第4讲 方程和函数型阅读理解

第二章函数、导数及其应用第4讲函数及其表示考情分析考纲要求命题趋势一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有__唯一确定__的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的__定义域__，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的__值域__.2．函数的表示方法(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__．(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__.(3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__.3．函数的三要素(1)函数的三要素：__定义域__，对应关系，值域．(2)两个函数相等：如果两个函数的__定义域__相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的__对应关系__不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．分段函数的定义域等于各段函数自变量取值的并集，分段函数的值域等于各段函数值的并集．5．映射的概念一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有__唯一确定__的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．6．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( √ )(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一函数．( √ ) (4)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( × ) 解析 (1)正确．函数是特殊的映射．(2)错误．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，不是相等函数．(3)正确．函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域和对应关系相同． (4)错误．因为定义域为空集. 2．给出下列四个对应：①A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y ＝1x ＋1；②A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 12a ∈N *，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ⎪⎪b ＝1n ，n ∈N *，对应关系f ：a →b ，b ＝1a ； ③A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，对应关系f ：x →y ，y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；④A ＝{x |x 是平面α内的矩形}，B ＝{y |y 是平面α内的圆}，对应关系f ：每一个矩形都对应它的外接圆．其中是从A 到B 的映射的为( B ) A ．①③B ．②④C ．①④D ．③④解析 对于①，当x ＝－1时，y 值不存在，所以①不是从A 到B 的映射；对于②，A ，B 是两个集合，分别用列举法表述为A ＝{2,4，6，…}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，13，14，…，由对应关系f ：a →b ，b ＝1a 知，②是从A 到B 的映射；③不是从A 到B 的映射，如A 中元素1对应B 中两个元素±1；④是从A 到B 的映射．3．下列四组函数中，表示同一函数的是( A ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1解析 A 项中，g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B 项中的两个函数的定义域不同，故不是同一函数；C 项中，f (x )＝x 2－1x －1＝x ＋1(x ≠1)与g (x )＝x＋1两个函数的定义域不同，故不是同一函数；D 项中，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数，故选A ．4．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝__10__. 解析 因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为__(－∞，2]__.解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]．一 求函数定义域的方法(1)求函数的定义域要从对函数的定义域的理解开始．函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，认清楚自变量后，就要从使解析式有意义的角度入手了．一般来说，在高中范围内涉及的有：①开偶次方时被开方数为非负数；②分式的分母不为零；③零次幂的底数不为零；④对数的真数大于零；⑤指数、对数的底数大于零且不等于1；⑥实际问题还需要考虑使题目本身有意义；⑦若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(2)求复合函数的定义域一般有两种情况：①已知y ＝f (x )的定义域是A ，求y ＝f (g (x ))的定义域，可由g (x )∈A 求出x 的范围，即为y ＝f (g (x ))的定义域；②已知y ＝f (g (x ))的定义域是A ，求y ＝f (x )的定义域，可由x ∈A 求出g (x )的范围，即为y ＝f (x )的定义域．【例1】 (1)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为__(0,2]__．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为__[0,1)__.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x <1，即定义域是[0,1)．二 求函数解析式的方法函数解析式的常见求法(1)配凑法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )的问题，往往把右边的g (x )整理成或配凑成只含h (x )的式子，然后用x 将h (x )代换．(2)待定系数法．已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法．已知f (h (x ))＝g (x )，求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元．应用换元法时要注意新元的取值范围．(4)方程组法．已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【例2】 (1)(2018·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝__x 2－x ＋1(x ≠1)__.(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋3，则f (x )＝！！！ 12x 2＋52x ＋2 ###.(3)(2018·江西宜丰中学月考)若函数f (x )满足方程af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，x ∈R 且x ≠0，a 为常数，且a ≠0，a ≠±1，则f (x )＝！！！ a (ax 2－1)(a 2－1)x###.解析 (1)f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t ≠1，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝c ＝2，得f (x )＝ax 2＋bx ＋2.则f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x ＋3，所以2a ＝1，且a ＋b ＝3，解得a ＝12，b ＝52，故f (x )＝12x 2＋52x ＋2.(3)因为af (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ax ，所以af ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝a x ，两方程联立解得f (x )＝a (ax 2－1)(a 2－1)x. 三 分段函数分段函数两种题型的求解策略(1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确定自变量的取值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)．应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．注意：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【例3】 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝__1__. (2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ ###. 解析 (1)∵f (x )是周期为2的函数，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1． (2)由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.1．函数f (x )＝lg (－x 2＋x ＋2)x 的定义域为( A )A ．(－1,0)∪(0,2)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋2>0，x ≠0⇒x ∈(－1,0)∪(0,2)，故A 正确．2．对于任意x ∈R ，下列式子都存在函数f (x )的是( D ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析 对于A 项，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 项错．在B 项中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 项错．在C 项中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 项错．在D 项中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，故选D ．3．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__.解析 若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(15－x )，x ≤0，f (x －2)，x >0，则f (3)＝__4__.解析 f (3)＝f (1)＝f (－1)＝log 216＝4.易错点1 不会求抽象函数的定义域错因分析：①定义域是自变量x 的取值范围；②对应法则f 下括号内式子的取值范围与f (x )中x 的取值范围一样．【例1】 (1)若函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________； (2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，则函数f (3x －2)的定义域为________.解析 (1)由已知得－1<2x ＋1<0，即－1<x <－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12.(2)由－1<x <0，得－1<2x ＋1<1， 于是－1<3x －2<1，13<x <1，函数f (3x －2)的定义域为⎝⎛⎭⎫13，1. 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－1，－12 (2)⎝⎛⎭⎫13，1 【跟踪训练1】 已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__[－1,2]__.解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．易错点2 不理解定义域，值域为R 的含义错因分析：不能透彻理解定义域是使函数有意义的所有x 的取值集合；值域是所有函数值的集合．因而解决问题时易出错．【例2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的值域为R ，求实数a 的取值范围． 解析 f (x )的值域为R ，即t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14能取得所有大于0的实数．①a ＝0时，t ＝－x ＋14能取得所有大于0的实数，满足题意；②a ≠0时必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a ≥0， 解得a ≥3＋52或0<a ≤3－52.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋52，＋∞.【跟踪训练2】 已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解析 f (x )的定义域为R ，即对一切实数x ，t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14的值恒大于0.①a ＝0时，t ＝－x ＋14的值不恒大于0；②a ≠0时，必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2－a <0，解得3－52<a <3＋52.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52.课时达标 第4讲[解密考纲]本考点考查函数的概念、函数的三要素以及分段函数求值等．一般以选择题、填空题的形式呈现，排在考卷靠前位置，题目难度不大．一、选择题1．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，M ＝{y |0≤y ≤2}，则下列表示从P 到M 的映射的是( D ) A ．f ：x →y ＝23xB ．f ：x →y ＝x 2－x2x －2C ．f ：x →y ＝13(x －3)2D ．f ：x →y ＝x ＋5－1解析 对于A ，当x ＝4时，y ＝83∉M ；对于B ，当x ＝1时，x 2－x 2x －2无意义；对于C ，当x ＝0时，y ＝3∉M ；D 符合映射定义，故选D ．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( D ) A ．12B ．－12C ．－1D ．1解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋1＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝ cos π3＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫－43π＝12＋1－12＝1． 3．函数y ＝ln(x 2－x )＋4－2x 的定义域为( B ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1,2] C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x >0，4－2x≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >1，x ≤2.即x ∈(－∞，0)∪(1,2]，故选B ．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，log 3x ，x >0，设a ＝log 123，则f (f (a ))＝( A )A ．12B ．2C ．3D ．－2解析 ∵a ＝log 123<0，∴f (a )＝3，∴f (f (a ))＝f (3)＝log 33＝12.5．下列四组函数中，表示同一函数的是( C )A ．y ＝x 2与y ＝3x 3 B ．y ＝1与y ＝x 0 C ．y ＝2x ＋1与y ＝2t ＋1D ．y ＝x 与y ＝(x )2解析 A 项中两函数值域不同，B 项、D 项中两函数定义域不同，故选C ．6．(2018·福建福州调研)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( D )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析 令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018，故选D ．二、填空题7．(2018·安徽合肥模拟)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为__[－1,0]__.解析 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a ≥1，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立，所以Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8．(2018·江苏张家港模拟)已知f (x )＝3x －2，则f (x )＝__3x 2－2(x ≥0)__． 解析 令t ＝x ，则x ＝t 2(t ≥0)，所以f (t )＝3t 2－2(t ≥0)，所以f (x )＝3x 2－2(x ≥0)．9．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤0，x ，x >0，若f (a )>3，则a 的取值范围是__(9，＋∞)__．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0，2a －1>3或⎩⎨⎧a >0，a >3，解得a >9.三、解答题10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解析 (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图．11．(2018·湖南怀化月考)已知f (x )＝2x ，g (x )是一次函数，并且点(2,2)在函数f (g (x ))的图象上，点(2,5)在函数g (f (x ))的图象上，求g (x )的解析式．解析 设g (x )＝ax ＋b ，a ≠0，则f (g (x ))＝2ax ＋b ，g (f (x ))＝a ·2x ＋b ，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 22a ＋b＝2，4a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以g (x )＝2x －3. 12．(2018·重庆月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n (m ，n ∈R )，f (0)＝f (1)，且方程x ＝f (x )有两个相等的实数根．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,3]时，求函数f (x )的值域． 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (0)＝f (1)， ∴n ＝1＋m ＋n ，∴m ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋n . ∵方程x ＝f (x )，即方程x 2－2x ＋n ＝0有两个相等的实数根，∴(－2)2－4n ＝0， 得n ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1． (2)由(1)知f (x )＝x 2－x ＋1．此函数的图象是开口向上，对称轴为x ＝12的抛物线，∴当x ＝12时，f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎫12. 而f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＋1＝34， f (0)＝1，f (3)＝32－3＋1＝7，∴当x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤34，7.。

教学目标知识梳理第四讲 一轮复习—函数专题之反比例函数1、掌握反比例函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；2、理解反比例函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。

知识点一、反比例函数的定义 反比例函数：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式xy =k 、 1-=kx y 。

知识点二、反比例函数的图像1、图像形状：反比例函数的图像属于双曲线。

【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论 知识点三、|k |的几何意义1、过反比例函数()0ky k x=≠，图像上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==。

2、与反比例函数上的点有关的三角形的面积【误区警示】应用比例系数k 的几何意义时的易错点 (1)忽略图像所在的象限而导致k 的符号出错 (2)混淆矩形或三角形与|k |的倍数关系 3、与反比例函数上的点有关的梯形的面积S △OCD =S 梯形ABCD知识点四、反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

知识点五、反比例函数的应用1、 反比例函数在实际问题中的应用反比例函数在实际问题中,通常自变量的取值范围因实际背景而受到限制,这时对应的函数图像会是双曲线的一支或一段.在实际问题中,要注意标明自变量的取值范围. 2、 反比例函数图像与一次函数图像的交点问题典型例题一次函数y=k 1x+b (k 1≠0)的图像与反比例函数y =k 2x(k 2≠0)的图像的交点个数有三种情况:0个、1个、2个.因为两个函数表达式联立组成的二元方程组可化为一个一元二次方程,所以两个函数图像的交点个数由这个一元二次方程的实数解的个数来决定.【提分笔记】在同一平面直角坐标系中,正比例函数与反比例函数若有交点,则这两个交点关于原点对称例1．已知双曲线1k y x-=经过点（-2，3），那么k 的值等于_______．例2．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝－3x图像上的两点.若x 1＞x 2＞0，则y 1________y 2（选填“＞”、“＝”或“＜”）.例3．若点()12020,A y -、()22021,B y 都在双曲线32ay x +=上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ）A ．0a < B ．0a > C ．32a >- D ．32a <-例4．已知反比例函数3k y x+=的图像位于第二、四象限，则k 的取值范围为（ ） A ．3k >- B ．3k ≥-C ．3k <-D ．3k ≤-例5．已知反比例函数y =﹣8x，下列结论：①图像必经过（﹣2，4）；②图像在二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞﹣1时，则y ＞8．其中错误的结论有（ ）个A ．3B ．2C ．1D ．0例6．若正比例函数y ＝－4x 与反比例函数y ＝kx的图像相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为2，则k 的值为（ ）A ．－16B ．－8C ．16D ．8例7．如图，已知A为反比例函数kyx=（x<0）的图像上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（）A．2B．-2C．4D．-4例8．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数y=kx（x＞0）的图像与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为( )A．13B．1C．2D．3例9．如图，矩形OCBA的两条边OC、OA分别在x、y的正半轴上，另两条边AB、BC分别与函数k yx =（0x>）的图像交于E，F两点，且E是AB的中点，连接OE，OF，若OEF的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5例10．如图，点A 在双曲线 3y x = 上，点 B 在双曲线 5y x=上，C 、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例11．如图，在△AOB 中，OC 平分∠AOB ，43OA OB =，反比例函数(0)ky k x =<图像经过点A 、C 两点，点B 在x 轴上，若△AOB 的面积为7，则k 的值为（ ）A ．4-B ．3-C ．215-D ．73-例12．点A （a ，b ）是一次函数y=x ﹣2与反比例函数y =4x的交点，则a 2b ﹣ab 2=________． 例13．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值为________.例14．如图，点A 在反比例函数11(0)y x x =>的图像上，点B 在反比例函数2(x 0)ky x=<的图像上，AB ⊥y 轴，若△AOB 的面积为2，则k 的值为____．例15．如图，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y ＝1x 图像上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是_____．例16．（2020·江苏南通市·九年级零模）已知点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，线段OB 的长是方程x 2﹣2x ﹣8=0的解，tan ∠BAO =12． （1）求点A 的坐标；（2）点E 在y 轴负半轴上，直线EC ⊥AB ，交线段AB 于点C ，交x 轴于点D ，S △DOE =16．若反比例函数y =kx的图像经过点C ，求k 的值； （3）在（2）条件下，点M 是DO 中点，点N ，P ，Q 在直线BD 或y 轴上，是否存在点P ，使四边形MNPQ 是矩形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．真题链接例17．（2020·江苏苏州市·九年级零模）如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx的图像经过点E ，与AB 交于点F ． （1）若点B 坐标为（﹣6，0），求图像经过A 、E 两点的一次函数的表达式是_____； （2）若AF ﹣AE ＝2，则反比例函数的表达式是_____．1.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在函数y =2019x的图像上,且x 1<0<x 2,则 ( )A . y 1<y 2B . y 1=y 2C . y 1>y 2D . y 1=-y 2 2.若反比例函数xy 2-=的图像上有两个不同的点关于y 轴对称点都在一次函数y =-x +m 的图像上，则m 的取值范围是（ ）A .22＞mB .22-＜m ①C .22-22＜或＞m mD .2222-＜＜m 3.如图,菱形ABCD 的两个顶点B 、D 在反比例函数y =kx 的图像上,对角线AC 与BD 的交点恰好是坐标原点O ,已知点A (1,1),∠ABC =60°,则k 的值是 ( )A .-5B .-4C .-3D .-24.如图,矩形ABCD 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y =kx在第一象限内的图像经过点D ,交BC 于点E ,若AB =4,CE =2BE ,tan ∠AOD =34,则k 的值为 ( )A .3B . 2 C . 6D . 125.如图,已知点A 是反比例函数y =−2x (x <0)的图像上的一个动点,连接OA ,若将线段OA绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ,则点B 所在图像的函数表达式为 . 6.函数1y x =与24y x=的图像如图所示，下列关于函数12y y y =+的结论：①函数的图像关于原点中心对称；①当2x <时，y 随x 的增大而减小；①当0x >时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．【2021江苏中考真题】7.（2021•江苏淮安中考）如图（1），①ABC 和①A ′B ′C ′是两个边长不相等的等边三角形，点B ′、C ′、B 、C 都在直线l 上，①ABC 固定不动，将①A ′B ′C ′在直线l 上自左向右平移．开始时，点C ′与点B 重合，当点B ′移动到与点C 重合时停止．设①A ′B ′C ′移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，y 与x 之间的函数关系如图（2）所示，则①ABC 的边长是 ．8.（2021•江苏南通中考）平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x 与双曲线y =xk（k ＞2）相交于A ,B 两点，其中点A 在第一象限，设M （m ，2）为双曲线y =xk（k ＞2）上一点，直线AM ，BM 分别交y 轴于点C ,D 两点，则OC -OD 的值为（ ）.A .2B .4C .6D .89.（2021•江苏扬州中考）如图，点P 是函数y ＝xk 1（k 1＞0，x ＞0）的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数y ＝xk 2（k 2＞0，x ＞0）的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中k 1＞k 2．下列结论：①CD ①AB ；①S ①OCD ＝221k k -；①S ①DCP ＝12212)(k k k -，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①10.（2021•江苏宿迁中考）如图，点A 、B 在反比例函数()ky 0x x=＞的图像上，延长AB 交x 轴于C 点，若①AOC 的面积是12，且点B 是AC 的中点，则k =__________．11.（2021•江苏宿迁中考）已知双曲线ky (0)k x=<过点(3，1y )、(1，2y )、(-2，3y )，则下列结论正确的是（ ）A . 312y y y ＞＞B . 321y y y ＞＞C . 213y y y ＞＞D . 231y y y ＞＞12.（2021•江苏无锡中考）一次函数y ＝x +n 的图像与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝xm（m ＞0）的图像交于点A （1，m ），且①AOB 的面积为1，则m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413.（2021•江苏泰州中考）如图，点A （﹣2，y 1）、B （﹣6，y 2）在反比例函数y ＝kx（k ＜0）的图像上，AC ①x 轴，BD ①y 轴，垂足分别为C 、D ，AC 与BD 相交于点E ．（1）根据图像直接写出y 1、y 2的大小关系，并通过计算加以验证；（2）结合以上信息，从①四边形OCED 的面积为2，①BE ＝2AE 这两个条件中任选一个作为补充条件，求k 的值．你选择的条件是 （只填序号）．1114.（2021•江苏徐州中考）如图，点 A 、D 分别在函数xy x y 63=-=、的图像上，点 B 、C 在 x 轴上.若四边形 ABCD 为正方形，点 D 在第一象限，则 D 的坐标是 .15.（2021•江苏常州中考）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度．．．．、图形面积大小．．．．．．等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． 【理解】(1)如图1，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE.已知AD =a ，BD =b(0<a <b)． ①分别求线段CE 、CD 的长(用含a 、b 的代数式表示)；②比较大小：CE ______ CD(填“<”、“=”或“>”)，并用含a 、b 的代数式表示该大小关系． 【应用】(2)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数y =1x (x >0)的图像上，横坐标分别为m 、n.设p =m +n ，q =1m +1n ，记l =14pq ．①当m =1，n =2时，l = ______ ；当m =3，n =3时，l = ______ ；②通过归纳猜想，可得l 的最小值是______ .请利用图．．．2．构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．12巩固练习1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ ） A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=． 2．已知反比例函数y =8k x-的图像位于第一、三象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8 D ．k <83．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 1<y 2<y 34．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图像相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是（ ）13A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <25．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y =x +b 的图像在第一象限相交于点A （1，-k +4）． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图像的另一个交点B 的坐标，并根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．8．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图像与反比例函数my x=的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．9．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？14思维导图1516。

第4讲 二次函数与幂函数[学生用书P23]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b2a 对称常用结论一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”；(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x 12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数单调性规律掌握不到位；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错； (4)对幂函数的概念理解不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________．(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称轴为x ＝－b2a >0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－12m ≤3，即m ≤－16. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－163．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞4．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，1)[学生用书P24]幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D.幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，所以－1<n <0，综上所述，选D.3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 方法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8， 即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R .都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为____________．解析：由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 所以b2＝1，所以b ＝2， 所以f (x )＝x 2－2x ＋3. 答案：f (x )＝x 2－2x ＋32．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．解析：设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一通过图象识别二次函数如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.【答案】 B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0]【迁移探究】 (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．角度四 一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，若不分离参数，则一般需要对参数进行分类讨论求解；若分离参数，则a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D.A 项，因为a <0，－b 2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b 2a >0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b 2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b 2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.2．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )A ．a ＝0B ．a <0C ．0<a ≤13D ．a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D. 3．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12[学生用书P26]思想方法系列4 分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2；(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，1上单调递增． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a ； ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2；(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1且a ≠0，－2，a ＝0，－1a ，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a 为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[学生用书P281(单独成册)][A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1 D.－2解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.2．设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b解析：选A.函数f (x )＝x 23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b 2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选A.由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2.答案：27．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝13.所以y＝13(x－3)2＝13x2－2x＋3.答案：y＝13x2－2x＋38．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.答案：[0，4]9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或a ＝－1.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．[B 级 综合练]11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a 2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a 2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．故选B.12．已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．13．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)14．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝－3f 2（x ）＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．解：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ， 函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2.②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2.③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.[C 级 提升练]15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]．。

中考数学重难点专题讲座第四讲 一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分 真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模 关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍 始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏 另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++． 若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可． 由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式． 思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <． 很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =； 当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---， 这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分 发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分 思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =； 当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-． 由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数． 又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = － 经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。

数学阅读理解题一、知识网络梳理阅读理解题是近几年新出现的一种新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。

阅读理解题一般由两部分组成:一是阅读材料;•二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息回答问题.提供的阅读材料主要包括:•一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的.这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。

涉及到的数学知识很多，几乎涉及所有中考内容。

阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过程，符合学生的认知规律，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强的趋势。

题型1 考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高数学素质的前提。

数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测解题者理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的。

题型2 考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解基本概念不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握概念的内涵或实质，理解概念间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识。

这类试题意在检测解题者对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力。

题型3 考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提练和运用，对规律的归纳和发现能反映出一个人的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力。

第4讲一元一次方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州模拟）已知方方的铅笔数量是圆圆的两倍，若圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，则可列方程为（）A．2x+1＝3（x﹣1）B．2x﹣1＝3（x+1）C．3（2x﹣1）＝x+1D．3（2x+1）＝x﹣12．（2022·兰溪模拟）解方程1−4−3x4=5x+36，以下去分母正确的是().A．1−12−9x=10x+6B．12−12+9x=10x+6 C．1−12+9x=10x+6D．12−12−9x=10x+6 3．（2022·龙湾模拟）若代数式2(x+1)+3(x+2)的值为8，则代数式2(x−2)+ 3(x−1)的值为（）A．0B．11C．-7D．-154．（2022·温州模拟）解方程1−4−3x4=5x+36以下去分母正确的是（）．A．1-12- 9x=10x+6B．12-12+9x=10x+6C．1-12+9x=10x+6D．12-12-9x=10x+6 5．（2022·永康模拟）唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮斗九.相逢三处店，饮尽壶中酒.试问能算士：如何知原有.大意是：李白在郊外春游时，遇见一个朋友，先将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒.按照这样的约定，在第3次遇到朋友后正好喝光了壶中的酒，设壶中原有酒为x升，则可列出方程为（）A．2x−19=0B．2(2x−19)−19=0C．2(2x+19)−19=0D．2[2(2x−19)−19]−19=0 6．（2022·拱墅模拟）在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃.某日地表温度是18℃，地下某处A的温度是25℃.设A处在地表以下x千米，则（）A．10x+18=25B．18x+10=25C．10x−18=25D．18x−10=257．（2022·余杭模拟）某校劳动社团种植一批小树苗，若每人种2棵则余21棵；若每人种3棵则差24棵．设该社团有x名学生，则可列方程（）A．2x+24=3x+21B．2x-24=3x-21C．2x-21=3x+24D．2x+21=3x- 24 8．（2021·温州）解方程−2(2x+1)=x，以下去括号正确的是（）A．−4x+1=−x B．−4x+2=−x C．−4x−1=x D．−4x−2=x9．（2021·萧山模拟）某商铺促销，单价80元的衬衫按照8折销售仍可获利10元，若这款衬衫的成本价为x元/件，则（）A．80×0.8−x=10B．(80−x)0.8−x=10C．80×0.8=x−10D．(80−x)×0.8=x−10 10．（2021·余姚模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．x3+2=x2−9D．3（x﹣2）＝2（x+9）二、填空题11．（2022·绍兴）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是．12．（2022·西湖模拟）小明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时16分钟，如果他骑自行车的平均速度是每分钟240米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是3000米，设他推车步行的时间为x分钟，则可列方程．13．（2022·温州模拟）关于x的方程2ax=(a+1)x+6的解是x=1，现给出另一个关于x的方程2a(x−1)=(a+1)(x−1)+6，则它的解是.14．（2022·诸暨模拟）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式x−3y=．15．（2022·慈溪模拟）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁，母，雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只若现已知母鸡买18只，则公鸡买只，小鸡买只。

2009~2010学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第4讲 基本初等函数一．【课标要求】1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。

4.幂函数（1）了解幂函数的概念 （2）结合函数y=x, ,y=x2, y=x3,y=x21,y=x1的图象，了解它们的变化情况 二．【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2010年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大三．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。

在初中数学中，学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。

下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。

一、二次函数的应用1.抛物线运动问题：抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下，物体受到重力的作用而做抛物线运动。

学生们需要通过二次函数的知识，求解抛物线运动问题中的相关参数，如最高点、飞行时间和落地点等。

2.最值问题：通过二次函数的图像，可以求解最值问题。

学生们需要通过自定义条件，建立二次函数模型，求解二次函数的最值。

3.平方差问题：通过二次函数的知识，可以求解平方差问题。

学生们需要通过二次函数的知识，求出平方差的最小值。

二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法：对于二次函数的方程，学生们需要掌握二次函数的解法。

通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法，求解二次函数的方程。

2.二次函数的不等式：对于二次函数的不等式，学生们需要通过图像的性质，求解二次函数的不等式。

通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点，求解二次函数的不等式。

3.二次函数的应用问题的解法：对于二次函数的应用问题，学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。

通过建立方程或不等式，求解二次函数应用问题中的未知数。

三、解题技巧与误区1.解题技巧：学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，应注意抓住题目的关键信息，建立正确的模型，严格按照问题的要求进行求解。

2.误区：在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，学生们可能会出现以下误区：-不理解题目的意思，导致建立错误的模型；-忽略二次函数的性质，导致求解出错；-求解过程中计算错误，导致答案错误。

四、典型例题1.例题一：设二次函数f(x)的图像经过点(1,2)，其顶点是(-1,3)，求该二次函数的解析式。

要求：写出二次函数的标准方程和一般方程。

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

第四讲：函数的概念、函数关系的建立【知识点】1、函数的概念及函数的三要素：强调：一个自变量x 只有一个函数值y 与之对应；函数的三要素：定义域，值域，对应法则（1）若两函数的定义域与对应法则相同，则它们的值域相同；（2）若两函数的值域与对应法则相同，则它们的定义域相同？否反例：函数2y x =的值域为[0,4]，则它的定义域可为[0,2],[1,2]......-。

两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数叫做同一函数。

辨析：221x y +=是不是函数？y =2、函数的表示方法（1）解析式法：用一个等式把函数值与自变量的关系表达出来（且把函数值“显性”地表达出来，如()y f x =），这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。

（3）图象法：就是用函数图象来表示两个变量的函数关系。

加深解析式法（对应法则）的理解：如22222()23,(2)2223,(21)(21)2(21)3,[()][()]2()3,[()][()]2()3f x x x f f x x x f g x g x g x f f x f x f x =-+=-⨯+-=--⨯-+=-⨯+=-⨯+则3、函数的图象是“有序实数对”集{(,)|(),}x y y f x x D =∈在直角坐标系内对应的点集（图形），其中x 为自变量，D 是定义域，y 是x 的函数值，且自变量在横轴上取值，函数值在纵轴上取值。

函数的图象有以下特征，经过函数定义域中任何一个点x 作垂直于x 轴的直线，它与函数的图象恰有一个交点。

（画几个图象，判断那些是函数的图象）4、分段函数：若函数在其定义域的不同子集上对应法则有所不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数。

如1,01,0|1|,0,01,01,0x x x y x y x x x x >⎧-≥⎧⎪=-===⎨⎨-+<⎩⎪-<⎩，图象要分段画出。

2023高考一轮复习讲与练04 二次函数与一元二次方程、不等式练高考 明方向1、【2022年新高考I 卷第15题】2、【2022年新高考II 卷第15题】3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = ( )A ．–4B ．–2C ．2D ．44.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =RA ．{12}-<<x xB ．{12}-≤≤x xC ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x6．（2017山东）设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B ⋂=A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-7．（2017江苏）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．8．（2015山东）已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 9．（2014新课标Ⅰ）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则AB =A ．[－2, －1]B ．[－1,1]C ．[－1,2）D ．[1,2）10．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A ．B ．C ．D ．11．（2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．12．（2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范x ∈R 250x x -<|1|1x -<x 22280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =5272154152,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m x R ∈a围为 ．13．（2012福建）已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．14．（2012江苏）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．15．（2010江苏）设实数,x y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 ．16．（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()x f m f x m ⎛⎫-⎪⎝⎭≤(1)4()f x f m -+ 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．讲典例 备高考类型一、一元二次方程、不等式 基础知识：1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三个二次之间的关系含参的一元二次不等式系注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．(2)解不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)时不要忘记当a ＝0时的情形．基本题型：1．不等式(x －2)(3－2x )≥0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤32，2 C ．[2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 2．若a <0，则关于x 的不等式(ax －1)(x －2)>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x >2D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2或x >1a 3．（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）A ．x 2+2x +2≤0B ．x 2+2x +1≤0C ．|x +1|+|x +2|＜1D ．|x +1x|＜24．（多选题）与不等式2230x x --<的解集相等的不等式为（ ）A ．()()3210x x --<B ．1023x x +<-C ．()32301x x -<+ D ．()()22310x x x -+< 基本方法：解一元二次不等式的4个步骤类型二、一元二次不等式恒成立基础知识：1、不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．①不等式ax2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.②不等式ax2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．基本题型：1．在R 上定义运算:a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ 对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．322．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤0B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <573．（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ）A ．04m ≤<B ．02m <<C ．14m <<D ．16m -<<4．设函数2()6f x mx mx m =--+，若对于[]1,3x ∈，()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．67m >B ．67m <C ．67m ≤D ．67m ≥5．已知函数()224f x x x k =+-，()22g x x x =-.（1）若对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； （2）若存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； （3）若对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围. 【基本方法】1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：（1）一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。

三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 周期性求下列函数的最小正周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的最小正周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x |的最小正周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象． 如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的最小正周期与y ＝tan x 的最小正周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以y 的最小正周期T ＝2π2＝π.角度2 奇偶性1．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( A )A ．5π6B ．π2C ．π3D ．－π2[解析] 因为当－π3＋φ＝k π＋π2时，f (x )为偶函数，即φ＝k π＋56π，当k ＝0时，φ＝56π，故选A ．2．(多选题)已知f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( CD )A ．π2B ．－π2C ．3π4D ．－π4[解析] 由题意，f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4为奇函数，所以φ＋π4＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π4，k ∈Z .因此，选项CD 正确．角度3 对称性已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( A )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称[解析] 由已知可得ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是该函数图象的对称中心，所以A 正确，B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不是该函数图象的对称中心，所以C 错误； 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－32≠±1，所以直线x ＝π3不是该函数图象的对称轴，所以D 错误．名师点拨：1．求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解． 2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． (1)∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．4．注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．【变式训练】1．(角度1)①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，③y ＝|sin x |，④y ＝cos|2x |中，最小正周期为π的函数为( B )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期，T ＝2π2＝π；②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2；③由函数图象知y ＝|sin x |的最小正周期为π； ④y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π.故选B ．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π[解析] ∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2⇒cos(π＋φ)＝－cos(－π＋φ)⇒－cos φ＝cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2.当φ＝π2时，f (x )＝－sin x sin 2x 为偶函数，满足题意，故选C ．3．(角度3)下列关于函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的说法错误的是( C )A ．最小正周期为πB ．最大值为1，最小值为－1C ．函数图象关于直线x ＝0对称D ．函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称[解析] 将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等，函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，函数的最小正周期T ＝π，A正确；最大值为1，最小值为－1，B 正确；由2x ＝k π＋π2⇒x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，得函数图象关于直线x ＝k π2＋π4，k ∈Z 对称，C 不正确；由2x ＝k π⇒x ＝k π2，k ∈Z ，得函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称，D 正确．故选C ．。

第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、 二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、 一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以 对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。

［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很， 求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。

二、 二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。