最新3学而思-小升初第12讲-方程解应用题

学而思二年级移多补少应用题例题1：XXX有14块糕点，成成有6块。

问XXX需要拿出几块糕点给成成，才能使他们的糕点数量相同？解析：设XXX需要拿出x块糕点给成成，则XXX剩余14-x块，成成得到x块后，也有14-x块糕点。

因此，方程为14-x=6+x，解得x=4.所以XXX需要拿出4块糕点给成成。

例题2：有31人的第一队调3人到第二队后，两队人数相同。

问第二队原来有几人？解析：设第二队原来有x人，则第一队剩余31-3=28人。

因此，方程为28=x+3，解得x=25.所以XXX原来有25人。

例题3：XXX和见见分葫芦，XXX给见见4个葫芦后，XXX比见见多2个。

问XXX原来比见见多几个葫芦？解析：设XXX原来比见见多x个葫芦，则XXX分出去后剩余y个，见见得到4个后也有y-2个。

因此，方程为y=x+4，y-2=x。

解得x=6.所以XXX原来比见见多6个葫芦。

例题4：竖笛乐队原有86人，比声乐队人数多。

如果竖笛乐队中的5人参加声乐队，竖笛乐队就比声乐队少2人。

问声乐队原来有几人？解析：设声乐队原来有x人，则竖笛乐队剩余86-5=81人。

因此，方程为x+5=81+2，解得x=74.所以声乐队原来有74人。

难题：XXX和XXX一共有30支竖笛。

XXX从大盒里拿出6支放进小盒里，现在两盒竖笛的数量一样多。

问小盒里原来有多少支竖笛？解析：设小盒里原来有x支竖笛，则大盒里有30-x支竖笛。

XXX拿出6支后，小盒里有x+6支，大盒里有30-x-6支。

因此，方程为x+6=30-x-6，解得x=9.所以小盒里原来有9支竖笛。

作业1：甲笼里有28只兔子，乙笼里有6只。

怎样调整才能使两只笼子兔子数量一样多？解析：由于28和6的最大公约数为2，因此可以将甲笼中的兔子分成14组，每组2只兔子。

然后将每组的兔子各放到乙笼中的一只兔子旁边，这样乙笼中就有14只兔子了。

所以两只笼子兔子数量一样多。

作业2：有两盘桃子，从第一盘里拿3个放入第二盘里，两盘桃子数量相同。

第十二讲分数、百分数和比的综合应用（二）一、知识梳理分数乘除法和百分数的综合应用题：（1）单位“1”的量和数量关系:（2）解答“求一个数的几分之几（或百分之几）是多少”的应用题；（3）解答一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）的应用题；百分数应用题：（1）纳税和利率；（2）折扣和利润；比的应用：按比例分配二、方法归纳分数和百分数的应用题（1）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）的应用题一个数÷另一个数=分率一个数÷另一个数×100%=百分之几（2）求一个数的几分之几（或百分之几）是多少的应用题 一个数×分率=多少 一个数×百分之几=多少（3）求一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）是多少的应用题 另一个数×（1+分率）=一个数 或者 另一个数×（1-分率）=一个数 另一个数×（1+百分之几）=一个数 或者 另一个数×（1-百分之几）=一个数 （4）已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数的应用题 多少÷几分之几=这个数 多少÷百分之几=这个数（5）已知一个数比另一个数多（或少）几分之几（或百分之几）是多少，求另一个数的应用题一个数÷（1+分率）=另一个数 或 一个数÷（1-分率）=另一个数 一个数÷（1+百分之几）=另一个数 或 一个数÷（1-百分之几）=另一个数按比例按分配的应用题：总量÷总份数=每一份的数三、课堂精讲例1. 一桶油第一次用去51，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。

原 来这桶油有多少千克？【规律方法】画线段图能将题目中抽象的数量关系，直观形象地表示出来85【搭配课堂训练题】 【难度分级】 A1．修路队修一段铁路，修了一天后，已修和未修的比是1:4。

第二天修了3200千米，这时已修的是全长95。

专题16-列方程解决问题（两步需要逆思考）（知识梳理+专项训练）1、列方程解应用题的步骤。

①弄清题意，确定未知数，并用x表示．②找出题中数量之间的相等关系．③列方程，解方程．④检查或验算，写出答案．2、列方程解应用题的方法。

①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）1．（2分）设一盒薯片的价钱为x元，根据下面()中的信息可以列出方程7346x-=。

A．一箱酸奶的售价是46元，比7盒薯片的售价还贵3元。

B．一箱酸奶的售价是46元，比7盒薯片的售价便宜3元。

C．一箱酸奶的售价是46元，比一盒薯片价钱的7倍还多3元。

D．一箱酸奶的售价是46元，7盒薯片的价钱比一箱酸奶的价钱少3元。

2．（2分）如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是()A．1.5220x+=B．20 1.52x-=C．1.5202x=+D．1.5202x=-3．（2分）学校食堂有面粉320千克和大米若干千克，面粉的质量比大米少25，假设大米有x千克，下列哪条算式可以求出大米的质量。

()A．2(1)3205x-=B．2(1)3205x+=C．213205x-=D．213205x+=4．（2分）一个体育中心足球场长度105m，比宽度的2倍少31米。

宽几米？如果设宽为x米，那么下面列出的方程正确的是()①105231x-=②231105x-=③231105x+=④210531x=+A．①③B．①②C．②④D．①④5．（2分）学校购进一批图书，其中文学类图书265本，比科技类图书的80%少15本。

39初二春季·第12讲·尖子班·学生版方程12级 特殊根问题方程13级 根系关系及应用题方程6级方程14级一元二次方程专题突破春季班 第十二讲春季班 第十讲围图形满分晋级阶梯漫画释义12专题突破之——一元二次方程40初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的定义及方程的根例1，练习1； 一元二次方程的解法 例2，练习2；一元二次方程的特殊根 例3，例4，练习3，练习4； 一元二次方程的综合运用例5，例6，例7，练习5．题型切片知识互联网41初二春季·第12讲·尖子班·学生版一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．1. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．2. 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠． 要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．3. 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程．2. 配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．3. 公式法：利用求根公式和判别式来求解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．4. 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 三、一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程根的判别式的定义：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2. 判别式与根的关系．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；思路导航42初二春季·第12讲·尖子班·学生版若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 3. 一元二次方程的根的判别式的应用． ① 运用判别式，判定方程实数根的个数；② 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ③ 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；④ 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．【例1】 ⑴ 关于x 的方程()25410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A. a ≥1B. a >1或a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠5⑵ 已知关于x 的方程()2110kx k x +--=，下列说法正确的是（ ）A. 当k =0时，方程无解B. 当k =1时，方程有一个实数解C. 当k =1-时，方程有两个相等的实数解D. 当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解⑶ 若关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根是1-，则a – b + c = ；若有4a - 2b + c = 0此方程必有一个根 ．【例2】 用适当的方法解关于x 的一元二次方程：⑴ ()22239x x -=- ⑵ 222250x x --=典题精练典题精练题型一：一元二次方程的定义及方程的根题型二：一元二次方程的解法43初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑶ ()()22352360x x ---+= ⑷ ()22321410a a x ax +--+=44初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例3】 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例4】 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．典题精练题型三：一元二次方程的特殊根45初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例5】 已知关于x 的方程21(1)(3)0mm x m x k +++-+=，问：⑴ m 取何值时，它是一元一次方程？ ⑵ m 取何值时，它是一元二次方程？①若2x =是一元二次方程的一个根，求k 的值； ②若3k =-，求出此一元二次方程的解；③分别求出一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数 根对应的k 的取值范围．④若一元二次方程的解是整数，把你发现字母k 的取值规律用含字母n （n 为正 整数）的式子表示为 ．【例6】 已知关于x 的方程()23130mx m x +++=．⑴ 求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；⑵ 若此方程有两个不同的整数根，试确定m 的正整数值；⑶ 当m 为⑵中所求数值时，1x 与1x n +（n ≠0）分别是关于x 的方程()23130mx m x b +++-=的两个根，求代数式22114125168x x n n n ++++的值．真题赏析题型四：一元二次方程的综合运用【例7】列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60m、50m的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m的一横两纵的甬道．⑴用含x的代数式表示草坪的总面积S；⑵当甬道总面积为矩形面积的10.4%时，求甬道的宽．初二春季·第12讲·尖子班·学生版4647初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型一 一元二次方程的定义及方程的根 巩固练习【练习1】 ⑴ 关于x 的方程的一元二次方程()22230a x x ---=有一根为3，则另一根为（ ） A. 1- B. 3 C. 2 D. 1 ⑵ 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 112m >B. 112m <C. 112m >-D. 112m <-题型二 一元二次方程的解法 巩固练习【练习2】 ⑴ 用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（ ）A. ()223x +=B. ()223x -=C. ()225x -= D. ()225x +=⑵ 把方程2630x x ++=化成()2x m n +=的形式，正确的结果为（ ） A. ()236x += B. ()236x -= C. ()2312x += D. ()21633x +=题型三 一元二次方程的特殊根 巩固练习【练习3】 已知关于x 的一元二次方程()21002ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求()()()22111ab a b b -++-的值．【练习4】 已知：关于x 的一元二次方程()()2413301kx k x k k -+++=>⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根复习巩固48初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑵ 若方程的两个实数根分别是1x ，2x （其中12x x <），设212y x x =--，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出表达函数；若不是，请说明理由．题型四 一元二次方程的综合应用 巩固练习【练习5】 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该车把进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．⑴ 若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元； ⑵ 如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利 = 销售利润 + 返利）第十六种品格：感恩陈毅为老母洗屎尿裤20世纪60年代初，陈毅时任国务院副总理兼外交部长，日理万机，公务繁忙。

小升初数学衔接班——列方程解应用题专题知识点一列方程解应用题的步骤例1、有两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30%，乙种盐水的浓度是6%，现在要配成浓度为10%的盐水60千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？仿练、现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙种酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克。

现在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？例2、一件工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时完成？仿练、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。

单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池水放完。

现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过几分钟后才能将水池注满?知识点三直接设元与间接设元例3、甲乙两站之间的路程为354km，一列慢车从甲站开往乙站，慢车走了1.5小时后，另有一列快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时走46km，快车每小时走68km，问两车各走多少小时后相遇?仿练、甲、乙、丙三人，甲每小时走132公里，乙每小时走335公里，丙每小时走142公里，若甲、乙两人在A地，丙在B地，三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，丙在遇到乙后3分钟才遇到甲。

求A、B两地的距离？【同步练习】（答题时间：45分钟）1、火眼金睛：（1）甲、乙两人环湖竞走，环湖一周400米，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的速度的114倍，且甲在乙前100米，多少分钟后，两人第一次相遇。

设经过x分钟两人第一次相遇，所列方程为（）A.580100804x x+=⨯ B.580300804x x+=⨯C.580100804x x-=⨯ D.580300804x x-=⨯（2）一列火车匀速前进，从它进入300米长的隧道到完全通过一共用20秒钟，又知隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射火车10秒钟，求这列火车的长度和速度。

第一专题：计算专题共34讲【强化篇17讲竞赛篇17讲】一、计算竞赛篇共17讲竞赛1-加减法巧算之凑整与组合思想之竞赛篇(第1讲)竞赛2-乘除法巧算之提取公因式与组合思想之竞赛篇(第2讲)竞赛3-四则混合巧算只综合技巧之竞赛篇(第3讲)竞赛4-定义新运算之速算与巧算之竞赛篇(第4讲)竞赛5-数列求和与公式技巧之竞赛篇(第5讲)竞赛6-多位计算与归纳思想之竞赛篇(第6讲)竞赛7-小数计算与换元思想之竞赛篇(第7讲)竞赛8-数表计算与代数公式应用之竞赛篇(第8讲)竞赛9-循环小数互化与错位相减技巧之竞赛篇(第9讲)竞赛10-分数(繁分数)计算综合与比例转化之竞赛篇(第10讲)竞赛11-比较与估算综合技巧之竞赛篇(第11讲)竞赛12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳之竞赛篇(第12讲)竞赛13-分数计算之换元与缩放之竞赛篇(第13讲)竞赛14-定义新运算之复杂运算与抽象运算之竞赛篇(第14讲)竞赛15-四大杯赛中的计算综合思想之竞赛篇(第15讲)竞赛16-计算综合之复杂分数裂项计算综合之复杂整数裂项之竞赛篇(第16讲) 竞赛17-计算综合之复杂公式与复杂换元计算之竞赛篇(第17讲)二、计算强化篇共17讲第一讲加减法巧算之凑整与组合思想(第18讲)第二讲乘除法巧算之提取公因式与组合思想(第19讲)第三讲四则混合巧算只综合技巧(第20讲)第四讲定义新运算之速算与巧算(第21讲)第五讲数列求和与公式技巧(第22讲)第六讲多位计算与归纳思想(第23讲)第七讲小数计算与换元思想(第24讲)第八讲数表计算与代数公式应用(第25讲)第九讲循环小数互化与错位相减技巧(第26讲)第十讲分数(繁分数)计算综合与比例转化(第27讲)第十一讲比较与估算综合技巧(第28讲)第十二讲分数计算之拆分、裂项与通项归纳(第29讲)第十三讲分数计算之换元与缩放(第30讲)第十四讲定义新运算之复杂运算与抽象运算(第31讲)第十五讲四大杯赛中的计算综合思想(第32讲)第十六讲计算综合之复杂分数裂项与整数裂项(第33讲)第十七讲计算综合之复杂公式与复杂换元计算(第34讲)第二专题数论专题计算专题共38讲【强化篇19讲竞赛篇19讲】一、数论竞赛篇第一讲奇偶数的性质与应用之竞赛篇(第35讲)第二讲有趣余数之性质与周期之竞赛篇(第36讲)第三讲整数分拆之分类与计数之竞赛篇(第37讲)第四讲整数分拆之最值与应用之竞赛篇(第38讲)第五讲数的整除之性质与求法之竞赛篇(第39讲)第六讲数的整除之代数思想与运用之竞赛篇(第40讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用之竞赛篇(第41讲)第八讲质数、合数与两大约数定理之竞赛篇(第42讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数之竞赛篇(第43讲)第十讲因数与倍数之综合应用之竞赛(第44讲)第十一讲完全平方数之竞赛篇(第45讲)第十二讲带余除法之竞赛篇(第46讲)第十三讲同余问题之竞赛篇(第47讲)第十四讲中国剩余定理之竞赛篇(第48讲)第十五讲进制与位值原理之竞赛篇(第49讲)第十六讲四大杯赛的数论综合思想之竞赛篇(第50讲)第十七讲数论综合之整除相关问题之竞赛篇(第51讲)第十八讲数论综合之余数相关问题之竞赛篇(第52讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第53讲) 二、数论强化篇第一讲奇偶数的性质与应用(第54讲)第二讲有趣余数之性质与周期(第55讲)第三讲整数分拆之分类与计数(第56讲)第四讲整数分拆之最值与应用(第57讲)第五讲数的整除之性质与求法(第58讲)第六讲数的整除之代数思想与运用(第59讲)第七讲数的整除之四大判断法综合运用(第60讲)第八讲质数、合数与两大约数定理(第61讲)第九讲因数与倍数之最大公因数与最小公倍数(第62讲)第十讲因数与倍数之综合应用(第63讲)第十一讲完全平方数(第64讲)第十二讲带余除法(第65讲)第十三讲同余问题(第66讲)第十四讲中国剩余定理(第67讲)第十五讲进制与位值原理(第68讲)第十六讲四大杯赛中的数论综合思想(第69讲)第十七讲数论综合之整除相关问题(第70讲)第十八讲数论综合之余数相关问题(第71讲)第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用之竞赛篇(第72讲) 第三专题行程专题计算专题共30讲【强化篇15讲竞赛篇15讲】一、行程竞赛篇第一讲基础行程之竞赛篇(第73讲)第二讲简单相遇、追及之竞赛篇(第74讲)第三讲复杂相遇、追及之竞赛篇(第75讲)第四讲猎狗追兔之竞赛篇(第76讲)第五讲火车过桥之竞赛篇(第77讲)第六讲多次相遇之竞赛篇(第78讲)第七讲多人行程之竞赛篇(第79讲)第八讲流水行船之竞赛篇(第80讲)第九讲简单环形之竞赛篇(第81讲) 第十讲复杂环形之竞赛篇(第82讲) 第十一讲接送问题之竞赛篇(第83讲) 第十二讲间隔发车之竞赛篇(第84讲) 第十三讲电梯问题之竞赛篇(第85讲) 第十四讲变速变道之竞赛篇(第86讲) 第十五讲综合行程之竞赛篇(第87讲) 二、行程强化篇第一讲基础行程(第88讲)第二讲简单相遇、追及(第89讲)第三讲复杂相遇、追及(第90讲)第四讲猎狗追兔(第91讲)第五讲火车过桥(第92讲)第六讲多次相遇(第93讲)第七讲多次行程(第94讲)第八讲流水行船(第95讲)第九讲简单环形(第96讲)第十讲复杂环形(第97讲)第十一讲接送问题(第98讲)第十二讲间隔发车(第99讲)第十三讲电梯问题(第100讲)第十四讲变速变道(第101讲)第十五讲综合行程(第102讲)第四专题应用题专题共16讲一应用题1和差倍问题(第103讲)盈亏问题(第104讲)二应用题2还原问题(第105讲)鸡兔同笼(第106讲)三应用题3年龄问题(第107讲)周期问题(第108讲)四应用题4平均数问题(第109讲)统筹与规划问题(第110讲)五应用题5分数百分数问题(第111讲)牛吃草(第112讲)六应用题6比和比例(第113讲)工程问题(第114讲)七应用题7经济问题(第115讲)浓度问题(第116讲)八应用题8方程解复杂应用题(第117讲)应用题综合(第118讲)第五专题：几何专题计算专题共4讲【5级2讲6级2讲】一、几何专题能力进阶五级：五大模型及常用思维与方法第一讲五大模型(第119讲)第二讲常用思维与方法(第120讲)二、几何专题能力进阶六级：曲线型与立体几何第一讲曲线型(第121讲)第二讲立体几何(第122讲)。

浓度配比问题一、知识点概述在百分数应用题中有一种关于溶液浓度的计算问题，我们把它称为浓度配比问题。

这个问题主要研究溶液、溶质和溶剂之间的关系，由于浓度问题变化多，有的难度较大，计算也较复杂。

因此我们要根据题目提供的信息和问题逐一分析，也可以分步解答。

二、重点知识归纳及讲解(一)什么是浓度配比问题？有时需要研究用多少水和多少糖才能配制成某一预先给定浓度的糖水；或者两种同类不同浓度的溶液各取多少，才能配制成某一预定浓度的溶液，这就是浓度配比问题。

(二)浓度配比问题中常见的数量关系人们习惯上把像盐、糖、纯酒精、纯农药等叫做溶质，把水叫做溶剂。

把溶质与溶剂的混合液叫溶液。

它们有如下关系：溶质质量＋溶剂质量＝溶液质量溶液质量×浓度＝溶质质量溶质质量÷浓度＝溶液质量(三)浓度配比问题几种类型1、稀释浓度问题2、增加浓度问题3、两种溶液混合配制问题三、难点知识剖析例1、在浓度为35%的10千克的盐水中加入4千克的水，这时盐水浓度是多少？解析：由于加入4千克水，使得整个溶液(即盐水)重量增加为10＋4=14千克，而加水前后盐的质量(即溶质)没有变化。

根据盐在整个盐水的百分比即为盐水浓度，便可求出加水稀释后的盐水浓度。

答：这时盐水浓度是25%例2、要把浓度为25%的盐水300克，加清水冲淡为浓度15%的盐水，需要加清水多少克？解析：根据“把浓度为25%的盐水300克，加清水冲淡为浓度15%的盐水”可知盐水稀释前后的盐的质量不变；由“浓度为25%的盐水300克”可以求出盐的质量，再根据冲淡后盐水的浓度15%，可以求出稀释后盐水的质量，进而求出需要加清水的质量。

解答：300×25%÷15%－300=75÷15%－300=500－300=200(克)答：需要加清水200克。

例3、有含盐8%的盐水400克，要配制含盐20%的盐水，需要加盐多少克？解析：此例是增加浓度问题，因为加盐，溶液浓度由稀变浓，其中水的质量(即溶剂)始终不变，据此可以先求出原来盐水中水的质量，再求出后来盐水的质量，进而求出需要加盐的质量。

小升初专题9 方程知识点讲解一：意义1.简易方程：方程ax±b=c(a,b,c是常数)叫做简易方程。

例：下面式子是方程的是（ A ）。

A.5+6x=11B.7+45=52C.4x-7>162.方程：含有未知数的等式叫做方程。

(注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可) 例：方程里一定有未知数。

（√）知识点讲解二：方程的解1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

例：爸爸38岁，是儿子岁数的3倍少1岁，用方程表示出儿子的岁数（ 3x-1=38 ）知识点讲解三：方程的同解原理1.如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

例：与6x+1=7同解的方程是（ B ）A.6x-7=6B.12x+2=14C.5x+9=142.方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

例：要使9x+2=9x+1左右两边相等，则要在方程的右边加上（ 1 ）。

3.方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

例：方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程原方程的解一样。

（√）知识点讲解四：解方程1.求方程的解的过程叫做解方程。

例：接下列方程5x-1=11得（ x=2 ）2.移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；例：与方程2x+8=16的解相同的式子是（ B ）A.2x=16+8B.2x=16-8C.2x+8+16=02.移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。

例：方程的移项规则：先变乘除，后移加减。

（×）3.步骤：(1)弄清题意，确定未知数并用x表示;(2)找出题中的数量之间的相等关系;(3)列方程，解方程。

例：方程7x+3=10的解为（ x=1 ）达标测验一. 填空（共20分）1.甲数比乙数少5，设乙数是x，甲数是（），甲、乙两数的和是（）。

2.一本书有a页，小敏每天看b页，看了c天后，还剩（）页。

《列方程解决问题》专项训练【例题精讲】1.一个数的2倍与12的差是30，求这个数。

2.某次大会安排代表住宿，若每间住2人，则有12人没有床位；若每间住3人，则多出2个空床位。

请问房间共有几间？代表共有几人？3.为了招待来校参与交流活动的老师们，我校后勤李老师准备购买10个茶壶和40个茶杯。

(1)已知一套茶具是由1个茶壶和4个茶杯组成，每个工人每天加工50个茶壶或200个茶杯。

某车间有20个工人，为了使每天生产的茶壶和茶杯恰好配套，应安排生产茶壶和茶杯的工人各多少人？(2)李老师在网上花了1300元买了10个茶壶和40个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的4倍多10元，请问，茶壶和茶杯的单价各多少元？3.学校购回一批粉笔，其中白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍。

开学后平均每周用去36盒白粉笔和8盒彩色粉笔，用了几周后，白粉笔已经用完，还剩下36盒彩色粉笔。

学校购回白粉笔和彩色粉笔各多少盒？【巩固练习】1.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？2.李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？3.一群学生搬书，如果有12人每人搬7本，其余的人每人搬5本，那么最后余下148本；如果有30人每人搬8本，其余的每人搬7本，那么最后余下20本。

学生共有多少人？书有多少本？4.一支队伍去野营，炊事员问有多少人，队长说：“1个人一个饭碗，2个人一个菜碗，3个人一个汤碗，这儿有55个碗，刚好够用。

”你能算算共有多少个人吗？5.学生参加义务劳动，需要发洗衣粉。

如果给男生每人3包，女生每人4包，那么就会多出8包；如果给男生每人4包，女生每人5包，那么就会少7包。

已知男生比女生多1人，那么共有多少包洗衣粉？6.一个两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等。

第12讲解一元一次方程（二）【知识衔接】————小学初中课程解读————，初中数学中，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，经历估计方程解的过程，掌握等式的基本性质，能解一元一次方程.————小学知识回顾————1、方程和等式等式：表示相等关系的式子叫做等式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、解方程。

解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。

解方程的依据：等式的性质。

①等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

②等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

————初中知识链接————1.等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果 a＝b，那么a ± c＝b ± c.2.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么3.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

4.移项的概念：我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

5.去括号：利用去括号法则把括号去掉，然后利用前面学习的移项、合并同类项的方法解一元一次方程6.去分母：方程两边同时乘以两个分母的最小公倍数，把分母去掉，然后即可按照前面学习的方法解方程.7.解方程的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化1.【经典题型】小学经典题型1．求末知数x．x﹣35%x＝5.212：x=21.52 3x−14×7=722．求未知数．x −25x =36 （4.5﹣x ）×38=34 x ：3.2＝2.5：42.7x=0.9103．求未知数． ①1.5x ﹣4.2×5＝21 ②2.5：x ＝4：2254．解方程． 3x +5x ＝12 8x ﹣16×4＝8 4x +13=34710x −25x =1225初中经典题型1．方程x −1−x 4=−1去分母正确的是（ ）.A ．x-1-x=-1B ．4x-1-x=-4C ．4x-1+x=-4D ．4x-1+x=-1 2．3a 的倒数与2a−93互为相反数，那么a 的值是（ ）A ．32B ．−32 C ．3 D ．－3 3．把方程3x +2x−13=3−x+12去分母正确的是（ ）A ．18x+2(2x-1)=18-3(x+1)B ．3x+(2x-1)=3-(x+1)C ．18x+2(2x-1)=18-(x+1)D ．3x+2(2x-1)=3-3(x+1)4．解方程()()()3221216x x x ++--+=⎡⎤⎣⎦，得x 为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5．把方程3x ＋312-x ＝3－21+x 去分母，正确的是（ ） A ．()()131812218+-=-+x x xB ．()()13123+-=-+x x xC ．()()1181218+-=-+x x xD ．()()1331223+-=-+x x x 6．某书上有一道解方程的题：+1=x ，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（ ） A ．7 B ．5 C ．2 D ．﹣2 7．在解分式方程3x−1+x+21−x=2时，去分母后变形正确的是（ ）A ．3−(x +2)=2(x −1)B ．3−x +2=2(x −1)C ．3−(x +2)=2D ．3+(x +2)=2(x −1) 8．解方程43（x-1）-1=13（x-1）+4的最佳方法是A ．去括号B ．去分母C ．移项合并（x-1）项D ．以上方法都可以 9．若x=﹣3是方程k （x +4）﹣2k ﹣x=5的解，则k 的值是_____． 10．当x =__________时，3x +1的值与2（3–x ）的值互为相反数． 11．若代数式4x 与212x -的值相等，则x 的值是__________． 12．当x = 时，式子256x +与114x x ++的值互为相反数． 13．解下列方程（1）2（x +1）﹣3（x ﹣2）=4+x ； （2）1−2x−16=2x+13．14．解方程：(1)2x －(x ＋10)＝5x ＋2(x －1)； (2)3x+12－2＝3x−210－2x+35.15．已知y 1=﹣x+3，y 2=2x ﹣3． （1）当x 取何值时，y 1=y 2；（2）当x 取何值时，y 1的值比y 2的值的2倍大8． 16．已知方程3（x ﹣1）=4x ﹣5与关于x 的方程﹣=x ﹣1有相同的解，求a 的值．【实战演练】————再战初中题 —— 能力提升————1．方程5（x-1）=5的解是（ ）． A ．x=1 B ．x=2 C ．x=3 D ．x=42．若代数式4x ﹣5与212x -的值相等，则x 的值是（ ） A ．1 B ．32 C ．23 D ．23．把方程103.02.017.07.0=--xx 中的分母化为整数，正确的是（ ）.A 、132177=--x xB 、13217710=--x xC 、1032017710=--x xD 、132017710=--x x4．下列方程变形中 ① 方程3−2x 3−x−22=1去分母，得2(3−2x)−3(x −2)=1② 方程3x +8=−4x −7移项得3x +4x =7−8③ 方程7(3−x)−5(x −3)=8去括号，得21−7x −5x +15=8 ④ 方程37x =73，得x=1 错误的有（ ）个A ．4个B ．3个C ．1个D ．0个 5．解方程2x+13−5x−32=1，去分母正确的是（ ）A ．2(2x +1)−3(5x −3)=1B ．2x +1−5x −3=6C ．2(2x +1)−3(5x −3)=6D ．2x +1−3(5x −3)=6 6．已知x=1是方程a （x ﹣2）=a+3x 的解，则a 的值等于（ ） A ．32 B ．-32 C ．43 D ．-437．若方程3(2x −1)=3x 的解与关于x 的方程6−2a =2(x +3)的解相同，则a 的值为( ) A ．2 B ．−2 C ．1 D ．−1 8．下列各题正确的是（ ） A ．由7x=4x ﹣3移项得7x ﹣4x=36 B ．由2x−13=1+x−32去分母得2（2x ﹣1）=1+3（x ﹣3）C ．由2（2x ﹣1）﹣3（x ﹣3）=1去括号得4x ﹣2﹣3x ﹣9=1D ．由2（x+1）=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5 9．当x ＝ 时，5（x －2）与2[7x －（4x －3）]的值相等．10．当x=_______时，32x -与23x+-互为相反数． 11．若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x= .12.解方程：（1）4x ＋3＝2(x －1)＋1； （2）246231xx x -=+-- （3）2（3x+4）﹣3（x ﹣1）=3； （4）．13．（1）小玉在解方程2x−13=x+a 2−1去分母时，方程右边的“﹣1”项没有乘6，因而求得的解是x =10，试求a 的值．（2）当m 为何值时，关于x 的方程5m +3x =1+x 的解比关于x 的方程2x +m =5m 的解大2？ 14．若方程3（x −k ）=2（x +1）与x −3（x −1）=2−（x +1）的解互为相反数，求k 的值． 15．解方程(1)4(x ﹣1)+5＝3(x+2)； (2)2x+13−5x−16=1．16．m 为何值时，代数式5123m m --的值与代数式72m -的值的和等于5？17．小乐的数学积累本上有这样一道题： 解方程：﹣=1解：去分母，得6（2x+1）﹣（5x ﹣1）=6…第一步 去括号，得4x+2﹣5x ﹣1=6…第二步 移向、合并同类项，得x=5…第三步方程两边同除以﹣1，得x=﹣5…第四步在题后的反思中看，小郑总结到：解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误…小乐的解法从第步开始出现错误，然后，请你自己细心地解下面的方程：2﹣（x+2）=（x﹣1）。

一元一次方程应用题★★★★☆☆level 4第七讲一元一次方程应用题本章进步目标★★★★☆☆Level 4通过对本节课的学习，你能够：1．对和差倍分一元一次应用题达到【初级运用】级别；2．对行程类一元一次应用题达到【初级运用】级别；3．对工程配套类一元一次应用题达到【初级运用】级别；4．对销售类一元一次应用题达到【初级运用】级别；5．对阶梯方案类一元一次应用题达到【初级运用】级别；VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系U-CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION第一关和差倍分问题★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆能够分辨和差倍分类应用题的关键词，并能列出等量关系，达到【初级运用】级别.一元一次方程应用题 ★★★★☆☆ level 4学习重点：学会分辨和差倍分类应用题关键词，用一元一次方程解决和差倍分类应用题方法。

（14年包河区期末）某商店出售甲、乙两种新年贺卡，甲种贺卡的售价为1.2元，乙种贺卡的售价为2元。

该店在“元旦”举行贺卡优惠售卖活动，甲种贺卡按原价打8折，乙种贺卡按原价打9折，结果两种贺卡共卖出60张，卖得金额87元。

若设甲种贺卡卖出x 张，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）A 、1.20.820.9(60)87x xB 、1.20.820.9(60)87x xC 、20.9 1.20.8(60)87x xD 、20.9 1.20.8(60)87x x1．一个两位数,个位上的数是十位上的数的3倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原来的两位数大36,求原来的两位数.2. 小鹏今年3岁，她与她妈妈的年龄的十分之一的和的一半恰好就是小鹏的年龄，小鹏的妈妈今年多少岁？和差倍分问题能找到等量关系式会解一元一次方程关卡1例题精讲和差倍分问题★★★★☆☆ 初级运用真题演练 过关指南Tips一元一次方程应用题★★★★☆☆level 4第二关行程问题★★★★☆☆Level 4本关进步目标★★★★☆☆能够对一元一次方程解决行程类应用题达到【初级运用】级别.U -CAN SECONDARY SCHOOL EDUCATION学习重点：学会用一元一次方程解决行程类应用题。

列方程解应用题-小学数学网-学而思教育用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题．列方程解应用题的一般步骤是：（1）分析题意．认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，它们之间有什么等量关系：（2）设未知数为x．合理选择未知数是解题的关键步骤之一．一般设题目里所求的未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x；（3）列方程．根据所设的未知量x和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程；（4）解方程．求未知数x的值；（5）检验并答题．对方程的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题作出答案．例1甲船载油595吨，乙船载油225吨，要使甲船的载油量为乙船的4倍，必须从乙船抽多少吨油给甲船？分析：先找相等的关系.乙船抽出一部分油给甲船后，使甲船的油等于乙船的油的4倍，即：甲船的油+乙船抽出的油=（乙船的油-乙船抽出的油）×4，我们可以设乙船抽出的油为x吨，利用等量关系列出方程求解．解：设从乙船抽出x吨油，则595＋x=（225-x）×4595＋x=900-4x4x+x=900-5955x=305x=61答：必须从乙船抽出61吨油给甲船．例2甲、乙两人骑自行车同时从西镇出发去东镇，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米．甲行30分钟后，因事用原速返回西镇，在西镇耽搁了半小时，又以原速去东镇，结果比乙晚到30分钟，试求两镇间的距离．分析：甲从西镇出发，行了30分钟，因有事用原速返回西镇，这样又得需要30分钟，到西镇后又耽搁了半小时，甲前后共耽误了0.5×3=1.5小时，但在甲耽误的时间里，乙没有停留，因此可以看作乙比甲从西镇提前1．5小时出发，然后甲追乙，结果比乙晚30分钟到达东镇，如果设甲第二次从西镇出发到东镇所用时间为x小时，我们可以得出东西两镇的距离为：甲时速×x=乙在甲前的路程+乙时速×（x-0.5）根据这样的等量关系，可以列出方程求解.解：设甲第二次从西镇出发到东镇所用的时间为x小时，则15x=10×（0.5×3）＋10（x-0.5）15x=15＋10x－515x-10x=15-55x=10x=2代入15x=15×2=30答：东西两镇的距离是30千米．例3哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在多少岁？分析：解答有关年龄方面的问题时，注意两人的年龄差经过多少年都不会变，因此可以根据这个差不变找等量关系．如果假设哥哥现在的年龄为x岁，由于哥哥与弟弟现在的年龄和是30岁，所以弟弟现在的年龄为30-x岁，又因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，所以哥哥当年的年龄为30-x岁，又由于哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，所以弟弟当年的年龄为他们的年龄差不变．解：设哥哥现在的年龄为x，则方程两边同乘以3，得6x-90=90-3x-x6x+4x=90＋9010x=180x=18代入30-x=30-18=12答：哥哥现在的年龄是18岁，弟弟现在的年龄是12岁．思考：如果设弟弟现在的年龄为x岁，如何列方程呢？例4小红、小丽、小强三位同学，各用同样多的钱买了一些练习本．小红买的每本是0.6元，比小强少2本，小丽买的每本是0.4元，比小强多3本，问小强买了多少个练习本？每本的价格是多少？分析：设小强买了x个练习本，由于小红买的本数比小强少2本，所以小红买的本数为x-2个，小丽买的本数比小强多3本，所以小丽买的本数为x＋3个．根据三人买练习本花的钱数相同，可以列出方程．解：设小强买了x个练习本，则0.6×（x-2）=0.4×（x＋3）0.6x-1.2=0.4x＋1.20.6x-0.4x=1.2+1.20.2x=2.4x=12代入0.6×（x-2）=0.6×（12-2）=66÷12=0.5答：小强买了12个练习本，每本价格0.5元．例5粮库内存有大米若干包，第一次运出库存大米的一半多20包，第二次运出剩下的一半少10包，第三次运进200包，粮库还有260包，求粮库原有大米多少包？分析：假设粮库原有大米x包，已知第一次运出库存大米的一半多20原有大米x包里减去前二次运出的，再加上第三次运进的，就等于260．解：设粮库里原有大米x包，则x=240答：粮库原有大米240包．例6李钢骑自行车从甲地到乙地，先骑一段上坡路，再骑一段平坦路，他到乙地后，就立即返回甲地，来回共用了3小时，李钢在平坦路上比上坡路每小时多骑6千米，下坡路比平坦路每小时多骑3千米．已知第一小时比第二小时少骑5千米（第二小时骑了一段上坡路，一段平坦路），第二小时比第三小时少骑3千米，那么：（1）李钢上坡路上用了多少分钟？（2）下坡路上用了多少分钟？（3）甲乙两地的距离是多少千米？分析：李钢行驶路线从甲→乙→甲，这段路用甲→甲′表示（1）已知第一小时比第二小时少骑5千米，而李钢在平坦路上比上坡路每小时多骑6千米，也就是上坡路比平坦路每小时少骑6千米，所以李钢分钟，就可得出李钢上坡路用的时间．（2）由于第二小时比第三小时少骑3千米，第一小时应比第三小时少骑5＋3=8千米，即第三小时比第一小时多骑8千米，设第三小时走了x小时平坦路，比第一小时多骑6x千米，下坡路走了1-x小时，比第一小时多骑（6＋3）（1-x）千米，根据上述条件列出方程．（3）设上坡路每小时走x千米，由于平坦路比上坡路每小时多骑6千米，则平坦路每小时走x+6千米，又因为下坡比平坦路每小时多骑3千米，所以下坡路每小时走x＋6+3千米，根据上坡的路程等于下坡的路程，列出方程．解：（1）因为上坡路比平坦路每小时少骑6千米，而第一小时比第二小时，所以上坡路共用时间：（2）设第三小时走了x小时平坦路，则下坡路走了1—x小时，所以6x＋（6+3）（1-x）=86x＋9（1-x）=86x＋9-9x=89-3x=83x=9-8所以下坡路共用60-20=40（分钟）．（3）设上坡路每小时走x千米，则平坦路每小时走x＋6千米，下坡路每小时走x＋6+3千米，于是：方程两边同乘以6，则7x=4（x+9）7x=4x＋363x=36x=12（小时）（千米）答：上坡路共用70分钟，下坡路共用40分钟，甲乙两地相距24.5千米．。