高中数学课时分层作业10双曲线的简单性质含解析北师大版选修1

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.2 双曲线的简单性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)图形性质 焦点焦距范围对称性 顶点轴长 实轴长＝______，虚轴长＝______离心率渐近线2.直线与双曲线一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk)2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y 22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y 210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43 B .53 C ．2 D .73题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A . 2 B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)．3.2 双曲线的简单性质知识梳理 1.标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)图形性 质 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c)，F 2(0，c) 焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长 实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±a bx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2) ＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． ∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. ∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0， 解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.。

高中数学 2.3.2双曲线的简单性质练习 北师大版选修1-1一、选择题1．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24[答案] D[解析] 由已知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48，故双曲线中c 2＝48，且焦点在y 轴上，a b＝1，a ＝b .由c 2＝a 2＋b 2可得a 2＝b 2＝24，故选D.2．双曲线的渐近线与实轴的夹角为π6，则离心率e 是( )A.103B ．233C. 3 D ．2[答案] B[解析] 设双曲线焦点在x 轴上，则tan θ＝ba ＝33，e ＝b a2＋1＝13＋1＝233. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)有相同的( )A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对[答案] C[解析] x 2a 2－y 2b 2＝λ的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0，(bx －ay )(bx ＋ay )＝0，即y ＝±bax .4．(2014·河北唐山市一模)双曲线x 2－y 2＝4左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 则a ＋b ＝ ( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] A [解析]|a －b |2＝2，∴|a －b |＝2， ∵双曲线左支在直线y ＝x 上方，∵a <b ，∴a －b ＝－2，又∵a 2－b 2＝4，∴a ＋b ＝－2.5．(2014·山西大学附中月考)双曲线x 2a －y 2b ＝1和椭圆x 2m ＋y 2b＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么( )A ．a 2＋b 2＝m 2B ．a 2＋b 2>m 2C ．a 2＋b 2<m 2D ．a ＋b ＝m[答案] A[解析] 双曲线离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1·e 2＝1得a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得a 2＋b 2＝m 2.6．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质． 由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1，∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C. 二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案]x 24－y 212＝1 [解析] 本题考查双曲线的标准方程． 令x ＝0，则y 2－4y ＋8＝0无解． 令y ＝0，则x 2－6x ＋8＝0，∴x ＝4或2. ∴圆C 与x 轴的交点坐标为(4,0)和(2,0)， 故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0)，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.8．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．[答案] (－12,0)[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b2∈(1,2)， ∴－12<b <0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[答案] (1)x 24－y 2＝1 (2)x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a ＝59－λ＝54，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题设知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.10．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．[解析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.一、选择题1．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3B ．3－1 C.3＋12D ．3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 2．已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力． 在△F 1PF 2中，由余弦定理得， cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝PF 1|－|PF 22－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， 故|PF 1|·|PF 2|＝4.3．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 213－y 212＝1 [答案] A[解析] 本题考查椭圆、双曲线的定义．∵椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，∴C 1的长半轴为13，半焦距为5，则C 1的两个焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设C 2上的点P (x ，y )，∴||PF 1|－|PF 2||＝8<|F 1F 2|＝10，∴C 2的轨迹是实轴长为8，焦距长为10的双曲线，方程为：x 242－y 232＝1，故选A.4．(2014·吉林延边州质检)已知双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－x －90＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±22xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x[答案] B[解析] ∵方程表示双曲线，∴m >0， ∵a 2＝9，b 2＝m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋m ，∴c ＝9＋m ， ∵双曲线的一个焦点在圆上， ∴9＋m 是方程x 2－x －90＝0的根， ∴9＋m ＝9，∴m ＝72，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，故选B. 二、填空题5．(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x－2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e ＝________.[答案]32[解析] 由条件知b a ＝12，即a ＝2b ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，c ＝3b ， ∴e ＝c a ＝3b 2b ＝32. 6．(2014·天津市六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．[答案]x 24－y 23＝1[解析] 椭圆中，a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝7， ∴离心率e 1＝74，焦点(±7，0)， ∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝72，焦点坐标为(±7，0)， ∴c ＝7，a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 23＝1.三、解答题7．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52. (2)F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，且离心率为2.[答案] (1)x 2－4y 2＝1 (2)x 24－y 212＝1[解析] (1)若双曲线的实轴在x 轴上，设x 2a 2－y 2b2＝1为所求． 由e ＝52，得c 2a 2＝54.①由点P (3，－2)在双曲线上，得9a 2－2b2＝1. ②又a 2＋b 2＝c 2，由①②得a 2＝1，b 2＝14.若双曲线的实轴在y 轴上，设y 2a 2－x 2b 2＝1为所求．同理有c 2a 2＝54，2a 2－9b2＝1，a 2＋b 2＝c 2.解之，得b 2＝－172(不符，舍去)．故所求双曲线方程为x 2－4y 2＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，因|F 1F 2|＝2c ，而e ＝c a＝2，由双曲线的定义， 得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c . 由余弦定理，得(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos60°)， ∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12. 故所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.8．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞) (2)1713[解析] (1)由C 和l 相交于两个不同的点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解．消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 21－a2>0，解得0<a <2且a ≠1.双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1.∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.又∵a >0，∴a ＝1713.。

2.3.2 双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x 2－y23＝－1的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y 23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c 2a2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B.1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3 解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°， 过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则|AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19B.14C.13D.12解析：选A.由题意得1＋p2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4.∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a，由题意41＋a＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2，∴e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5，又e >1，∴e ∈(1，5)．答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y 24＝1整理得3x 2－2x －5＝0，∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823.答案：8238.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a |1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又ba ＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x 24－y243＝1.答案：x 24－y 243＝19.(1)求与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x 29－y24＝1.(2)法一：椭圆方程可化为x 264＋y 216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±b a x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1.由椭圆方程x 264＋y 216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<ba≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k＝0时，|PQ|2＝24＋384k2（k2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2>24，所以|OP|2＋|OQ|2的最小值是24.。

双曲线的简单性质【学习目标】1．知识与技能理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念．2．过程与方法锻炼学生观察分析抽象概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力．3．情感态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749 知识要点二】要点一：双曲线的简单几何性质双曲线22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围221x a ≥，即22x a≥∴x a≥，或x a≤-．双曲线上所有的点都在两条平行直线x= -a和x= a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足∴x a≥，或x a≤-．对称性对于双曲线标准方程22221x ya b-=（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，- b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b ．a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==． ②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1c e a=>．由c 2= a 2+b 2，可得b a ===b a 决定双曲线的开口大小，ba越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线a b =，所以离心率e = 渐近线经过点A 2、A 1作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是by x a=±．我们把直线by x a=±叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．22||b b MN x a x a a=-- 2222b x a x aabx x a=--=→+-【高清课堂：双曲线的性质 356749知识要点一、3】 要点二：双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程22221x y a b-=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距2212||2()F F c c a b ==+2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性关于x 轴、y 轴和原点对称要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．要点三：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为22221x y a b -=，则其渐近线方程为22220x y a b -=⇒0x y a b ±=⇒by x a=±已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可．（3）与双曲线22221x y a b-=有公共渐近线的双曲线与双曲线22221x y a b -=有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠（0λ>，焦点在x 轴上，0λ<，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 要点四：双曲线中a ，b ，c 的几何意义及有关线段的几何特征双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞b ＞0，c ＞a ＞0，且c 2=a 2+b 2．双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，如图：（1）实轴长12||2A A a =，虚轴长2b ，焦距12||2F F c =；（2）离心率：21211222121122||||||||11||||||||PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a======+>； （3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；（4）12PF F ∆中结合定义122PF PF a -=与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、12F F 和角结合起来；（5）与焦点三角形12PF F ∆有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式121211sin 2PF F S PF PF F PF ∆=⋅∠相结合的方法进行计算与解题，将有关线段1PF 、2PF 、12F F ，有关角12F PF ∠结合起来，建立12PF PF -、12PF PF ⋅之间的关系．要点五：直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ．222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=．若2220,b a k -=即b k a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．若2220,b a k -≠即b k a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,)P x y P x y 两点，则弦长12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=；12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质 356749例1】例1．求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率．【思路点拨】本题的关键是将双曲线化为标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >>．【解析】 把方程化为标准方程221916y x -=，由此可知实半轴长3a =，虚半轴长4b =，∴5c =，∴双曲线的实轴长26a =，虚轴长28b =，顶点坐标(0,3),(0,3)-，焦点坐标(0,5),(0,5)-，离心率53c e a ==，渐近线方程为34y x =±【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a 和2a ，b 和2b 的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示．举一反三：【变式1】双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．14- B ．－4 C ．4 D ．14【答案】A【变式2】已知双曲线8kx 2－ky 2=2的一个焦点为3(0,)2-，则k 的值等于（ ） A ．－2 B ．1 C ．－1 D ．32- 【答案】C例2．方程2215||2x y m m -=--表示双曲线，求实数m 的取值范围． 【解析】由题意得50||20m m ->⎧⎨->⎩或505||2022m m m m m -<>⎧⎧⇔⎨⎨-<<->⎩⎩或或522m m <⎧⎨-<<⎩522m m ⇔>-<<或．∴实数m 的取值范围为{|522}m m m >-<<或． 【总结升华】方程Ax 2+By 2=1表示双曲线时，A 、B 异号． 举一反三：【变式1】求双曲线22221124x y m m-=+-的焦距． 【答案】8【变式2】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C类型二：双曲线的渐近线例3． 根据下列条件，求双曲线方程．（1) 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；（2）一渐近线方程为320x y +=，且双曲线过点M ．【思路点拨】求双曲线的方程，应先定型，再定量．本题中“定型”是顺利解题的关键：（1）与双曲线有221916x y -=有公共渐进线的双曲线方程可设为()220916x y λλ-=≠；（2）320023x y x y +=⇔±=，以023x y±=为渐进线的双曲线方程可设为2249x y λ-=()0λ≠．【解析】（1）解法一：当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221x y a b -=由题意，得2243(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得294a =，24b = 所以双曲线的方程为224194x y -=当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221y x a b-=由题意，得2243(3)1a b b ⎧=⎪⎪--=，解得24a =-，294b =-（舍去） 综上所得，双曲线的方程为224194x y -=解法二：设所求双曲线方程为22916x y λ-=（0λ≠），将点(3,-代入得14λ=，所以双曲线方程为2219164x y -=即224194x y -=（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是023x y±=．故设双曲线方程为2249x y λ-=，∵点M 在双曲线上，∴284λ=，解得4λ=，∴所求双曲线方程为2211636x y -=．【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程0ax by ±=，可设双曲线方程为2222a x b y λ-=（0λ≠）．举一反三：【变式1】中心在原点，一个焦点在(0，3)，一条渐近线为23y x =的双曲线方程是（ ）A ．225513654x y -=B ．225513654x y -+= C ．22131318136x y -= D ．22131318136x y -+=【答案】D【变式2】过点(2，-2)且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线是 ( )A ． 22124y x -=B ． 22142x y -=C ． 22142y x -=D ． 22124x y -=【答案】A【变式3】设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【变式4】双曲线22221x y a b -=与2222(0)x y a bλλ-=≠有相同的（ ）A ．实轴B ．焦点C ．渐近线D ．以上都不对 【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例4． 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求双曲线的离心率．【解析】∵12||2F F c =，2ABF ∆是正三角形，∴123||2tan30AF c ==，224||2tan30cos30c AF c ===∴21||||2AF AF a -===，∴c e a==【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a 、c 满足的关系式，从而求出c e a=举一反三：【高清课堂：双曲线的性质 356749例2】 【变式1】(1) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =，过点A (0，-b )和B (a ，0)，求双曲线的方程． (2) 求过点(-1，3)，且和双曲线22149x y -=有共同渐近线的双曲线方程．【答案】（1）2213x y -=（2）2241273y x -=【变式2】已知双曲线2222x y a b-=1与x 轴正半轴交于A 点，F 是它的左焦点，设B 点坐标为(0，b )，且AB ⊥BF ，则双曲线的离心率为（ ）A 、B C D 【答案】B【变式3】 若椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为_______【答案】例5． 已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．【思路点拨】利用1212+PF PF F F ≥构造关于a ，c 的不等式，从而求出离心率e 的取值范围．【解析】由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得：183a PF =，22=3a PF ， 又1212+PF PF F F ≥，即1023ac ≥， 所以53a e c=≤，即e 的最大值为53．【总结升华】离心率的取值范围和最值问题关键是要找到双曲线几何量的不等关系；如定义、韦达定理等；从而求出e 的范围．举一反三：【变式1】已知a 、b 、c 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．1<e－2 B ．1<e <2 C ．1<e <3D ．1<e <2【答案】D【变式2】已知过双曲线22221x y a b-=右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．【答案】 (1类型五：双曲线的焦点三角形例6．若F 1，F 2是双曲线221916x y -=的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【思路点拨】结合双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝6与条件|PF 1|·|PF 2|＝32，利用余弦定理求12cos F PF ∠的值，从而求出∠F 1PF 2的大小．【解析】 由双曲线的方程，知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5． 由双曲线的定义得， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6． 上式两边平方得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝100， 由余弦定理得，22212121212||||||cos 2||||PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅1210010002||||PF PF -==⋅，所以∠F 1PF 2＝90°．【总结升华】 在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系．举一反三：【变式】已知双曲线2212416x y -=，P 为双曲线上一点，12F F 、是双曲线的两个焦点，并且1260F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．【答案】类型六：直线和双曲线的位置关系例7． 已知双曲线x 2－y 2=4，直线l ：y =k (x －1)，讨论直线与双曲线公共点个数． 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解．【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ，并依x 聚项整理得： (1－k 2)·x 2+2k 2x －k 2－4=0 ①(1)当1－k 2=0即k =±1时，方程①可化为2x =5，x =25，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切)．(2)当1－k 2≠0时，即k ≠±1，此时有Δ=4·(4－3k 2)若4－3k 2>0(k 2≠1)， 则k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点． (3)若4－3k 2=0(k 2≠1)，则k =±332，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况)．(4)若4－3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332432,，方程组无解，故直线与双曲线无交点．综上所述，当k =±1或k =±332时，直线与双曲线有一个公共点； 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛--332,1)1,1(1,332时，直线与双曲线有两个公共点；当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,332332,时，直线与双曲线无公共点． 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1——k 2是否为0，又要讨论Δ的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：举一反三：【变式1】过原点的直线l 与双曲线3422y x -=－1交于两点，则直线l 的斜率取值范围是 ( )A ．⎥⎥⎦⎤⎝⎛-23,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-23,33 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2323, 【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线－x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D例8．（1）求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长； （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程． 【思路点拨】（1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解．（2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便．解：由22141y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有121225,33x x x x +==- 得，12|d x x =-=== （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，由22114y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->∴21680,||k k <<且12122225,44k x x x x k k +==---， ∴121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =+==+=++=--， 22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得2240(4x y y y -+=<-或0)y >．方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-， ∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y xx y =-， 即2240x y y -+=（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式1212||||AB x x y y =-=-； （2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法． 举一反三：【变式1】垂直于直线230x y +-=的直线l 被双曲线221205x y -=截得的弦长为3，求直线l 的方程【答案】210y x =±【变式2】双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A ． 12-=x y B ． 22-=x y C ． 32-=x y D ． 32+=x y 【答案】C【巩固练习】 一、选择题1．已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A ．221124x y -=B ．221412x y -= C ．221124x y -+=D ．221412x y -+= 2．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y x =-，则双曲线的离心率为( )A ．2296x y -=B ． 22160y x -=C ． 2280x y -=D ． 2224y x -=3．过双曲线2222by a x -=1的右焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是左焦点，若∠PF 1Q =90︒，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．1+2C ．2+2D ．34． 已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝xB ．y ＝±C ．y ＝±4xD ．y ＝±3x5．与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点(-3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．以椭圆14416922y x +=1的右焦点为圆心，且与双曲线16922y x -=1的渐近线相切的圆的方程为（ ）A ．x 2+y 2-10x +9=0B ．x 2+y 2-10x -9=0C ．x 2+y 2+10x -9=0D ．x 2+y 2+10x +9=0二、填空题7．双曲线2214x y b +=的离心率e ∈(1，2)，则b 的取值范围是________． 8．椭圆22214x y a+=与双曲线2221x y a -=焦点相同，则a ＝________．9．双曲线以椭圆221925x y +=的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．10．双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________． 三、解答题11． 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围12． 设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．13．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)过点A ，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43．求此双曲线方程． 14．已知双曲线2214x y -=的两个焦点分别为12F F 、，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．15．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由． (1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0；(2)点A (5，0)到双曲线上动点P ．【答案与解析】 1．【答案】 C【解析】∵椭圆221925x y +=的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为144102555-==， ∴双曲线方程为：221412y x +=．2．【答案】 D【解析】 设双曲线方程为22(0)y x λλ-=≠∵焦点(0,±∴0,λ>又22(43)λ=，24λ= 3． 【答案】B【解析】因为|PF 2|=|F 2F 1|， P 点满足2222b y a c -=1，∴22b y c a a=-，∴222b c c a a =-，即 2ac=b 2=c 2-a 2， ∴12e e=-，故e=1+2．4． 【答案】 B 【解析】如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴13OA AB OF FC ==， ∴13a c =，∴22ba= 故渐近线方程为：2y x =±．5． 【答案】C【解析】设所求方程为22916x y k -=，代入(-3，23)得14k =， 52c =， ∵双曲线221916x y -=的渐近线为43y x =±， ∴焦点5(,0)2到渐近线43y x =±的距离d=2．6． 【答案】A ．【解析】由题意知圆心为（5，0）． 圆心到双曲线渐近线的距离为圆的半径r ，∴4r ==，∴所求圆的方程为(x -5)2+y 2=16，即 x 2－10x +y 2+9=0． 7． 【答案】 －12<b <0 【解析】 ∵b <0，∴离心率e =∈(1，2)， ∴－12<b <0． 8．【答案】2【解析】； 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a9．【答案】221253944y x -= 【解析】 椭圆221925x y +=中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率45c e a ==， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85，∴111485c a a ==，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为221253944y x -=． 10． 【答案】【解析】 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线22163x y -=的渐近线方程为2y x x ==±，∴20y ±=，由题意，得r ==11． 【解析】由条件知焦点在y 轴上，22c =，2ca=；可求222,2a b c a ==-=；所以双曲线的方程为221,44y x -=渐近线方程为y x =±12．【解析】由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解．消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0． 242210.02 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<<≠⎨+->⎪⎩所以解得且双曲线的离心率22111.021,6226(,2)(2,).a e a a a e e e +==+<<≠∴>≠+∞且且即离心率的取值范围为12． 【解析】过F 2作F 2A ⊥PF 1于A ，由题意知 F 2A ＝2a ， F 1F 2＝2c ，则 AF 1＝2b ，∴ PF 1＝4b ，而 PF 1－ PF 2＝2a ，∴4b －2c ＝2a ， c ＝2b －a ， c 2＝(2b －a )2，a 2＋b 2＝4b 2－4ab ＋a 2，解得43b a =， ∴双曲线的渐近线方程为43y x =±．13．【解析】 双曲线22221x y a b-=的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0．点A 到两渐近线的距离分别为122|145|b a d a b +=+，222|145b ad a b -=+已知d 1d 2＝43，故2222|145|43b a a b -=+ (ⅰ)又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4．故所求双曲线方程为22142x y -=．14． 【解析】解法一： 由双曲线的方程知a=2， b=1， ∴5c =．因此12||225F F c ==．由于双曲线是对称图形，如图所示，设P 点坐标为(x ，142-x )，由已知F 1P ⊥F 2P ，∴111F P F P k k ⋅=-， 即221144155x x x x --⋅=-+-，得2245x =，∴1221211||12512425F PF x S F F ∆=⋅⋅-=⨯⨯= 解法二：∵(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2=16，又由勾股定理得|PF 1|2+|PF 1|2=(2c)2=20，∴|PF 1||PF 2|=21[|PF 1|2+|PF 2|2-(|PF 1|-|PF 2|)2]=21(20-16)=2，∴121F PF S ∆=．15．【解析】假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为12y x =±，所以由条件(1)，设双曲线方程为222214x y b b -=，设动点P 的坐标为(x ，y )，则||AP ==由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，||AP ==最小b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|||25|AP b =-=最小，解得b =2<，应舍去），此时存在双曲线方程为221=． (2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为222214y x a a-=(x ∈R )，所以||AP =因为x ∈R ，所以当x ＝4时，||AP ==最小．所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为2214x y -=．。

课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1A [∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ，∴3－a ＝32，解得a ＝－4.] 2．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a >1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C.]3．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( )A ．3B ．6C ．4D ．8B [设F 2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P 1F 1|＝|P 2F 2|，∴|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝6.]4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 B [右焦点为F (3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，选B.]5．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [e 21＝c 21a 2＝a 2－b 2a 2，e 22＝c 22a 2＝a 2＋b 2a2，∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.] 二、填空题6．已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．3 [由题意知c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.]7．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．5 [不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5.] 8．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．23 [由双曲线方程知a ＝2，又e ＝c a＝2，所以c ＝4， 所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ＝3x ，一个焦点为F (4，0)． 焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋（3）2＝2 3.]三、解答题9．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意点，设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值．[解] 设P 点的坐标为(x ，y )， 则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎪⎫x －1252＋45，根据双曲线的范围知|x |≥2， ∴当x ＝125时，|PA |2的最小值为45，即|PA |的最小值为255.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1·MF 2＝0. 法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.[能力提升练]1．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c ，0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a ，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·ba＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e 2－e－1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．]2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 D [根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.]3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．2 [由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．]4．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．126 [设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.]5．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长．(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． [解] (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（x 1－x 2）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．。

课时分层作业(十) 双曲线的简单性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 B [设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.]2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B.13 C ．3D ．－13D [双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21－y 2－1k＝1，故离心率e ＝1－1k1＝2，解得k ＝－13.]3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 B [由顶点在y 轴上得该双曲线焦点位于y 轴，排除A 、D ，B 项，a ＝2，b ＝2，c ＝22，∴2a ＋2b ＝2·2c 符合题意．]4．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 A [双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式及渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3.]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形B [双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．]二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________. [解析] ∵2a ＝2,2b ＝2－1m，∴－1m＝2，∴m ＝－14.[答案] －147．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．[解析] 由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±a bx .而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125，∴渐近线方程为y ＝±512x .[答案] y ＝±512x8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．[解析] 如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝c a＝23－1＝3＋1.[答案] 3＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程． [解] (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.[能力提升练]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2 θ＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3A [由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．]2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12 D.5＋12D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝b a x ，而k BF ＝－b c，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________．[解析] A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)，x 29－y 216＝1，得B ⎝⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝3215.[答案]32154．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．[解析] 由题设条件可得，2bc＝3，所以b 2c 2＝34，所以c 2－a 2c 2＝34，所以c 2a2＝4，所以e ＝2. [答案] 25．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．[解] 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.。

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质（二）作业北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质（二）作业北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 双曲线的简单性质（二）作业北师大版选修1-1的全部内容。

2。

3.2 双曲线的简单性质（二）[A。

基础达标]1．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝2有且只有一个交点,那么k的值是（)A．±1B．±错误!C．±1，±错误!D．±错误!解析：选C。

把y＝kx＋2代入x2－y2＝2,整理得，（1－k2)x2－4kx－6＝0.当1－k2＝0，即k＝±1时，y＝kx＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k2≠0时，当y＝kx＋2与x2－y2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k＝±3。

综上可知，满足条件的k的值为±1,±错误!。

2．已知双曲线E的中心在原点，F（3，0）是E的焦点,过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N（－12,－15）,则E的方程为( )A.错误!－错误!＝1 B。

错误!－错误!＝1C。

错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1解析:选B.设A（x1，y1），B(x2，y2），E的方程为错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)，则错误!①－②得错误!－错误!＝0，因为x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，错误!＝1，所以4b2＝5a2，又因为c＝3,所以a＝2，b＝错误!,故E的方程为错误!－错误!＝1。

3.2 双曲线的简单性质1.已知双曲线x22−y2a=1的一条渐近线为y=√2x,则实数a的值为()A.√2B.2C.√3D.4 解析:由题意,得√2=√a√2,所以a=4.答案:D2.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线x216−y29=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则|sinA-sinB|sinP的值等于()A.45B.√74C.54D.√7解析:在△ABP中,由正弦定理知|sinA-sinB|sinP =||PB|-|PA|||AB|=2a2c=810=45.答案:A3.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率等于√33b,则该双曲线的焦距为()A.2√5B.2√6C.6D.8解析:设双曲线的焦距为2c,由已知得c2=√33b,又c2=4+b2,解得c=4,则焦距为8.答案:D4.已知双曲线x2a2−y2b2=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,√5)B.(1,√5]C.(√5,+∞)D.[√5,+∞)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=ba x,则由题意得ba>2.所以e=ca =√1+(ba)2>√1+4=√5.答案:C5.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一个焦点与抛物线y2=4√10x的焦点重合,且双曲线的离心率等于√103,则双曲线的方程为()A.x2-y29=1 B.x2-y2=1C.x29−y29=1 D.x29-y2=1解析:由题意可得双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一个焦点为(√10,0),所以c=√10,又ca=√103⇒a=3,所以b 2=c 2-a 2=1,故双曲线的方程为x29-y 2=1,故选D .答案:D 6.双曲线x 24+y 2k=1的离心率e ∈(1,2),则k 的取值范围是 .解析:双曲线方程可变为x 24−y 2-k=1,则a 2=4,b 2=-k ,c 2=4-k ,e=ca=√4-k2,又因为e ∈(1,2),则1<√4-k2<2,解得-12<k<0. 答案:(-12,0)7.中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,-1),则它的离心率为 . 解析:由题意得ba=12,∴离心率e=√1+(b a )2=√52. 答案:√52 8.导学号01844025过双曲线x 2-y 23=1的左焦点F 1,作倾斜角为π6的直线AB ,其中A ,B 分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为 .解析:双曲线的左焦点为F 1(-2,0),将直线AB 方程y=√33(x+2)代入双曲线方程,得8x 2-4x-13=0,显然Δ>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以x 1+x 2=12,x 1x 2=-138, 所以|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+13×√(12)2-4×(-138)=3.答案:39.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)过点(3,-√2),离心率e=√52;(2)中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点P (4,-√10). 解(1)若双曲线的焦点在x 轴上,设其标准方程为x 2a −y 2b =1(a>0,b>0).因为双曲线过点(3,-√2),则9a 2−2b 2=1.① 又e=ca =√a 2+b 2a 2=√52,故a 2=4b 2.②由①②得a 2=1,b 2=14,故所求双曲线的标准方程为x 2-y 214=1.若双曲线的焦点在y 轴上,设其标准方程为y 2a 2−x 2b 2=1(a>0,b>0).同理可得b 2=-172,不符合题意.综上可知,所求双曲线的标准方程为x 2-y 214=1.(2)由2a=2b ,得a=b ,所以e=√1+b 2a 2=√2, 所以可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). 因为双曲线过点P (4,-√10), 所以16-10=λ,即λ=6. 所以双曲线方程为x 2-y 2=6. 所以双曲线的标准方程为x 26−y 26=1.10.导学号01844026已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为√2,且过点(4,-√10). (1)求双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0; (3)在(2)的条件下,求△F 1MF 2的面积. (1)解∵e=√2,∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵过点P (4,-√10),∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x 2-y 2=6,即x 26−y 26=1.(2)证明由(1)可知,双曲线中a=b=√6,∴c=2√3,∴F 1(-2√3,0),F 2(2√3,0), ∴k MF 1=3+2√3k MF 2=3-2√3,k MF 1·k MF 2=m 29-12=-m 23.∵点M (3,m )在双曲线上, ∴9-m 2=6,m 2=3.故k MF 1·k MF 2=-1,∴MF 1⊥MF 2,∴MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.(3)解△F 1MF 2的底|F 1F 2|=4√3,△F 1MF 2的边F 1F 2上的高h=|m|=√3,∴S △F 1MF 2=12·|F 1F 2|·|m|=6.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业十五双曲线的简单性质一、选择题(每小题5分，共25分)1.双曲线x2-=1的实轴长是()A.2B.2C.4D.1【解析】选A.a2=1，所以2a=2，即实轴长为2.2.(2016·福州高二检测)经过点P(2，-2)，且与双曲线C：-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设与双曲线C：-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是-y2=λ(λ≠0)，又双曲线经过点P(2，-2)，所以λ=-4=-2，即双曲线方程为-=1.3.(2016·赣州高二检测)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，则C 的离心率为()A. B.C. D.【解析】选C.因为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x=±x，得=，则C的离心率e===.4.(2016·九江高二检测)已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.由2c=10得c=5，因为点P(2，1)在直线y=x上，所以=1.又因为a2+b2=25，所以a2=20，b2=5，故双曲线的方程为-=1.【补偿训练】等轴双曲线的一个焦点是F1(-6，0)，则它的标准方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.设等轴双曲线方程为-=1(a>0).所以a2+a2=62，所以a2=18.故双曲线方程为-=1.5.(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A. B.2 C.D.【解析】选D.设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2=b2=c2-a2，即c2=2a2，所以e=.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则p=________.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-，0)，故抛物线y2=2px的准线为x=-，所以=，所以p=2.答案：27.若双曲线-=1的离心率e=2，则m=________.【解析】c2=a2+b2=16+m，又因为e=，所以e=2=，所以m=48.答案：48【补偿训练】若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程为y=±x，则b等于________.【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，又渐近线方程为y=±x，故b=1.答案：18.顶点间距离为6，渐近线方程为y=±x，则双曲线的方程为________.【解题指南】根据渐近线方程表示出双曲线方程，由方程及两顶点间距离列方程，但要对参数分情况讨论.【解析】设以y=±x为渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0).由双曲线的顶点间距离为6，可得2a=6，所以，当λ>0时，a2=4λ，所以2a=2=6，即λ=，当λ<0时，a2=-9λ，所以2a=2=6，即λ=-1.所以双曲线的方程为-=1或-=1.答案：-=1或-=1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2016·南昌高二检测)求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程.(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(-3，2)，求双曲线方程.【解析】(1)设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意知=.因为双曲线过点P(，2)，所以-=1，解方程组得故所求双曲线方程为y2-x2=1.(2)设所求双曲线方程为-=1(a>0，b>0).因为e=，所以e2===1+=，所以=.解方程组得所以所求的双曲线方程为-=1.10.焦点在x轴上的双曲线，它的两条渐近线的夹角为，焦距为12，求此双曲线的方程及离心率.【解析】由已知可设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，所以两条渐近线为y=±x.因为两条渐近线的夹角为，故分两种情况，即y=x的倾斜角为或.当y=x的倾斜角为时，所以=tan=，所以=，即a2=3b2.又2c=12，所以c=6.由c2=a2+b2，得b2=9，a2=27.所以双曲线方程为-=1，e===.当y=x的倾斜角为时，所以=tan=，所以b2=3a2.又2c=12，所以c=6.由c2=a2+b2，得a2=9，b2=27.所以双曲线方程为-=1，e===2.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016·安康高二检测)若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点F到渐近线的距离为()A.2015B.2016C. D.【解析】选B.由于双曲线-=1的渐近线方程为y=±x=±x，则m=20162，双曲线一个焦点F(0，)到渐近线的距离为d==2016.2.(2015·重庆高考)双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为() A.± B.±C.±1D.±【解析】选C.由题意知F(c，0)，A1(-a，0)，A2(a，0)，其中c=.联立可解得B，C，所以=，=，又因为A1B⊥A2C，所以·=(c+a)(c-a)-=0，解得a=b，所以该双曲线的渐近线斜率为±1.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2016·吉安高二检测)已知双曲线的渐近线方程为y=x，且实轴长为2，则双曲线的标准方程为________.【解析】(1)当焦点在x轴上时，由题意知2a=2，所以a=1，又因为=⇒b=，所以双曲线的标准方程为x2-=1.(2)当焦点在y轴上时，由题意知2a=2，所以a=1，又因为=⇒b=，所以双曲线的标准方程为y2-=1.综上可得双曲线的方程为x2-=1或y2-=1.答案：x2-=1或y2-=1【误区警示】易对双曲线的概念和渐近线之间的关系理解不全而漏掉一解.【补偿训练】若双曲线-=1(a>0)的离心率为2，则a=________.【解析】因为b=，所以c=，所以==2，所以a=1.答案：14.(2016·广州高二检测)双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率为2，则的最小值为__________.【解析】双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率为2，则c=2a，所以===a+≥.当且仅当a=，即a=时，的最小值为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2+y2=10相交于点P(3，-1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程.【解析】切点为P(3，-1)的圆的切线方程为3x-y=10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y=±x，即=3，则双曲线方程可化为-=1，因为双曲线过点P(3，-1)，所以-=1，所以a2=，b2=80，所以所求双曲线方程为-=1.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，则渐近线方程为y=±x，即=3，则双曲线方程可化为-=1，因为双曲线过点P(3，-1)，所以-=1，得-=1，无解.综上可知所求双曲线方程为-=1.【一题多解】切点为P(3，-1)的圆的切线方程为3x-y=10.因为双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称.所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0，设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0)，因为点P(3，-1)在所求双曲线上，所以λ=80.所以所求双曲线方程为-=1.6.设F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切.【解题指南】设N，M分别是PF1，PF2的中点，只要证明|OM|=a+|PF2|，并且|ON|=|PF1|-a 即可.注意点P在双曲线的右支上，F1，F2是双曲线的两个焦点，满足了运用定义的条件特征，故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径.【证明】如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|=|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|=2a+|PF2|，从而有|OM|=(2a+|PF2|)=a+|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切.同理，得|ON|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切.关闭Word文档返回原板块。