2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷与解析word(理科)

山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）答 案1~5．CCCBC 6~10．BDAAB 11~12．BA 13．1-14．10x y +-= 15．R =16．30017．解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以(4,3),(8,0)M P|5|MP ==（2）在,120MNP MNP ∠=︒△中，故(0,60)θ∈︒︒ 由正弦定理得5sin20sin sin(60)NP MNθθ==︒︒-，所以.,)NP MN θθ==︒-. 设使折线段赛道MNP 为L 则))sin ]60)L θθθθθ=︒-=︒-+=+︒ 所以当角30θ=︒时L18．解：（1）当13t =时，PA MQB ∥平面下面证明：若PA MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴== ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴= （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=︒Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为(1,0,0)(0,0)(0,0,0)(0,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(,,)n x y z =r，可得0 0n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u r g r u u u u rg 而PA MN ∴∥ 00 n QB v n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g r u u u r g，00x =-=⎪⎩取1z =，解得0,1)n =r取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ，则| |1cos 2|||n|QP n QP θ==u u u r r g u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60︒19．解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为1111 23424P ==g g （2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为11231 2344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为212311312111 23423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为31131211111 2342342344P=++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14 112414 12411111730525 30 35 40 304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．（Ⅰ）解：由MOF △是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设1122(),,,()A x y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++ 由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即1()22y k x =+-．所以直线AB 过定点1(,2)2--．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(),,,()A x y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1(,2)2--． 综上，直线AB 过定点1(,2)2--．21．解：（1）()(1)af x x a x'=+-+Q ，①0a ≤当时，若01x <<，则()0f x '<，故函数()f x 的单调减区间是(0,1)；若1x >，则()0f x '>，故函数()f x 的增区间是(1,)+∞．②当01a <<时，函数()f x 的单调减区间是(,1)a ；单调增区间是(0,)(1,)a +∞,． ③当1a =时，则2(1)()0x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞；④当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)a ；函数()f x 的单调递增区间是(0,1)(,)a +∞,．（2）由于1(1)2f =-， 当0a >时(1)0f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得,()f x 在区间(0,)+∞上的极小值，也是最小值为1(1)2f =-， 此时，(1)0f ≥，解得12a ≤-， 故实数a 的取值范围是1(,)2-∞-．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111()ln 0222f x x x x =-+≥-，当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x >时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边11111111()()...()1121()n m m m m m n m n m m n m m n >-+-++-=-=++++-+++， 从而得证．22．解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=， 由2(2cos 2sin )470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，12122(cos sin ) 7t t t t αα+=--⎧∴⎨=-⎩g ， 又直线过点(1,2)，故结合t 的几何意义得1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-，||||PA PB +∴的最小值为23．解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2）11()()(1)|21||21|g x f x f x m x x m==+++-+++的定义域为R ，可得|21||21|0x x m +++≠﹣恒成立．|||(21||2121)(21)|2,2x x x x m -++≥--+=∴>Q -．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）解 析1．【考点】5A ：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等的性质求出x y ，，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：i x y R ∈Q ，，为虚数单位，且2i 1i x y =+（﹣）﹣﹣，∴211x y -=⎧⎨-=-⎩，解得31x y ==，，421i 1i 2i 4x y +∴+=+==（）（）（）﹣．故选：C ．2．【考点】1H ：交、并、补集的混合运算． 【分析】先求出R B ，ð从而根据集合A 及RA B R =U（）ð即可求出a 的取值范围． 【解答】解|}12{R B x x x =≤≥Q ：，或ð， R A B R ∴=U 若（）；ð2a ∴≥． 故选C ．3．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】设公差为d ，由101221210S S -=，得1d =，从而201711112016,201320171S S S a -+⨯==-，由此能求出2017S ．【解答】解：{}n a Q 为等差数列，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设公差为d ，Q101221210S S -=， 1d ∴=，201711112016,201320171S SS a -+⨯==-，2017201736051S ∴=⨯=．故选：C ．4．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论． 【解答】解：不等式对应的平面区域如图： 由z ax y =+得y ax z =+﹣，若0a =时，直线y ax z z =+=﹣，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若0a ﹣＞，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与2y x=﹣平行， 此时1a =﹣，解得1a =﹣．若0a ﹣＜，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与314y x =+﹣平行，此时3a =﹣﹣，解得3a =． 综上满足条件的3a =或1a =﹣， 故实数a 的取值集合是{31}，﹣， 故选：B ．5．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3所以后面三角形的面积为：142⨯=两个侧面面积为：12332⨯⨯=，前面三角形的面积为：1462⨯=，四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6． 故选C ．6．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出g x （）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断． 【解答】解：由题意，得g x xcosx =（），因为g x g x =（﹣）﹣（）所以它是奇函数， 0000k g x y x x cosx =='=（）（），图象关于原点对称，排除A C ，，排除B C ，．又当π012x <＜＜时，00cosx xcosx ∴＞，＞，知D 项不符合， 故选：B ．7．【考点】2K ：命题的真假判断与应用． 【分析】由平均数的定义，计算即可判断①； 运用平均数、中位数和众数的定义，即可判断②； 由线性回归直线必过样本中心点，即可判断③；由ξ服从正态分布20N σ（，），即曲线关于y 轴对称，求得2P ξ（＜﹣），即可判断④． 【解答】解：①由题意可得这两个班的数学平均分为①，故①错；②由题意可得11517141015171716141214.7151710a b c =+++++++++===（），，，即有c b a ＞＞，故②错；③由线性回归方程的特点，可得回归直线ˆˆˆy bxa =+必过样本中心点(),x y ，故③对； ④已知ξ服从正态分布20N σ（，），且200.4P ξ≤≤=（﹣），则20.50.40.1P ξ==（＜﹣）﹣， 则220.1PP ξξ==（＞）（＜﹣），故④错． 故选：D8．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数．【分析】比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2ααβαβ=++（）（﹣）求解．【解答】解：[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++Q （）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），Q ∵[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++（）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），又Q()()3123,cos ,sin 24135ππαβαβαβ<<<-=+=-，π3π0,42αβπαβ∴-<-<<+<，54135sin cos αβαβ∴=+=（﹣）﹣，（）﹣，51245162131351365sin α∴=⨯⨯=（﹣）﹣（﹣）﹣．故选：A ．9．【考点】EF ：程序框图．【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S 的值为12，执行第二次循环后，S 的值为前2项的和，满足1111246100+++⋅⋅⋅+时，此时I 的值为100，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件． 【解答】解：框图首先给累加变量S 赋值为0I ，赋值2，此时判断框中的条件满足，执行102S =+，224I =+=； 此时判断框中的条件满足，执行11042624S I =++=+=，；此时判断框中的条件满足，执行1110628246S I =+++=+=，；⋯观察规律可知：判断框中的条件满足，执行1111246100S =+++⋅⋅⋅+1002102I =+=，； 此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为100I ≤． 故选：A ．10．【考点】KA ：双曲线的定义；HR ：余弦定理．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求12•||||PF PF 的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出12•||||PF PF 的值． 【解答】解：法1．由双曲线方程得11a b c ==，， 由余弦定理得12cos F PF ∠=()(22222221212121212121212122221cos602222PF PF PF PF PF PF F F PF PF F F PF PF PF PF PF PF +--+-+-⇒=⇒=o12||||•4PF PF ∴=．法2；由焦点三角形面积公式得：12221216011cot 1cot sin 602222F PFS b PF PF PF PF θ∆====o o 12||||•4PF PF ∴=；故选B ．11．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A B ，点的坐标，并设AOC α∠=，则由OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r得x y ，的值，从而求得x y +，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求 【解答】解：建立如图所示的坐标系， 则10120120A B cos sin o o（，），（，）， 即12B （﹣ 设AOC α∠=，则OC cos sin αα=u u u r（，）()()1,0cos ,sin 2OC xOA yOB x y y αα⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u ru u u r Q ． 1cos 2sin x y y αα⎧-=⎪⎪∴=cos y x α⎧=⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩230x y cos sin ααα∴++=+o （）． 0120α︒≤≤o Q ∵0°≤α≤120°． 3030150α∴≤+≤o o o ．当x y +≥30sinα+︒≥（）4530135α∴≤+≤o o o 即15105α≤≤o o ，∴满足x y +≥1051531204P -==o o o 故选B12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据定义域为R 的偶函数f x （）满足对21x R f x f x f ∀∈+=，有（）（）﹣（），可以令1x =﹣，求出1f （），再求出函数f x （）的周期为2，当]3[2x ∈，时221218f x x x =+，（）﹣﹣，画出图形，根据函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解； 【解答】解：因为21f x f x f +=（）（）﹣（），且f x （）是定义域为R 的偶函数令1x =﹣所以 121111f f f f f +==（﹣）（﹣）﹣（），（﹣）（） 即 10f =（）则有 2f x f x +=，（）（） f x （）是周期为2的偶函数，当]3[2x ∈，时222121823f x x x x =+=，（）﹣﹣﹣（﹣） 图象为开口向下，顶点为30（，）的抛物线 Q 函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 0f x ≤Q （），0g x ∴≤（），可得1a ＜，要使函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 令|1|a g x log x =+（）（）， 如图要求22g f （）＞（），可得就必须有2122a log f +=（）＞（）﹣，∴可得32a log ＞﹣213a ∴，＜，解得a 又0a ＞，0a ∴＜ 故选A ；13．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】根据2x 产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a ．【解答】解：因为511ax x ++（）（）的展开式中2x 的系数为5，则21555C aC +=，即1055a +=，解得a =﹣1；故答案为：1-．14．【考点】8K ：抛物线的简单性质；QK ：圆的参数方程．【分析】求出抛物线焦点与圆心坐标，故当直线l 经过圆心时弦长最长，利用两点式求出直线方程． 【解答】解：抛物线标准方程为24y x =，焦点坐标为10（，）， 圆的圆心坐标为21（，﹣）， ∴当直线l经过圆心21（，﹣）时，弦长最长， 故直线l 的方程为011021y x --=---，即10x y+=﹣． 故答案为：10x y +-=．15．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；3L ：棱锥的结构特征．【分析】法一：内切球球心O 到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB 和CD 的中点的连线的中点，求出OH 即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的13，求出内切球半径．【解答】解：法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等． 设E F 、为CD AB 、的中点，则O 在EF 上且O 为EF 的中点．在ABE △中，6,4,AB AE BE OH ==== 解法二：设球心O 到各面的距离为R ．143BCD A BCD S R V -⨯⨯=△， 164122BCD S =⨯⨯=Q △，2A BCD C ABE V V --==14123R ∴⨯⨯=R ∴=16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由1[][2121]113n n nn n a a n +++=+⨯﹣（﹣）（﹣）（﹣），当*2n k k N =∈（），可得：*22131621k k a a k n k k N ++=+=∈，﹣（），可得：2123163k k a a k +=+﹣﹣，于是212141k k a a k+=﹣﹣﹣，利用“累加求和”方法与等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解()()()12121[][113]nnnn n a a n +--++-=+-⨯Q ，()*2n k k N ∴=∈，可得：221316k k a a k ++=+， ()*21n k k N =-∈，可得：2123163k k a a k -+=-+，212141k k a a k +-∴=--，2525232321311a a a a a a a a ∴=++⋯++---（）（）（） 141214111411a =⨯-+⨯-+⋯+⨯-+=（）（）（）()11121214123002a a ⨯+⨯-+=+则251300a a -=， 故答案为：300．17．【考点】HO ：已知三角函数模型的应用问题． 【分析】（1）由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP |（2）利用三角形的正弦定理求出NP MN ，，求出折线段赛道MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以()()4,3,8,0M P5|MP（2）在,120MNP MNP ∠=o △中，故()0,60θ∈o o由正弦定理得()5sin 20sin sin 60NP MNθθ==-o o ，所以(),60,NP MN θθ==-o设使折线段赛道MNP 为L 则()()()60sin 60sin 60L θθθθθ=-+⎤=-+⎦=+o o o 所以当角30θ=o 时L18．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】1（）当13t =时，//P MQB 平面，若//P MQB 平面，连AC 交BQ 于N ，根据线面平行得到//PA MN ，从而13PM AN PC AC ==，即13PM PC =，从而求出t 的值； （2）以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量n r ，取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r 设所求二面角为θ，根据公式cos QP n QP nθ=u u u r r g u u u r r 即可求出二面角MBQ C ﹣﹣的大小． 【解答】解：（1）当13t =时，P MQB ∥平面下面证明：若P MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴==… ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥…13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴=… （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=o Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥…以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为()()()(1,0,00,00,0,00,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(),,n x y z =r，可得 00n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u u r g 而PA MN ∴∥00n QB n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g，00x ==⎪⎩ 取1z =，解得)0,1n =r…取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ， 则1cos 2QP n QP n θ==u u u r rg u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60o …19．【考点】9C ：相互独立事件的概率乘法公式CG ；：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12，有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．【解答】解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为111123424P ==g g（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40 得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为112312344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为21231131211123423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为311312111112342342344P =++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14112414 12411111730525303540304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系；3K ：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由MOF V 是等腰直角三角形，得224c b ==，再根据222a b c =+可求得a ； （Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为：y kx m =+，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理及128k k +=可得关于k m ，的关系式，消m 代入直线AB 方程可求得定点坐标；（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，由已知可求得AB 方程，易验证其过定点；【解答】（Ⅰ）解：由MOF V 是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,Ax y B x y -,，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f x （）的导数，由此根据a 的取值范围进行分类讨论，能求出函数f x （）的单调区间．（2）由于112f =（）﹣，当010a f ＞时，（）＜，此时0f x ≥（）对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得f x （）在区间0+∞（，）上取得最小值为112f =（）﹣，由此能求出实数a 的取值范围． （3）由（2）知，当12a =﹣时，0f x ≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价于2lnx x x ≤﹣．由此能够证明对任意的正整数m n ，，不等式恒成立． 【解答】解：（1）()()1af x x a x'=+-+Q ， ①0a ≤当时，若01x ＜＜，则()0f x '＜，故函数()f x 的单调减区间是()0,1；若1x ＞，则()0f x '＞，故函数()f x 的增区间是()1,+∞．②当01a ＜＜时，函数()f x 的单调减区间是(),1a ；单调增区间是()()0,1,a +∞,．③当1a =时，则()()210x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是()0,+∞；④当1a ＞时，函数()f x 的单调递减区间是()1,a ；函数()f x 的单调递增区间是()()0,1,a +∞,．（2）由于()112f =-， 当0a >时()10f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得(),f x 在区间()0,+∞上的极小值，也是最小值为()112f =-， 此时，()10f ≥，解得12a ≤-，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111ln 0222f x x x x =-+-≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x ＞时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边()11111111...1121n m m m m m n m n m m n m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 从而得证．22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；4Q ：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2270t cos sin t αα+=（﹣）﹣，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70tt αα+--=，由()22cos 2sin 470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎪∴⎨=-⎪⎩g ，又直线过点()1,2，故结合t的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-===，||PA PB∴+的最小值为23．【考点】5R ：绝对值不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤．再根据不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，可得102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由此解得a 的值．（2）根据12121gx x x m=-+++（）的定义域为R ，可得21|10|2x x m +++≠﹣恒成立．求得221|1|xx ++﹣的最小值为2，可得m 的范围． 【解答】解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2()()1112121gx f x f x mx x m==+++-+++（）的定义域为R ，可得|2120|1xx m +++≠﹣恒成立． ()()||212121212,2||x x x x m -++≥--+=∴>Q -．。

绝密★启用前康杰中学2017年高考全真模拟理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 As-75 Ga-70第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列关于细胞的叙述，正确的是A.线粒体是蓝藻细胞和酵母菌细胞进行有氧呼吸的主要场所B.原核细胞与真核细胞均以DNA为遗传物质C.细胞膜、细胞质基质中转运氨基酸的载体均是蛋白质D.细胞分化过程中，细胞中的遗传物质及蛋白质种类均发生变化2. 在条件适宜的情况下，用自然光照射离体的新鲜叶绿体一段时间后，突然改用光照强度与自然光相同的绿色光照，瞬间叶绿体中的物质所发生变化正确的是A. ATP含量下降B. C3的含量下降C.合成C5的速率加快D. NADPH的含量上升3. 科学家在进行下列实验研究中，所采用的核心技术相同的一组是①分离真核细胞的细胞器②探究光合作用释放的氧气来自水③研究细胞中分泌蛋白的合成、加工及分泌过程④用甲基绿和吡罗红对细胞染色，观察核酸的分布⑤用肺炎双球菌转化实验证明DNA是遗传物质⑥用T2噬菌体侵染细菌的实验证明DNA是遗传物质A.①②③B.①④⑤C.②③⑥D.②⑤⑥4.下图中，a 、b 、c表示一条染色体上相邻的3个基因, m 、n为基因间的间隔序列,下列相关叙述，正确的是A.该染色体上的三个基因一定控制生物的三种性状B. m 、n片段中碱基对发生变化会导致基因突变C.若a中有一个碱基对被替换，其控制合成的肽链可能不变D.a 、 b 、 c 均可在细胞核中复制及表达5.下列关于人体生命活动调节的叙述，正确的是A.下丘脑中有渗透压感受器，细胞外液渗透压下降可产生渴觉B.发生膝跳反射时，兴奋在反射弧中是双向传导的C.胰岛素与胰高血糖素通过协同作用调节人体血糖浓度D.神经冲动通过突触传递时，体现了细胞间的信息交流6.下列关于植物生命活动调节的叙述，错误．．的是 A.生长素既能促进发芽也能抑制发芽B.乙烯、吲哚乙酸、吲哚丁酸及2,4-D 均为植物激素C.在植物成熟组织中，生长素可进行非极性运输D.植物生长发育的过程，在根本上是基因组在一定时间和空间上程序性表达的结果7.化学与社会、生活密切相关。

康杰中学2017-2018学年数学（理）模拟试题（四）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数5122iz i -=+的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则AB 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x ∀>+≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”； ②“若3πθ=，则sin θ=”的否命题是“若,3πθ≠则sin θ≠”；③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1;:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.12 B.13C. 14D. 15试题类型：A6. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. (,1)-∞D. 1()2+∞，7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正 方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何 体的体积为 A.83B.43C. 3D. 38. 已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||c a b --＝2，则｜c ｜的取值范围为A. [11，B. [22C.D. [3+－9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移(0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [,]122ππB. [,]63ππC. [,]123ππD. [,]62ππ10. 设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是A.B.C. )+∞D. (8,)+∞11. 点P为棱长是1111ABCD A B C D －的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的正视图侧视图俯视图中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为A.πB. 2πC. 4π12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是A. (2,)-+∞B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2） 当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3）， 又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆． （Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ； （Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题（5&#215;12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R ，集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|x ＜1}，则集合（∁U A ）∩B=（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0] C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．已知复数Z 的共轭复数=，则复数Z 的虚部是（ ）A ．B ． iC ．﹣D ．﹣ i3．命题“∃x 0≤0，使得x 02≥0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2＜0 B ．∀x ≤0，x 2≥0 C ．∃x 0＞0，x 02＞0D ．∃x 0＜0，x 02≤04．已知直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为（ ） A ．x+2y+5=0 B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．77．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（5&#215;12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁U A=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁U A）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣ D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边，将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A33=6种情况，则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种；故选C．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．7．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，则取最小值时n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n，S n，利用基本不等式能求出取最小值时n的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n，，a3=5，∴a3=a1+2d=5，且（a1+d）2=a1（a1+4d），由d≠0，解得a1=1，d=2，∴a n=2n﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号，故选：B．8．已知，则y=f（x）的对称轴为（）A．B． C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】化简函数f（x）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z max在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D（4，6），目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则Z max在点D处取得最大值；即4a+6b=12，所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”．故选：A．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若|AB|=|BF1|且，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，结合等腰直角三角形可得|AF1|=4a，设|BF1|=x，运用勾股定理，可得a，c的关系，由离心率公式即可得到所求．【解答】解：由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，相加可得|AF1|+|BF1|﹣|AB|=4a，|AB|=|BF1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3项的系数a的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C5r（）r x5﹣2r，令5﹣2r=3则r=1∴x3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN 外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．【分析】（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）．附：其中：n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（3，），计算对应的概率，写出X的分布列，求出数学期望值．【解答】解：（1）由题意得列联表：…（2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”；…（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，…则X～B（3，），；…数学期望为．…P﹣ABCD组合而成，．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，…∴△=16k2﹣8（k2+2）=8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…由，当t≠0，得…整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…综上可得t∈（﹣2，2）．…21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，∵P点在直线l上，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。

山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学（理)试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}|lg 3A x y x ==+,{}|2B x x =≥，则下列结论正确的是（ ) A 。

3A -∈ B 。

3B ∈ C 。

AB B= D 。

AB B =2.已知复数11iZ i-=+，则21Z Z ++的值是（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i - 3。

命题“||||0x y +≠ ”是命题“0x ≠或0y ≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4。

有五条长度分别为1，3，5,7,9的线段,若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A.110B.310 C 。

12 D 。

7105.在ABC ∆中，13AN NC =，P 是直线BN 上的一点,或34AP mAB AC =+ ,则实数m 的值为( ）A ．—2B ．-4C ．1D ．4 6。

执行下图的程序框图，则输出的n 为（ ）A ．9B ．11C 。

13D ．15 7.已知双曲线22:21C xmy +=的两条渐近线互相垂直,则抛物线2:E y mx =的焦点坐标是( ）A ．10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。

10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 。

()0,1D 。

()0,1-8.如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ )． B 。

D ．9. 已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆22234370xy x y ++-=相交于A ，B 两点，且4AC BC ⋅=，则实数a 的值为( ） A 33- B 333 C. 353 D ．33或5310。

抛物线28y x=的焦点为F ，设()11,A x y ,()22,B x y 是抛物线上的两个动点,12234|x xAB ++=则AFB ∠的最大值为( ）A.3π B 。

2017年山西省运城市康杰中学高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3﹣bi（b∈R），则|z|=（）A．3 B．2 C．3 D．23．（5分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6 B．12 C．18 D．245．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或256．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．17．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.11088．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．69．（5分）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或 D．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．2 C．4 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，AD=1，点E为DC的中点，则=．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D 作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）2017年山西省运城市康杰中学高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{2，3}D．{2}【解答】解：∵B={x∈Z|x2﹣5x+4≥0}，∴∁U B={2，3}∵集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∴A∩∁U B={1，2，3}∩{2，3}={2，3}，故选：C．2．（5分）已知复数z的实部和虚部相等，且z（2+i）=3﹣bi（b∈R），则|z|=（）A．3 B．2 C．3 D．2【解答】解：由z（2+i）=3﹣bi，得=，∴6﹣b=﹣2b﹣3，解得b=﹣9．∴z=3+3i，则|z|=．故选：A．3．（5分）已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，则圆C1和圆C2的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【解答】解：圆C1：x2+y2=4，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣8y+16=0，即（x+3）2+（y﹣4）2=9，表示以C2（﹣3，4）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==5=2+3，∵两个圆外切．故选：B．4．（5分）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、从物理，化学，生物三科中选2科，从政治，历史，地理三科中选1科，则有C32•C31=9种选法；②、从物理，化学，生物三科中选1科，从政治，历史，地理三科中选2科，则有C32•C31=9种选法；则一共有9+9=18种选考方法；故选：C．5．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，或a1=5，d=0，∴数列{a n}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．或=5×5+0=25．故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.1108【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056，24=24，结束，∴故选B．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．9．（5分）关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈[0，π]）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值0【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈[0，3]，故选：C．10．（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，不变，高最大时体积最大，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S×DQ=3，△ABC即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或 D．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．12．（5分）若函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（）A．0 B．2 C．4 D．6【解答】解：∵，∴f（﹣x）=3+=3﹣，∴f（x）+f（﹣x）=6．①又f（x）在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，故可令k=1，由于函数在区间[﹣k，k]（k＞0）上是一个增函数，故m+n=f（k）+f（﹣k）由①知，m+n=f（k）+f（﹣k）=6．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知矩形ABCD，AB=4，AD=1，点E为DC的中点，则=﹣3．【解答】解：分别以边AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），E（2，1）；∴；∴．故答案为：﹣3．14．（5分）为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是12．【解答】解：设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z=x+y．则，由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（8，4），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12．故答案为：12．15．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D 作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B16．（5分）我们把满足：的数列{x n}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=8．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，∴=x n﹣=（x n+），∴=ln=ln=2=2a n，又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（I）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有．因为，所以．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，所以∠ADC=120°． (3)于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，所以∠B=60°．…（6分）（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，．于是，，．…（9分）在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=2．故DC=2．…（12分）18．（12分）某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．（I）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（II）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的数学期望；（III）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：，其中n=a+b+c+d【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：0.02×5×280=28，28，[1﹣（0.02+0.02+0.06+0.02）×5]×280=112所以前三组抽取的人数分别为，2，8（3分）（II）由上可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其概率分别为，，（7分）所以，（9分）（Ⅲ）假设H0：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得K2的观测值，（11分）查表得P（K2≥6.635）=0.01，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系（12分）19．（12分）如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=6．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，又M是BC中点，∴，∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM，∵OM，AC⊂面ABC，OM∩AC=O，∴OD⊥面ABC，又∵OD⊂平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，由条件知：故，设平面MAD的法向量，则，即，令，则x=3，z=9∴由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为所以，由图知二面角M﹣AD﹣C为锐二面角，故二面角M﹣AD﹣C的余弦值为．（12分）20．（12分）已知点A，B分别为椭圆E：的左，右顶点，点P（0，﹣2），直线BP交E于点Q，且△ABP是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：△ABP是等腰直角三角形，a=2，B（2，0），设Q（x0，y0），由，则，代入椭圆方程，解得b2=1，∴椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，…（8分）由直线l与E有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得：k2＞，…①…（9分）由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，则，即x 1x2+y1y2＞0，则x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）=（1+k2）x1x2﹣2k×（x1+x2）+4=（1+k2）﹣2k×+4＞0，解得：k2＜4，…②…（11分）综合①②可知：＜k2＜4，解得＜k＜2或﹣2＜k＜﹣，直线l斜率的取值范围（﹣2，﹣）∪（，2）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（e2，f（e2））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的解析式及单调递减区间；（2）若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=，又由题意有：=，所以m=2，f（x）=．此时，f′（x）=，由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜e，所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）和（1，e）．…（5分）（2）因为g（x）=aelnx+﹣（a+e）x，由已知，若存在x0∈[e，+∞），使函数g（x）=aelnx+•lnx•f（x）≤a 成立，则只需满足当x∈[e，+∞），g（x）min≤a即可．…（6分）又g（x）=aelnx+﹣（a+e）x，则g′（x）=，…（7分）a≤e，则g′（x）≥0在x∈[e，+∞）上恒成立，∴g（x）在[e，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（e）=﹣，∴a≥﹣，∵a≤e，∴﹣≤a≤e．…（9分）a＞e，则g（x）在[e，a）上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，∴g（x）在[e，+∞）上的最小值是g（a），∵g（a）＜g（e），a＞e，∴满足题意，综上所述，a≥﹣．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（I）求圆C和直线l的极坐标方程；（II）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2=4，∴圆C的极坐标方程ρ=2．点P在直线l：x+y﹣4=0上，直线l的极坐标方程ρ=．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），因为，又因为|OP|2=|OR|•|OQ|，即，∴，∴ρ=．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）【解答】（1）解：根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，则x不存在，此时，不等式的解集为∅．②当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜，此时其解集为{x|0＜x＜}．③当x≥时，原不等式化为2x﹣1＜x+1，解得≤x＜2，又由x≥，此时其解集为{x|≤x＜2}，综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）证明：∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．。

【关键字】数学2017年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设单数z满足iz=1+2i，则z的共轭单数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知实数集R，集合，则M∩（∁RN）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5] C．[﹣1，5）D．（0，8）3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C 的渐近线于A，B和M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C：+=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．C．﹣7 D．78．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．C．2 D．312．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞的否定为．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{an}满足，，n∈N*，等差数列{bn}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求bn；（2）记cn=a2n﹣1b2n﹣1+a2nb2n，求cn；（3）求数列{anbn}前2n项的和S2n．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．19．在三棱柱ABC﹣A1B1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A∥平面BC1D；（2）若A=A，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1的高．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．2017年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设复数z满足iz=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣iiz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知实数集R，集合，则M∩（∁R N）=（）A．[﹣1，8）B．（0，5]C．[﹣1，5）D．（0，8）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合M与N中不等式变形后，分别求出解集确定出M与N，求出M与N补集的并集即可．【解答】解：M={x|0＜x＜27}，N={x|x＜﹣1或x＞5}，∁R N={x|﹣1≤x≤5}，∴M∪（∁R N）={x|0＜x≤5}，故选B．【点评】此题考查了交集及其运算，交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．已知函数，a为实数，若f（2﹣x）≥f（x），则x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的单调性即可判断．【解答】解：由题意可得函数f（x）在R上为单调递增函数，∵f（2﹣x）≥f（x），∴2﹣x≥x，解得x≤1，故选：A【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，属于基础题．4．若双曲线的中心在坐标原点O，过C的右顶点和右焦点分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B和M，N，若△OAB 与△OMN的面积之比为1：4，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．C．y=±2x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得=，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则=，∴=4，∴=，∴C的渐近线方程为y=±x，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．5．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为×+×+×=，其中比赛进行了3局的概率为×+×=，∴所求概率为=，故选B．【点评】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题．6．已知P是圆x2+y2=R2上的一个动点，过点P作曲线C的两条互相垂直的切线，切点分别为M，N，MN的中点为E．若曲线C： +=1（a＞b＞0），且R2=a2+b2，则点E的轨迹方程为．若曲线，且R2=a2﹣b2，则点E的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】由椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即可得出结论．【解答】解：由于椭圆与双曲线的定义中的运算互为逆运算，即加法与减法互为逆运算，∴猜想双曲线对应的点E的轨迹方程为，故选A．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，正确类比是关键．7．（﹣+1）7的展开式中x3的系数为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【考点】二项式系数的性质．【分析】化（﹣+1）7=[1+（﹣）]7，利用展开式通项公式T r，求出（+1﹣）r展开式中x3项的系数即可．【解答】解：（﹣+1）7=[1+（﹣）]7的展开式通项公式为：T r=（﹣）r，+1对于（﹣）r，通项公式为：==（﹣2）m，T m+1令=3，得r=6+3m；根据0≤m≤r≤7，r、m为自然数，求得m=0，r=6；∴（﹣+1）7展开式中x3项的系数为（﹣2）0=7．故选：D．【点评】本题考查了二项式展开式中通项公式的灵活应用问题，是基础题．8．已知椭圆与直线y=x+3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将直线方程代入椭圆方程，由△=0，求得a2+b2=9，由题意的离心率公式，求得=，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意可知：，整理得：（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2=0，则△=0，则36a2﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）=0，整理得：a2+b2=9，①由题意的离心率e===，则=，②由①②，解得：a2=5，b2=4，∴椭圆C的方程：，故选B．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．9．已知函数的部分图象如图所示，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间上的最大值为（）A．3 B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数的图象求出T，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过的特殊点，集合φ的范围，求出φ得到函数的解析式，进而可求g（x）解析式，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：由图象可知T=4π，从而ω=，将（，0），（0，﹣）在函数图象上，，|φ|＜，可得：φ=﹣，A=3，f（x）=3sin（﹣），可得：g（x）=3sin[（x+）﹣]=3cos．由x∈，可得：∈[，]，可得：3cos∈[﹣3，]．故选：C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查计算能力，属于基础题．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．5πD．7π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”．（算术符号MOD表示取余数，如11MOD2=1）．下列数中的“水仙花数”是（）①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】程序框图．【分析】根据本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；验证题目中的命题是否正确即可．【解答】解：本程序框图的含义是：a表示一个数的个位数，b表示其十位数，c 表示其百位数；对于①，“水仙花数”是三位数，即100≤m=i≤999，∴①正确；对于②，152是“水仙花数”，由13+53+23≠152，∴②不正确；对于③，407是“水仙花数”，即407=43+03+73，∴③正确；综上，正确的命题有2个．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是分析出程序的含义，是基础题．12．已知函数（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2 B．2k C．2k﹣1 D．与a有关【考点】正弦函数的图象．【分析】函数f（x）零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．【解答】解：函数f（x）=xcosx﹣sinx﹣sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程xcosx﹣sinx=sinx，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1=xcosx﹣sinx，y2=sinx，∵y1′=﹣xsinx，∴y1=xcosx﹣sinx在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′=a，由y1=xcosx﹣sinx的图象可得：a＞0时，y2=sinx的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N，x2＞1”的否定为∃x0∈N，x02≤1故答案为：∃x0∈N，x02≤1【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．14．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，D为AB的中点，则向量在上的投影为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用余弦定理可得BC，运用勾股定理逆定理，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，再由共线向量和向量的投影可得向量在上的投影为||cos＜，＞，计算可得．【解答】解：在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠A=60°，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=4+1﹣2×2×1×=3，即有BC=，由AB2=AC2+BC2，可得∠ACB=90°，∠ABC=30°，D为AB的中点，可得=，即有向量在上的投影为||cos＜，＞=1（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查解三角形的余弦定理和勾股定理的运用，考查向量的投影的概念和求法，考查运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则AC边上的高的最大值为3．【考点】余弦定理．【分析】由已知及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得：sinAcosB=sinAsinB，由sinA≠0，可得tanB=，结合B∈（0，π）可求B，利用余弦定理，基本不等式可求12≥ac，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由sin（A+B）=sinC，及sinC=（sinA+cosA）sinB，可得：sinAcosB=sinAsinB，由于sinA≠0，可得：tanB=，结合B∈（0，π），可得：B=，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得：12=a2+c2﹣ac≥ac，=acsinB=ac≤3，可得：S△ABC=bh=h≤3，又由S△ABC可得：h≤3，即AC边上的高的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，分别计算体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个斜四棱柱与一个四棱锥的组合体，其直观图如图所示：四棱柱的底面面积为2，高为2，故体积为4；四棱锥的底面面积为2，高为，故体积为：，故组合体的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知数列{a n}满足，，n∈N*，等差数列{b n}满足a1=2b1，a2=b2．（1）求b n；（2）记c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n，求c n；（3）求数列{a n b n}前2n项的和S2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用二倍角公式化简a n，可得a n=．求出数列{b n}的首项和公差，则通项公式可求；（2）直接把{a n}、{b n}的通项公式代入求解；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（1）由=2+1+cosnπ=3+cosnπ=．于是，，b2=a2=4，∴等差数列{b n}的公差为3，则b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）c n=a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n=2[3（2n﹣1）﹣2]+4[3×2n﹣2]=36n﹣18；（3）由（2）知，数列{c n}是以36为公差的等差数列，则S2n=a1b1+a2b2+…+a2n﹣1b2n﹣1+a2n b2n==．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．18．某种多面体玩具共有12个面，在其十二个面上分别标有数字1，2，3，…，12．若该玩具质地均匀，则抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A 不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分；（ⅰ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求二人得分的期望；（ⅱ）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，求甲的得分不低于乙的概率；（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，X的可能取值为6，24，54，0，分别求出相应的概率，从而能求出甲得分的期望；Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3，…，12．由此能求出乙得分的期望．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54），由此能求出结果．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，则事件A包含3个基本事件，推导出B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，由此进行分类讨论经，能求出k的所有值．【解答】解：（1）（i）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y，则X的可能取值为6，24，54，0，当X=6时，向上的点数为1，P（X=6）=，当X=24时，向上的点数为4，P（X=24）=，当X=54时，向上的点数为9，P（X=54）=，当X=0时，向上的点数为42，52，…，122，有种情况，P（X=0）=，∴X的分布列为：X624540P∴甲得分的期望为E（X）==7．Y的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，且P（Y=i）=，i=1，2，3， (12)∴Y的分布列为：Y1 2 3456789101112 P∴乙得分的期望为E（Y）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）=．（ii）甲、乙二人各抛掷该玩具一次，甲的得分不低于乙的概率为：P=P（X=6，1≤Y≤6）+P（X=24）+P（X=54）==．（2）抛掷玩具一次，基本事件总数共有12个，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（记能写出整数的平方形式的数，如9=32，9是完全平方数）”记事件B=“向上一面的点数不超过k（1≤k≤12）”，则事件A包含3个基本事件，（1点，4点，9点），记n（AB），n（B）分别表示事件AB，B包含的基本事件个数，由P（AB）=P（A）P（B）及古典概率模型，得：=，∴n（B）=4n（AB），①∴B事件包含的基本事件数必为4的倍数，即k∈{4，8，12}，当k=4时，n（B）=4，AB={1，4}，n（AB）=2，不符合①，当k=8时，n（B）=8，AB={1，4}，n（AB）=2，符合①，当k=12时，n（B）=12，AB={1，4，9}，n（AB）=3，符合①，故k的所有值为8或12．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，考查满足条件的整数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意古典概率模型的合理运用．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A=A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B1C交BC1于点E，连结DE．DE∥A1C，得A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．则A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．求出面BC1D的法向量，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A=A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O=a．∵AC=BC=2，∠ACB=120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y=﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|=||=，可得a=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【点评】本题考查了空间线面平行，向量法求空间角，空间想象能力、计算能力，属于中档题．20．已知抛物线C：y2=4x，直线l：x=﹣1．（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．【解答】（1）解：设Q（x，y），则（x+1）2=x2+y2，即y2=2x+1，与抛物线方程联立，得Q（，）；（2）证明：设直线方程为y﹣t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky2﹣4y+4t+4k=0，△=0，可得k2+kt﹣1=0．特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，﹣2），AB过定点F（1，0）．一般地，k1+k2=t，k1k2=﹣1，切点为A（，），B（，），∴=（﹣1，），=（﹣1，），∴（﹣1）﹣=﹣1））=0，∴∥，∴AB过点F（1，0），综上所述，直线AB过点F（1，0）．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数．（1）若函数为减函数，求a的取值范围；（2）若f（x）≤0恒成立，证明：a≤1﹣b．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数g（x）的导数，根据g′（x）≤0，分离参数a，求出a 的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，令y=ax2+x+1，通过讨论a的范围，令x0=，根据函数的单调性得到b≤﹣ax0﹣lnx0，a=﹣，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵g（x）=f（x）+=lnx+ax++b，x＞0，g′（x）=+a﹣，x＞0，∵g（x）为减函数，∴g′（x）≤0，即a≤﹣=﹣，∴a≤﹣；（2）证明：f′（x）=++a=，（x＞0），令y=ax2+x+1，a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）递增，不满足f（x）≤0恒成立，当a＜0时，△=1﹣4a＞0，由ax2+x+1=0，得x=＞0或x=＜0，设x0=，函数f（x）在（0，x0）上递增，在（x0，+∞）递减，又f（x）≤0恒成立，故f（x0）≤0，即lnx0+ax0﹣+b≤0，由上式得b≤﹣ax0﹣lnx0，由a+x0+1=0得a=﹣，∴a+b≤﹣ax0﹣lnx0﹣=﹣lnx0+﹣+1，令t=，t＞0，h（t）=lnt+t﹣t2+1，h′（t）=﹣，0＜t＜1时，h′（t）＞0，函数h（t）在（0，1）递增，t≥1时，h′（t）≤0，函数h（t）在（1，+∞）递减，h（t）≤h（1）=1，故a+b≤1，即a≤1﹣b．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．已知曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r ＞0）．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）方程化为普通方程，即可讨论两曲线公共点的个数；（2）若b＜r＜a，两曲线均关于x，y轴、原点对称，四边形也关于x，y轴、原点对称，即可求由两曲线C1与C2交点围成的四边形面积的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，θ为参数），普通方程为+=1，曲线C2的极坐标方程为ρ=r（r＞0），直角坐标方程为x2+y2=r2，r=a或b时，两曲线有两个公共点；b＜r＜a时，两曲线有四个公共点；0＜r＜b或r＞a时，两曲线无公共点；（2）两曲线均关于x，y轴、原点对称，∴四边形也关于x，y轴、原点对称，设四边形位于第一象限的点为（acosθ，bsinθ），则四边形的面积为S=4acosθbsinθ=2absin2θ≤2ab，当且仅当sin2θ=1，即θ=45°时，等号成立．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，考查三角函数知识的运用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017山西一模）已知关于x的不等式x|x﹣m|﹣2≥m．（1）当m=0时，求该不等式的解集；（2）当x∈[2，3]时，该不等式恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，若m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，进而变形可得或，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由x∈[2，3]，将原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①，分m≤﹣2与m＞﹣2两种情况讨论，分别求出m的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当m=0时，原不等式为：x|x|﹣2≥0，等价于或，解可得x≥，故原不等式的解集为{x|x≥}；（2）当x∈[2，3]时，原不等式变形可得：|x﹣m|≥，①当m≤﹣2时，m+2≤0，①式恒成立；当m＞﹣2时，即m+2＞0时，①式等价于x﹣m≥或x﹣m≤﹣，化简可得：x2﹣2≥m（x+1）或x2+2≤m（x+1），②又由x∈[2，3]，则有x+1＞0且x﹣1＞0，则②可以变形为m≤或m≥；又由=x﹣﹣1，=x﹣1++2；又由x∈[2，3]，则（）min=，（）max=6；则有m≤或m≥6；故m的取值范围是{m|m≤或m≥6}．【点评】本题考查绝对值不等式的运用以及解法，关键是熟练掌握绝对值三角不等式．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（2）答 案1~5．CABCD6~10．DADCD11~12．AB13． 14．7415．2316．π617．解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，2211(1)[(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=+--+--，化为：121n a n -=-121n a n =-﹣， 又∵1123a =++满足上式，∴21n a n =+，∵113(1)n n n n b n a na ++=+-， ∴11111[(1)][(1)(23)(21)](43) 333n n n n n nb n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， 又∵13b =满足上式， ∴11(41)3n n b n -=-1(41) 13n n b n -=-． （2）由（1）可知，211113 17 11 ...(41) 333n n T n -=++++-， 21111113 7 ...(45) (41) 33333n n n T n n -=+++-+-， 错位相减得：21211113 +4(...)(41) 33333n n n T n -=+++--， ∴111(1)3133[34(41) ]12313n n n T n --=+⨯--- 115145 223n n -+=-，111514515149(43) ( )02232233n n n n n n n n T T +-++-+-=----=-<．∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列．又3459647,799T T =<=>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．解：（1）用A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到B 地”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：1()(0.010.020.03)100.6P A =++⨯=，2()(0.010.04)100.5P A =+⨯=．∵12()()P A P A >故甲应选择L 1．1()(0.010.020.030.02)100.8P B =+++⨯=，2()(0.010.040.04)100.9P B =++⨯=．∵21()()P B P B >，故乙应选择L 2．（2）用M 、N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，由（1）知()0.6,()0.9P M P N ==，又由题意知，M 、N 相互独立，∴(0)()()()0.40.10.04P X P MN P M P N ====⨯=；(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P MN M N M P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=∴X 的分布列为∴()00.0410.42E X =⨯+⨯．19．解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又AE EB ⊥，EB EF E =，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．过D 作EH AE ∥交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ．∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH EG ⊥．∵,AD EF DH AE ∥∥，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又,EH BG EH BE ⊥∥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥，又,BH DH H BH =⊂平面BDH ，DH ⊂平面BDH ，∴EG ⊥平面BDH ．∵BD ⊂平面BDH ，∴BD EG ⊥．（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥取DE 的中点M ，连接MH 、MG∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥∵,MH GH H MH =⊂平面GHM ，GH ⊂平面GHM ，∴DE ⊥平面GHM ，∴DE MG ⊥∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，在GMH △中，2,GH MH MG ===cos GMH ∠=∴平面DEG 与平面DEF ． 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴,EF AE EF BE ⊥⊥，又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，(0,0,2),(2,0,0),(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0)A B C F D G ．∴(2,2,0),(2,2,2)EG BD ==-,∴ 22220BD EG =-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥．（2）解：由已知得(2,2,0)EB =是平面DEF 的法向量．设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ，∵(0,2,2),(2,2,0),ED EG ==∴ 0 0ED n EG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-． 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则| |cos |cos(,)|||||2n EB n EB n EB θ====∴平面DEG 与平面DEF ．20．解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，左焦点F 1到直线2a x c=-的距离为3， ∴由题意知2123c a a cc⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，． ∴b ，∴椭圆M 的方程为22143x y +=， 圆N 的方程为225(1)x y +=-，∵直线l ：y kx m =+(0)k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120kx kmx m +-++=，① ∴2222644(34)(412)0k m k m ∆=--+=，整理得2234m k =+，②由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，．∴直线l ：2y x =+．（2）将122k m ==，代入①可得3(1,)2A -，又过切点B 的半径所在的直线l '：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B (0,2)，设00(),P x y ，由||||PB PA =22002200(2)83(1)()2x y x y +-=++-， 化简得720x +720y +001620220x y +=﹣，⑤又00(),P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-， 所以存在(11)P -，或99(,)1313P -满足条件． 21．解：（Ⅰ）由()e 2x f x k x =-'可知，当0k <时，由于(0,),()e 20x x f x k x ∈+∞'=<-，故函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，2()2e x f x x =-，则()2e 2x f x x '=-令()2e 2x h x x =-，()2e 2x h x '=-由于(0,)x ∈+∞，故()220x h x e -'=>，于是()22x h x e x =-在(0,)+∞为增函数，所以()2e 2(0)20x h x x h >=-=>即()2e 20x f x x -'=>在(0,)+∞恒成立，从而2()2e x f x x =-在(0,)+∞为增函数，故2()2e (0)2x f x x f ->==．（Ⅲ）函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()e 20x f x k x '=-=的两个根， 即方程2e xx k =有两个根，设()x ϕ2e x x =，则()x ϕ'22e x x -=, 当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2e x x k =有两个根，只需0 < <2e(1)k ϕ=． 故实数k 的取值范围是2(0,)e 又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<，由11()e 20x f x k x -'==，得112e x x k =， ∴11122221111111112()e e (2)2(1)1ex x x x f x k x x x x x x x ==-=-=-+=--+-， 由于1(0,1)x ∈，故，210(1)11x <--+<所以1)1(0f x <<22．解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）设直线l 的参数方程是1 cos 1 sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②① ②联立，得22(cos sin )20t t θθ+--=，∴122t t =-，且||2||MA NB =，∴122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=∴AB 的弦长12||||3AB t t -==．23．（1）证明：()1||1|||1||1||11|2f x x x x x x x =-++=-++≥-++=；（2）解：|21||1||211|3||||()b b b b b g b b +--+--=≤=， ∴()3,f x ≥即1||13||x x -++≥1x ≤-时23,x ≥-∴ 1.5x ≤--，∴ 1.5x ≤-；11x -<≤时，23≥不成立；1x >时23x ≥，∴ 1.5x ≥，∴ 1.5x ≥．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（二）解 析1．【考点】1D ：并集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A ，由绝对值不等式的解法，化简集合B ，再由并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合()()2560,23,{|A x x x =+>=∞+∞﹣-，{}()3|||12,4B x x <==﹣，∴22A B ⋃=∞⋃+∞（﹣，）（，）．故选：C ．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式及其性质即可得出． 【解答】解：5i 134i z ==+．故选：A ．3．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由条件可知μ=3，再利用对称性计算出P （X >4）．【解答】解：由正态曲线性质知，μ=3， 40.5240.50.682 60.(158 )7P X P X ∴>=≤≤=⨯=﹣（）﹣．故选B ．4．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】由题意得321444+10aC C C --=-，由此能求出a 的值．【解答】解：∵241a x x x ++（）（﹣）的展开式中含3x 项的系数为﹣10， ∴由题意得321444+10aC C C --=-，解得3a =．故选：C ．5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】联立方程组，利用抛物线的性质和根与系数的关系列方程得出k ．【解答】解：联立方程组2y (x 2)8k y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22224840k x k x k ++=﹣（）， ∴12x x +=284k +， ∵直线AB 经过抛物线的焦点（2，0），∴1248||9AB x x =++=+=，又k ＞0，∴k =．故选D6．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为=4，∴三棱柱的体积为V 三棱柱=12×4×=， 三棱柱的高为h =3；∴侧视图的面积为S 侧视图=3=故选：D ．7．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设数列{an }的首项为a1，公比为q ，则log2a1+log2a2+log2a3=3，从而a1a2a3=8，进而a2=2．由b1b2b3=﹣3，得log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，从而log2a1•log2a3=﹣3，进而（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，解得q =4，2112a a q ==，由此能求出结果． 【解答】解：设数列{an }的首项为a1，公比为q ，∵b1+b2+b3=3，∴log2a1+log2a2+log2a3=3，∴log2（a1a2a3）=3，∴a1a2a3=8，∴a2=2．∵b1b2b3=﹣3，∴log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，∴log2a1•log2a3=﹣3，∴()2222log log 3a a q q=-， 即（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，即（1﹣log2q ）（1+log2q ）=﹣3，解得log2q =±2，又∵q ＞1，∴log2q =2，解得q =4，112a a a q ==， ∴4231422n n n a --=⨯=． 故选：A ． 8．【考点】EF ：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，利用函数图象即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的值，由y=x，在同一坐标系中，分别画出图象，如图：可知有四个交点．故选：D．9．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．10．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．11．【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：A．12．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，分别求出两个函数的导数，可得切线的斜率相等且f（m）=g（m），解得m=a，求出b关于a的函数，设h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求b的范围．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意知f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），∴m+2a=，且m2+2am=3a2lnm+b，由m+2a=得，m=a，或m=﹣3a（舍去），即有b=a2+2a2﹣3a2lna=﹣3a2lna，令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1﹣3lnt），于是：当2t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜e时，h′（t）＞0；当2t（1﹣3lnt）＜0，即t＞e时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e）=e，故b的最大值为e，故选：B．13．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、投影的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴=+（﹣5，1）=（﹣4，2）．∴=（﹣2，1）．则在上的投影为．故答案为：14．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=故答案为：．7 415．【考点】7F：基本不等式．【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy，从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．所以，即的最小值为．故答案为23．16．【考点】LR：球内接多面体；L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：棱锥的体积为：V=S底•h==．连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，∴S全=4×+2×2sin60°=6．∴=，r =．球的体积为：==．故答案为：π617．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）21n n S a n =+-，当n ≥2时，1n n n a S S --=，1n =时满足上式，可得112 1.31n n n n n a n b n a na ++=+=+（）﹣，可得()()111114333n n n n nb n a na n ++=⎡+-⎤=+∙⎣⎦，又1b =3满足上式，可得()11413n n b n -=-． （2）利用错位相减法与等比数列的求和公式可得n T ．可得n T ﹣1n T +<0．即可得出．【解答】解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，()()2211111n n n n n a S S a n a n ==+⎡⎤----⎦+-⎣﹣﹣，化为：121na n =-﹣， 又∵1123a =+=满足上式，∴21n a n =+()()()()()1111232143n n n b n a na n n n n n ++=+=⎡++-+⎤=⎣-⎦⎡⎤⎦+⎣，∵1131nn n n b n a na ++=+-（），∴1n b +=13n ()11n n n a na +⎡+-⎤⎣⎦=13n ()()()()1232143n n n n n ⎡++-+⎤=+⎣⎦•13n， 又∵13b =满足上式， ∴()41n b n =-•113n -． （2）由（1）可知，()1111317141333n n T n -=∙+∙+∙++-∙， ()2111137413333n n T n =∙+∙++-∙，错位相减得：()21211134413333n n nT n -⎛⎫=+++--∙⎪⎝⎭， ∴n T =n-11113333+4(4n 1)1213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-111131333+4(4n 1)12313n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-11113333+41213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ =115145223n n -+-， n T -1n T +=-115145223n n -+--15149(4n 3)2233n n n +-+⎛⎫-∙= ⎪⎝⎭0<． ∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列． 又35979T =<，46479T =>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG ：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”，Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P （A1）＞P （A2），从而甲应选择L1，P （B2）＞P （B1），从而乙应选择L2．（2）用M ，N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，P （M ）=0．6，P （N ）=0．9，M ，N 相互独立，由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【解答】解：（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”， Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．… 由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：()()10.010.020.03100.6P A =++⨯=， ()()20.010.04100.5P A =+⨯=．∵()()12P A P A >，故甲应选择L1．…()()10.010.020.030.02100.8P B =+++⨯=， ()()20.010.040.04100.9P B =++⨯=．∵()()21P B P B >，故乙应选择L2．…（2）用,M N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地， 由（1）知()()0.60.9P M P N ==，，又由题意知，,M N 相互独立，… ∴()0P X ==()()()0.40.10.04P MN P N M P =⨯=；()()()()()()10.40.90.60.10.42M P X P MN M N P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=()()()()20.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=．…∴X 的分布列为∴()00.0410.4220.54 1.5E X =⨯+⨯+⨯=．…19．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LX ：直线与平面垂直的性质． 【分析】解法1（1）证明BD ⊥EG ，只需证明EG ⊥平面BHD ，证明DH ⊥EG ，BH ⊥EG 即可；（2）先证明∠GMH 是二面角G ﹣DE ﹣F 的平面角，再在GMH △中，利用余弦定理，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB ，EF ，EA 两两垂直，以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明0BD EG =，可得BD ⊥EG ；（2）由已知得(2,0,0)EB =是平面DEF 的法向量，求出平面DEG 的法向量()1,1,1N =-，利用向量的夹角公式，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又AE EB ⊥，EBEF E =，EB EF ，⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．…过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ． ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥．…∵////AD EF DH AE ，，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又////EH BG EH BE ，， ∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，… 又,BHDH H BH =⊂平面,BHD DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．… ∵BD ⊂平面BHD ， ∴BD EG ⊥．…（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE 由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD ∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥… 取DE 的中点M ，连接MH MG ， ∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥ ∵,MHGH H MH =⊂平面,MH GH H MH =⊂平面GHM DE ∴⊥，平面GHM DE MG ∴⊥， ∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，…在GMH △中，2,GH MH MG ===∴cosGMH =∠…∴平面DEG 与平面DEF ．… 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面,AEB BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴EB EF EA ，，两两垂直．…以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得，()()()()()(),,,0,0,22,0,02,4,00,3,00,2,2,,2,2,0A B C F D G ．… ∴()()2,2,0,2,2,2EG BD ==-,… ∴22220BD EG =-⨯+⨯=，… ∴BD EG ⊥．…（2）解：由已知得()2,0,0EB 是平面DEF 的法向量．… 设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ， ∵()()2,0,0,2,2,0,ED EG ==∴00ED n EG n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-．…设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则cos cos ,2n EB n EB nEBθ===∴平面DEG 与平面DEF ．…20．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆M 的方程；由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2223484k x kmx m +++（）120=﹣，由此利用根的判别式、点到直线距离公式能求出直线l 的方程． （2）将k =12，m =2代入，得A （﹣1，32），过切点B 的半径所在的直线l ′：y =﹣2x +2，与直线l 的方程联立得B （0，2），设P （x0，y0），由PB PA=72x +72y +16x0﹣20y0+22=0，再由P （x0，y0）满2200024x y x +-=，能求出存在P （﹣1，1）或P （﹣913，1913）满足条件． 【解答】解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，∴由题意知2123c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，．…∴b，∴椭圆M 的方程为22143x y +=，…圆N 的方程为()2251x y +=-，∵直线l ：y kx m =+()0k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +-++=，① ∴()()2222644344120k m km∆=+-=-，整理得2234m k =+，②…由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，． ∴直线l ：2y x =+．…（2）将2k m ==，代入①可得31,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 又过切点B 的半径所在的直线l ′：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B ()0,2，…设()00,P x y ，由PB PA=()()2200220028312x y x y +-=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，化简得72x +72y +001620220x y +=﹣，⑤…又()00,P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-… 所以存在()11P -，或99,1313P ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件．… 21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f x '（），由于f x '（）＜0，即得f x （）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）根据导函数即可判断在f x （）（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f （x ）与2的大小；（Ⅲ）先求导数f x '（），由题意知12x x 、是方程f x '（）=0的两个根，令2=xxx eϕ（），利用导数得到函数x ϕ）（）x ϕ（）的单调区间，继而得到k 的取值范围，由10f x '=（），则得112x xk e =，又由21111110101f x x x f x =+∈（）﹣（﹣），（，），即可得到＜（）＜． 【解答】解：（Ⅰ）由()1120x f x ke x '-==()2x f x ke x =-'可知， 当0k <时，由于()()0,,20xx f x ke x -∈+∞'=<，故函数()f x 在区间()0,+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，()22x f x e x -=，则()22x f x e x =-' 令()22x h x e x -=，()22xh x e '=-由于()0,x ∈+∞，故()220xh x e -'=>，于是22x h x e x =-（）在()0,+∞为增函数，所以()()22020x h x e x h >=-=>即()220xf x e x =-'>在()0,+∞恒成立，函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()20xf x ke x -'==的两个根 从而()22x f x e x -=在()0,+∞为增函数， 故()()222x f x e x f ->==0．（Ⅲ）即方程2xxk e =有两个根，设()x ϕ2x x e =，则()x ϕ'22x x e -=,当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2x x k e=有两个根，只需()0 < <12k ϕ=e ． 故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2e又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<， 由()1120x f x ke x '-==，得112x x k e=， ∴，()()1221111x f x ke x x '==--+-由于()10,1x ∈，故，()210111x <--+< 所以()101f x <<22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程先求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）先求出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，得2220t cos sin t θθ+=（﹣）﹣，由此能求出AB 的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．…5分（2）设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②②联立，得()22cos sin 20t t θθ+--=，∴122t t =-，且1222MA NB t t =∴=-，则122,1t t ==-或AB 的弦长12|3AB t t -==．…10分23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用三角不等式证明：f （x ）≥2；（2）g （b ）=211b b b +-+≤211b b b +--=3，可得3f x ≥（），即1|13|x x ++≥﹣，分类讨论，求x 的取值范围．【解答】（1）证明：()1111112||f x x x x x x x =-++=-++≥-++=； （2）解：()2112113b bbb b g b b +-++--≤==，∴()3,f x ≥即1|13|x x -++≥1x ≤-时23, 1.5 1.5x x x ≥∴≤-∴≤--，； 11x -<≤时23≥不成立；1x >时23 1.5 1.5x x x ≥∴≥∴≥，，．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．。