九年级数学暑假班讲义：第2讲 三角形一边的平行线一(学生版)

三角形一边的平行线-知识讲解本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March三角形一边的平行线 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A 型和X 型；A 型 X 型（2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC=== 3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；(3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D 作DK ∥AB 交EC 于K 点.则，， 即 又∵AD=BE ，∴.【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成比例.举一反三【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =⋅【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC=, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, ABC DEG∴AD AE AE AB=, 即2AE AB AD =⋅.2.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心， AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.【答案与解析】延长BG 交AC 于点D,∵G 是三角形的重心，∴点D 是线段AC 的中点，又∵AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=， ∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM 是△ABC 的中线，P 是AM 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交AC 、AB 于E 、D 两点.求证：DE ∥BC.GB C A【答案与解析】延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH∵BM=MC∴四边形BPCH是平行四边形∵BH∥CD，CH∥BE在△ABH和△ACH中，有，∴DE∥BC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在△ABC（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证：BP BD CP CE.【答案】过点C作CF∥AB交DP于点F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴BP BD CP CF=,即BP BD CP CE=.类型三、平行线分线段成比例定理4. 如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，，求证：EF∥DC．【答案与解析】证明：∵DE∥BC，∴=，∵=，∴=，∴=，∴EF∥DC．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例．注意找准对应关系，以防错解．举一反三【变式】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12B. 2C.25D.35【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直线l1∥l2∥l3，∴=，。

三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲lAB CDEABCD EABCDE ll【例1】如图，在ABC ∆中，15AB =，10AC =，//DE BC ，6BD =，求CE ． 【难度】★【答案】4．【解析】BD CEAB AC =，代入可得：=4CE ． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离8.7CE =米，窗口 1.8AB =米，求窗口底边离地面的高BC ．【难度】★ 【答案】5.8m ．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE=，代入可求得： 5.8A C m =，4BC AC AB m =-=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用， 在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上，//DE BC ，若:2:3A D A B =，12EC =厘米，则AC =．【难度】★ 【答案】7.2cm ．【解析】由//DE BC ，可得23AE AD AC AB ==，故53EC AC =，代入求得7.2AC cm =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例题解析ABCD EAB CD EF【例4】如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠．又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． E C D E D C ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【难度】★ 【答案】16． 【解析】2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，． 又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，，四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，，()2=16B D E F C D E E F ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．ABCD EA B CDEF 【例6】如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，点D 在直线AB 上，过点D 作//DE BC 交直线AC 与点E ．如果4BD =，求AE 的长．【难度】★★【答案】245或565．【解析】（1）D 在线段AB 上时，6AD AB BD =-=，由//DE BC ，可得：AD AE AB AC =，代入可得：245AE =； （2）D 在线段AB 延长线上时，14AD AB BD =+=， 由//DE BC ，可得：AD AE AB AC =，代入可得：565AE =； （3）D 在线段AB 反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD BC ⊥于点D ，点F 是BC 中点，过点F 作BC的垂线交AB 于点E ，:3:2BD DC =，则:BE EA =．【难度】★★ 【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC =，BF FC =，即得：32BF FD BF FD +=-，可得：51BF FD =．又AD BC ⊥，EF BC ⊥， EF ∴//AD ，::5:1B E E A B F F D ∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．ABC【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD ∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==．同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC ODCE DF=， AC BDCE DF∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★【答案】12．【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形，故34ECD BCD S DE BC S ==，由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．AB CD EFOED ABCA BCD E FG【例10】如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////A B C D A D B C ∴，， ////R B D I S D BQ ∴，． 根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PSPR PB PQ==， P Q P I P R P S∴⋅=⋅． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////A B C D A D B C ∴，， ////A B C E A G B C ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BFBF AF FG==， ∴2B F F G E F =．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．PQRSABCDI【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN=； （2）MD EB ME DC =． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060M C N A C M N C B A MC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠． //AM CN ∴，∴MD AMDC CN =． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MC EB NB=．A M C∆和CBN ∆是等边三角形， M C A M N B C N ∴==，， M D M ED CE B∴=， ∴M D E B M E DC =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，ABC ∆的面积是10，点D 、E 、F （与A 、B 、C 是不同的点）分别位于 AB 、BC 、CA 各边上，而且2AD =，3DB =，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，求ABE ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】6． 【解析】连结DE ，由ABEDBEF S S =四边形，可得ADFAEFSS=，两三角形同底，可得两三角形等高，故//DE AC ，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：35BD BE AB BC ==，故35ABE ABC S BE S BC ==，求得3=10=65ABES⨯． 【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．ACBDENM【例14】如图，在ABC ∆中，6BC =，AC =45C ∠=︒，在BC 边上有一动点P ，过P 作//PD AB 与AC 相交于于点D ，联结AP ，设BP x =，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）P 点是否存在这样的位置，使APD ∆的面积是APB ∆的面积的23？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()212063y x x x =-+<<；（2）存在，2BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得：6PC x =-， 又45C ∠=︒，故)622PE CE x ===-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得AD x =，故)()21116206223y PE AD x x x x =⋅=-=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ．由45C AC ∠=︒=，4AF CF ==， 故122ABPSAF BP x =⋅=， ∵APD ∆的面积是APB ∆面积的23， ∴2122233y x x x =-+=⨯，解得：2x =，即2BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【例15】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ． （1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长； （2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长；（3）如果35AD BD =，求DEBC的值． 【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，13AD DE AB BC ==，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴13AD DE AD BD BC ==+，∴4AD =，∴12AB AD BD =+=；（3）∵//DE BC ，∴33358DE AD BC AB ===+． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲例题解析ABCD EAB CD EABC【例16】如图，BE 、CF 是ABC ∆的中线，交于点G ．求证：12GE GF GB GC ==．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：过点F 作//FD BE 交AC 于点D ． F 是AB 中点， D ∴是AE 中点，故12DF AD BE AE ==， 又E 是AC 中点，//FD EG ，12GF DE GC CE ∴==，23EG CE FD CD ==，即()2132EG EG BG =+，整理得：12GE GF GB GC ==． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可．【例17】已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB =米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴22235CD DE AB BE ===+，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．BACABCDEFA DCEFa Nb QP M xNa QP M cNxQP M c NbQPM 【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项． 【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长． 【难度】★★ 【答案】92EC =． 【解析】//DE BC ，25D E D F A E B C C F A C ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【难度】★★ 【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型．ABCDE F【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，求GH 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义，可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =．【总结】考查三角形重心的性质．【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，，即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【难度】★★ 【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．BABCDEFG【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【难度】★★ 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1B CC D =，可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：3162AO AD CO BC ===，故13AO AC =，由//EO BC ，13EO AO BC AC ==，求得2EO =． 【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例27】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点，且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】113．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ， 则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ，可得：13EG AE BH AB ==，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．OABDEABCEFG1l2lMFEDCBA 【例28】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，:3:1BD DC =，G 为AD 的中点，联结BG 并延长AC 交于E ，求:EG GB 的值．【难度】★★ 【答案】1:7．【解析】过点D 作//DF BE 交AC 于F ．此时则有14DF CF DC BE CE BC ===，又G 为AD 中点，根据平行可得：12GE DF =，故18GE BE =，即18EG EG GB =+，可得:1:7EG GB =．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF AC 的值．【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==，∴12CM MF =． 又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．【例30】如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD BD ⊥， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（E F B D ⊥，垂足为F ，EF CD <），他的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方B 点的距离FB 的长．【难度】★★★【答案】818m 或18m【解析】（1设点E 在地面的投影为点M 则有3FM =．由EF BD ⊥，AB BD ⊥，可得//EF AB ，则有EF FMAB BM =， 代入可求得：1058BM m =，则818FB BM FM m =-=． （2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其 高度比值相同，设墙上部分影长ND x =，则有3DF x =-，17FB x =+，则有ND GD AB GB =， 即720x GD GD =+，可得207xGD x=-， 又根据//ND EF ，可得ND GD EF GF=，即207201.637xx x x xx -=+--， 整理即得：210110x x +-=， 解得：()12111x x ==-，舍．故18FB m =．【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论．GH FEDCBAFE D CBA【例31】如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，EF 交AC 于点G ，若:2:3AE EB =，:1:2AF AD =，求:AG AC 的值．【难度】★★★ 【答案】2:9．【解析】延长FE 交CB 的延长线于点H ．∵//AF BH ，∴23AF AE BH EB ==． 又:1:2AF AD =，故可得：227AF AF CH AF BH ==+，∵//AF CH ，∴27AG AF GC CH ==，故:2:9AG AC =． 【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例32】如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AB 、AC 上的两点，且BD CE =，延长DE 交BC的延长线于点F ，:3:5AB AC =，12cm EF =，求DF 的长．【难度】★★★ 【答案】20cm ．【解析】过点D 作//DH AC 交BC 于H ，则有35BD AB DH AC ==，又BD CE =，则有35CE DH =，由//CE DH ，得35EF CE DF DH ==，代入计算得：125320DF cm =⨯÷=． 【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．G FEDCBA G FEDCBA【例33】如图，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且:3:2AD DB =，:1:2AE EC =，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求:FB FC ．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】过点B 作//BG FE 交AC 于G ． 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： 32AE AD EG DB ==，又:1:2AE EC =，故13EG EC =，由//BG FE ，可得：::1:3FB FC EG EC ==．【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例34】已知：在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两点，且//AD EG ，EG 交AC 于F ，交BA 的延长线于G ，若2EF EG AD +=．求证：AD 是ABC ∆的中线．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：//AD EG ， AD BD EF CEEG BE AD CD ∴==，． BE CEEG AD EF AD BD CD∴=⋅=⋅，．2EF EG AD +=， 2BE CE BD CD∴+=． 则有11BE CEBD CD-=-， BE BD CD CEBD CD --∴=． 即DE DEBD CD=． BD CD ∴=．即AD 是ABC ∆的中线．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论．【习题1】如图，在ABC ∆，//DE BC ，DE 与边AB 、AC 分别交于点D 、E ． （1）已知6AD =，8BD =，4AE =，求CE 、AC 的长；（2）已知:2:5AE AC =，10AB =，求AD 的长．【难度】★ 【答案】（1）162833AE CE ==，；（2）4． 【解析】（1）∵//DE BC ，∴AE AD CE DB =，∴163CE =； （2）∵//DE BC ，:2:5AE AC =，∴25AD AE AB AC ==，∴4AD =．【总结】考查三角形一边平行线的性质．【习题2】如图，//EF AB ，//DE BC ，下列各式正确的是（）（A ）AD BF BD CF = （B ）AE CEED BC =（C ）AE BDEC AD=（D ）AD ABED BC=【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A 选项正确；B 、C 、D 错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．【习题3】如图，菱形ADEF 内接于ABC ∆，16AB =，14BC =，12AC =，求BE 的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，DE BE EF CEAC BC AB BC==，， 即有1DE EF AC AB +=，可解得菱形边长487DE AD ==，故647BD AB AD =-=，BE BD BC BA=，∴8BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．随堂检测AB CDEABD EFAB CDFAB CPGMDCBA【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：//PE AB ，//PF AC ，BE AP CF APBD DA DC DA ∴==，， BE CFBD DC∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值． 【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23E O D EB O B C==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A ”字型和“X ”字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD． 【难度】★★【答案】23．【解析】AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M 为AC 中点，G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．ABCD EOA【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =，26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长．【难度】★★ 【答案】1085DE =，129665CD =． 【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．【习题8】如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【难度】★★★ 【答案】13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 【总结】夹在平行线间的线段对应成比例．A BCDEax mn anx manm xa mxn【作业1】已知线段a 、m 、n ，且ax mn =，求作x ，作法正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【难度】★ 【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C 选项满足题意． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．【作业2】如图，ABC ∆中，AB AC BE EC =，53AB AC =，//DE AC ，求:AB BD 的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由AB AC BE EC =，53AB AC =，可得53BE EC =，根据比例的合比性质，可得58BE BC =，由//DE AC ，可得::8:5AB BD BC BE ==．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．课后作业ABCDENEFMDC B A 【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度． 【难度】★★ 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =． :1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．E GFMDCBA E G FMDCBA 【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC于G ，求AGGC 的值．【难度】★★【答案】25或23．【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 43AG AF GM EM ∴==,42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM ∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A ”字型、“X ”字型即可．【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EFAB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CFEB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长． 【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，． 【解析】（1）证明：//DE CA ，AE CDEB DB ∴=， 又//DF AB ， CD CFDB FA∴=，AE CFEB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CFEB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．AB CDE FAB CDEF【作业7】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =，求GE 和CO 的长．【难度】★★★【答案】56GE CO ==，．【解析】四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2DE AE =，13GE AE AE GC BC AD ∴===，23EO DE OC BC ==， 即13GE GE EC =+，23EC CO CO -=，代入即可求得56GE CO ==，．【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“A ”字型和“X ”字型，进行比例线段的综合应用．【作业8】如图， //DE BC ，3ADE S ∆=，18CBD S ∆=，求ABC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】27． 【解析】设BDES a =，则有3AED BEDS AE SBE a==，318ABD CBDS AD a SCD +==，由DE //BC ，可知AE ADBE CD=， 则有3318aa +=，整理得23540a a +-=，解得6a =， 由此361827ABCADEBDEDBCS SSS=++=++=．【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用．DE AB CADBCEGO。

精锐教育学科教师辅导教案如图，若DE ∥BC ，1AD BD =，能否得到1AEEC=？（与三角形中位线有何区别？）等底不等高的三角形的面积比是多少？等高不等底的三年角形的面积比是多少？如图，若DE ∥BC ，1AD BD =，能否得到1AEEC=？ E D BCA练习练习练习练习符号语言：AD AEDE BC DB EC⇒=2．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 符号语言：AD AE DEDE BC AB AC BC⇒==例题1：如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，EF ∥DC ，求证：2AD AB AF =⋅试一试：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE ∥CD 交CA 的延长线于点E 。

求证：FC 2 = FA · FE ．例题2：如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 的三等分点，EF 与BD 交于O 点，求BO ：OD 的值。

CEDBAFCABD E F试一试:1.已知平行四边形ABCD中,E为AD的中点,AF∶BF=2∶5，EF与AC交于点G，则_____=GCAG2.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果32BEEC=. 求EFEG的值.例题3：如图所示，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D,连接AD、BC，它们交于点E，EF⊥BD 于点F。

求证：111+= AB CD EF试一试:如图AD ∥BC ，DB 与AC 交于O ，过O 作OM ∥AD ，交AB 于M 点，AD=2，BC=5，求OM 的值。

如果 AB 的长度发生改变，此题中OM 的长度是否发生改变？例题4：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．如图，,BE CF 是ABC ∆的中线，交于点G ，求证：12GE GF GB GC ==.归纳总结：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍FEDCBAGFE BCA试一试：1．如图，已知：△ABC 的中线AD 、CE 相交于点G ，AD=6cm ，EG=3cm ，则AG=_____,EC=_______.2．如图，在ΔABC 中，AM 是中线，G 是重心，GD ∥BC ，交AC 于D ．若BC ＝6，则GD＝ ．例题5：已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长．试一试：已知，△ABC 中，∠C =90°，G 是三角形的重心，AB =6，则C G 的长为 ．选讲：1. 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB． GEDCBAB C AGM DB C GA2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，过O 作AD 的平行线交AB 于点E ，交CD 于点F ，若AD = 3，BC = 5，则EF = ______________.3．如图5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DBAD =，n ECAE =．那么m 与n 满足的关系式是：m ＝（用含n 的代数式表示m ）．4.如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，联结AG 、CE ． (1) 求证：AG =CE ；(2) 设CE 与GF 的交点为P ，求证：AGPE CGPG =.1．已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ，12AD DB =，4DE =，那么边AC 的长为 ．2．如图△ABC 中，G 为重心GD ∥AB ，GE ∥AC ，求证：BD=DE=EC 。

三角形一边的平行线判定一、知识讲解11 1．三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．2．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．符号语言：AD AEDB EC=（或AD AEAB AC=或DB ECAB AC=）DE BC⇒3．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．符号语言：,,AB DE BC EF AB DEAD BE CFBC EF AC DF AC DF⇒===4．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等．符号语言：AD BE CFAB BCDE EF⎫⇒=⎬=⎭．例题1：已知线段a、b、c求作线段x，使bacx=，以下作法正确的是（）例题2：如图，在ABC∆中，点E F、分别在AB AC、上，且EF BC，D为BC的中点，例题精讲EBADED FD 、分别交AC AB 、的延长线于H G 、，联结HG ． 求证：FE GH ．例3、已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别联结AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ．（1）求证：EF // DC ；（2）若2AB =，4CD =，求EF 的长．例题4、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // MN // BC ．MN 分别交边AB 、DC 于点M 、N ．如果AM ∶MB = 2∶3，AD = 4，BC = 9．求MN 的长．例5、 试一试：如图△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DEFG 为平行四边形，连BG 、CF 且分别延长交于H ，连AH ，求证：AH ∥DGGHABFEMDCBA例6、如图，AB ∥EF ∥DC ，AB ＝，DC ＝，，则EF ＝________。

CBDCCB初三数学第二课:三角形一边的平行线(一)知识要点:1.三角形一边平行线性质定理:平行于三角形一边的直线截其它两边所在直线,截得的线段对应成比例.2.推论:两边所在的直线,原三角形的三边对应成比例.性质定理和推论的推理表达式为:如图:1.∵DE∥BC∴2.∵DE∥BC∴3.三角形的重心定理:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点距离的两倍.如图:点G是△ABC重心，则AG=2GD例题讲解：例题1.如图,已知D E∥BC,AE:EC=3:2,BD=4,BC=15,求DE和AB例题2.如图,△ABC是等腰直角三角形,点G是其重心,GD∥AB,求DG:BC的值.例题3.如图,已知梯形ABCD的对角线交于点O,过点O作MN∥BC交AB与点M,交CD于点N.求证:OM=ON12(第1题)B (第2题)B(第3题)(第4题)C D CB A(第7题)A(第8题)(第1题)(第2题)(第3题)CB(第4题)巩固练习: 一. 选择题:1.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,DF ∥AC,则下列比例式中正确的是( )A.AE ECBC FC D AC DF BC DE C FBCFEC AE B BCDEEC AE ====...2.如图, 在△ABC 中,D E ∥BC,若) (S :S ,32ADC ADE ==∆∆则DB AD A.2:3 B.4:9 C.2:5 D.3:53.如图,在△APM 中,N 是MP 上一点,C 为AP 上一点,且B N ∥AM,ND ∥MC, 则下列结论正确的是( ) A.NCNDNB MA D MCNDPB PA C PDPCPB PA B NMPNDA PD ====...4.如图,四边形ADEF 是菱形,且AB=14cm ，BC=12cm ，AC=10cm,则BE=（ ） A ．5cm B.6cm C.7cm D.8cm5.已知，线段a,b,c,求做线段x ，使2ax=bc ，则可能正确的是（ ）6. 在△ABC 中,D,E 分别在BA 和CA 的延长线上, D E ∥BC,下列等式成立的是( )ECEA DB DA D BC DE DB DA C AB EA AC DA B EC AC DB DA A ====....7.如图, 在△ABC 中,AC=8,BC=6,EC=5,且D E ∥BC,则DE=( )A.320.25.518.49D C B8.如图,在直角△ABC 中,∠C=90°,中线BF,AE 相交于点G, 若AB=2,则CG=( ) A.1 B.0.5 C.31.32D 二.填空题:1.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,AC=9,DB=2,AD=4,则AE=2.如图,C,D 在△AOB 两边AO,BO 的延长线上,A B ∥CD,且OA=2,OC=3,AB=5,BD=6,则OB=3.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,32=EC AE ,DE=5,则BC= 4.如图,已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=3,BC=8,AB=4,两腰的延长线相交于点E,则EA=3(第5题)B(第8题)CB(第7题)C(第10题)C(第9题)C(第11题)DBDPC5.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,EF ∥AB,23DB AD ,FC=4,则DE= 6.如图,E 是□ABCD 中AD 边上一点,且ED=2AE,BE 和AC 交于点F,则AF:FC= 7.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,AD:DB=4:3,则DE:BC=8.如图,DE ∥AB,DF ∥BC,AD:AC=2:3,AB=9,BC=6,则□BEDF 的周长为9.如图, △ABC 的两条中线BD,CE 交于点G , E F ∥BD,则AF:FC= 10.如图,在△ABC 中,D E ∥BC,且AD:AB=2:3,则EO:EB= 11.如图,在△ABC 中,E 是AC 的中点,DC=BC,则DE:EF=12.如图,A C ∥BD,则线段x 是线段 的第四比例项。

l 3l 2l 1FEDCBA第二讲 相似三角形——三角形一边平行线【知识点】1、三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

数学表达：如图，直线DE 截△ABC 得两边AB 、AC ， 若①AD AE DB EC =,②AD AE AB AC =,③BD ECAB AC=中之一为已知条件，则DE ∥BC2、三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

数学表达：若点D 、E 分别在射线AB 、AC 上，如图（1）或分别在他们的方向延长线上如图（2），且具备上述条件①、②、③之一，则D E ∥BC.3、行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．【典型例题】例1如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上。

判断在下列条件下能否推出D E ∥BC,为什么？（1）23AD DB =,AE=2，AC=3 （2）25AD AB =,25DE BC = （3）23AD DB =,53AC CE =【变式】△ABC 中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么能推出D E ∥BC 的条件是（ ）EDCBAEDC B AEDCBAEDCBAA 、AB 3=AD 2,EC 1=AE 2 B 、AD 2=AB 3,DE 2=BC 3 C 、AD 2=DB 3,CE 2=AE 3 D 、AD 3=AB 4,AE 3=EC 4例2 如图所示，M 为AB 的中点，EF ∥AB,连接EM 、FM ，分别交AF 、BE 于点C 、D ，连接CD 。

求证：CD ∥AB.【变式】如图EF ∥BC ，31=AC AF ，BF=4，FD=2，求证：EF ∥AD A DE FB C例3如图，已知MB ∥ND ，PA PD PB ∙=2，求证：NB ∥MAMNA B D P变式：如图，O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别在AB 、AO 、AC 上，如果DE ∥BO ，DF ∥BC ，求证：EF ∥OC AED F OB C例4 如图，E 、G 、H 、F 分别是四边形ABCD 各边上的点，且AE •FD=EB •AF ，BG •HC=GC •DH ，OFED CBA求证：EO •GO=FO •HO D F AE O HB G C变式：如图△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DEFG 为平行四边形，连BG 、CF 且分别延长交于H ，连AH ，求证：AH ∥DGAD EB CG F HAD E HG FB C例5 如图所示，A B ⊥BD 于点D ，连接AD 、BC ，它们交于点E ，EF ⊥BD 于点F 。

FE D CB A 三角形一边的平行线一、教学目标1、理解平行线分线段成比例定理。

2、掌握三角形一边平行线的性质定理、判定定理及其推论。

3、知道三角形的重心的定义及性质。

4、加强三角形一边平行线的性质定理、判定定理及其推论的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：三角形一边平行线的性质定理、判定定理及其推论。

难点：三角形一边平行线的性质定理、判定定理及其推论的应用。

三、考点分析：这部分知识定理很多重在理解和应用。

中考以选择题和填空题出现，也可以出现综合题。

四、提分技巧：1、基础知识要牢固掌握，合理利用性质去做题。

2、这部分问题重在分析和理解。

五、思维误区点拨：1、能正确的找出题目中的比例线段。

2、要掌握含有比例线段的基本图形，并能从复杂图形中分解出这些基本图形。

【例1】三角形一边平行线的性质定理及其推论的应用【基础型】1.如图已知DE ∥BC ，AB=15，AC=10，BD=6.，则CE=___________ 2.如图BD ∥AC ，CE=3，CD=5，AC=5，BD=3.如图AD ∥BE ∥CF ，AB=3，AC=8，DF=10，DE= ,EF=ABCDE BEACD【延伸型】1.如图，已知AD ∥EB ∥FC ，AC =12，DB =3，BF =7，EC =2.如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，AE = 18，BE = 12，CD = 14，则BD = _______.（1） （2）【能力型】1如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=a ，BC=b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长.如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点BM 交AD 、AE 于G 、H ，则BG ：GH ：HM 等于（ ）A ．3：2：1B ．4：2：1C ．5：4：3D ：5：3：2【例2】三角形一边平行线的判断定理及其推论的应用【基础型】已知：如图，点D ,F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ABADAD AF = 求证： E F ∥DC .【延伸型】如图ABCD 是平行四边，PQ //BC ,BP 、CQ 交与点S ， 求证：RS //AB 。

三角形一边的平行线【知识梳理】1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线//l BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， //DE BC ，那么DE AD AE BC AB AC ==．3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果AD AEDB EC=那么l //BC ．6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l 所截，那么DF EGFB GC=．7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【考点剖析】 一．三角形的重心（共13小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（ ） A ．三角形三条角平分线的交点 B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条边的垂直平分线的交点D ．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果． 【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 故选：B ．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•奉贤区一模）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心．如果AD ＝6，那么线段DG 的长是 ．BCD E FG【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．3．（2022秋•杨浦区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC 的长为．【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG＝2DG＝4，则AD＝6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，AG＝4，∴点D为BC的中点，且AG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边的中线，∴BC＝2AD＝12．故答案为12．【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．同时考查了直角三角形的性质．4．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝10，则线段GE的长为（）A．B．C．D．【分析】因为点G是△ABC的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1，可知点D为BC的中点，，根据GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，进而证得△AEG∽△ACD，从而得到，代入数值即可求解．【解答】解：如图，连接AG并延长交BC于点D．∵点G是△ABC的重心，∴点D为BC的中点，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知点G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：5【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，则2S△BGD＝S△ABG，进而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：连接AG延长交BC于点D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键．6．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P、Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为6，则PQ的长为．【分析】连接DE，由G是△ABC的重心，可证DE是△ABC的中位线，从而可求出DE的长．延长EP交BC 于F点，连接DF，利用三角形重心的定义和性质得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再证明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：连接DE，延长EP交BC于F点，连接DF，如图，∵G是△ABC的重心，∴D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．∵P点是△BCE的重心，∴F点为BC的中点，EP＝2PF，∵Q点是△BCD的重心，∴点Q在中线DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质．三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．7．（2022秋•徐汇区期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．【分析】取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．根据含30度角的直角三角形的性质求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根据等边三角形的性质得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后证明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如图，取AC中点O，连接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形重心的定义与性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．8．（2022秋•黄浦区月考）已知点G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可计算．【解答】解：延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．9．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．10．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△P AB、△P AC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．11．（2022秋•徐汇区期中）已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的长为．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．12．（2018•宝山区校级自主招生）G为重心，DE过重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并证明结论．【分析】设AD＝mAB，AE＝nAC，由G为△ABC重心得＝3，再由当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值为，最小值为．证明：假设△ABC面积为S1，△ADE面积为S2，设AD＝mAB，AE＝nAC，∵G为△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD•AE•sinA＝mAB•nAC•sinA＝mnS1，当＝＝时，有最大值，则mn有最小值，而无论D、E任何移动，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，解决此题的关键是根据G为△ABC重心得到＝3．13．（2019秋•嘉定区校级月考）如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的长．【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合EF+BC＝7.2cm来求BC的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．二．平行线分线段成比例（共1914．（2022秋•徐汇区期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必须等于．【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须即可得出BE的长．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别在边AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理的逆定理，根据题意得出要使DE∥AC，必须是解决问题的关键．15．（2022秋•闵行区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A．B．C．D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．16．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．17．（2022秋•嘉定区校级期末）如果点H、G分别在△DEF中的边DE和DF上，那么不能判定HG∥EF 的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DEC．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：A、当DH：EH＝DG：GF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；B、当HG：EF＝DH：DE∥EF，本选项符合题意；C、当EH：DE＝GF：DF，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；D、当DE：DF＝DH：DG，即＝时，HG∥EF，本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18．（2023•徐汇区一模）如图，a∥b∥c，若，则下面结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】已知a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合题意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合题意；根据已知条件得不出＝，故C符合题意；由＝，得＝＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．19．（2021秋•嘉定区期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．（2023•长宁区一模）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．21．（2023•松江区一模）如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．22．（2022秋•松江区月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB ＝4，AC＝6，求EC．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．（2022秋•松江区月考）如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出结论．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD•AG＝AF•AB．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．24．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的长等于（）A．4B．C．D．8【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．26．（2022秋•浦东新区期末）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本选项符合题意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本选项不符合题意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的性质，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE＝．【分析】根据平行线分线段成比例，即可进行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．掌握平行线分线段成比例是解题关键．28．（2022•宝山区二模）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求证：四边形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，联结DE，求DE的长．【分析】（1）根据菱形的判定方法解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE是菱形；（2）如图，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【点评】本题主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定定理和性质定理是解答本题的关键．29．（2021秋•杨浦区校级月考）如图，点D为△ABC中内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD 上一点，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求证：EF∥BC；（2）当，求的值．【分析】（1）先根据相似比的性质得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出结论；（2）先根据EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【点评】熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．30．（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；（2）由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．31．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC ＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；（2）过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得结论．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如图，过点A作AK∥DF交BE于点J，交CF于点K，则AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．32．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE •OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【过关检测】一、单选题A．4【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例得到35BC ADBE AF==，即可求出BC．【详解】解：∵AB CD EF∥∥，∴35 BC ADBE AF==，∵24 BE=，∴3 245 BC=，解得：725 BC=．故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．九年级校考期中）在ABC中，分别在ABC的边【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、AD DEAB BC=，不能判定DE BC∥，故A符合题意；B、∵AD AE AB AC=，∴DE BC∥，故B不符合题意；C、∵AED C∠=∠，∴DE BC∥，故C不符合题意；D、∵AD AE BD EC=，∴DE BC∥，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行线的判定，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九年级单元测试）在ABC中，点【答案】B【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【详解】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴32 AE CDEB BD==∴23BD CD =∵DF AB ∥， ∴23AF BD FC CD == 故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键． 在ABC 的边 【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例可得47AE AD AC AB ==，则可以推出当47AF AE AD AC ==，即37DF AD =时，EF CD ∥．【详解】解：DE BC ∥，43AD DB =，∴44437AE AD AD AC AB AD DB ====++，∴当47AF AE AD AC ==时，EF CD ∥，此时74377DF AD AF AD AD −−===，故A 选项符合题意； B ，C ，D 选项均不能得出EF CD ∥．故选A ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”．5．（2023·上海浦东新·校考一模）如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE BC ∥的条件是（ ）A ．::AD AB DE BC =B ．::AD DB DE BC = C ．::AD DB AE EC =D ．::AE AC AD DB =【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．【详解】解：设DE BC ∥，那么AD AB AE AC AD DB AE EC DB AB EC AC ===::，::，::，选项A 、B 、D 、不符合平行线分段成比例定理．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．∵AD DB AE EC =::，∴DE BC ∥．故选：C ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解答此题的关键的是明确哪些对应线段成比例．学生初学，容易出错．九年级校考期中）在ABC 中，点【答案】B【分析】利用如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边可对各选项进行判断即可．【详解】当AD AE DB EC =或AD AE AB AC =时, DE BC ∥, 当AD AE DB EC =时，可得23AE EC =，当AD AE AB AC =时，可得25AE AC =， 即23AE EC =或25AE AC =.所以B 选项是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．二、填空题 7．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 的延长线上，DE 平行于BC ，1AB =，3BD =，2AC =，那么AE =___________．【答案】8【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】∵DE AB ∥ ∴AB AC AD AE = ∵1AB =，3BD =，2AC =，∴124AE =∴8AE =故答案为：8．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么:AFE FEDC S S 四边形的值为____．【答案】15/0.2【分析】证明12AF EF AE CF BF BC ===，推出24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4CBF S m =，求出四边形FEDC 的面积，可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴AF EF AE CF BF BC ==， ∵ E 是边AD 的中点，∴1122AE DE AD BC ===，∴12AF EF AE CF BF BC ===， ∴24BCF ABF AEF S S S ==，设AEF S m =，则2ABF S m =，4S m ， ∴6ACB ADC S S m ==， ∴65FECD S m m m =−=四边形， 1::55AFE FECD S S m m ==四边形； 故答案为：15．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．9．（2022秋·上海黄浦·九年级统考期中）如图，AD 、BC 相交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AB CD EF ∥∥，如果6CE =，4EO =，5BO =，6AF =，那么AD = ___________．【答案】10【分析】利用平行线分线段成比例定理得到EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，求得4893FO AF ==，4DF =即可解决问题.【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，EO FO BO AO =，EO FO CE DF =，∵4EO =，5BO =，∴45FO AO =， ∵6AF =，∴4893FO AF ==，∵6CE =，∴8436DF =，∴4DF =，∴6410AD AF DF =+=+=．故答案为：10．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，四边形ABCD 中，AD BC EF ∥∥，如果3810AE AB CD ===，，，则CF 的长是________．【答案】254【分析】根据平行线分线段成比例得出AE DF AB CD =，求出154DF =，即可得出答案． 【详解】∵AD BC EF ∥∥， ∴AE DF AB CD =， ∵3810AE AB CD ===，，， ∴3810DF =， 解得：154DF =， ∴15251044CF CD DF =−=−=， 故答案为：254．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确得出比例线段是解题的关键． 11．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）在ABC 中，点D 、E 分别在直线AB 、AC 上，如果DE BC ∥，1AB =，2AC =，3AD =，那么CE =________．【答案】4【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可．【详解】解：作如下图：∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =， ∵1AB =，2AC =，3AD =，∴123AE =，∴6AE =，∴624CE AE AC =−=−=，故答案为：4．【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理．。

三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X ”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲【例6】如图，在ABC∆中，10AB=，8AC=，点D在直线AB上，过点D作//DE BC交直线AC与点E．如果4BD=，求AE的长．【答案】245或565．【解析】（1）D在线段AB上时，6AD AB BD=-=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：245AE=；（2）D在线段AB延长线上时，14AD AB BD=+=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：565AE=；（3）D在线段AB反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC∆中，AB AC>，AD BC⊥于点D，点F是BC中点，过点F作BC 的垂线交AB于点E，:3:2BD DC=，则:BE EA=．【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC=，BF FC=，即得：32BF FDBF FD+=-，可得：51BFFD=．又AD BC⊥，EF BC⊥，EF∴//AD，::5:1BE EA BF FD∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．例题解析2/ 20【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【答案】212OB =，6DF =．【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD ∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC ODCE DF=， AC BDCE DF∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【答案】12．【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形，故34ECD BCD S DE BC S ==，由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．4 / 20【例10】如图，P 为ABCD 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS =．【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////AB CD AD BC ∴，， ////RB DI SD BQ ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PSPR PB PQ==， PQ PI PR PS ∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，CD 的延长线上有一点E ，BE 交AC 于点F ，交 AD 于点G ．求证：2BF FG EF =．【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD 为平行四边形， ////AB CD AD BC ∴，， ////AB CE AG BC ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BFBF AF FG==， ∴2BF FG EF =．【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN=；（2）MD EB ME DC =．【答案】略． 【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠．//AM CN ∴，∴MD AMDC CN =． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MCEB NB=．AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，MC AM NB CN ∴==，，MD MEDC EB∴=， ∴MD EB ME DC =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，ABC ∆的面积是10，点D 、E 、F （与A 、B 、C 是不同的点）分别位于 AB 、BC 、CA 各边上，而且2AD =，3DB =，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，求ABE ∆的面积．【答案】6． 【解析】连结DE ，由ABEDBEF S S =四边形，可得ADFAEFSS=，两三角形同底，可得两三角形等高，故//DE AC ，根据平行于三角形一边的直线性质定理， 可得：35BD BE AB BC ==，故35ABE ABCS BE S BC ==，求得3=10=65ABES⨯． 【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．【例14】如图，在ABC ∆中，6BC =，42AC =，45C ∠=︒，在BC 边上有一动点P ，过P 作//PD AB 与AC 相交于于点D ，联结AP ，设BP x =，APD ∆的面积为y ．6 / 20（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）P 点是否存在这样的位置，使APD ∆的面积是APB ∆的面积的23？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()212063y x x x =-+<<；（2）存在，2BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得：6PC x =-， 又45C ∠=︒，故()22622PE CE PC x ===-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得223AD x =，故()()2112221620622233y PE AD x x x x x =⋅=⋅-⋅=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ． 由4542C AC ∠=︒=，可得4AF CF ==， 故122ABPSAF BP x =⋅=， ∵APD ∆的面积是APB ∆面积的23， ∴2122233y x x x =-+=⨯，解得：2x =，即2BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论FEa Nb Qx c P M xNa Qcb PM cNxQa b P M c NbQa x PM1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项．知识精讲例题解析8 / 20【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．【答案】92EC =． 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型．【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，求GH 的长．【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义，可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =．【总结】考查三角形重心的性质．D【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，， 即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1BC CD =，可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC，已知3AD=，6BC=．求EO的长．【答案】2．【解析】由//AD BC，可得：3162 AO ADCO BC===，故13AOAC=，由//EO BC，13EO AOBC AC==，求得2EO=．【总结】相似三角形中“A”字型和“X”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例27】如图，在梯形ABCD中，//AD BC，3AD=，5BC=，E、F是两腰上的点，且//EF AD，:1:2AE EB=，求EF的长．【答案】113．【解析】过点A作//AH DC交BC于H，交EF于G，则有32CH FG AD BH====，，又//EG BH，可得：13EG AEBH AB==，解得：23EG=，故113 EF EG GF=+=．【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．【例28】如图，在ABC∆中，D是BC边上的一点，:3:1BD DC=，G为AD的中点，联结BG并延长AC交于E，求:EG GB的值．【答案】1:7．【解析】过点D作//DF BE交AC于F．此时则有14DF CF DCBE CE BC===，又G为AD中点，根据平行可得：12GEDF=，故18GEBE=，即18EGEG GB=+，可得:1:7EG GB=．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．GHF10/ 20MFEDCBA【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF AC 的值．【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==，∴12CM MF =． 又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．【例30】如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD BD ⊥， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF BD ⊥，垂足为F ，EF CD <），他的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方B 点的距离FB 的长．【答案】818m 或18m【解析】（1）影子全部在地面上时， 设点E 在地面的投影为点M ， 则有3FM =．由EF BD ⊥，AB BD ⊥，可得//EF AB ，则有EF FMAB BM =， 代入可求得：1058BM m =，则818FB BM FM m =-=． （2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，设墙上部分影长ND x =，则有3DF x =-，17FB x =+，EFNG12 / 20GHFEDCBA则有ND GDAB GB=， 即720x GD GD =+，可得207xGD x=-， 又根据//ND EF ，可得ND GD EF GF=，即207201.637xx x x xx -=+--， 整理即得：210110x x +-=， 解得：()12111x x ==-，舍．故18FB m =．【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论．【例31】如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，EF 交AC 于点G ，若:2:3AE EB =，:1:2AF AD =，求:AG AC 的值．【答案】2:9．【解析】延长FE 交CB 的延长线于点H ．∵//AF BH ，∴23AF AE BH EB ==．又:1:2AF AD =，故可得：227AF AF CH AF BH ==+，∵//AF CH ，∴27AG AF GC CH ==，故:2:9AG AC =． 【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．H FE DCB AG FEDCBA G FEDCBA【例32】如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AB 、AC 上的两点，且BD CE =，延长DE 交BC的延长线于点F ，:3:5AB AC =，12cm EF =，求DF 的长．【答案】20cm ．【解析】过点D 作//DH AC 交BC 于H ，则有35BD AB DH AC ==，又BD CE =，则有35CE DH =，由//CE DH ，得35EF CE DF DH ==，代入计算得：125320DF cm =⨯÷=． 【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例33】如图，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且:3:2AD DB =，:1:2AE EC =，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求:FB FC ．【答案】1:3．【解析】过点B 作//BG FE 交AC 于G ． 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： 32AE AD EG DB ==，又:1:2AE EC =，故13EG EC =，由//BG FE ，可得：::1:3FB FC EG EC ==．【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例34】已知：在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两点，且//AD EG ，EG 交AC 于F ，交BA 的延长线于G ，若2EF EG AD +=．求证：AD 是ABC ∆的中线．【答案】略．【解析】证明：//AD EG ， AD BD EF CEEG BE AD CD∴==，．14 / 20BE CEEG AD EF AD BD CD∴=⋅=⋅，． 2EF EG AD +=， 2BE CE BD CD∴+=． 则有11BE CEBD CD-=-， BE BD CD CEBD CD --∴=． 即DE DEBD CD=． BD CD ∴=．即AD 是ABC ∆的中线．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论．【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【答案】略．【解析】证明：//PE AB ，//PF AC ，BE AP CF APBD DA DC DA ∴==，， BE CFBD DC∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值．随堂检测GMDCBA【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23EO DE BO BC ==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A ”字型和“X ”字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD ．【答案】23． 【解析】AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M 为AC 中点，G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =，26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长． 【答案】1085DE =，129665CD =．【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．16 / 20PN E GH F MD C BANEFMDC B A【习题8】如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【答案】13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 【总结】夹在平行线间的线段对应成比例．【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度． 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =． :1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．课后作业M N PE GFMDCBA 【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC于G ，求AGGC 的值．【答案】25或23． 【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ，43AG AF GM EM ∴==,18 / 20E G FMDCBA 42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM ∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A ”字型、“X ”字型即可．【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长． 【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EFAB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CFEB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长．【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，． 【解析】（1）证明：//DE CA ，AE CDEB DB ∴=， 又//DF AB ， CD CFDB FA∴=，AE CFEB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CFEB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．【作业7】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =，求GE 和CO 的长．【答案】56GE CO ==，．【解析】四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2DE AE =，13GE AE AE GC BC AD ∴===，23EO DE OC BC ==， 即13GE GE EC =+，23EC CO CO -=，代入即可求得56GE CO ==，．【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“A ”字型和“X ”字型，进行比例线段的综合应用．20 / 20【作业8】如图， //DE BC ，3ADE S ∆=，18CBD S ∆=，求ABC S ∆．【答案】27． 【解析】设BDES a =，则有3AED BEDS AE SBE a==，318ABD CBDS AD a SCD +==，由DE //BC ，可知AE ADBE CD=， 则有3318aa +=，整理得23540a a +-=，解得6a =， 由此361827ABCADEBDEDBCS SSS=++=++=．【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用．。