华东师大版七年级数学下册 三角形的内角和与外角和教案

华东师大版七年级下册数学2.三角形的内角和与外角和【知识与技能】1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.【过程与方法】联系三角形外角和内角的定义、邻补角的性质，探索三角形的外角的两条性质和三角形的外角和.【情感态度】结合实践与应用，充分感受三角形外角的性质，体会三角形的外角和它不相邻两个内角之间的关系转化.【教学重点】掌握三角形外角的性质以及其外角的和.【教学难点】三角形角的有关计算.一、情境导入，初步认识1.什么叫三角形的外角？三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系？2.三角形的内角和等于多少?【教学说明】对前面的知识进行复习，为本节课作准备.二、思考探究，获取新知1.我们都知道三角形的内角和为180°，那么，你能用几何知识进行证明吗？如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明：∠1+∠2+∠3=180°.解：延长BC至点E，以C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD∥BA∵CD∥BA∴∠1=∠ACD∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°∴∠1+∠2+∠3=180°2.你能根据三角形的内角和计算出直角三角形的两个锐角的度数和吗？【归纳结论】三角形的内角和等于180°；直角三角形的两个锐角互余.3.如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.三角形的外角与内角有什么关系呢？很显然：∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180°那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？∵∠CBD+∠ABC=180°∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°∴∠CBD=∠ACB+∠BAC【归纳结论】三角形的外角有两条性质：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.4.与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.问：你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？∵∠1＋∠ACB＝∠2＋∠BAC＝∠3＋∠ABC＝180°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°×3又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°∴∠1＋∠2＋∠3＝180°×3-180°＝360°【归纳结论】三角形的外角和等于360°.【教学说明】学生亲自动手进行几何证明，使学生三角形的内角和与外角和以及外角的性质掌握的更牢固.三、运用新知，深化理解1.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.85°2.如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列正确的是（）A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6C.∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°3.若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列哪个不可能是∠B的度数？（）A.37°B.57°C.77°D.97°4.如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数.第4题图第5题图5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.6.如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点，求∠AEC的度数.第6题图第7题图7.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，求∠BDC的大小.【教学说明】通过练习，巩固三角形内角与外的有关计算问题.从中总结角的有关计算的规律.【答案】1.C2.C3.C4.解：∵l∥m，∠1=115°，∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°，又∠5=180°-∠2=180°-95°=85°，∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°5.解：如图连接CE，根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°.6.解：设∠BAC=2x°，则根据三角形外角的性质得：∠BCF=（2x+31）°，∵∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，∴∠EAC=x°，∠ECD=（∠E+x）°，∵∠ECF是△AEC的外角，∠ECD=∠ECF,∴∠ECD=∠E+∠EAC，即：∠E+(∠E+x°）=x°+31°，解得：∠E=15.5°.7.解：如图，延长BD交AC于E.∵DA=DB=DC，∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°.又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师加以补充.1.布置作业:教材第79页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.我们常说“实践出真知”，因此，我们在教学中尽量去引导学生从不同的角度去发现问题、思考问题，启发、诱导学生通过动手、动脑，与同学交流合作，大胆探索、猜想，并用自己所学的知识来解决问题，真正做到老师“导”学生“学”.教师一定要相信学生的能力，大胆放手，也许会有意想不到的收获.归纳、对比对于知识的掌握有不可忽视的作用，教学中要及时引导学生总结，找出好的学习方法和解题捷径，并熟练应用.本节课中有的学生尽管知道了三角形外角的性质，却仍习惯性地用三角形内角和定理来求外角，费时费力，不利于知识的掌握，因此教师要注意让学生多运用三角形外角性质.。

三角形的内角和与外角和教学目标1.能够计算任意三角形的内角和与外角和。

2.能够应用内角和与外角和的性质解决实际问题。

教学重点1.计算任意三角形的内角和。

2.计算任意三角形的外角和及其性质应用。

教学难点1.理解三角形内角和的证明方法及应用。

2.通过计算问题求解三角形外角和。

教学步骤第一步：引入•教师出示一张三角形图片，提问学生：三角形的内角和是否相等？为什么？•学生回答后，教师引导学生探究三角形内角和的性质，明确学生今天的学习内容。

第二步：学习1. 三角形内角和•通过几何推理，引导学生完成三角形内角和定理：“任意三角形的内角和为180°”。

•出示几组三角形，引导学生通过观察、计算、讨论验证三角形内角和的定理。

•通过举例，让学生掌握使用三角形内角和定理计算三角形内角和的方法。

2. 三角形外角和•通过几何推理，引导学生完成三角形外角和性质：“三角形的一个外角等于其两个内角之和”。

•出示几组三角形，引导学生通过观察、计算、讨论验证三角形外角和的性质。

•通过举例，让学生掌握使用三角形外角和性质计算三角形外角和的方法。

第三步：应用•教师出示一些实际问题，引导学生通过计算三角形的内角和与外角和解决问题。

例如：（1）已知某个三角形的两个内角分别为70°、80°，求这个三角形的第三个内角。

（2）已知某个三角形的一个内角为60°，对应的外角为125°，求这个三角形的其他两个内角。

（3）请你画一个三角形，使它的三个外角分别为120°、40°、20°。

第四步：归纳总结•引导学生回顾整堂课的学习内容，总结三角形的内角和与外角和的定义、性质及计算方法。

第五步：作业布置•布置一些练习题，以帮助学生巩固所学知识，提高计算能力。

例如：（1）已知某个三角形的两个内角分别为70°、80°，求这个三角形的第三个内角。

（2）已知某个三角形的一个内角为60°，对应的外角为125°，求这个三角形的其他两个内角。

三角形的内角和与外角和教学目标知识与技能1、理解三角形的内角和、外角和以及外角的性质。

2、学会用简单的说理来计算三角形相关的角。

过程与方法经历三角形内角和、外角和及性质的探索过程，培养实践能力及观察总结能力。

情感态度与价值观在学习过程中，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。

重点难点重点：三角形内角和定理的证明，三角形外角和定理与性质。

难点：三角形内角和定理和外角性质的证明方法。

教学设计一、情境引入同学们，在小学咱们曾经学过三角形的内角和是吧，是怎样总结出来的呢？把三个角剪下来重新拼一拼的。

请一个同学来试一试，将∠A 和∠B 剪下来，和∠C 拼在一起，发现拼成了一个平角，所以内角和是180°根据目前的知识水平，我们要用说理的方法来证明该结论的正确性了。

（学生活动：动手拼图。

）二、探索新知1、三角形内角和定理求证：三角形三个内角和等于180°。

已知：如图，△ABC。

求证：∠A+∠B +∠C=180°。

A E1 2BC D（先让学生自己试着证明，老师在给出规范引领）证明：延长BC至D，过点C作CE∥BA。

∴∠A=∠1 ∠B=∠2∵∠1+∠2+ ∠ACB=180°∴∠A+∠B +∠ACB=180°结论：三角形的内角和是180°2、 直角三角形两锐角互余。

提问：（1）一个三角形可以有两个直角吗？（2）一个三角形可以有两个钝角角吗？（3）一个三角形可以有两个锐角吗？3、三角形外角与内角的关系（小组谈论解决，然后找代表发言）（1）外角与相邻内角的关系（互补）（2）外角与不相邻内角的关系证明（一）∵ ∠ABC + ∠CBD= 180 °又∵ ∠ABC+ ∠C+ ∠A= 180 °∴ ∠CBD= ∠C+ ∠A证明（二）过B 点作 BE ∥AC∴ ∠EBD = ∠A∠CBE = ∠C∴ ∠CBD = ∠CBE+ ∠EBD= ∠C+ ∠A∠CBD ﹥∠C ；∠CBD ﹥ ∠A结论：用文字表述这个结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 。

1、知识与技能：了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。

2、数学思考：能剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论。

3、解决问题：通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。

学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。

4、情感与态度目标：通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。

二、教学重点与难点：重点：三角形的外角及其性质难点：运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法。

三、教材分析：教材由学生已经熟悉的三角形的内角和定理引入，然后探索三角形外角的性质。

在呈现方式上改变了以往“结论—例题—练习”的陈述模式，而是采用“问题—探究—发现”的研究模式，并采用了拼图和数学说理两种方法，一方面，让学生通过剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论，另一方面又加以简单的数学说理，使学生初步体会，要得到一个数学结论，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学推导说理的方法，观察实验只能给我们带来一个直观形象的数学结论，而推导说理才能使我们确信这一数学结论是否正确，当然对于这一点的认识还有待于以后学习。

四、学校与学生情况分析：我校是一所普通中学，历届学生都由重点中学录取后，剩余的成绩低下的学生就由我们学校录取，因此，大部分学生的基础比较差，缺乏自学能力，不过，上个学期在新的教学理念的指导下，重视学生学习兴趣和态度的培养、重视学生的自主探索和合作交流以及新意识的培养。

另外，七年级学生都有好胜、好强的特点，现在班级中，已有一部分学生初步形成了动手操作、自主探索和合作交流的良好气氛。

学生：三角尺、铅画纸、小剪刀教师：多媒体六、教学过程设计[活动2]问题1：图中那个角是三角形的外角？（多媒体显示图形）问题2：三角形的外角有什么特点？根据这些特点，谁能说说什么叫做三角形的外角？学生观察图形找出三角形的外角引出本节课题。

学生仔细观察图形和学生间交流，师生共同得出：1①顶点在三角形的一个顶点上。

《三角形的内角和》教学设计及反思教学目标：1、通过“算一算，拼一拼，折一折”等操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。

2、在操作活动中，培养学生的合作能力、动手实践能力，发展学生的空间观念。

并运用新知识解决问题。

3.使学生有科学实验态度，激发学生主动学习数学的兴趣，体验数学学习成功的喜悦。

教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。

教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。

教具学具准备：课件、学生准备不同类型的三角形各一个，量角器。

教学过程：一、创设情景，引出问题1、课件出示三角形的争吵画面锐角三角形：我的内角和度数最大。

直角三角形：不对，是我们直角三角形的内角和最大。

钝角三角形：你们别吵了，还是钝角三角形的内角和最大。

师：此时，你想对它们说点什么呢？2、引出课题。

师：看来三角形里角一定藏有一些奥秘，这节课我们就来研究有关三角形角的知识“三角形内角和”。

（板书课题）二、探究新知1、三角形的内角、内角和（1）什么是三角形内角（课件）三角形里面的三个角都是三角形的内角。

为了方便研究，我们把每个三角形的3个内角分别标上∠1、∠2、∠3。

（2）三角形内角和（课件）师：内角和指的是什么？生：三角形的三个内角的度数的和，就是三角形的内角和。

2、看一看，算一算。

师：算一算两个三角尺的内角和是多少度？（课件）学生计算师：是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？（预设）师：大家意见不统一，我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？3、操作验证：小组合作。

选1个自己喜欢的三角形，选喜欢的方法进行验证。

（老师首先为学生提供充分的研究材料，如三种类型的三角形若干个（小组之间的三角形大小都不相同），剪刀，量角器，白纸，直尺等，以及充裕的时间，保证学生能真正地试验，操作和探索，通过量一量、折一折、拼一拼、画一画等方式去探究问题。

三角形的内角和一、教学目标知识与技能：1．理解三角形内角和性质，探索并证明三角形的内角和定理2．能利用三角形内角和定理解决相关问题过程与方法：经历三角形内角和定理的探索过程，培养学生的实践能力、观察能力与总结能力 情感态度与价值观：养成善于观察、敢于猜想、乐于探究的科学态度。

二、重点、难点1．重点：三角形内角和定理的证明2．难点：辅助线的构造三、教学过程（一）课题引入简述三角形内角和定理的相关数学史，课堂再现三角形内角和的发现过程,即泰勒斯的实验猜想与欧几里得的严格证明过程。

活动内容：根据实验结果猜想三角形内角和为180°实验1：几何画板实验2：将三角形纸片的内角撕下，随意将它们拼凑在一起，你发现了什么？思考：你能用已有的知识给出严格的证明过程吗?（二）探索新知用严谨的证明来论证三角形内角和定理，引导学生学会构造辅助线进行证明。

图1 图2 图3方法一：如图1，作将BC 延长到D ，过点C 作射线CE ∥BA.∵CE ∥BA∴∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)AB C E D A BC D E A B C Dx ︒x ︒122︒y ︒31︒n ︒81︒72︒∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°方法二：如图2，过C 点作DE ∥AB∵DE ∥AB∴∠BCD=∠B ，∠ACE=∠A(两直线平行，内错角相等)∵∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°∴∠B+∠ACB+∠A=180°方法三：如图3，过C 点作CD ∥AB∵CD ∥AB∴∠ACD=∠A(两直线平行，内错角相等)且∠B+∠ACB+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补)∴∠B+∠ACB+∠A=180°三角形内角和定理：三角形的内角和为180°口答：1、说出下列各图中未知量的值。

直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______思考：一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或者都是锐角吗？为什么？（三）问题解决例1.一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3,则这个三角形一定是_____ 三角形变式：已知∠A ：∠B ： ∠C =1：3：5，则这个三角形一定是______ 三角形例2、已知在△ABC 中，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O 。