基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

数学建模课程作业论文题目：对商人过河问题的研究指导教师：黄光辉小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班牛凯春（20151927）电气工程05班文逸楚（20150382）工商管理02班一、问题重述3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二、问题分析本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。

对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。

对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。

三、模型假设1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。

四、符号说明第k次渡河前此岸的商人数第k次渡河前此岸的随从数过程的状态向量允许状态集合第k次渡船上的商人数第k次渡船上的随从数决策向量允许决策集合x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。

用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合:=又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为:因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是该式称为状态转移律。

求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态六、模型求解本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录):初始状态：可用图片表示为：X0=33状态为:S =3132303111220203010200决策为:D =0201020120112001020102七、模型推广该商人和随从过河模型可以完美解决此类商人过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。

数学建模案例作业作业1 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行（六个人都会划船）。

随从们密谋，无论何时，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的决定权掌握在商人手中。

商人们怎样才能安全渡河？示意图如下： 随从：商人： 一、状态变量一次决策),(k k k y x S = 3,2,1=k 表示第k 次渡河时，此岸的商人数，随从数. 最初 )3,3(0=S 且为整数）3,0(≤≤k k y x)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),0,1(),1,1(),2,1(),3,1(),0,2(),1,2(),2,2(),3,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S要安全过河，需保证彼岸此岸都安全，及随从数不能大于商人数，所以安全的情况有10种，即)}0,0(),1,0(),2,0(),3,0(),1,1(),2,2(),0,3(),1,3(),2,3(),3,3{(=S ② 二、决策变量设),(k k k v u d =2,0(≤≤k k v u 且)21≤+≤k k v u 表示第k 次渡河时，船上的商人数和随从数 )}1,0(),0,1(),2,0(),1,1(),0,2{(=D与状态变量相结合，安全的情况有三种，即 )}1,0(),2,0(),1,1{((=D ③ 三、状态转移方程奇数次（此案到彼岸）k k k d S S -=+1 偶数次（彼岸到此案）k k k d S S +=+1 即k k k k d S S )1(1-+=+ ① 数学建模：由①确定的转移方程下，经过n 次决策，将初始状态转移到最终状态)0,0(=n S . 每次的决策取自③式，每次到达的状态在②中. 图解法：①从右上角移到左下角，每次最多移两步；②奇数次渡河往左下方，偶数次渡河往右下方。

建立平面直角坐标系如图：n S 过河方案：从A 点)3,3(0=S 出发到D 点)0,0(=n S 结束① 小船一次最多能载两人，所以每次最多移动两个格子② 由此岸即彼岸时人员减少，即奇数遍时向左下方行走；有彼岸及此岸时人员增加，即偶数遍时向右上方行走。

数学建模商人过河(hjh)
问题
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.
乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
分析问题
（1）,数据及其关系？（2）如何存储？（3）过程中数据上的操作？
（4）操作过程中需借助什么结构实现？
解答
（1）数据：河两岸的商人数x∈（0，3）和随从人数y∈（0，3）
关系：线性关系
（2）存储：用二维数组来实现。

（3）操作：前进（过河）、后退（返回）
（4）操作过程中需借助栈结构实现
具体分析
此岸商人数与随从人数为C【x】【y】，彼岸商人数与随从人数为B【3-x】【3-y】，C与B数组中x必须大于等于y。

C与B数组中，各个数组中每相邻两个二维数组|x+y|之差不得超过2。

其中过河途中船上人数用数组A表示A【x1】【y1】，返回途中船上人数A【x2】【y2】。

x1，x2，y1，y2=0，1，2。

x1+y1=1或2；y2+x2=1或2。

从此岸来考察，要从最开始的C【3】【3】变到C【0】【0】。

1，C【3】【3】→C【3】【1】，C【3】【1】→C【3】【2】；
2，C【3】【2】→C【3】【0】，C【3】【0】→C【3】【1】；3，C【3】【1】→C【1】【1】，C【1】【1】→C【2】【2】；4，C【2】【2】→C【0】【2】，C【0】【2】→C【0】【3】；5，C【0】【3】→C【0】【1】，C【0】【1】→C【0】【2】；6，C【0】【2】→C【0】【0】。

操作过程中需借助栈结构实现，具体如下图所示：
此岸人数已经全部转移到彼岸，任务圆满完成，商人们安全过河。

数学建模实验一报告实验题目：研究商人过河问题一、实验目的：编写一个程序（可以是C,C++或Mathlab ）实现商人安全过河问题。

二、实验环境：Turbo c 2.0、Microsoft Visual C++ 6.0、Matlab 6.0以上 三、实验要求：要求该程序不仅能找出一组安全过河的可行方案，还可以得到所有的安全过河可行方案。

并且该程序具有一定的可扩展性，即不仅可以实现3个商人，3个随从的过河问题。

还应能实现 n 个商人，n 个随从的过河问题以及n 个不同对象且每个对象有m 个元素问题(说明：对于3个商人，3个随从问题分别对应于n=2,m=3)的过河问题。

从而给出课后习题5（n=4,m=1）的全部安全过河方案。

四、实验步骤：第一步：问题分析。

这是一个多步决策过程，涉及到每一次船上的人员以及要考虑此岸和彼岸上剩余的商人数和随从数，在安全的条件下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。

第二步：分析模型的构成。

记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，2,1=k ，n y x k k 2,1,=，（具有可扩展性），将）（k k y x ,定义为状态，状态集合成为允许状态集合（S ）。

S={2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x ）（}记第k 次渡船的商人数为k u ，随从数为k v ，决策为),(k k v u ，安全渡河条件下，决策的集合为允许决策集合。

允许决策集合记作D ，所以D={2,1,0,,21|,=<+<v u v u v u ）（|1<u+v<2,u,v=0,1,2},因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态k s 随决策k d 变化的规律是k k k k d s s )1(1-+=-，此式为状态转移律。

制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S s k ∈按照转移律，由初始状态)3,3(1=s 经有限n 步到达)0,0(1=+n s第三步：模型求解。

商人过河问题数学建模c语言商人过河问题是一个经典的数学建模问题，通过建立数学模型，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到最优的解决方案。

本文将通过C语言来实现这个问题的数学建模。

一、问题描述假设有n个商人要过河，每艘船只能承载一定数量的货物，而过河需要消耗一定的时间。

为了在最短的时间内完成过河任务，我们需要考虑商人的数量、船只的承载量以及过河的时间等因素，建立相应的数学模型。

二、数学建模1. 变量定义我们需要定义一些变量来描述过河过程中的各种因素，如商人的数量、船只的数量、船只的承载量、过河的时间等。

2. 算法设计算法的核心思想是利用贪心策略，尽可能多地利用船只，以减少过河的时间。

具体步骤如下：(1) 分配船只：根据船只的承载量，将商人分配到不同的船只上；(2) 计算过河时间：根据当前船只的位置和目标河岸的位置，计算每艘船只的过河时间；(3) 更新船只位置：根据过河时间，更新每艘船只的位置；(4) 重复以上步骤，直到所有商人过河。

3. C语言实现以下是一个简单的C语言程序，实现了上述算法：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {int n, m, t, i, j, k;scanf("%d%d", &n, &m); // 输入商人数量和船只数量int cargo[n], time[n]; // 定义变量数组，用于存储商人和船只的信息scanf("%d%d", &cargo[0], &time[0]); // 输入第一个商人和他的过河时间for (i = 1; i < n; i++) { // 输入剩余商人和他们的过河时间scanf("%d%d", &cargo[i], &time[i]);}int boat[m]; // 定义船只数组，用于存储船只的承载量和位置信息for (j = 0; j < m; j++) { // 输入船只的承载量和位置信息scanf("%d", &boat[j]);}for (k = 0; k < n; k++) { // 模拟过河过程for (j = 0; j < m; j++) { // 遍历所有船只if (boat[j] >= cargo[k]) { // 如果船只承载量足够承载当前商人time[k] += time[k] / boat[j]; // 根据过河时间和船只速度计算剩余时间boat[j] += cargo[k]; // 将商人转移到指定位置的船只上break; // 如果找到了足够承载商人的船只，跳出当前循环继续下一轮操作}}}printf("%d\n", time[n - 1]); // 输出最后一个商人的过河时间return 0;}```三、总结通过上述C语言程序，我们可以实现商人过河问题的数学建模。

商人们怎样安全过河的数学模型示例文章篇一：话说啊，商人们遇到了一个棘手的问题：他们得带着随从们一起过河，但随从们可不是省油的灯，一有机会就想着害商人抢货。

这河又不宽不窄，一只小船每次只能载两个人，怎么过河才能确保安全呢？咱们来聊聊这个问题吧。

首先，商人们得明白，随从们人多势众，要是他们比商人多了，那可就危险了。

所以，商人们得想个法子，让随从们没法儿耍花招。

其实啊，这个问题可以变成一个数学模型。

想象一下，我们把每次过河的人都看成是一个状态，就像打游戏一样，每过一次河就是进入了一个新的关卡。

在这个关卡里，商人们得保证自己的人数不能少于随从们。

那具体怎么做呢？咱们得先设定一些规则。

比如说，每次过河的人数只能是两个，这是小船的容量决定的。

然后，商人们得选择让哪些人过河，这就得靠他们的智慧和策略了。

想象一下这个场景：商人们先让两个随从过河，然后一个商人再带一个随从回来。

这样，河对岸的随从人数虽然多了，但商人这边还有足够的人手可以应对。

接下来，两个商人再过河，这样河对岸的商人数就比随从数多了，安全就得到了保障。

然后，再让一个商人带一个随从回来，这样河这边也有足够的商人保护随从不敢造次。

最后，两个随从再过河，问题就解决了。

这个数学模型虽然简单，但却非常实用。

它告诉我们，在面对困难和挑战时，只要我们善于运用智慧和策略，就一定能够找到解决问题的方法。

所以，商人们要想安全过河，就得靠他们的智慧和勇气了。

示例文章篇二：话说啊，有这么一个古老的谜题，叫做“商人过河”。

话说有三名聪明的商人，他们各自带着一个狡猾的随从，准备乘船过河。

这船啊，一次只能载两个人，问题就在于，这些随从们心里都有个小九九，他们密谋着，只要到了河的对岸，随从人数多于商人人数，就立马动手抢货。

这商人们也不是吃素的，他们知道随从们的阴谋，但他们毕竟都是聪明人，于是就想出了一个绝妙的策略。

咱们来想想啊，这过河其实就是一个多步决策的过程。

每次渡河，船上的人员选择都至关重要。

商人渡河数学模型
1、商人渡河数学模型
商人渡河是一类有趣的动态规划问题，其本质是一类路径规划问题，用数学模型可以描述为：
假设有n种物品，体积大小分别为W1，W2，……，Wn，以及一艘能承重V的船，每次船只能装载一些物品，要求在尽可能少的船次内，将物品搬运到对岸。

令Xij表示第i次船运载物品的状态，其中0≤Xij≤1，Xij=1表示船上装有第j个物品，Xij=0表示船上没有第j个物品，那么商人渡河问题就可以用下面的数学模型表示：
目标函数：
(1) Min Z=X11+X12+ (Xi)
约束条件：
(2) W1X11+W2X12+……+WnXin≤V
(3) X11+X12+……+Xin=1
(4) 0≤Xij≤1
其中，约束条件(2)表示第i次船运的负载不超过容量V，约束条件(3)表示每次船运必须装一些物品，约束条件(4)表示每次船运的物品的数量限制在0与1之间。

商人过河数学模型专业信息与计算科学班级113010102姓名罗彪学号11301010229一、问题重述3名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。

商人们怎样才能安全过河呢？二、问题分析商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。

对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三、模型假设1.每个商人和随从都会划船；2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。

四、模型的建立与求解 1.模型建立k x ~第k 次渡河前此岸的商人数，k y ~第k 次渡河前此岸的随从数k x , k y =0,1,2,3; k =1,2,… …k S =(k x , k y , c k )~过程的状态，其中k x , k y , c k 分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c 取值1表示即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行S ~ 允许状态集合，S={(x , y )| x =0, y =0,1,2,3; x =3 ,y =0,1,2,3; x =y =1,2}k u ~第k 次渡船上的商人数 k v ~第k 次渡船上的随从数k d =(k u , k v )~决策，D={(u , v )| 21≤+≤v u ,k u , k v =0,1,2} ~允许决策集合k =1,2,… …因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态k S 随决策k d 的变化规律是1+k S =k S +k )1(-k d ~状态转移律求k d ∈D(k =1,2, …n), 使k S ∈S, 并按转移律由1S =(3,3,1)到达状态1+n S =(0,0,0(1))。

组长:王鹏道110714组员:任利伟110713、孙祎110706小组成员负责情况:王鹏道:选择论文题目、设计论文版面字体、分配成员任务、总结任利伟:一、问题提出、关键、分析。

二、模型假设、三、模型建立孙祎:四、模型求解、五、模型的检验、拓展及延伸2014年11月24日摘要为了求解3个商人与3个随从的过河问题,用数学分析方法,建立数学模型,并且加以求解,展示动态规划思想的应用步骤。

最后利用计算机蝙程进行求解,获得过河问题的完整求解过程;有效地求解类似多步决策问题的作用。

关键词:多步决策计算机求解状态转移律图解法一、问题的提出随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货,但就是乘船渡河的方案由商人决定、商人们怎样才能安全过河?二、问题的关键解决的关键集中在商人与随从的数量上,以及小船的容量上,该问题就就是考虑过河步骤的安排与数量上。

各个步骤对应的状态及决策的表示法也就是关键。

三、问题的分析在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

由于船上人数限制,这需要多步决策过程,必须考虑每一步船上的人员。

动态规划法正就是求解多步决策的有效方法。

它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。

直到可以直接求出其解的子问题为止。

分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树.树根就是原问题。

原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

四、模型假设记第k 次过河前A 岸的商人数为X K ,随从数为Y K k=1,2,⋯X K ,Y K =0,1,2,3,将二维向量S K =(X K ,Y K )定义为状态.把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。

记作S 。

则S={(X K ,Y K )|(X K =0,Y K =0,1,2,3),(X K =3,Y K =0,1,2,3),(X K =Y K =1)(X K =Y K =2)} 记第k 次过河船上的商人数为U K随从数为V K将二维向量D K =(U K ,V K )定义为决策.由小船的容量可知允许决策集合(记作D)为D={(U K ,V K )|U K +V K =l,2}={(O,1);(O,2);(1,O);(1,1);(2,O)}五、 模型建立:动态规划法正就是求解多步决策的有效方法。

作业1、2：商人过河一、问题重述问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。

乘船渡河的方案由商人决定。

商人们怎样才能安全过河?问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。

二、问题分析问题可以看做一个多步决策过程。

每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。

用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。

三．问题假设1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。

2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。

3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。

4. 随从会听从商人的调度。

四、模型构成x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4;y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,…..s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3}u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2;v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k)∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0）数学模型：k+1k S =S +k k D （-1） （1）'4k k x x += （2）'4k k y y += （3）k.k x y ≥ （4）''k k x y ≥ （5）模型分析：由（2）（3）（5）可得44kk x y -≥- 化简得k k x y ≤综合（4）可得k k x y = 和 {}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）还要考虑 {}'(',')|'0,'0,1,2,3,4kk k k k S x y x y === （7） 把（2）（3）带入（7）可得{}(4,4)|40,40,1,2,3,4k k k k k S x y x y =---=-=化简得{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 综合（6）（7）（8）式可得满足条件的情况满足下式{}(,)|0,4,0,1,2,3,4;k k k k k k k S x y x y x y ==== （9）所以我们知道满足条件的点如上图所示：点移动由{}(,)|4,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （8） 到达{}(,)|0,0,1,2,3,4k k k k k S x y x y === （6）时，可以认为完成渡河。

数学建模作业（四）——商人过河问题一．问题描述有四名商人各带一名仆人过河，但船最多能载二人，商人已获得仆人的阴谋：在河的任一岸，只要仆人数超过商人数，仆人会将商人杀死并窃取财物且安排如何乘船的权力掌握在商人手中。

试为商人制定一个安全过河的方案。

二．解决方案用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include <stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/ {int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode-> x=a;newnode-> y=b;newnode-> state=n;newnode-> next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2-> next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop()/*弹栈*/{link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer-> next!=PPointer2)pointer=pointer-> next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2-> next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/ {link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer-> x==a&&pointer-> y==b&&pointer-> state==n)return 0;pointer=pointer-> next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n)/*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a> =0&&b> =0&&a <=3&&b <=3&&c> =0&&d> =0&&c <=3&&d <=3&&a+c==3&&b+d==3){switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a> =b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n)/*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ {/*则判断下一个状态，直至问题解决*/ if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)){if(Duhe(a-1,b-1,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)){if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)){if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)){if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)){if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1)/*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0))if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf( "%d,%d---%d\n ",pointer-> x,pointer-> y,pointer-> state);pointer=pointer-> next;}getch();}。

数学建模论文题目：13对商仆过河问题姓名：班级：学号：日期：题目：13对商仆过河问题13对商人过河摘要本文针对商人安全渡河的问题，采用多步决策的过程建立数学模型，求解得到了在仆人没有杀人越货的情况下的渡河方案。

对于本题而言，在13对商仆、船的最大容量为2的情况下，首先定义了渡河前此岸的状态，并设安全渡河条件下的状态集定义为允许状态集合，接着得到渡河方案的允许决策集合，然后得到状态随渡河方案变化的规律，最后利用 dijkstra 算法，并利用Microsoft Visual C++ 6.0软件，编译运行程序得到了一种商仆安全渡河的方案。

但是，本文不仅仅是为了拼凑出一个可行方案，而是希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。

基于此目的，利用了dijkstra算法，得到最短路径的最优解。

但同时由于该算法遍历计算的节点很多，所以效率低，而且当有多个最短距离时，不能够将所有符合条件的情况逐一列出。

我们通过对程序的改善，使可以运行比较多的将符合条件的情况列出来。

1 问题重述13对商仆乘船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，商人就有危险．船一次载多少人商人们才可以安全渡河呢？2 问题分析安全渡河问题可以看成一个多步决策过程。

每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商仆各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比仆人数少)，在有限步内使人员全部过河。

用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目的。

此类智力问题经过思考，可以拼凑出一个可行方案。

但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性，并建立数学模型，用以解决更为广泛的问题。

3 模型假设及符号说明3.1 模型假设（1）每对商仆都会划船；（2）只有一条船，且船上最多只能乘坐两个人；（3）所有商仆之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；（4）船在渡河的过程中不受外界环境的影响。

摘要：M对商仆过河，一只船最多载N人，船上和岸上的仆人数都不能多于商人数，否则商人有危险。

安排合理的渡河方案，保证商人能安全渡河。

（可利用向量，矩阵，图解等方法）一．问题提出：有M对商仆乘船过河，一只船最多载N人，由商人和仆人自己划船渡河，在河的任意一岸，一旦仆人数多于商人数，仆人就可将商人杀死，谋取利益，但是乘船渡河的主动权掌握在商人们手中，商人们如何安排渡河方案，才能安全渡河？二．假设：商人和仆人都会划船，天气很好，无大风大浪，船的质量很好，船桨足够很多次的运载商人和仆人。

三．参数：1．设（x，y）是状态向量，表示任一岸的商人和仆人数，并且x，y分别要大于等于0，小于等于M。

2．设（m，n）是运载向量，表示运载的商人数和仆人数，0<=m<=N，0<=n<=N，0<=m+n<=N。

3．设用s表示所有的可取状态向量的集合。

4．设用d表示所有运载向量的集合。

5．设用表示从此岸到彼岸，作减；用表示从彼岸到此岸，作加。

Sk：表示第k步可取状态向量（sk属于s）；dk：表示第k步可取转移向量（dk属于d）；四．问题分析：商仆安全渡河问题可以视为一个多步决策过程，多步决策是指决策过程难以一次完成，而是多步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法。

对于每一步，即船由此岸驶向彼岸，或者船由彼岸驶向此岸的决策，不仅会影响到该过程的效果，而且还会影响到下一步的初始状态，从而对整个过程都会有影响。

所以，在每一次过河时，就不能只从这一次过河本身考虑，还要把它看成是整个过河过程中的一个部分。

在对船上的人员做决策时，要保证两岸的商人数不能少于仆人数，用最少的步伐是人员全部过河。

应用状态向量和运载向量，找出状态随运载变化的规律，此问题就转化为状态在允许范围内（即安全渡河条件），确定每一次该如何过河，从而达到渡河的目标。

现在我们都把它们数量化：即用数学语言来表示。

我们以3名商人为例设第k次渡河前此岸的商人数为x k，随从数为y k，k=1，2，…，x k，y k =0，1，2，3，将二维向量S k =（x k，y k）定义为状态。

案例名称:商人怎样安全过河学科分类：数学数学分支：初等数学模型预备知识：线性代数，解析几何，MATLAB适用对象：本科、专科学生1.问题的背景与问题提出这个案例是一个智力游戏。

3名商人各带1个随从乘船渡河，一只小船只能容纳2人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船渡河的大权掌握在商人手中。

商人们怎样才能安全渡河呢？2.问题的分析与模型建立：将一个智力游戏转化成数学问题。

商人渡河问题是一个多步决策问题。

首先由学生从玩游戏开始，在纸面上完成渡河过程；然后再由学生实际演绎，在黑板上记录渡河过程。

利用学生的演绎记录结果进行问题的分析与模型的建立。

分析整个操作过程，让模型的建立随着思考的深入自然而然的呈现。

Step1 变量的设置：用有序数对（x,y）表示岸上商人数和随从数，（u,v）表示船上的商人数和随从数，代数思想的自然渗入；Step2 过程的数学化表示：（x2,y2）=（x1,y1）-（u1,v1）（x3,y3）=（x2,y2）+（u2,v2）......（x i+1,y i+1）=（x i,y i）+(-1)i（u i,v i）规律即模型自然呈现。

Step3 模型的优化：引入集合的表示法状态允许集S=｛（x,y）:x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2｝允许决策集D={((u,v)):1≤u+v≤2，u,v=0,1,2}状态转移律 s k+1=s k+(-1)k d k求决策d k（k=1，2,...,n）使状态s k按照转移律，由初始状态s1=(3,3)经过有限步n到达状态s n+1=(0,0)。

3.模型的求解与结果检验求解方法1：符号操作法求解方法2：图解法（引入坐标系）求解方法3：穷举法编程上机4.模型的评注与应用用这种规格化的方法建立的多步决策模型可以用计算机来求解，从而具有推广的意义。

5.参考文献[1]姜启源.数学模型.4版.北京：高等教育出版社，2011×图1 符号法图2 安全渡河的图解法（1）图3 安全渡河的图解法（2）x3 2 1 0sn +139d11dxs n +1dmatlab上机程序：(1)function s=businessmann=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');if nn>nn=input('输入商人数目：');nn=input('输入仆人数目：');nnn=input('输入船的最大容量：');endk=1;for i=0:nnn %产生出所有的可能过河的决策for j=0:nnnif (i+j<=nnn) &(i+j>0)d(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示从此岸到彼岸d(k+1,1:3)=[-i,-j,-1]; %-1表示从彼岸到此岸k=k+2;endendendk=1;for i=n:-1:0 %产生安全队列for j=nn:-1:0if ((i>=j) & ((n-i)>=(nn-j))) | ((i==0)|(i==n))A(k,1:3)=[i,j,1]; %1表示此岸安全k=k+1;endendend%队列数据结构，第一列表示商人数，第二列表示仆人数，第三列用于记录该结点的上一个结点，第四列表示船的运动方向（1表示此岸往彼岸运动，-1表示从彼岸往此岸运动）sq(1,1)=n;sq(1,2)=nn;sq(1,3)=0;sq(1,4)=1; %初始状态front=1;rear=1; %队列的头尾指针while(front<=rear)x=sq(front,1);y=sq(front,2);flag=0;if (sq(front,4)==1)for v=2:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=-1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endflag=0;if (sq(front,4)==-1)for v=1:2:size(d,1)i=x+d(v,1);j=y+d(v,2);if (is_save(A,i,j)==1) & (sq(sq(front,3),1)~=i | sq(sq(front,3),2)~=j)rear=rear+1;sq(rear,1)=i;sq(rear,2)=j;sq(rear,3)=front;sq(rear,4)=1;endif (i==0 && j==0)flag=1;endendendif (flag==1)break;endfront=front+1;(2)function a=is_save(A,x,y)for i=1:size(A,1)if (x==A(i,1) && y==A(i,2))break;endendif i<size(A,1)a=1;elsea=0;。