11.21.4第2课时 建立二次函数的模型解决实际问题

如何根据实际问题建立二次函数的模型在学习二次函数的有关知识的时候，对于二次函数基础知识的学习告一段落之后，就进行二次函数的有关知识来解决实际问题，这就要求学生要会灵活运用二次函数的基本知识，讲实际问题中的数量关系转化成二次函数中的自变量和函数，建立二次函数模型。

经过多次的讲解和训练，我发现，这是我在教学中的一个教学难点，也是学习中的一个学习难点。

比如我在讲销售利润类型题目的时候，讲过很多类似的题型，可是学生就是不知道如何解相似类型的题型，即使知道怎么解决的，有时候也是丢三拉四，忘记这点，忘记那点，回答问题不全面。

如题：某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件，如果没见涨价1元（售价不可以高于45元），那么每星期少卖出10件，设每件涨价x元（x为非负整数），每星期销量为y元（1）：求y与x的函数关系及自变量x的取值范围（2）如何定价让每星期的利润最大且销售量较大？每星期最大利润是多少？通过对学生解答情况的分析，主要问题出现在以下几点：第一：第一问中的函数与自变量的关系，很多同学题目都没有看完，就直接把利润当成函数y，结果导致错误。

原因在于学生没有认真审题。

第二：公式的运用，总利润=(售价-进价)*销售量。

有很多学生不记公式，导致做题的时候不知道怎么表示函数关系。

第三：还有同学就是记得公式，但却不知道如何表示销售量，涨价和销售量之间不知道如何建立函数关系。

这就需要平时加强这方面的训练，还要自己总结归纳，才能有所感，有所收获。

第四：在第二问的时候忽略了X是非负整数，这个重要条件。

导致在最后什么都对的情况下，忽略这一条件而功亏一篑。

这也是没有认真审题的原因导致。

第五：在注意X是非负整数的情况下，很多同学又忽略了最后最值得问题，既然X是非负整数，那么当最后X=2或3时，最值就是在自变量为2和3时，函数的值。

而很多同学依然用函数的顶点纵坐标来作为最值，就是大错特错。

通过对学生的考查，我总结出以下几点对策，来帮助学生灵活运用二次函数的基本知识根据实际问题建立二次函数模型，从而达到解决实际问题的目的。

利用二次函数解决问题步骤正文：
二次函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。

利用二次函数解决问题的步骤可以帮助我们更好地理解和解决各种实际情况中的数学难题。

下面将介绍利用二次函数解决问题的一般步骤。

1. 确定问题，首先，需要明确问题的背景和要求，明确所要解决的具体问题是什么，例如寻找最大值、最小值，或者确定某个变量的取值范围等。

2. 建立二次函数模型，根据问题的特点，建立二次函数模型。

二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项。

根据问题的特点，确定二次函数的具体形式。

3. 求解问题，利用二次函数的性质和相关知识，对建立的二次函数模型进行分析和求解。

可以通过求导数、配方法、公式法等方式，找到函数的极值点、零点等关键信息。

4. 验证和解释，在求解出结果后，需要对结果进行验证和解释，确保结果符合实际情况，并能够清晰地解释结果的意义和影响。

5. 应用实际问题，最后，将得到的结果应用到实际问题中，解
决实际情况中的数学难题，验证二次函数的有效性和实用性。

通过以上步骤，我们可以利用二次函数解决各种实际问题，提
高数学建模和问题解决能力，为实际生活和工程技术提供有效的数
学支持。

同时也可以更好地理解和掌握二次函数的性质和应用，为
进一步深入学习数学打下坚实的基础。

“拱桥”问题
问题：如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题：解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2. 2
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0， 1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
y x 12 2.25
数学化
y ●B(1,2.25) A
(0,1.25)
●
D(-2.5,0) o
●x
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式 为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
导入新课
回顾与思考 问题：解决生活中面积的实际问题时，你会用到什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
讲授新课
二次函数在建筑问题中的应用
问题：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题引导 （1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More

二次函数的模型建立与解题技巧分享二次函数是一种常见的数学函数，广泛运用于各个领域。

在建立二次函数的模型时，需要考虑诸多因素，并掌握一些解题技巧。

本文将分享一些关于二次函数模型建立与解题的技巧和方法。

1. 二次函数模型建立二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

建立二次函数模型时，需要根据具体问题中的已知条件，确定函数的具体形式。

首先，我们需要找到二次函数的顶点，即函数曲线的最高或最低点。

若已知顶点的坐标为(h, k)，则二次函数的一般形式可以简化为：f(x) =a(x - h)^2 + k。

通过确定顶点坐标，我们可以快速确定函数的形状。

其次，我们需要根据已知条件来确定二次函数的系数。

已知条件可以是函数经过某点的坐标，函数的对称轴，或者函数的导数等。

根据这些已知条件，可以得到一系列的方程，通过求解这些方程来确定a、b、c的值。

最后，通过将得到的系数代入二次函数的一般形式，就可以建立起具体的二次函数模型。

2. 解题技巧分享（1）寻找函数的顶点：通过求解二次函数的导数，可以得到函数的极值点，从而确定函数的顶点。

具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，导数为f'(x) = 2ax + b。

将f'(x) = 0，解得x = -b/(2a)，代入原函数，即可求得顶点的坐标。

（2）确定函数的对称轴：二次函数的对称轴是函数曲线的镜像轴，使得函数关于对称轴对称。

对称轴的方程为x = -b/(2a)，通过这个方程可以方便地确定函数的对称轴。

（3）求解函数与坐标轴的交点：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当x = 0时，可以求得函数与x轴的交点为(0, c)。

而当y = 0时，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0，来确定函数与y轴的交点。

（4）应用完全平方式解题：在某些情况下，我们可以通过完全平方式，将二次函数转化为完全平方的形式。