基于协整关系的统计套利研究

基于协整关系的统计套利研究作者：张伟景鸿来源：《现代经济信息》2013年第20期摘要：本文将按如下结构展开：第一部分为研究理论综述，第二部分是推导套利模型和构建交易机制，第三部分以黄金白银期货为例进行实证检验，最后提出结论和研究建议。

关键词：金融；统计；套利研究中图分类号：C81 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）10-0-03一、引言随着金融市场不断发展，投资者的投资理念从追逐绝对高收益变为追求稳定、低风险收益。

Fama（1970）提出的有效市场理论指出：在具有有效性的市场上，投资者难以获取超越市场的利润。

然而实践中，金融市场并非处于完全有效的状态，金融市场上也存在一部分投资者，他们可以获取超越市场的利润。

这种利用市场上存在的非完全有效状态来获取低风险甚至无风险的利润成为越来越多机构投资者的投资方式。

Granger和Engle（1978）提出协整理论后，大量的统计套利模型被开发以获取因市场非完全有效状态带来的获利机会。

本次研究的目是在协整理论的研究基础上构建一套基于协整关系的统计套利交易机制并且检验其在中国期货市场上的有效性。

本文将按如下结构展开：第一部分为研究理论综述，第二部分是推导套利模型和构建交易机制，第三部分以黄金白银期货为例进行实证检验，最后提出结论和研究建议。

二、文献综述金融数据往往是一组时间序列，对于时间序列的研究应基于时间序列数据的平稳性。

然而，实践中，很多金融数据本身都是不平稳的，因此也就无法准确地运用计量经济的方式进行建模研究。

Granger和Engle（1978）提出了协整理论，该理论提出：当两组金融时间序列都是不平稳的，但是这两组不平稳的时间序列之间的残差如果是平稳时，说明其存在协整关系。

接着，Engle和Granger（1987）建立EG两步法用于协整关系的估计和检验。

在此基础上，Johansen（1988）给出了误差矫正模型的一般式。

通过使用该模型，两个并不相同但是具有协整关系的资产能够实现基于两者差值（即误差）回归条件的套利。

然而，Granger和Engle提出的协整关系只是基于资产之间存在线性的协整关系，张世英等（1999）通过对非线性协整的研究，突破了线性协整模型的限制，扩大了金融资产之间进行协整研究的范围，并利用非线性协整模型对沪深股市进行了实证分析。

此外Balke和Fomby （1997）也进一步完善了协整的概念，提出了门限协整，即两个资产在一定的门限外存在协整关系，但是在一定门限内却不存在协整关系，门限协整的提出进一步扩大了协整理论在实际中的应用范围。

葛翔宇等（2012）在Balke和Fomby的基础上对英国富时指数期货和德国法兰克福指数期货的门限协整关系进行验证，并给出了门限协整关系套利的策略。

国内有不少学者利用协整进行实证研究和模型开发，例如仇中群等基于协整的估值期货跨期套利策略模型。

三、套利模型和交易机制统计套利基于两个相关度极高的资产组合进行，且认为这两种资产组合相关性存在持续性。

因此，如果两者价格走势一旦出现了背离，则认为这种背离现象在未来会得到纠正，由此产生了套利利润。

统计套利利用了均值回归思想，即认为两个相关度很高的资产组合的价差出现背离后，未来会向价差的均值进行回归。

本文的研究目的就是要寻找两个具有协整关系的资产，通过协整关系式来确定资产间的配置比重，最后通过残差的统计性质来确定套利模型。

为了说明方便，不妨假设存在资产A和资产B，两者的价格时间序列，分别以表示，具体步骤如下：1.对其资产A和资产B进行相关性检验。

一般而言相关性更高两个投资品存在协整关系的可能性更高。

研究中常用相关系数来表示其相关性：其中：A和B表示两组价格的时间序列。

2.对资产A和资产B进行协整关系关系，采用的方式是Engle-Granger两步法的方式。

其展开思路先零假设一组一阶单整时间序列，记为，对其进行简单的最小二乘法回归得到其平稳关系的系数以及一组残差，再用ADF对残差进行检验，如果残差平稳则认为存在协整关系。

具体步骤为：（1）先对资产A和资产B进行ADF检验确定两者是否是一阶单整时间序列，如果存在高阶单整现象需要进行差分直到满足一阶单整。

（2）用OLS法估计资产A和资产B之间长期的静态回归方程：，得到参数和残差序列。

（3）对残差序列进行ADF检验，如果检验结果平稳，则可以认为A和B之间存在长期协整关系。

3.资产配置比重资产A和资产B之间存在长期的协整关系，用线性公式表达为：。

套利目的在于对冲两个资产的风险，对冲比率则由上式中的表现。

表示了资产A和资产B之间存在的简单线性关系，即如果有1单位资产A需要用单位的资产B进行反向的对就冲。

4.基于残差序列的交易策略（1）确定参数由OLS法可以得到资产A和资产B之间的长期协整关系式：，通过变形可以得到。

计算残差序列的均值和标准差，以和来表示。

（2）交易策略设置为了说明方便，下文用价差spread来表示残差的概念，则资产A和资产B之间的价差spread可以表示为。

本次研究的交易规则是确定开仓值，平仓值和止损点，对应资产A和资产B的配置比重进行交易。

研究中的开仓、平仓和止损点位设置如下：开仓值用残差的均值加上k1倍的标准差表示，即。

平仓值用残差的均值加上k2倍的标准差表示，即。

止损点用残差的均值加上k3倍的标准差表示，即。

四、实证研究1.研究对象和数据说明本次研究以上海期货交易上市的黄金和白银期货作为实证检验对象，数据采用的是黄金和白银期货的连续主力合约的收盘价格，测试的数据频率为5分钟数据。

样本内回测数据时间为：2012.5.10至2013.5.31。

样本外回测数据时间为：2013.6.4至2013.8.27。

为了增加平稳性，价格选用的是黄金白银的对数价格进行研究。

2.相关性检验从样本外数据检验发现，黄金和白银期货对数价格的相关系系数为0.9769，存在很强的相关性。

从下图看其走势也基本接近。

图1：黄金白银期货走势图3.协整关系检验对黄金和白银期货合约价格取对数后进行ADF检验，发现两者都是不稳定的时间序列，于是对其进行差分，发现其经过一阶差分后为平稳的时间序列，因此认为黄金和白银的期货合约的对数价格是一阶单整的，即。

图二：白银和黄金期货合约对数价格的ADF检验图三：一阶差分后的白银黄金期货合约对数价格的ADF检验对黄金白银期货价格进行进一步协整检验，结果显示黄金和白银期货合约的对数价格存在长期的协整关系，因此可以对其进行协整的统计套利。

图四：黄金白银协整检验结果4.对黄金白银期货合约价格进行线性回归，得到其协方差系数和残差。

通过t检验发现其p值很小，因此存在以下线性关系：图五：黄金白银期货合约对数价格线性回归结果由上述表达式进行转换可以得到残差的表达式：我们进一步检验了线性回归得到的残差的平稳性，ADF检验结果显示残差序列平稳，这也证明了其协整关系的存在。

图六：回归残差项的ADF检验我们对于回归的残差项进行统计分析，其均值为-3.9190e-11，标准差为0.0252，偏度为-0.1722，峰度为2.7531，存在典型的金融数据所具有的尖峰和左偏态的现象。

图7：残差的分布图5.黄金白银期货合约配比通过上述黄金白银期货合约对数价格线性回归式可以得到黄金白银期货合约的手数比：由黄金白银期货合约价格比：可以得到：我们使用黄金合约一年的平均价格331206，作为计算黄金白银期货合约手数比的参数，可以计算得到：对合约手数比进行取证大约可以得到：2手黄金对7手白银。

6.交易策略由于残差的均值极小，此处假定其均值为0。

a.当大于阈值开仓买入2手黄金，同时开仓卖空7手白银；b.当小于阈值开仓买入7手白银，同时开仓卖空2手黄金；c.当小于阈值进行平仓；d.当大于阈值进行平仓；e.当大于阈值进行止损；f.当小于阈值进行止损。

7.样本内回测结果利用样本内数据，首先对数据进行参数估计，以收益率为基准，得到的最优参数为：分别为。

本次研究假设资金总额30万，回测2手黄金和7手白银为一组的交易配对资产收益。

样本内回测结果表明，该策略具有在2012年5月至2013年5月间累计收益率157%，盈亏比1.02，但其单手平均盈亏额为2.82，其获胜概率并非很高，但是单笔盈利远大于单笔亏损，以此总结收益比较好。

其波动率比较大，也是导致其夏普比例较小的原因。

其资金的最大回测比在21%左右，查找原因在于2012年8月21日至27日黄金出现的大幅上涨，导致黄金白银价格背离严重。

图8：样本内价差走势图图9：样本内测试资金变化图8.样本外回测结果样本外回测结果并不如样本内回测结果，在样本外发生了很大的亏损，从单笔盈亏比发现，其比率为1.9，但是由于盈亏次数比的上下将很多，即亏损次数过多导致了最后的总的亏损。

从实际价差的走势看，由于该套利策略运用于均值回归，如果实际中套利品种间长期处于背离状态，在止损处来回小幅震荡，会导致开仓却很快被平仓的交易发生过多。

虽然每笔损失会被锁定在比较小的区域内，但是由于发生次数过多，最终累计会造成较大损失。

黄金和白银的价格在6月底开始出现比较大的背离，之后两者价格又反向背离，造成了价差回归次数很少。

5）图10：样本价差走势图图11：样本外资本变化五、结论与建议本次研究探索了存在协整关系的两个相关性很高的资产间存在的统计套利机会，并构建了一套针对存在协整关系的资产的统计套利机制。

通过实证研究黄金白银这两个贵金属之间长期上存在协整关系，我们利用其存在的这种关系进行统计套利。

通过对2012年5月至2013年5月间5分钟频率数据进行样本内回测发现，当把开仓点调整为1个标准差，平仓点调整为-0.2个标准差，其年化收益约145%，资金的最大回撤比为21%。

同时我们对2013年6月至2013年8月间的5分钟频率数据进行样本外回测，发现由于这三个月黄金白银间的价格背离比较严重，因此其回归胜率大幅下降为34%，造成亏损。

本次研究在样本外测试中显示了模型的不稳定性，需要对该策略和模型进行进步一步调整，例如将静态标准差变为动态标准差、优化动态变化的时间跨度等，同时也需要引入更完善的风险管理机制，加强对资金的控制。

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