挥数学建模在培养学生创新意识㊁科学精神和提升实践能力方面的作用.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张明琴.基于数学建模素养的高中数学课堂教学策略研究[J].现代商贸工业,2019,36(36):173-174.。
