高等数学第9章 线性方程组

甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。

关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。

第三章 线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。

方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。

系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。

所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。

如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。

方程组（1）的解的全体称为它的解集合。

解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。

如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。

显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2） 来表示。

实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。

在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。

实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。

下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。

先看一个例子。

例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。

求解线性方程组的方法探讨摘要:线性方程组在数学领域中的应用十分广泛，而且它的求解方法在代数的学习中有着重要的作用，线性方程组的求解方法与行列式、矩阵、线性变换、向量组的线性相关性有着很大的关系，而在《高等代数》中只介绍了高斯消元法以及克莱姆法则，所以解法比较单一，有一定局限性。

本论文首先对课题的背景、意义、国内外研究状况进行阐述。

而后介绍其概念和他的性质定理。

然后对线性方程组的求解方法进行归纳和总结。

在例题中说明对每种解法的步骤及其特点，并对各种方法的优缺点、适用性进行分析。

线性方程组的解法虽多，但是根据线性方程组的不同结构来选用合适的解题方法，才能提高解题的效率,更快更好的得到结果。

关键词：线性方程组；矩阵；初等变换；高斯消元法Discussion on Methods of Solving Linear EquationsAbstarct:Linear equations are widely used in mathematics, and its solution plays an i mportant role in learning algebra.The method of solving linear equations has a great r elationship with determinant, matrix, linear transformation and linear correlation of ve ctor groups.However, only gauss elimination and Cramer's Law are introduced in Advanced Algebra, so the solution is relatively simple and has certain limitations.Fi rstly, this paper expounds the background, significance and research status at home an d abroad of the subject.Then the concept and his property theorem are introduced.The n, the methods of solving the linear equations are summarized.In the examples, the ste ps and characteristics of each method are explained, and the advantages, disadvantage s and applicability of each method are analyzed.Although there are many solutions to linear equations, only by choosing appropriate solutions according to different structur es of linear equations can we improve the efficiency of solving problems and get bette r and faster results.Key words：linear equations; matrix; Elementary transformation; gauss elimination目录1.绪论 (1)1.1 线性方程组的求解的背景及意义 (1)1.2 线性方程组国内外研究现状及评价 (1)2.线性方程组的概念和基础理念 (2)2.1 线性方程组的概念及形式 (2)2.2线性方程组有无解的判定定理[]1 (2)2.3 线性方程组的解的结构 (3)2.3.1 齐次方程组的解的结构 (3)2.3.2 非齐次方程组的解的结构 (4)3.线性方程组的求解方法 (5)3.1 高斯消元法 (5)3.2 LU分解法 (7)3.3 克莱姆（Cramer）法则 (8)3.4 逆矩阵解法 (10)3.5 分块矩阵解法[]75- (12)3.6 齐次线性方程组的基础解系求解方法 (13)3.7 非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法[]8 (14)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)1.绪论1.1线性方程组的求解的背景及意义线性方程组求解在中国有着悠久历史，对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早一千多年，记载于我国古代第一部数学专著《九章算术》的方程章。

高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

教学内容：介绍函数的定义，讨论函数的性质，举例说明。

教学方法：通过讲解和示例，让学生掌握函数的基本概念和性质。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，如保号性、夹逼性等。

教学内容：介绍极限的定义，讨论极限的性质，举例说明。

教学方法：通过讲解和示例，让学生理解极限的概念和性质。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标：理解导数的定义，掌握基本函数的导数计算。

教学内容：介绍导数的定义，讲解基本函数的导数计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握导数的定义和计算方法。

2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。

教学内容：介绍微分的定义，讲解微分的计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分的概念和计算方法。

第三章：积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

教学内容：介绍定积分的定义，讲解定积分的计算法则。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握定积分的概念和计算方法。

3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标：理解微分方程的概念，掌握基本的微分方程解法。

教学内容：介绍微分方程的定义，讲解常见的微分方程解法。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分方程的概念和解法。

第四章：级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标：理解数项级数的概念，掌握级数的收敛性判断。

教学内容：介绍数项级数的定义，讲解级数的收敛性判断方法。

教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。

4.2 常微分方程的解法与应用教学目标：理解常微分方程的概念，掌握常见的解法及其应用。

教学内容：介绍常微分方程的定义，讲解常见的解法及其应用。

教学方法：通过讲解和练习，让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。

线性方程组的解法及其应用摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，广义逆矩阵方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合.关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例1. 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.本文主要介绍线性方程组的广义逆矩阵法、追赶法、平方根法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台.文章也给出线性方程组在其他领域中的应用实例，揭示了各学科之间的内通性.首先，我们讨论一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为11112211211222221122,,.n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()i()i 式中(1,2,,)i x i n =代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n ==称为方程组的系数，(1,2,,)j b j n =称为常数项.线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ====.令111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 12s b b B b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()i 可用矩阵乘法表示为AX B =，,,.m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈2. 线性方程组的解法2.1 消元法在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.例 1 解线性方程组123123123123324,32511,23,237.x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 分别将第一个方程的(-3)倍，(-2)倍和2倍加到第二、三、四个方程上，整理得123232323324,71,555,7 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎪⎨-+=-⎪⎪-=⎩将此方程组第二个方程加到第四个方程上，使该方程两边全为零，并将第三个方程的两边乘以15-，得1232323324,71,1.x x x x x x x +-=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩再将第三个方程的7倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的未知量2x ，整理得123233324,1,6 6.x x x x x x +-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩最后解得123(,,)(2,0,1)T T x x x =--.正如消元法是我们接触比较早的，被我们所熟悉的一种方法，在此只给出三元线性方程组的解法，三元以上的方程组的具体理论、性质和解题过程详见参考文献[1]. 2.2 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1[1] 如果含有n 个方程的n 元线性方程组11112211211222221122,,.n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ()ii的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式111212122212det 0n n n n nna a a a a a A a a a =≠，那么线性方程组()ii 有唯一解：det (1,2,,),det j j B x j n A==其中det j B 是把矩阵中第j 列换成线性方程组的常数项12,,,n b b b 所成的矩阵的行列式，即111,111,11222,122,121,1,1det,1,2,,.j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a B j n a a b a a -+-+-+==此外，还可以叙述为，如果含有n 个未知数、n 个方程的线性方程组Ax b =的系数矩阵的行列式det 0A ≠，则线性方程组Ax b =一定有解，且解是唯一的. 例2 解线性方程组12342341242342344,3,31,73 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩ 解 由已知可得系数行列式12341234123401110111111det 16013015352073173148A ---------====≠----,因此线性方程组有唯一解.又因124234143431110311det 128,det 48,1301110137310331B B -------==-==-341244123401310113det 96,det 0.1311130107310733B B ------====--故线性方程组的解为1234(,,,)(8,3,6,0)T T x x x x =-.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的. 2.5 直接三角分解法[5]设有线性方程组11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩或写成矩阵形式Ax b =，其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若A 为非奇异矩阵，且有分解式A LU =，其中U 为上三角矩阵，L 为单位下三角矩阵，即11121212221,1111n n n n n nn u u u l u u A LU l l u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 则线性方程组Ax b =的求解等价于 解以下两个三角方程组：(1)Ly b =，求y ； (2)Ux y =，求x .直接三角形分解法求解线性方程组，基本步骤如下： 第一步： 11,(1,2,,),i i u a i n == 1111,(2,3,,)i i l a u i n ==,计算U 的第r 行，L 的第r 列元素，2,3,,r n =.第二步： 11,(,1,,)r ri ri rk ki k u a l u i r r n -==-=+∑.第三步： 11,(1,,;)r ir ir ik kr rr k l a l u u i r n r n -==(-)=+≠∑.求解Ly b =，Ux y =的计算公式如下：第四步： ()1111,,2,3,.i i i ik k k y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑第五步： 1,(),(1,2,,1).n n nn n i i ik k ii k i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=-=--⎪⎩∑例5 求解线性方程组1231212321,42,227.x x x x x x x x ++=⎧⎪+=-⎨⎪-++=⎩解 由直接三角分解法第二、三步可得211100211410210012221131004A LU ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 于是线性方程组变为LUx b =，求解线性方程组(1,2,7)T Ly =-，得(1,4,4)T y =--；求解线性方程组(1,4,4)T Ux =--，得(1,2,1)T x =-.2.6 平方根法[7]在许多应用中，欲求解的线性方程组的系数矩阵是对称正定的.所谓平方根法，就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解具有对称正定矩阵的线性方程组的一中有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组.定理6[12] 若A 的各阶顺序主子式非零，则A 可以分解为A LDU =，其中L 是单位下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵，D 是对角矩阵，且这种分解是唯一的.定理7[12] 设A 为对称正定矩阵，则存在三角分解T A LL =，其中L 是非奇异下三角形矩阵，且当限定L 的对角线元素为正时，这种分解是唯一的.应用对称正定矩阵的平方根法，可以解具有对称正定系数矩阵的线性方程组Ax b =，具体算法如下：1) 对j =1,2，，n ，计算11221()j jj jj jkk l a l -==-∑，11j ij ij ik jk k l a l l -==-∑(1,,)i j n =+.2) 求解线性方程组Ax b =等价于解两个三角方程组,.TLy b L x y =⎧⎨=⎩ 计算11()i i i ik k ii k y b l y l -==-∑，(i =1,2，，n ), 1()ni i ki kii k i x b lx l =+=-∑，(i n =,1n -,,2,1)，即可.例6 求解线性方程组12341161 4.25 2.750.5.1 2.75 3.5 1.25x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解 设1111213121222232313233334111 4.25 2.751 2.75 3.5l l l l l l l l l l l l -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 由矩阵乘法得1121223132332,0.5,2,0.5, 1.5, 1.l l l l l l ==-====解下三角方程组123260.520.50.5 1.51 1.25y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得1233,0.5,1,y y y ===-再由123230.520.50.5 1.511Tx x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得线性方程组的解为123(,,)(2,1,1)T T x x x =-.可以用消元法解此方程组,但发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵，运用平方根法解这个方程组比较容易，而且理论分析指出，解对称正定方程组的平方根法是一个稳定的算法，其在工程计算中使用比较广泛. 2.7 追赶法[5]在许多实际问题中，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角方程组11112222211111iiii i n n n n n nn n n x k b c x k a b c a b c x k a b c x k a b x k -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 简记作 Ax k =， 其中A 满足下列对角占优条件：(1) 110b c >>;(2) i i i b a c ≥+, i a ,i c 0≠(i =2,3, ,1n -);(3) 0n n b c >>.由系数矩阵A 的特点，可以将A 分解为两个三角矩阵的乘积，即A LU =，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵.求解线性方程组Ax k =等价于解两个三角方程组Ly k =与Ux y =，先后求y 与x ，从而得到以下解三角方程组的追赶法公式：第一步：计算的递推公式111c b β=，1()i i i i i c b a ββ-=-，(2i =，3，，1)n -;第二步：解Ly k =：111y k b =，11()()i i i i i i i y k a y b a β--=--，(2,3,,)i n =;第三步：解Ux y =：n n x y =，1i i i i x y x β+=-，(1,2,,2,1)i n n =--.例7 求解三对角线性方程组123421001131020111200210x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解 设有三角分解111122222233333344441111b c p q a b c a p q a b c a p q a b a p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由矩阵乘法易得111,,1,2,3.,2,3,4.i i i ii i i p b q c p i p b a q i -=⎧⎪==⎨⎪=-=⎩ 将已知系数矩阵的元素代人上式有11223342,12,52,25,35,53,73.p q p q p q p ==⎧⎪==⎪⎨==⎪⎪=⎩ 解线性方程组112233441121220p y p y p y p y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 得123412,35,73, 2.y y y y ====再解线性方程组111222333441111x y q x y q x y q x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得原线性方程组的为1234(,,,)(0,1,1,2)T T x x x x =-.追赶法是以LU 分解为基础的求解方法，因此它的不足之处是当某个0=k u 时，就不能进行.但是当方程组的系数矩阵A 中有很多零元素时，利用三对角方程组系数矩阵的稀疏性，使零元素不参加运算，可以类似于追赶法来简化计算过程，从而极大地节省了计算量和存储量.这也是追赶法的最大特点.3. 应用举例3.1 线性方程组在解析几何中的应用例8 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=，2L ：230bx cy a ++=，3L ：230cx ay b ++=，试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L ，2L ，3L 交于一点，则线性方程组232323ax by cbx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩ ()iii有惟一解，故系数矩阵222a b A b c c a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵232323a b c A b c a c a b --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩均为2，于是0A -=，即22223236()()23a bcA bc a a b c a b c ab ac bc ca b--=-=++++----=0,所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=，则从必要性的证明可知，0A -=，故()3r A -<.由于22222132()2[()]2[()]0224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠, 故()()2r A r A -==.因此线性方程组()iii 有惟一解，即三直线1L ，2L ，3L 交于一点. 3.2 线性方程组在产品生产量中的应用例9 设有一个经济系统包括3个部门，在某一个生产周期内各部门间的消耗及最终产品如表所示：求各部门的总产品.解 设i x 表示第i 部门的总产品.由已知可以得到线性方程组()I A x y -=，其中0.250.10.1()0.20.20.10.10.10.2ij A a ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.750.10.10.20.80.10.10.10.8I A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，(245,90,175)T y =. 利用矩阵的初等变换可以求得1126181810()34118198912017116I A -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以线性方程组()I A x y -=的解为消耗系数 消耗部门 生产部门123最终产品1 0.25 0.1 0.1 2452 0.2 0.2 0.1 90 30.10.10.21751126181824540010()3411819902508912017116175300x I A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 4. 结束语本文针对不同的线性方程组给出了一些计算方法，及线性方程组的应用实例.根据线性方程组自身所具有的特点，可以选择相应合适的方法，而对于那些特殊类型的线性方程组的解法，有待进一步的讨论与研究．参考文献：[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.105-112.[2] 白梅花. 线性方程组若干应用实例举例[J].科技资讯,2011,(27):200-201.[3] 康道坤，陈劲. 广义逆下线性方程组的解结构及其推广[J].大理学院学报,2011，10(4):7-9. [4] 卢刚.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社,2002.64-72.[5] 李庆扬，王能超，易大义. 数值分析[M].4版.武汉：华中科技大学出版社,2006.177-185. [6] 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论[M].北京：科学出版社,2006.200-206. [7] 首都师范大学数学系组编. 数值分析[M].北京：科学出版社,2000.28-32.[8] 徐仲，张凯院，陆全，等. 矩阵论简明教程[M].2版.北京：科学出版社,2005.141-147. [9] 谢寿才，陈渊. 大学数学[M].北京：科学出版社,2010.37-40.[10] 徐仲，张凯院，陆全. 矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社,2002.228-245.[11] 尹钊，钟卫民，赵丽君. 线性方程组的广义逆矩阵解法[J].哈尔滨师范大学自然科学学 报,1999,15(5):21-22. [12] 张明淳. 工程矩阵理论[M].1版.南京：东南大学出版社,1995.172-173.[13] 赵树嫄. 线性代数(经济应用数学基础)[M].4版.北京：中国人民大学出版社,2008.150-157.。

《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。

微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。

本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。

本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。

-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。

- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。

2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。

3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。

-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。

4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。

-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。

-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。

6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。

《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。

教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。

1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。

教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。

第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。

教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。

教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。

2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。

教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。

第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。

教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。

教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。

3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。

教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。

第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。

教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。

教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。

4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。