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作 业 9—1一.填空:1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=Dd x yf 1)(σ，则⋅=b adx x f )(2 .解：⎰⎰=Dd x yf σ)(⎰⎰⋅=baydy dx x f 1)(21⎰⋅badx x f )( 故⎰⋅=badx x f )( 22.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且⎰⎰⎰⋅=Ddx x dxdy x f 1)()(ϕ,那么.=)(x ϕ)()1(x f x -解：⎰⎰=Ddxdy x f )(⎰⎰-⋅=xdy x f xdx 1010)(⎰⋅-10)()1(dx x f x ⎰⋅=1)(dx x ϕ二、单项选择题：1． 设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）处，记1I =⎰⎰---12222D xy x y dxdy e;2I =⎰⎰---22222D xy x y dxdy e;3I =⎰⎰---32222D xy x y dxdy e.则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记1I =⎰⎰Dd yx σ3;2I =⎰⎰Dd x y σ32;3I =⎰⎰Dd x y σ321.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故212y y y <<，而03<x ，从而323321x y yx x y <<，选（C ）。
三．利用二重积分定义证明： 1．σσ=⎰⎰Dd （其中σ为D 的面积）解：ini iiDf d σηξσλ∑⎰⎰=→∆=⋅10),(lim 1i ni σλ∑=→∆⋅=11limσσσλλ==∆=→=→∑01lim limini故 σσ=⎰⎰Dd （其中λ是各iσ∆的最大直径）2．k d y x kf D=⎰⎰σ),(⎰⎰Dd y x f σ),( （其中k 为常数）解：=⎰⎰Dd y x kf σ),( ini iif σηξλ∑=→∆1),(lim i ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(limi ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(lim ⎰⎰=Dd y x f k σ),( （k 为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=Dy x y x d y x xy I 其中Ｄσ解： 10,10≤≤≤≤y x∴2)(0≤+≤y x xy∴⎰⎰⎰⎰≤≤+≤DDd d y x xy 22)(0σσ2．}4|),{(,)49(22⎰⎰≤+=++=Dy x d y x I ２２ｙｘ其中Ｄσ 解： 中在D ,422ππσ=⋅=,()22222249499yx y x y x ++≤++≤++2549922≤++≤y x∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰DDd y x d即 ππ10036≤≤I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰++DDd y x d y x σσ32)()(与其中积分区域D 是由圆周2)1()2(22=-+-y x 所围成。
第九章 再论实数系§1 实数连续性的等价描述1．求数列}{n x 的上、下确界（若}{n x 无上（下）确界，则称)(-∞∞+是}{n x 的上（下）确界）：（1）nx n 11-=； （2）])2(2[n n n x -+=；（3）)3,2,1(11,122 =+==+k k x k x k k ； （4）nn x n n 1])1(1[+-+=；（5）nn n nx )1(21-+=；（6）32cos 11πn n n x n +-=． 解（1）0}inf{,1}sup{==n n x x ； （2）-∞=+∞=}inf{,}sup{n n x x ； （3）1}inf{,}sup{=+∞=n n x x ； （4）0}inf{,3}sup{==n n x x ； （5）1}inf{,5}sup{==n n x x ； （6）21}inf {,1}sup{-==n n x x ． 2．设)(x f 在D 上定义，求证： (1) )}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-；(2) )}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-．证明 (1)设a x f =)}(inf{，则D x ∈∀，都有a x f ≥)(，因而a x f -≤-)(，又由于0>∀ε，都D x ∈∃ε，使得εε+<a x f )(，因而εε-->-a x f )(，因此)}({inf )}({sup x f x f Dx Dx ∈∈-=-.(2) 设b x f Dx =∈)}({sup ，则D x ∈∀有b x f ≤)(，从而b x f -≥-)(，又由于,0>∀ε都D x ∈∃ε，使得εε->b x f )(，从而εε+-<-b x f )(，因此)}({sup )}({inf x f x f Dx Dx ∈∈-=-.3．设E sup =β，且E ∉β，试证自E 中可选取数列}{n x 且n x 互不相同，使β=∞→n n x lim ；又若E ∈β，则情形如何？证明 由已知条件知E sup =β且E ∉β，因而(1) E x ∈∀，有β<x ；(2) 0>∀ε，都存在E x ∈ε，使得εβε->x ． 由(1)、(2)知：对1=ε，存在E x ∈1，使得ββ<<-11x ；对},21min{1x -=βε，E x ∈∃2，使得ββ<<-221x 并且112)(x x x =-->ββ；对},31min{2x -=βε，E x ∈∃3，使得ββ<<-231x 并且223)(x x x =-->ββ；…如此继续下去，得数列}{n x 且n x 互不相同，并且β=∞→n n x lim ．若E ∈β，则结论不真，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n E 1，则1s u p =E ，但没有n x 互不相同的数列}{n x ，使1lim =∞→n n x ．4． 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于∞+的数列必有下确界，趋于∞-的数列必有上确界．证明 (1) 由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其必有上确界和下确界；(2) 设+∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0>n x ，因而}0,,,,min{21N x x x 是数列}{n x 的下界，由确界原理知数列}{n x 存在下确界；(3) 设-∞=∞→n n x lim ，则N ∃，当N n >时0<n x ，因而}0,,,,max{21N x x x 是数列}{n x 的上界，由确界定理知数列}{n x 存在上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：（1）有上确界无下确界的数列；（2）含有上确界但不含有下确界的数列； （3）既含有上确界又含有下确界的数列；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．解（1）有上确界无下确界的数列，如}{}{n x n -=有上确界1}sup{-=n x ，但无下确界；（2）含有上确界但不含有下确界的数列，如取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 1}{，则该数列含有它的上确界1}sup{=n x ，但下确界0}inf{=n x ，该数列不含有0；（3）既含有上确界又含有下确界的数列，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n x n n )1(1}{，既含有上确界1，又含有下确界0；（4）既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限，如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-∈+==++.,213;,121Z k k n nZ k k n n x n则数列}{n x 有上确界3和下确界0，该数列}{n x 上含其上、下确界3和0．§2 实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4．证明 设数列}{n x 有界，即存在R b a ∈,，使得对N n ∈∀，都有b x a n ≤≤．下证}{n x 有收敛子列．（1）若}{n x 存在子列}{k n x 是常数列，则}{k n x 是}{n x 的收敛子列．（2）若}{n x 不存在是常数列的子列，下证}{n x 有收敛子列，为此设}|{N n x X n ∈=，则X 是无限点集．反设}{n x 没有收敛的子数列，则],[b a x ∈∀都不是}{n x 的任一子数列的极限，因此对],[b a x ∈∀，都存在开区间),(x x x v u I =，使得x I x ∈且X I x 是有限集（否则对包含x的任一开区间),(x x v u 都有X 的无穷项，则x 是}{n x 的某一子列的极限），因此所有开区间x I 构成闭区间],[b a 的一个开覆盖Ω，由有限覆盖定理知存在有限数m ，使i x mi I b a 1],[=⊂ ，因而有)()()()()(],[3211X I X I X I X I X I X b a m i x x x x x mi =⊂=，注意到上式右端每一项都是有限集，故X b a ],[为有限集，矛盾!综合（1）（2）知}{n x 必有一收敛的子数列． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．证明 设数列}{n x 单调递增且有上界，则}{n x 是有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛子数列}{k n x ，设c x k n k =∞→lim ，则由}{n x 单调递增知c 必为数列}{n x 的上界，且根据数列极限的定义知,,0K ∃>∀ε当K k >时，有ε<-c x k n ，即εε+<<-c x c k n ，特别地 ε->+c x K n 1，取1+=k n N ，则当1+=>k n N n 时，由数列}{n x 单调递增且c 为它的上界知εε+<≤≤<-+c c x x c n n K 1，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，即单调递增有上界数列必有极限．同理可证}{n x 单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立．3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．证明 不妨假设数列}{n x 单调递增有上界（}{n x 单调递减有下界可同理证明)，即存在R b ∈，使得b x x x a n ≤≤≤≤≤= 21，下证数列}{n x 有极限．若b a =，则}{n x 为常驻列，故}{n x 收敛，因而以下假设b a <． 取b b a a ==11,，二等分区间],[11b a ，分点为211b a +，若211b a +仍为}{n x 的上界，则令2,11212b a b a a +==；若211b a +不是}{n x 的上界，即存在m ，使211b a x m +>，则令12112,2b b b a a =+=. 二等分区间],[22b a ，分点为222b a +，若222b a +为}{n x 的上界，则令2,22323b a b a a +==；若222b a +不是}{n x 的上界，则令 .,223223b b b a a =+=依此类推得一闭区间套{}],[n n b a ，每一个区间的右端点都是}{n x 的上界，由闭区间套定理知存在唯一的R c ∈，使得c 属于所有闭区间，下证数列}{n x 的极限为c ．由于02lim)(lim 1=-=--∞→∞→n n n n n ab a b ，故根据数列极限的定义，0>∀ε，存在N ，当N n >时，都有2ε<-n n a b ，而],[n n b a c ∈，故),(],[εε+-⊂c c b a n n . （*）另一方面，由闭区间套的构造知K ∃，使得n K n b x a ≤≤，故对K n >∀，由于K n x x >，故n n K n b x x a ≤≤≤. 而由（*）知εε+<<-c x c n ，即ε<-c x n ，从而c x n n =∞→lim ，因而单调有界数列必有极限.4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样？若将条件⊃⊃],[],[2211b a b a 去掉或将条件0→-n n a b 去掉，结果怎样？试举例说明．分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0满足001lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 且 ⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊃⎥⎦⎤⎢⎣⎡n 1,031,021,011,0，但不存在r ，使r 属于所有区间．（2）若将定理其它条件不变，去掉条件 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，则定理仍不成立，如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n n 1,是闭区间列，且0→-n n a b ，但显然不存在r ，使r 属于所有区间． （3）若去掉定理条件0→-n n a b ，则定理仍不成立，如闭区间序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 13,11满足 ⊃⊃],[],[2211b a b a ，此时区间]3,1[内任意一点都属于闭区间序列的任何区间，与唯一性矛盾．5．若}{n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列∞→k n x ,a x k m →（a 为有限数）． 证明 由于}{n x 无界，故N k ∈∀，都存在k n x ，使得k x k n >，因而∞=∞→k n k x lim ．又由于}{n x 不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知0M ∃，对0>∀K ，存在K m k >，使得0||M x k m <. 从而对于0>∀K ，数列}{k m x 为有界数列，从而必有收敛子列}{k m x ．故结论成立．6．有界数列}{n x 若不收敛，则必存在两个子列b x a x k k m n →→,)(b a ≠． 证明 由于}{n x 为有界数列，由紧致性定理知数列}{n x 必有收敛的子列}{k n x ，不妨设)(∞→→k a x k n ，又因为数列}{n x 不收敛于a ，故从}{n x 中去掉}{k n x 后所得的项还有无穷多项(否则数列}{n x 就收敛于a )．记其为数列}{k n x ，又因为}{k n x 为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为b ，则b a ≠，而此子列也是}{n x 的子列，故设其为}{k m x ，因而)(lim b a b x k m k ≠=∞→.7．求证：数列}{n a 有界的充要条件是，}{n a 的任何子数列}{k n a 都有收敛的子数列． 证明 必要性：由紧致性定理知结论成立．充分性：反设数列}{n a 无界．若}{n a 是无穷大量，则}{n a 的任何子列都不存在收敛的子列，矛盾；若}{n a 不是无穷大量，则由第5题知}{n a 有一子列}{k n a 是无穷大量，从而}{k n a 没有收敛的子数列，也矛盾．因而数列}{n a 有界．8．设)(x f 在],[b a 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：)(x f 在],[b a 上有界．证明 对],[b a t ∈∀，由于)(x f 在t 处的极限存在，故设A x f tx =→)(lim ，则对01>=ε，存在0>t δ，x ∀，当t t x δ<-<||0时，有1)(=<-εA x f ，从而1||)(+<A x f ，取{}1||),(max +=A t f M ，则),(t t t t x δδ--∈∀，都有M x f <)(，即)(x f 在区间),(t t t t δδ--上有界．对所有],[b a t ∈，在1=ε下所取的t δ为半径的开区间{}],[|),(b a t t t t t ∈+-δδ构成闭区间],[b a 上的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在],[,,,21b a t t t n ∈ ，使得),(],[1i i t i t i ni t t b a δδ+-⊂= ，而)(x f 在每个区间),(i i t i t i t t δδ+-),,2,1(n i =上有界，又由于区间个数有限，故)(x f在],[b a 上有界．9．设)(x f 在],[b a 无界，求证：存在],[b a c ∈，对任意0>δ，函数)(x f 在],[),(b a c c δδ+-上无界．证明 反设结论不真，即],[b a c ∈∀，0>∃c δ，函数)(x f 在],[),(b a c c c c δδ+-上有界，则对所有的c ，{}],[|),(b a c c c c c ∈+-δδ构成区间],[b a 的一个开覆盖，由有限覆盖定理知其有有限子覆盖，即],[,,,21b a c c c n ∈∃ ，使),(],[1i i c i c i ni c c b a δδ+-⊂= ，由于函数在每一个],[),(b a c c i i c i c i δδ+-有界，而n 是有限数，故)(x f 在],[b a 有界，矛盾．因此结论成立.10．设)(x f 是),(b a 上的凸函数，且有上界，求证：)(lim ),(lim x f x f bx ax -+→→存在． 证明 由于)(x f 在),(b a 上有上界，故0>∃M ，对M x f b a x ≤∈∀)(),,(．先证明)(lim x f bx -→存在. 在区间),(b a 中任取一点0x ，并令 00)()()(x x x f x f x g --=，则由)(x f 是),(b a 上的凸函数知)(x g 在),(0b x 上递增，在),(0b x 中任取一点1x ，考察区间),(1b x ，),(1b x x ∈∀，由于1000)()()()(x x x f M x x x f x f x g --≤--=，即)(x g 在),(1b x 上有上界，从而)(x g 在),(1b x 上单调递增且有上界，由定理3．12知)(lim x g b x -→存在，不妨令A x g bx =-→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f x b A x f x x x f x f x x x f b x b x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=--→→， 即)(lim x f bx -→存在． 再证明)(lim x f ax +→存在. 由于)(x f 是),(b a 上的凸函数，从而)(x g 在),(0x a 上递增，在),(0x a 中任取一点2x ，考察区间),(2x a ，),(2x a x ∈∀，由于ax Mx f x x x f x f x x x f x f x g --≥--=--=000000)()()()()()(， 即)(x g 在),(2x a 上有下界，从而)(x g 在),(2x a 上单调递增且有下界，由定理3．12的推论知)(lim x g ax +→存在，设B x g ax =+→)(lim ，则 )()()()()()(lim )(lim 000000x f B x a x f x x x f x f x x x f a x a x +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⋅-=++→→， 即)(lim x f ax +→也存在． 11．设)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，定义)0()0()(--+=x f x f x ω.求证：任意εωε≥>)(,0x 的点x 只有有限多个．证明 反证法，使用区间套定理. 根据结论，反设存在00>ε，在],[b a 上使0)(εω≥x 的点有无限多个．记],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+111111,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+222222,2,2,b b a b a a 中至少有一个区间含有无限多个x 使0)(εω≥x ，记此区间为 ],,[33b a ，如此继续下去，得闭区间套],[n n b a ，且每个区间],[n n b a 中含有无限多个x 使0)(εω≥x ．由区间套定理可知存在唯一 ,2,1],,[=∈n b a r n n由于)(x f 在],[b a 上只有第一类间断点，而],[b a r ∈，故)0(+r f 和)0(-r f 存在，设B r f A r f =-=+)0(,)0(，则对上述00>ε，存在),(,011δδ+∈∀>r r x 时，有2)(0ε<-A x f ，即2)(2εε+<<-A x f A ，从而由极限不等式知，当),(1δ+∈r r x 时，0)(εω<x ；同理存在),(,022r r x δδ-∈∀>时，0)(εω<x ．取{}21,min δδδ=，则在),(δδ+-r r 上满足0)(εω≥x 的点至多只能有r 一个点．而根据区间套性质知，N n N >∀∃,时，都有),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，从而在],[n n b a 中最多只能有一个点，使得0)(εω≥x ，这与区间套的构造矛盾．故原结论成立．12．设)(x f 在],0[+∞上连续且有界，对),(+∞-∞∈∀a ，a x f =)(在),0[+∞上只有有限个根或无根，求证：)(lim x f x +∞→存在．证明 由)(x f 在],0[+∞上有界知)(x f 在],0[+∞上既有上界又有下界，不妨设上界为v ，下界为u ，若v u =，则v u x f x ==+∞→)(lim ，结论必然成立，故以下假定v u <． 令],[],[11v u v u =，二等分区间],[11v u ，分点为211v u +，由于2)(11v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根，而且)(x f 连续，因而11,0X x X >∀>∃时，有2)(11v u x f +>或2)(11v u x f +<．若2)(11v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=11122,2],[v v u v u ，若2)(11v u x f +<，则令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[11122v u u v u ，因此1X x >∀时，],[)(22v u x f ∈，即22)(v x f u ≤≤．二等分区间],[22v u ，分点为222v u +，由于2)(22v u x f +=在),0[+∞上只有有限个根或无根且)(x f 连续，故212,X x X X >∀>∃时，有2)(22v u x f +>或2)(22v u x f +<．若2)(22v u x f +>，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22233,2],[v v u v u ，反之令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2,],[22233v u u v u ，因此2X x >∀时，],[)(33v u x f ∈，即33)(v x f u ≤≤. 依此类推，得一区间套]},{[n n v u ，而且由区间套的构造知，n n n X x X X >∀>∃-,1时，n n v x f u ≤≤)(．由区间套定理知存在唯一的 ,2,1],,[=∈n v u r n n ，下证r x f x =+∞→)(lim ．事实上，对0>∀ε，由闭区间套]},{[n n v u 的构造知，存在N ，N n >∀时，有),(],[εε+-⊂r r v u n n ，特别地取1+=N n ，则),(],[11εε+-⊂++r r v u N N ，按区间套的构造知11,++>∀∃N N X x X 时，),(],[)(11εε+-⊂∈++r r v u x f N N ，即εε+<<-r x f r )(，从而ε<-r x f )(，即r x f x =+∞→)(lim ，也就是说)(lim x f x +∞→存在．§3 实数的完备性1．设)(x f 在),(b a 连续，求证：)(x f 在),(b a 一致连续的充要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f b x -→都存在．证明 )⇒必要性由)(x f 在),(b a 一致连续知，0,0>∃>∀δε，),(,b a x x ∈'''∀且δ<''-'||x x 时，都有ε<''-')()(x f x f .特别地，当),(,δ+∈'''a a x x 时，δ<''-'x x ，故ε<''-')()(x f x f ，由Cauchy 收敛原理知)(lim x f a x +→存在．同理可知)(lim x f b x -→也存在．)⇐充分性证法1 0>∀ε，由)(lim x f a x +→存在知1δ∃，),(,1δ+∈'''∀a a x x 时，ε<''-')()(x f x f ，又由于)(lim x f b x -→也存在，故2δ∃，),(,2b b x x δ-∈'''∀时，ε<''-')()(x f x f ．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,2,2min 21a b δδδ，则由以上两条知)(x f 在),[],,(b b a a δδ-+上一致连续，而又因为)(x f 在],[δδ-+b a 上连续，因而一致连续，因此)(x f 在],(δ+a a 、],[δδ-+b a 、),[b b δ-上均一致连续，因此)(x f 在),(b a 一致连续．证法2 由已知)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→ 都存在，设B x f A x f bx ax ==-+→→)(lim ,)(lim ，令⎪⎩⎪⎨⎧=∈==.);,()(;)(b x B b a x x f a x Ax F则)(x F 在],[b a 连续，因而一致连续，从而)(x F 在),(b a 一致连续，而)(x F 在),(b a 上就是)(x f ，因而)(x f 在),(b a 上一致连续．2．求证数列nx n 1211+++= ，当∞→n 时的极限不存在．证明 利用Cauchy 收敛原理的否定形式证明． 取0,0210>∀>=N ε，任取N n >，则N n >2，从而 nn n x x n n 2121112+++++=-021212121212111ε==+++>+++++>n n n n n n ， 由Cauchy 收敛原理的否定知数列nx n 1211+++= 当∞→n 时的极限不存在．3．利用Cauchy 收敛原理讨论下列数列的收敛性． （1）)||,1||(2210M a q q a q a q a a x k n n n ≤<++++= ；（2）n n n x 2sin 22sin 21sin 12++++= ； （3）nx n n 1)1(312111+-+-+-= ． 解（1）0>∀ε，由1||<q 知0lim 1=+∞→n n q，从而N ∃，N n >∀时，有εMq qn ||1||1-<+，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有m n n m n n m n x x x x x x x x +++≤+++=-++++ 2121++=++++≤++++++221121||||||||n n n n m n n q a q a x x x ()εε=-⋅-<-=++≤+++Mq q M q q M q q M n n n ||1||1||1||||||121.由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．（2）这是(1)中21,sin ,10===q k a a k 的特殊情形，由于21||,1<≤q a k ，故数列}{n x 收敛．（3）证法1 利用Cauchy 收敛原理.0>∀ε，由01lim=∞→n n 知，N ∃，N n >∀时ε<n1，对上述N m n N >∀,,时（不妨n m >），有 mn n x x m n n m n 1)1(21)1(11)1(132+++-+++-++-=- mn n n m 1)1(21111---+++-+=. 由于01)1(21111>-+++-+--mn n n m ，故 mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- .若n m -为偶数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- m m m n n n 11121312111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+= ε<+≤11n . 若n m -为奇数，则mn n x x n m m n 1)1(21111---+++-+=- ⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=m m n n n 111312111 ε<+≤11n . 因而由Cauchy 收敛原理知数列}{n x 收敛．证法2 先考虑数列}{n x 的偶子列}{2n x ，由于22131211221)1(3121132)1(2+--+-=+-+-+-=++n n x n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221121211214131211n n n nn x n n 2211214131211=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-> ，故偶子列}{2n x 是单调递增的数列，又由于1211213121121)1(31211122<⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-+-=+n n n x n n ， 因而偶子列}{2n x 是单调上升且有上界的数列，由单调有界原理知}{2n x 必有极限存在，设a x n n =∞→2lim . 又由于121212++=+n x x n n 且0121lim =+∞→n n ，从而 a n x x n n n n n =++=∞→∞→+∞→121lim lim lim 212. 于是我们证得数列}{n x 的奇、偶子列均收敛而且极限相同，故数列}{n x 收敛.4．证明：极限)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：对任意给定0>ε，存在0>δ，当δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性设A x f x x =→)(lim 0，则δδε<-<∀>∃>∀00,,0,0x x x ，就有2)(ε<-A x f ，因此由δ<-'<00x x ,δ<-''<00x x 知ε<-''+-'<-''--'=''-'A x f A x f A x f A x f x f x f )()())(())(()()(，因而必要性成立.)⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→且0x x n ≠的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f .对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，且0x x n ≠，故N n N >∀∃,时，有δ<-<||00x x n ；N m >∀时，有δ<-<||00x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 都有极限)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=， 由}{n y 的构造知)(lim 00x y x y n n n ≠=∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而任意趋向于0x 而不等于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在．而且它们的极限都相等．由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．5．证明)(x f 在0x 点连续的充要条件是：任给0>ε，存在0>ε，当δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，恒有ε<''-')()(x f x f .证明 )⇒必要性由)(x f 在0x 点连续知)()(lim 00x f x f x x =→，故δδε<-∀>∃>∀0,,0,0x x x ，就有2)()(0ε<-x f x f ，因此由δ<-'0x x ，δ<-''0x x 知))()(())()(()()(00x f x f x f x f x f x f -''--'=''-'ε<-''+-'≤)()()()(00x f x f x f x f .因而必要性成立. )⇐充分性设}{n x 是任意满足0lim x x n n =∞→的数列，由已知0,0>∃>∀δε，只要δ<-'0x x ，δ<-''0x x 时，就有ε<''-')()(x f x f ．对上述0>δ，由于0lim x x n n =∞→，故N n N >∀∃,时，有δ<-||0x x n ，N m >∀时，有δ<-||0x x m ，于是ε<-)()(m n x f x f ，即)}({n x f 是基本列，由实数列的Cauchy 收敛准则知)(lim n n x f ∞→存在．由}{n x 的取法知任意趋向于0x 的实数列}{n x ，)(lim n n x f ∞→存在．下证它们的极限都相等．反设)(lim ),(lim 0000x x x x x x x x n nn n n n ≠'='≠=∞→∞→，但)(lim )(lim n n n n x f x f '≠∞→∞→，则定义一个新的数列},,,,{}{2211 x x x x y n ''=， 由}{n y 的构造知0lim x y n n =∞→，但)(lim n n y f ∞→有两个子序列极限不相等，故极限)(lim n n y f ∞→不存在，矛盾．从而，任意趋向于0x 的实数列}{n x 构成的数列)(n x f 都有极限存在，而且极限都相等，由Heine 归结原则知)(lim 0x f x x →存在．特别地，取}{n x 为恒为0x 的常数列，则可得)()(lim 0x f x f n n =∞→，即)()(lim 00x f x f x x =→，从而)(x f 在0x 点连续．6．证明下列极限不存在： （1）32cos11πn n n x n +-=； （2）nn n nx )1(21-+=；（3）)sin(2n n x n +=π；（4）n x n cos =； （5）n x n tan =.解（1）取}{n x 的两个子序列，当k n 3=时，131336cos 13133+-=+-=k k k k k x k π，从而可以得到1lim 3=∞→k k x ．而当13+=k n 时，233213)13(2cos 23313+⋅-=++=+k k k k k x k π，从而21lim 13-=+∞→k k x .}{n x 的两个子序列极限不等，故}{n x 的极限不存在． （2）对}{n x 的奇子列，由于121212211+++⎪⎭⎫⎝⎛+=k k k x ，而且12lim 12=+∞→k k ，故1lim 12=+∞→k k x ；对}{n x 的偶子列，由于k k k x 22221+=，而222212222→⋅≤+≤k k k ，故2lim 2=∞→k k x ．原数列的奇子列与偶子列极限不同，故}{n x 的极限不存在．（3）由于()21lim2=-+∞→n n nn ，故取41=ε，则存在00,N n N >∀时 41212=<--+εn n n ， 从而 4121412<--+<-n n n ， 即 43412+<+<+n n n n ，从而 ()πππππ43412+<+<+n n n n .当n 为偶数时，由于ααπsin )sin(=+n ，从而由上式知()1sin 222≤+=≤n n x n π；当n 为奇数时，由于ααπsin )sin(-=+n ，从而()22sin 12-≤+=≤-n n x n π． 因此取220=ε，对N ∀，任取},max{0N N n >，则},max{10N N n >+，而且n x 和1+n x 一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22内，另一个在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,1内，从而0122ε=>-+n n x x ，由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{n x 极限不存在．（4）取1sin 20=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得142+>+N k ππ，在⎪⎭⎫⎝⎛++432,42ππππk k 区间上，由于区间长度12>π，从而存在N n >，使得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∈+432,421ππππk k n ，对于n 和2+n ，有1sin )1sin(222sin 22sin2cos )2cos(+=-+++=-+n nn n n n n 01sin 21sin 222ε==⋅≥， 由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{cos }{n x n =极限不存在．（5）取0330>=ε，对N ∀，由阿基米德公理知，存在+∈N k ，使得N k >π，由于⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 的区间长度13>π，从而在⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,6ππππk k 中有一个或两个大于N 的正整数点．若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中只有一个正整数点n ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∈+ππππππππ)1(,2)1(22,21k k k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n ； 若在⎪⎭⎫⎝⎛++2,6ππππk k 中有两个大于N 的正整数点，则取较大的正整数为n ，同样，⎪⎭⎫⎝⎛+-+∈+πππ)1(,2)1(1k k n ，从而0336tantan )1tan(tan tan )1tan(επ==>>+-=-+n n n n n . 由Cauchy 收敛原理的否定形式知数列}{tan }{n x n =极限不存在．7．设)(x f 在),(+∞a 上可导，|)(|x f '单调下降，且)(lim x f x +∞→存在，求证：0)(lim ='+∞→x f x x .证明 由于)(lim x f x +∞→存在，由Cauchy 收敛原理，0,0>∃>∀X ε，当X x>2时，也有X x >，从而22)(ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f x f ．又因为)(x f 在),(+∞a 可导，故)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛x x ,2上满足Lagrange 中值定理条件，因而⎪⎭⎫⎝⎛∈∃x x ,2ξ，使得2)(2)(x f x f x f ξ'=⎪⎭⎫⎝⎛-，从而)(2)(2ξf x x f x f '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又根据)(x f '单调下降得εεξξ=⋅<⎪⎭⎫⎝⎛-='='≤'='222)(2)()()()(x f x f f x f x x f x x f x ，因此0)(lim ='+∞→x f x x .8．设)(x f 在),(+∞-∞可导，且1)(<≤'k x f ，任给0x ，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，求证：(1) n n x +∞→lim 存在；(2) 上述极限为)(x f x =的根，且是唯一的．证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln )1(ln1--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-||n m x x .由已知)(x f 在),(+∞-∞可导，故由Lagrange 中值定理得1111))(()()(---+-≤-'=-=-n n n n n n n n x x k x x f x f x f x x ξ，同理 ,211----≤-n n n n x x k x x ，依此类推得011x x k x x nn n -≤-+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--010111)(x x kk x x kk nn n--=-++<+ .由于k x x k N n ln )1(ln1--=>ε，而1<k ，从而01)1(lnln x x k k n --<ε，故ε<--=-011x x kk x x nn m ，因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）由于)(x f 在),(+∞-∞可导，因而连续，在)(1n n x f x =+两边同时对∞→n 取极限，则)lim (lim n n n n x f x +∞→+∞→=，即n n x +∞→lim 是)(x f x =的根，下证唯一性．反设有)(,b a b a ≠，且)(a f a =，)(b f b =，则b a b a k b a f b f a f b a -<-≤-⋅'=-=-)()()(ξ，矛盾，故根是唯一的．9．设)(x f 在],[b a 满足条件：（1）10],,[,,)()(<<∈∀-≤-k b a y x y x k y f x f ； （2）)(x f 的值域包含在],[b a 内．则对任意],[0b a x ∈，令),2,1,0()(1 ==+n x f x n n ，有（1）n n x +∞→lim 存在；（2）方程)(x f x =的解在],[b a 上是唯一的，这个解就是上述极限值． 证明（1）0>∀ε，取k x x k N ln ||)1(ln01--=ε，N m n >∀,，不妨m n <，下证ε<-n m x x .由已知)(1n n x f x =+，而],[0b a x ∈且)(x f 的值域包含在],[b a 内，因而对n ∀，都有],[b a x n ∈，从而01111)()(x x k x x k x f x f x x n n n n n n n -≤-≤-=---+，因此n n m m n n m m m n m x x x x x x x x x x x -++-≤-+-+-=-+-+--11111011101011)(x x k k k x x k x x k n n m n m -+++=-++-≤+--ε<--=-++<+010111)(x x kk x x kk nn n.因此由Cauchy 收敛原理知n n x +∞→lim 存在.（2）设方程)(x f x =在],[b a 上有两个不同的解d c ,，则d c d c k d f c f d c -<-<-=-)()(，矛盾，故根是唯一的．§4 再论闭区间上连续函数的性质1．设)(x f 在],[b a 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设],[b a x n ∈，使)()(lim 0x f x f n n =+∞→，求证0lim x x n n =+∞→．证明 不妨设),(0b a x ∈，当a x =0或b x =0时同理可证．对任意},min{000x b a x --<<ε，由于)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上连续，由闭区间连续函数的最值定理，)(x f 在],[0ε-x a 、],[00εε+-x x 、],[0b x ε+上均有最大值，显然)(x f 在],[00εε+-x x 上的最大值为)(0x f ，设)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，由最大值点的唯一性可知M x f >)(0．取02)(0>-Mx f ，由)()(lim 0x f x f n n =+∞→知N n N >∀∃,时，2)()()(00Mx f x f x f n -<-，即 M Mx f M x f x f x f n >+=-->2)(2)()()(000，而)(x f 在],[0ε-x a 和],[0b x ε+上的最大值为M ，故),(00εε+-∈x x x n ，即ε<-||0x x n ，从而0lim x x n n =+∞→．2．设)(x f 在],[b a 上连续，可微；又设 (1) )(max )(min x f p x f bx a bx a ≤≤≤≤<<；(2) 如果p x f =)(，则有0)(≠'x f ， 求证：p x f =)(的根只有有限多个．证明 利用区间套定理．反设p x f =)(在],[b a 上有无穷多个根，设],[],[11b a b a =，二等分区间],[11b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为],[22b a ，再二等分区间],[22b a ，则在两个子区间中必有一个区间含有p x f =)(的无穷多个根，设此区间为 ],,[33b a ．依此类推得一区间套]},{[n n b a ，由区间套的构造知p x f =)(在任意],[n n b a 有无穷多个根.由区间套定理知],[b a r ∈∃，使得对于任意],[,n n b a r N n ∈∈+．若p r f ≠)(，则令p x f x g -=)()(，)(x g 也在],[b a 连续，且0)()(≠-=p r f r g ，从而由保号性知),(,δδδ+-∈∀∃r r x 时，都有0)(≠x g ，即p x f ≠)(，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 无根，这与区间套的构造矛盾．若p r f =)(，则0)(≠'r f ，即0)()(l i m ≠--→rx r f x f rx ，从而x ∀'∃,δ，当δ'<-<||0r x 时，有0)()(≠--rx r f x f ，即p x f ≠)(，从而在),(δδ'+'-r r 上)(x f 只有一个根r ，而由区间套知N n N >∀∃,时),(],[δδ+-⊂r r b a n n ，即p x f =)(在],[n n b a 只有一个根，这与区间套的构造矛盾．因此p x f =)(在],[b a 上只有有限多个根．3．设)(x f 在],[b a 上连续，0)(,0)(><b f a f ，求证：存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 且)(0)(b x x f ≤<>ξ．证明 令],[|{b a x x E ∈=且}0)(=x f ，由于0)(,0)(><b f a f ，且)(x f 在],[b a 上连续，由介值性定理知φ≠E ，从而E 为非空有界数集，由确界原理知E 有上确界，设E sup =ξ，下证0)(=ξf ．事实上，由于E sup =ξ，由本章第一节习题3知可以在E 中选取数列}{n x ，使ξ=∞→n n x lim ，又由)(x f 连续知0)(lim )lim ()(===∞→∞→n n n n x f x f f ξ，又对于],(b x ξ∈∀，由于E x ∉，从而0)(≠x f ，又根据0)(>b f 知0)(>x f ，因而结论成立．4．设)(x f 是],[b a 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和)(M m m <，求证：必存在区间],[βα，满足条件：(1) m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα； (2) M x f m <<)(，当),(βα∈x ．证明 由于)(x f 是],[b a 上的连续函数，且有最大值M 和最小值m ，故由最值定理知],[b a c ∈∃，使得M c f =)(；],[b a d ∈∃，使得m d f =)(，由于M m <，故d c ≠，令},min{d c =α，},max{d c =β，则在区间],[βα上满足：（1）m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα；（2）对),(βα∈∀x ，由于m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα，而m M ,分别为],[b a 上的最大值和最小值，故M x f m <<)(．5．设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，求证：存在],0[a x ∈，使)()(a x f x f +=．证明 考虑辅助函数)()()(a x f x f x g +-=，],0[a x ∈.若)()0(a f f =，根据已知条件)2()0(a f f =可知，取0=x 或a x =时，均有)()(a x f x f +=，命题已证．若)()0(a f f ≠，则)()0()0(a f f g -=，)0()()2()()(f a f a f a f a g -=-=，从而)0(g 与)(a g 符号相反，由零点定理知],0[a x ∈∃，使0)(=x g ，即)()(a x f x f +=．6．设)(x f 在],[b a 上连续，且取值为整数，求证≡)(x f 常数．证明 反设)(x f 不恒为常数，则],[,21b a x x ∈∃，使得)()(21x f x f ≠，又由于)(x f 取值为整数，故)(),(21x f x f 均为整数，在)(),(21x f x f 之间任取一非整数c ，则由介值性定理知],[b a ∈∃ξ，使得c f =)(ξ，这与)(x f 取值为整数矛盾．7．设)(x f 在),(b a 一致连续，±∞≠b a ,，证明：)(x f 在],[b a 上有界．证明 由于)(x f 在],[b a 上一致连续，故取01>=ε，则0>∃δ，当δ<-21x x 时，有1)()(21<-x f x f . 取定11,b a ，其中δ+<<a a a 1，b b b <<-1δ，则],(1a a x ∈∀， 有δ<-1a x ，故1)()(1<-a f x f ，因而1)()(1+<a f x f ；同理),[1b b x ∈∀，有δ<-1b x ， 故1)()(1<-b f x f ，因而1)()(1+<b f x f ，因此)(x f 在区间],(1a a 和区间),[1b b 均有界. 另一方面，由于)(x f 在],[11b a 上一致连续，根据闭区间上连续函数的性质可知存在01>M ，使得111)(],,[M x f b a x <∈∀.取0}1)(,1)(,max{111>++=b f a f M M ，则),(b a x ∈∀，均有M x f <)(，因而)(x f 在),(b a 上有界．8. 若函数)(x f 在),(b a 上满足利普希茨（Lipschitz ）条件，即存在常数K ，使得x x K x f x f ''-'≤''-')()(，),(,b a x x ∈'''.证明：)(x f 在),(b a 上一致连续．证明 ,0>∀ε 取,21εδK=则对δ<''-'∈'''∀x x b a x x ),,(,，由Lipschitz 条件知εε<⋅<''-'≤''-'KK x x K x f x f 21)()(，因而依定义知)(x f 在),(b a 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数)(x f 在],[c a 和],[b c 上都一致连续，则)(x f 在],[b a 上也一致连续．证明 对0>∀ε，由函数)(x f 在],[c a 一致连续知01>∃δ，对],[,21c a x x ∈∀而且121δ<-x x ，就有2)()(21ε<-x f x f ；又根据函数)(x f 在],[b c 上一致连续知02>∃δ，],[,21b c x x ∈∀且221δ<-x x 时，就有2)()(21ε<-x f x f ．取},min{21δδδ=，则],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，若21,x x 同属于],[c a ，有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 同属于],[b c ，也有εε<<-2)()(21x f x f ；若21,x x 一个属于],[c a ，另一个属于],[b c ，则由δ<-21x x 知δδ<-<-c x c x 21,，从而εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(2121x f c f c f x f x f x f .因而],[,21b a x x ∈∀且δ<-21x x 时，ε<-)()(21x f x f . 因此由一致连续的定义可知)(x f 在],[b a 上一致连续.10．设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，且极限)(lim x f x -∞→与)(lim x f x +∞→存在． 证明：)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．证明 对0>∀ε，由于)(lim x f x -∞→存在，根据Cauchy 收敛原理知，存在01>X ，任意121,X x x -<时，就有ε<-)()(21x f x f ；又由于)(lim x f x +∞→存在，故存在02>X ，任意221,X x x >，就有ε<-)()(21x f x f .由于)(x f 在),(+∞-∞上连续，故)(x f 在区间]1,1[21+--X X 上连续，因而在]1,1[21+--X X 上一致连续，由一致连续的定义知，对上述0>ε，存在01>δ，任意]1),1([,2121++-∈X X x x ，只要112δ<-x x ，就有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,min{1>=δδ，则),(,21+∞-∞∈∀x x ，只要δ<-21x x ，则21,x x 同属于区间),(1X --∞、]1),1([21++-X X 或),(2+∞X ，由上述讨论知，不管在哪种情况下，都有ε<-)()(21x f x f ，因而)(x f 在),(+∞-∞上一致连续．11．若)(x f 在区间X （有穷或无穷）中具有有界的导数，即M x f ≤')(，X x ∈，则)(x f 在X 中一致连续．证明 对0>∀ε，取Mεδ=，则对任意X x x ∈21,，只要δ<-||21x x ，根据Lagrange中值定理，存在ξ在21,x x 之间，且εδξ=<-≤-'=-M x x M x x f x f x f 212121|))((|)()(，从而)(x f 在X 中一致连续．12．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．证明 由于x x x f ln )(=，故xx x xxx f 2ln 2ln 211)(+=+='，xx x x f 4ln )(-=''，令0)(=''x f 得1=x ，故1=x 是)(x f '的稳定点，当0)(),1,0(>''∈x f x ，从而)(x f '单调递增；而当0)(),,1(<''+∞∈x f x ，故)(x f '单调递减，因此1=x 是)(x f '的极大值点，也是最大值点，而1)1(='f ，从而对),0(+∞∈∀x ，1)(≤'x f ．再令0)(='x f 得2-=e x ，在区间),[2+∞-e 上，由于0)(≥'x f ，因而在),[2+∞-e 上1)(0≤'≤x f ，即1)(≤'x f ，由上题结论知)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续．此外，由于0ln lim )(lim 00==++→→x x x f x x ，若令 ⎩⎨⎧=>=.00,0ln )(x x xx x g则)(x g 在]2,0[连续，因而一致连续，从而)(x g 在]2,0(上一致连续，即)(x f 在]2,0(一致连续．对0>∀ε，由)(x f 在),[2+∞-e 上一致连续知，01>∃δ，对任意),[,221+∞∈-e x x 且121δ<-x x ，都有ε<-)()(21x f x f ；又由)(x f 在]2,0(上一致连续知，02>∃δ，对任意]2,0(,21∈x x 且221δ<-x x ，也有ε<-)()(21x f x f ．取0}1,,min{21>=δδδ，则当),0(,21+∞∈x x 且δ<-21x x 时，要么],2,0(,21∈x x 要么),[,221+∞∈-e x x ，从而ε<-)()(21x f x f ．因此x x x f ln )(=在),0(+∞上一致连续．13．设)(x f 在),(+∞a 上可导，且+∞='+∞→)(lim x f x ，求证：)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．证明 取10=ε，对0>∀δ，由于+∞='+∞→)(lim x f x ，故0>∃X ，当X x >时，有δ2)(>'x f ，任取X x >1，X x x >+=212δ，虽然有δδ<=-221x x ，但根据lagrange中值定理知，存在)2,(11δξ+∈x x ，使得02121122)()()(εδδξ==⋅>-⋅'=-x x f x f x f . 根据一致连续的否定定义知)(x f 在),(+∞a 上不一致连续．14．求证：x x x f ln )(=在),0(+∞上不一致连续．证明 由于+∞=+='+∞→+∞→)1(ln lim )(lim x x f x x ，由上题结论知结论成立．§5 可积性1. 判断下列函数在区间]1,0[上的可积性： （1）)(x f 在]1,0[上有界，不连续点为),2,1(1==n nx ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎪⎭⎫⎝⎛=;0,0],1,0(,sin sgn )(x x x x f π （3）⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=;0,0],1,0(,11)(x x x x x f（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧=∈=.0,0],1,0(,1)(1x x x f x解（1）由于)(x f 在]1,0[上有界，故存在0>M ，对]1,0[∈∀x ，都有M x f ≤)(，故在区间]1,0[的任何子区间上，)(x f 的振幅M 2≤ω.对任给0>ε，由于04lim=∞→n M n ，故N n N >∀∃,时，都有24ε<n M ，特别地取10+=N n 时，也有240ε<n M . 由于)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 上只有有限个间断点，因而是可积的，即01>∃δ，使得对区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 的任何1)max(δλ<∆='i x 的分法，都有∑<∆'''2i i i x εω．取⎭⎬⎫⎩⎨⎧=011,min n δδ，对]1,0[的任意δλ<∆=)max(i x 的分法，下证εω<∆∑=n i i i x 1.由于)1,0(10∈n ，故对上述任意分法，都存在分点00,1i i x x -，使得00011i i x n x <≤-，因而∑∑∑∑∑+=-=+==-=∆++∆≤∆+∆+∆=∆ni i iii i i ni i iii i n i i i iiiixM x M xx xx o 11111110000022ωδωωωωεεεε=+<++≤222121200n M n M， 这里最后一项210εω<∆∑+=ni i i i x 是由于[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊂+1,11,010n x i ，而)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,10n 可积，故函数在区间[]1,10+i x 可积，因而210εω<∆∑+=n i i iix ．因此0lim 1=∆∑=→ni iix ωλ，即)(x f 在]1,0[上可积．（2）由于)(x f 在]1,0[上有界，且不连续点为),2,1(1==n nx 和0=x ，根据（1）的证法知)(x f 在]1,0[上可积．（3）由于)(x f 在]1,0[上有1)(≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点为0=x 和),2,1(1==n nx ，由（2）的证法知，)(x f 在]1,0[可积． （4）由于)(x f 在]1,0[上有1)(0≤≤x f ，故)(x f 有界，而且)(x f 的不连续点只有。
第九章解答：1、（1）)271,91,31()1,1,1(----或； （2）321+； （3）→→+j i 362、（1）A （2）A3.解：方程两边对x 求导并移项得：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+2532322dx dzdx dy x dx dz z dx dy y 由此可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+---=z y y x dxdz z y z x dx dy 61094661015410169)1,1,1(=dx dy ，161)1,1,1(-=dx dz )161,169,1(-∴→＝Ｔ 所求切线方程为：1191161--=-=-z y x 法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z y x 即024916=--+z y x 4. 将锥面方程变形为： )3(0)3(),,(222≥=---=z y x z z y x F在锥面上任取一点),,(000z y x ，则曲面在该点的法向量))3(2,2,2()),,(),,,(),,,((000000000000---==→z y x z y x F z y x F z y x F n z y x 所以该点的切平面方程为 0))(3()()(000000=----+-z z z y y y x x x将顶点坐标（0,0,3）代入上方程得0)3(202020=-+--z y x 所以过锥面上任一点),,(000z y x 处的切平面都过锥面的顶点（0,0,3）。
→→→→→→+-=-+-+-=-kj i ku j u i u gradu z y x 42)2,1,1()2,1,1()2,1,1()2,1,1(.5解：方向的方向导数最处沿向量在点函数→→→+--=∴k j i P z xy u 42)2,1,1(2211)4(2|)2,1,1(|22=+-+=-grad 其最大值为6.同37.)21,0(0)24(),(0)22(2),(:2222-⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=得唯一驻点解方程组解y e y x f e y y x e y x f xyx x xx yy x xy x xx e f y e f y y x e f 22224),12(4),122(4=+=+++=求二阶导数04,08042)21,0(2>=>=-⨯=--A B AC 又处，在点21)21,0()21,0(-=--∴f 处有极小值，极小值为函数在8. 解：此题为有条件极值问题，在椭圆上任取一点),,(z y x M 则 22222||zy x OM d ++==其中点M 受到两个限制条件：⎩⎨⎧=-++==--=01),,(0),,(2221z y x z y x y x z z y x ϕϕ 作拉格朗日函数 )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x L λλ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==--==++==+-==+-=)5(01)4(0)3(02)2(022)1(0222221212121z y x y x z z L y y L x x L z y x ϕϕλλλλλλ由)5()4(,)2()1(及代入知y x =-得： x z x z 21,22-==01222=-+∴x x 故 32,231 =±-==z y x 得两个驻点)32,231,231(±-±-。
－．《高＂tt雪；＇）( ;r,乞履＞rm习IA全航44， ’ ’i，、、J·．，－一，rr－T令，，、－M－·．‘FEE－’‘．．．．l i··付守年，2－·’、fp····．，．．．、付’创刊令，－2、．四．，。
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当”、句，‘－、，．-.----－号ri咱也k fi'l企：，i(r'J ;(,) f尔1’在.i!Iii i ra、2所l'..t全微分r.. l.主R F列的数的全做分：l I ) ：二X)... ...:.. ; (2):=··-:14)u＝‘.， .( 3): sτ兰＝＝：、f叶’.，.I·．·、－= .,ii: ”l' .‘Ez－－－虫”·飞”( I ) I晏为t;_＝（，－干）‘1曹寸、－于）r1r.ii·i i·dz =ι二，I x+ , _ •h，，店，问向f t:l曾il=,l: \－二－.....,..,.h’，：1 2 l I崎＇）.J...＋二二，I‘冉、,1: d‘。
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习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式： （1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+． （4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式． 解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图： （1）)ln(x y z -=； （2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=； （4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+； （2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→； （4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--； （6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+； （2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ； 沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ． 由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ． 解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=， 该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=． 根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→； （2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→； （3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→； （4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ． （2）法1： 令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221． 法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ． （3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤， 而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ． （4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性． 解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =； （2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）； （6）z = （7）22y x xyz +=； （8）arctanx yz x y+=-； （9）yx z u =； （10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂． （2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂． （3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+． （4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++． （5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂． （6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂． （7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂， 由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂． （8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-． （9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂， 用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂； 解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu， 所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ． （2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=， 当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性． 解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂， 有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂， 由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=． 习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+； （2）22z x y =+； （3）xyz e =； （4）yxz tanln =； （5）22y x z u +=； （6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++． （3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂， 所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解 因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解 由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解： 设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以 由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值． 解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数： （1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ； （2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ； （3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ． 解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂； （2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--， （2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，； （2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=； （4）(,,)u f x xy xyz =． 解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+． （2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂． 证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂， 所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂． 证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解 令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=， 注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）： （1）),(y x xy f z +=； （2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂． （2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解 由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ： （1）1cos y x y =+； （2）yx y e 2+=； （3）xyy x arctan ln22=+；解 （1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、， 所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+． （2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=． （3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解 令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--， 当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ． 解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂． （1）21z y xz -=； （2）xyz z y x 2222=-+； （3）22)sin(xyz xyz =； （4）yz z x ln =． 解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，． 法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2， 方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂， 方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222， 即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂． （4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=， 方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解： 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ． 证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ． 解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2， 方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解： 令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z， 即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---． 法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ． （2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导， 有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ， 得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂． 方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ， 与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=； （2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=； （3）)2(e ),(2y y x y x f x++=； （4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值． 解： 由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，， 因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解 令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(， 故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解 设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ． 设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、， 根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解 设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim yx yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yx e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzyx z x 证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
第9章课后习题详解 重积分课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ∆，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
★★2.利用二重积分定义证明：（1）σσ=⎰⎰Dd （σ为区域D 的面积）；（2）⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数）；（3）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D=, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。
证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，=∙⎰⎰Dd σ1∑∑=→=→∆∙=∆n i i ni iiif 111lim ),(lim σσηξλλ∑=→∆=ni i 1lim σλσσλ==→0lim ，∴σσ=⎰⎰Dd ，其中λ是各iσ∆中的最大直径。
（2）=⎰⎰Dd y x kf σ),(∑∑=→=→∆=∆ni i i i ni iiif k kf 101),(lim ),(lim σηξσηξλλ∑=→∆=ni i i i f k 1),(lim σηξλ⎰⎰=Dd y x f k σ),(（3）将1D 任意分割成1n 个小区域{}1i σ∆，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2n 个小区域{}2i σ∆，2λ有类似的意义。
第九章 练习题一、填空 第一节1、 22222)1ln(),(y x y x y x f --+-+=的定义域是2122≤+<y x ．2、 2222911),(y x y x y x f --+-+=的定义域是9122≤+<y x ．3、 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→＝ 0 ． 4、=+-→→xyxy y x 93lim0 16- ．5、、函数y x z -=的定义域是 (){}y x y x y x ≥≥≥2,0,0/,6、函数()12ln 2+-=x y z 的定义域是 0122>+-x y7、()()=+-→11lim0,0,xy xy y x 2-. 19. ()()=-+→xyxy y x 24lim0,0,41. 8、求极限()()()yxy y x tan lim0,2,→= 29、 2210ln()lim y x y x e x y →→++= ln 2 . 第二节1、设z =zx ∂∂2、设z arctan(xy )=，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ ．22,1()1()y x xy xy ++ 3、 设223z x xy y =++，则(1,2)zx ∂∂= 8 ，(1,2)z y ∂∂= 7 .4、设y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dtdz()22sin 6cos 3t t e t t -- 5、设y x z =，而te x =，12-=t e y ，则=dt dz ()2231-+-t t t e e e6、 设(1)y z xy =+，则zx∂∂= 21(1)y y xy -+ 7、设(1)xy z x =+，则zy∂∂=(1)ln(1)xy x x x ++ 8、设y x z y3⋅=，求=∂∂∂y x z 2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y 13ln 3 。
9、函数222234x y z x ++=，则z x ∂=∂ 23z x x z∂-=∂，z y ∂=∂ 。
第九章习题解答（2） 习题9.31、 求上半球面222y x a z含在柱面ax y x 22内部的曲面面积解：被积函数为222y x a z 22222)(y x a x z x 22222)(yx a y z y --= 所以 dxdy yx a a dS 222--=积分区域为：:D ax y x =+22，化成极坐标：设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 0,22a r ≤≤≤≤-⎰⎰-=-θππθcos 02222a ra ardr d S cos 0222222)(2a r a r a d d a ⎰---=22cos 022ππθθd r a a a)2(222)sin (222220-=⋅+-=--=⎰ππθθπa a a d a a a2、 求圆锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截下的曲面面积解：被积函数为22y x z += 2222)(y x x z x += ， 2222)(yx y z y += 所以 dxdy dS 2=积分区域为：:D x y x 222=+，设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 20,22≤≤≤≤-r⎰⎰-=θππθcos 20222rdr d S ππθθππ222124cos 22222=⋅⋅==⎰-d3、 求抛物柱面221x z =含在由平面x y y x ===,0,1所围的柱体内的面积 解：被积函数为221x z = 22)(x z x = ， 0)(2=y z所以 dxdy x dS 21+=积分区域为：:D x y y x ===,0,1，0=z 围成的闭区域=+=⎰⎰x xdy x dx S 021⎰+xdx x x 0213122)1(3121)1(1211232022-=+⋅=++=⎰x x d x x 。
4、 求下列图形的形心 （1）、:D 1,0,2===x y x y ，围成的闭区域解：将密度看成1；⎰⎰⎰⎰=xDdy dx dxdy 201032221==⎰dx x 522210232010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x dy xdx xdxdy xD2112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x ydy dx ydxdy xD于是得形心坐标为：53322522~==x 82332221~==y 形心为)82353( （2）、:D θρco s 1+=，围成的闭区域 解：将密度看成1；πθ23=⎰⎰Ddr rd （前面求出的结果） dr r d rdrd r xdxdy D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+'==θπθθθθcos 10220cos cos⎰+=πθθθ203)cos 1(cos 31d +⎰πθθ20cos 31d +⎰πθθ202cos d +⎰πθθ203cos d ⎰πθθ204cos 31d +=0++⎰πθθ20)2cos 1(21d +0⎰++πθθθ20242cos 2cos 2131d=π1215242122πππ=++65231215~==ππx 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)065(（3）、:D 0,12222≥=+x by a x ，围成的闭区域解：面积ab 2π=⎰⎰⎰⎰---=2222110a xb a x b a Dxdy dx xdxdy ⎰-=adx ax x b 0221232)1(32)2(22123222ba a x ab =--= ππ34232~2a ab ba x == 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)034(πa5、 圆盘)0(222>≤+a ax y x 内各点处的密度=),(y x μ22y x +，求此圆盘的质心解：=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x 22⎰⎰-θππθcos 20222a dr r d3203332316cos 316a d a ⋅==⎰πθθ3932a ==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x 22⎰⎰-θππθθcos 20322cos a dr r d15641588cos 1641442254a a d a =⋅==⎰-ππθθ 56~a M M x y ==，由对称性得0~=y 所求质心为)056(a6、 设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心 解：设等腰直角三角形的顶点为),0(),0,(),0,0(a a 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰D dxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x )(22⎰⎰-+xa a dy y x dx 0220)( ⎰-+-=a dx x a x a x 032])(31)([⎰-+-=a dx x a x a ax 03322]31312[ 62132444a a a =-= =y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy xy x)(23⎰⎰-+xa a dy xy x dx 0230)(⎰-+-=adx x a x x a x 033])(31)([⎰-+-=a dx x x a x a ax 043223]34312[ 5555515115463121a a a a a =-+-= 由对称性得=x M =⎰⎰Ddxdy y x y ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y y x)(32⎰⎰-+ya a dx y y x dy 032)(155a = 52~a M M x y ==，52~a M M x x == 所求质心为)5252(aa 7、 设有顶角为α2，半径为R 的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心 解：设扇形顶点为)0,0(关于x 轴对称 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x)(22⎰⎰-Rdr r d 03ααθ24R α==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x )(22⎰⎰-Rdr r d 04cos θθαα5sin 2αR =5sin 4~αR M M x y == 由对称性得0~=y ，所求质心为)05sin 4(αR8、 设均匀薄片（面密度为常数)ρ，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 求y I ，l I ，其中是过原点切倾斜角为α的直线解：ab M ρπ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰123203cos dr r d b a θθπ ===⎰4cos 43202ba d abρθθρπ42Ma由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为αα2tan 1tan +-=y x dl I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰++Ddxdy xy y x )tan 2tan (tan12222αααρ⎰⎰+=Ddxdyx 222tan 1tan ααρ⎰⎰++Ddxdy y 22tan 1αρ⎰⎰+-Dxydxdy ααρ2tan 1tan 24tan 1tan 222Ma ⋅+=ααρdr r d ab ⎰⎰++1322023sin tan 1ϑθαρπdr r d b a θθθαρπ⎰⎰+-1320222sin cos tan 14tan 1tan 222Ma ⋅+=αα2tan 123παρ⋅++ab 4tan 1tan 222Ma ⋅+=αα4tan 1122Mb ⋅++ααα2222tan 1tan 4++⋅=a b M （2）、{}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0),(求y I ，l I ，其中是过原点与点),(b a 的对角线ab M ρ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰bady dx x 023323Ma ba ==ρx I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x y ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy y2⎰⎰bady y dx 0232Mb =由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为22ba ay bx d +-=l I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰-++Ddxdy abxy y a x b b a )2(222222ρ=⎰⎰+Ddxdy x ba b 2222ρ⎰⎰++Ddxdy y ba a 2222ρ⎰⎰+-Dxydxdy ba ab222ρ22223b a b Ma +=22223b a a Mb ++22222b a b a M +-)(62222b a b Ma += 习题9.41、 化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x F ),,(为三次积分（只须先,z 次对,y 后对x 一种次序）（1）、由三个坐标面与平面06236=-++z y x 围成解：23230yx z --≤≤，,220x y -≤≤10≤≤x ⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰---=yx x dz z y x f dy dx 32302201),,(（2）、由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成解：122≤≤+z y x ，,1122x y x -≤≤--11≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰+-+---=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx（3）、由圆锥面22y x z +=与上半球面222y x z --=围成解：22222y x z y x --≤≤+，,2222x y x -≤≤--22≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰--+-+---=22222222222),,(y x y x x x dz z y x f dy dx（4）、由双曲抛物面xy z =与平面0,1==+z y x 围成 解：xy z ≤≤0，,10x y -≤≤10≤≤x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx 01010),,(2、 设有一物体，点据空间闭区域{}10,10,10),,(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x 密度函数为z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量解：=++=⎰⎰⎰Ωdv z y x M )(=⎰⎰⎰Ωxdv ++⎰⎰⎰Ωydv =⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰Ωzdv 32331011==⎰⎰⎰zdz dy dx 3、 计算三重积分 （1）、⎰Ωx y d v⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++====Ω132,0,0,0),,(z y x z y x z y x ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰---=)21(30)1(2010yx x xydz dy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x ⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x 101512215105]12303010[10432=-+-=-+-=⎰dx x x x x （2）、⎰⎰⎰Ωzdv y x 22 {}x z z x y x y x z y x ==-====Ω.0,,,1),,( ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-=xxx zdz y x dy dx 02210⎰⎰-=x x dy y x dx 24102124131107==⎰dx x （3）、⎰Ωx y z d v{}0,1,,),,(=====Ωz x x y xy z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰=xyxxyzdz dy dx 01264181107==⎰dx x （4）、⎰Ωdv z 2 {}0,1),,(22=--==Ωz y x z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰------=22221021111y x x x dz z dy dx ⎰⎰--=x dy y x dx 0232210)1(311525132)1(311023220ππθπ=⋅=-=⎰⎰rdr r d （5）、⎰Ωdv z 2 {}z x y z z y x 2),,(222≤++=Ω解；积分区域是1)1(222=-++z y x ，22221111y x z y x --+≤≤---2211x y x -≤≤--111≤≤-x这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧） 任意取一点,z 则截口面积为)2(2z z dxdy -=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDdxdy dz z dv z2022dz z z )2(243⎰-=π58)542(2054ππ=-=z z4、 利用柱坐标计算 （1）⎰⎰⎰Ωzdv 其中Ω是由上半球面222y x z --=与旋转抛物面22y x z +=围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，222r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=222120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=104220]2[21dr r r r d πθ 127)61411(]2[21105320ππθπ=--=--=⎰⎰dr r r r d （2）⎰⎰⎰Ω+dv y x z22 其中Ω是由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧+==221yx z z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，12≤≤z r 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰=112202rzdz dr r d πθ⎰⎰-=104220]1[21dr r r d πθ 214)7131(][21106220ππθπ=-=-=⎰⎰dr r r d5、设密度为常量μ的均匀物体占据由223y x z --=与0,1,1=±=±=z y x 围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域 就是{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D （1）、=M ⎰Ωdv μ ⎰⎰⎰----=22301111y x dz dy dx μ⎰⎰--=-12211)3(2dy y x dx μμμμ328)3138(4)38(4102=-=-=⎰dx x（2）、由对称性得0~,0~==y x=z M =⎰⎰⎰Ωzdv μ⎰⎰⎰----22301111y x zdz dy dx μ⎰⎰--=-122211)3(dy y x dx μμμ45506)316536(2142=+-=⎰dx x x ==MM z z ~210253，所以物体的重心是)210253,0,0( （3）=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22μ⎰⎰⎰----+=2230112211)(y x dz dy y x dx μ⎰⎰--+=122221)3)((4dy y x y x dx μ⎰⎰---+=14422221)233(4dy y x y x y x dx μM dx x x 1056245248)519754(4)3754(41042==-+=-+=⎰μμμ6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ，于是（1）、=M ⎰⎰⎰Ωdv ⎰⎰⎰-=22120r rdz rdr d πθ⎰⎰--=1220]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰102220]2[dr r r r d πθ)12(34)12(3220-=-=⎰πθπd （2）、由对称性得0~,0~==y x =z M ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=22120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=102220]2[21dr r r r d πθ=-=⎰⎰10320][dr r r d πθ24120πθπ==⎰d==MM z z ~)12(83+，所以物体的重心是))12(83,0,0(+（3）、=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 ⎰⎰⎰-=221320r rdz dr r d πθ⎰⎰--=12320]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰1042320]2[dr r r r d πθ)51(2-A π =A dt t t dr r r)(cos sin 242223123⎰⎰=-πdt t t )sin (sin 245203-=⎰π1528)15832(24=-= 所以=z I )328(152)511528(2-=-=ππ （B ）的习题 1、⎰⎰⎰Ω+dv z x y )cos( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+====Ω0.2,,0,2),,(z z x x y y x z y x ππ ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-+=xxdz z x y dy dx 202)cos(ππ=⎰⎰-xdy x y dx 020)sin 1(π⎰-=20)sin 1(21πdx x x 202]cos [sin 2116ππx x x --=21162-=π2、⎰⎰⎰Ωzdv {}z z y x z y xz y x 2,1),,(222222=++=++=Ω皆7：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧=++=++z z y x z y x 21222222为⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x 就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=43),(22y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22111r z r -≤≤-- 230,20≤≤≤≤r πθ，于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰---=221112320r r zdz rdr d πθ=⎰⎰--230220)112(21dr r r d πθ245]21)1(32[2302232ππ=---=r r习题9.51、 计算下列对弧长曲线积分（1）、ds y x nl⎰+)(22，其中l 为圆周222a y x =+解：设t a y t a x sin ,cos ==，adt ds =ds y xn l⎰+)(22⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）、⎰l yds x sin 其中l 是连接点)0,0(，),3(ππ的直线段解：l 的方程为x y 31=π30≤≤x dx dx ds 310911=+=⎰lyds x sin dx xx ⎰=π303sin 310dt t t ⎰=π0sin 103π103= （3）、⎰l y ds 其中l 是连接点x y 42=上点)0,0(，)2,1(的一段弧解：l 的方程为x y 42= 10≤≤x dx xds 11+= ⎰lyds )122(34)1(34121231-=+=+=⎰x dx x （4）、⎰+l ds y x )( 其中l 是连接点)0,1(，)1,0(的直线段解：l 的方程为x y -=1 ， 10≤≤x ， dx ds 2=⎰+lds y x )(dx ⎰=122=（5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （6）、ds y l⎰，其中l 为圆周122=+y x解：设t y t x sin ,cos ==，dtds =ds y l⎰⎰=πsin tdt ⎰-ππ2sin tdt πππ20cos cos x x +-=422=+= （7）、ds el y x ⎰+22，其中l 为圆周0,,422===+y x y y x 在第一象限的区域的边界解：在直线0=y 上 20≤≤x dx ds =ds ely x ⎰+122122-==⎰e dx e x在弧422=+y x 上设t y t x sin 2,cos 2==，dt ds 2=40π≤≤tds el y x ⎰+222222402ππ⋅==⎰e dt e在直线x y =上 20≤≤x dx ds 2=ds el y x ⎰+32212220222-===⎰e edx exxds ely x ⎰+22+-=)1(2e +⋅22πe )1(2-e )22(2+=πe 2-（8）、⎰l x y ds 其中l 是2,4,0,0====y x y x 围成的矩形的边界解：4321l l l l l +++=1l 的方程为0=y =⎰1l x y d s 001=⎰dx l ，4l 的方程为0=x=⎰4l xyds 004=⎰dy l2l 的方程为4=x=⎰2l x y d s 842==⎰y d y， 3l 的方程为2=y=⎰3l x y d s1624=⎰xdx24=⎰lxyds（9）、⎰l ds y 2其中l 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱解：dt t a t a ds 2222sin )cos 1(+-=dt ta 2sin 22= ⎰l ds y 232022282sin 2)cos 1(a dt t a t a =-=⎰π=⎰π2052sin dt t ⎰π053sin 16udu a1525615832sin 32332053aa udu a =⋅==⎰π（10）、⎰+lds y x 22 其中l 是上半圆周x y x 222=+与x 轴围域的边界解：21l l l +=，1l ：x y x 222=+化为1)1(22=+-y x 设t y t x sin ,cos 1==-，dt ds =⎰+122l ds y x =++=⎰π22sin )cos 1(dt t t =⎰π2cos dt t4cos 420=⎰πudu2l ：0=y ，dx ds =⎰+222l ds y x 22==⎰xdx62422=+=+⎰lds y x2、 求半径为,R 中心角为α2的扇形圆弧的质心（密度均匀)1=μ解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对x 轴的对称性得0~=y 设1=μ，t R y t R x sin ,.cos ==Rdt ds =R M α2=⎰=lyds M x 1~==⎰-ααtdt R M cos 12==⎰α2cos 2tdt R Mαααsin sin 22R M R ==所求质心为)0sin (ααR3、 计算下列关于坐标的曲线积分 （1）、⎰+ldx y x )(22，L 是抛物线2x y =上)0,0(O 到)4,2(A 一段弧解：⎰+l dx y x )(221556]53[)(20532042-=+=+=⎰x x dx x x（2）、⎰l y dx ，L 是 2,4,0,0====y x y x 矩形的边界按照逆时针方向 解：A O ：0=y ，4:=x B A0=dx ，2:=y C A ，0:=x O C0=dx ，⎰lydx ⎰⎰⋅+=ABOAy dx 00⎰⎰⋅++COBCy dx 028204-==⎰dx（3）、⎰+l x d y y dx ，L 是 20,sin ,cos π≤≤==t t R y t R x 一段针方向的弧解：⎰+l xdy ydx dt x x dt t tR R t R t R )(]cos cos )sin (sin [242⎰++-=π02sin 22cos 202202===⎰ππtR dt t R（4）、⎰+-++lyx dyx y dx y x 22)()(，L 是圆周 222a y x =+沿逆时针方向解：t a y t a x sin ,cos ==，⎰+-++l y x dy x y dx y x 22)()(⎰-+-+=π2022]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos a dt t t t t t t a ππ2120-=-=⎰dt（5）、⎰++l x dy dx y x )(，L 是折线 x y --=11从)0,0(到)0,2(一段解：⎩⎨⎧>-≤=121x x x xy ，弧dx dy x y A O ==,: ，dx dy x y B A -=-=,2:⎰++lxydy dx y x )(⎰⎰+=OAAB383732311)22()2(212102=+-++=+-++=⎰⎰dx x x dx x x （6）、⎰---l dy y a dx y a )()2(，L 是 )cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=摆线的一拱，从)0,0(到)0,2(a π解：⎰---ldy y a dx y a )()2(dt t a t a a ⎰---=π20)cos 1()]cos 1(2[dt t a t a a ⎰---π20sin )]cos 1([dt t t t a ⎰+=π2022)cos sin (sin220222sin 2cos 1(a dt tt a ππ=+-=⎰4、计算⎰-++l dy x y dx y x )()(，其中L 分别是（1）、x y =2上点)1,1(到)2,4( （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段解：（1）、在x y =2上点)1,1(到)2,4(，dx xdy 21=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x xx x )](21[41-++=⎰3342153723)2121(41=++=++=⎰dx x x （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段，3231+=x y ，dx dy 31=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x x x )]3231(313231[41-++++=⎰ 11398215910)98910(41=⋅+⋅=+=⎰dx x 5、计算⎰+++l dy y x dx y x )2()2(，其中L 分别是（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(的一段弧 （2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧 （3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线 解：（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(，xdx dy 2=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x x x xx ])2(22[122⎰+++=3111)432(132=++=++=⎰dx x x x（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧，dx x dy 23=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x xx ])642[153⎰++=3111=++=（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线⎰+++ldy y x dx y x )2()2(+=⎰dx x 102⎰+1)21(dy y 3=6、一力场由沿x 轴正向的常力→F 构成，求将一个质量为m 的质点沿222R y x =+按逆时针方向移动过第一象限那段弧所做的功 解：→F →=i F dx F W l⎰=F R tdt R F -=-=⎰2sin π节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1）dy y x dx y x l )()(22--+⎰，L 是椭圆12222=+by a x 沿逆时针方向解：设t b dy t b y t a dx t a x cos ,sin ,sin ,cos ==-==dy y x dx y xl)()(22--+⎰⎰⎰⎰-+-=πππ2023202320sin cos cos sin tdt t atdt t bdt abab π2-=用格林公式y x y x P +=2),( 2),(y x y x Q +-=1),(-=y x Q x 1),(=y x P ydy y x dx y x l)()(22--+⎰ab dxdy Dπ22-=-=⎰⎰ （2）、dy y x dx y x l )()(222+-+⎰)0,0()1,0()0,1()0,0(:→→→L 直线段围成的闭路解：0),0,1()0,0(:1=→y L ； x y L -=→1),1,0()0,1:2；0),0,0()1,0(:3=→x Ldy y x dx y x l)()(222+-+⎰1])1([012012210-=--+-=⎰⎰⎰dy y dx x x xdx 用格林公式2)(),(y x y x P += 22),(y x y x Q --=x y x Q x 2),(-= )(2),(y x y x P y +=dy y x dx y x l)()(222+-+⎰=+-=⎰⎰Ddxdy y x )2(2⎰⎰-+-xdy y x dx 1010)2(21)2321(210-=-+-=⎰dx x x2、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围的面积解：dt t t a ydx xdy A l ⎰⎰=-=π20222sin cos 232183)4cos 1(1632202a dt t t a ππ=-=⎰3、用格林公式计算（1）、dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰)0,0()2,3()0,3()0,0(:→→→L 直线段围成的三角形边界解：653),(-+=y x y x Q 42),(+-=y x y x P3),(=y x Q x y y x P y -=),(dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰12212344=⨯⨯⨯==⎰⎰Ddxdy ⎰⎰-+-x dy y x dx 1010)2(2（2）、dy y y x dx xe xy l x)cos ()32(2-++⎰1:2222=+by a x L 逆时针方向解：x xe xy y x P 32),(+= y y x y x Q c o s ),(2-=x y x Q x 2),(= x y x P y 2),(=dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰00==⎰⎰Ddxdy（3）、⎰+++l y ydy e x dx xey )1()(22224:x x y l -=由)0,4()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly xe y y x P 2),(+= 1),(22+=y e x y x Qy x xe y x Q 22),(= y y xe y x P 221),(+=⎰+++L y y dy e x dx xe y )1()(222ππ2)2(212-=-=-=⎰⎰Ddxdy 于是⎰+++ly ydy e x dx xey )1()(222-+++=⎰dy e x dx xe y y OA y )1()(22(2⎰+++Ly ydy e x dx xey )1()(222ππ2824+=+=⎰xdx（4）、⎰---l dy y y x dx y )sin ()cos 1(x y l s i n:=上由)0,()0,0(π→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly y x P cos 1),(-= )s i n (),(y y x y x Q --=y y y x Q x sin ),(+-= y y x P y s i n ),(=⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y ⎰⎰⎰⎰-=-=xDydy dxydxdy sin 0π4)12((cos 41sin 21002πππ-=-=-=⎰⎰x xdx于是⎰---ldy y y x dx y )sin ()cos 1(----=⎰dy y y x dx y OA )sin ()cos 1((⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y4400πππ=+=⎰dx（5）、⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(2222:x x y l -=上由)1,1()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-++=l AB OA Ly x y x P -=2),( )s i n ),(2y x y x Q --=-=),(y x Q x 1),(-=y x P y⎰-+++--1)sin ()(22lAB OA dy y x x dx y x 0=于是⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(22+--=⎰dy y x dx y x OA)sin ()(22dy y x dx y x AB)sin ()(22--=⎰+=⎰102dx x ⎰--12)sin 1(dy y⎰---=10)2cos 1(21131dy y 672sin 41-= （6）、⎰+++l xxdy e x dx ye )()1( 1:2222=+by a x L 上由)0,()0,(a a →-的上半椭圆解：先补足成闭路1),(-++-=l a a Lx ye y x P +=1),( x e x y x Q +=),(x x e y x Q +=1),( x y e y x P =),(ab dxdy dy e x dx ye Dl a a x x π21)()1(1),(==+++⎰⎰⎰-++- 于是⎰+++lxx dy e x dx ye )()1(ab dy e x dx ye a a x x π21)()1(),(-+++=⎰+- ab dx a a π21-=⎰-ab a π212-= 4、 证明下列曲线积分在xoy 面内与路径无关，并计算积分值 （1）、⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y xy x y x P +=),( y x y x Q -=),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数1),(=y x Q x 1),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x ⎰+=21)1(dx x ⎰-+31)2(dy y=--+-+=)19(214)14(21125 （2）、⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy32),(4+-=y xy y x P 324),(xy x y x Q -= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数342),(y x y x Q x -= 342),(y x y x P y -= 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰+=21)22(dx x ⎰-+13)164(dy y544)14(2=-+-+=25（3）、⎰-++),()0,0()c o s ()s i n (ππdy y xe dx x e y yx e y x P y sin ),(+= y xe y x Q y cos ),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( yy e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++),()0,0()cos ()sin (ππdy y xe dx x e yy⎰+=π0)sin 1(dx x ⎰-+ππ0)cos (dy y e y=--++=0)1(2πππe 252+=ππe 5、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某一个函数),(y x u 的全微分，并且求这样的函数),(y x u（1）、dy y x dx y x )2()2(+++解答：y x y x P 2),(+= y x y x Q +=2),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数2),(=y x Q x 2),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使dy y x dx y x y x du )2()2(),(+++=⎰+++=),()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u ⎰=x xdx 0⎰++ydy y x 0)2(2221221y xy x ++=（2）、dy y xe dx e x y y )2()2(-++解答：y e x y x P +=2),( y xe y x Q y 2),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( y y e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y xe dx e x y y )2()2(-++⎰-++=),()0,0()2()2(),(y x yydy y xe dx e x y x u ⎰+=x dx x 0)12(⎰-+yy dy y xe 0)2(=-+-+=x xe y x x y 22y xe y x +-22（3）、y d y x y d x x 3c o s 2c o s 33s i n 2s i n2-解答：y x y x P 3sin 2sin 2),(= y x y x Q 3c o s 2c o s 3),(-= 都是初等函数，因此在xoy面内有连续的偏导数y x y x Q x 3c o s 2s i n 6),(= y x y x P y 3c o s 2s i n 6),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰-=),()0,0(3cos 2cos 33sin 2sin 2),(y x ydy x ydx x y x uy x ydy x y 3sin 2cos 3cos 2cos 30-=-=⎰（4）、dy ye y x y x dx xy y x y)122()3(223322++++解答：32283),(xy y x y x P += yye y x y x y x Q ++=223122),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数22246),(xy y x y x Q x += =),(y x P y 22246xy y x + 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰++++=),()0,0(223322)122()83(),(y x y dy ye y x y x dx xy y x y x u31 ⎰++=yy dy ye y x y x y x u 0223)122(),(y y e ye y x y x -++=322346、设→→→-++=j xy i y x F )12()(2试证：在在xoy 面内，→F 作的功与路径无关 证明：⎰-++=l dy xy dx y x W )12()(22),(y x y x P += 12),(-=xy y x Q 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数 y y x Q x 2),(= y y x P y 2),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内积分与路径无关，所以在在xoy 面内， →F 作的功与路径无关。
第九章习题解答（3）习题9.7计算下列对面积的积分1、dS z y x )342(++∫∫Σ，其中Σ为平面1432=++zy x 在第一卦限的部分解：曲面方程为3424y x z --=dxdydxdy dS 36119164=++=积分区域为30,20:≤≤≤≤y x D dS z y x )342(++∫∫Σdxdy D∫∫?=361461433614=?=2、∫∫ΣdS z2其中Σ为半球面221y x z --=被21=z 截取的部分解：曲面方程为221yx z --=dxdyyx dS 2211--=积分区域为430:22≤+≤y x D dS z ∫∫Σ2dxdy y x yx D ∫∫----=222211∫∫-=πθ0230212)1(dr r r d 12787320πθπ==∫d 3、dS z y x )(222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被1=z 截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为10:22≤+≤y x D dS z yx )(222++∫∫Σdxdy y x D∫∫+=2)(222∫∫=πθ201322dr r d π2=4、dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2，其中Σ为平面622=++z y x 在第一卦限的部分解：曲面方程为y x z 226--=dxdydS 3=积分区域为xy x D -≤≤≤≤30,30:dS z x x xy ∫∫Σ+--)22(2dxdyy x x xy D∫∫+---=)62322(32∫∫-+---=3302)62322(3xdy y x x xy dx ∫-+-------=30222)]3(6)3()3(3)3(2)3([3dxx x x x x x x x ∫+-=323]9103[3dx x x 4278127108149-=+×-×=5、dS y x )(22∫∫Σ+，其中Σ为旋转抛物面222y x z --=在xoy 面上方的部分解：曲面方程为222yx z --=dxdyy x dS )(4122++=积分区域为20:22≤+≤y x D dS y x )(22∫∫Σ+dxdy y x y x D∫∫+++=)(41)(2222∫∫+=πθ2022341drr r d ∫∫+=πθ20220231161duu u d 其中du u u222031+∫单独计算为设tdt du t u 2sec ,tan ==，du u u 222031+∫==∫dt tt22arctan 063cos sin ∫-22arctan 062cos )(cos )1(cos tt d t 15596151307263265242)11(41316=-=-=-=∫dv v vdS y x )(22∫∫Σ+3014915596162ππ=×=（6）、dS xz z y y x )(222222++∫∫Σ，其中Σ为圆锥面22y x z +=被圆柱面xy x 222=+所截取的部分解：曲面方程为22yx z +=dxdydS 2=积分区域为：θπθcos 20,20:≤≤≤≤r DdS x z z y y x )(222222++∫∫Σdrr d )1sin (cos 2222cos 2052+=∫∫θθθθπθθθθπd )cos cos (cos 6222621086+-×=∫8229)2047(322)!!6!!5!!10!!9!!8!!7(62226πππ=+=×+-×=2、求抛物面)10)((2122≤≤+=z y x z 的质量，此壳的密度z=μ解：dSz M ∫∫Σ=dxdyy x dS 221++=积分区域为：20,20:≤≤≤≤r D πθdS z M ∫∫Σ=dr r rd 223212+=∫∫πθ∫∫--=2arctan 06220cos cos )cos 1(2t td t d πθdu u u d )11(24131620-=∫∫πθdu u u d )11(2413162-=∫∫πθ)33315139(-+-=π)136(152+=π3、求均匀抛物面壳)410(22≤≤+=z y x z 的重心解：∫∫Σ=dSM dxdyy x dS )(4122++=积分区域为：210,20:≤≤≤≤r D πθ∫∫Σ=dS M dr r r d 22102414+=∫∫πθ)2()2(1)2(22102r d r r d +=∫∫πθdu u u d 21020)(1+=∫∫πθ)122(6)1(322121232-=+??=ππu 由对称性得~~==y xMz 1~=∫∫ΣzdS ∫∫+=πθ2021023411dr r rd M ∫∫+=πθ201231161duu ud M∫∫--=ππθ204062cos cos )cos 1(161t t d t d Mdv v v d M )11(1612012146∫∫-=πθ×=M 8π=-+-)32215124()12(1528+?M π70235+=所以重心为?????+70235004、设稳定不可压缩的流体速度场为→→→→++=k z y j y x i xz V 22，Σ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面1,0==z z 截取的位于第一、第四卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φzdxdyy ydzdx x xzdydz 22++=∫∫Σ设;0:1=Σz ;0:2=Σy ;1:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ+构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ-Σ-Σ++=++=dv z yx zdxdy y ydzdx x xzdydz )(2222321dz z r rdr d ][21010220+=∫∫∫πθ2)21(21320πθπ=+=∫∫dr r r d =++∫∫Σ+Σ-Σ-zdxdy y ydzdx x xzdydz 22321+∫∫Σ-310dxdy ∫∫Σ-20dzdx ∫∫Σ+32dxdy y 8sin 210322πθθπ==∫∫dr r d 所以838222πππ=-=++=Φ∫∫Σzdxdy y ydzdx x xzdydz 5、计算下列对坐标的曲面积分（1）、∫∫Σdxdy yx 22，其中是球面2222a z y x =++下半部分的下侧解：球面方程为222y x a z ---=，积分区域为ar ≤≤≤≤0,20:πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy y x 22dxdy y x a y x D)(22222----=∫∫dxdyy x a yx D22222--=∫∫drr a r∫∫-=102252022cos sinθθπ1052)!!7!!5!!5!!3(4)sin (sin 84cos 1220752022a a dr t t d a ππθθππ=-=--=∫∫（2）、∫∫Σ+dydz y 2)1(，其中是球面1222=++z y x 的外侧在0≥x 的部分解：球面方程为221y x x --=，积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σ+dydz y 2)1(dr r r d ∫∫+=1220)1sin (θθπdrr r r d ∫∫++=122320)sin 2sin (θθθπ∫++=πθθθ202)21sin 32sin 41(d 45)82cos 1(20ππθθπ=+-=∫d （3）、∫∫Σdxdy z2，其中是圆锥面22y x z +=被平面1=z 截取的有限部分的下侧解：积分区域为10,20:≤≤≤≤r πθ取外法线方向为正∫∫Σdxdy z 2∫∫+-=Ddxdyy x )(22dr r d ∫∫-=10320πθ2412ππ-=×-=（4）、xdxdyydzdx xdydz ++∫∫ΣΣ是圆柱面122=+y x 的外侧被平面3,0==z z 截取的位于第一限部分解：=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz C B A ++∫∫Σ=xdydz A ，∫∫Σ=ydzdx B ，∫∫Σ=zdxdy C 由于Σ在xoy 面的投影区域面积为零，所以0==∫∫Σzdxdy C ∫∫Σ=xdydz A dy y dz dydz y yzD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt ∫∫Σ=ydzdx B dy x dz dydz x zxD∫∫∫∫-=-=1023021143cos 3202ππ==∫tdt 所以=++∫∫Σxdxdy ydzdx xdydz 2304343πππ=++=++C B A（5）、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(Σ{}c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(解：用高斯公式、∫∫Σ-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(abcdv 3==∫∫∫（6）、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz Σ{}1,0,0,0),,(=++====z y x z y x z y x 的外侧解：用高斯公式、∫∫Σ++zxdxdyyzdzdx xydydz =++=∫∫∫dv z y x )(∫∫∫---++yx xdzz y x dydx101010)(∫∫---+--+=xdy y x y x y x dx 10210])1(21)1)([(∫∫----=xdy y xy x dx 102210]21[21∫------=10322])1(31)1()1)(1[(21dx x x x x x 81)3132(21103=+-=∫dx x x 习题9.81、利用高斯公式计算（1）、∫∫Σ++dxdyz dzdx y dydz x 222Σ{}a z a y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=0,0,0),,(的表面的外侧解：∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222=++=∫∫∫dv z y x )(2∫∫∫?zdv 64236azdz aa ==∫（2）、∫∫Σ-+dxdyy x dzdx y xydydz 4223Σ)1,0,0(),0,01(),0,0,1(),0,0,0(:为顶点的四面体的表面的外侧解：∫∫Σ-+dxdy y x dzdx y xydydz 4223=+=∫∫∫dv y y )23(∫∫∫?ydv5任取一点y 得到与四面体的截面面积为2)1(21y dzdx yD-=∫∫于是245)413221(25)1(255102=+-=-=∫∫∫∫dy y y ydv （3）、zdxdy ydzdx xdydz ++∫∫Σ，222:y x a z --=Σ的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ+Σ=Σ′3326433a a dv zdxdy ydzdx xdydz ππ=×==++∫∫∫∫∫?Σ′而：001=-=++∫∫∫∫ΣxyD dxdy zdxdy ydzdx xdydz 所以32azdxdy ydzdx xdydz π=++∫∫Σ（4）、dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222-+-+-∫∫Σ，221:y x z --=Σ在xoy 面上方的上侧解：加一个底面1Σ0=z ，则1Σ-Σ=Σ′dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ-Σππ23)1(3310-=-×-=-=∫∫∫∫dz z dv 而：dxdyz x dzdx y z dydz x y )()()(2221-+-+-∫∫Σ4cos 1023202πθθπ-=-=-=∫∫∫∫dr r d dxdy x xyD45423)()()(222πππ-=+-=-+-+-∫∫Σdxdy z x dzdx y z dydz x y 2、设稳定的、不可压缩的流体的速度场为→→→→++=k z j y i x V 222，Σ是球面2222a z y x =++的外侧位于第一卦限部分，求流体流向Σ指定一侧的流量Φ解：Φdxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ设;0:1=Σx ;0:2=Σy ;0:3=Σz 于是-Σ-Σ12Σ3Σ-构成封闭的曲面∫∫∫∫∫?Σ+Σ+Σ+Σ++=++dv z y x dxdy z dzdx y dydz x )(2222321dzz r rdr d ar a ])sin (cos [2002022++=∫∫∫-θθθπ∫∫-+=adr r a r d 022220)sin (cos 2πθθθ∫∫-+adrr a r d 02220)(πθ∫-=20424)sin (sin 4πdt t t a )42(244a a -+π8384444aa a πππ=+=而222321=++∫∫Σ+Σ+Σdxdy z dzdx y dydz x 所以dxdy z dzdx y dydz x 222++=∫∫Σ834aπ=三重积分也可以另解为：任取一点z ，得到截面z D 的面积为)(422z a dxdy zD -=∫∫π根据对称性有∫∫∫++dv z y x )(24032083)(466a dz z z a dxdy zdz a D azππ=-==∫∫∫∫第九章习题解答完毕2008-5-11于利民开发区宏信广场。
第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim yx yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yx e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzyx z x 证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
0)0,0(),0(lim )0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(=∆-∆==∆-∆=→→yf y f f x f x f f y x y y x x0)()(0),(22→∆+∆-∆∆y x y x f ，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则1、 设tv e v t u u z ===,sin ,，求dtdz解：dtdz =1cos .(sin )ln sin (sin )t te t e t t t e t t e -⋅+⋅⋅ 2、 设,)(32yx y x z -+=，求yz x z ∂∂∂∂, 23123(23)()3()ln(),x y x y zx y x y x y x y y---∂=-+-++∂ 3、 设)(2xy f x z n=，f 可微，证明nz y z y x z x =∂∂+∂∂2 4、 设)2,(22xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂，y x z ∂∂∂2， 22y z ∂∂ 解：1222z xf yf x∂''=+∂ ,1222zyf xf y∂''=-+∂ ,21112221222((2)2)22((2)2)z x f y f x f y f y f x x y ∂'''''''''=-+++-+∂∂ =221111222244()4f xyf x y f xyf '''''''-+-+222111122222484z f x f xyf y f x∂'''''''=+++∂,222111122222484z f y f xyf x f y ∂'''''''=-+-+∂5、 设)(),(yxg x y xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求y x z ∂∂∂2解：1221z y f y f g x x y ∂'''=-+∂ ，2111122122222231111()()z y x f y f x f f f x f g g x y x x x x y y∂'''''''''''''=++--+--∂∂6、 设),,(z y x F u =，),(y x f z =，)(x y ϕ=，求dxdu解：dxdu ))(()(321x f f F x F F y x ϕϕ''+''+''+'=。
7、设),(v u z z =，且变换⎩⎨⎧+=-=ayx v y x u 2 可把方程+∂∂226x z y x z ∂∂∂222y z ∂∂-=0 化为 02=∂∂∂v u z， 其中z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值 )3(=a证明：v z u z x z ∂∂+∂∂=∂∂v za u z y z ∂∂+∂∂-=∂∂2 2222222v u v u z uz x z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 2222222244v u a v u z a u zy z ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 222222)2(2v u a v u z a u z y x z ∂∂+∂∂∂-+∂∂-=∂∂∂得：0)6()510(2222=∂∂-++∂∂∂+vu a a v u z a a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,a f =)1,1(/1,b f =)1,1(/2 又，{})],(,[,)(x x f x f x f x =ϕ 求 ).1(ϕ和)1(/ϕ (1) , (a+ab+ab 2+b 3)§ 5 隐函数的求导公式1、 设y x y y +=ln ，求dxdy解：令(,)ln F x y y y x y =--，11,ln ,ln x y dy F F y dx y=-=∴=2、 设),(y x z z =由方程)(222yz yf z y x =++确定，其中f 可微，证明xz yzxy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--3、 设),(y x z z =由方程zy e z x +=所确定，其中f 可微，求y x z ∂∂∂2,1,)1(z zy z z x z x z +-=∂∂+=∂∂ y x z ∂∂∂23)1(z x z +-=4、 设⎩⎨⎧+==++222221y x z z y x ，求dx dy ，dx dz ( dy x dx y =-，0dz dx =) 5、 设),(y x z z =由方程0),,(=+xz z y xy F 所确定，F 可微，求yzx z ∂∂∂∂,解：令(,,)F x y z =(,,)F xy y z xz + ，则13122323,y x z z F F F y zF F x F zz x F y F F xF F xF ''''++∂∂=-=-=-=-∂∂''''++ 6、设),(y x f z =由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz (dy dx dz --=)7、设z=z(x,y)由方程 y z yz x xy=-+3)cos(3所确定，求xz∂∂, y z ∂∂ ,)sin(3)cos(3ln .32yz xy z yz y x z xy ++=∂∂ , )sin(31)sin(3ln 3.2yz xy z yz xz x y z xy +--=∂∂§ 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线t z t y t x 3,sin 2,cos 2=== 在对应于4π=t处的切线及法平面方程解：切线方程为343z π-== 法平面方程0)43(3)2(2)2(2=-+-+--πz y x 2、 求曲线⎩⎨⎧+==++22222250y x z z y x 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 053443-=--=-z y x ，法平面方程：034=-y x 3、 求曲面932222=++z y x 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2=-++--z y x及法线方程223121-=-+=-z y x 4、 设),(v u f 可微，证明由方程0),(=--bz ay bz ax f 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令),(),,(bz ay bz ax f z y x F --=，则),,(,,,21212121'-'-''=∴'-'-='='=bf bf a f a f bf bf F a f F a f F z y x 0),,(=⋅∴a b b ，所以在（000,,z y x ）处的切平面与定向量（a b b ,,）平行。
