2020年6月浙江省诸暨市普通高中2020届高三高考适应性考试数学试题及答案

2020届浙江省绍兴市诸暨市高三下学期6月高考适应性考试数学试题一、单选题1．设全集[]0,3U =，[]0,2P =，[]1,3Q =，则()U C P Q ⋂=（ ） A ．(]2,3 B ．()1,2 C ．[)0,1 D ．[)(]0.12,3U 【答案】A【解析】直接根据集合的交集运算、补集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵[][]0,3,0,2U P ==， ∴(]2,3U C P =， 又[]1,3Q =，∴()(]2,3U C P Q =I ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 2．已知i 是虚数单位，设复数33iz i i-=++，则z =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算化简复数z ，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】 解：∵33i z i i -=++3131i i +=++-22i =-，∴z ==故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模的求法，属于基础题． 3．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．6 B ．13C ．12D ．32【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图，且高为3，∴该三棱锥的体积111133322V =⨯⨯=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体并求几何体的体积，属于基础题． 4．随机变量ζ的分布列如下图，若()0,ξ=E 则()D ξ=（ ）ξ3- 0 3P13abA ．6B ．2C ．0D 6【答案】A【解析】根据随机变量的数学期望与方差的定义求解即可．【详解】解：由题意可得，130303113a b a b ⎧-⨯+⨯+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即130113b a b -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()()()22113030633D ξ--+-==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查随机变量的数学期望与方差的应用，属于基础题．5．设F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，以F 为端点作垂直于x 轴的射线，交双曲线的渐近线于A 点，交双曲线于B 点，若B 为AF 的中点，则双曲线的离心率等于（ ） A．BCD【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为c ，不妨设A ，B 在第一象限，联立方程可依次求得A ，B 的坐标，再根据中点坐标公式即可求出答案．【详解】解：设双曲线的半焦距为c ，不妨设A ，B 在第一象限， 由题意得，(),0F c ，双曲线的渐近线方程为by x a=±， ∴将x c =代入b y x a =得，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将x c =代入22221x ya b -=得，2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵B 为AF 的中点，∴22bc b a a=，得12b c =，∴2a c ==，∴双曲线的离心率c e a ==， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．6．已知()(22log 42log a b +=，则+a b 的最小值是（ ）A ．2B 1C ．94D ．52【答案】C【解析】由题意得44a b ab +=，则1114a b +=，则()114a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可． 【详解】解：∵()(22log 42log a b +=，∴44a b ab +=，且400a b ab +>⎧⎨>⎩，则0,0a b >>，且1114a b+=，∴()114a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1144b a a b =+++5944≥+=，当且仅当4b a ba =即33,24a b ==时，等号成立，故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．7．已知,a b ∈R ，则()2211”“-+a b …是22143”“+a b …的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据()2211”“-+a b …和22143”“+a b …的几何意义分析即可得解. 【详解】()2211”“-+a b …表示点(),a b 到()1,0的距离小于等于1的区域， 22143”“+a b …表示椭圆22143x y +=及其内部区域，椭圆右焦点坐标()1,0，根据椭圆性质可得，椭圆上的点到焦点距离的最小值为2-1=1，所以()2211”“-+a b …表示的区域被22143”“+a b …表示的区域全覆盖. 所以已知,a b ∈R ，则()2211”“-+a b …是22143”“+a b …的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的判断，关键在于熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法.8．若函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．100,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】求出函数的单调增区间，根据2564,264k k Z k πππωωπππωω⎧-≤-⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩求解范围. 【详解】考虑函数函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令22,232k x k k Z ππππωπ-≤+≤+∈，522,,066k x k k Z πππωπω-≤≤+∈>， 252,66k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则2564,264k k Z k πππωωπππωω⎧-≤-⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得1083,283k k Z k ωω⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，所以k =0，又0>ω， 所以20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B 【点睛】此题考查根据三角函数的单调性求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握单调性的处理方法，准确求解不等式组. 9．若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭…．对x ∈[]0,2π恒成立，则sin (a +b )和sin (a -b )分别等于（ ） A．22B．22-C．22-D．22--【答案】D【解析】设()||f x a x b =--，根据三角函数值的符号，求得函数()f x 符号的变化，根据函数()f x 的单调性与对称性，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】 由02x π≤≤，则9444x πππ≤+≤， 当44x πππ≤+≤或9244x πππ≤+≤时，即304x π≤≤或724x ππ≤≤时，4in(0s )x π+≥，当24x πππ<+<时，即3744x ππ<<时，4in(0s )x π+<， 所以当304x π≤≤或724x ππ≤≤时，||0a x b --≤， 当3744x ππ<<时，||0a x b --≥， 设函数()||f x a x b =--，则()f x 在(,)b -∞上单调递增，在(,)b +∞上单调递减，且函数()f x 的图象关于直线x b =对称，所以37()()044f f ππ==， 所以3752442b πππ=+=，解得54b π=， 又由335()||0444f a πππ=--=，解得π2a =，所以5sin()sin()242a b ππ+=+=-，5sin()sin()242a b ππ-=-=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得函数()||f x a x b =--的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．设数列{a n }满足：114,n a a +==*,,N n ⎥∈⎢⎣⎦其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数(例如[]3.1)3=则2020a 的个位数字是（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】通过计算前几项的值找出规律，进而求得2020a 的个位数字，得到答案. 【详解】由题意，列{a n }满足：*1,,N n a n +⎢=∈⎥⎣⎦322n n n a a a +=2n a <，可用12n n a a +<作近似计算， 因为14a =，当1n =时，2128a a <=，所以27a ==⎢⎥⎣⎦；当2n =时，32216a a <=，所以313a ==⎢⎥⎣⎦；当3n =时，43226a a <=，所以425a ==⎢⎥⎣⎦； 当4n =时，54250a a <=，所以549a ==⎢⎥⎣⎦； 当5n =时，65298a a <=，所以697a ==⎢⎥⎣⎦； 当6n =时，762194a a <=，所以7193a ==⎢⎥⎣⎦； 当7n =时，872386a a <=，所以8385a ==⎢⎥⎣⎦； L可得从第二项其数字的个位数构成以7,3,5,9为周期的规律，所以2020a 的个位数字5. 故选：B. 【点睛】本提提主要考查了数列的应用，其中解答中根据题设条件，计算出前几项的数值，找出数字的规律是解答的关键，注意解题方法的积累与总结，属于中档试题.二、双空题11．设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为________，最小值为________. 【答案】2 -7【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】画出不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域，如图所示（阴影部分，包含边界）其中平面区域的顶点坐标分别为(2,0),(4,3),(1,0)A B C ---， 目标函数z x y =+，可化为直线y x z =-+，当直线y x z =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，最大值为max 202z =+=；当直线y x z =-+过点B 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值， 最小值为min 437z =--=-. 故答案为：2，7-.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．12．已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1a =，且()4f m =，则m =________；若对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】3或3- (],1-∞【解析】第一空，将1a =代入，分段讨论解方程即可求出答案； 第二空，画出函数()y f x =的大致图象，数形结合即可求出答案． 【详解】解：当1a =时，由()4f m =得， 当1m £时，14m -=，解得3m =-；当1m >时，2214m m -+=，解得3m =，或3m =-（舍去）；画出函数()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩()21,111,1x x x a x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩的图象如图，∵对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点， ∴由图可知，10a -≤，解得1a ≤； 故答案为：3或3-；(],1-∞． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于基础题． 13．已知4sin 5β=，β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin (α+β)=cosα，则cos β=________.()tan αβ+=________.【答案】35-3- 【解析】根据同角三角函数的基本关系，结合β的范围可求出cos β和tan β，将sin()cos αβα+=按照两角和的公式进行展开可得tan α，根据两角和的正切公式可得结果. 【详解】 因为4sin 5β=，β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3cos 5β=-，则4tan 3β=-， 由sin()cos αβα+=，得sin cos sin cos cos αββαα+=， 显然cos 0α≠，则34tan 155α-+=，解得1tan 3α=-， 则14tan tan 33tan()3141tan tan 133αβαβαβ--++===--⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案：35-，3-. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等式求三角函数值，两角和的正弦、正切公式的应用，属于14．在二项式621()x x -展开式中，常数项为________；在621(1)x x-+的展开式中，常数项为________. 【答案】15 76【解析】由二项式展开式通项公式中令x 的指数为0，可求得所在项数，得常数项，在三项式展开式中，利用多项式乘法法则得通项公式，然后求出常数项的所有可能． 【详解】 二项式621()x x -展开式通项公式为631216621()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令3120r -=，4r =，所以常数项为446(1)15C -=；由多项式乘法法则在621(1)x x-+的展开式的项可以写成： 2666621()()(1)kk t t t k tt k k k T C C x C C x x---=-=-，其中06,06k t k ≤≤≤≤-，,t k 为整数， 由20t k -=得2t k =，∴0t k ==，2,1t k ==，4,2t k ==，∴所求系数为00122466656476C C C C C C ++=．故答案为： 15；76． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，掌握展开式通项公式是解题关键．三项式的展开式，可以应用二项式定理展开：()[()]n na b c a b c ++=++，展开式通项公式为1()k n k k k n T C a b c -+=+，然后对()kb c +再应用二项式定理后可求解，也可象本题中一样，把此式看作是n 个a b c ++相乘，乘积一定是从这n 个式子中分别取一项相乘所得，由此可求解．三、填空题15．用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数abcde ，其中随机取一个五位数，满足条件||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-的概率为________. 【答案】16【解析】五位数有55120A =个，可用分类讨论思想求得满足条件||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-的五位数的个数．由四个绝对值中最大值分别为3，2，1分类可得，然后可计算概率．没有重复数字的五位数有55120A =个，||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-，由于四个绝对值最小为1，最大的不可能为4，若最大值为3的五位数有12543，34521，54123，32145共4个，四个绝对值最大为2，只有1个是2时，五位数有：21345，12354，54312，45321共4个，四绝对值中两个为2，两个为1时，这样的五位数有：13245，31245，21345，54231，54213，45312，53421，35421，12435，12453共10个， 四个绝对值都等于1的五位数有：12345,54321共2个， 综上满足题意的五位数有4+4+10+2＝20个， ∴所求概率为2011206P ==． 故答案为：16． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是满足条件的基本事件的个数，本题考查分类讨论思想，列举法．16．已知,P H 是ABC ∆所在平面内的两点，满足230PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，直线PC 与AB 交于点(),12,D PH PA PB λλ=+-u u u r u u u r u u u r若H 在△PBD 内(不含边界)，则实数λ的取值范围是________.【答案】1(0,)4【解析】由230PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r变形得1132AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，根据向量加法的平行四边形法则确定P 点位置，从而可确定D 点位置，然后把()12PH PA PB λλ=+-u u u r u u u r u u u r用,PB PD u u u r u u u r 表示，(34)PH PB PD PB λ=+-u u u r u u u r u u u r u u u r，再用向量线性运算法则作出34PD PB EF -=u u u r u u u r u u u r ，在PBD △内作//BG EF ，最终转化为4PH PB BG λ=+u u u r u u u r u u u r，从而可得结论． 【详解】由230PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r得，2()3()0AP AB AP AC AP -+-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，所以1132AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，如图，设N 是AC 中点，M 是AB 靠近A 的三等分点，以,AM AN 为邻边作平行四边形，则由向量的加法法则知P 是此平行四边形的第四个顶点，因为N 是AC 中点，//NP AB ，所以P 是CD 中点，又//MP AC ，所以M 是AD 中点，从而D 是AB 的另一个三等分点．所以33()32PA PB BA PB BD PB PD PB PD PB =+=+=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()12(3122)P PH PA PB PB D PB λλλλ=-+-=+-u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r u u u r (34)PB PD PB λ=+-u u u r u u u r u u u r ，作4PE PB =u u u r u u u r ，3PF PD =u u u r u u u r，连接EF ，作//BG EF 交PD 于G （14PG PF PD =<，G 在线段PD 上），则14BG EF =，所以344PD PB EF BG -==u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以4PH PB BG λ=+u u u r u u u r u u u r ，若H 在PBD △内（不含边界），则041λ<<，104λ<<． 故答案为：1(0,)4．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是用向量线性运算法则通过几何图形确定,P D 位置，并转化已知条件（分离参数λ），要注意把条件向PBD △内靠拢．17．已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，F 分别是棱AC ，AD 上的点，满足12AE DF AC DA λλ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，若EF 与平面BCD 所成角为4π，则λ=________. 【答案】72114- 【解析】设O 是BC 中点，设M 是BCD V 中心，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 与AM 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标，设正四面体ABCD 棱长为a ，写出各点坐标，求出EF u u u r 及平面BCD 的法向量，由向量EF u u u r与法向量夹角的余弦的绝对值等于线面角的正弦值可求得λ．【详解】如图，设M 是BCD V 中心，则AM ⊥平面BCD ，设O 是BC 中点， 则,,O M D 共线，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 与AM 平行的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标， 设正四面体ABCD 棱长为a，则2323DM a a =⨯=，AM ==，OM =， 所以1(,0,0)2C a，,0)D，)A ，1(,,)263AC a a a =--u u u r，(0,,)33AD a a =-u u u r ，因为AE DF AC DA λ==，所以(,,)263AE AC a a a λλλ==--u u u r u u u r，(1),AF AD λ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，2EF AF AE a λ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ， 平面BCD 的一个法向量是(0,0,1)n =r，因为EF 与平面BCD 所成角为4π，所以cos ,sin42n EFn EF n EFπ⋅<>====r u u u rr u u u r r u u u r ，解得λ=（λ=舍去）．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．考查了学生运算求解能力．四、解答题18．已知ABC V 中，sin 2sin C A =，点M 在线段AC 上，225AM MC ==，22ABM CBM θ∠∠==．（1）求θ的大小； （2）求ABC V 的面积． 【答案】（1）=4πθ；（2）92． 【解析】（1）由图可知，sin sin AMB CMB ∠=∠， （方法一）由题意得，2AB CB =，由正弦定理sin 2sin AM ABAMBθ=∠，sin sin CM CB CMB θ=∠可得到2sin 2sin AM CMθθ=，代入化简解出即可； （方法二）由正弦定理sin 2sin AM BM A θ=，sin sin CM BMCθ=，sin 2C A =得，2sin 2sin AM CMθθ=，代入化简解出即可；（2）由题意AC =由余弦定理2222cos AC CB AB CB AB ABC =+-⋅⋅⋅∠可求得3CB =，再根据ABC V 的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵AMB CMB π∠+∠=， ∴sin sin AMB CMB ∠=∠，（方法一）由正弦定理sin sin AB CBC A=及sin C A =得，AB =，由正弦定理sin 2sin AM AB AMB θ=∠，sin sin CM CB CMB θ=∠可得，sin 2sin AM θθ=，∵2AM MC ==，∴sin 2θθ=，即2sin cos θθθ=，得cos 2θ=， ∴4πθ=；（方法二）由正弦定理sin 2sin AM BM A θ=，sin sin CM BMCθ=，sin C A =得，sin 2sin AM θθ=，∵2AM MC ==，∴sin 2θθ=，即2sin cos θθθ=，得cos 2θ=， ∴4πθ=；（2）∵2AM MC ==∴AC =由余弦定理2222cos AC CB AB CB AB ABC =+-⋅⋅⋅∠及AB =得，2234522cos4CB CB CB π=+-⋅⋅，化简得29CB =， ∴3CB =，或3CB =-（舍去），∴ABC V 的面积1sin 2ABC S AB CB ABC ∆=⋅⋅⋅∠1393sin 242π=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题． 19．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长2的菱形，120ADC ︒∠=，AD 的中点M是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点.(1)求证：面MPB ⊥平面PBC ；(2)若MP MC =，求面角B MN C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)33 【解析】(1)首先可以根据M 是顶点P 在底面ABCD 的射影得出PM BC ⊥，然后根据底面ABCD 是边长2的菱形且120ADC ︒∠=得出BC BM ⊥，再然后通过线面垂直的相关性质即可得出BC ⊥平面MPB ，最后根据BC ⊂平面PBC 即可得出结果； (2)以,,MA MB MP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面BMN 的法向量nr以及平面MNC 的一个法向量为m u r ，最后通过cos m n ×u r r 即可求出二面角B MN C--的余弦值. 【详解】(1)因为M 是顶点P 在底面ABCD 的射影， 所以PM ⊥平面ABCD ，PM BC ⊥，因为底面ABCD 是边长2的菱形，120ADC ︒∠=，M 是AD 的中点， 所以BC BM ⊥，BC ⊥平面MPB ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面MPB ⊥平面PBC ，(2)如图，以,,MA MB MP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则：()0,0,0M ，()3,0B ，()3,0C -，(7P ，37N ⎛- ⎝⎭， 所以()3,0MB =u u u r ，37MN 骣琪=-琪桫u u u u r ，设平面BMN 的法向量为(,,)n x y z =r ，则0B n M u r u u r ⋅=，0n MN u u u u rr ⋅=，即00y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得其中一个解为2)n r =， 同理可求得平面MNC的一个法向量为)2,0m =u r故二面角B MN C --的余弦值cos m n m n m n×?==×u r ru r r u r r 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及二面角的余弦值的求法，若一条直线与一平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，若线面垂直，且直线在某一平面内，则面面垂直，考查借助空间向量求二面角，考查推理能力，是中档题.20．数列{a n }是公差大于零的等差数列，a 1=3，a 2，a 4，a 7成等比；数列{b n }满足()3121232102103nn n a b a b a a b b n ⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭L .（1）求数列{b n }的通项公式； （2）记12322221111，⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L n n c a a a a 比较c n 与13n b (n ∈N )的大小. 【答案】（1）2()3nn b =；（2）13n n c b >【解析】（1）根据等差数列首项为3且a 2，a 4，a 7成等比数列，列出方程可求公差，得到a n根据条件写出当2n ≥时，()112121133210283n n n a b a b a a b n b ---⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭L ，两式相减即可求解； （2）由212n n a n -=+，相乘相消可得2(1)(2)n c n n =++，作商比较c n 与13n b 即可. 【详解】（1）因为a 2，a 4，a 7成等比，且数列{a n }是等差数列 所以2(33)(3)(36)d d d +=++ ， 解得1d =， 所以2n a n =+，因为()3121232102103nn n a b a b a a b b n ⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭L 所以当1n =时，112323b b =⇒=， 当2n ≥时，()112121133210283n n n a b a b a a b n b ---⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭L两式相减得：112222()(28)()(210)()(312210)()(2)3333n n n n n n a b n n n n n --=+-+=+--=+，又2n a n =+ 所以2()3nn b =， 当1n =时，123b =也适合， 综上，2()3nn b =，(n ∈N ) （2）因为212n n a n -=+， 所以12322221231(1)(1)(1)(1)34512n n n n c a a a a n n -=----=⨯⨯⨯⨯⨯++L K 2(1)(2)n n =++， 所以123211,,3610c c c ===，又123248,,3927b b b ===， 所以112233111,,333c b c b c b >>>当3n >时，记13nn n c k b =， 则11231333263(1)12322626n n n k n n n n k a n n n ++++++-=-⋅=⨯==>+++， 即 13n n c b >对3n >成立， 综上13n n c b >对一切n *∈N 恒成立.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列，相乘相消法求通项，作商比较大小，分类讨论，属于难题.21．已知()1,1P 是抛物线C ：2y ax =上的一点，过P 作互相垂直的直线PA ，PB ．与抛物线C 的另一交点分别是A ，B . （1）若直线AB 的斜率为12-，求AB 方程； （2）设()2,1Q -，当||4||QA QB =时，求△PAB 的面积. 【答案】（1）12y x =-；（2）152【解析】（1）根据题意，得到抛物线的方程为2y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，利用斜率公式以及两直线垂直的条件，整理得出121220y y y y +++=，得到10y =或20y =，从而得到直线过原点，进而得到直线方程； （2）先证明,,A B Q 三点共线，根据4QA QB =得12141y y +=+，进而求得AB 方程为7322x y =--，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）将P 点坐标代入得1a =，抛物线方程为2y x = 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212121112y y x x y y -==--+又121211111y y x x --⋅=---，即12221211111y y y y --⋅=---， 得121220y y y y +++=所以10y =或20y =，直线AB 方程为12y x =- （2）先证明,,A B Q 三点共线，1122(2,1),(2,1)QA x y QB x y =-+=-+u u u r u u u r，2212211221(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)y x y x y y y y +--+-=+--+-22221221212122y y y y y y y y =-+-+-211212()(2)0y y y y y y =-+++=（或设AB 方程为x my n =+，与抛物线方程联立得20y my n --=，由韦达定理 12m y y =+，12n y y =-，结合（1）的结论得20n m -++=，21m n =-⋅+，即直线AB 过定点(2,1)Q -）所以,,A B Q 三点共线，4QA QB =得12141y y +=+ 111222114,(1)(1)1,312y y y y y y =⎧+⎪=-++=-⎨+=-⎪⎩（舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB 方程为7322x y =--， 11522PAB S d AB ∆=⋅⋅=， 法二：222222*********(2)(1)(2)(1)(1)2(1)1x y y y y y ⎡⎤-++=-++=+-++⎢⎥+⎣⎦2222222214422(2)(2)(1)(1)(1)(1)y x y y y y --++=++=++ 所以由4QA QB=得 2214(1)y =+ 11221(1)(1)1,32y y y y =⎧⎪++=-⎨=-⎪⎩（舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB 方程为7322x y =--， 11522PAB S d AB ∆=⋅⋅=. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有直线垂直的条件，直线方程的求解，抛物线中的面积问题，属于中档题目.22．已知函数21()ln 2f x x x ax b =+-+有两个极值点1212,()x x x x <. （1）记()()()112()ln ,==-f x x f x f x f x ，若12(),()f x f x 在00(1)x x x =>处有公共切线，求实数b 的取值范围；（2）求证：当21x m x <≤≤时，()()()()()()()211112().1111f x f x f f x x f x x f x x m m ---+>-+--【答案】（1）32b >（2）证明见解析 【解析】（1）先求1()f x x a x '=+-，根据题意可知12,x x 是方程10x a x +-=的两根，由对勾函数的性质可知2a >，由韦达定理得12121,x x x x a =+=，根据题意列出方程组2000001ln 21x x ax b x a x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，构造新函数，求得结果； （2）该问题证明的是线段AB 恒在线段CP 的上方，应用导数分段证明即可.【详解】（1）1()f x x a x '=+- 12,x x 是方程10x a x+-=的两根，12122,1,a x x x x a >=+=， 由题意得2000001ln 21x x ax b x a x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 220000011ln 1ln 22b ax x x x x =--=+- 记 21()1ln 2g x x x =+-，则13()0,()(1)2g x x g x g x '=->>=，即32b > （2）记1122(,()),(,()),(1,(1)),(,())A x f x B x f x C f P m f m ，本题要证明的是线段AB 恒在线段CP 的上方，我们只需先证明线段CB 在线段CP 的上方，再证明线段AB 在线段CB 的上方， 记()(1)ln 1()(1)112f m f m h m m a m m -==++---， 则222111(1)ln (1)ln (1)12()(1)2(1)m m m m m h m m m ----+-'=+=--， 又22211111(1)ln (1)(1)(1)(1)02m m m m m m mm '⎡⎤--+-=-+-=-->⎢⎥⎣⎦， 所以211()(1)ln (1)(1)02y m m m y m =--+->=， 从而()0h m '>，()h m 单调递增，所以22()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)11f x f f m f x f x f x m ---+≥-+-- 下证21211212()()()(1)()()(1)(1)1f x f x f x f x x f x x f x x x ---+>-+-- 因为212111222121()()()()()()()()f x f x f x f x x x f x x x f x x x x x ---+=-+--， 2222222()(1)()(1)(1)(1)()(),011f x f f x f x f x x f x x x x x ---+=-+-≤-- 只需证明212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--， 即212212212ln ln 1ln 1()(1)212x x x x x x x x x -++<++-- 记2(1)x t t =>，2122122212ln ln 1ln 12ln ln 1()()(1)212112x x x t t t t t x x x x x x t t t ϕ--=++--+=------22ln 12(1)t t t t t -+=+ 2(2ln 1)22ln 222(1)20t t t t t t t '-+=+-<+--=，22ln 12ln1110t t t -+<⋅-+=所以()0t ϕ<，即212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--， 综上命题得证.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有函数的极值点，函数图象在某点处的切线，应用导数证明不等式，属于较难题目.。

2020年浙江省学业水平适应性数学试卷（6月份）一、选择题（共18小题）.1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）A．1B．C．D．23．（3分）log36﹣log32＝（）A．B．1C．log34D．log3124．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣27．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0 9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）A．B．C．D．13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）A．1：2B．2：1C．D．16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题.19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝，d＝．20．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝．21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题.23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．参考答案一、选择题：本小题共18小题.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．（3分）已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，3}．故选：B．2．（3分）已知向量＝（1，1），则||＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的坐标即可得出的值．解：∵，∴．故选：B．3．（3分）log36﹣log32＝（）A．B．1C．log34D．log312【分析】利用对数运算法则直接求解．解：log36﹣log72＝＝3．故选：B．4．（3分）圆x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【分析】把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可．解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y+2）2＝13，故选：D．5．（3分）不等式|x+1|＞2的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|x＜﹣3或x＞1}【分析】原不等式转化为x+1＞2或x+1＜﹣2，然后得到解集．解：因为|x+1|＞2，所以x+1＞2或x+1＜﹣4，所以x＞1或x＜﹣3，故选：D．6．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为（）A．x＝2B．x＝﹣1C．y＝﹣1D．y＝﹣2【分析】利用抛物线的标准方程，有2p＝4，，可求抛物线的准线方程．解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．故选：B．7．（3分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图，则该几何体的形状是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱【分析】直接利用三视图转换为直观图．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：故选：B．8．（3分）过点A（1，﹣2），且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程（）A．2x﹣y﹣4＝0B．2x﹣y+4＝0C．x+2y﹣3＝0D．x+2y+3＝0【分析】设出与已知直线平行的直线方程，把点A的坐标代入直线方程，即可求得所求直线方程．解：设与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+m＝0，把点A（1，﹣6）的坐标代入直线方程，求得m＝﹣2×1+（﹣2）＝﹣4；故选：A．9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为M，则下列各点在M内的是（）A．点（﹣1，1）B．点（1，0）C．点（1，1）D．点（1，﹣1）【分析】画出约束条件的可行域，然后判断选项的正误即可．解：不等式组所表示的平面区域为M，如图：由可行域可知，（﹣1，5），（1，1），（1，﹣1）都不在可行域内，只有（1，2）在可行域内．故选：B．10．（3分）已知平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，那么下列结论正确的是（）A．m，n是平行直线B．m，n是异面直线C．m，n是共面直线D．m，n是不相交直线【分析】根据面面平行的性质定理即可得解．解：若平面α∥平面β，m⊂α，n⊂β，则m与n的位置关系可以是平行、异面，但一定不相交．故选：D．11．（3分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的三条边为a，b，c，若A：B：C＝1：1：4，则a：b：c＝（）A．1：1：4B．1：1：2C．1：1：3D．1：1：【分析】先根据三个角的比例关系求得三个角的值，进而求得三个角的正弦的比例关系，最后利用正弦定理求得三个边的比例关系．解：设A＝t，则B＝t，C＝4t，则t+t+4t＝6t＝180°，则A＝B＝30°，C＝120°，∴a：b：c＝sin A：sin B：sin C＝1：1：．故选：D．12．（3分）函数f（x）＝|x|+cos x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，当x＞0时，对函数f（x）求导，利用导数求函数的单调性，结合选项即可得结论．解：f（x）＝|x|+cos x，f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝x+cos x，f′（x）＝1﹣sin x≥0，函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减，结合选项，只有A满足．故选：A．13．（3分）已知a，b是实数，则“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】若a|b|＞1，则a＞0，利用基本不等式a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣5，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．解：若a|b|＞1，则a＞0，∴a+|b|≥2＞2；反之不成立，例如取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a+|b|＞2，而a|b|＞1不成立．∴“a|b|＞1”是“a+|b|＞2”的充分不必要条件．故选：A．14．（3分）已知双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b＝2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝2，即有b＝2a，可得e＝＝，故选：A．15．（3分）已知平面向量，的夹角为，且对任意实数λ，恒成立，则＝（）A．1：2B．2：1C．D．【分析】由已知不等式两边平方，然后结合向量数量积的性质及二次不等式的恒成立问题进行转化可求．解：因为对任意实数λ，恒成立，所以，即λ2﹣λ||||﹣||||﹣≥0对任意实数λ恒成立，整理可得，（||﹣2||）6≤0，则＝2：1．故选：B．16．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S3，S9，S6成等差数列，则下列说法正确的是（）A．如果数列{a n}成等差数列，则a2，a8，a5成等比数列B．如果数列{a n}不成等差数列，则a2，a8，a5不成等比数列C．如果数列{a n}成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列D．如果数列{a n}不成等比数列，则a2，a8，a5不成等差数列【分析】如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，推得a1＝﹣6d，再由等比数列的定义可得a2，a8，a5不为等比数列，再由原命题与其逆否命题等价，即可得到所求结论．解：如果数列{a n}成等差数列，设公差为d，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，化为a1＝﹣6d，a4＝a1+7d＝d，此时a2，a8，a5不为等比数列；可得其逆否命题：若a6，a8，a5成等比数列，可得数列{a n}不成等差数列，故选：C．17．（3分）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则（）A．AF•AB＝BF2B．AF+AB＝2BF C．AF•AB＞BF2D．AF+AB＜2BF 【分析】作出图形，选取当A为BC中点时的特殊情况，求得，，AF+AB＜x1+x2+p，而，由此即可得出结论．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作BE垂直准线于点E，如图，设点A为BC中点时，则，由△＝0可得7p2n2﹣4p2＝0，解得n＝±1，此时直线l与抛物线相切，∴∠BCx＜45°，∴，∴，∴x1＜x2，故选：D．18．（3分）如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|＝2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）A．B．C．D．【分析】设P在底面的射影为O，根据P点性质设P坐标，通过计算cos＜＞范围得出答案．解：设P在平面ABCD上的射影为O，则∠POA＝90°，∠PAO＝45°，PA＝2，∴PO＝OA＝，则D（4，0，2），B（0，4，0），设P（cosα，sinα，），∴＝4﹣4（cosα+sinα），∴cos＜＞＝，cosα+sinα＝，（3）若t＝0，则cos∠BPD＝0，∴0＜cos∠BPD≤，∴﹣≤cos∠BPD＜0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题.19．（3分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝n2，n∈N*，则a1＝1，d＝2．【分析】由已知令n＝1，n＝2可分别求a1，a2，进而可求公差d．解：因为等差数列{a n}中，S n＝n2，所以，a1＝S1＝1，所以a3＝3，d＝2．故答案为：1，220．（3分）若cos（π﹣x）+cos（+x）＝，则sin2x＝﹣．【分析】由已知利用诱导公式可得﹣cos x﹣sin x＝，两边平方即可求得sin2x的值．解：由cos（π﹣x）+cos（+x）＝，得﹣cos x﹣sin x＝，则，得sin2x＝﹣．故答案为：﹣．21．（3分）如图，在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图设计的，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，若正方形ABCD的面积为2，则线段AG的最大值为．【分析】设∠BAF＝θ，可用θ表示出AG2，再利用三角函数的性质求得最大值即可．解：设∠BAF＝θ，易知，∴，∴．故答案为：．22．（3分）已知函数f（x）＝和g（x）＝ax+1．若对任意的x∈（0，1），都有t1、t2∈[﹣1，a]（t1≠t2）使得f（t1）＝g（x），f（t2）＝g（x），则实数a 的取值范围是（0，4]．【分析】根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解．【解答】解析：由题意得，{y|y＝g（x），x∈（0，1）}⊆{y|y＝f（x），x∈[﹣1，a]}，并且对于g（x）值域中的每一个数M，都有至少两个不同数t1和t2，①当a≤0时，x∈（0，1），g（x）的值域为（a+1，1），②当0＜a≤4，g（x）的值域为（1，a+1），即，则，解得0＜a≤2．③当a＞2时，g（x）的值域为（1，a+5），由f（x）的函数图象可知，要满足（1，a+1）⊆[1，5]即可，综上所述，a的取值范围是（0，7]．故答案为：（0，4]．三、解答题：本大题共3小题.23．已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）若，（），求sin2α的值．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式变形，再由周期公式列式求得ω值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的ω代入，由复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）由求得cos2α，再由同角三角函数基本关系式求sin2α的值．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sinωx•cosωx＝sin2ωx，∴最小正周期；解得，k∈Z．（Ⅲ）∵f（x）＝sin2x，∴，又，∴sin2α＞0，则．24．已知椭圆的离心率为，右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切，且与椭圆C交于M，N两点，求MF+NF的最小值．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标以及离心率求解c，a然后求解b，得到椭圆方程．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），求出联立利用韦达定理，结合二次函数的性质，转化求解MF+NF的最小值．解：（Ⅰ）右焦点，所以，又，故a＝2，所以b2＝a4﹣c2＝1，（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（km＜0）与圆O：x2+y2＝b2相切⇒m2＝k2+1，同理，，联立得：（1+4k2）x2+5kmx+4m2﹣4＝0，∴，则，当且仅当t＝3时取等号．MF+NF的最小值为7．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x2﹣b2|，其中a，b，x∈R．（Ⅰ）若y＝f（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）当a＝b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意x∈[0，1]，都有f（x）≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．【分析】（Ⅰ）由偶函数的定义，计算可得所求a的值；（Ⅱ）求得f（x）的解析式，作出y＝f（x）的图象，可得单调区间；（Ⅲ）先证a+b2≥1．结合恒成立思想，考虑f（0）、f（1）≤a+b2，结合绝对值不等式的性质，可证；再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明．解：（Ⅰ）y＝f（x）是偶函数，故f（﹣x）＝f（x），即|﹣x﹣a|+|（﹣x）2﹣b2|＝|x﹣a|+|x2﹣b2|⇒|x+a|＝|x﹣a|⇒a＝0；结合图象易知y＝f（x）的单调递增区间为，[1，+∞），（Ⅲ）先证a+b2≥1．∴f（0）≤a+b2⇒|a|≤a⇒a≥0，当b2＞2时，f（1）＝|1﹣a|+|1﹣b2|＝|1﹣a|+b2﹣1≤|a|+1+b8﹣1＝a+b2恒成立．当b7≤1，0≤a≤1时，由f（1）＝|8﹣a|+|1﹣b2|＝1﹣a+1﹣b2≤a+b2恒成立，可得a+b5≥1，再证，当时，对一切x∈[0，1]时f（x）≤1恒成立，∴．综上所述，a+b2的最小值为1．。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________评卷人 得分一、选择题1．(2019·咸阳二模)已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为( ) A.3172 B.712 C.2572 D.1572 2．函数log ()(01)a x x f x a x=<<图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.3．已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 4．如图，在ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，27,6,4AD AC DC ===，则AB 的长为( )A. 2B. 36C. 33D. 32评卷人 得分二、填空题5．已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。

弦AB 长为2，则线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为 ．6．利用基本不等式解题时要注意取等条件是否能够取到.7．20191i 1i--=_________．8．设函数()42,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 评卷人 得分三、解答题9．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的四边形ACGD 的面积．10．(本小题满分12分)(2019·洛阳一模)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若d <0，求S n 的最大值．11．已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在]2,0(上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围. 12．已知函数2()(1)(2)xf x a x x e =-+-． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[2x ∈-，]2上的最大值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的零点的个数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：{} B解析 甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被公司录取的概率分别为16，14，13，且三人录取结果相互之间没有影响，他们三人中至少有一人被录取的对立事件是三人都没有被录取，∴他们三人中至少有一人被录取的概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－16⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－13＝712.故选B. 2．C解析：C 【解析】当0x > 时，()log a f x x =单调递减,去掉A,B; 当0x < 时，()log ()a f x x =-- ，单调递减，去掉D;选C.3．A解析：A 【解析】 【分析】先将函数()2cos 2cos23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简，并用辅助角公式化成一个()cos()g x A x B ωθ=++形式，函数()g x 的图象关于y 轴对称，也就是说函数()g x 是偶函数，因此有()k k Z θπ=∈，而0ϕ>，就能求ϕ的最小值. 【详解】()2cos 2cos23f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭进行化简得，221()cos 2cossin 2sin cos 2cos 22cos 23321cos 22cos(2)23f x x x x x x x x x x πππ=++=-++==-由题意可知()cos[2()]cos(22)33g x x x ππϕϕ=+-=+-，函数()g x 的图象关于y 轴对称也就是说函数()g x 是偶函数，所以有2()3k k Z πϕπ-=∈成立，即1()26k k Z πϕπ=+∈因为0ϕ> 所以ϕ的最小值为6π，此时0k =，故本题选A. 【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。

2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =（）A ．{}4B ．{}1,6C ．{}2,4D ．{}1,2,4,6【答案】D【解析】根据集合的并集运算,即可求解. 【详解】因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =故选:D 【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2．()tan a π-=（ ） A ．tan a - B ．tan a C ．tan a ±D ．1tan a【答案】A【解析】根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】 由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3．66log 2log 3+=（ ） A ．0 B ．1 C ．6log 5 D ．12log 5【答案】B【解析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B 【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4．圆22280x y x ++-=的半径是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】B【解析】将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++=所以圆的半径为3 故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5．不等式12x -<（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{1x x <-或}3x >D ．{1x x <或}3x > 【答案】A【解析】根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】 不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x ,即{}13x x -<<故选:A 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A ．()5,0-，()5,0B ．()0,5-，()0,5C ．()4,0-，()4,0D ．()0,4-，()0,4【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b == 由椭圆中222a b c =+ 可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122zy x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大 此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.8．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内 【答案】B【解析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．270x y -+=D ．270x y --=【答案】D【解析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解. 【详解】因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=-化简可得270x y --= 故选:D 【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（） A ．1 BC ．2D【答案】D【解析】根据正弦定理,即可求得b 的值. 【详解】在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a bA B = 代入可得3sin 60sin 45b =解得b故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.11．函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 【详解】 因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B【解析】根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯=则121233P ABC V -=⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时,223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件 故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．3C D【答案】B【解析】根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率. 【详解】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF∠=︒,122F F c =所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a=,即222139c ea==所以e =故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题.15．点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中πsin πl xy l=, 其图像如图.选C.16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．14【答案】C【解析】根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值. 【详解】数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--=则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（ ） A ．若12II =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12II =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ=，则12II =【答案】C【解析】根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 【详解】根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA=⋅=⋅∠=⋅若''AP BQ =,则''AQ BP =若12II =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ≠所以A 、B错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题. 18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56π B ．23πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值. 【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=-所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m n m nα⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33ra B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=-⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos 1k h k hβ⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<<所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π故选:B 【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、填空题19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______. 【答案】1 15【解析】根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a=,34a =所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩所以3341128a a q ==⨯= 所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20．设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______. 【答案】4【解析】根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量 则u v ∥因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =-- 所以存在λ,满足u v λ= 则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以4m = 故答案为:4 【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【解析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD 所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥ 所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角 因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC = 所以229165BC AB AC +=+=341255AB AC AD BC ⨯⨯===则22221216455DC AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题. 22．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值. 【详解】 因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界 若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =- 当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点 则()22260f b bb =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍) 当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点 则()24260f b bb =---=,且2b >解方程可得2b =-(舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为:2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Ⅱ）π（Ⅲ）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期.（Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因此当233x ππ-=-,即0x =时,()3min f x =-当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x =所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24．如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C 解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2kt ,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t 表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t t t >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2kt即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t tt --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即31272432t ≤≤ 解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.。

浙江省诸暨市 2021届高三数学1月月考试题一、选择题：本大题共1小题，每题 4分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

(请把选择题答案涂在答题卷上 ) ．．．．．．．．．．．．．1、集合A 1,2,3 ，假设AIB 1,2 ，AUB 1,2,3,4,5 ，那么集合B 中的元素个数为〔 〕A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、向量a (1,1)，b (2,x)，假设a b 与a b 平行，那么实数的值是 〔 〕A ． 2B ．0C ．1D ．2 3、a n f n ，那么“函数y fx 在1, 上单调递增〞是“数列a n 是递增数列〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 〔 〕4、在x 22x6的展开式中，常数项为〔〕A ．-240 B．-60 C ．60 D ．2405、函数fxcos x，f x是奇函数，那么 〔〕24A ．fx 在, 上单调递减 B．fx 在0,上单调递减44C ．fx 在, 上单调递增 D．fx 在0,上单调递增446、在?增减算法统宗?中有这样一那么故事： “三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。

〞那么以下说法错误的选项是 〔〕A ．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的1D ．此人后三天共走了42里路7、如图，网格纸上小正方形的边长为 81，右图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为 〔〕A ．16B ．8 4 2C ．12D．48 2x y 1 0 3，那么a 的值是8、假设实数x,y 满足x y(a 1),zx2y 的最大值是〔〕y ax 1 04A.529、F 为抛物线C:y 24x的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，那么|AB|4|DE|的最小值为〔 〕A ．36B ．40C ．1282D ．208210、设E 、F 分别是正方形ABCD 中CD 、AB 边的中点，将ADC 沿对角线AC 对折，使得直线EF 与AC 异面，记直线EF 与平面ABC 所成角为，与异面直线AC 所成角为 ，那么当tan1〔〕时，tan2A.35B.5C.51D.571651719二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

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2020年浙江省高考数学选考模拟试卷（6月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B ＝（ ）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（2，3）
D ．（﹣2，3） 2．双曲线x 2−y 24=1的渐近线方程是（ ）
A ．y ＝±√55x
B ．y ＝±√5x
C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2x
3．若实数x ，y 满足约束条件{y ≥0
x +2y −2≤0x −y ≥0
，则z ＝|x ﹣2y |的最大值是（ ）
A ．23
B ．2√55
C ．2
D ．√5
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．4√2
D ．12
5．已知{a n }是等差数列，a 1＝11，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 5＝S 7，则S n 的最大值为
（ ）
A ．66
B ．56
C ．46
D ．36 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则“
a sinB =b+c sinC+sinA ”是“△ABC 为等腰三角形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量ξ满足P （ξ＝0）＝1﹣p ，P （ξ＝1）＝p ，且0＜p ＜1，令随机变量η＝|ξ
﹣E （ξ）|，则（ ）。

浙江省绍兴市诸暨市2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题(wd 无答案)一、单选题(★) 1. 设全集 ，，，则（）A ．B ．C ．D ．(★) 2. 已知 是虚数单位，设复数 ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★★) 3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（）A ．B ．C ．D ．(★) 4. 随机变量 ζ的分布列如下图，若则 （）A ．6B ．2C ．0D ．(★★) 5. 设是双曲线的右焦点，以为端点作垂直于轴的射线，交双曲线的渐近线于点，交双曲线于点，若为的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知，则的最小值是（）A．2B．C．D．(★★★) 7. 已知，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(★★★★) 8. 若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 9. 若不等式．对x∈ 恒成立，则 sin( a+ b)和 sin( a- b)分别等于（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 设数列{ a n}满足：其中[ x]表示不超过实数 x 的最大整数(例如则的个位数字是（）A．3B．5C．7D．9二、双空题(★★★) 11. 设实数 x， y满足约束条件，则的最大值为________，最小值为________.(★★) 12. 已知若，且，则________；若对任意的，直线与函数的图像都有两个交点，则实数的取值范围是________．(★★★) 13. 已知，β∈ ，且sin( α+ β)= cosα，则________.________.(★★★) 14. 在二项式展开式中，常数项为________；在的展开式中，常数项为________.三、填空题(★★★) 15. 用组成没有重复数字的五位数 abcde，其中随机取一个五位数，满足条件的概率为________.(★★★) 16. 已知是所在平面内的两点，满足，直线与 AB 交于点若在△ PBD内(不含边界)，则实数λ的取值范围是________ .(★★★) 17. 已知四面体 ABCD的所有棱长都相等， E， F分别是棱 AC， AD上的点，满足，若 EF与平面 BCD所成角为，则λ=________.四、解答题(★★) 18. 已知中，，点在线段上，，．（1）求的大小；（2）求的面积．(★★★) 19. 四棱锥的底面是边长的菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点.(1)求证：面平面；(2)若，求面角的余弦值.(★★★★) 20. 数列{ a n}是公差大于零的等差数列， a 1=3， a 2， a 4， a 7成等比；数列{ b n}满足.（1）求数列{ b n}的通项公式；（2）记比较 c n与( n∈ N *)的大小.(★★★) 21. 已知是抛物线 C：上的一点，过 P作互相垂直的直线 PA， PB．与抛物线 C的另一交点分别是 A， B.（1）若直线 AB的斜率为，求 AB方程；（2）设，当时，求△ PAB的面积.(★★★★) 22. 已知函数有两个极值点.（1）记，若在处有公共切线，求实数 b 的取值范围；（2）求证：当时，。

2020年高考数学适应性试卷（6月份）一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．24．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞110．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确二、填空题（共7小题）.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝，|z|＝．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，2]【分析】根据全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，易知∁U A＝{x|x≥2}，再根据交集定义即可求解．解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，∴∁U A＝[2，+∞），∴（∁U A）∩B＝[2，+∞）．故选：A．2．双曲线﹣＝1的渐近线方程式为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【分析】由双曲线﹣＝1，直接可得双曲线的渐近线方程．解：由双曲线﹣＝1，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．3．某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．5C．4D．2【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：此几何体为斜棱柱，V＝S•h＝1×2×2＝4．故选：C．4．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．2【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解最值即可．解：画出可行域，，解得A（1，0），由z＝x+y，即y＝﹣x+z，则z表示y＝﹣x+z在y轴截距，结合图象可知在点（1，0）处，在y轴上的截距取得最小值，此时目标函数取得最小值，x＝1，y＝0代入z＝x+y，可得：目标函数的最小值1．故选：C．5．在同一直角坐标系中，函数y＝a x+b，y＝log a（x+b）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】从选项着手，结合指数函数和对数函数的图象与性质分析，找出选项中函数图象的矛盾之处，即可作出选择．解：对于B，两函数单调性不一致，错误；对于C，函数y＝a x+b中b＜0，而函数y＝log a（x+b）中b＞0，互相矛盾，错误；对于D，函数y＝a x+b中b＞0，函数y＝log a（x+b）中b＜0，互相矛盾，错误．故选：A．6．已知，则“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），利用导数研究函数的单调性即可判断出结论．解：令f（x）＝x﹣tan x，x∈（﹣，），则f′（x）＝1﹣≤0，∴函数f（x）在x∈（﹣，）上单调递减，∵，α﹣β＞1．∴f（α）＜f（β），∴α﹣tanα＜β﹣tanβ，∴tanα﹣tanβ＞α﹣β＞1；反之也成立．故“α﹣β＞1”是“tanα﹣tanβ＞1”的充分必要条件，故选：C．7．随机变量X，Y的分布列如表，其中n∈N+，则（）X n n+1n+2PY n n+2n+4PA．D（X）＝D（Y）B．D（X）＜D（Y）C．D（X）＞D（Y）D．无法判断D（X）与D（Y）的大小关系【分析】根据方差的概念，观察并对比随机变量X与Y的分布集中程度即可得解．解：由方差的概念，易知随机变量X的分布比随机变量Y的分布集中，所以D（X）＜D（Y）．故选：B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，BC⊥BD，记AD与BC所成角为α，AB与平面BCD所成角为β，锐二面角A﹣BD﹣C的大小为γ，则（）A．γ＞α＞βB．α＞γ＞βC．α＞β＞γD．γ＞β＞α【分析】画出图形，判断直线与直线所成角以及直线与平面所成角，二面角的大小关系，推出结果．解：如图，因为AB＝AD，故AB与面BCD所成角即AD与面BCD所成角，由线面角小于或等于线线角知：AD与面BCD所成角小于AD与BC所成角，即β＜α；由线面角小于或等于二面角知：AB与面BCD所成角小于锐二面角A﹣BD﹣C，即β＜γ，因为BC⊥BD，故锐二面角A﹣BD﹣C即BC与面ABD所成线面角（作AO⊥BD于O．作BE⊥BD于B，作AE∥BD，连接EO，∠EBC就是BC与面ABD 所成线面角），故BC与面ABD所成线面角小于BC与AD所成角，即γ＜α，故α＞γ＞β．故选：B．9．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞1【分析】分别求出f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O和y轴对称的解析式，通过构造函数，求得函数的导数，根据函数的单调性判断答案即可．解：由关于原点对称的点的特点，可将x换为﹣x，y换为﹣y，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O对称的解析式g（x）＝x2﹣2x﹣a（x≥0），令h（x）＝e x﹣x2+2x+a（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2x+2，h''（x）＝e x﹣2，由x＞ln2可得h′（x）递增；0＜x＜ln2时，h′（x）递减，所以h'（x）≥h′（ln2）＝4﹣2ln2＞0，因此，h（x）是单调递增的，且h（x）＝e x﹣x2+2x+a≥h（0）＝1+a，故当a＜﹣1，h（x）有唯一零点，当a≥﹣1时，h（x）不存在零点，故A正确；B不正确；由关于y轴对称的点的特点，可将x换为﹣x，y不变，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于y轴对称的解析式m（x）＝﹣x2+2x+a（x≥0），令n（x）＝e x+x2﹣2x﹣a（x＞0），n′（x）＝e x+2x﹣2，n″（x）＝e x+2，所以n″（x）＞0，n′（x）递增，n′（x）≥n′（0）＝﹣1，因此，n（x）不单调，当a＜0时，n（x）有零点，当a＝1时，n（x）存在两对零点，故C，D都不正确．故选：A．10．对于数列{a n}：a1＝a，a n+1＝，有以下结论：①若a＜0，则a n＜1；②若0＜a＜1，则a n+1＜a n；③对a∈R，均有0≤a n+1≤2；④对于任意正整数n，均有（a﹣1）（a n﹣1）≥0．则（）A．仅①②正确B．仅②③正确C．仅①③④正确D．①②③④均正确【分析】若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，利用递推关系式，结合二次函数的性质，求解判断③，利用数学归纳法证明判断①；若0＜a＜1时，易知a n＞0，利用放缩法判断②；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，利用放缩法判断④．解：若a＝0时，a n＝0，若a≠0时，＝＝，表达式的分母的最小值为，所以的最大值为：2，∴a n≤2，故③正确；若a＜0时，a n＜1，证明：若a＜0时，易知a n＞0，当n＝1时，a1＜0，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，这就是说对于任意的n，a＜0时，a n＜1，所以①正确；若0＜a＜1时，易知a n＞0，当n＝1时，0＜a1＜1，假设n＝k时，0＜a k＜1，（k≥1），则n＝k+1时，，所以0＜a n＜1，因此，即a n+1＜a n，故②正确；当a＝1时，a n＝1；当a＞1时，，综上可得（a﹣1）（a n﹣1）≥0．故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位），若z为纯虚数，则a＝﹣1，|z|＝1．【分析】根据纯虚数的要求求出a，进而求出|z|．解：复数z＝1+a+ai（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则1+a＝0且a≠0，故a＝﹣1，所以：z＝﹣i；故|z|＝1．故答案为：﹣1，1．12．已知圆O：x2+y2＝1，l为过点（0，2）的动直线，若l与圆O相切，则直线l的倾斜角为或；若l与圆O相交于A、B两点，则当△OAB的面积最大时AB的弦长为．【分析】由题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则直线的倾斜角可求；当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，由勾股定理求弦长．解：由题意，若直线l与圆相切，则l的斜率肯定存在，设l：y＝kx+2，则，解得，∴直线l的倾斜角为或；直线l交圆于A，B两点，可知△OAB为等腰三角形，其面积S＝|OA|•|OB|sin∠AOB＝∠AOB，可知当sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°时△AOB面积最大，即当△OAB为等腰直角三角形时面积最大，∴|AB|＝2×．故答案为：或；．13．已知（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），则展开式中二项式系数最大的项是第1011项；若（a0+a2+…+a2020）2﹣（a1+a3+…+a2019）2＝1，则a＝．【分析】根据二项式系数的性质填第一个空；分别令x＝﹣1以及x＝1求解第二个空即可．解：因为（x+a）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020（a＞0），展开共有2021项；由二项式系数的性质得，最大，所以填第1011项；令x＝1得，（1+a）2020＝a0+a1+a2+…+a2020，令x＝﹣1得，（﹣1+a）2020＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020，而＝（a0+a1+a2+…+a2020）（a0﹣a1+a2﹣a3+…+a2020）＝（1+a）2020（﹣1+a）2020＝[（1+a）（﹣1+a）]2020＝（a2﹣1）2020＝1，解得（负值和0舍）．故答案为：1011，．14．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C＝b+c，则A＝；若a＝，且△ABC只有唯一解，则b的范围为．【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可得，由正弦定理得b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，利用正弦函数的性质可求．解：因为，所以，则，所以sin A sin C＝cos A sin C+sin C，因为C为三角形内角，sin C≠0，所以，则，所以；由正弦定理得，，所以b＝2sin B，而△ABC只有唯一解时，，所以．故答案为：；．15．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的内切圆的半径r的范围为．【分析】设出AB坐标，表示出三角形的面积，利用椭圆的性质，转化求解即可．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即4ar＝|y1﹣y2|2c，即8r＝2|y1﹣y2|，所以，设AB的方程为：x＝my﹣1，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣11＝0，所以y1+y2＝y1y2＝，所以|y1﹣y2|＝＝＝＝，函数是减函数，m＝0时，表达式取得最大值3，最小值大于0，∴|y1﹣y2|∈（0，3]，所以．故答案为：．16．设a，b∈R，不等式|x2+ax+b|≤1对所有的x∈[m，n]成立，则n﹣m的最大值是．【分析】法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，通过f（m）＝m2+am+b ≤1①f（n）＝n2+an+b≤1②③，推出．即可；法2：通过，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，然后求解即可．解：法1：令f（x）＝x2+ax+b，x∈[m，n]，则f（x）∈[﹣1，1]，于是f（m）＝m2+am+b≤1①，f（n）＝n2+an+b≤1②，③由①+②﹣2×③，得，故．此时．法2：因为，令，则f（m）＝f（n），即f（x）为平口单峰函数，极值点为，故|x2+ax+b|的最大值的最小值为，所以．故答案为：．17．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为[﹣12，4]．【分析】法1：利用已知条件，结合向量的数量积的运算法则，画出图形转化求解即可．法2：设，，，设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，化简，通过令，转化求解即可．解：法1：由，∴可得，，∴，＝3+||||cos，故，，如图，可得．法2：设，，，则由得，x2+y2﹣2x＝3即（x﹣1）2+y2＝4，可知，可设x＝2cosφ+1，y＝2sinφ，而＝2x cosθ﹣2x+2y sinθ＝2（2cosφ+1）cosθ﹣2（2cosφ+1）+4sinθsinφ＝，令，所以，．故．故答案为：[﹣12，4]．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0，0＜θ＜π）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的单调递增区间；【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）先利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求出函数的增区间．解：（1）由图知A＝1，周期T＝2（﹣）π，故ω＝2，将点代入解析式得：，因0＜θ＜π，故，所以，．（2）＝＝．令，解得：，k∈Z，所以函数的单增区间：，k∈Z．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被经过BD1的动平面α所截，α分别与棱CC1，AA1交于点M，N，得到截面BMD1N，已知AB＝BC＝1，DD1＝．（Ⅰ）求证：MN⊥BD；（Ⅱ）若直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值为，求AN的长．【分析】（Ⅰ）以D为原点，分别以DA，DC，DD1，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，通过计算证明，推出MN⊥BD．（Ⅱ）求出平面BMD1N的法向量，利用向量法求出直线AB与截面BMD1N所成角的正弦值求出参数，再求解AN．解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），．依题意，，设，则，所以，而，所以，所以MN⊥BD．（Ⅱ）因为，，，设平面BMD1N的法向量为，则，令z＝1，则，设直线AB与截面BMD1N所成角为θ，所以，解得，所以．20．已知正项数列{a n}满足a1＝9，．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；（Ⅱ）若数列的前n项和为S n，求证：．【分析】（Ⅰ）直接利用关系式的变换的应用和等差数列的定义的应用求出结果．（Ⅱ）直接利用裂项相消法在数列求和中的应用及放缩法的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）由，得，即，由于，所以，即（常数）所以，数列为等差数列；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，因为，所以＝，所以，．21．如图，已知经过F（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，记直线OA，OB 的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）若k1+k2＝﹣4，求l的斜率；（Ⅱ）求的最小值．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．（Ⅱ）利用弦长公式结合距离公式，推出，然后利用换元法，利用函数的单调性求解最值即可．解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：x＝my+1，由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，设直线l的斜率为k，则，同理，，所以，所以k＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝4（m2+1），而＝＝，所以，令，则，所以＝，当且仅当m＝0时取到最小值．22．已知函数f（x）＝x﹣1，g（x）＝lnx+1．（Ⅰ）求证：f（x）＝g（x）有两个不同的实数解；（Ⅱ）若g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，求整数m的最大值．【分析】（Ⅰ）由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，证明结论即可；（Ⅱ）问题转化为xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，即在x＞1时恒成立，设，根据函数的单调性求出m的最大值即可．解：（Ⅰ）证明：由f（x）＝g（x）得x﹣lnx﹣2＝0，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）的最小值为h（1）＝﹣1＜0，而当x→0时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，故f（x）＝g（x）有两个不同的实数解．（Ⅱ）g（x）＞[m﹣g（x）]f（x）在x＞1时恒成立，即xlnx+x＞m（x﹣1）在x＞1时恒成立，所以在x＞1时恒成立，设，则，由（Ⅰ）m'（x）＝0有唯一零点x0＞1，即x0﹣lnx0﹣2＝0，又h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，所以x0∈（3，4），且当x∈（1，x0）时，m'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，m'（x）＜0，所以，由题意，得m＜x0，且x0∈（3，4），因此整数m的最大值为3．。

诸暨市2020年6月高三适应性考试试题数学第Ⅰ卷(选择题部分共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集[][][]0,3,0,2,1,3.U P Q ===则()U C P Q =I (▲) A ．(2,3] ()[)(]B.1,2 C.[0,1)D.0.12,3U2．已知i 是虚数单位，设复数33iz i i-=++则|z|=(▲) A ．22 B ．25 C ．42 D ．323．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于(▲)A B ．13C ．12D ．324．随机变量ζ的分布列如右图(),0,E ξ=若则()D ξ=(▲)A ．6B ．2C ．0D5．设F 是双曲线221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点，以F 为端点作垂直于x 轴的射线，交双 曲线的渐近线于A 点，交双曲线于B 点，若B 为AF 中点，则双曲线的离心率等于(▲)A B C D6.已知()(22log 42log a b +=，则a+b 的最小值是(▲)A ．2B 1C D7．已知()2222,,11143a b a b a b ∈-++R 则“””是“剟的(▲)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 8.若函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(▲) A.100,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭…．对x ∈[]0.2π恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于(▲)A ．22B ．22- C ．22-D ．22--10．设数列{a n }满足：114,n a a +==*,,N n ⎥∈⎢⎣⎦其中[x]表示不超过实数x 的最大整数(例如[]3.1)3=则2020a 的个位数字是(▲)A ．3B ．5C ．7D ．9第Ⅰ卷(非选择题部分共110分)二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为 ▲ ,最小值为 ▲ .12．已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1,() 4.a f m ==且则m= ▲ ;若对任意的t>0．直线y=t 与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

诸暨市2020年6月高三适应性考试试题数学第Ⅰ卷(选择题部分共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集[][][]0,3,0,2,1,3.U P Q ===则()U C P Q = (▲)A ．(2,3]()[)(]B.1,2C.[0,1)D.0.12,3 2．已知i 是虚数单位，设复数33iz i i-=++则|z|=(▲)A ．22B ．25C ．42D ．323．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于(▲)A ．6B ．13C ．12D ．324．随机变量ζ的分布列如右图(),0,E ξ=若则()D ξ=(▲)A ．6B ．2C ．0D 5．设F 是双曲线221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点，以F 为端点作垂直于x 轴的射线，交双曲线的渐近线于A 点，交双曲线于B 点，若B 为AF 中点，则双曲线的离心率等于(▲)A B ．102C ．D ．36.已知()(22log 42log a b +=，则a+b 的最小值是(▲)A ．2B 1+C．D ．37．已知()2222,,11143a b a b a b ∈-++R 则“””是“ 的(▲)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.若函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(▲)A.100,3⎛⎤⎥⎝⎦B.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭．对x ∈[]0.2π恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于(▲)A ．22B ．;22-C ．;22-D ．;22--10．设数列{a n }满足：114,n a a +==*,,N n ⎥∈⎢⎣⎦其中[x]表示不超过实数x 的最大整数(例如[]3.1)3=则2020a 的个位数字是(▲)A ．3B ．5C ．7D ．9第Ⅱ卷(非选择题部分共110分)二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为▲,最小值为▲.12．已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1,() 4.a f m ==且则m=▲;若对任意的t>0．直线y=t 与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是▲。

浙江省绍兴市诸暨市2020届高三下学期6月高考适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集[]0,3U =，[]0,2P =，[]1,3Q =，则()U C P Q ⋂=（ ）A ．(]2,3B ．()1,2C ．[)0,1D ．[)(]0.12,32．已知i 是虚数单位，设复数33iz i i-=++，则||z =（ ）A ．B ．C ．D ．3．一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于A B ．13C ．12D ．324．随机变量ζ的分布列如下图，若()0,ξ=E 则()D ξ=（ ）A ．6B ．2C ．0D 5．设F 是双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，以F 为端点作垂直于x 轴的射线，交双曲线的渐近线于A 点，交双曲线于B 点，若B 为AF 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）ABCD6．已知()(22log 42log a b +=，则+a b 的最小值是（ ） A ．2B1C ．94D ．527．已知,a b ∈R ，则()2211”“-+a b 是22143”“+a b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．若函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．100,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．210,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．若不等式()|04sin |a x b x π⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭．对x ∈[]0,2π恒成立，则sin (a +b )和sin (a -b )分别等于（ ） ABC． D． 10．设数列{a n }满足：114,n a a +==*,,N n ⎥∈⎢⎣⎦其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数(例如[]3.1)3=则2020a 的个位数字是（ ） A ．3 B ．5C ．7D ．9二、双空题11．设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为________，最小值为________. 12．已知()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩若1a =，且()4f m =，则m =________；若对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点，则实数a 的取值范围是________．13．已知4sin 5β=，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且sin (α+β)=cosα，则cos β=________.()tan αβ+=________. 14．在二项式621()x x -展开式中，常数项为________；在621(1)x x-+的展开式中，常数项为________.三、填空题15．用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数abcde ，其中随机取一个五位数，满足条件||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-的概率为________.16．已知,P H 是ABC ∆所在平面内的两点，满足230PA PB PC ++=，直线PC 与AB 交于点(),12,D PH PA PB λλ=+-若H 在△PBD 内(不含边界)，则实数λ的取值范围是________.17．已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，F 分别是棱AC ，AD 上的点，满足12AE DF AC DA λλ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，若EF 与平面BCD 所成角为4π，则λ=________.四、解答题18．已知ABC 中，sin C A =，点M 在线段AC 上，2AM MC ==22ABM CBM θ∠∠==．（1）求θ的大小； （2）求ABC 的面积．19．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长2的菱形，120ADC ︒∠=，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点.(1)求证：面MPB ⊥平面PBC ；(2)若MP MC =，求面角B MN C --的余弦值.20．数列{a n }是公差大于零的等差数列，a 1=3，a 2，a 4，a 7成等比；数列{b n }满足()3121232102103nn n a b a b a a b b n ⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭.（1）求数列{b n }的通项公式； （2）记12322221111，⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n c a a a a 比较c n 与13n b (n ∈N *)的大小. 21．已知()1,1P 是抛物线C ：2y ax =上的一点，过P 作互相垂直的直线P A ，PB ．与抛物线C 的另一交点分别是A ，B . （1）若直线AB 的斜率为12-，求AB 方程； （2）设()2,1Q -，当||4||QA QB =时，求△P AB 的面积. 22．已知函数21()ln 2f x x x ax b =+-+有两个极值点1212,()x x x x <. （1）记()()()112()ln ,==-f x x f x f x f x ，若12(),()f x f x 在00(1)x x x =>处有公共切线，求实数b 的取值范围； （2）求证：当21x m x <≤≤时，()()()()()()()211112().1111f x f x f f x x f x x f x x m m ---+>-+--参考答案1．A 【分析】直接根据集合的交集运算、补集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵[][]0,3,0,2U P ==， ∴(]2,3U C P =， 又[]1,3Q =， ∴()(]2,3U C P Q =，故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 2．A 【分析】先根据复数代数形式的四则运算化简复数z ，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】 解：∵331331i i z i i i -+=++=++-22i =-，∴||z = 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模的求法，属于基础题． 3．C 【分析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】∴该三棱锥的体积1111322V =⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体并求几何体的体积，属于基础题. 4．A 【分析】根据随机变量的数学期望与方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得，130303113a b a b ⎧-⨯+⨯+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即130113b a b -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴()()()22113030633D ξ--+-==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查随机变量的数学期望与方差的应用，属于基础题． 5．D 【分析】设双曲线的半焦距为c ，不妨设A ，B 在第一象限，联立方程可依次求得A ，B 的坐标，再根据中点坐标公式即可求出答案．【详解】解：设双曲线的半焦距为c ，不妨设A ，B 在第一象限， 由题意得，(),0F c ，双曲线的渐近线方程为by x a=±， ∴将x c =代入b y x a =得，,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将x c =代入22221x ya b -=得，2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵B 为AF 的中点，∴22bc b a a=，得12b c =，∴a ==，∴双曲线的离心率3c e a ==， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题． 6．C 【分析】由题意得44a b ab +=，则1114a b +=，则()114a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可． 【详解】解：∵()(22log 42log a b +=， ∴44a b ab +=，且400a b ab +>⎧⎨>⎩，则0,0a b >>，且1114a b+=，∴()114a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭1144b a a b =+++5944≥+=，当且仅当4b a ba =即33,24ab ==时，等号成立，故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．A 【分析】根据()2211”“-+a b 和22143”“+a b 的几何意义分析即可得解. 【详解】()2211”“-+a b 表示点(),a b 到()1,0的距离小于等于1的区域，22143”“+a b 表示椭圆22143x y +=及其内部区域，椭圆右焦点坐标()1,0， 根据椭圆性质可得，椭圆上的点到焦点距离的最小值为2-1=1，所以()2211”“-+a b 表示的区域被22143”“+a b 表示的区域全覆盖. 所以已知,a b ∈R ，则()2211”“-+a b 是22143”“+a b 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的判断，关键在于熟练掌握充分条件与必要条件的判断方法. 8．B 【分析】求出函数的单调增区间，根据2564,264k k Z k πππωωπππωω⎧-≤-⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩求解范围. 【详解】考虑函数函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令22,232k x k k Z ππππωπ-≤+≤+∈，522,,066k x k k Z πππωπω-≤≤+∈>， 252,66k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈， 函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[,]44ππ-上单调递增， 则2564,264k k Z k πππωωπππωω⎧-≤-⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得1083,283k k Z k ωω⎧≤-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，所以k =0，又0>ω， 所以20,3ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B 【点睛】此题考查根据三角函数的单调性求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握单调性的处理方法，准确求解不等式组. 9．D 【分析】设()||f x a x b =--，根据三角函数值的符号，求得函数()f x 符号的变化，根据函数()f x 的单调性与对称性，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】 由02x π≤≤，则9444x πππ≤+≤， 当44x πππ≤+≤或9244x πππ≤+≤时，即304x π≤≤或724x ππ≤≤时，4in(0s )x π+≥， 当24x πππ<+<时，即3744x ππ<<时，4in(0s )x π+<， 所以当304x π≤≤或724x ππ≤≤时，||0a x b --≤， 当3744x ππ<<时，||0a x b --≥，设函数()||f x a x b =--，则()f x 在(,)b -∞上单调递增，在(,)b +∞上单调递减， 且函数()f x 的图象关于直线x b =对称，所以37()()044f f ππ==， 所以3752442b πππ=+=，解得54b π=， 又由335()||0444f a πππ=--=，解得π2a ，所以5sin()sin()24a b ππ+=+=5sin()sin()24a b ππ-=-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得函数()||f x a x b =--的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 10．B 【分析】通过计算前几项的值找出规律，进而求得2020a 的个位数字，得到答案. 【详解】由题意，列{a n }满足：*1,,N n a n +⎢=∈⎥⎣⎦322n n n a a a +=2n a <， 可用12n n a a +<作近似计算， 因为14a =，当1n =时，2128a a <=，所以27a ==⎢⎥⎣⎦；当2n =时，32216a a <=，所以313a ==⎢⎥⎣⎦；当3n =时，43226a a <=，所以425a ==⎢⎥⎣⎦； 当4n =时，54250a a <=，所以549a ==⎢⎥⎣⎦； 当5n =时，65298a a <=，所以697a ==⎢⎥⎣⎦； 当6n =时，762194a a <=，所以7193a ==⎢⎥⎣⎦； 当7n =时，872386a a <=，所以8385a ==⎢⎥⎣⎦；可得从第二项其数字的个位数构成以7,3,5,9为周期的规律，所以2020a 的个位数字5. 故选：B. 【点睛】本提提主要考查了数列的应用，其中解答中根据题设条件，计算出前几项的数值，找出数字的规律是解答的关键，注意解题方法的积累与总结，属于中档试题. 11．2 -7 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解. 【详解】画出不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域，如图所示（阴影部分，包含边界）其中平面区域的顶点坐标分别为(2,0),(4,3),(1,0)A B C ---， 目标函数z x y =+，可化为直线y x z =-+，当直线y x z =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 最大值为max 202z =+=；当直线y x z =-+过点B 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值， 最小值为min 437z =--=-.故答案为：2，7-.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 12．3或3- (],1-∞ 【分析】第一空，将1a =代入，分段讨论解方程即可求出答案；第二空，画出函数()y f x =的大致图象，数形结合即可求出答案． 【详解】解：当1a =时，由()4f m =得， 当1m 时，14m -=，解得3m =-；当1m 时，2214m m -+=，解得3m =，或3m =-（舍去）；画出函数()21,12,1x x f x x x a x -≤⎧=⎨-+>⎩()21,111,1x x x a x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩的图象如图，∵对任意的0t >，直线y t =与函数()y f x =的图像都有两个交点，∴由图可知，10a -≤，解得1a ≤； 故答案为：3或3-；(],1-∞． 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于基础题． 13．353- 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合β的范围可求出cos β和tan β，将sin()cos αβα+=按照两角和的公式进行展开可得tan α，根据两角和的正切公式可得结果. 【详解】 因为4sin 5β=，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3cos 5β=-，则4tan 3β=-， 由sin()cos αβα+=，得sin cos sin cos cos αββαα+=， 显然cos 0α≠，则34tan 155α-+=，解得1tan 3α=-， 则14tan tan 33tan()3141tan tan 133αβαβαβ--++===--⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案：35，3-. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等式求三角函数值，两角和的正弦、正切公式的应用，属于中档题.14．15 76 【分析】由二项式展开式通项公式中令x 的指数为0，可求得所在项数，得常数项，在三项式展开式中，利用多项式乘法法则得通项公式，然后求出常数项的所有可能． 【详解】 二项式621()x x -展开式通项公式为631216621()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令3120r -=，4r =，所以常数项为446(1)15C -=；由多项式乘法法则在621(1)x x-+的展开式的项可以写成： 2666621()()(1)kk t t t k t t k k k T C C x C C x x---=-=-，其中06,06k t k ≤≤≤≤-，,t k 为整数， 由20t k -=得2t k =，∴0t k ==，2,1t k ==，4,2t k ==，∴所求系数为00122466656476C C C C C C ++=．故答案为： 15；76． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，掌握展开式通项公式是解题关键．三项式的展开式，可以应用二项式定理展开：()[()]n n a b c a b c ++=++，展开式通项公式为1()kn kk k n T C ab c -+=+，然后对()k b c +再应用二项式定理后可求解，也可象本题中一样，把此式看作是n 个a b c ++相乘，乘积一定是从这n 个式子中分别取一项相乘所得，由此可求解．15．16【分析】五位数有55120A =个，可用分类讨论思想求得满足条件||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-的五位数的个数．由四个绝对值中最大值分别为3，2，1分类可得，然后可计算概率． 【详解】没有重复数字的五位数有55120A =个，||||||||6a b b c c d d e -+-+-+≤-，由于四个绝对值最小为1，最大的不可能为4，若最大值为3的五位数有12543，34521，54123，32145共4个，四个绝对值最大为2，只有1个是2时，五位数有：21345，12354，54312，45321共4个， 四绝对值中两个为2，两个为1时，这样的五位数有：13245，31245，21345，54231，54213，45312，53421，35421，12435，12453共10个， 四个绝对值都等于1的五位数有：12345,54321共2个， 综上满足题意的五位数有4+4+10+2＝20个， ∴所求概率为2011206P ==．故答案为：16． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是满足条件的基本事件的个数，本题考查分类讨论思想，列举法． 16．1(0,)4【分析】由230PA PB PC ++=变形得1132AP AB AC =+，根据向量加法的平行四边形法则确定P 点位置，从而可确定D 点位置，然后把()12PH PA PB λλ=+-用,PB PD 表示，(34)PH PB PD PB λ=+-，再用向量线性运算法则作出34PD PB EF -=，在PBD △内作//BG EF ，最终转化为4PH PB BG λ=+，从而可得结论． 【详解】由230PA PB PC ++=得，2()3()0AP AB AP AC AP -+-+-=，所以1132AP AB AC =+， 如图，设N 是AC 中点，M 是AB 靠近A 的三等分点，以,AM AN 为邻边作平行四边形，则由向量的加法法则知P 是此平行四边形的第四个顶点，因为N 是AC 中点，//NP AB ，所以P 是CD 中点，又//MP AC ，所以M 是AD 中点，从而D 是AB 的另一个三等分点．所以33()32PA PB BA PB BD PB PD PB PD PB =+=+=+-=-，所以()()12(3122)P PH PA PB PB D PB λλλλ=-+-=+-(34)PB PD PB λ=+-， 作4PE PB =，3PF PD =，连接EF ，作//BG EF 交PD 于G （14PG PF PD =<，G 在线段PD 上），则14BG EF =，所以344PD PB EF BG -==， 所以4PH PB BG λ=+，若H 在PBD △内（不含边界），则041λ<<，104λ<<． 故答案为：1(0,)4．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是用向量线性运算法则通过几何图形确定,P D 位置，并转化已知条件（分离参数λ），要注意把条件向PBD △内靠拢．17．714- 【分析】设O 是BC 中点，设M 是BCD 中心，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 与AM 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标，设正四面体ABCD 棱长为a ，写出各点坐标，求出EF 及平面BCD 的法向量，由向量EF 与法向量夹角的余弦的绝对值等于线面角的正弦值可求得λ． 【详解】如图，设M 是BCD 中心，则AM ⊥平面BCD ，设O 是BC 中点， 则,,O M D 共线，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，过O 与AM 平行的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标，设正四面体ABCD 棱长为a ，则2323DM a =⨯=，AM ==，6OM a =，所以1(,0,0)2C a ，,0)D ，)A ，1(,,)2AC a =，(0,,)AD =，因为AE DF AC DA λ==，所以(,,)2AE AC a a a λλ==，(1)0,,AF ADλ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， )1),,263EF AF AE a a a λλλ⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面BCD 的一个法向量是(0,0,1)n =，因为EF 与平面BCD 所成角为4π，所以cos ,sin4n EF n EF n EFπλ⋅<>====，解得714λ-=（714λ=舍去）． ．【点睛】本题考查直线与平面所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．考查了学生运算求解能力． 18．（1）=4πθ；（2）92． 【分析】（1）由图可知，sin sin AMB CMB ∠=∠，（方法一）由题意得，AB =，由正弦定理sin 2sin AM AB AMB θ=∠，sin sin CM CBCMBθ=∠可得到sin 2sin AM θθ=，代入化简解出即可；（方法二）由正弦定理sin 2sin AM BM A θ=，sin sin CM BMCθ=，sin C A =得，sin 2sin AM θθ=，代入化简解出即可；（2）由题意AC =2222cos AC CB AB CB AB ABC =+-⋅⋅⋅∠可求得3CB =，再根据ABC 的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵AMB CMB π∠+∠=， ∴sin sin AMB CMB ∠=∠，（方法一）由正弦定理sin sin AB CBC A=及sin C A =得，AB =，由正弦定理sin 2sin AM AB AMB θ=∠，sin sin CM CB CMB θ=∠可得，sin 2sin AM θθ=，∵2AM MC ==∴sin 2θθ=，即2sin cos θθθ，得cos 2θ=， ∴4πθ=；（方法二）由正弦定理sin 2sin AM BM A θ=，sin sin CM BMCθ=，sin C A =得，sin 2sin AM θθ=，∵2AM MC ==∴sin 2θθ=，即2sin cos θθθ，得cos 2θ=， ∴4πθ=；（2）∵2AM MC ==∴AC =由余弦定理2222cos AC CB AB CB AB ABC =+-⋅⋅⋅∠及AB =得，2234522cos4CB CB CB π=+-⋅⋅，化简得29CB =， ∴3CB =，或3CB =-（舍去），∴ABC 的面积1sin 2ABC S AB CB ABC ∆=⋅⋅⋅∠1393sin 242π=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．19．(1)证明见解析； 【分析】(1)首先可以根据M 是顶点P 在底面ABCD 的射影得出PM BC ⊥，然后根据底面ABCD 是边长2的菱形且120ADC ︒∠=得出BC BM ⊥，再然后通过线面垂直的相关性质即可得出BC ⊥平面MPB ，最后根据BC ⊂平面PBC 即可得出结果；(2)以,,MA MB MP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面BMN 的法向量n 以及平面MNC 的一个法向量为m ，最后通过cos m n 即可求出二面角B MN C --的余弦值. 【详解】(1)因为M 是顶点P 在底面ABCD 的射影， 所以PM ⊥平面ABCD ，PM BC ⊥，因为底面ABCD 是边长2的菱形，120ADC ︒∠=，M 是AD 的中点， 所以BC BM ⊥，BC ⊥平面MPB ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面MPB ⊥平面PBC ，(2)如图，以,,MA MB MP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则：()0,0,0M，()B，()C -，(P，N ⎛- ⎝⎭，所以()0,MB =，371,,22MN， 设平面BMN 的法向量为(,,)n x y z =，则0B n M ⋅=，0nMN ⋅=，即00y x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得其中一个解为(7,0,2)n =， 同理可求得平面MNC 的一个法向量为()3,2,0m =故二面角B MN C --的余弦值2133cos 11117m n m n m n . 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直以及二面角的余弦值的求法，若一条直线与一平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，若线面垂直，且直线在某一平面内，则面面垂直，考查借助空间向量求二面角，考查推理能力，是中档题.20．（1）2()3nn b =；（2）13n n c b >【分析】（1）根据等差数列首项为3且a 2，a 4，a 7成等比数列，列出方程可求公差，得到a n 根据条件写出当2n ≥时，()112121133210283n n n a b a b a a b n b ---⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭，两式相减即可求解； （2）由212n n a n -=+，相乘相消可得2(1)(2)n c n n =++，作商比较c n 与13n b 即可. 【详解】（1）因为a 2，a 4，a 7成等比，且数列{a n }是等差数列所以2(33)(3)(36)d d d +=++ ，解得1d =，所以2n a n =+， 因为()3121232102103nn n a b a b a a b b n ⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭ 所以当1n =时， 112323b b =⇒=， 当2n ≥时， ()112121133210283n n n a b a b a a b n b ---⎛⎫++++=-+ ⎪⎝⎭ 两式相减得：112222()(28)()(210)()(312210)()(2)3333n n n n n n a b n n n n n --=+-+=+--=+， 又2n a n =+ 所以2()3n n b =， 当1n =时，123b =也适合， 综上，2()3n n b =，(n ∈N *) （2）因为212n n a n -=+， 所以12322221231(1)(1)(1)(1)34512n n n n c a a a a n n -=----=⨯⨯⨯⨯⨯++2(1)(2)n n =++， 所以123211,,3610c c c ===，又123248,,3927b b b ===， 所以112233111,,333c b c b c b >>> 当3n >时，记13n n n c k b =，则11231333263(1)12322626n n n k n n n n k a n n n ++++++-=-⋅=⨯==>+++， 即 13n n c b >对3n >成立， 综上13n n c b >对一切n *∈N 恒成立. 【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列，相乘相消法求通项，作商比较大小，分类讨论，属于难题.21．（1）12y x =-；（2）152 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的方程为2y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，利用斜率公式以及两直线垂直的条件，整理得出121220y y y y +++=，得到10y =或20y =，从而得到直线过原点，进而得到直线方程；（2）先证明,,A B Q 三点共线，根据4QA QB =得12141y y +=+，进而求得AB 方程为7322x y =--，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）将P 点坐标代入得1a =，抛物线方程为2y x =设1122(,),(,)A x y B x y ，则212121112y y x x y y -==--+ 又121211111y y x x --⋅=---，即12221211111y y y y --⋅=---， 得121220y y y y +++=所以10y =或20y =，直线AB 方程为12y x =-（2）先证明,,A B Q 三点共线， 1122(2,1),(2,1)QA x y QB x y =-+=-+，2212211221(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)y x y x y y y y +--+-=+--+-22221221212122y y y y y y y y =-+-+-211212()(2)0y y y y y y =-+++=（或设AB 方程为x my n =+，与抛物线方程联立得20y my n --=，由韦达定理 12m y y =+，12n y y =-，结合（1）的结论得20n m -++=，21m n =-⋅+，即直线AB 过定点(2,1)Q -）所以,,A B Q 三点共线，4QA QB =得12141y y +=+ 111222114,(1)(1)1,312y y y y y y =⎧+⎪=-++=-⎨+=-⎪⎩（舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB 方程为7322x y =--， 11522PAB S d AB ∆=⋅⋅=， 法二：222222*********(2)(1)(2)(1)(1)2(1)1x y y y y y ⎡⎤-++=-++=+-++⎢⎥+⎣⎦ 2222222214422(2)(2)(1)(1)(1)(1)y x y y y y --++=++=++ 所以由4QA QB=得 2214(1)y =+ 11221(1)(1)1,32y y y y =⎧⎪++=-⎨=-⎪⎩（舍去）或 12312y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB 方程为7322x y =--， 11522PAB S d AB ∆=⋅⋅=. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有直线垂直的条件，直线方程的求解，抛物线中的面积问题，属于中档题目.22．（1）32b >（2）证明见解析 【分析】 （1）先求1()f x x a x '=+-，根据题意可知12,x x 是方程10x a x+-=的两根，由对勾函数的性质可知2a >，由韦达定理得12121,x x x x a =+=，根据题意列出方程组2000001ln 21x x ax b x a x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，构造新函数，求得结果； （2）该问题证明的是线段AB 恒在线段CP 的上方，应用导数分段证明即可.【详解】（1）1()f x x a x '=+- 12,x x 是方程10x a x+-=的两根，12122,1,a x x x x a >=+=， 由题意得2000001ln 21x x ax b x a x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 220000011ln 1ln 22b ax x x x x =--=+- 记 21()1ln 2g x x x =+-，则13()0,()(1)2g x x g x g x '=->>=，即32b > （2）记1122(,()),(,()),(1,(1)),(,())A x f x B x f x C f P m f m ，本题要证明的是线段AB 恒在线段CP 的上方，我们只需先证明线段CB 在线段CP 的上方，再证明线段AB 在线段CB 的上方， 记()(1)ln 1()(1)112f m f m h m m a m m -==++---， 则222111(1)ln (1)ln (1)12()(1)2(1)m m m m m h m m m ----+-'=+=--， 又22211111(1)ln (1)(1)(1)(1)02m m m m m mm m '⎡⎤--+-=-+-=-->⎢⎥⎣⎦， 所以211()(1)ln (1)(1)02y m m m y m =--+->=，从而()0h m '>，()h m 单调递增， 所以22()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)11f x f f m f x f x f x m ---+≥-+-- 下证21211212()()()(1)()()(1)(1)1f x f x f x f x x f x x f x x x ---+>-+-- 因为212111222121()()()()()()()()f x f x f x f x x x f x x x f x x x x x ---+=-+--， 2222222()(1)()(1)(1)(1)()(),011f x f f x f x f x x f x x x x x ---+=-+-≤-- 只需证明212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--， 即212212212ln ln 1ln 1()(1)212x x x x x x x x x -++<++-- 记2(1)x t t =>，2122122212ln ln 1ln 12ln ln 1()()(1)212112x x x t t t t t x x x x x x t t tϕ--=++--+=------22ln 12(1)t t t t t -+=+ 2(2ln 1)22ln 222(1)20t t t t t t t '-+=+-<+--=，22ln 12ln1110t t t -+<⋅-+=所以()0t ϕ<，即212212()()()(1)1f x f x f x f x x x --<--， 综上命题得证.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有函数的极值点，函数图象在某点处的切线，应用导数证明不等式，属于较难题目.。

2020届浙江省绍兴市诸暨市普通高中高三下学期6月高考适应性考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)第Ⅰ卷(选择题部分共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集[]0,3U =，[]0,2P =，[]1,3Q =，则()U C P Q ⋂=（ ）A. (]2,3B. ()1,2C. [)0,1D. [)(]0.12,3 【答案】A【解析】直接根据集合的交集运算、补集运算的定义求解即可．【详解】解：∵[][]0,3,0,2U P ==，∴(]2,3U C P =，又[]1,3Q =，∴()(]2,3U C P Q =，故选：A ．2.已知i 是虚数单位，设复数33i z i i -=++，则z =（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算化简复数z ，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】解：∵33i z i i -=++3131i i +=++-22i =-，∴z ==故选：A ．3.一个空间几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ）A. 66B. 13 C. 12 D.32 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积公式求解即可．【详解】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图，且高为3，∴该三棱锥的体积111133322V =⨯⨯=，故选：C ．4.随机变量ζ的分布列如下图，若()0,ξ=E 则()D ξ=（ ） ξ 3- 0 3P 13 a bA. 6B. 2C. 0 6。