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ˆ，作为的估计 挑选使L( )达到最大的参数
L( x1 ,
ˆ) max L( x , , xn , 1
2 (1 , 2 , k (1 , 2 ,
, k ) A2 , k ) Ak
解得 l ( A1 , A2 ,
, Ak ), l 1, 2,
, k , 并以 l 作为参数l的
估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的 观察值就是矩估计值。
例2 设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b 为未知量，X1,X2,…,Xn是X的一个样本， 试求a,b的矩估计量。 ab 解： 1 (a, b) E ( X ) 2 2 2 ( b a ) ( a b ) 2 (a, b) E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 12 4 n 1 建立 1 A1 n X i X a b 2 A1 统计 i 1 即 n 2 1 量方 b a 12( A A 2 A 2 1) X 2 2 i 程组 n i 1
i 1 n
为参数 的似然函数。
若总体X是连续型随机变量，其概率密度 为f(x, )，x1, x2,…, xn为X1,X2,…,Xn的 一个样本值，则参数 的似然函数为
L( ) L( x1 ,
, xn , ) f ( xi , )
i 1
n
(2) 求似然函数L( )的最大值点
1 ˆ X i X 样本均值 n i 1 1 2 2 ˆ ( X i X ) Sn 样本2阶中心矩 n i 1
2 n
n
定义 设总体X的分布函数F(x; )中含有未 知参数，X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本， x1, x2,…, xn为样本观察值， 的似然函数为 L(x1, x2,…, xn; ) ˆ ，使得函数L达到最大值，即 如果存在 ˆ) max L L( x1 , , xn ;
求极大似然估计的一般步骤
(1) 构造似然函数L( ) 若总体X是离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=p(x, ) 其中 为未知参数 设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本， 而x1, x2,…, xn为X1,X2,…,Xn的一个样本 值，那么称
L( ) L( x1 , , xn , ) P( X1 x1, , X n xn ) p( xi , )
ˆ 是参数 的极大似然估计值； 则称 ˆ ˆ( X , , X ) 为参数 的极大似然估计量。 而称 1 n
极大似然函数估计法的主要思想
适当选取，使得似然函数L( )的值达到最大， 也就是使试验得出的结果X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn 的概率最大，这个值就是参数 的估计值。
2 a A1 3( A2 A1 ) X a,b的矩估计量为 2 b A 3( A A 1 2 1 ) X 3 n 2 ( X X ) i n i 1 3 n 2 ( X X ) i n i 1
一般地, 不论总体服从什么分布，若总 体的期望与方差 2均存在, 则它们的 矩估计量分别为
设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有 k个不同的未知参数 1,2, ,k 时
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本
构造 k 个统计量：
随 机 2 ( X1, X 2 , 变 量 k ( X1, X 2 ,
1 ( X1, X 2 ,
, Xn) , Xn) , Xn)
ˆ (x , x , 1 1 2 ˆ (x , x , 2 1 2 ˆ (x , x , k 1 2
并且对于任何k，只要E(Xk)存在，同样有 1 n k lim P{| X i E ( X k ) | } 0 k 1, 2,... n n i 1 因此，很自然地想到用样本矩来代替总体 矩，从而得到总体分布中参数的一种估计。
定义 设总体X的分布函数中含有k个未知参数 1,2,…,k,即F=F(x;1,2,…,k)，总体X 的前k 阶矩l =E(Xl )(l=1,2,…,k)存在,它们是 1,2,…,k的函数l(1,2,…,k)(l =1,2,…,k) 假设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，建立 统计量--样本l 阶原点矩Al (l=1,2,…,k)，由下列 1 (1 , 2 , , k ) A1 方程组：
, xn ) , xn ) , Байду номын сангаасn )
数 值
当测得一组样本值(x1, x2,…, xn)时，代入上述统计 量，即可得到 k个数,分别作为这k个参数的估计值
矩估计法
设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X 的一个样本, 根据大数定律，对任意ε>0，有
n
lim P{| X E ( X ) | } 0
第七章
参数估计
§7.1 参数的点估计概念 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 参数的区间估计
§7.1 参数的点估计概念
定义 设总体X的分布函数的形式已知，它的一 个或多个参数未知，根据总体X的一个样本 X1,X2,…, Xn来估计总体未知参数的真值称为参 数的点估计。 定义 设总体X 的分布函数F(x, )中含有未知 参数，X1,X2,…, Xn为总体X的一个样本， x1,x2,…, xn是相应的一个样本值。构造一个适 当的不含未知参数的统计量 ( X1 , X 2 , , X n )， 用它的观测值 ( x1 , x2 , , xn )作为参数 的近似 值，称 ( X1 , X 2 , , X n )为参数 的估计量，称 ( x1 , x2 , , xn ) 为参数 的估计值。
