当前位置：文档之家 › 清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

  • 格式：ppt
  • 大小：397.50 KB
  • 文档页数：43

下载文档原格式

  / 43

合集下载

清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件

清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件

[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.
由牛顿冷却定律知
dTk(T2)0 (k0,比例)常数 dt 初始条件 T(0) 100
2020/11/28
10
另外还有一个条件: T(20)60
可用来确定比例常数k
分离变量，得
dT kdt (T 20)
两边积分，得
ln T (2)0 k tC 1
x1(Cy2 1)
2
C
2020/11/28
18
[例4] 一容器内盛有100升盐水,其中含盐
10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把
净水注入容器, 并以同样的速度使盐水
流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都
是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化
的规律.
2升
2020/11/28
2升 19
[解] 列方程，确定初始条件 已知，在任何一段时间内
13
由题意得
x y x y 2
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
xy 2y 0
y(2)
1
分离变量求得通解 y Cx2
由y(2)1,得C1 4
所求曲线方程 y为 1x2 4
2020/11/28
14
[例3] 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由 y曲 y(x线 )绕x轴
h dh
o
2020/11/28
23
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变， 看作是 t 时刻的盐水浓度
Q (t)
100

清华大学微积分课件

清华大学微积分课件

x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,

高等数学(微积分)ppt课件

高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。

2024版年度大学微积分课件PPT大纲

2024版年度大学微积分课件PPT大纲

大学微积分课件PPT大纲目录CONTENCT •引言•极限与连续•导数与微分•微分中值定理与导数的应用•不定积分•定积分及其应用•多元函数微积分01引言微积分的起源与发展早期微积分思想的萌芽古代数学中的极限思想与无穷小分割。

微积分的创立牛顿与莱布尼茨的独立发展及符号体系的建立。

微积分的严格化柯西等数学家对微积分基础理论的完善与严密化。

微积分的重要性及应用领域重要性微积分是高等数学的基础，对于理解现实世界的变化规律具有重要意义。

应用领域物理学、经济学、工程学、生物学等多个学科领域的广泛应用。

课程目标与学习要求课程目标掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

学习要求认真听讲、积极思考、独立完成作业，注重理论与实践相结合。

02极限与连续010203极限的定义极限的性质极限存在的条件极限的概念与性质描述函数或数列在某一点或无穷远处的变化趋势。

包括唯一性、有界性、保号性等，是求解极限问题的基础。

阐述函数或数列极限存在的充分必要条件。

极限的运算法则极限的四则运算法则阐述在极限运算中，和、差、积、商的极限运算法则。

极限的复合运算法则讨论复合函数的极限运算法则及注意事项。

极限的换元法与夹逼准则介绍换元法和夹逼准则在求解极限问题中的应用。

无穷小量的定义与性质阐述无穷小量的概念、性质及与极限的关系。

无穷小量与无穷大量的关系讨论无穷小量与无穷大量之间的联系与转换。

无穷大量的定义与性质介绍无穷大量的概念、性质及与极限的联系。

无穷小量与无穷大量80%80%100%连续性的概念与判定阐述函数在某一点连续的概念及充要条件。

介绍判定函数连续性的方法及步骤，包括直接法、定义法、极限法等。

讨论函数不连续点的概念、分类及判定方法。

连续性的定义连续性的判定方法间断点及其分类03导数与微分导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系导数的概念与几何意义导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。

函数在某点可导则一定连续，但连续不一定可导。

清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

2020/1/24
lim
x x0
f (x)
f ( lim x x0
x)
f ( x0 )
28
定义2： （函数在一点的单侧连续性）
设函数 f ( x) 在(a, x0 ]上有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则 称 f ( x) 在 x0 处左连续;
设函数 f ( x) 在[ x0 , b)上有定义, 且
f ( x)与g( x)是 等 价 无 穷 小.
2020/1/24
记作 f (x) ~ g(x) (x ) 5
(2) 若 lim f ( x) 0, 则 称 当x 时, x g( x)
f ( x)与g( x)相 比 是 高 阶 无 穷 小. 记 作 f ( x) ( g( x)) ( x ).
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/1/24
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
( 因 为e x 1 ~ x ( x 0) )
a x 1 ~ x lna (x 0)
2020/1/24
17
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x

lim 3x

清华微积分(高等数学)第三讲 (一) 无穷小量(续)PPT课件

清华微积分(高等数学)第三讲 (一) 无穷小量(续)PPT课件

x 0
1
因l为 i(m 1x)xe lim ln u1
x 0
u e
所 以lim ln1 (x)1 x 0 x
29.07.2020
17
[例5]
ax 1
lim
?
x0 x
ax1
exlna1
[解]
lim x0 x
lim x0 x
xlna lim lna
x0 x
(因 ex 为 1~x(x 0 ))
ax1~xln a (x 0)
同阶无 ;(x穷 24)小 ~4(2x23x2)
29.07.2020
5
12
[例2]
1cosx
lim
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
点击此处输入 相关文本内容
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
29.07.2020
3
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
g1(x) 均为无穷 ,且小 有 f(x)~ f1(x),
g(x)~g1(x),xl i mgf11((xx))存在，
则 有 lim f(x)lim f1(x) x g(x) x g1(x)
lim f(x )lim f(x )lim f1 (x )lim g 1 (x ) x g (x ) x f 1 (x )x g 1 (x )x g (x )

清华大学微积分课件——函数极限

清华大学微积分课件——函数极限

x
y
y−1
= (1 + 1 ) y = (1 + 1 ) y−1 ⋅ (1 + 1 )
y−1
y−1
y−1
2011-9-5
26
当x → −∞ 时, y → +∞ , 从而 y − 1 → +∞ , 于是有
lim (1+ 1 )x = lim (1+ 1 )y−1 ⋅ lim (1+ 1 )
x→−∞
x
y−1→+∞
2011-9-5
5
2011-9-5
6
1
[注意2] lim f ( x ) = A 的几何意义是什麽？ x→ x0 y
(
A+ε
A
o
)
A−ε
y = f (x)
O
(
x0 − δ
x0
)
x0 + δ
x
或∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 f ( N ( x0 , δ )) ⊂ U ( A, ε )
2011-9-5
f ( x′n′)
所以 , 极限 lim sin 1 不存在
x→ 0
x
2011-9-5
证毕
19
三、函数极限的存在性 1.夹逼定理:
∀ x ∈ N ( x 0 ), 有 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )
且
lim f ( x ) = lim h( x ) = A
x→ x0
x→ x0
则 lim g ( x ) = A x→ x0
± 趋向于无穷
x → +∞ ⇔ ∃N > 0, x > N
x → −∞ ⇔ ∃N > 0, x < − N

无穷小量定义PPT课件

无穷小量定义PPT课件

,
x sin 1 O( x) ( x 0)
x
但x sin 1 与x并不是同阶无穷小量。 x
第14页/共45页
f ( x) o( g( x)) lim f ( x) 0. g( x)
f ( x) O( g( x)) | f ( x) | L. g( x)
第8页/共45页
四、无穷小量阶的比较
无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：
例如, 当x 0时, x, x2 ,sin x, x sin 1 都是无穷小.
lim x2 0,
观
x0 x
x
x2 比 x 快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 x0 x
限
lim
x0
x x2
当x
x0时,
当 x 0时， sin x ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1 x) ~ x，
e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2, (1 x)a 1 ~ ax (a 0) 2
第18页/共45页
五、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理 3 设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) (x→x0).
L, x U o( x0 )}
第15页/共45页
3．若 lim f ( x则)称当1x,→x0时 , f与g是等价无
x
穷小量，记作
x0
g( x)
f(x)~g(x) (x→x0).
注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。
例如，当x→0时，x sin 1/x和x2都是无穷小量，
但
x sin x2

清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续

05.12.2020
教学ppt
6
符“ 号 ”“ 与 O” (1 )若 lim f(x)0 ,则 记 f(x)(g(x))
x x0g(x)
(2)若M0, 使当 xN*(x0)时,有
f(x) M 则记成f(x)O(g(x)) g(x)
(xx0).
若 lim f(x)A ,则有 f(x)O (g(x))
05.12.2020
教学ppt
Hale Waihona Puke 511[例2]
1cosx
lim
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
05.12.2020
教学ppt
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x 时的无. 穷
05.12.2020
教记 学ppt f作 (x)~g(x)
(x ) 5
(2)若lim f (x) 0, 则称当x 时, x g(x)
f (x)与g(x)相比是高阶无穷 . 小 记作 f (x) (g(x)) (x ).
(3)若 lx iam [gf((xx))k]A0,则 称 x 当 时 , f(x)与 g(x)相 比 k阶 是无.穷 小

《无穷小量》课件

《无穷小量》课件
无穷小量在证明积分定理中也有着重 要的应用，它可以帮助我们理解并证 明一些重要的积分定理。
通过无穷小量的性质和代换，可以证 明一些重要的积分定理，如牛顿-莱布 尼茨定理、积分中值定理等。
05
无穷小量在实际问题中的 应用
无穷小量在物理学中的应用
物理学中很多概念涉及到无穷小量， 例如速度、加速度、角速度等，这些 概念都是通过极限和无穷小量的思想 来定义的。
在研究波动和振动时，无穷小量可以 帮助我们更好地理解波的传播和振动 规律，例如波动方程和振动方程的求 解。
在研究物体运动时，无穷小量可以帮 助我们更好地理解物体的运动规律， 例如瞬时速度和瞬时加速度的概念。
无穷小量在经济学中的应用
在经济学中，无穷小量可以帮助我们更好地理解经济现象和规律，例如边际分析和微积分在 经济学中的应用。
无穷小量在求导中的应用
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率，也可以理解为函数在该点 的变化率。
无穷小量在求导中的应用
在求导过程中，如果某项是无穷小量，则该项在求导后可能 消失或变为非零常数。
03
无穷小量在函数极限中的 应用
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋于某一特定值。
体力学、热力学、电磁学等。
在机械工程中，无穷小量可以帮助我们 更好地理解机器的工作原理和机械振动
，例如转子和机器的动态特性分析。
在土木工程中，无穷小量可以帮助我们 更好地理解结构的稳定性和抗震性能， 例如结构动力学和地震工程学的研究。
感谢您的观看
THANKS
无穷小量在证明极限定理中的应用
利用无穷小量的性质证明极限的 四则运算法则。
利用无穷小量证明重要的极限定 理，如夹逼定理、单调有界定理

《高等数学》课件

《高等数学》课件
《高等数学》PPT课件
欢迎来到《高等数学》PPT课件。让我们一起探索数学的奇妙世界，进一步 了解高等数学的概述和其在现实生活中的应用与意义。
什么是高等数学
高等数学是数学的重要分支，研究微积分、极限、连续、导数、积分和常微 分方程等概念与理论，为其他学科提供数学工具和方法。
极限与连续
1
极限的定义
极限是数列或函数无限接近某一特定值的概念。学习极限有助于我们理解数学中 的趋势和变化规律。
积分具有线性性质、换元积分法和分部积分法等运算法则，简化了对复杂函数的 积分计算。
3
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使我们能够通过求不定积分 来求定积分。
常微分方程
1 常微分方程的定义
常微分方程描述了自变量和函数之间的关系，在物理、生物和工程等领域中有广泛应用。
2 一阶常微分方程的解法
偏导数及其运算法则
多元函数的极值
偏导数描述了多元函数在给定 方向上的变化率，通过偏导数， 我们可以了解函数在各个方向 上的变化情况。
多元函数的极值是指函数在特 定约束条件下的最大值和最小 值，可以通过偏导数和拉格朗 日乘数法等方法求解。
通过分离变量、齐次化和常数变易法等方法，我们可以解决一阶常微分方程。
3 二阶常微分方程的解法
二阶常微分方程的解法需要基于一阶方程的解法，我们可以通过特征方程和待定系数法 等方法求解。
多元函数微积分初步
二元函数的概念和性质
二元函数描述了自变量和因变 量之间的关系，帮助我们研究 二维空间中的变化规律。
函数的微分
微分是导数的一个重要应用，描述了函数图像在某一点处的近似变化，以及函数在一段区间 内的平均变化率。

微积分 第二章 第三节 无穷小量和无穷大量

微积分 第二章 第三节 无穷小量和无穷大量
记作 ~ .
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 说明：
1.称一个变量为高阶或同阶无穷小量，是没有意义
的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小量比较时，
才能说它们阶的高低或是否同阶.
2.在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能
比较阶的高低的.
3. 如果 lim x0
xk
C(C
0, k
0), 则称是x的k阶
无穷小量.
4. 利用等价无穷小量，可简化某些极限的求解过程.
M
即证得 lim f (x)g(x) 0 . x x0 3
例1 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小, x
而sin x是有界函数.
y sin x x
lim sin x 0. x x
错误解法: lim x sin 1 lim x limsin 1 0 .
3. lim f (x) A _______ f (x) A , x x0 ( 其中 lim 0 ) . x x0
4.在同一过程中,若 f (x) 是无穷大,
则 ______是无穷小.
17
二、根据定义证明:当 x 0 时,函数 y 1 2x x
是无穷大,问 x 应满足什么条件,能使 y 104 . 三、证明函数 y 1 sin 1 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 ,但当
13
五、小结 思考题
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1. 主要内容: 三个定义;一个定理;三个性质. 2. 几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是 无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
14

《无穷小量与微分》PPT课件

《无穷小量与微分》PPT课件

解
lim
x0
tan
x x3
sin
x
sin x( 1 1)
lim x0
cos x x3
lim( 1 x0 cos
x
sin x
x
1
cos x2
x
)
1 lim x0 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim 1
x0
cos x2
x
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
tan x sin x 1 x3
x
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
21
五、微分的求法
dy A x, dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
得
dx (t)dt dy (t)dt
dy (t) dx (t)
31
例
x yLeabharlann 2t, t2,解１
dy dy dt dx dt dx
dy 1 dt dx
2t 2
x 2
dt
解2
dx 2dt dy 2tdt
dy 2 1 x dx 2t 2
32
计算函数的近似值
1.求f ( x)在点x x0附近的近似值; y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x o(x).
记作 o( )；
(2) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
特殊地，如果 lim 1,则称 与 是等价的无
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

代数和不能代换！
2020/5/13
15
[例4] limln1(x) ?
x0
x
[解] lim ln1 (x)lim ln1 (x)1 x
x 0 x
x 0
1
因l为 i(m 1x)xe lim ln u1
x 0
u e
所 以lim ln1 (x)1 x 0 x
2020/5/13
16
[例5]
ax 1
lim
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/5/13
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
1cosx
lim x0 s
i
n2
x
lxim0 12xx22
1 2
2020/5/13
14
taxn sixnO(x3) 是 x 的 3 阶无穷小
taxn sixn(x2)
x3 tanxsinx~
2
讨论：当 x 0 时 , ta x ~ x n , sx i~ n x
tax nsixn xx lx i0m si3x n lx i0m x3 0
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
2x 0
2020/5/13
x 2
x 0 x 2
2 12
1coxs 1
2020/5/13
6
符“ 号”“ 与O” (1 )若 lim f(x)0 ,则 记 f(x) (g(x))
x x0g(x)
(2)若M0, 使当 xN*(x0)时,有
f(x) M 则记成f(x)O(g(x)) g(x)
(xx0).
若 lim f(x)A ,则有 f(x)O (g(x))
g(x) 2020/5/13 x x0
lxim 2 2x2
? 3x2
[解]
x2 4
(x2)(x2)
lxim2 2x2
3x2
lim x2 (2x1)(x2)
lim(x2) 4 x2 (2x1) 5
当 x2时 ,(x24)与 (2x23x2)是
同阶无 ;(x穷 24)小 ~4(2x23x2)
2020/5/13
5
11
[例2]
1cosx
lim
[例] 当x0时, sinx~x
sinxx(x)
当x 1时,sinxx,误 差是 (x)
2020/5/13
9
性质2： 若当 x时, f(x), g(x), f1(x),
g1(x) 均为无穷 ,且小 有 f(x)~ f1(x),
g(x)~g1(x),xl imgf11((xx))存在，
则 有 lim f(x)lim f1(x) x g(x) x g1(x)
2020/5/13
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x时的无. 穷
2020/5/13
(1) 若 lim f ( x ) A 0, 则称当 x 时 , x g ( x )
f ( x )与 g ( x )是同阶无穷小 ;
特别 ,当 lim f ( x ) 1 时 , 称当 x 时 , x g ( x )
f ( x )与 g ( x )是等价无穷小 .
2020/5/13
记f作 (x)~g(x) (x ) 5
(2)若lim f (x) 0, 则称当x 时, x g(x)
f (x)与g(x)相比是高阶无穷 . 小 记作 f (x) (g(x)) (x ).
(3)若 lx iam [gf((xx))k]A0,则 称 x 当 时 , f(x)与 g(x)相 比 k阶 是无.穷 小
3
3.无穷大与无界函数
若在自变量的某化 一过 个程 变, 中 f(x) 是无穷,大 则f(x)无界。反之不一定
[例 ] f(x ) x sx i,n x
问题：
两个无穷小量的商是否为无穷小量？
2020/5/13
4
二、无穷小量的比较
定义： 设在自变量的同一变化 过程中 ,
f ( x )与 g ( x )都是无穷小 .
limexl x0
n1(32s i
x2
nx)
1lxi m 0 xln1(x232sinx)
lim32sinx 2
2020/5/13 x0
lim f(x )lim f(x )lim f1 (x )lim g 1 (x ) x g (x ) x f1 (x )x g 1 (x )x g (x )
lim f(x)lim f1(x) 等价代换
g(x) g(x) x 0
2020/5/13
x 0 1
பைடு நூலகம்
10
三、求极限举例
[例1]
x2 4
lim
x0
x2
2
1co
l i m x0
1 2
x2
sx
1
1coxsO(x2)(同阶 )
1coxs~1x2 (等价 ) 2
1coxs(x)(高)阶
1coxs是x的2阶无穷小
2020/5/13
13
[例3]
tanxsinx
lim
x0
sin3 x
?
[解] limtanxsinx x0 sin3 x
lx i0m 1sic2noxxsc1oxs
7
几个常用的等价无穷小量
(x0)
sinx ~ x arcsinx~ x ex 1~ x
ln(1x) ~ x
2020/5/13
tanx ~ x arctanx ~ x ax 1~ xlna 1x 1~ 1x
2
8
等价无穷小量的性质
性质1： 设当 x时, f(x),g(x)均为 无穷,小 则 f(x)~g(x) f (x)g(x) ( f (x)) 或f(x)g(x)(g(x))
?
x0 x
ax1
exlna1
[解]
lim x0 x
lim x0 x
xlna lim lna
x0 x
(因 ex 为 1~x(x 0 ))
ax1~xln a (x 0)
2020/5/13
17
[例6]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
?
[解]
(32sinx)x3x
lim
x0
ta2nx
lxi m 03x(13 2sxi2nx)x1