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中学数学的最值问题

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ab2中学数学的最值问题 最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块： 一、用函数的单调性求代数函数的最值 （1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n],则f（m），与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。 （2）求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x= - 是否属于[m,n]，若x=- ∈[m,n],则f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R，当a>0时，有最小值ymn= ,岂a<0时，有最大值ymax= , 例1、求函数y=x2-2x-3在[ ， ]上的最值。 解：≧对称轴x=1∈[ , ]f，而f( )= ,f(1)=-4, f( ∟ )= - . ≨f(x)max= f(x)min=-4 例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。 解： ≧f(0)=-4 ≨c=-4 2≧a、b、c成等比数列 ≨b2=ac=-4a ab2ab2

abac4422125214152547abac4422125

47 而b≠0 则有a<0 从而函数f(x)=ax2+bx+c的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：f(x)max= = =-3. （3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。 例3、已知函数f(x)= x∈[1,+≦] 当a= 时，求函数f(x)的最小值 （2004年上海） 解：当a= 时， f(x)=x+ +2 ≧f/ (x)=1- ≧x∈[1,+≦] ≨f/(x)>0 ≨f(x)在[1，+≦]上是增函数 ≨f(x)在区间[1，+≦]上的最小值是 f(x)min=f(1)= 二、有关三角函数最值的求法 （1）用三角函数的有界性求最值 由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx≤1 -1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。 例4，已知R<-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是（ ） A、1 B、-2 C、2R+1 D、-2R+1 解：≧y=cos2x+R(cosx-1) =2cos2x+Rcosx-R-1 =2(cosx+ )2-R-1-

abac442aaa4416

xaxx222121x21221x

27

4k82

k 而R＜-4 ≨当cosx=1时,ymin=1 例5，a、b是不相等的函数，求y=xbsinxacos22 + xbcosxasin22的最大值和最小值。 解：≧y是正值，故使y2达到最大（或最小）的x值也使y达到最大（或最小）。 y2=acosx2+bsin2x+2xbsinxacos22〃xbcosxasin22+asin2x+asin2x+bcos2x =a+b+2xsinb)-(a4ab22 ≧a≠b a>0 b>0 ≨(a-b)2>0 0≤sin2x≤1 ≨当sinx=±1,即x= + (k∈z)时ymax=2b2a 当sinx=0,即x= (k∈z)时，ymin= a+b (2)利用三角函数的单调性 如果f(x)在[α,β]上是增函数，则f(x)在[α，β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数，则f(x)在[α,β]上有最大值f(x)，最小值f(β). 例6，在0≤x≤ 的条件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。 解：用二倍角公式及变形公式有： y= -2sinx-3 =2(cos2x-sinx)-1 =22(cos2xcos -sin2xsin )-1 =22cos(2x+ )-1 ≧0≤x≤ ≨ ≤2x+ ≤

2k22k

222cos1x22cos1x44424445 由余弦函数的单调性知：cos(2x+ )在[0， ]上是减函数，故岂x=0时有最大值 ，当x= 时有最小值-1。 cos(2x+ )在[ ， ]上是增函数，故当x= 时，有最小值-1,当x= 时有最大值- 。 综上 当x=0时 ,ymax=22× -1=1 当x= 时 ,ymin=22x(-1)-1=22-1 （3）用换元法求三角函数的最值 利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解， 例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x +cos4x的最大值和最小值。 解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x =(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx (sin2x+cos2x) =(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx =1+2sinxcosx-sin2xcos2x 令t=sinxcosx=21sin2x 则-21≤t≤21 ≨f(t)=1+2t-t2 =-(t-t)2+2 (-21≤t≤21) 当t=21,即x=kπ+4(k∈z)时,f(x)max=f(t)max=47 当t=-21 ,即x= kπ+43(kπ∈z)时,f(x)min=-41 ≨f(x)max=47 f(x)min=-41

483

2283

483283

222

22

83 三、用均值定理求最值 1、均值定理的构成的注意事项 二元均值不等式：2ba≥ab（a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号） 三元均值不等式：3cba≥3abc（a>0,b>0，c>0,当且仅当a=b=c时取等号） n元均值不等式：naaan21≥nnaaa21(a1＞0,a2＞0…an＞0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号) 在运用均值不等式求最值时应注意以下三点： i>函数解析式中各项均为正数。 ii>函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。 iii>含变数的各项均相等时才能取得最值。 2、均值定理在求函数最值中的应用 例8、解答下列各题 （1）求函数y=x2+44x(x>0) 的最小值。 （2）求函数y=2x2+x4(x>0)的最小值。 （3）求函数y=6x2-3x3(0（4）求函数y=x(1-x2)(0(5)(05年全国卷Ⅲ)求函数y=xxx2sinsin82cos12(0分析：若均值定理的某一端为常数，则当不等式的等号能取到时，这个常数就是另一端的最值，如 2ba≥ab，当ab为常数m>0时，则当且仅当a=b时，a+b有最小值m2，若a+b为常数n>0，则当且仅当a=b时，有最大值2n，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”。 解：（1）≧y=x2+44x=22x+22x+44x≥34224223xxx=3 ≨当且仅当22x=44x，即 x=2(≧x>0)时，ymin=3 (2)≧x>0 ≨2x2>0 x2>0 ≨y=2x2+x4=2x2+x2+x2≥322223xxx=6 ≨当且仅当2x2=x2,即x=1时，ymin=6 (3)≧y=6x2-2x3=2x2(3-x) ≧00 2x>0

≨y=8〃2x〃2x(3-x)≤8×33)3(22xxx=8 当且仅当2x=3-x,即x=2时，ymax=8 (4)≧00 1-x2>0 ≨x(1-x2)>0

≧y2=x2〃(1-x2)2=21〃2x2(1-x2)(1-x2) ≤=33)1()1(221222xxx=274 当且仅当2x2=1-x2,即x=33时，y2有最大值274。 ≨当x=33时，ymax=932 （5）y=xxxxcossin2sin81cos2122 =cotx+4tanx ≧00 tanx>0 ≨y=cotx+4tanx≥xxcottan42=4 当且仅当4tanx=cotx即x=aintan21时，ymin=4 3、运用均值定理解应用题 例9：学校食堂定期从某粮店以每吨2000元价格购进大米，每次购进大米需支付运输费100元，已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买。 （1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？ （2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。 解：（1）设每隔x天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米x吨，从而库存总费用为2[x+(x-1)+……+2+1]=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为y,则 y1=x1[x(x+1)+100]+2000=x+x100+2001≥2xx100+2001=2021 当且仅当x=x100 即x=10时取等号。 ≨每隔10天购出一项，才能使每天所付费用最少。 （2）设能接受优惠条件，则至少每隔20天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为y2元，则 y2=t1[t(t+1)+100]+2000×95%=t+t100+1901 由于t=10不在函数定义域内，教不能使用均值定理。 令f(t)=t+t100+1901 (t≥20) 设t1 ,t2∈[20 ,+≦)且t1>t2

则f(t2)-f(t1)=t2-t1+12100100tt=(t2-t1)(1-12100tt) = ≧t2>t1≥20 ≨t2－t1>0 t2t1-100>0 t2t1>0 121212

)100)((tttttt

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初中数学最值题解法小结

初中数学最值题解法小结

初中数学最值题解法小结在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大〔小〕值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一. 二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2〔a 、b 、c 为常数且a ≠0〕其性质中有①假设a >0当x b a =-2时，y 有最小值。

y ac b amin =-442； ②假设a <0当x b a =-2时，y 有最大值。

y ac b amax =-442。

利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而到达解决实际问题之目的例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R 〔元〕，售价每只为P 〔元〕，且R 、P 与x 的关系式分别为R x =+50030，P x =-1702。

〔1〕当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；〔2〕当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：〔1〕根据题意得 1750=-Px R()()1702500301750--+=x x x整理得x x 27011250-+=解得x 125=，x 245=〔不合题意，舍去〕〔2〕由题意知，利润为Px R x x x -=-+-=--+2140500235195022()所以当x =35时，最大利润为1950元。

二. 一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大〔小〕值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大〔小〕值。

例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？ 解：设招聘甲种工种的工人为x 人，则乙种工种的工人为()150-x 人，由题意得： 1502-≥x x 所以050≤≤x设所招聘的工人共需付月工资y 元，则有：y x x x =+-=-+6001000150400150000()〔050≤≤x 〕 因为y 随x 的增大而减小所以当x =50时，y min =130000〔元〕三. 判别式法例3. 求x x x x 2211-+++的最大值与最小值。

求函数最值问题常用的10种方法

求函数最值问题常用的10种方法

分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
函数最值问题

函数最值问题

专题：函数最值问题函数最值问题遍及中学数学各个内容的方方面面，同时在我们的生活实践中也有着广泛的应用，是中学数学的重要内容之一．由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要求考生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，因此，函数最值问题一直是新课标高考的一个 重要的热点问题，在新课标高考中占有极其重要的地位．下面就该问题的常用解法：一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：①对任意I x ∈，都有M x f ≤)(，②存在I x ∈0，使得M x f =)(0，则称M 为函数)(x f y =的最大值； （如果存在实数N ，满足：对任意I x ∈，都有N x f ≥)(，②存在I x ∈0，使得N x f =)(0，则称N 为函数)(x f y =的最小值．）我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．例1：设函数)(x f y =的定义域为R ，有下列三个命题：① 若存在常数M ，使得对任意R x ∈，有M x f <)(，则M 是函数)(x f y =的最大值； ② 若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f y =的最大值；③ 若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数)(x f y =的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如c x bf x af x F ++=)()()(2的函数的最值问题，可以考虑用配方法．三、换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．四、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间],[n m 上的最值：若函数)(x f 在],[n m 上单调递增，则，，)()()()(max min n f x f m f x f ==；若函数)(x f 在],[n m 上单调递减，则)()(min n f x f =，)()(max m f x f =；若函数)(x f 在],[n m 上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．五、判别式法把函数转化为x 的二次方程0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如gfx ex c bx ax y ++++=22(g a ,不同时为0)的分式函数的最值． 例5：求函数434322+++-=x x x x y 的最大值和最小值．点评：判别式法的应用，对转化的(y －1)x 2＋(3y ＋3)x ＋4y －4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次项系数为0时，要另行讨论，对本题若y －1＝0，即y ＝1，有(3＋3)x ＋4－4＝0，所以x ＝0.一般来说，利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x 2＋h(y)x ＋φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验证g(y)＝0时y 的值对应的x 的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y 的值在函数的值域内，否则相反．六、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例6：已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则M m 的值为 ( ) A.14B.12C.22D.32 分析：对于形如cx b cx a y ++-=的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数))((2)(2cx b cx a b a y +-++=的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．七、数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例7：对R b a ∈,，记⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,},m ax {，函数R x x x x f ∈-+=},2,1max{)(的最小值是________．。

解决最值问题的三种最基本方法

解决最值问题的三种最基本方法

解决最值问题的三种最基本方法摘要：最值问题是中学数学的重要题型之一，解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。

关键词：最值问题基本不等式消元法与换元法导数法。

最值问题是中学数学的重要题型之一，它的综合性较强，题型多样，解法灵活，涉及知识面广泛。

在高考中，常以一些基础题、小综合的中档题，或一些难题的形式出现，几乎每年的高考试题中都有考查。

解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。

本文结合两个典型例题进行分析和探讨，体会上述三种最基本方法的解题思路和解题技巧。

典型例题1：已知x＞1，y＞1，xy=16，求log2x·log2y的最大值？思路一分析：利用基本不等式≥ab，将log2x·log2y替换ab的位置，进而寻求最值。

解析：∵x>1，y>1，∴log2x>0，log2y>0，∴log2x+log2y≥2log2x·log2y，∵log2x+log2y=log2xy=log216=4，∴log2x·log2y≤4，当且仅当log2x=log2y，即x=y时等号成立。

∴最大值为4。

点评：利用基本不等式求最值，可以概括为“凑定和”与“凑定积”的问题，思路一灵活运用对数运算的性质，达到“凑定和”的目的。

思路二分析：先利用消元法，将y=代入，转变为一个变量的函数，再利用换元法转变为二次函数，利用二次函数的图像与性质求最值。

解析：∵xy=16，y=，∴log2x·log2y=log2x·log2=log2x·（log216-log2x）令t=log2x，∵x>1，t>0，∴原式=t·（4-t）=-t2+4t，利用二次函数图像得：t=2时，即x=4，取得最大值4。

点评：消元法是求最值问题常用的方法之一，是学生所熟悉和乐于使用的方法。

换元法中要特别注意中间变量的取值范围。