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数列方法大全一、求通项公式各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，1n n a a n +=+，求n a 。
变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例3:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
（或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q，得：qq a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中nnn qa b =），得：qb q p b n n 11+=+再待定系数法解决。
数列题型及解题方法题型1：等差数列解题方法：首先确定数列的首项和公差，然后使用递推公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型2：等比数列解题方法：首先确定数列的首项和公比，然后使用递推公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型3：斐波那契数列解题方法：斐波那契数列是指后一项等于前两项之和的数列，即an = an-1 + an-2。
根据题目给出的条件，可以使用递归或循环的方式计算斐波那契数列的第n项。
题型4：数列求和解题方法：对于等差数列和等比数列，可以使用求和公式直接计算数列的和。
等差数列的和用Sn = (n/2)(a1 + an)表示，等比数列的和用Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)表示。
根据题目给出的条件，代入公式计算即可得到所求的和。
题型5：数列拓展解题方法：有时候题目需要在基本的数列模型上进行拓展，可以根据数列的特点和题目的要求进行分析和解答。
可以使用递推公式或者递推关系式进行推导，并根据题目给出的条件计算所求的项或和。
题型6：递推关系式解题方法：有时候数列无法使用基本的递推公式进行求解，需要根据数列的特点建立递推关系式。
递推关系式是指数列的每一项与前面的若干项之间存在某种关系，通过这个关系可以递推求解数列的项或和。
根据题目给出的条件，建立递推关系式，并根据初始条件求解所求的项或和。
数列等差数列与等比数列1.根本量的思想：常设首项、〔公差〕比为根本量，借助于消元思想与解方程组思想等。
转化为“根本量〞是解决问题的根本方法。
2.等差数列与等比数列的联系1〕假设数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕；2〕假设数列{}na是等比数列，且na>，那么数列{}loga na是等差数列，公差为loga q，其中a是常数且0,1a a>≠，q是{}n a的公比。
3〕假设{}na既是等差数列又是等比数列,那么{}na是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比拟【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 〔2010文16〕{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项;〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n项和Sn.解：〔Ⅰ〕由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0〔舍去〕，故{an}的通项an＝1+〔n－1〕×1＝n. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2.小结与拓展：数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。
〔a>0且a≠1〕.【题型2】与“前n项和Sn与通项an〞、常用求通项公式的结合例2数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应一样，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一〔迭代法〕bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二〔累加法〕即bn －bn －1＝2n －8， bn －1－bn －2＝2n －10， …b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，相加得bn ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n2－7n ＋14(n ∈N*)．小结与拓展：1〕在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项an 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2〕韦达定理应引起重视；3〕迭代法、累加法与累乘法是求数列通项公式的常用方法。
完整版数列题型及解题方法归纳总结2篇数列是数学中的重要概念之一，它是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列题型在中小学数学教学中经常出现，涉及对数列的性质、求特定项的值、判断数列的增减性等问题。
接下来，我们将对数列题型及解题方法进行归纳总结。
数列题型可分为以下几类：一、公式法公式法是指利用数列的通项公式来进行求解。
通项公式是指数列中第n 项与n的关系式，可以通过观察数列规律或根据已知条件推导得到。
在使用公式法解题时，首先要观察数列的前几项，并找出数列的规律。
根据规律，可以列出数列的通项公式。
然后，根据题目给出的条件，求出所需要求解的特定项的值。
例如，对于一个等差数列求特定项的值，可以利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
二、递推法递推法是指通过数列中前一项或前几项的值来求解后一项的值。
递推法常用于求数列的递推关系和递推公式。
在使用递推法解题时，首先要观察数列的前几项，并找出数列的递推关系。
根据递推关系，可以列出数列的递推公式。
然后，通过初始项的值和递推关系，依次求出所需要求解的特定项的值。
例如，对于一个斐波那契数列求特定项的值，可以利用递推关系和递推公式：an = an-1 + an-2其中，an表示第n项的值，an-1表示第n-1项的值，an-2表示第n-2项的值。
根据递推公式和初始项的值，可以逐步求出所需的特定项的值。
三、和与差法和与差法是指通过对数列的前n项进行求和或求差的方式来求解特定项的值。
在使用和与差法解题时，首先要根据数列的规律，找出数列的前n项和或前n项差的公式。
然后，根据题目给出的条件，求出所需的特定项的值。
例如，对于一个等差数列求特定项的值，可以利用等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项的值，an表示第n项的值，n表示项数。
根据前n项和公式和题目给出的条件，可以求出所需的特定项的值。
数列全部解题方法及对应题型归纳数列通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 求证：11n a -??是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n ba n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a （2）122 2,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a 拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。
（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
数列题型及解题方法数列是数学中常见的概念，也是高中数学中重要的内容之一。
在数学学习中，数列题型及解题方法是学生们需要掌握的重要知识点。
本文将从数列的基本概念入手，介绍常见的数列题型及解题方法，希望能帮助学生们更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、数列的基本概念。
数列是按照一定顺序排列的一串数，这些数之间存在着一定的规律。
数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列等多种类型。
在解题时，首先需要明确数列的类型，然后根据数列的特点和规律进行分析和计算。
二、等差数列题型及解题方法。
1. 求等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式一般为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
通过已知的首项和公差，可以利用通项公式求出数列的任意一项。
2. 求等差数列的前n项和。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过这个公式可以求出等差数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
3. 应用等差数列解决实际问题。
在解决实际问题时，可以将问题转化为等差数列的形式，然后利用等差数列的性质进行求解。
例如，求等差数列中满足某个条件的项数，或者求解等差数列中某些项的和等问题。
三、等比数列题型及解题方法。
1. 求等比数列的通项公式。
等比数列的通项公式一般为an=a1q^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1为首项，q为公比，n为项数。
通过已知的首项和公比，可以利用通项公式求出数列的任意一项。
2. 求等比数列的前n项和。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，通过这个公式可以求出等比数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3. 应用等比数列解决实际问题。
同样地，可以将实际问题转化为等比数列的形式，然后利用等比数列的性质进行求解。
例如，求等比数列中满足某个条件的项数，或者求解等比数列中某些项的和等问题。
四、其他特殊数列题型及解题方法。
知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
求na 及ns 的方法指导教师：郑军 一、通项n a 的求法：1. 公式法：（n a 与n S 的关系）1) 1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩；11112n n n b T n b T T n -==⎧=⎨-≥⎩；(n S 为{}n a 前n 项和，n T 为{}n b 前n 项积)例题1:已知：数列{}n a 的前n 项积为n T ，且nn T 25=，求通项n a ；2) 等差数列：d n a a n )1(1-+=；d a dn a n -+=1通项为一次函数的形式，且斜率公差d ； d m n a a m n )(-+=；mn a a d mn --=； 3) 等比数列：11-=n n q a a ；m n m n q a a -=；2. 累加法：11=a ，)(1n f a a n n =--，（)(n f 可加）例题2：已知数列{}n a 满足：121++=+n a a n n ，11=a ，求通项n a ； 例题3：已知数列{}n a 满足：1231n n n a a +=+⋅+，31=a ，求通项n a ； 3. 累乘法：11=a ，)(1n g a a n n=-，（)(n g 可乘） 例题4：已知数列{}n a 满足：n n n a n a 5)1(21+=+，31=a ，求通项n a ； 4. 构造法（待定系数法）：11=a ，q pa a n n +=+1（p ，q 为非零常数）解：令()1n n a x p a x ++=+，()11n n a pa p x +=+-则()1p x q -=，1qx p =-， 111n n q a p p q a p ++-=+- 即1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1n q a p ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为首项，以p 为公比的等比数列；1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以1111n n q q a a p p p -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭； 例题5：已知数列{}n a 满足：631+=+n n a a ，11=a ，求通项n a ； 5. 倒数法：例题6：已知数列{}n a 满足：221+=+n nn a a a ，11=a ，求通项n a ； 6. 对数法：例题7：已知数列{}n a 满足：5123n n n a a +=⨯，71=a ，求通项n a ； 7. 换元法：例题8：已知数列{}n a 满足：)24141(1611n n n a a a +++=+，11=a ，求通项n a ； （提示：n n a b 241+=）（31214132+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn）8. 数学归纳法：例题9：已知数列{}n a 满足：()()()221321218++++=+n n n a a n n ，981=a ，求通项n a ； （提示：猜()()2212112+-+=n n a n ）9. 无穷递推式：（由n a 得1+n a 两式相减）例题10：已知数列{}n a 满足：())2(1...321321≥-++++=-n a n a a a a n n ，11=a ，求通项n a ；（2!n a n =） 10.二、前n 项和n s 的求法：1. 公式法： 等差数列：()21n n a a n s +=，()d n n n a s n 211-+=；等比数列：()q q a s nn --=111，21q a a s n n -=2. 分组求和法：例题11：已知数列{}n a 满足：322-+=n a n n ，求前n 项和n s ； 例题12：已知数列{}n a 满足：n n a n +=2，求前n 项和n s ； （提示：()()6121...21222++=+++n n n n ）3. 裂项相消法： ()11...321211+++⨯+⨯=n n s n ；n s n +++++++=...211...21111； 11...321211+++++++=n n s n ；132211...11++++=n n n a a a a a a s ； 4. 错位相减法：（通项=等差⨯等比）n n n s 2...23222132⨯++⨯+⨯+⨯=； n n n s 32...34322⨯++⨯+⨯=；5. 倒序相加法：已知22()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦6.练习题：1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，且322-+=n n s n ，求n a2. 已知数列{}n a 的前n 项积为n s ，且nnn s +=22，求n a3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n s ，且1+=n n a s ，21-=a 求n a 及n s4. 已知数列{}n a 中，11=a ，231-+=+n a a n n ，求n a5. 已知数列{}n a 中，11=a ，1231+-+=+n a a n n n ，求n a ；6. 已知数列{}n a 中，11=a ，n n a n n a 131++=+，求n a ； 7. 已知数列{}n a 中，11=a ，941+=+n n a a ，求n a ； 8. 已知列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求n a ； 9. 已知数列{}n a 中，11=a ，11+=+n nn a a a ，求n a ； 10. 已知数列{}n a 中，11=a ，21+=+n nn a a a ，求n a ； 11. 已知ns 为数列{}n a 的前n 项和，且()()()()n n n s 2...23222132++++++++=，求n s ；12. 已知ns 为数列{}n a 的前n 项和，且()()()()2222...332211n n s n ++++++++=，求n s ；13. 已知n s 为数列{}n a 的前n 项和，且()11...431321211+++⨯+⨯+⨯=n n s n ，求n s ；14. 已知ns 为数列{}n a 的前n 项和，且()()12121...751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n s n ，求n s ； 15. 已知在数列{}n a ，2111+=a ，n s 为数列{}n a 的前n 项和，且11...431321211+++++++++=n n s n ，求n s ；16. 已知n s 为数列{}n a 的前n 项和，且ns n ++++++++++= (211)...321121111，求n s ； 17. 已知ns 为数列{}n a 的前n 项和，且n n n s 2...24232221432⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=，求n s ；18. 已知在数列{}n a ，311⨯=a ，n s 为数列{}n a 的前n 项和，且()n n n s 312...37353331432⨯-++⨯+⨯+⨯+⨯=，求n s ；19. 已知：1,021==a a ，且112121-++=n n n a a a ，求n a ；(提示()1121-+--=-n n n n a a a a ) （()2231132-⨯⨯-+=n nn a ） 20. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n s ，且0>n s ，求q 的取值范围；设1223++-=n n n a a b ，n t 为其前n 项和，比较n s 与n t 的大小；（提示：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q q a b n n 232）21.11134802(1)53(25)2(1)5325n n n n n n a a n a n a n a n a n +++---=⇒+++=+++++⇒=++}52{++⇒n a n22. 是公比为3的等比数列113)7(52-⋅+=++⇒n n a n a .23. 第五类：关于n a 与1-n a 的二次式，或者n S 与1-n S 的二次式，先因式分解成一次式，再构造等比数列。
24. 是出现分式递推式都可以构造等差数列来求通项公式， 25. 例如：取倒数112111-=----n n n a a a ，26. 221(1)(1)n n n a n a n n ---=-⇒27.1111n n n n a a n n -+-=⇒-1n n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列 28. 1111211n n n na a a n n ++⇒=⇒=+29. 三 递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
30. 例如()1211n n n n n a na a n n a a n a --=⇒=-⇒⋅⋅⋅⋅=! 31. 【注: !(1)(2)1n n n n =-- 】32. 求通项公式n a 的题，不能够利用构造等比或者构造等差求n a 的时候，一般通过递推来求n a 。
33.2：设1()22x f x =+.利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得34. (5)(4)......(0)......(5)(6)f f f f f -+-++++的值为_________. 35. (5)(4)(5)(6)n S f f f f =-+-+++ ① 36. (6)(5)(4)(5)n S f f f f =+++-+- ② 37. ①+②得 38.[][][][]2(5)(6)(4)(5)(5)(4)(6)(5)n S f f f f f f f f =-++-++++-++-1112()(1)22222n n f n f n -+-++=+=++ , 39. ∴32nS =40. 练习：（１）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.41. （２）已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2n S =a n +1，求a n . 42. （３）n 112,2+==+n n a a a ，求n a ？ 43. （４）n2n ,111+==+n n a a a ，求n a ？ 44. （５）32,311+==+n n a a a 求n a ？45. １６.求数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法等．46. 练习：（１）已知n n n a )21()12(+-=，求n S ？（２）已知2n 3n 12++=n a ，求n S ？ 47. （３）已知nn a n ++=21，求n S ？（４）已知n 311-n 2）（）（⋅=n a ，求n S ？ 48. ４. 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *）.49. （1）求数列{a n }的通项公式（2）设b n =)12(1n a n -（n ∈N *），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n ＞32m总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.50. 练习：（１）已知n n n a )21()12(+-=，求n S ？（２）已知2n 3n 12++=n a ，求n S ？ 51. （３）已知nn a n ++=21，求n S ？（４）已知n311-n 2）（）（⋅=n a ，求n S ？ 52.53. 3．求数列通项公式的常用方法 54. （1）求差（商）法55. 如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a56. 解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a =①57. 2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+……② 58. ①—②得：122nn a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 59. ［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a60. 注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =61. 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· 62. 数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求na （()1312nn a =-）63. {}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑64. 解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·65. ［练习］求和：111112123123n+++++++++++………… 66. 121n n a S n ===-+…………，67. （2）错位相减法68. 若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比. 69. 如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①70. ()23412341n n n xS x x x x n x nx -=+++++-+·……②71. ①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 72. 1x ≠时，()()2111nnn x nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为 （答：125） （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为 73. （答：n a <1+n a ）；74. （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-） 75. 6.数列的通项的求法：76. （1）已知数列 ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：11212n n a n +=++）77. （2）已知{}n a 的前n 项和满足2l o g (1)1n Sn +=+，求n a （答：{3,12,2n n n a n ==≥）；78.79. （3）数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{114,12,2n n n a n +==≥） 80.81. （4）数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：6116）82.83. （5）已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________（答：121n a n =+-+） 84.85. （6）已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4(1)n a n n =+） 86.87. （7）已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）；88.89. （8）已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=- ）；90.91. （9）已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）；92.93. （10）已知数列满足1a =1，11n n n n a a a a ---=，求n a （答：21n a n=）94.95. （11）数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{14,134,2n n n a n -==≥ ） 96. 已知}{n a 中211=a ，14121-+=+n a a n n ，求n a97. ④递推式为q pa a n n +=+1（q p ,为常数）：98. 构造法：Ⅰ、由⎩⎨⎧+=+=+++q pa a qpa a n n n n 121相减得)()(112n n n n a a p a a -=-+++，则99. }{1n n a a -+为等比数列。
