临沂大学成人教育复变函数(1)期末考试复习题及参考答案

高等数学期末考试(1)一、单选题（共25题，100分）1、（4.0）A、B、C、D、正确答案： D2、（4.0）A、B、C、D、正确答案： D3、（4.0）A、 0B、 14C、 4D、 12正确答案： B4、（4.0）A、B、C、D、正确答案： C5、（4.0）A、B、 1C、 1/3D、 -1正确答案： B 6、（4.0）A、B、C、D、正确答案： B 7、（4.0）A、B、C、D、正确答案： A8、（4.0）A、B、C、D、正确答案： B9、设向量与向量平行，则k= （4.0）A、B、C、 1D、 -1正确答案： A10、已知，则（4.0）A、 9B、 -9C、 8D、 -8正确答案： B11、幂级数的收敛区间是（4.0）A、B、C、D、正确答案： A12、级数的收敛区间（4.0）A、（4，6）B、（-4，6）C、D、[4，6]正确答案： A13、在空间内方程表示（4.0）A、双曲抛物面B、抛物线C、抛物柱面D、椭圆抛物面正确答案： D14、在空间内方程表示（4.0）A、抛物线B、抛物柱面C、双曲抛物面D、椭圆抛物面正确答案： B15、母线平行于X轴且通过曲线的柱面方程是（4.0）A、B、C、D、正确答案： C16、母线平行于Y轴且通过曲线的柱面方程是（4.0）A、B、C、D、正确答案： C17、平行于面且经过点的平面方程是（4.0）A、B、C、D、正确答案： B18、平行于X轴且经过点和的平面方程（4.0）A、B、C、D、正确答案： C19、若，且，则有（4.0）A、B、C、D、以上结论都不正确正确答案： B20、如果则线段的长度为（4.0）A、 1B、 2C、 3D、 4正确答案： C21、在空间直接坐标系下，下列结论中错误的是（4.0）A、表示椭圆抛物面B、示单位圆C、表示旋转圆锥面D、表示椭球面正确答案： B22、两平面和的夹角为（4.0）A、B、C、D、正确答案： D23、点到平面的距离为（4.0）A、 4B、 3C、 2D、 1正确答案： D24、以为球心且过原点的球面方程为（4.0）A、B、C、D、正确答案： A25、下列级数绝对收敛的是（4.0）A、B、C、D、正确答案： A。

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ） 8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。

一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(一)一、 判断题（20分）:1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （ ） 2。

有界整函数必在整个复平面为常数. （ ) 3。

若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)(（常数）. ( ）5。

若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

( ） 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点。

( ）8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ） 9。

若f (z )在区域D 内解析， 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10。

若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（ ） 二.填空题(20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数)2。

=+z z 22cos sin _________. 3。

函数z sin 的周期为___________.4。

设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6。

若函数f （z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________。

8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ 。

10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三。

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。

答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试一试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数 f(z) 在 z 0 分析 .( )2. 有界整函数必在整个复平面为常数.()3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Imz n }都收敛 .( )4. 若 f(z)在地区 D 内分析，且 f '( z)，则 f ( z)C（常数） . ( )5. 若函数 f(z) 在 z 0 处分析，则它在该点的某个邻域内能够睁开为幂级数 .( )6. 若 z 0 是f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .()lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 . ()8. 若函数 f(z) 在是地区 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0(z D ) .( )9. 若 f ( z ) 在地区 D 内分析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf (z)dz 0 .C( )10. 若函数 f(z) 在地区 D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z) 在地区 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、dz__________. （ n 为自然数） |z z 0 |1 ( z z )n2.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 214. 设 1，则f ( z)的孤立奇点有 __________.5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上到处分析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn______________.Re s(e zn ,0)z，此中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若z0 是f (z)lim f (z) ___的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)1(z1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0| z | 1}内的罗朗展式 .1. 设1dz.2.|z| 1cos zf ( z)3 2 71dC { z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).3. 设Cz，此中z 1w1的实部与虚部 .4. 求复数z 四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数 f (z)在地区D 内分析 . 证明：假如 | f ( z) |D 内在 D 内为常数，那么它在 为常数 .2. 试证 : f (z) z(1z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值分析分支 ,并求出支割线 0 Re z 1登岸取正当的那支在z1的值 .《复变函数》考试一试题（一）参照答案一．判断题1．× 2．√ ３．√４．√ ５．√6．√７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 i n 1 ； 3.2k ， ( kz) ； 4.z i ； 5. 11.n； 2.1 0 16. 整函数；7. ；8. 1 ；9. 0；10. .(n 1)!三．计算题 .1. 解因为0 z 1, 所以 0 z 1f ( z) 12) 1 1 z n 1 (z)n.( z 1)(z 1 z z ) n 0 2 n 0 22(122. 解因为z1Re s f (z) lim 2 lim 1z cosz sin z ,z z2 2 2Re s f (z) lim z 2 11. cosz limz z z sin z2 2 2所以 1 dz 2 i(Re s f (z) Re s f (z) 0 .z 2 cos zz 2 z 23. 解令 ( ) 3 2 7 1, 则它在 z 平面分析, 由柯西公式有在 z 3内,f (z)c ( )dz 2 i (z) . z所以f (1 i ) 2 i (z) z1 i2 i (13 6i ) 2 ( 6 13i ) .4. 解令 z a bi , 则w z 1 1 2 1 2( a 1 bi ) 1 2(a 1) 2b .z 1 z 1 ( a 1)2 b2 ( a 1)2 b2 (a 1)2 b2故z 112(a 1),z 1 2b. Re( )( a 1)2 b2Im( )(a 1)2 b2z 1 z 1四.证明题.1.证明设在D内 f ( z) C .令 f ( z) u iv ,则 f ( z)2u2v2c2.两边分别对 x, y 求偏导数 , 得uu xvv x 0 (1)uu y vv y 0(2)因为函数在 D 内分析 , 所以 u x v y , u y v x . 代入 (2) 则上述方程组变成uu xvv x 0 . 消去 u x 得, (u 2 v 2 ) v x 0 .vu xuv x 01)若 u 2 v 20 , 则 f ( z)0 为常数 .2) 若 v x0, 由方程 (1) (2)及 C.R. 方程有 u x 0, u y 0 ,v y 0 .所以 u c 1, v c 2 . ( c 1, c 2 为常数 ).所以f ( z)c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z) z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z1的 z 平面内变点就不行能单绕 0 或 1转一周 , 故能分出两个单值分析分支 .因为当 z 从支割线登岸一点出发, 连续改动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增添. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增添. 由已知所取分支在支割线登岸取正当 , 于是可以为该2分支在登岸之幅角为 0, 因此此分支在z1 的幅角为 , 故 f ( 1)2e2i2i .2《复变函数》考试一试题（二）一 . 判断题 . （20 分）1.若函数 f (z)u(x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 ux,y) 与 v x,y ) 都在 D 内连续.( (( )2. cosz与sinz 在 复 平面 内 有界 .( )3. 若 函 数 f ( z)在 z 0分析，则f ( z) 在z 0 连 续 .()4. 有界整函数必为常数 .( )5.如 z 0 是函数 f ( z) 的天性奇点，则 lim ( ) 必定不存在 .()z z 0f z6. 若 函 数 f ( z) 在 z 0 可 导 ， 则f ( z) 在 z 0解 析 .( )7. 若 f ( z) 在地区 D 内分析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf ( z)dz 0 .C( )8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )9. 若 f ( z) 在 区 域D 内 解 析 ， 则 | f ( z)| 也 在D内分析.( )10. 存在一个在零点分析的函数f ( z) 使 f (1 ) 0 且 f ( 1) 1 , n 1,2,... . n12n2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z __, z __2. 设 f ( z) ( x 2 2 xy) i (1 sin( x 2 y 2 ), z x iy C ，则 lim f (z) ________.z 1 i3.dz_________.（ n 为自然数）|z z 0 | 1( z z )n4.幂级数nz n 的收敛半径为 __________ .n 05. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z 0 是 f '( z) 的_____零点 .6.函数 e z 的周期为 __________.7. 方程 2z 5 z 3 3z 8 0 在单位圆内的零点个数为 ________. 8. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 _________. z 219. 函数 f (z) | z |的不分析点之集为 ________.10. Res(z 1,1) ____ .z4三 . 计算题 . (40分 )1.求函数sin(2z3)的幂级数睁开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的地区内取定函数z在正实轴取正实值的一个分析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z| 1）i的右半圆 .sin z dzz 2( z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f ( z) 在地区 D内分析，试证：f ( z) 在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内分析 .2.试用儒歇定理证明朝数基本定理 .《复变函数》考试一试题（二）参照答案一. 判断题 .1．√２．×３．√４．√５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题， i ； 2. 3 (1 sin 2)i ； 3. 2 i n 1； 5. m 1.，0 n ； 4.12 16. 2k i ，( k z) .7. 0；8. i ；9. R ；10. 0.三. 计算题1. 解 sin(2 z3 ) ( 1)n (2 z3 )2n 1 ( 1)n 22n 1 z6 n 3 .n 0 (2 n 1)! n 0 (2 n 1)!2. 解令 z re i .i 2 k则 f ( z)z re2,(k 0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k 0 .i所以 f (i)e 4 .3. 单位圆的右半圆周为 ze i ,2.2izdz2deiei22i.所以i224. 解zsin z dz 2 i (sin z)2 i cos z2)2( zz2z 2=0.2四. 证明题 .1. 证明(必需性 ) 令 f ( z)c 1 ic 2 , 则 f ( z) c 1 ic 2 . ( c 1 ,c 2 为实常数 ).令 u( x, y) c 1, v( x, y) c 2 . 则 u x v yu yv x 0 .即 u, v 知足 C.R., 且 u x , v y ,u y , v x 连续 , 故 f (z) 在 D 内分析 .(充分性 ) 令 f ( z)u iv , 则 f (z) uiv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在 D 内分析 , 所以u x v y , u yv x , 且 u x ( v)y v y , u y ( v x ) v x .比较等式两边得 u x v yu y v x 0 . 进而在 D 内 u, v 均为常数 , 故 f (z) 在 D 内为常数.2. 即要证“任一n 次方程a 0 zna 1zn 1a n 1z an0 ( a 0 0) 有且只有 n个根” .证明 令 f (z)a 0 z na 1z n 1a n 1z a n0 , 取 Rmax a 1a n,1 , 当a 0z在C : z R上时,有( z) a 1 R n 1a n 1 R a n ( a 1a n )R n 1 a 0 R n .f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内 , 方程 a 0 z n a 1z n 1 a n 1 z a n 0 与 a 0 z n 0 有相同个数的根 . 而 a0 z n 0 在z R 内有一个n 重根z 0 .所以n次方程在 z R 内有 n 个根.《复变函数》考试一试题（三）一. 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为2k . ( )2. 若 f ( z) 在 z0处知足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z0分析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z0处分析，则 f ( z) 在 z0连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n} 都收敛. ( )5.若函数 f ( z) 是地区 D 内分析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z0分析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导 . ( )7. 假如函数 f ( z) 在D { z :| z | 1} 上分析,且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) . （）8. 若函数 f ( z) 在 z0 处分析，则它在该点的某个邻域内能够睁开为幂级数.( ) 9. 若 z0是f ( z)的 m阶零点 , 则 z0是 1/ f ( z)的 m阶极点 . ( )10. 若z0是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z0 ) 0. ( )二. 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z) 1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.z2 12. 函数 e z的周期为 _________.3. 若 z n n 2 i (1 1) n，则lim z n__________.1 n n n4. sin 2 z cos2 z ___________.dz5.|z z0 | 1(z z ) n_________. （n为自然数）6. 幂级数nx n的收敛半径为__________.n 07. 设 f (z) 11 ，则 f ( z) 的孤立奇点有 __________.z28. 设 e z1，则 z ___ .9.若z 0 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___.z z 0z10.Res(en ,0)____ .z三 . 计算题 . (40 分)11.将函数f ( z)z 2e z 在圆环域 0z内展为 Laurent级数 .2.试求幂级数n! z n 的收敛半径nn n.3. 算以下积分：e zdz，此中 C 是 | z | 1.Cz 2(z29)4. 求 z92z 6 z 2 8z2 0 在| z|<1 内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在地区 D 内分析 . 证明：假如 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，而且假设存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使适当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n ，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。