1、如图，将等边△ABC的边AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）得到AB′、BC′、CA′，连接A′B′、B′C′、A′C′。当AB＝2时，△A′B′C′的周长的最大值为_________。
2、如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，若AP＝3，BP＝5，CP＝7，则△ABC的面积为_________。 29
【例题精讲一】三角形中的计算与证明
例1.1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AC于点D。
（1）把Rt△DBC绕点D顺时针旋转45°，点C的对称点为E，点B的对称点为F，请画出△EDF，连接AE、BE，并写出∠AEB的度数；
（2）如图2，把Rt△DBC绕点D顺时针旋转α度（0＜α＜90°），点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接CE、CD，求出∠AEC的度数，并写出线段AE、BE与CE之间的数量关系，并证明；
＋，α＝60°，求AG的值。
（3）在（2）的条件下，连接CD交AE于点G，若BC＝226
2、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD。
（1）如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，则∠BFC的度数为；（2）如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8
①若α＝30°，β＝60°，则AB的长为；
②若改变α、β的大小，但α＋β＝90°，求△ABC的面积。
【课堂练习】
1、如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O。点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E。
（1）求证：△BPO≌△PDE；
（2）若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD；
（3）若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，已知CD′＝2D′E，请写出CD′与AP′的数量关系并说明理由。
（武珞路期中）2、（1）如图1，在△ABC 和△ECD 是等边三角形，则BE 、AD 之间的数量关系为________；∠
DFE 度数为________；；
（2）如图2，在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠CED ＝90°，M 是CD 的中点，连AM 、BE 交于F 点，则BE 、AM 之间的数量关系为________；∠MFE 度数是________；
（3）如图3，在△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠CED ＝90°，N 是BD 的中点，连AN 、NB ，则AN 、NE 有何关系并证明你的结论。
【例题精讲二】四边形中的计算与证明
例2. 1、已知矩形ABCD 中点P 为边BC 上一动点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°，点A 恰好落
在直线CD 上的点E 处。
（1）如图1，点E 在线段CD 上，求证：AD ＋DE ＝2AB ；
（1）证明：
PCE Rt ABP Rt ????PC AB =，CE BP = .............2分
DE CP BP DE AD ++=+ ＝DE CE CP ++ ＝CD CP +
＝AB 2 ...................................4分
（2）如图2，点E 在线段CD 的延长线上，且点D 为线段CE 的中点，在线段BD 上取点F ，连接AF 、PF ，若AF ＝AB 。求证：∠APF ＝∠ADB ；
（1）方法一
证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠?EDF AFD ∠=∠ 证明EDF AFD ??? ...................................6分 证明?=∠=∠=∠90ADE APE AFE ?点AFPDE 在AE 为直径的圆上 ?ADB APF ∠=∠ ...................................8分
方法二（图2）
证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠?EDF AFD ∠=∠ ?DEA FAE ∠=∠?DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角） 证明EPD APF ???
?α=∠=∠NDP MFP ...................................7分
证明?=∠=∠4521?ADB APF ∠=∠=α-?45.................8分 方法三（图2）
证明：设AP 、EP 交BD 分别于点M 、N 证明?=∠=∠4521
证明BDC AFB ABF ∠=∠=∠?EDF AFD ∠=∠ 证明EDN AFM ???
证明EPD APF ???（或DNP FMP ???） 证明α=∠=∠NDP MFP ?ADB APF ∠=∠=α-?45 方法四（图三）
证明：BDC AFB ABF ∠=∠=∠?EDF AFD ∠=∠ ?DEA FAE ∠=∠?DEP FAP ∠=∠（等角减去45度角）
利用对称性 证明α=∠=∠NDP MFP ?ADB APF ∠=∠=α-?45
（3）如图3，点E 在线段CD 上，连接BD ，若AB ＝2，BD ∥PE ，求DE 的长度。
【课堂练习】
（武昌12月）如图1，E 为正方形ABCD 的边AD 上一点，EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，连DF ，作FH ＝DH ，交AD 的延长线于H 。
（1）求证：AE ＝FH ；
（2）若ED ＝6，∠ABE ＝15°，求△EDF 的外接圆半径； （3）如图2，将△ABE 沿BE 折叠得△GBE ．若∠DGC ＝90°，求
AE
AD
的值。
证明：(1) △ABE ≌△HEF （AAS ） ∴AE ＝FH (2) 由(1)可知，AB ＝EH ＝AD ∴AE ＝DH ＝HF ∴△DHF 为等腰直角三角形 ∴∠EDF ＝135° ∵∠ABE ＝15° ∴∠HEF ＝15° ∴∠DFE ＝30° 如图，作△DEF 的外接圆⊙O ，连接OE 、OD 、OF ∴∠EOD ＝∠DFE ＝60° ∴△ODE 为等边三角形 ∴r ＝6 (3) 延长EG 交CD 于F ，连接BF ∴Rt △BGF ≌Rt △BCF （HL ） ∴GF ＝FC
又FG ＝FD （等角对等边） ∴FD ＝FC 设AB ＝2，AE ＝x 在Rt △DEF 中，(x ＋1)2＝(2－x )2＋1，x ＝32
∴3 AE
AD
【例题精讲三】多边形中的计算与证明
例3. 如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交
DE 于N 。
（1）①∠MPN ＝________， ②求证：PM ＋PN ＝3a ；
（2）如图2，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM ＝ON ；
（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，判断四边形OMGN 是否为特殊四边形？并说明理由。
【课堂练习】
（元调）1、如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点。
图3
（1）如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠PAC 的度数； （2）如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP ；
（3）如图3，若点C 线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请求出PD 的长度。 （1）解：延长AP ，DE ，相交于点F ． ∵∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，∴∠BAC ＋∠CDE ＝180°， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AB ∥DE ．……… 1分 ∴∠B ＝∠PEF ，∠BAP ＝∠EFP ．
∵BP ＝PE ，∴△ABP ≌△FEP ．∴AB ＝FE ． ∵AB ＝AC ，DC ＝DE ，∴AD ＝DF ．……… 2分 ∴∠PAC ＝∠PFE ． ∵∠CDE ＝120°，
∴∠PAC ＝30°．……… 3分
（2）证明：延长AP 到点F ，使PF ＝AP ，连接DF ，EF ，AD ． ∵BP ＝EP ，∠BPA ＝∠EPF ，∴△BPA ≌△EPF ．……… 4分 ∴AB ＝FE ，∠PBA ＝∠PEF ．
F
P
E
C
B
A
D
F
P
E
C
B
A
D
P
E
D
C
B
A
∵AC ＝BC ，∴AC ＝FE ．……… 5分
在四边形BADE 中，∵∠BAD ＋∠ADE ＋∠DEB ＋∠EBA ＝360°，
∵∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，∴∠CAD ＋∠ADC ＋∠DEB ＋∠EBA ＝180°． ∵∠CAD ＋∠ADC ＋∠ACD ＝180°，∴∠ACD ＝∠DEB ＋∠EBA ． ∴∠ACD ＝∠FED ， ……… 6分
∵ CD ＝DE ，∴△ACD ≌△FED ．∴AD ＝FD ． ∵AP ＝FP ，∴AP ⊥DP ． ……… 7分
（3）5
2
． ……… 10分
（提示：连接AP ，AD ，易知∠ACD ＝90°，所以AD ＝ 5 ，在Rt △APD 中，∠PAD ＝30°，所以，PD ＝52
）
（四调）2、在正六边形ABCDEF 中，N 、M 为边上的点，BM 、AN 相交于点P 。 （1）如图1，若点N 在边BC 上，点M 在边DC 上，BN ＝CM ，求证：BP ·BM ＝BN ·BC ； （2）如图2，若N 为边DC 的中点，M 在边ED 上，AM ∥BN ，求
DE
ME
的值； （3）如图3，若N 、M 分别为边BC 、EF 的中点，正六边形ABCDEF 的边长为2，请求出AP 的长。
（3）连MN,作AQ ⊥MN 于Q
AQ ∥BC, AQ=BC=2 ∴GQ=2121=BN ,AG=23 由△AGP ∽△NBP ∴23==BN AG PN AP AN AP 5
3
=
作AH ⊥BN 于H 则AH=3 ,HB=1 ∴AN=7 ∴AP=5
7
3
（武珞路期中）1、如图，边长为4的正方形ABCD 外有一点E ，∠AEB ＝90°，F 为DE 的中点，连接CF ，则CF 的最大值为 。 131＋
分别取AB 、AD 、BD 的中点Q 、N 、O ，取DQ 的中点M 则OM ＝FM ＝MN ＝1，∴点F 在以ON 为直径的半圆上 作MP ⊥CD 于点P ，则CM ＝2232＋＝13 ∴CF ≤CM ＋MF ＝13＋1
2、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点。
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明。
3、（1）已知△ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ACB＝∠DEB＝90°，当M为AD的中点时，连CM、EM．①如图1，若∠ABC＝45°，则MC＝ME，∠CME＝90°；②如图2，若∠ABC＝30°，则MC与ME的数量关系为___________，∠CME＝___________；
（2）将图2中的△DEB绕点B逆时针旋转30°得到图3，请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小并给予证明；
（3）如图，在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝α，点M仍为AD的中点，现将△BDE 绕点B逆时针旋转β（0＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明。
（2015·七一周练十一）4、（1）如图1，四边形ABEC中，∠BAC＝∠BEC＝90°，且BE＝CE，求证：AE平分∠BAC；
（2）如图2，四边形ABCD为菱形，E、F分别在对角线AC、边AB的延长线上，试探究：当∠BAD与∠DFE满足什么关系时，使得DF＝EF成立？并证明你的结论；
（3）在（1）的条件下，若AE ＝4，请直接写出线段BE 的取值范围______________。
证明：(1) 过点E 作EF ⊥EA 交AC 的延长线于F ∵∠BEC ＝90° ∴∠BEA ＋∠AEC ＝90° 又∠FEC ＋∠AEC ＝90° ∴∠BEA ＝∠FEC 在四边形ABEC 中，∠B ＋∠ECA ＝180° 且∠ECF ＋∠ECA ＝180° ∴∠B ＝∠ECF
在△EAB 和△EFC 中 ???
??∠=∠=∠=∠CEF BEA EC EB ECF EBA ∴△EAB ≌△EFC （ASA ） ∴AE ＝EF ∴△AEF 为等腰直角三角形
∴∠BAE ＝∠F ＝∠EAF ＝45° ∴AE 平分∠BAC
(2) 过点F 作FM ⊥AM 交AD 的延长线于M ，FN ⊥AE 于N ∵四边形ABCD 是菱形 ∴AF 平分∠MAN ∴FM ＝FN
在Rt △FDM 和Rt △FEM 中 ?
??==FN FM FE
FD ∴Rt △FDM ≌Rt △FEM （HL ） ∴∠E ＝∠MDF
∵∠MDF ＋∠ADF ＝180° ∴∠E ＋∠ADF ＝180° 在四边形ADFE 中，∠BAD ＋∠DFE ＝180° (3) 22≤BE ＜4 提示：当EC ⊥AF 时最短
（六中12月）5、如图，菱形ABCD 中，∠ADC ＝60°，M 、N 分别为线段AB 、BC 上两点，且BM ＝CN ，且AN 、CM 所在直线相交于E 。
（1）填空：∠AEC ＝ ，AE 、CE 、DE 之间的数量关系是 ；
（2）若M 、N 分别为线段AB ，BC 延长线上两点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？试画图并证明之；
（3）若菱形边长为3，M 、N 分别为线段AB ，BC 上两点时，连接BE ，Q 是BE 的中点，则AQ 的取值范围是 。