【知识梳理与自测】人教A版(文科数学)《9.2两条直线的位置关系》

两条直线的位置关系综合练习题及答案（一）知识梳理：1、两直线的位置关系（ 1）平行的判断：①当 l1 , l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1 // l 2k1 k2 , b1 b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1// l 2A1 B2 A2 B1 0,C1B2C2 B10 .（ 2）垂直的判断：①当 l1, l 2有斜截式（或点斜式）方程l1: y k1 x b1 ,l 2: y k2 x b2，则 l1l 2l1 : y k1x b1 ,l 2 : y k2 x b2.②当 l1, l 2有一般式方程： l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ，则 l1l 2A1 A2 B1B2 0 .2、两条直线的交点：若 l1 : A1x B1 y C10, l 2 : A2 x B2 y C20A1x B1 y C10则 l1 ,l 2的交点为__方程B2 y C2的解 .A2 x03、点到直线的距离：（ 1）点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 Ax By C0 的距离为d Ax0 By0 C0_.A2B2(2) 两平行直线间的距离求法：两平行直线： l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2C2C1.0 ，则距离d dB2A2（二）例题讲解：考点 1：直线的平行与垂直关系例 1、（ 1）已知直线l的方程为3x 4 y 120 ，求与l平行且过点1,3 的直线方程；（ 2）已知直线l1: 2x 3y 100, l2 : 3x 4 y 2 0 ，求过直线 l1和 l2的交点，且与直线 l3 : 3x 2 y 4 0垂直的直线 l 方程.易错笔记：解：（ 1）设与直线 l 平行的直线 l 1 的方程为 3x4 y C 0 ，则点1,3 在直线 3x 4y C 0 上，将点1,3 代入直线 3x 4 yC0 的方程即可得：314 3 C0 ， C9 ，所求直线方程为：3x 4y9 0 .（ 2）设与直线 l 3 : 3x 2y40 垂直的直线 l 方程为： 2 x3yC0 ，Q 方程2x 3 y 10 0x 2的解为：y 2，3x 4 y 2 0直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0 的交点是 2,2 ，直线 l 过直线 l 1 : 2x3y 10 0, l 2 : 3x 4 y 2 0的交点 2,2 ，22 3 2 C 0 ， C 2 ， 直线 l 方程为： 2x3y 2 0 .考点 2：直线的交点问题例 2、已知直线方程为2 m x 1 2m y 4 3m 0 ，(1) 求证：无论 m 取何值，此直线必过定点；(2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这定点平分，求这条直线方程 .解： (1) 设直线方程为2 m x1 2m y4 3m0 过定点A, B ，2 A B 4A 1A2B ，B，32直线方程为2 m x1 2m y 4 3m 0 过定点 1,2 .(2) 由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b 0 ，x y 直线 l 在 x 轴上的交点坐标为M a,0 ，直线 l 在 y 轴上的交点坐标为设直线 l 的方程为： 1，abN 0,b ，Q 直线 l 夹在两坐标轴间的线段被点1, 2 平分，点1, 2 是线段 MN 的中点，a21a2, b4，，b2 2直线 l 的方程为：x y 2x y 4 0 .21，即4易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线 3xy 1 0 和直线 6x2 y 1 0 的位置关系是（B）A ．重合B．平行C．垂直D．相交但不垂直2 、点 2,1 到直线 3x4 y 2 0 的距离是（A）A ．4B．5C．4D． 25542543 、如果直线 x 2ay 10 与直线 (3a 1) x ay 1 0 平行，则 a 等于（A）A ． 0B ．1C ． 0 或 1 D． 0 或1661解： 1a 2a 3a 1 0①，且 2a 1a 0 ②，由①得： a 0，由②得： a0 ，a0 .或 a64、若三条直线2x 3y 80, x y 1 0 和 x ky0 相交于一点， 则 k（ B）A ． -2B．1 C． 2D．122解： Q 方程2x 3y 8 0 x1x y1 0 的解为：y，2直线 2x 3y 80, xy 1 0 的交点是 1, 2 ，Q 三条直线 2 x 3 y 8 0, x y 1 0 和 x ky 0 相交于一点1, 2 ，直线 xky 0 过点 1, 2 ，1 k 20 ，k 1，故选 B .25 、已知点 M 4,2 与 M 2,4 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为（D）A ． x y 6 0B ． x y 6 0C ． x y 0D ． x y 06、已知直线 3x4 y 3 0 与直线 6 x my 14 0 平行， 则它们间的距离是（ D ）A ．17B． 17C ．8D． 210 5解： Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6x my 140 平行，3m 4 6 0， m 8 ，直线 6xmy 14 0 的方程为 6 x8 y14 0 ，即 3x 4 y 7 0 ，4 143 m直线 3x 4 y 3 0 与直线 3x 4 y 7C 2 C 1 732.0 之间的距离 dA 2B 2 3242Q 直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 x 8y 14 0 的距离等于直线 3x 4y 3 0 与直线 3x 4 y7 0 之间的距离，直线 3x 4 y 3 0 与直线 6 xmy 14 0 的距离 d C 2 C 1 7 3，故选 D.A 2B 232 242二、填空题7 、如果三条直线l1 : mx y 3 0,l2 : x y 2 0,l3 : 2x y 2 0 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是 _______ .．．8、过点过点2,3且平行于直线 2 x y50的方程为______2 x y70 __________. 2,3且垂直于直线3x 4 y30 的方程为______ 4x 3 y10 __________.分析：设与直线2x y50平行的直线方程为：2x y C0 ，则点2,3 在直线2x y C0 上，将点2,3代入直线 2 x y C0的方程即可得：223C0 ，C7 ，所求直线方程为：2x y 7 0 .分析：设垂直于直线3x4y30 的方程为： 4x3y C0 ，则点2,3在直线4x3y C0 上，将点2,3代入直线4x 3 y C0的方程即可得： 4 233C0 ，C1，所求直线方程为：4x 3y10.9、已知直线l13l2 A 1,2 B 2, a l 1// l 2，a _ 3 _l1l2，则 a5__.的斜率为经过点，若直线，直线，；若3当直线 l1// l 2时： Q 直线 l1的斜率： k13，且直线 l1// l 2，直线 l2的斜率 k2k1 3 ，Q 直线 l 2经过点 A 1,2， B 2, a ，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a23，x2x121a 5 .当直线 l1l2时，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l 2的斜率为 k2，则直线 l1的斜率： k13， Q 直线 l 1l 2，k1k2 1 ，直线 l2的斜率 k211k1，3又Q 直线 l2经过点 A1,2， B 2,a，直线 l 2的斜率 k2y2y1a2a2 1 ，x2x1213 5a.310、设直线l1:3 x 4 y20,l2 :2x y20,l3 :3 x4y20 ，则直线l1与l2的交点到l3的距离为 __12__.5解： Q 方程3x 4 y20x2，2x y2的解为：y 2直线 2x3y80, x y10 的交点是2,2，点2,2 到直线l3的距离为：d Ax0By0C3 2 4 2 212 .A2B23242511、过点 A1,2，且与原点距离等于2的直线方程为 x y30或 7x y90．2解：设所求直线的斜率为 k ，则Q直线过点A1,2，方程为y2k x1k x1，即kx y k20 ，直线到原点的距离为： d Ax0By0 C k 0 1 0 k 2k 2 2，A2B2 1 2 1 2k 2k 2222k 222 1 ，k28k7 0 ，k1或 k7 ，k 2122所求直线的方程为： x y 3 0 或 7x y9 0 ．三、解答题12、已知直线 l 1 : x my 60,l 2 : m 2 x 3y 2m 0，求 m 的值，使得 (1)l 1 和 l 2 相交；（ 2） l 1l 2 垂直； (3) l 1 // l 2 ； (4) l 1 和 l 2 重合 .解： (1) Q l 1 和 l 2 相交， m m 2 1 3 0 ，m 1．(2) Q l 1l 2 垂直，1 m 2m 3 0 ，m1.2(3)Ql 1 // l 2 ，m m 21 3 0 12m m 360 2，由（ 1）得： m3 或 m1，由（ 2）得： m3 ， m 1.(4) Q l 1 和 l 2 重合， m m 213 0 12m m3 6 0 2，由（ 1）得： m 3 或 m1m 3 或 m3，，由（ 2）得：当 m 3 ，或 m3 ，或 m 1时， l 1 和 l 2 重合 .13、已知直线 l 过点 1,2 ，且与 x ， y 轴正半轴分别交于点A 、 By（1）、求 AOB 面积为 4 时直线 l 的方程；B(1,2)（2 ）、在（ 1）的前提之下，求边 AB 上的高所在的直线方程 .解：（ 1）、由题意知，直线l 在 x 轴上的截距 a0 ，在 y 轴上的截距 b0 ，OAx设直线 l 的方程为：x y1，Q 直线 l 过点 1,2 ，ab 1 211①， QAOB面积为4a bab 4②，由①、②得： a 2， b4，，1a b22 直线 l 的方程为：x yy 40 .21，即 2x4（ 2）、设边 AB 上的高所在的直线为 l 1 ，斜率为 k 1 ，直线 l 1 过原点 O 0,0 ，Q 直线 l 的方程为： 2x y 4 0 ， 边 AB 所在的直线方程为： 2xy 4 0 ，斜率为斜率 k2 ，Q ll 1 ，k k 11 ，k 11 1 1， Q 直线 l 1 过原点 O 0,0 ，1k2 2直线 l 1 的方程为： yx 0 ，即 x 2y 0 . 综上所述：边 AB 上的高所在的直线方程为：x 2 y 0 .2。

两直线的位置关系公式两直线的位置关系公式是指用数学公式来描述两条直线之间的位置关系。

在平面几何中，直线是最基本的图形，研究直线之间的位置关系对于解决很多几何问题具有重要意义。

下面将介绍两条直线的四种位置关系及其对应的公式。

1. 平行关系：当两条直线之间没有交点且始终保持相同的方向时，它们是平行的。

此时，可以使用斜率来判断两条直线是否平行。

如果两条直线的斜率相等但截距不相等，那么它们是平行的。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距≠ 直线2的截距2. 垂直关系：当两条直线之间的夹角为90度时，它们是垂直的。

在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1。

用数学公式表示为：直线1的斜率× 直线2的斜率 = -13. 相交关系：当两条直线在平面上有一个公共的交点时，它们是相交的。

相交的情况有两种：交点为有限点和交点为无穷远点。

直线相交的条件是它们的斜率不相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率≠ 直线2的斜率4. 重合关系：当两条直线完全重合时，它们是重合的。

重合的直线有无穷多个交点，它们的斜率和截距相等。

用数学公式表示为：直线1的斜率 = 直线2的斜率且直线1的截距 = 直线2的截距两条直线的位置关系可以通过斜率、截距等数学公式来判断。

这些公式可以帮助我们在解决几何问题时确定直线之间的位置关系，从而得出准确的结论。

在实际应用中，我们可以通过计算斜率和截距，或者观察直线的图形来判断它们的位置关系，进而解决相关问题。

直线的位置关系公式是平面几何中的重要概念，对于几何学的学习和实际问题的解决都具有重要意义。

两条直线的位置关系知识点总结在几何学中，直线是最基本的几何元素之一。

考虑两条直线之间的位置关系是几何学的一个基本问题。

在这篇文章中，我们将讨论两条直线的位置关系，并总结一些重要的知识点。

平行线当两条直线在同一平面内，且它们不相交（或在一个点相交）时，这两条直线被称为平行线。

我们常常使用符号“||”来表示平行线。

如果直线l和m平行，则我们可以表示它们为l || m。

平行线有一些重要的性质。

首先，平行线之间的距离始终相等。

其次，平行线之间的夹角始终相等。

因此，如果我们有两条平行线和一条横穿它们的第三条直线，则其中每一组相邻角度都相等。

这被称为平行线的交错内角定理。

垂直线另一种常见的直线位置关系是垂直线。

当两条直线在同一平面内且它们交叉成直角时，这两条直线被称为垂直线。

我们通常使用符号“⊥”来表示垂直。

垂直线也有一些重要的性质。

首先，当两条直线垂直相交时，它们之间的夹角恰好是90度。

其次，如果我们有一条直线和另一条线的垂线交叉，那么其中每一组相邻的角都是补角相等的。

这称为垂线的垂直角定理。

倾斜线倾斜线是指既不是平行线也不是垂直线的直线。

在考虑倾斜线的位置关系时，我们可能需要使用一些比较专业的术语。

首先，我们可以使用夹角的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

如果两条倾斜线之间的夹角小于90度，则这两条线是锐角。

如果夹角等于90度，则这两条线是垂直线。

如果夹角大于90度，则这两条线是钝角。

其次，我们可以使用距离的概念来描述两条倾斜线之间的位置关系。

两条倾斜线之间的距离是它们之间最短的距离。

如果两条倾斜线从不相交，则它们的距离为零。

如果两条倾斜线相交，它们的距离将大于零。

总结在几何学中，考虑两条直线之间的位置关系是一个基本问题。

平行线的距离相等，夹角相等；而垂直线的夹角为90度，其相邻角度是补角相等的。

倾斜线的位置关系可以用夹角和距离来描述。

对于倾斜线，我们可以使用术语锐角、垂直线和钝角来描述它们之间的夹角。

§9.2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 知识拓展 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ ) 题组二 教材改编2．[P110B 组T2]已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．[P101A 组T10]已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 1解析 由题意知m －4－2－m ＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1. 题组三 易错自纠4．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______． 答案324解析 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的位置关系典例 (2018·青岛模拟)已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0. ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**) 由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.题型二 两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____． 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k P A ＜k ＜k PB . ∵k P A ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.2．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________________． 答案 x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d ＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．2 5答案 C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题典例 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a ×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)， 关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3(2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为 (2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案 4x －3y ＋9＝01．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定答案 C解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1. 故选C.2．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1， 解得a ＝－1，故选C.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州一模)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.故选B.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423B ．4 2 C.823 D ．2 2答案 C解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)答案 B解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎨⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.9．(2017·浙江嘉兴一中月考)已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________． 答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．13．(2017·湖北孝感五校联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4) D ．(2，－4)答案 C解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.14．(2017·岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．答案 94解析 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以(4－1)2＋(－m )2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．15.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是______________． 答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b ，∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34，∴直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，取直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －3m 4，∴6－b －3m 4＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18. ∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.。

初中数学《两条直线的位置关系》知识点梳理与教案制作要点。

知识点梳理与教案制作要点一、知识点梳理两条直线的位置关系是初中数学中的重点内容，其重要性在于解决几何问题时，经常涉及两条直线的相对位置。

知识点梳理包括两条直线的位置关系和两条直线的交点分析。

1、两条直线的位置关系平行：两条直线永远不会相交，且另外两条直线与这两条直线的交角相等。

垂直：两条直线相交，交角为90°。

相交：两条直线相交，交角不为90°。

2、两条直线的交点分析若两条直线相交，则这两条直线的交点坐标可以用两个一次方程求解。

若两条直线平行，则它们没有交点。

若两条直线重合，则它们无限交点。

二、教案制作要点教案制作要点包括教学目标、教学重难点、教学步骤和教学方法。

1、教学目标（1）掌握两条直线的位置关系的定义和判断方法。

（2）能够用两个一次方程求解两条直线的交点坐标。

（3）能够运用所学知识解决实际问题。

2、教学重难点（1）理解两条直线的位置关系的定义和判断方法。

（2）掌握用两个一次方程求解两条直线的交点坐标的方法和步骤。

3、教学步骤（1）导入：通过实例引出两条直线的位置关系问题。

如：现在有两条直线AB和CD，它们的位置关系是什么？请大家思考一下。

（2）讲解：讲解两条直线的位置关系的定义和判断方法，以及用两个一次方程求解两条直线的交点坐标的方法和步骤。

（3）练习：让学生在教师的指导下做一些练习题，检查学生对所学知识的掌握程度。

（4）拓展：通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

如：求解两条直线的交点坐标，求解两个城市之间的最短距离等。

4、教学方法（1）讲解法：通过举例解释，让学生理解两条直线的位置关系的定义和判断方法，以及用两个一次方程求解两条直线的交点坐标的方法和步骤。

（2）练习法：通过做一些练习题，让学生加深对所学知识的理解和掌握程度。

（3）拓展法：通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题，提高对所学知识的应用能力。

两条直线的位置关系
前言
在数学领域中，直线是一种最基本的几何元素之一。

直线既有自身特性，又与其他直线产生不同的关系。

在本文中，我们将探讨两条直线之间的位置关系。

两条直线的交点
当两条直线相交于一点时，我们称此点为两条直线的交点。

如下图所示：
根据图中所示，我们可以得到两条直线之间的位置关系：
•相交：两条直线所在的平面内只有一个交点。

•对称：交点是两条直线的中垂线交点。

•正交：两条直线在交点处垂直。

•倾斜：两条直线不垂直，也不平行。

两条直线的平行关系
当两条直线不相交，但在同一平面内，且其斜率相等时，我们称这两条直线是平行的。

如下图所示：
根据图中所示，我们可以得到两条直线之间的位置关系：
•平行：两条直线不相交，在同一平面内且斜率相等。

•垂直：两条直线在交点处互相垂直，斜率为负倒数。

•倾斜：两条直线不平行，斜率不相等。

两条直线的夹角关系
夹角是指两条直线在其交点处所成的角度。

如下图所示：
根据图中所示，我们可以得到两条直线之间的位置关系：
•锐角：两条直线所成夹角小于90度。

•直角：两条直线所成夹角等于90度。

•钝角：两条直线所成夹角大于90度。

•锐角和钝角的补角：两条直线所成夹角分别与90度的差值。

总结
在几何学中，直线是我们最基本、最常见的元素之一。

了解两条直线之间的位置关系，不仅有助于我们更好地理解几何学的概念，还有助于我们解决实际问题。

希望本文能为你提供一定的帮助。

第2讲两直线的位置关系及交点、距离基础巩固1.已知直线l1:y=x,若直线l2⊥l1,则直线l2的倾斜角为( )A. B.kπ+(k∈Z)C. D.kπ+(k∈Z)【答案】C【解析】∵l1⊥l2,∴k2=-1.故倾斜角为.2.过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.不能确定【答案】B【解析】∵直线AB与直线y=x+m平行,∴=1,即b-a=1.∴|AB|=.3.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】∵,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2.4.点(4,t)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则t的取值范围是( )A.≤t≤B.0<t<10C.0≤t≤10D.t<0或t>10【答案】C【解析】由题意,得≤3,即|15-3t|≤15,∴0≤t≤10.5.直线x-2y+1=0关于直线y-x=1对称的直线方程是( ) A.2x-y+2=0 B.3x-y+3=0C.2x+y-2=0D.x-2y-1=0【答案】A【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x,y),则它关于y-x=1对称的点为(y-1,x+1),且在直线x-2y+1=0上,∴y-1-2(x+1)+1=0,化简得2x-y+2=0.6.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程是( )A.15x+5y+16=0B.5x+15y+16=0C.15x+5y+6=0D.5x+15y+6=0【答案】A【解析】由方程组设所求直线为l,∵直线l和直线3x+y-1=0平行,∴直线l的斜率k=-3.∴根据直线点斜式有y-=-3,即所求直线方程为15x+5y+16=0.7.(2013届·湖北武汉检测)点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为( )A. B. C.2D.2【答案】B【解析】当点P为直线y=x+2平移到与曲线y=x2-ln x相切的切点时,点P到直线y=x+2的距离最小.设点P(x0,y0),f(x)=x2-ln x,则f'(x0)=1.∵f'(x)=2x-,∴2x0-=1.又x0>0,∴x0=1.∴点P的坐标为(1,1),此时点P到直线y=x+2的距离为.8.过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程是( )A.x+2y=0B.y=1C.x+2y=0或y=1D.x=1【答案】C【解析】方法一:当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由条件得,解得k=0或k=-.故所求的直线方程为y=1或x+2y=0.当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线.方法二:设所求直线为l,由平面几何知识知,l∥AB或l过AB中点.若l∥AB,因为k AB=-,所以直线l方程为x+2y=0.若l过AB的中点N(1,1),则直线l方程为y=1.∴所求直线方程为y=1或x+2y=0.9.与直线x-y-2=0平行,且它们的距离为2的直线方程是.【答案】 x-y+2=0或x-y-6=0【解析】设所求直线l:x-y+m=0,由=2,∴m=2或-6.10.(2012·山东临沂模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.【答案】[0,10]【解析】由题意得,点到直线的距离为.又≤3,即|15-3a|≤15,解之,得0≤a≤10,所以a∈[0,10].11.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是.【答案】2x+3y+8=0【解析】设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y), 则2x0+3y0-6=0,(*)又由对称性知代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.12.已知两直线l1:x+y sin θ-1=0和l2:2x sin θ+y+1=0,试求θ的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.【解】(1)方法一:当sin θ=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为零,l1显然不平行于l2.当sin θ≠0时,k1=-,k2=-2sin θ,欲使l1∥l2,只要-=-2sin θ,即sin θ=±,∴θ=kπ±,k∈Z,此时两直线截距不相等.∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.方法二:由A1B2-A2B1=0,即2sin2θ-1=0,得sin2θ=,∴sin θ=±.由B1C2-B2C1≠0,即1+sin θ≠0,即sin θ≠-1,得θ=kπ±,k∈Z,∴当θ=kπ±,k∈Z时,l1∥l2.(2)∵A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,∴2sin θ+sin θ=0,即sin θ=0.∴θ=kπ(k∈Z).∴当θ=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.13.已知直线l:3x-y+3=0,求:(1)点P(4,5)关于直线l的对称点;(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.【解】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').∵k PP'·k l=-1,即×3=-1.①又PP'的中点在直线3x-y+3=0上,∴3×+3=0.②由①②得(1)把x=4,y=5代入③及④得x'=-2,y'=7,∴P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于直线l对称的直线方程为-2=0,化简得7x+y+22=0.拓展延伸14.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【解】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B'的坐标为(a,b),则k BB'·k l=-1,即·3=-1.∴a+3b-12=0.①又由于线段BB'的中点坐标为,且在直线l上,∴3×-1=0,即3a-b-6=0.②解①②得a=3,b=3,∴B'(3,3).于是AB'的方程为,即2x+y-9=0.解即l与AB'的交点坐标为P(2,5).∴点P(2,5)即为所求.(2)如图所示,设C关于l的对称点为C',求出C'的坐标为.∴AC'所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC'和l的交点坐标为,故所求P点坐标为.。

高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系（含答案）9.2两条直线的位置关系两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式.点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系.两点间的距离.点到直线的距离.两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆.椭圆.双曲线.抛物线交汇考查题型主要以选择.填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解2几种距离1两点P1x1，y1，P2x2，y2之间的距离|P1P2|x2x12y2y12.2点P0x0，y0到直线lAxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2.3两条平行线AxByC10与AxByC20其中C1C2间的距离d|C1C2|A2B2.知识拓展1直线系方程1与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0mR且mC2与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0nR2两直线平行或重合的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1A1xB1yC10与l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R，但不包括l2.5点到直线.两平行线间的距离公式的使用条件1求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式2求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.2如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.3已知直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数，若直线l1l2，则A1A2B1B20.4点Px0，y0到直线ykxb的距离为|kx0b|1k2.5直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离6若点A，B关于直线lykxbk0对称，则直线AB的斜率等于1k，且线段AB的中点在直线l上题组二教材改编2P110B组T2已知点a,2a0到直线lxy30的距离为1，则a等于A.2B22C.21D.21答案C解析由题意得|a23|111.解得a12或a12.a0，a12.3P101A组T10已知P2，m，Qm,4，且直线PQ垂直于直线xy10，则m________.答案1解析由题意知m42m1，所以m42m，所以m1.题组三易错自纠4xx郑州调研直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则m等于A2B3C2或3D2或3答案C解析直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则有2mm1342，故m2或3.故选C.5直线2x2y10，xy20之间的距离是______答案324解析先将2x2y10化为xy120，则两平行线间的距离为d2122324.6若直线3a2x14ay80与5a2xa4y70垂直，则a________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得3a25a214aa40，解得a0或a1.题型一题型一两条直线的位置关系两条直线的位置关系典例xx青岛模拟已知两条直线l1axby40和l2a1xyb0，求满足下列条件的a，b的值1l1l2，且l1过点3，1；2l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解1由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点3，1，3a40，即a43矛盾，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab1a1.*又l1过点3，1，3ab40.**由***联立，解得a2，b2.2l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即ab1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4bb，联立，解得a2，b2或a23，b2.a2，b2或a23，b2.思维升华1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行.垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练已知直线l1ax2y60和直线l2xa1ya210.1试判断l1与l2是否平行；2当l1l2时，求a的值解1方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1不平行于l2；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1ya2x3，l2y11axa1，l1l2a211a，3a1，解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得aa1120，由A1C2A2C10，得aa21160，l1l2aa1120，aa21160，a2a20，aa216，可得a1，故当a1时，l1l2.2方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1ya2x3，l2y11axa1，由a211a1，得a23.方法二由A1A2B1B20，得a2a10，可得a23.题型二题型二两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题1已知直线ykx2k1与直线y12x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_____答案16，12解析方法一由方程组ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1.若2k10，即k12，则两直线平行交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.方法二如图，已知直线y12x2与x轴.y轴分别交于点A4,0，B0,2而直线方程ykx2k1可变形为y1kx2，表示这是一条过定点P2,1，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上不包括端点，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA16，kPB12.16k12.2若直线l过点P1,2且到点A2,3和点B4,5的距离相等，则直线l的方程为________________________答案x3y50或x1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1||3k3|，k13.直线l的方程为y213x1，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB13，直线l的方程为y213x1，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为1,4直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华1求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三题型三对称问题对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P0,1作直线l，使它被直线l12xy80和l2x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________答案x4y40解析设l1与l的交点为Aa,82a，则由题意知，点A关于点P的对称点Ba,2a6在l2上，代入l2的方程得a32a6100，解得a4，即点A4,0在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A4,0，B0,4，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A33B6C210D25答案C解析直线AB的方程为xy4，点P2,0关于直线AB的对称点为D4,2，关于y轴的对称点为C2,0，则光线经过的路程为|CD|6222210.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l2x3y10，求直线m3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M2,0，则M2,0关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点Ma，b，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，M613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x3y10，3x2y60，得N4,3又直线m经过点N4,3，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法1中心对称点Px，y关于Qa，b的对称点Px，y满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称点Aa，b关于直线AxByC0B0的对称点Am，n，则有nbmaAB1，Aam2Bbn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练已知直线l3xy30，求1点P4,5关于l的对称点；2直线xy20关于直线l对称的直线方程；3直线l关于1,2的对称直线解1设Px，y 关于直线l3xy30的对称点为Px，y，kPPkl1，即yyxx31.又PP的中点在直线3xy30上，3xx2yy230.由得x4x3y95，y3x4y35.把x4，y5代入得x2，y7，点P4,5关于直线l的对称点P的坐标为2,72用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得7xy220.3在直线l3xy30上取点M0,3，关于1,2的对称点Mx，y，x021，x2，y322，y1，M2,1l关于1,2的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13x2，即3xy50.妙用直线系求直线方程一.平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1求与直线3x4y10平行且过点1,2的直线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0c1规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0c1，又因为直线过点1,2，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二.垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A2,1，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A2,1，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三.过直线交点的直线系典例3xx湖南东部校联考经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为____________思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解解析方法一由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79，即交点为53，79，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k43.由点斜式得所求直线方程为y7943x53，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40，可解得交点为53，79，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为2x3y1x3y40，即2x33y140，又所求直线与直线3x4y70垂直，324330，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y901直线2xym0和x2yn0的位置关系是A平行B 垂直C相交但不垂直D不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k212，则k1k2，且k1k21.故选C.2xx邢台模拟“a1”是“直线ax3y30和直线xa2y10平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，直线ax3y30和直线xa2y10平行的充要条件是aa231，a131，解得a1，故选C.3从点2,3射出的光线沿与向量a8,4平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80答案A解析由直线与向量a8,4平行知，过点2,3的直线的斜率k12，所以直线的方程为y312x2，其与y轴的交点坐标为0,2，又点2,3关于y轴的对称点为2,3，所以反射光线过点2,3与0,2，由两点式知A正确4xx兰州一模一只虫子从点O0,0出发，先爬行到直线lxy10上的P点，再从P点出发爬行到点A1，1，则虫子爬行的最短路程是A.2B2C3D4答案B解析点O0,0关于直线xy10的对称点为O1,1，则虫子爬行的最短路程为|OA|1121122.故选B.5若直线l1xay60与l2a2x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为A.423B42C.823D22答案C解析l1l2，a2且a0，1a2a362a，解得a1，l1与l2的方程分别为l1xy60，l2xy230，l1与l2的距离d6232823.6若直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2经过定点A0,4B0,2C2,4D4，2答案B解析直线l1ykx4经过定点4,0，其关于点2,1对称的点为0,2，又直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，故直线l2经过定点0,27若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为________答案9解析由y2x，xy3，得x1，y2.点1,2满足方程mx2y50，即m12250，m9.8将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点m，n重合，则mn________.答案345解析由题意可知，纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点7,3与点m，n连线的中垂线，于是3n227m23，n3m712，解得m35，n315，故mn345.9xx浙江嘉兴一中月考已知直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，若l1l2，则a________，此时点P的坐标为________答案13,3解析直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，且l1l2，a11a20，即a1，联立方程xy60，xy0，易得x3，y3，P3,310已知直线l1axy10，直线l2xy30，若直线l1的倾斜角为4，则a________；若l1l2，则a________；若l1l2，则两平行直线间的距离为________答案1122解析若直线l1的倾斜角为4，则aktan41，故a1；若l1l2，则a1110，故a1；若l1l2，则a1，l1xy10，两平行直线间的距离d|13|1122.11已知方程2x1y2320与点P2,21证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；2证明该方程表示的直线与点P的距离d小于42.1解显然2与1不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6xy40，2xy60，xy40，解得x2，y2，故直线经过的定点为M2，22证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ||PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ||PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|42，|PQ|0，c0恒过点P1，m且Q4,0到动直线l的最大距离为3，则12a2c的最小值为________答案94解析因为动直线laxbyc20a0，c0恒过点P1，m，所以abmc20，又Q4,0到动直线l的最大距离为3，所以412m23，解得m0.所以ac2，则12a2c12ac12a2c1252c2a2ac12522c2a2ac94，当且仅当c2a43时取等号15.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为________答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设Ba，2，Cb,3ACAB，ab60，ab6，b6a.RtABC 的面积S12a24b2912a2436a2912729a2144a21272726当且仅当a24时取等号16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点2,3对称，则直线l的方程是______________答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1ykx35b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为ykx31b52，即ykx34kb，b34kb，解得k34，直线l的方程为y34xb，直线l1为y34x114b，取直线l上的一点Pm，b3m4，则点P关于点2,3的对称点为4m，6b3m4，6b3m4344mb114，解得b18.直线l的方程是y34x18，即6x8y10.。

两条直线的位置关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。