新高考苏教版数学理大一轮复习训练3.2用导数研究函数的单调性与极值(含答案解析)

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________.【答案】－173【解析】f ′(x )＝x 2＋2x －3， 令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.2.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于________. 【答案】183.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有_______个【答案】2【解析】依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x2<x<x4时，f′(x)≥0；当x4<x<b时，f′(x)<0.因此，函数f(x)分别在x＝x1、x＝x4处取得极大值4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.【答案】－135.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.所以m>6或m<－3.6.济宁模拟】已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③【解析】∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)·(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0， y 极小值＝f (3)＝－abc <0. ∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③.7.函数2ln(23)(xy ae x a e =-+-为自然对数的底数）的值域是实数集R ，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(],1-∞8.若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】[)2,1-【解析】因为33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，所以 1±=x ，所以函数)(x f 在)1,(--∞，),1(+∞上单调递增；在)1,1(-上单调递减，要函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，所以⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<22661aa a a ，解得12<≤-a ，故实数a 的取值范围是[)2,1-．9.已知函数1ln ()x f x x += ，如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围________. 【答案】2k ≤【解析】不等式(),1k f x x ≥+即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x++= 所以[]2(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x x x -=令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-，1x ≥， ()0,h x '∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，[]min ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤10.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是________. 【答案】1(0,)2二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

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】专题3.2 利用导数研究函数的极值与最值基础巩固题组一、填空题 1．下列函数：①y ＝x 3；②y ＝ln(－x )；③y ＝x e －x；④y ＝x ＋2x.其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)． 【答案】④【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 【答案】53．(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________．【答案】2【解析】当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.4．(2017·南通调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为________． 【答案】9【解析】f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．5．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________. 【答案】1【解析】由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)7．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是________(填序号)．【答案】④【解析】因为[f (x )e x]′＝f ′(x )e x＋f (x )(e x)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )ex的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；④中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.8．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)【解析】∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x<－1，∴a ＝－e x<－1. 二、解答题9．已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．10．(2017·衡水中学二调)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x(a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值． 解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x， 故切线的斜率为g ′(1)＝4e.所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x )－＋f (x )极小值①当t ≥1e 时，在区间 [t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫t ，1e 上f (x )为减函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，t ＋2上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .能力提升题组11．(2017·盐城一模)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为________．【答案】3212．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论：①a >0，b <0，c >0，d >0；②a >0，b <0，c <0，d >0； ③a <0，b <0，c >0，d >0；④a >0，b >0，c >0，d <0. 其中，结论成立的是________(填序号)． 【答案】①【解析】由函数y ＝f (x )的图象知，a >0，f (0)＝d >0. 又x 1，x 2是函数f (x )的极值点， 且f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0，∴x 1，x 2是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由图象知，x 1>0，x 2>0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b3a >0，x 1x 2＝c3a >0.因此b <0，且c >0.13．(2017·镇江期末)若函数f (x )＝－2x 3＋2tx 2＋1存在唯一的零点，则实数t 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞14．(2017·苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数模型y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，设 PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价．解 (1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40·4x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2 (1≤x ≤9)．(2)因为f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5x 3－64x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：x (1,4) 4 (4,9) f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋3242＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。

核心考点·精准研析考点一 不含参数的函数的单调性1.函数y=xln x 的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,e -1) B.(e -1,+∞) C.(e,+∞) D.(0,e -1)2.函数f(x)=(x+2)e xx的单调递增区间为________.3.(2021·浙江高考改编)函数f(x)=-34ln x+√x +1的单调递减区间为________.4.(2021·天津高考改编)函数f(x)=e x cos x 的单调递增区间为_______. 【解析】1.选D.函数y=xln x 的定义域为(0,+∞), 因为y=xln x,所以y ′=ln x+1,令y ′<0得0<x<e -1,所以减区间为(0,e -1). 2.因为f(x)=(x+2)e x x,所以f ′(x)=(x 2+2x -2)e xx 2,由f ′(x)>0,解得x<-1-√3或x>-1+√3.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-√3)和(-1+√3,+∞). 答案:(-∞,-1-√3)和(-1+√3,+∞) (x)=-34ln x+√1+x 的定义域为(0,+∞).f ′(x)=-34x +2√1+x=(√1+x -2)(2√1+x+1)4x √1+x,由x>0知√1+x >0,2√1+x +1>0, 所以由f ′(x)<0得√1+x -2<0,解得0<x<3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3). 答案:(0,3)4.由已知,有f ′(x)=e x (cos x-sin x). 因此,当x ∈(2kπ-3π4,2kπ+π4)(k ∈Z)时,有sin x<cos x,得f ′(x)>0,则f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z).答案:[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z)题2中,若将“f(x)=(x+2)e xx”改为“f(x)=x 2e x ”,则函数f(x)的单调递减区间是________. 【解析】因为f(x)=x 2e x ,所以f ′(x)=2xe x +x 2e x =(x 2+2x)e x . 由f ′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x 2e x 的单调递减区间是(-2,0). 答案:(-2,0)确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求f ′(x).(3)解不等式f ′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【秒杀绝招】排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x ∈(1,+∞)时,y=x 和y=ln x 都是增函数且为正数,所以y=xln x 也是增函数,从而排除B,C.考点二 含参数的函数的单调性【典例】已知函数f(x)=ln x+ax 2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性. 【解题导思】 序号题目拆解(1)求f ′(x),解方程 f ′(x)=0求f(x)的定义域,求f ′(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f ′(x)=0的根(2)由f ′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】因为f(x)=ln x+ax 2-(2a+1)x, 所以f ′(x)=2ax 2-(2a+1)x+1x=(2ax -1)(x -1)x,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞), 令f ′(x)=0得x=1或x=12a,(1)若12a<1,即a>12,由f ′(x)>0得x>1或0<x<12a,由f ′(x)<0得12a<x<1,即函数f(x)在(0,12a),(1,+∞)上单调递增,在(12a,1)上单调递减;(2)若12a>1,即0<a<12, 由f ′(x)>0得x>12a或0<x<1,由f ′(x)<0得1<x<12a, 即函数f(x)在(0,1),(12a,+∞)上单调递增, 在(1,12a)上单调递减;(3)若12a=1,即a=12,则在(0,+∞)上恒有f ′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<12时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,12a)上单调递减,在(12a,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>12时,函数f(x)在(0,12a)上单调递增, 在(12a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.已知函数f(x)=(x-3)e x +a(x-2)2,其中e 为自然对数的底数,a ∈R.讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=e x +(x-3)e x +2a(x-2)=(x-2)(e x +2a).(1)当a ≥0时,令f ′(x)>0,得x>2,令f ′(x)<0,得x<2,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减.(2)当a<0时,由f ′(x)=0得x=2或x=ln(-2a), ①当ln(-2a)<2,即a>-e 22时,当x ∈(-∞,ln(-2a))时,f ′(x)>0, 当x ∈(ln(-2a),2)时,f ′(x)<0, 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减.②当ln(-2a)=2即a=-e22时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增.③当ln(-2a)>2即a<-e22时,当x∈(-∞,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,ln(-2a))时,f′(x)<0,当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减. 考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单调性的应用等问题.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集,即f ′(x)max>0(或f ′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间D 上的单调性,区间D 上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.函数图象的识别【典例】函数f(x)=x 2+xsin x 的图象大致为 ( )【解析】选A.因为f(-x)=x 2-xsin(-x)=x 2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B 不符合题意, f(x)=x 2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g ′(x)=1+cos x ≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时, f(x)=xg(x),f ′(x)=g(x)+xg ′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A 符合题意.辨别函数的图象主要从哪几个角度分析提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图象所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2021·兰州模拟)函数f(x)在定义域R 内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f ′(x)>0.若a=f(0),b=f (12),c=f(3),则a,b,c 的大小关系是( )>b>a >a>b>b>c >a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f(12)<f(0),即c<b<a.单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值范围有什么要求提示:必须在同一个单调区间内.根据函数的单调性求参数【典例】(2021·北京高考)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是________.【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=e x-ae-x=(e x)2-ae x≥0恒成立,即g(x)=(e x)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].答案:-1 (-∞,0]函数f(x)在某区间上是增函数,推出f ′(x)>0还是f ′(x)≥0 提示:推出f′(x)≥0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f ′(x)可能为 ( )【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f ′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D 符合题意.2.已知函数f ′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=1e ,对任意实数都有f(x)-f ′(x)>0,设F(x)=f (x )e x,则不等式F(x)<1e2的解集为 ( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞) 【解析】选B.根据题意,F(x)=f (x )e x, 其导数F ′(x)=f '(x )·e x -f (x )·(e x )'e 2x=f '(x )-f (x )e x,又由f(x)-f ′(x)>0,则有F ′(x) <0, 即函数F(x)在R 上为减函数, 又由f(1)=1e ,则F(1)=f (1)e=1e 2,不等式F(x)<1e2等价于F(x)<F(1), 则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x 3-3x 2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m 的取值范围是________.【解析】因为f(x)=2x 3-3x 2-12x+3, 所以f ′(x)=6x 2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令f ′(x)>0,得x<-1或x>2; 令f ′(x)<0,得-1<x<2,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增, 在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或{m ≥-1,m +4≤2或m ≥2.所以m ≤-5或m ≥2,则m 的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)(2021·内江模拟)若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 ( )A.(-1e,1) B.(-1e,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,1e)【解析】选B.因为f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则f ′(x)=ax+lnx ≥0在(0,+∞)上有解, 即a ≥-lnx x在(0,+∞)上有解,令g(x)=-lnx x,x>0,则g ′(x)=lnx -1x 2,当x>e 时,g ′(x)>0,g(x)单调递增, 当0<x<e 时,g ′(x)<0,g(x)单调递减,又x →0,g(x)→+∞,x →+∞,g(x)<0且g(x)→0, 因为g(e)=-1e,所以a ≥-1e,当a=-1e时,f ′(x)=-1ex+ln x,令h(x)=-1ex+ln x, 则h ′(x)=1x -1e ,当x>e 时,h ′(x)<0,函数单调递减, 当0<x<e 时,h ′(x)>0,函数单调递增, h(x)≤h(e)=0, 即f ′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a 的取值范围是(-1e ,+∞).。

第 2 讲利用导数研究函数的单一性、极值与最值基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、填空题1.已知函数 y＝ f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数 y＝f′ (x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ________．(填序号 )分析由 y＝f′ (x)的图象知， y＝ f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度愈来愈快，而在区间(0,1)上增加速度愈来愈慢．答案②2．(2014 ·青岛模拟 )函数 f(x)＝ x3－3x2＋2 在区间 [－1,1] 上的最大值是 ________．分析f′(x)＝ 3x2－ 6x，令 f′(x)＝0，得 x＝ 0 或 2.∴f(x)在[ －1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(x)极大值＝f(0)＝ 2.答案23．(2014·苏州模拟函数y＝x的最小值是 ________．)xe分析y′＝e x＋x＝(1＋x，令′＝，则＝－，由于x＜－1时，′xe x)e y0x1y1＜ 0，x＞－ 1 时， y′＞ 0，因此 x＝－ 1 时， y min＝－e.1答案－e4．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为 ________．函数的定义域为 (0，＋∞)，函数的导数为 y′＝1－＝1－2x2分析，令′x2x x y 1－2x2222＝x＝0，解得 x＝2，当 x＞2时， y′＜0，当 0＜ x＜2时， y′＞0，22因此当 x＝2时，函数获得极大值，故函数的极值点为 2.答案2 25．(2013·福建卷改编设函数f(x)的定义域为0 0≠0)是f(x)的极大值点，以)R，x (x下结论必定正确的选项是 ________(填序号 )．① ? x∈R，f(x)≤f(x0)②－ x0是 f(－x)的极小值点③－ x0是－ f(x)的极小值点④－ x0是－ f(－x)的极小值点分析①错，由于极大值未必是最大值；②错，由于函数y＝f(x)与函数 y＝f(－x)的图象对于 y 轴对称，－ x应是 f(－x)的极大值点；③错，函数y＝f(x)与函数 y＝－ f(x)的图象对于 x 轴对称， x0应为－ f(x)的极小值点；④正确，函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(－ x)的图象对于原点对称，－ x应为 y＝－ f(－x)的极小值点．答案④6．若函数f(x)＝x2＋a在 x＝1 处取极值，则 a＝________.x＋ 12x x＋1 － x2＋a x2＋ 2x－a分析由 f′ (x)＝x＋ 12＝x＋ 12＝0，∴x2＋2x－a＝ 0， x≠ －1，又 f(x)在 x＝1 处取极值，∴x＝1 是 x2＋ 2x－a＝0 的根，∴a＝3.答案37．函数f(x)＝x的单一递减区间是 ________．ln x分析ln x－1，令′得－，且≠ ∴或，f′(x)＝2f(x)<0ln xln x1<0ln x 0. 0<x<11<x<e 故函数的单一递减区间是(0,1)和(1，e)．答案(0,1)，(1，e)1 28．已知函数f(x)＝－2x ＋ 4x－3ln x 在[t， t＋1]上不但一，则t 的取值范围是________．分析由题意知 f′(x)＝－ x＋4－3＝－x－1 x－3，由 f′(x)＝ 0 得函数 f(x)xx的两个极值点为1,3，则只需这两个极值点有一个在区间(t，t＋ 1)内，函数 f(x)在区间 [t，t＋1]上就不但一，由t<1<t＋ 1 或 t<3<t＋1，得 0<t<1 或 2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)二、解答题．·郑州质检已知函数2＋bln x 在 x＝ 1 处有极值19 (2014)f(x)＝ax2.(1)求 a，b 的值；(2)判断函数 y＝f(x)的单一性并求出单一区间．b1解(1)f′(x)＝2ax＋x，又 f(x)在 x＝1处有极值2.11f 1 ＝2，即a ＝2，∴f ′ 1 ＝ 0， 2a ＋ b ＝ 0.解得 a ＝1，b ＝－ 1.21 21(2) 由 (1) 可知 f(x) ＝ 2x－ ln x ，其定义域是 (0，＋∞ ) ，且 f ′ (x)＝ x － x ＝x ＋ 1 x －1 .x令 f ′ (x)＝0，解得 x ＝1 或－ 1(舍去 )．当 x 变化时， f ′ (x)，f(x)的变化状况以下表：x(0,1) 1 (1，＋∞ )f ′ (x) －0 ＋f(x)极小值因此函数 y ＝ f(x)的单一减区间是 (0,1)，单一增区间是 (1，＋∞ )．10．(2013 ·重庆卷 )设 f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，此中 a ∈R ，曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1))处的切线与 y 轴订交于点 (0,6)．(1)确立 a 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间与极值．解 (1)由于 f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，因此 f ′(x)＝ 2a(x －5)＋6x .令 x ＝ 1，得 f(1)＝ 16a ，f ′ (1)＝6－8a ，因此曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－ 8a)(x －1)，1由点 (0,6)在切线上可得 6－ 16a ＝ 8a －6，故 a ＝2.1 2 ＋6ln x(x>0)， (2)由(1)知， f(x)＝2(x －5) 6 x －2 x －3 f ′(x)＝ x － 5＋ x ＝ x.令 f ′ (x)＝0，解得 x ＝2 或 3.当 0<x<2 或 x>3 时， f ′(x)>0，故 f(x)在(0,2)，(3，＋∞ )上为增函数；当 2<x<3 时， f ′ (x)<0，故 f(x)在 (2,3)上为减函数．9由此可知 f(x)在 x ＝2 处获得极大值 f(2)＝ 2＋6ln 2，在 x ＝ 3 处获得极小值 f(3)＝ 2＋6ln 3.能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )一、填空题． (2014 ·杭州质检 函数2－2ax ＋a 在区间 (－∞， 1)上有最小值，则函数 1 ) f(x)＝ xf x 在区间 (1，＋∞ )上必定 ________(填序号 )．g(x)＝ x①有最小值 ②有最大值 ③是减函数 ④是增函数分析 由函数 f(x)＝ x 2－ ＋ a 在区间 ( －∞ ， 1) 上有最小值，可得 ，又2ax a<1f x aag(x)＝ x ＝ x ＋ x － 2a ，则 g ′(x)＝ 1－ x 2，易知在 x ∈(1，＋ ∞)上 g ′(x)>0，所以 g(x)在(1，＋ ∞)上为增函数．答案④2．(2013 ·湖北卷改编 ) 已知 a 为常数，函数 f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点 x1，x 2 1(x ＜ x 2)，则以下结论正确的选项是 ________(填序号 )． ① f(x 1 ＞ ， 2 ＞－ 1 ②f(x 1 ＜ ， 2 ＜－ 1) 0 f(x ) 2 ) 0 f(x ) 2③ f(x 1 ＞ ， 2 ＜－ 1 ④f(x 1 ＜ ， 2 ＞－ 1 ) 0 f(x ) 2 ) 0 f(x ) 2分析f ′(x)＝ ln x ＋1－2ax(x ＞0)，依题意 ln x ＋1－2ax ＝0 有两个正实数根1x 1， x 2(x 1＜x 2)．设 g(x)＝ln x ＋ 1－ 2ax ；则 g ′ (x)＝ x －2a ，明显当 a ≤0 时不1 1合题意，必有 a ＞0.令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝2a ，于是 g(x)在 0， 2a 上是增函数， 1 1 1 1 在 2a ，＋ ∞ 上是减函数，因此 g(x)在 x ＝2a 处获得极大值，因此 f ′ 2a ＝ln 2a111＞ 0，即2a＞1,0＜a＜2，且应有 x1＜2a＜ x2 .于是f(x1) ＝x1ln x1－ ax21＝ x1(2ax1－ 1)－ax21＝ ax21－ x1＝ x1(ax1－ 1)＜ 0.又 x∈12a，x2时 f′(x)＞0，x∈(x2，＋∞ )时 f′(x)＜0，因此 x2是 f(x)的极大值点，1因此 f(x2)＞ f(1)＝－ a＞－2.答案④3．设直线 x＝t，与函数 f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M，N，则当 |MN| 达到最小时 t 的值为 ________．分析当 x＝ t 时， f(t)＝t2，g(t)＝ln t，∴y＝ |MN|＝ t2－ln t(t＞ 0)．2t2－12t＋2t－222∴y′＝2t－1＝＝t .t t当 0＜t＜2时， y′＜0；当 t＞2时， y′＞ 0. 2222∴y＝ |MN|＝ t －ln t 在 t＝2时有最小值．答案22二、解答题4．(2014 ·兰州模拟 )已知函数 f(x)＝－ x2＋ ax－ln x(a∈R)．1(1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在2，2 上的最大值和最小值；1(2)当函数 f(x)在2， 2 上单一时，求 a 的取值范围．12x 2－ 3x＋1－－12x 1 x解(1)a＝ 3 时， f′(x) ＝－ 2x＋3－x＝－x＝－x，令1f′(x)＝ 0，解得 x＝2或 1.当 x∈ 0，1∪(1，＋∞ )时， f′ (x)<0，故 f(x)在 0，1和(1，＋∞ )上单一递22减；当 ∈ 1，1 时， f ′ (x)>0 ，故f(x) 在 1，1 上单一递加， x 2 21因此函数 f(x)在区间 2，2 上仅有极大值点 x ＝ 1，1故这个极大值点也是最大值点，故函数 f(x)在2，2 上的最大值是 f(1)＝2.1 5 3又 f(2)－f 2 ＝(2－ln 2)－ 4＋ln 2＝4－2ln 2<0，1故 f(2)<f 2 ，故函数在 1，2 上的最小值为f(2) ＝ －ln 2.2211(2)f ′(x)＝－ 2x ＋a － x ，令 g(x)＝2x ＋ x ，1 1 22则 g ′(x)＝ 2－ x 2 ，则函数 g(x)在 2，2 上单一递减， 在2 ，2 上单一递加，1 92 1 9由 g 2 ＝ 3， g(2) ＝2，g2 ＝ 22，故函数 g(x)在2，2 的值域为 2 2，2 .1若要 f ′(x)≤ 0 在 2，2 上恒建立，11 即 a ≤2x ＋x 在 2，2 恒建立，只需 a ≤2 2；1若要 f ′(x)≥ 0 在 2，2 上恒建立，1 19即 a ≥2x ＋x 在 2，2 上恒建立，只需 a ≥ 2，9即 a 的取值范围是 (－∞， 2 2 ]∪ 2，＋∞ .。

第2讲 用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1．已知f (x )＝x ＋cos x (x ∈R)，则不等式f (e x－1)>f (0)的解集为________．解析 f (x )＝x ＋cos x ，f ′(x )＝1－sin x ≥0，∴f (x )(x ∈R)是增函数．若f (e x－1)>f (0)，则e x －1>0，e x>1，即x >0.∴解集为(0，＋∞)． 答案 (0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．解析 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.由f ′(x )＞0得x ＜0或x ＞2，由f ′(x )＜0得0＜x ＜2，所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 答案 23．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意知f ′(x )＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)＜f (3x )，则实数x 的取值范围是________． 解析 由f (x )＝ln x ＋2x，得f ′(x )＝1x＋2x ln 2＞0，x ∈(0，＋∞)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x 2＋2)＜f (3x )，得0＜x 2＋2＜3x ，所以x ∈(1,2)． 答案 (1,2)5．已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，依题意，知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0得2≤m ≤4. 答案 [2,4]6． 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是________．解析 设h (x )＝f (x )e x，则h ′(x )＝(2ax ＋b )e x＋(ax 2＋bx ＋c )e x＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x.由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，当x ＝－1时，ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则x 1x 2＝aa＝1，④中图象一定不满足该条件． 答案 ④7．已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，导函数为f ′(x )＝x 2＋2cos x 且f (0)＝0，则满足f (1＋x )＋f (x 2－x )＞0的实数x 的集合是________．解析 因为当x ∈(－2,2)时，f ′(x )≥0且为偶函数，所以f (x )是奇函数且在(－2,2)上单调递增，于是由f (1＋x )＞－f (x 2－x )＝f (x －x 2)，得－2＜x －x 2＜1＋x ＜2，解得－1＜x ＜1. 答案 (－1,1)8．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________． 答案 [－2，－1]9．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [4，＋∞)10．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1·f (x 2－1)的解集为________．解析 设F (x )＝xf (x )，则由F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，可得函数F (x )是R 上的增函数．又x ＋1>0，所以由f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可变形得x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即F (x ＋1)>F (x 2－1)，所以⎩⎨⎧x ＋1>x 2－1，x ≥1，解得1≤x <2. 答案 [1,2) 二、解答题11．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞2x 的解集为(－1,3)．(1)若函数g (x )＝xf (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，求a 的取值范围；(2)当a ＝－1时，证明方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根．(3)当x ∈[0,1]时，试讨论|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件．解 (1)∵f (x )－2x >0的解集为(－1,3)，∴可设f (x )－2x ＝a (x ＋1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＋2x ＝ax 2＋2(1－a )x －3a ①g (x )＝xf (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax ，∵g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3上的函数值非正，由于a <0，对称轴x ＝a －3a>0，故只需g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 33＋43a ·(1－a )－3a ≤0，注意到a <0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)．故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)证明：a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，即证方程2x 3＋x 2－4x －4＝0仅有一个实数根．令h (x )＝2x 3＋x 2－4x －4，由h ′(x )＝6x 2＋2x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝23，易知h (x )在(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23上递减，h (x )的极大值h (－1)＝－1<0，故函数h (x )的图象与x 轴仅有一个交点，∴a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r (x )＝f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1＝ax 2＋x ＋1，r (0)＝1，对称轴为x ＝－12a，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a <0r＝a ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a <－12r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ≤3r ＝a ＋2≥－3解出－5≤a ＜0，故使|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件是 －5≤a ＜0.12．已知曲线f (x )＝ln(2－x )＋ax 在点(0，f (0))处的切线斜率为12，(1)求f (x )的极值；(2)设g (x )＝f (x )＋kx ，若g (x )在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域是(－∞，2)，f ′(x )＝1x －2＋a . 由题知f ′(0)＝－12＋a ＝12，所以a ＝1，所以f ′(x )＝1x －2＋1＝x －1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示x (－∞，1)1 (1,2) f ′(x ) ＋－ f (x )1所以f (x )在x ＝1处取得极大值1，无极小值． (2)g (x )＝ln(2－x )＋(k ＋1)x ，g ′(x )＝1x －2＋(k ＋1)， 由题知g ′(x )≥0在(－∞，1]上恒成立， 即k ≥12－x －1在(－∞，1]上恒成立，因为x ≤1，所以2－x ≥1，所以0＜12－x ≤1，所以－1＜12－x －1≤0，所以k ≥0.故实数k 的取值范围是[0，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间；解 (1)由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x (x >0)． 由题意，得f ′(1)＝0，所以k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )(x >0)． 令h (x )＝1－x －x ln x (x >0)，则当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)时，f (x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＜－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a. 所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减． (2)不妨设x 1≥x 2，而a ＜－1，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|成立，它等价于对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，有f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1.① 令g (x )＝f (x )＋4x ，则g ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＋4，①式等价于g (x )在(0，＋∞)上单调递减，即a ＋1x ＋2ax ＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立，从而a ≤－4x －12x 2＋1＝x －22x 2＋1－2在(0，＋∞)上恒成立，由于x －22x 2＋1－2≥－2，故a 的取值范围是(－∞，－2].。

函数的单调性与最值分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析 由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x符合题意．答案 ①2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x在R ＋上递减．答案 ②3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )是二次函数且开口向上， 所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数， 则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数．答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．解析 由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0， 得f (1－x )＜－f (1－x 2)，所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)． 答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析 由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的． 答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． (1)证明 法一 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 法二 因为f (x )＝1a －1x，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明 法一 因为函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， 所以令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，所以f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又由x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， 所以f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上为减函数． (2)解 因为f (x )在R 上是减函数， 所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. 所以f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.分层训练B 级 创新能力提升1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是________．解析 由题意，得f (x )在[－2,2]上递增，且由f (x －4)＝－f (x )得f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，所以f (－25)＜f (80)＜f (11)．答案 f (－25)＜f (80)＜f (11)2．(2012·盐城模拟)如果对于函数f (x )的定义域内任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)且存在两个不相等的自变量m 1，m 2，使得f (m 1)＝f (m 2)，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数g (x )的定义域、值域分别为A ，B ，A ＝{1,2,3}，B ⊆A 且g (x )为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数g (x )共有________个．解析 分B 中元素为1个，2个，3个讨论．B 中只有一个元素时，此时各有一个函数；B 有两个元素，此时各有两个函数；B 有3个元素时，不合题意．因此共有3＋6＝9个函数． 答案 93．已知函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]＜0；②f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1；③f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析 函数f (x )＝1－1－x 2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＞0，f x 2＜fx 1，即f (x )在x ∈[0,1]上是单调递减函数，结合图象可知，结论①错误；结论②可变形为f x 2－f x 1x 2－x 1＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不大于1，结论②错误；对于结论③，因为图象是凹函数，满足f x 1＋f x 22＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以结论③正确．答案 ③4．(2013·启东月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是(1，＋∞)；④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0 且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22成立，故④正确． 答案 ①③④5．(2012·淮南一模)已知f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数a ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由； (2)解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解 (1)f (x )是R 上的减函数，理由如下： 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又f (－3)＝2，所以f (0)<f (－3)．因为f (x )是R 上的单调函数，所以f (x )是R 上的减函数． (2)由f ⎝⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x <－f (m )＝f (－m )，且f (x )是R 上的减函数，得m －x x >－m ，即1－m x －mx<0. 当m >1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <m1－m或x >0；当m ＝1时，{x |x >0}； 当0<m <1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <m 1－m . 6．(2012·常州一中期中)若函数f (x )为定义域D 上的单调函数，且存在区间[a ，b ]⊆D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值范围恰为[a ，b ]，则称函数f (x )是D 上的正函数，区间[a ，b ]叫做等域区间．(1)已知f (x )＝x 12是[0，＋∞)上的正函数，求f (x )的等域区间；(2)试探究是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝x 是[0，＋∞)上的正函数，且f (x )＝x 在[0，＋∞)上单调递增，∴当x ∈[a ，b ]时，⎩⎪⎨⎪⎧ fa ＝a ，fb ＝b ，即⎩⎨⎧a ＝a ，b ＝b ，解得a ＝0，b ＝1，故函数f (x )的“等域区间”为[0,1]． (2)∵函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的减函数，∴当x ∈[a ，b ]时，⎩⎪⎨⎪⎧ga ＝b ，g b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋m ＝b ，b 2＋m ＝a ，两式相减得a 2－b 2＝b －a ，即b ＝－(a ＋1)，代入a 2＋m ＝b ，得a 2＋a ＋m ＋1＝0，则其对称轴为a ＝－12.由a <b <0，且b ＝－(a ＋1)<0，得－1<a <－12，故关于a 的方程a 2＋a ＋m ＋1＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12内有实数解，记h (a )＝a 2＋a ＋m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧h －1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34.故存在m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34，使得函数g (x )＝x 2＋m 是(－∞，0)上的正函数.。

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( ×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √)(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) (6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x(x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2013·某某改编)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则下列命题正确的是________．①当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值； ②当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值； ③当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值； ④当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值． 答案 ③解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x＋e x－2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1附近的左边f ′(x )<0，x 在1附近的右边f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故只有③正确．3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________． 答案 (－1，＋∞)解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0， ∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x2x2的大小关系是__________________．(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x2解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数，∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln x x<1，∴(ln x x)2<ln x x.又ln x2x2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝2－x ln xx2>0， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x2x2.题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值X 围，若不存在，请说明理由．思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x－a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x－a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增，若a >0，令e x－a ≥0，则e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ， 当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝e x－a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x在x ∈(－2,3)上恒成立． ∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3<0在x ∈(－2,3)上恒成立， 即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数X 围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________________．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值X 围是_________________．答案 (1)(2,2a ) (2)(－∞，－1]解析 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数． (2)转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值X 围是(－∞，－1]． 题型二 利用导数求函数的极值例2 (2014·某某)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1. (1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x.(1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x－2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值， 且极小值f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x－2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)>0. 故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x.思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间内单调函数没有极值．设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值X 围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值X 围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3(2014·某某改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x－ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －b . 所以g ′(x )＝e x－2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )－ek －1所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.利用导数求函数的最值问题典例：(16分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规X 解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[14分]综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.[16分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规X．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规X，是解答中的突出问题．方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(X围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规X、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防X1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较再下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为________．答案 ③解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，故①④不正确；从适合f ′(x )＝0的点可以排除②，图③符合条件，f (x )的图象可能为③.3．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2xx ＋1－x 2＋ax ＋12，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3. 4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x＝x －1x ＋1x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]． 7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，可知最小值为－173.8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值X 围是________． 答案 (－1,0)解析 当a ＝0时，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，则x 1＝－1，x 2＝a .若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，不符合题意，所以a ∈(－1,0)． 9．已知函数f (x )＝1x＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． 10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，某某数m 的取值X 围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)． 若x <0，则1－e x>0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x<0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值X 围为(－∞，2－e 2)．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集是________．答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x－1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x[f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．2．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则下列不等式成立的是________．①f (1)<e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) ②f (1)>e f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) ③f (1)>e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) ④f (1)<e f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)答案 ④ 解析 令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝(f xex)′＝f ′x e x －f x e xe2x＝f ′x －f xex<0，所以函数g (x )＝f xex是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f 1e1<f 01，f 2 016e2 016<f 01，故f (1)<e f (0)，f (2 016)<e2 016f (0)．3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0； ④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )<0，得1<x <3， 由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)， (3，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0， ∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0， ∴正确结论的序号是②③.4．(2013·某某)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．5．(2014·某某)设函数f (x )＝e xx 2－k (2x＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值X 围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k x －2x 2＝x －2e x－kxx 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g ln k <0，g 2>0，0<ln k <2.解得e<k <e22.e2 2)．综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值X围为(e，。

【最新考纲解读】【考点深度剖析】【课前检测训练】 [判一判](1)f ′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( )解析 错误.若f ′(x)>0，则f(x)为增函数；但f(x)为增函数时，应有f ′(x)≥0，如函数y ＝x 3.(2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( ) 解析 错误.可能有多个极大值也可能没有极大值. (3)函数的极大值不一定比极小值大.( ) 解析 正确.(4)对可导函数f(x)，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( )解析 错误.例如函数f(x)＝x 3，在x ＝0处的导数为0，但f(0)不是它的极值. (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )解析 正确.当函数在区间的端点处取得最值时，该最值就不是极值. [练一练]1．函数y ＝12x2－ln x 的单调递减区间为_______解析 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x －1x ＝－＋x，令y′≤0，则可得0<x≤1. 答案 (0,1]2．如图是f(x)的导函数f ′(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为________.解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 13．已知f(x)＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________.解析 f ′(x)＝3x2－a ≥0，即a ≤3x2，又∵x ∈[1，＋∞)，∴a ≤3，即a 的最大值是3. 答案 34．函数f(x)＝x33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________.答案 －173【经典例题精析】考点1 运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的 切线与x 轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【答案】(1) k＝1. (2) 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．【1-1】【1-2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________.【答案】3【解析】f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故a max＝3.【基础知识】在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．【思想方法】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．【温馨提醒】在函数f (x )的定义域内研究函数单调性． 考点2 运用导数求函数的极值 【2-1】已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【答案】(1) a ＝e. (2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．【2-2】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝__________. 【答案】18【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝10，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0， 得a ＝4，或a ＝－3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值． ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18. 【基础知识】极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【思想方法】求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况．【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．考点3 运用导数求函数的最值【3-1】已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【答案】(1) 单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2) (1－k)e.设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e ，＋∞)．综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)． 【基础知识】(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【思想方法】求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质 【易错题型大揭秘】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号． 如：已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，求a ，b 的值．【分析】()236f x x ax b '=++，由题意得()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即2630310a b a a b -++=⎧⎨+--=⎩，解之得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥恒成立，所以()f x 在1x =-处无极值，舍去．所以2a =，9b =．【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误．。