广东省揭阳市2016届高三数学第二次模拟试题 文(含解析)

2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．．已知平面向量，，，则 的值为（ ）．．﹣ ． ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣）（ ＞）内，则 的最小值是（ ）．．． ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）． ． ． ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（ ）．．．．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 ．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元的概率．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（ 月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 分，共 分）．．复数（ ） （其中 为虚数单位）的虚部为（ ） ．．﹣ ． ．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（ ） ，则答案可求． 【解答】解：复数（ ） ﹣ ，则复数（ ）的虚部为： ．故选： ．．已知集合，则满足 的集合 可以是（ ）． ，． ﹣ ≤ ≤ ． ＜ ＜ ． ＞【考点】交集及其运算．【分析】求出 中 的范围确定出 ，根据 ，找出满足题意的集合 即可． 【解答】解：∵ ≥ ，∴ ＜ （） ≤（） ， ∴ ＜ ≤ ．则满足 的集合 可以 ＜ ＜ ． 故选： ．．各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则（ ）．．． ．【考点】等比数列的性质．【分析】利用 （ ） ，各项为正，可得 ，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，∴ （ ） ，∵ （ ） ，∴ ，∴ （ ） ，故答案为： ．．已知平面向量，，，则 的值为（） ． ．﹣ ． ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出 ．【解答】解： （ ， ﹣ ），∵ ，∴ （ ﹣ ） ，解得 ．故选： ．．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆 （ ﹣） （ ＞ ）内，则 的最小值是（）． ． ． ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆 （ ﹣） （ ＞ ）对应的圆心坐标为（ ，），由图象知只需要点 （ ， ）或 （﹣ ， ）在圆内即可，即 ≥ ，在 的最小值为，故选： ．．如图所示为函数 （ ） （ ）（ ＞ ，≤ ≤ ）的部分图象，其中 ， 两点之间的距离为 ，那么． ．﹣ ．﹣ ．【考点】由 （ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅 ，由 、 两点的距离结合勾股定理求出 和 的横坐标的差，即半周期，然后求出 ，再由 （ ） 求 的值，则解析式可求，从而求得 （ ）．由 （ ） ，得 ，∴ ．又≤ ≤ ，∴ ．则 （ ） （ ）．∴ × ．故选： ．．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）． ． ． ．【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环： ， ；第二次循环： ， ；第三次循环： ， ；第 次循环：， ；令＜﹣ ，解得 ＞ ．∴输出的结果是 ． 故选： ．．在棱长为 的正方体 ﹣ 中， 在线段 上，且， 为线段上的动点，则三棱锥 ﹣ 的体积为（ ）． ．．．与 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】如图所示，连接 ，取，可得 ∥ ，，由于 ⊥平面 ，可得 ⊥平面 ，利用三棱锥 ﹣ 的体积 三棱锥 ﹣即可得出．【解答】解：如图所示，连接 ，取 ，则 ∥ ，， ，∵ ⊥平面 ， ∴ ⊥平面 ， 即 是三棱锥 ﹣ 的高． ∴ 三棱锥 ﹣ 三棱锥 ﹣．故选： ．．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一点，且在第一象限， ⊥ ，垂足为 ， ，则直线 的倾斜角为（）． ． ． ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】可先画出图形，得出 （），由抛物线的定义可以得出 ，从而可以得出 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出 点的纵坐标，这样即可得出 点的坐标，从而求出直线 的斜率，根据斜率便可得出直线 的倾斜角．【解答】解：如图，由抛物线方程得；；∴ 点的横坐标为；∴， 在第一象限；∴ 点的纵坐标为；∴ 点的坐标为；∴ 的斜率为；∴ 的倾斜角为．故选： ．．已知点 、 分别是双曲线 ：﹣ （ ＞ ， ＞ ）的左右焦点，过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，若 ： ： ： ： ，则双曲线的离心率为（ ）．．．．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得 ，∠ ，再利用勾股定理可求得 ，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵ ： ： ： ： ， 不妨令 ， ， ， ∵ ，∴∠ ，又由双曲线的定义得： ﹣ ， ﹣ ， ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ． ∴ ﹣ ﹣ ，∴ ．在 △ 中， ， 又 ，∴ ， ∴，∴双曲线的离心率 ．故选： ．．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）． ． ． ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为 ，几何体底面圆心角为 ，∴几何体底面弧长为 ．圆锥高为 ．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中， ， ⊥ ， ⊥ ， ，，．∴∠ ∠ ，∠ ．∴∠ ．∴ ．故选 ．．设函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．若函数 （ ）在区间（ ， ）（ ∈ ）上有零点，则 的值为（） ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或 ．﹣ 或【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数 （ ）的图象关于直线 对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的 值．【解答】解：∵函数 （ ）对任意的 ∈ 满足 （ ） （﹣ ），∴函数 （ ）的图象关于直线 对称，又∵当 ∈（﹣， 时，有 （ ） ﹣ ﹣ ．故函数 （ ）的图象如下图所示：由图可知，函数 （ ）在区间（﹣ ，﹣ ），（ ， ）各有一个零点，故 ﹣ 或 ，故选：二、填空题（每小题 分，共 分）．已知数列满足，﹣﹣（ ≥ ），则数列的通项公式 （ ）．【考点】数列递推式．【分析】由已知得 ﹣﹣（ ≥ ），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列 满足： ， ﹣ ﹣ （ ≥ ），（ ≥ ），∴ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（ ），故答案为：．．若直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，则 的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心（， ）．直线 ﹣ （ ＞ ， ＞ ）经过曲线 （ ＜ ＜ ）的对称中心，可得 ．（ ）（ ） ≥ ，当且仅当 ， ，即 ， 时，表达式取得最小值．故答案为： ．．已知△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ， ，∠ ，则多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面 的距离为 ，利用△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，可得 到平面 的距离为，从而 （） （﹣ ） ，求出 ，即可求出多面体 ﹣ 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面 的距离为 ，则∵△ 所在的平面与矩形 所在的平面互相垂直， ，∠ ，∴ 到平面 的距离为，∴ （） （﹣ ） ，∴ ， ，∴多面体 ﹣ 的外接球的表面积为 ．故答案为： ．．已知函数 （ ） ， （ ） ﹣ （ ＞ ）若存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，则实数 的取值范围是， ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数 （ ） ，∴ （ ）∈ ， ；∵ （ ） ﹣ （ ＞ ），当 ∈ ， 时，∴ ∈ ，∴ （ ）∈ ﹣ ， ﹣∵存在 ， ∈ ， ，使得 （ ） （ ）成立，∴ ﹣ ， ﹣ ， ≠∅，∴只需排除 ﹣ ， ﹣ ， ∅的情况，即 ﹣ ＞，或 ﹣ ＜ ，得 ＜或 ＞∴ 的取值范围是 ， ．三、解答题：本大题共 小题，满分 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费 元，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 小时．（ ）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为，停车付费多于 元的概率为，求甲停车付费恰为 元的概率；（ ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（ ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 求解即可．（ ）先列出甲、乙二人停车付费之和为 元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（ ）设 甲临时停车付费恰为 元 为事件 ，则．所以甲临时停车付费恰为 元的概率是．（ ）设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ， ， ， ， ．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共 种情形．其中，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）这 种情形符合题意．故 甲、乙二人停车付费之和为 元 的概率为．．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知（ ）求角 的大小，（ ）若 ，求使△ 面积最大时 ， 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（ ）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 不为 求出 的值，即可确定出 的度数；（ ）利用余弦定理列出关系式，将 与 的值代入并利用基本不等式求出 的最大值，进而确定出三角形 面积的最大值，以及此时 与 的值即可．【解答】解：（ ）∵ ﹣ ，即 （ ） ﹣ ，∴由正弦定理化简已知等式得： ，整理得： ﹣ ，即﹣（ ） ，∵ ≠ ，∴ ﹣，∵ 为三角形内角，∴ ；（ ）∵ ， ﹣，∴由余弦定理得： ﹣ ，即 ≥，∴ ≤，（当且仅当 时成立），∵ ≤，∴当 时，△ 面积最大为，此时 ，则当 时，△ 的面积最大为．．如图，三棱柱 ﹣ 中， ⊥平面 ， 、 分别为 、 的中点，点 在棱 上，且．（ ）求证： ∥平面 ；（ ）在棱 上是否存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，若存在，指出点 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（ ）取 的中点 ，根据，得到 为 的中点，又 为 的中点，根据三角形中位线定理得 ∥ ，从而在三棱柱 ﹣ 中， 为平行四边形，进一步得出 ∥ ．最后根据线面平行的判定即可证出 ∥平面 ．（ ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱 上存在一个点 ，使得平面 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 ： ，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出 与 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，∵，∴ 为 的中点，又∵ 为 的中点，∴ ∥在三棱柱 ﹣ 中， ， 分别为 ， 的中点， ∴ ∥ ， ，∴ 为平行四边形，∴ ∥ ∴ ∥ ．∵ ⊂平面 ， ⊄平面 ，∴ ∥平面 ．（ ）设 上存在一点 ，使得平面 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 ： ，则，∵∴，∴，∴ ．所以符合要求的点 不存在．．已知椭圆 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（， ）．（ ）求椭圆 的方程；（ ）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，以线段 、 为邻边作平行四边形 ，其中点 在椭圆 上， 为坐标原点，求点 到直线 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（ ）当直线 的向量存在时，设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立化为（ ） ﹣ ，由△＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ，），（， ）， （ ， ）．可得 ， ．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点 到直线 的距离 即可得出．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 到直线 的距离为 ．即可得出．【解答】解：（ ）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得 ， ，∴椭圆 的方程为．（ ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立，化为（ ） ﹣ ，△ ﹣ （ ）（ ﹣ ）＞ ，化为 ﹣ ＞ ，设 （ ， ）， （ ， ）， （ ， ）．∴ ， （ ） ．∵点 在椭圆 上，∴，∴ ，化为 ，满足△＞ ．又点 到直线 的距离 ．当且仅当 时取等号．当直线 无斜率时时，由对称性可知：点 一定在 轴上，从而点 的坐标为（± ， ），直线 的方程为 ± ，∴点 到直线 的距离为 ．∴点 到直线 的距离的最小值为．．已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ．（ ）当 时，求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（ ）当 时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求 （ ）的单调区间；（ ）若 ≥ 时， （ ）≥ 恒成立，求函数导数，讨论 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求 的取值范围．【解答】解：（ ）当 时， （ ） ﹣ ﹣ ， （ ） ﹣ ， 令 （ ）＞ ，则 ﹣ ＞ ，解得： ＞ ，令 （ ）＜ ，则 ﹣ ＜ ，解得： ＜ ，所以，函数 （ ） ﹣ ﹣ 的单调增区间为（ ， ），单调减区间为（﹣， ）． ．（ ）由函数 （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ﹣ ），令 （ ） ﹣ ﹣ ，则 （ ） ﹣ ．由 ≥ ，所以，当 ≤ 时， （ ）≥ ， （ ）为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ ，即 （ ）≥ ，所以 （ ）在 ， ）上为增函数，而 （ ） ，所以 （ ）≥ 在 ， ）上恒成立．当 ＞ 时，令 （ ）＜ ，即 ﹣ ＜ ，则．即 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，所以， （ ）在上小于 ．即 （ ）＜ ，所以 （ ）在上为减函数，而 （ ） ，故此时 （ ）＜ ，不合题意．综上， ≤ ．选修 ：几何证明选讲．如图， 是圆 的直径， 是弦，∠ 的平分线 交圆 于点 ， ⊥ ，交 的延长线于点 ， 交 于点 ．（ ）求证： 是圆 的切线；（ ）若 ，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（ ）根据 ，得到∠ ∠ ，结合 是∠ 的平分线，得到∠ ∠ ∠ ，可得 ∥ ．再根据 ⊥ ，得到 ⊥ ，结合圆的切线的判定定理，得到 是⊙ 的切线．（ ）连接 ， ，设 ， ，可证 垂直平分 ，利用勾股定理可得到 ，得到 ，于是 ，然后通过 ∥ ，利用相似比即可求出的值．【解答】（ ）证明：连接 ，∵ ，∴∠ ∠∵∠ 的平分线是∴∠ ∠∴∠ ∠ ，可得 ∥又∵ ⊥ ，∴ ⊥∵ 是⊙ 的半径∴ 是⊙ 的切线； 分（ ）解：连接 ，如图，∵ 为直径，∴∠ ，又 ∥ ，∴∠ ∠ ，∴ ⊥ ，∴ 为 的中点，即 ，又∵ ，∴设 ， ，根据中位线定理得 ，∴ ﹣ ，又四边形 为矩形，∴ ，∴ ，而 ∥ ，∴可得 分选修 ：坐标系与参数方程．已知直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ）．（ ）求直线 与曲线 的直角坐标方程；（ ）在曲线 上求一点 ，使它到直线 的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．把 ，代入可得 的直角坐标方程．由直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程．（ ）由曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，点 在曲线 上，可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），利用点到直线的距离公式即可得出点 到直线 的距离 及其最小值．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为 ， ∈ ， ），即 ．∴曲线 的普通方程为 ﹣ ，配方为 （ ﹣ ） ，∵直线 的参数方程为（ 为参数， ∈ ），消去 得直线 的普通方程为 ﹣ ．（ ）∵曲线 ： （ ﹣ ） 是以 （ ， ）为圆心， 为半径的圆，∵点 在曲线 上，∴可设点 （ ， ）（ ∈ ， ）），∴点 到直线 的距离为 ﹣ （ ），∵ ∈ ， ），当 时， ，此时 点的坐标为．选修 ：不等式选讲．已知函数 （ ） ﹣ ．（ ）若不等式 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ 有解，求实数 的取值范围；（ ）若 ＜ ， ＜ ，且 ≠ ，证明：＞ （）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（ ）根据绝对值不等式的意义得到 ﹣ ≤ ，求出 的范围即可；（ ）问题转化为证明（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，通过作差证明即可．【解答】解：（ ）因为 （ ）﹣ （ ） ﹣ ﹣ ≤ （ ﹣ ）﹣（ ） ，当且仅当 ≤﹣ 时等号成立，所以 ﹣ ≤ ，解得﹣ ≤ ≤ ；（ ）证明：要证，即证，只需证 ﹣ ＞ ﹣ ，即证（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，又（ ﹣ ） ﹣（ ﹣ ） ﹣ ﹣ （ ﹣ ）（ ﹣ ）， ＜ ， ＜ ，所以（ ﹣ ）（ ﹣ ）＞ ，所以（ ﹣ ） ＞（ ﹣ ） ，故原不等式成立年 月 日。

2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣42．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．34．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．46．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．310．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为．14．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．2016年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z＝2i（1﹣i）（i为虚数单位），z的共轭复数为，则＝（）A．4i B．﹣4i C．4D．﹣4【解答】解：复数z＝2i（1﹣i）＝2i+2，∴z的共轭复数为＝2﹣2i，则＝2+2i+（2﹣2i）＝4．故选：C．2．（5分）已知集合A＝，B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（2，+∞）B．[1，2）C．（0，2）D．[1，2]【解答】解：集合A＝＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|y＝ln（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}＝（0，2），∴A∩B＝[1，2）．故选：B．3．（5分）已知向量，，，若（）与互相垂直，则k的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：＝，∵（）与互相垂直，∴（）•＝k+3＝0，解得k＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，cos x＞sin x，命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【解答】解：命题p：∃x＝0∈R，cos x＞sin x，因此是真命题．命题q：∀x∈（0，π），sin x+＞2，是假命题，取x＝时，+＝2，此时不成立，因此是假命题．则下列判断正确的是：命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．或2D．4【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，渐近线斜率是±，而夹角是60°，因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°，即＝tan30°＝或tan60°＝，若＝，即a2＝b2，c2＝a2+b2＝a2，e2＝＝，e＝（负的舍去）；若＝，b2＝3a2，c2＝a2+b2＝4a2，e2＝4，即e＝2．所以e＝，或e＝2．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（log29）的值为（）A．9B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log29）＝f（log29﹣3）＝÷23＝．故选：D．7．（5分）已知等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，设{a n}的前n项和为S n，则S n＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差不为0，a1＝1，且成等比数列，∴＝，由，得公差d＝1，∴a n＝n．∴．故选：C．8．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．9．（5分）若直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则实数m的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．3【解答】解：如图，在坐标平面内画出二元一次不等式x+y﹣3≤0，x﹣2y﹣3≥0所表示的平面区域，求出直线y＝2x与直线x﹣2y﹣3＝0的交点A（﹣1，﹣2），由图可知，要使直线y＝2x上存在点（x，y）满足条件，则m≤﹣1．即实数m的最大值为﹣1．故选：B．10．（5分）圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3×πr3+πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3．故选：C．11．（5分）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为（）A．B．8（π+1）C．4（2π+1）D．【解答】解：三视图对应的几何体是组合体，该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为：＝．故选：A．12．（5分）已知P是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，P A、PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A、B，若四边形P ACB的最小面积为2，则k的值为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：S四边形P ACB＝P A•AC＝P A＝∴当|CP|最小时，即CP⊥l时，四边形P ACB的面积最小，由四边形P ACB的最小面积，得，由点到直线的距离公式得：，∵k＞0，∴解得k＝2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）某高级中学共有学生3200人，其中高二级与高三级各有学生1000人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为160的样本，则应抽取的高一级学生人数为60．【解答】解：∵样本容量为160，学生人数所占的比例为＝，∴应抽取学生人数为（3200﹣1000﹣1000）×＝60，故答案为6014．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝﹣12+22﹣32+42的值∵S＝﹣12+22﹣32+42＝10故答案为：1015．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，记数列的前n项和为S n，则S2016的值为．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣ax的导数为f′（x）＝2x﹣a，可得函数f（x）图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1）＝2﹣a，由切线l与直线x+3y﹣1＝0垂直，可得2﹣a＝3，解得a＝﹣1，即有f（x）＝x2+x＝x（x+1），故，则＝．故答案为：．16．（5分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰AB上的动点，则|+|的最小值为3．【解答】解：如图，以PC、PD为邻边作平行四边形PCQD，则＝，要使取最小值，只需取最小值，∵E为CD的中点，故当PE⊥AB时，取最小值，这时PE为梯形的中位线，即，故．故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且＝﹣．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若AB＝5，求AD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，即AB•AC＝15，∴；（Ⅱ）解法1：由AB＝5，得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连结BE，∵BD＝DC，∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3，设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：（2x）2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos∠ABE＝25+9﹣15＝19，解得，即AD的长为；解法2：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，由正弦定理得：，得，∵0°＜∠ACD＜90°，∴，在△ADC中，，解得；解法3：由AB＝5，得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos∠BAC＝25+9+15＝49，得BC＝7，在△ABC中，，在△ADC中，由，解得．18．（12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg．已知当年产量低于450kg时，单位售价为12元/kg，当年产量不低于450kg时，单位售价为10元/kg．（Ⅰ）求图中a、b的值；（Ⅱ）估计年销售额大于3600元小于6000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图的性质得到：100（a+0.0015+b+0.004）＝1，得100（a+b）＝0.45，（2分）由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15＝455，得300a+500b＝2.05，（4分）解得a＝0.0010，b＝0.0035．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）结合频率分布直方图知，当年产量为300kg时，其年销售额为3600元，当年产量为400kg时，其年销售额为4800元，当年产量为500kg时，其年销售额为5000元，当年产量为600kg时，其年销售额为6000元，（8分）因为年产量为400kg的频率为0.4，即年销售额为4800元的频率为0.4，（9分）而年产量为500kg的频率为0.35，即年销售额为5000元的频率为0.35，（10分）故估计年销售额大于3600元小于6000元的概率为：0.35+0.4＝0.75，（12分）19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC ＝2，P A＝PB＝．（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点D到平面APC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由P A＝PB＝，AB＝2知△P AB为等腰直角三角形，∴PO⊥AB，PO＝1，又AB＝BC＝2，∠ABC＝60°知△ABC为等边三角形，∴．又由PC＝2得PO2+CO2＝PC2，∴PO⊥CO，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：设点D到平面APC的距离为h，由（Ⅰ）知△ADC是边长为2的等边三角形，△P AC为等腰三角形，由V D﹣P AC＝V P﹣ADC得，∵，，∴＝，即点D到平面APC的距离为．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2＝y+1有公共弦AB（A 在B左边），AB＝2，C2的顶点是C1的一个焦点，过点B且斜率为k（k≠0）的直线l 与C1、C2分别交于点M、N（均异于点A、B）．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣1的顶点为（0，﹣1），即椭圆的下焦点为（0，﹣1），∴c＝1，由AB＝2，知x B＝1，代入抛物线得B（1，0），得b＝1，∴a2＝b2+c2＝2，∴C1的方程为．（Ⅱ）依题意知直线l的方程为y＝k（x﹣1），与联立消去y得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣2＝0，则，得，，由，得x2﹣kx+k﹣1＝0，由△＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2＞0，得k≠2，则x N•x B＝k﹣1，得x N＝k﹣1，y N＝k（k﹣2），∵点A在以MN为直径的圆外，即，∴，又A（﹣1，0），∴＝＝，解得k＜4，综上知k∈（﹣∞，0）∪（0，2）∪（2，4）．21．（12分）已知函数f（x）＝（x＞2）．（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在实数a，使得f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解法1：＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记g（x）＝（x﹣2）﹣（x﹣1）ln（x﹣1）（x＞2），g'（x）＝﹣ln（x﹣1）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）即g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0从而f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）记（x≥2）则＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵x＞2∴g'（x）＜0，即函数g（x）在（2，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（2）＝0，从而得f'（x）＜0，∴函数f（x）在（2，+∞）上的单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）解法1：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由y＝ln（x﹣1）得，由此可得函数y＝ln（x﹣1）的图象在点（2，0）处的切线为y＝x﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（1）当a＜1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）与函数y＝ln（x﹣1）的图象相交，不合题意；﹣﹣﹣（9分）（2）当a≥1时，在（2，+∞）上，直线y＝a（x﹣2）在函数y＝ln（x﹣1）的图象的上方，符合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，等价于ln（x﹣1）＜a（x﹣2）对∀x∈（2，+∞）均成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝ln（x﹣1）﹣a（x﹣2），则＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）h（2）＝0，令h'（x）＝0得，，（1）当a≤0时，对∀x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函数h（x）在（2，+∞）单调递增，故h（x）＞h（2）＝0，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）当0＜a＜1时，对，h'（x）＞0，此时函数h（x）在上为增函数，即ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0，不符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当a≥1时，对∀x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函数h（x）在（2，+∞）单调递减，因此ln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜h（2）＝0，符合题意；综上得：要使f（x）＜a对∀x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）四.请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（Ⅰ）若BC＝2，BD＝4，求AB的长；（Ⅱ）若AC＝3，求AE的长．【解答】解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC＝∠BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∠BAD＝∠BCA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以△BAC∽△BDA，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以AB2＝BC•BD＝8，所以；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC＝∠AEB+∠BEC，∠ACE＝∠ABE＝∠BAD+∠ADB，∵∠AEB＝∠BAD，∠BAC＝∠BDA＝∠BEC，∴∠AEC＝∠ACE，∴AE＝AC＝3（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知椭圆C的普通方程为：．（Ⅰ）设y＝2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（Ⅱ）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A、B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）【解答】解：（Ⅰ）将y＝2t代入椭圆的普通方程得，于是得，∴椭圆C的参数方程为（t为参数）和（t为参数）．（Ⅱ）依题意知点A（3，0），B（0，2），设点P的坐标为（3cosθ，2sinθ），，则S四边形AOBP＝S△BPO+S△OP A＝＝，，当，即时，四边形AOBP面积取得最大值，其值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）＝|x+2|﹣|x﹣a|（a∈R，a＞0），（Ⅰ）若f（x）的最小值是﹣3，求a的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|f（x）|≤2的解集．【解答】解：（Ⅰ）解法1：∵a＞0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当﹣2≤x＜a时，﹣2﹣a≤f（x）＜a+2，∴当x∈R时，﹣2﹣a≤f（x）≤a+2﹣﹣﹣（4分）∴f（x）min＝﹣（a+2）＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解法2：∵||x+2|﹣|x﹣a||≤|（x+2）﹣（x﹣a）|＝a+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|f（x）|≤a+2，f（x）min＝﹣（a+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又已知f（x）min＝﹣3，∴a＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）】（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（a＞0）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（a+2）＜﹣2，|f（x）|＞2，不等式|f（x）|≤2解集为空集﹣﹣﹣（6分）当x≥a时，f（x）＝a+2＞2，不等式|f（x）|≤2解集也为空集；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2，即﹣2≤2x+2﹣a≤2⇒∵，，∴当﹣2≤x＜a时，|f（x）|≤2的解为﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上得所求不等式的解集为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•揭阳二模）函数的定义域为（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0] C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式可得1﹣2x≥0，解得x≤0，由此可得函数的定义域．解答：解：由于函数，故有 1﹣2x≥0，解得x≤0，故函数的定义域为（﹣∞，0]，故选B．点评：本题主要考查根据函数的解析式求函数的定义域，属于基础题．2．（5分）（2013•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B．C．D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b 的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选 D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2013•揭阳二模）设函数f（x）=，则函数的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法；诱导公式的作用．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式进行化简，再利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式，利用T=即可得到正周期．解答：解：函数f（x）=cosx+sinx==，故其最小正周期为=2π，故选C．点评：熟练掌握利用两角和的正弦公式即可把asinx+bcosx化为的形式、诱导公式、周期公式是解题的关键．5．（5分）（2013•揭阳二模）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．解答：解：设要求的双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a=1，c=2，∴b2=c2﹣a2=3．∴双曲线为．故选B．点评：熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．（5分）（2013•揭阳二模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）（2013•揭阳二模）设定义在[﹣1，7]上的函数y=f（x）的图象如图示，则关于函数的单调区间表述正确的是（）A．在[﹣1，1]上单调递减B．在（0，1]上单调递减，在[1，3）上单调递增C．在[5，7]上单调递减D．在[3，5]上单调递增考点：函数单调性的判断与证明．分析：当x=0，x=3，x=6时，函数无意义，故排除A、C、D，进而可得答案．解答：解：由图象可知当x=0，x=3，x=6时，f（x）=0，此时函数无意义，而选项A、C、D均违背定义域，故排除A、C、D，故选B．点评：本题考查函数单调性的判断，涉及函数的定义的应用，属基础题．8．（5分）（2013•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．9．（5分）（2013•揭阳二模）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．解答：解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有 a+2b=1，由，故选B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．（5分）（2013•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（）A．1B．2C．3D．4考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，点Q的可行域为平行四边形及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在uov平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故选B．点评：本题考查求二元一次不等式组表示的区域面积，判断不等式组表示的区域构成的图形，是解题的关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（9-13题）11．（5分）（2013•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．13．（5分）（2013•揭阳二模）对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为{1，6，10，12} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：新定义．分析：在理解题意的基础上，得到满足f A（x）•f B（x）=﹣1的x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，分别求出两个集合后取并集．解答：解：要使f A（x）•f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．点评：本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题．15．（2013•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD 与CE相交于点F，则BF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2006•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠0∴解得x≠kp+，∴f（x ）的定义域为{x|x ∈R ，且x≠kp+，k ∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa ∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa= ∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评： 本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题． 17．（12分）（2013•揭阳二模）某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图．（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩； （3）现在成绩[110，130）、[130，150]（单位：分）的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到高编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130，150]的概率．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析： （1）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数．（2）由频率分布直方图求数据的平均数，是各个矩形宽的中点横坐标乘以各个矩形的纵坐标的和，在乘以组距即可．（3）本题是一个等可能事件的概率，最后两组共有15名学生，用分层抽样在15名学生中抽5名学生，最后两组分别抽取2人，3人，列举出事件发生所包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果． 解解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：答：100×（0.0050+0.0045+0.0030）×20=25人．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） （2）设100名学生的平均成绩为，则 =[×0.0065+×0.0140+×0.0170+×0.0050+×0.0045+×0.0030]×20=78．（4分）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）成绩在[110，130）的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130，150）的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130，150）中抽取×5=2人，从成绩在[110，130）中抽取×5=3人，故A 4，A 5∈[130，150），﹣﹣﹣﹣（8分）从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5中任取两人，共有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，A 5），（A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，A 5），（A 3，A 4），（A 3，A 5），（A 4，A 5）十种不同的情况，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 其中含有A 4，A 5的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130，150）的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评： 本题考查频率分布表，考查等可能事件的概率，是一个概率与统计的综合题目，题目虽然比较麻烦，但是一个能够得分的题目． 18．（14分）（2013•揭阳二模）数列{a n }中，a 1=3，a n+1=a n +cn （c 是常数，n=1，2，3，…），且a 1，a 2，a 3成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值；（2）求{a n }的通项公式．考点：数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析： （1）由递推式表示出a 2，a 3，由a 1，a 2，a 3成等比数列可得关于c 的方程，解出即得c 值，注意检验； （2）利用累加法可求得a n ，注意检验n=1时是否满足a n ； 解答： 解：（1）a 1=3，a 2=3+c ，a 3=3+3c ，∵a 1，a 2，a 3成等比数列，∴（3+c ）2=3（3+3c ），解得c=0或c=3．当c=0时，a 1=a 2=a 3，不符合题意舍去，故c=3．（ 2）当n≥2时，由a 2﹣a 1=c ，a 3﹣a 2=2c ，…，a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）c ，．又a 1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立， ∴．点评： 本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．19．（14分）（2013•揭阳二模）如图，已知三棱柱BCF﹣ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形，M、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；（2）求证：MN∥平面BCF；（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）四边形CFED与ABFE都是正方形，利用线面垂直可得EF⊥平面ADE，再根据EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出结论；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，先证得四边形MNN1M1为平行四边形，得MN∥N1M1，再根据线面平行的判定得到MN∥面BCF．法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性质得出MN∥面BCF；（3）将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小．通过解△AEN，利用余弦定理求出AN即可．解答：解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM1=NN1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴四边形MNN1M1为平行四边形，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．﹣（10分）[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则，∴NG∥CF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）]（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）在△AEN中，∵由余弦定理得AN2=AE2+EN2﹣2AE•ENcos135°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本小题考查空间中的线面关系及面面关系，点、线、面间的距离计算、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．20．（14分）（2013•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）试探究抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的定义可知：|OD|=；直角三角形的边角关系可得，由垂径定理可得|OE|=，可得圆心与半径，根据圆的标准方程即可得出；（2）利用“点差法”及由PQ⊥m⇔k PQ•k=﹣1，可得PQ中点D（x0，y0）的纵坐标y0=﹣2k，又D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上，可得x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．即可判断出．解答：解：（1）如图所示，设准线l与x轴相较于点D，则|OD|=．在Rt△OAD中，，即p=2，∴所求抛物线的方程为y2=4x．∴设圆的半径为r，作ME⊥t，垂足为E，由垂径定理可得|OE|=，在Rt△OME中，，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）．∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）．好∵PQ⊥m，∴k PQ•k=﹣1，好∴，∴y0=﹣2k．∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外．∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、垂径定理、抛物线的定义、圆的标准方程、轴对称的性质和相互垂直的直线的斜率之间的关系设解题的关键．21．（14分）（2013•揭阳二模）已知a＞0，函数f（x）=ax2﹣lnx．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：方程在区间（2，+∞）上有唯一解；（3）若存在均属于区间[1，3]的α，β且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可得出；（2）利用（1）的结论可知：f（x）﹣在区间（2，+∞）上单调递增，再验证函数零点存在定理的条件即可证明；（3）由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其单调性解出即可．解答：解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），．∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．∴函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：当时，，由（1）知f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞），令，则g（x）在区间（2，+∞）单调递增且g（2）=f（2）﹣==＜0，＞0．∴方程在区间（2，+∞）上有唯一解．（3）证明：由f（α）=f（β）及（1）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最大值为f（α）（或f（β）），又由β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．故，即从而．点评：本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值得方法，函数零点判定定理等基础知识与基本技能，灵活构造函数和善于利用已经证明的结论是解题的关键．。

揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.231k A -∈ D.34A -∉ 2．已知复数1z i =+，则2(1)z z -=A. 2B. －2C. 22i -D. 22i --3．命题P ：“对2,12x R x x ∀∈+≥”的否定P ⌝为 A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C. 2,12x R x x ∀∈+< D.2,12x R x x ∃∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A. 79B.89C. 79-D.95. 若01x y <<<，则下列不等式正确的是A ．44y x <B ．33>x y C ．44log log x y < D ．11()()44x y <侧视图6．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49-D ．47．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，则侧视图中的h 为A. 5 cmB.6 cmC.7 cmD.8 cm ⎪⎨⎧≤+-≤-+01205y x y x yA.8B.7C.6D.510．已知{1,2,3,4},{1,2,3}a b ∈∈，则关于x 的不等式222(1)0x a x b --+≥的解集为R 的概率为A.14B.12C. 23D. 34二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则2log (2)f 的值为 ． 12．以点(2,1)-为圆心且与直线3470x y +-=相切的圆的标准方程是 ．13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB = ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2c o s s i n )ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 图4 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127.（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；（2）将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．18．(本小题满分14分) 已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设51525log log log n n b a a a =+++，求数列{1n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均 为等边三角形，2AB =，90BAC ∠=°． （1）证明：SA BC ⊥； （2）求三棱锥S ABC -的体积． 图620．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(F、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()321(21)3(2)13f x x k x k k x =-++++，其中k 为实数.（1）当1k =-时，求函数()f x 在[0,6]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 的导函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，求k 的取值范围.揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题：CADAC ABCBD二、填空题：11. 1-；12.22(2)(1)1x y-++=；14.7)4π；15..三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P为图象的最高点知2A=，---------------------1分又点M1(,0)6-知函数()f x的最小正周期114()236T=+=，-----------------------3分∵2Tπω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6 f x xππ=+由2()3fαπ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分∵(,0)3πα∈- ∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分 ∴cos()3πα+11332=-⨯=------------------------------------------------12分 17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----4分这20个数据的众数为121，----------------------------------5分 乙班的平均水平较高；----------------------------------------7分 （2）由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人， 落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------9分故应从第一组中抽取的人数为：631369⨯=++，-------10分应从第二组中抽取的人数为：662369⨯=++，--------------------------------11分 应从第三组中抽取的人数为：693369⨯=++.-----------------------------------12分18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =-------------------------------------------------------------------6分∵0n a >，∴52q =-不合舍去，∴111555n n nn a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分(2)∵51525log log log n n b a a a =+++=1235125log ()log 5123nn a a a n ++++==++++---------------------9分(1)2n n +=，----------------------------------------------------------------------------10分∴1n b =211=2()(+11n n n n -+）----------------------------------------------------------------12分 ∴12111n n T b b b =+++111112[(1)()()]2231n n =-+-++-+122(1)11n n n =-=++.------------------------------------------14分19．解：（1）证明：取BC 中点D ，连结SD 、AD ，-----2分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形∴SB=SC=AB=AC=SA=2，∴SD BC ⊥,AD BC ⊥-----4分 又SDAD D =∴BC ⊥平面SAD ----------------------5分 ∵SA ⊂平面SAD∴SABC ⊥-------------------------------------------------7分（2）∵90BAC ∠=°，AB=AC ， ∴BC ==------------------------------------8分∵SB=AB ，SC=AC ，BC=BC，∴△SBC ≌△ABC ，∴90BSC ∠=，-------------------------9分∴12SD AD BC ===∵2224SD AD SA +== ∴SD AD ⊥---------------------11分又SD BC ⊥,BC AD D =∴SD ⊥平面ABC,------------------------------------------12分∴13P ABC ABC V S SD -∆=112232=⨯⨯⨯=分其它解法请参照给分.20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F、2F 得1(,)PF x y =-u u u r, 2,)PF x y =-u u u r .∴212)PF PF x x y ⋅=-+u u u r u u u r 223x y =+-，---------------------2分 由22221x y a b +=得2222(1)x y b a =- ∴222122(1)3x PF PF x b a ⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=u u u r u u u r ，---------------------------------------6分 ∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分其它解法请参照给分.（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------① 又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-= 228(1)22014kmk km k ⇒-++-=+化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分 将②代入①得2221441()3k k k ++>化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得5k >或5k <-所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21.解：（1）当1k =-时，321()313f x x x x =+-+，---------------------------1分则2'()23f x x x =+-(1)(3)x x =-+，令'()0f x =，∵[0,6]x ∈ 得1,x =----------------------------------2分 且()f x 在[0,1]上单调递减，在[1,6]上单调递增，∵2(0)1,(1),(6)973f f f ==-=，∴()f x 在[0,6]上的最大值为97，最小值为23-.------------------------4分（2） ∵()2'2(21)3(2)f x x k x k k =-+++=(3)[(2)]x k x k --+，----------------5分当1k =时，2'()(3)0f x x =-≥，∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；---6分 当1k >时，32k k >+，由'()0f x >解得3x k >或2x k <+，由'()0f x <得23k x k +<<，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+，递减区间为(2,3)k k +；----7分当1k <时，32k k <+，由'()0f x >解得2x k >+或3x k <，由'()0f x <得32k x k <<+，∴函数()f x 的单调递增区间为(3,)k +∞和(,2)k -∞+；递减区间为(3,2)k k +.-----9分 （3）由()'(3)[(2)]0f x x k x k =--+=得122,3x k x k =+=，--------------------------------------------------10分 ①当12x x =时，有231k k k +=⇒=，此时123(0,6)x x ==∈，函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点，∴1k =为所求；----------------------11分 ②当12x x >时，有231k k k +>⇒<，此时213x x <<，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点， 得2103x x ≤<<，即3023k k ≤<+<，解得20k -<≤，-----------------12分 ③当12x x <时，有231k k k +<⇒>，此时213x x >>，∵函数'()f x 在(0,6)上有唯一的零点， 得1236x x <<≤，即3263k k <+<≤，解得24k ≤<，------------------13分综上得实数k 的取值范围为是：20k -<≤或1k =或24k ≤<.----------------14分。

2016年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 函数f x=x−1ln2x−x2的定义域为 A. 2,+∞B. 1,2C. 0,2D. 1,22. 已知复数z=2i1−i（i为虚数单位），z的共轭复数为z，则z+z= A. 2iB. −2iC. −2D. 23. 已知向量a=3,1，b=0,−1，c= k,3，若a−2b与c共线，则k的值为 A. −3B. −1C. 1D. 34. 已知命题p:∃x∈R，x−1≥lg x，命题q:∀x∈0,π，sin x+1sin x>2，则下列判断正确的是 A. 命题p∨q是假命题B. 命题p∧q是真命题C. 命题p∨¬q是假命题D. 命题p∧¬q是真命题5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为 A. 1415B. 815C. 25D. 4156. 已知函数f x=log2x,x>02−x,x≤0，则不等式f x>1的解集为 A. 2,+∞B. −∞,0C. −∞,0∪2,+∞D. 0,27. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm8. 已知函数f x=x2−ax的图象在点A 1,f1处的切线l与直线x+3y−1=0垂直，记数列1f n的前n项和为S n，则S2016的值为 A. 20152016B. 20162017C. 20142015D. 201720189. 函数f x=1+cos x sin x在−π,π上的图象的大致形状是 A. B.C. D.10. 实数x，y满足条件2x−y≥0,x+y−4≥0,x≤3.则y2x的取值范围为 A. 4,+∞B. 13,2 C. 0,4 D. 19,411. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 20+2πB. 20+6πC. 14+2πD. 1612. 在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e x−2交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线y=ln x交于点C，D，则直线CD的斜率为 A. 3B. 2C. 1D. 12二、填空题（共4小题；共20分）13. 某水稻品种的单株稻穗颗粒数X服从正态分布N200,102，则P X>190=．（附：若Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，Pμ−2σ<Z<μ+2σ=0.9544．）14. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>b>0的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为．15. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值为．16. 已知等差数列a n满足，a1>0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为．三、解答题（共8小题；共104分）．17. 如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120∘，且AB⋅AC=−152（1）求△ABC的面积；（2）若AB=5，求AD的长．18. 某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455 kg．当年产量低于450 kg时，单位售价为12 元/kg，当年产量不低于450 kg时，单位售价为10 元/kg．（1）求图中a的值；（2）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X（单位：元）的分布列；（3）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．19. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60∘，AB=PC=2，PA=PB=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，若动点A在椭圆C上，动点B在直线y=abc =62上．（c为椭圆的半焦距）（1）求椭圆C的方程；（2）若OA⊥OB（O为坐标原点），试探究点O到直线AB的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．21. 已知a∈R，函数f x=e x+ax2，g x是f x的导函数，（1）当a>0时，求证：存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0；（2）若存在实数a，b，使得f x≥b恒成立，求a−b的最小值．22. 如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．（1）若BC=2，BD=4，求AB的长；（2）若AC=3，求AE的长．23. 已知椭圆C的普通方程为：x29+y24=1．（1）设y=2t，求椭圆C以t为参数的参数方程；（2）设C与x轴的正半轴和y轴的正半轴的交点分别为A，B，点P是C上位于第一象限的动点，求四边形AOBP面积的最大值．（其中O为坐标原点）24. 已知f x=∣x+2∣−∣x−a∣a∈R,a>0，（1）若f x的最小值是−3，求a的值；（2）求关于x的不等式∣f x∣≤2的解集．答案第一部分 1. B【解析】要使函数有意义，则 x −1>0,2x −x 2>0,解得 1<x <2． 所以函数 f x = x−1+ln 2x −x 2 的定义域为 1,2 ．2. C【解析】复数 z =2i1−i =2i 1+i1−i 1+i =i −1，z 的共轭复数为 z =−1−i ，则 z +z =−1+i −1−i =−2． 3. C【解析】向量 a = 1 ，b = 0,−1 ，c = k , 3 ，所以 a −2b = 3,1 −2 0,−1 = 3,3 ， 因为 a −2b 与 c 共线， 所以 3× 3=3k ， 所以 k =1． 4. D【解析】命题 p ：取 x =1 时，x −1≥lg x ，成立，因此 p 是真命题．命题 q ：取 x =π2∈ 0,π ，则 sin x +1sin x =2，因此命题 q 是假命题．则下列判断正确的是：命题 p ∧ ¬q 是真命题．5. A【解析】因为某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，所以基本事件总数n =C 64=15，因为所选的 4 人中至少有 1 名女生的对立事件是所选 4 人都是男生，所以所选的 4 人中至少有 1 名女生的概率为：P =1−C 44C 64=1415．6. C【解析】当 x >0 时，f x >1，即为：log 2x >1，解得 x >2；当 x ≤0 时，f x >1，即为：2−x >1，解得 x <0， 综上可得，原不等式的解集为 −∞,0 ∪ 2,+∞ ． 7. B【解析】设球的半径为 r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，所以 3×43πr 3=πr 2 6r −6 ， 解得 r =3． 8. B【解析】函数 f x =x 2−ax 的导数为 fʹ x =2x −a ，可得函数 f x 的图象在点 A 1,f 1 处的切线斜率 k =fʹ 1 =2−a ， 由切线 l 与直线 x +3y −1=0 垂直，可得 2−a =3，解得 a =−1， 即有 f x =x 2+x =x x +1 ， 故1f n=1n n +1=1n −1n +1，则 S 2016=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017． 9. A【解析】因为f−x=1+cos−x sin−x=−1+cos x sin x=−f x,且定义域−π,π关于原点对称，所以f x为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当x=π2时，fπ2=1，故排除D，当x=π4时，fπ4=1+22×22=2+22>1，故排除B．10. D【解析】画出不等式表示的平面区域，如图所示，设yx =k，则k为可行域内的点与原点连线的斜率，易得13≤k≤2，故19≤k2≤4．11. A【解析】该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：4−12π×12×2+4×1+12×2π×1×3=20+2π．12. C 【解析】设直线l的方程为y=kx k>0，且A x1,y1，B x2,y2x1>0,x2>0，则C x1,ln x1，D x2,ln x2，因为A，B点在曲线y=e x−2和直线l上，所以kx1=e x1−2，两边同时取以e为底的对数得x1=2+ln kx1，同理可得x2=2+ln kx2，所以直线CD的斜率k=ln x2−ln x1x2−x1=ln x2−ln x1ln kx2−ln kx1=ln x2x1ln kx2kx1=1．第二部分13. 0.8413【解析】因为Pμ−σ<Z<μ+σ=0.6826，所以P X>190=P X>μ−σ=12⋅Pμ−σ<X<μ+σ+0.5=0.8413．14. 233【解析】因为a>b>0，所以渐近线y=bax的斜率小于1，因为两条渐近线的夹角为π3，所以，渐近线的倾斜角为π3，即ba =tanπ3=33，又因为c2=a2+b2，所以c2=a2+13a2，所以c 2a2=43，所以e=233．15. 16【解析】程序运行的过程为：S=0，k=1，不满足条件S>1022，S=21−log31，k=4；不满足条件S>1022，S=24−log34，k=7；不满足条件S>1022，S=27−log37，k=10；不满足条件S>1022，S=210−log310，k=13；不满足条件S>1022，S=213−log313，k=16；满足条件S>1022，退出循环，输出的k值为16．16. 21【解析】设数列的公差为d，由5a8=8a13，得5a1+7d=8a1+12d，解得d=−361a1，由a n=a1+n−1d=a1+n−1 −361a1≥0，可得n≤643=2113，所以数列a n前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n取最大值时，n的值为21．第三部分17. （1）因为AB⋅AC=−152，所以AB⋅AC⋅cos∠BAC=−12AB⋅AC=−152，即AB⋅AC=15，所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=12×15×32=1534；（2）解法1：由AB=5，得AC=3，延长AD到E，使AD=DE，连接BE，CE，因为BD=DC，所以四边形ABEC为平行四边形，所以∠ABE=60∘，且BE=AC=3，设AD=x，则AE=2x，在△ABE中，由余弦定理得：2x2=AB2+BE2−2AB⋅BE cos∠ABE=25+9−15=19，解得x=192，即AD的长为192；解法2：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，由正弦定理得：BCsin∠BAC =ABsin∠ACD，得sin∠ACD=AB sin∠BACBC =5×327=5314，因为0∘<∠ACD<90∘，所以cos∠ACD=2∠ACD=1114，在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192；解法3：由AB=5，得AC=3，在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC cos∠BAC=25+9+15=49，得BC=7，在△ABC中，cos∠ACB=AC 2+BC2−AB22AC⋅BC=9+49−252×3×7=1114，在△ADC中，由AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD cos∠ACD=9+494−2×3×72×1114=194，解得AD=192．18. （1）由频率分布直方图的性质得100a+0.0015+b+0.004=1，得100a+b=0.45，由300×100a+400×0.4+500×100b+600×0.15=455，得300a+500b=2.05，解得a=0.0010．（2）依题意知X的可能取值为3600，4800，5000，6000，因为P X=3600=0.1，P X=4800=0.4，P X=5000=0.35，P X=3600=0.15，所以X的分布列为：X3600480050006000P0.10.40.350.15（3）因为一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5，5年中年销售额不低于5000元的年数ξ∼B5,12，所以5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为：Pξ≥2=1−Pξ=0−Pξ=1=1−125−C51×125=1316．19. （1）取AB中点O，连接PO，CO，因为PA=PB=，AB=2，所以△PAB为等腰直角三角形，所以PO=1，PO⊥AB，因为AB=BC=2，∠ABC=60∘，所以△ABC为等边三角形，所以CO=3，又PC=2，所以PO2+CO2=PC2，所以PO⊥CO，又AB∩CO=O，AB⊂平面ABCD，CO⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC⊂平面ABCD，所以OC⊥平面PAB，所以∠CHO为CH与平面PAB所成的角．因为tan∠CHO=COOH，所以当OH⊥PB时，OH取得最小值，此时tan∠CHO取得最大值．当OH⊥PB时，OH=PO⋅OBPB =22．所以tan∠CHO=COOH=6．20. （1）依题意得：ca =63，abc=62，两式相乘可得：b=1，又c 2a2=a2−b2a2=23，解得a2=3，所以所求椭圆C的方程为x 23+y2=1．（2）解法一：依题意知直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y=kx，（1）若k≠0，则直线OB的方程为y=−1kx，设A x A,y A，B x B,y B，则由y A=kx A,x A23+y A2=1⇒x A2=33k2+1，由 y B =−1k x B ,y B = 62⇒x B 2=3k 22， 因为 ∣OA∣= x A 2+y A 2= 1+k 2∣x A ∣=3 k 2+1 3k 2+1，所以 ∣OB∣=x B2B2= 1+ −1k 2∣x B ∣= 3 k 2+12，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则d=2S △AOB=⋅= 3 k 2+1 ⋅ 3 k 2+13k 2+1+2=3 k 2+1 3 k 2+1 =1.（2）若 k =0，则 A 点的坐标为 − 3,0 或 3,0 ，B 点的坐标为 0, 62 ，这时，d=3×62 3+4=1，综上得，点 O 到直线 AB 的距离为定值，其值为 1． 解法二：设 A ，B 的坐标 A x 0,y 0 ，B t ,62， 由点 A 在椭圆 C 上和 OA ⊥OB 分别可得：x 023+y 02=1 和 tx 0+62y 0=0，设点 O 到直线 AB 的距离为 d ，则有 ∣OA∣⋅∣OB∣=∣AB∣⋅d ， 所以 ∣OA∣2⋅∣OB∣2=∣AB∣2⋅d 2⇒1d =∣AB∣2∣OA∣⋅∣OB∣=∣OA∣2+∣OB∣2∣OA∣⋅∣OB∣，所以1d 2=1∣OA∣2+1∣OB∣2=10202+1t 2+ 622=1x 02+y 02+1622y 02x 02+ 62 2=10202+2⋅x 020202=3+2x 023 x 02+y 02 =3+2x 023 x 02+1−x 023=1,所以点O到直线AB的距离为定值，其值为1．21. （1）因为g x=fʹx=e x+2ax，gʹx=e x+2a，当a>0时，gʹx>0，所以函数g x在−∞,+∞上单调递增，又g −12a=e−1−1<0，g0=1>0，所以存在唯一的x0∈ −12a,0，使得g x0=0．（2）（1）若a<0，则当x<0时，g x>0，即函数f x在−∞,0上单调递增，且当x→−∞时，f x→−∞，这与f x≥b矛盾；（2）若a=0，由e x≥b，得b≤0，所以a−b≥0；（3）若a>0，由（Ⅰ）知当x∈−∞,x0时，g x<0；当x∈x0,+∞时，g x>0；即f x在−∞,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，所以f x的最小值为f x0，其中x0满足e x0+2ax0=0，故a=−e x02x0且x0<0，因为f x≥b恒成立，所以b≤f x0，即−b≥−e x0−ax02，于是a−b≥a−e x0−ax02=−e x01+12x0−x02，记 x=−e x1+12x −x2，x<0，则 ʹx=12xe x x−12x+1，由 ʹx<0得x<−1，即函数 x在−∞,−1上单调递减，由 ʹx>0得−1<x<0，即函数 x在−1,0上单调递增，所以 x min= −1=−1e，综上得a−b的最小值为−1e，此时x0=−1．22. （1）由弦切角定理得∠BAC=∠BDA，∠BAD=∠BCA，所以△BAC∼△BDA，得ABBD =BCAB，所以AB2=BC⋅BD=8，所以AB=22．（2）连接EC，因为∠AEC=∠AEB+∠BEC，∠ACE=∠ABE=∠BAD+∠ADB，∠AEB=∠BAD，∠BAC=∠BDA=∠BEC，所以∠AEC=∠ACE，AE=AC=3．23. （1） 将 y =2t 代入椭圆的普通方程得 x 2=9 1−4t 24 =9 1−t 2 ，于是得 x =±3 1−t 2， 所以椭圆 C 的参数方程为 x =3 1−t 2,y =2t （t 为参数）和 x =−3 1−t 2,y =2t（t 为参数）． （2） 依题意知点 A 3,0 ，B 0,2 ，设点 P 的坐标为 3cos θ,2sin θ 0<θ<π2， 则S 四边形AOBP =S △BPO +S △OPA=12×2×3cos θ+12×3×2sin θ=3sin θ+3cos θ=3 2sin θ+π4 0<θ<π2 . 当 sin θ+π4 =1，即 θ=π4 时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为 3 2．24. （1） 解法 1：因为 a >0，所以 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a a +2,x ≥a．当 −2≤x <a 时，−2−a ≤f x <a +2，所以当 x ∈R 时，−2−a ≤f x ≤a +2．所以 f x min =− a +2 =−3，所以 a =1．解法 2：因为 ∣∣x +2∣−∣x −a ∣∣≤∣ x +2 − x −a ∣=a +2，所以 ∣f x ∣≤a +2，f x min =− a +2 ，又因为 f x min =−3，所以 a =1．（2） 由（Ⅰ）知 f x = − a +2 ,x <−22x +2−a ,−2≤x <a ,a >0a +2,x ≥a．当 x <−2 时，f x =− a +2 <−2，∣f x ∣>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集为 ∅； 当 x ≥a 时，f x =a +2>2，不等式 ∣f x ∣≤2 解集也为 ∅；当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2，即 −2≤2x +2−a ≤2⇒a 2−2<x <a 2． 因为 a 2−2>−2，a 2<a ，所以当 −2≤x <a 时，∣f x ∣≤2 的解为 a 2−2<x <a 2．综上得所求不等式的解集为 x∣∣a2−2<x<a2．。

绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}1,0,1{-=A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A（A ）}1,0,1{- （B ）}0{（C ）)1,1(-（D ）)3,1(-（2）已知复数2a iz i+=(其中i 为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数a 的值为 （A ）1 （B ）12 （C ）1- （D ）12- （3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为12，甲赢棋的概率为13，则甲输棋的概率为 （A ）56 （B ）23 （C ）16 （D ）12（5）图1是一个算法流程图，则输出的x 值为侧视图图2图3图4（A ）95 （B ）47 （C ）23 （D ）11 （6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为 （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）12 （7）已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a =（A ）1 （B ）12 （C ）14（D ）4（8）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a > （B ）a b c c > （C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若12B F B A ⊥，则该双曲线的离心率为（A）1 （B（C（D1 （10）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 2z x y =-+的最大值为3，则a 的值为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）37 （11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中， 大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐 角的正弦值为 （A ）2425（B ）35（C ）45（D ）725（12）已知函数21352,(1)4()1log .(1)4x x x f x x x ⎧-+-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩()|2|sin g x A x =-⋅()x R ∈，若对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤，则实数A 的取值范围为（A ）9(,]4-∞ （B ）7[,)4+∞ （C ）79[,]44 （D ）7(,]4-∞9[,)4+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-满足||||a b a b ⋅=-⋅，则x = .（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35a =，642S =，则9S = . （15）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 . （16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这 个长方体体积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为B ac cos ，BC的中点为D ．(Ⅰ) 求B cos 的值；(Ⅱ) 若2=c ，C c A a sin 5sin =，求AD 的长． (18)（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．（19）（本小题满分12）已知图6中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //， CD EF //，AB DM ⊥于M 、交EF 于点N，DN =MN =现将梯形ABCD 沿EF 折起，记折起后C 、D 为'C 、'D 且使62'=M D ，如图7示．(Ⅰ)证明：M D '⊥平面ABFE ；,(Ⅱ)若图6中，60A ∠= ，求点M 到平面'AED 的距离．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于1||2-MF ，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．(21)（本小题满分12分）已知0<a ，曲线c bx ax x f ++=22)(与曲线x a x x g ln )(2+=在公共点))1(,1(f 处的切线相同．(Ⅰ)试求a c -的值；(Ⅱ)若1)()(++≤a x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==t y t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． ABDCFE ABC ´D ´EF MMN图6图7（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：(10) 如右图，当直线y x z 2+-=即221zx y +=过点(2,)A a a -时，截距2z最大，z 取得最大值3，即a a 223++-=，得1=a ．（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为,,a b c ，c a b >>，依题意10c =，22100a b +=，2()4a b -=，解得8,6a b ==，设小边b 所对的角为θ，则63sin 105θ==，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==. （12）对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤max min ()()f x g x ⇔≤，注意到max1()(1)4f x f ==-，又()|2|sin |2|g x A x A =-≥--，故1179|2||2|4444A A A --≥-⇒-≤⇒≤≤ 二、填空题：（166=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=.三、解答题：（17）解：(Ⅰ) 由B ac B ac S ABC cos sin 21==∆，------------------------1分得B B cos 2sin =，----------------------------------①------------2分 ∵0B π<< ∴sin 0B > 故0cos >B ，--------------------3分 又1cos sin 22=+B B ，----------------------------②①代入②得51cos 2=B ，∴51cos =B=5；-----------------5分 (Ⅱ)由C c A a sin 5sin =及正弦定理得225c a =，---------------------7分∵2=c ，∴52=a ，521==a BD ，------------------------9分 在△ABD 中，由余弦定理得：55125254cos 2222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=B c BD BD c AD ，------11分∴5=AD ．----------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：------------2分小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为4)11618243221(101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；------------------------------------4分 (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为4.010112=++；---------------6分 (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表： ---------10分共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为21168=．----12分 （19）解：(Ⅰ) 可知AB EF //，∴N D '⊥EF 、MN ⊥EF ，-------------------1分ABDCFE ABC ´D ´EF MMNN又N MN N D = '，得EF ⊥平面'MND ，--------------------3分 得M D EF '⊥，--------------------4分∵222'27'D M MN D N +== ∴MN M D ⊥'，--------------------------5分 又MNEF N =，∴M D '⊥平面ABFE ．--------------------------------------6分(Ⅱ) 设点M 到平面'AED 的距离为h ，由AEM D AED M V V --=''，得M D S h S AEM AED '3131'⋅=⋅∆∆，① ∵2sin 60MN AE ==，6sin 60DNDE ==，------------------------7分∴8AD =,4AM =,-------------------------------------------8分 在MA D Rt '∆中，40''222=+=AM M D A D ，又6'=E D ，2=AE ，得222''AE E D A D +=，∴AE E D ⊥'，-----------------------------------------------10分'1'62AED S AE D E ∆=⋅=，又3221=⋅=∆MN AM S AEM ，代入①式，得123h =⨯h =∴点M 到平面'AED 的距离为---------------------------------12分 (20)解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，---------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由抛物线的定义及25||2=QF ，得251=+Q x ， 又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-----------------------------------4分由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-------------------------------------------------6分（II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 切线在x 轴上的截距为k m x -=，又92->-=-m km， ∴切线在x 轴上的截距的取值范围是)0,9(-．----------------------------------12分 （21）解：(Ⅰ) b ax x f +=4)('，xax x g +=2)('，--------------------------1分 由已知得)1()1(g f =，且)1(')1('g f =， 即12=++c b a ，且a b a +=+24，所以23=+b a ，1-=-a c ；-------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设1)()()(---=a x g x f x h ，则0>∀x ，0)(≤x h 恒成立，∵2ln )32()12()(2---+-=x a x a x a x h ，------------------------------5分 ∴xaa x a x h --+-=32)12(2)('，-------------------------------------------6分 法一：由0<a ，知x a y )12(2-=和xa-在),0(∞+上单调递减， 得xaa x a x h --+-=32)12(2)('在),0(∞+上单调递减，----------------7分 又032)12(2)1('=--+-=a a a h ，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，----------------------9分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，----------11分 所以)0,1[-∈a ．---------------------------------------------------------------------------12分【法二：xa x a x a x h --+-=)32()24()('2[(42)](1)a x a x x -+-=，-------8分由0<a ，0>x ，知(42)0a x a -+<，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，-----------------------10分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，所以)0,1[-∈a ．----------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈-----------------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α，∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+， 故1m n mn +≤+．------------------------------------------------------------------10分】。

5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(理科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|11M x x =-<<,{}|21N x y x ==-,则M N =IA.1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B.1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C.{}|01N x x =≤<D.1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭2.复数1122ii ++的共轭复数的虚部为A.110B.110- C.310D.310-3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=A.33B.72C.84D.1894. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-r r ,且()a b b ⊥r r r+,则m =A.－8B.－6C. 6D. 8 5.已知双曲线221mx y +=的虚轴长是2,则实数m 的值为 A.4- B.2- C.1- D.41-6.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,右图是几类项目的投资占比 情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占821,那么不少于3万元的项目投资共有A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元俯视图侧视图主视图3247.如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三 视图,尺寸如图所示,则这个多面体的体积为 A.12 B.16 C.18 D.208. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为： “今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍, 执行该程序框图,若输入20x =,则输出的结果为 A.3 B.4 C.5 D.6 9.设函数()cos 2sin(2)2f x x x π=++,则下列结论错误．．的是： A.−2π为f (x )的一个周期 B.y =f (x )的图像关于直线x =2π对称 C.f (x )的一个零点为x =4πD.()f x 的最大值为210.以下四个数中,最大的是A.B.1e C.ln ππ11.设1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线2x a =上一点,∆21F PF 是底边为1PF 的等腰三角形,且直线1PF 的斜率为13,则椭圆E 的离心率为：A.1013B.58C.35D.2312.已知函数21()2(2)2f x x x x 1=+≤≤的图象上存在点P ,函数()3g x ax =-的图象上存在点Q ,且P ,Q 关于原点对称,则实数a 的取值范围是：A.[4,0]-B.5[0,]8C.[0,4]D.5[,4]8二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x ,y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则32z x y =-的最小值为 .14.421(1)(1)x x-+展开式中2x 的系数为 . 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4810,36S S ==,当n N *∈时,3nn a S +的最大值为 .质量指标值0.0120.0180.0020.016EFCBD AP16.已知底面为矩形的四棱锥S ABCD -的各个顶点都在半径为2的球面上,且3,AB BC ==则四棱锥S ABCD -体积的最大值为 .三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题:第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题:第23题为选考题,考生根据要求做答. (一)必考题：共60分17.(12分)已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,ABC ∆的面积为S,且2a =. (1)若060C =且1b =,求a 边的值；(2)当2cb=时,求A ∠的大小.18.(12分)已知如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD , E 、F 分别为PC 的三等分点. (1)证明：//AF 平面EBD ；(2)已知1AP AD ==,2AB =,求二面角E BD A --的余弦值.19.(12分)已知抛物线2:4C x y =的焦点为F,过点(2,2)P -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点. (1) 当点P 为A 、B 的中点时,求直线AB 的方程； (2)求AF BF ⋅的最小值.20.(12分)某企业从生产的这种产品中抽取100件产品作为样本,检测 其质量指标值,得到右图的频率分布直方图.(同一组数据用 该区间的中点值作代表)：(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这 种产品符合“一、二等品至少要占全部产品82%”的规定？ (2)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X 近似满足2(31,12)X N :, 则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升或降 低多少？(3)若企业每件一等品售价180元,每件二等品售价150元,每件三等品售价120元,以样本中的频率代替相应概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位：元),求X 的分布列及数学期望.21.(12分)已知函数()(1)1()xf x e m x m R =-++∈. (1)若函数()f x 的极小值为1,求实数m 的值；(2)当0x ≥时,不等式()ln(1)02mf x x ++≥恒成立,求实数m 的取值范围. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系xOy 中,直线1:C y ,圆()()222:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6=∈πθρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求OAB ∆的面积.23. [选修4-5：不等式选讲] (10分)已知正实数x , y 满足1x y +=. (1)解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； (2)证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.揭阳市2019高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题解析：10.构造函数ln()xf xx=,则(3)f=,1()f ee=,ln(f fπππ==,由21ln'()xf xx-=知函数()f x在(0,)e上单调递增,在(,)e+∞上单调递减,所以当x e=时, ()f x有最大值,故选B11.由题意可知212212121424tan,cos cos(2)2cos1,,3525a cPF F PF x PF F PF Fc-∠=∴∠=∠=∠-=∴=解得1013cea==,选A.12.设(,),P m n1[,2]2m∈,则(,),Q m n--由223m nmam n1⎧+=⎪⎨⎪--=-⎩得233230,2m am am m m11+--=∴-=-令1tm=,则323a t t-=-,321[,2],()3,()332t p t t t p t t'∈=-=-,()p t∴在1[,1]2单调递减,在[1,2]单调递增,且111(),(1)2,(2)2,222,28p p p a=-=-=∴-≤-≤解得04a≤≤.15.由11461082836a da d+=⎧⎨+=⎩解得11,1a d==,1(1)1na n n∴=+-⋅=,(1)2nn nS+=23222,12(3)(4)7127nna n nS n n n n nn+===++++++由函数12()f x xx=+的单调性可知当3n=或4时,3nnaS+取得最大值17. 16.解析：显然球心O 在平面ABCD 的射影为AC 的中点M,则1,AC OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -体积的为1333⨯⨯=17解：(1)解法1：由1sin 2S ab C =和2a =得sin a C =,----------------2分又060C =且1b =, 3a ∴=；-------------------------------------------------------5分【解法2：由正弦定理sin sin a c A C =和1sin 2S bc A =得-------------------------------------2分由22sin sin sin a a A a A C A =⇒=⇒=-------------------------4分又060,C =且sin 0A ≠,3,a ∴=----------------------------------------------------------5分】 (2)解法1：由2222cos a b c bc A =+-和2sin a A =得-----------------------------7分22cos 2(sin cos cos sin )2sin()2666b c A A A A A bc +=+=+=+πππ----------------------9分22224c b c b bc +==Q --------------------------------------------------11分 2sin()2,6A ∴+=π又0,A <<π所以A 的值为3π.--------------------------------------12分【解法2：由1sin 2S bc A =和2a =得2sin a A =,又2222cos a b c bc A =+-,所以22sin 2cos A b c bc A =+-,---------7分两边除以2b得2sin 1()2cos c c A A b b =+-⋅,-----------------------8分又2cb=得82(2A A =++,2cos A A =-,即2cos 2sin()6A A A π+=+,-------------10分得sin()16A π+=,又7666A πππ<+<,所以62A ππ+=,得 3A π=.------------12分】18.解：(1)证明：连接AC 交于BD 点O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 的中点.又E 、F 分别为PC 的三等分点, E 为CF 的中点,所以AF ∥EO . -------------------------2分 因为EO ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,所以//AF 平面EBD .--------------------------------------4分(2)以A 为原点,AD 、AB 、AP 的分别为,,x y z 轴方向建立空间直角坐标系,如图所示由条件可得()()()()1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,1D B C P ,-------------------------------------------------5分2242241,,,,,3333333PE PC E ⎛⎫⎛⎫==-∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u ru u u rQ ,----------------------------------------------------6分 CBADPE F O()1411,2,0,,,333DB DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,()10,0,1n =ur 为平面ABD 的一个法向量,-----8分设面BDE 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r,则2200n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ,即201410333x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,取1y =,则2,2x z ==-, 所以()22,1,2n =-u u r,-----------------------------------------10分1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅-<>==⋅u r u u ru r u u r ur u u r ,所以二面角D AE C --的余弦值为23-.---------------------------------------------------------12分 19解(1)解法1：设()11,A x y ,()22,B x y ,2211224,4x y x y ==,------------------------------------1分显然12x x ≠,两式相减得1212124,1y y x x k x x -⋅=+∴=----------------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.------------------------------------------------5分【解法2：设()11,Ax y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++------------------------------------------------------------------------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=由()212414y y k k +=++=解得1k =-(0k =明显不成立)--------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.----------------------------------------------------5分】【解法3：设()11,A x y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++--------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,得248(1)0x kx k --+=,所以124x x k +=,又1222x x +=-,解得1k =-,--------------------------------------4分 所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+,即0x y +=.----------------------------------------------------5分】 (2)解法1：显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++----------------------------------------------5分设()11,A x y ,()22,B x y ,由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++------------------------------------------------7分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=()21241y y k k ∴+=++,2124(1)y y k =+----------------------------------------------------------9分 所以()2212123918129842AF BF y y y y k k k ⎛⎫⋅=+++=++=++ ⎪⎝⎭所以当34k=-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.-----------------------------------------12分【解法2：由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++,-----------------------------------------------7分22121244x x y y =⋅,由(1)知128(1)x x k =-+,得2124(1)y y k =+, ()121244y y k x x +=+++()414k k =++,---------------------------------------------------------------9分 所以22398129842AF BF k k k ⎛⎫⋅=++=++⎪⎝⎭所以当34k =-时,AF BF ⋅取得最小值,为92.------------------------------------------------12分】20解：(1)根据抽样调查数据知,样本中一等品和二等品共有：0.5+0.18+0.1210080⨯=（）(件)在样本中所占比例为80%,因此不能认为这种产品符合规定-------------------------------2分 (2)由频率分布直方图知,活动前样本的均值为0.02100.18200.50300.12400.16500.026032.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,活动后的均值为31,所以均值降低了1.8；-------------------------------------------------------4分 (3)由样品估计总体知,该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为1,2二等品的概率为310, 三等品的概率为1,5--------------------------------------------------------------------------5分 随机变量X 的所有可能取值为240,270,300,330,360. -------------------------6分12111313(240),(270),552510525P X P X C ==⨯===⨯⨯=12113329(300),251010100P X C ==⨯⨯+⨯=12133111(330),(360).21010224P X C P X ==⨯⨯===⨯=--------------------------------------------------10分X 的数学期望132931240270300330360318.2525100104EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---12分 21. 解：(1)()xf x e m '=-,若0m ≤,则()0f x '>,()f x 在(,)-∞+∞单调递增,所以()f x 无极值-----------------------------------------------2分若0m >,当ln x m >时,()0f x '>,当ln x m <时,()0f x '<,()f x 在(,ln )m -∞单调递减,在(ln ,)m +∞单调递增,所以()f x 的极小值为(ln ),f m 由(ln 1)11m m m -++=,解得1m = ------------------5分(2)方法1：令()(1)1ln(1)2xmg x e m x x =-++++(0x ≥)-------------------------------------6分 ()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,222(1)()2(1)x x e m h x x +-'=+,令2()2(1)xp x x e m =+-, 显然()p x 在[0,)+∞单调递增,()(0)2p x p m ∴≥=-.---------------------------------------------8分 当2m ≤时,()0,p x ≥∴'()0h x ≥,∴()h x 在[0,)+∞单调递增,()(0)102mh x h ∴≥=-≥,即'()0g x ≥,∴()g x 在[0,)+∞单调递增, 所以()(0)20g x g m ≥=-≥,此时符合题意；-------------------------------------------------------10分 当2m >时,(0)0,p <∴0(0,),x ∃∈+∞使0()0p x =,故()p x 在0(0,)x 恒为负值,()h x 在0(0,)x 单调递减,此时()(0)102mh x h <=-<, 所以()g x 在0(0,)x 单调递减,所以()(0)20g x g m <=-<,此时不符合题意, 故所求m 的取值范围为(,2]-∞.--------------------------------------------12分 【方法2：把0x =代入不等式()ln(1)02mf x x ++≥得2m ≤,下面验证当2m ≤时, 不等式(1)1ln(1)02xme m x x -++++≥对0x ≥恒成立,--------------------------------------7分 令()(1)1ln(1)2xm g x e m x x =-++++---------------------------------------------------------------8分()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,2()2(1)x m h x e x '=-+,当0x ≥时,22(1)1x +≥,又2m ≤, 212(1)mx ∴≤+,又1x e ≥,()0h x '∴≥,()h x 在(0,)+∞单调递增,--------------11分 ()(0)102mh x h ≥=-≥,所以()g x 在(0,)+∞单调递增, ()(0)20g x g m ∴≥=-≥,故所求m 的取值范围为(,2]-∞------------------------------12分】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,-------------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,----------------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ----------------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ分故OAB ∆的面积为((12sin 2126⨯+⨯+⨯=+π.----------------------------------10分 23.(1)解：1,0,0x y x y +=>>Q 且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩--------------------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-------------------------------------------------5分 (2)解法1： 1,x y +=Q 且0,0x y >>,2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. ------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”. ------------------------------------------------------------------10分 【解法2： 1,x y +=Q 且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=---------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------10分】。

揭阳市201年高中毕业班高考第次模拟考 数学得,选C ， 3．设，由得，所以选D 4．函数，故其最小正周期为，故选C. 6．由得，选A． 7. 函数当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A、C、D，选B. 8．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为.，故选D. 9．依题意知直线过圆C的圆心（-1,2），即 ，由，故选B. 10．令，则点满足，在平面内画 出点所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B. 二．填空题：11. ;12. (或)；13. {1，6，10，12}； 14. （或）；15. 解析：11．依题意得，则=。

12．由“，使得”是真命题，得 或. 13．要使，必有且 且={1，6，10，12，16} ，所以={1，6，10，12} 14．把化为直角坐标系的方程为，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直化为极坐标系的方程为或. 15.依题意知,则AD=2，过点D作DG于G，则AG=BE=1，所以. 三．解答题： 16．要有意义，需满足：，解得，------2分 即的定义域为-------------------------------------4分 （2）∵ --------6分 ----------------------8分 由，得, 又 ∴，∵是第四象限的角∴，------------------------10分 ∴．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为00×(0.0050＋0.004＋0.003)×20＝25人． (2)设00名学生的平均成绩为，则＝×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.004＋×0.003×20＝78.4分． (3) 成绩在的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在中抽取×5=2人，从成绩在中抽取×5=3人，故，----------------------------------8分 从中任取两人，共有 十种不同的情况，-----------10分 其中含有的共有7种，所以至少有1人的成绩在的概率为．．，，， --------------------------------1分 ∵，，成等比数列，∴， --------------------------------3分 解得或． --------------------------------4分 当时，，不符合题意舍去，故．-------------------------------6分 （2）当时，由，，……，-------------8分 得． -------------------------------10分 又，，∴．------------------12分 当时，上式也成立，∴．-----------------------------------14分 19．解：（1）又, ∴平面，---------------2分 又∵，∴平面 ∵平面ABCD，∴平面ABCD平面ADE-------------------------4分 （2）证法一：过点M作交BF于，点N作交BF于，连结分∴ 又∵ ∴--------------------------------7分 四边形为平行四边形，分--------------------10分 法二：过点M作交EF于G，连结NG，则--------------------------------------------------------------6分 ，分 同理可证得，, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分 MN平面MNG．分（3）A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分 由余弦定理得，------13分,即．分，即， ∴所求抛物线的方程为 --------------------------------3分 ∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为.--------------6分 (2) 设关于直线对称，且中点----------------------7分 ∵ 在抛物线上，∴-----------------------8分 两式相减得：--------------------------------9分 ∴，∴--------------------------------11分 ∵在上 ∴，点在抛物线外--------------------------------13分 ∴在抛物线上不存在两点关于直线对称. --------------------------14分 21．解：（1）函数的定义域 ， 分 令得：，令得：分 的单调递减区间为单调递增区间为分 时，，由（1）知的单调递减区间为单调递增区间为，分，则在区间单调递增，-----------------8分在区间（2，）上有唯一解．----------------------9分的函数值异号的点选取并不唯一） （）及（1）的结论知，-------------10分在上的最大值为（或），---------------------11分知--------------------------12分，即-----------------------13分．--------------------------------------------14分。

2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科)一、选择题：共12小题，每小题5分,共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,B=｛x｜x2﹣2x＜0}，则A∩B=(）A．（0，2］ B．（0,2) C．(﹣∞，2］D．（2，+∞)2．复数在复平面上所对应的点位于(）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设f（x）是定义在R上的函数，则“f (x）不是奇函数"的充要条件是（）A．∀x∈R,f（﹣x）≠﹣f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．∃x0∈R,f（﹣x0）≠﹣f(x0) D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f(x0）4．若2cos(θ﹣）=3cosθ，则tanθ=(）A．B．C．﹣D．5．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验，收集数据如表所示，根据右表可得回归方程中的为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为(）零件数x（个） 2 3 4 5加工时间y（min）26 39 49 54A．63.6 min B．65.5 min C．67.7 min D．72。

0 min6．已知函数f（x）是周期为2的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=lg（x+1）,则=（）A．1 B．2 C．5 D．107．记集合A=｛（x，y）｜x2+y2≤16}和集合B={（x,y｜）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0｝表示的平面区域分别为Ω1，Ω2,若在区域Ω1内任取一点M（x,y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2+6x+5=0相切，且圆C的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知不等式组所表示的平面区域为D，直线l：y=3x+m不经过区域D，则实数m的取值范围是（）A．［﹣3,1］B．[﹣3，3］C．(﹣∞，﹣3)∪（1，+∞) D．(﹣∞，﹣3）∪（3,+∞）10．已知角φ的终边经过点P（1，1)，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=（）A．B．C．D．11．已知球O表面上有三个点A、B、C满足AB=BC=CA=3，球心O到平面ABC的距离等于球O半径的一半，则球O的表面积为（)A．4πB．8πC．12πD．16π12．在直角坐标平面上,已知点A（0，2），B（0，1)，D（t，0)(t＞0），M为线段AD上的动点,若|AM｜≤2|BM｜恒成立，则实数t的取值范围为（)A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．已知向量的夹角为，且，,则=．14．如图所示的流程图，输入正实数x后，若输出i=4,那么输入的x的取值范围是．15．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．16．已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

揭阳市2019高考二模数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一、选择题解析：10.构造函数ln()xf xx=,则(3)f=,1()f ee=,ln(),30f fπππ==,由21ln'()xf xx-=知函数()f x在(0,)e上单调递增,在(,)e+∞上单调递减,所以当x e=时, ()f x有最大值,故选B11.由题意可知212212121424tan,cos cos(2)2cos1,,3525a cPF F PF x PF F PF Fc-∠=∴∠=∠=∠-=∴=解得1013cea==,选A.12.设(,),P m n1[,2]2m∈,则(,),Q m n--由223m nmam n1⎧+=⎪⎨⎪--=-⎩得233230,2m am am m m11+--=∴-=-令1tm=,则323a t t-=-,321[,2],()3,()332t p t t t p t t'∈=-=-,()p t∴在1[,1]2单调递减,在[1,2]单调递增,且111(),(1)2,(2)2,222,28p p p a=-=-=∴-≤-≤解得04a≤≤.15.由11461082836a da d+=⎧⎨+=⎩解得11,1a d==,1(1)1na n n∴=+-⋅=,(1)2nn nS+=23222,12(3)(4)7127nna n nS n n n n nn+===++++++由函数12()f x xx=+的单调性可知当3n=或4时,3nnaS+取得最大值17. 16.解析：显然球心O 在平面ABCD 的射影为AC 的中点M,则1,AC OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥S ABCD -体积的为1333⨯⨯=17解：(1)解法1：由1sin 2S ab C =和2a =得sin a C =,----------------2分又060C =且1b =, 3a ∴=；-------------------------------------------------------5分【解法2：由正弦定理sin sin a c A C =和1sin 2S bc A =得-------------------------------------2分由22sin sin sin a a A a A C A =⇒=⇒=-------------------------4分又060,C =且sin 0A ≠,3,a ∴=----------------------------------------------------------5分】 (2)解法1：由2222cos a b c bc A =+-和2sin a A =得-----------------------------7分22cos 2(sin cos cos sin )2sin()2666b c A A A A A bc +=+=+=+πππ----------------------9分22224c b c b bc +==--------------------------------------------------11分 2sin()2,6A ∴+=π又0,A <<π所以A 的值为3π.--------------------------------------12分【解法2：由1sin 2S bc A =和2a =得2sin a A =,又2222cos a b c bc A =+-,所以22sin 2cos A b c bc A=+-,---------7分两边除以2b 得2sin 1()2cosc c A A bb =+-⋅,-----------------------8分又2cb=得82(2A A =++,2cos A A =-,即2cos 2sin()6A A A π+=+,-------------10分得sin()16A π+=,又7666A πππ<+<,所以62A ππ+=,得 3A π=.------------12分】18.解：(1)证明：连接AC 交于BD 点O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 的中点.又E 、F 分别为PC 的三等分点, E 为CF 的中点,所以AF ∥EO . -------------------------2分 因为EO ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE ,所以//AF 平面EBD .--------------------------------------4分(2)以A 为原点,AD 、AB 、AP 的分别为,,x y z 轴方向建立空间直角坐标系,如图所示由条件可得()()()()1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,1D B C P ,-------------------------------------------------5分2242241,,,,,3333333P E P C E ⎛⎫⎛⎫==-∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,----------------------------------------------------6分 CBADPE F O()1411,2,0,,,333DB DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,()10,0,1n =为平面ABD 的一个法向量,-----8分设面BDE 的一个法向量为()2,,n x y z =,则2200n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即201410333x y x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩,取1y =,则2,2x z ==-, 所以()22,1,2n =-,-----------------------------------------10分1212122cos ,3||||n n n n n n ⋅-<>==⋅,所以二面角D AE C --的余弦值为23-.---------------------------------------------------------12分 19解(1)解法1：设()11,A x y ,()22,B x y ,2211224,4x y x y ==,------------------------------------1分显然12x x ≠,两式相减得1212124,1y y x x k x x -⋅=+∴=----------------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.------------------------------------------------5分 【解法2：设()11,Ax y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++------------------------------------------------------------------------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=由()212414y y k k +=++=解得1k =-(0k =明显不成立)--------------------------------------4分所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+.即0x y +=.----------------------------------------------------5分】【解法3：设()11,A x y ,()22,B x y ,显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++--------------1分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,得248(1)0x kx k --+=,所以124x x k +=,又1222x x +=-,解得1k =-,--------------------------------------4分 所以直线AB 的方程为2(2)y x -=-+,即0x y +=.----------------------------------------------------5分】 (2)解法1：显然直线l 有斜率,设l 的方程为(2)2y k x =++----------------------------------------------5分设()11,Ax y ,()22,B x y ,由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++------------------------------------------------7分联立方程2(2)24y k x x y=++⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222414(1)0y k k y k -++++=()21241y y k k ∴+=++,2124(1)y y k =+----------------------------------------------------------9分 所以()2212123918129842AF BF y y y y k k k ⎛⎫⋅=+++=++=++ ⎪⎝⎭所以当34k=-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.-----------------------------------------12分【解法2：由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,------------------------------6分所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++,-----------------------------------------------7分22121244x x y y =⋅,由(1)知128(1)x x k =-+,得2124(1)y y k =+, ()121244y y k x x +=+++()414k k =++,---------------------------------------------------------------9分 所以22398129842AF BF k k k ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当34k =-时,AF BF ⋅取得最小值,为92.------------------------------------------------12分】20解：(1)根据抽样调查数据知,样本中一等品和二等品共有：0.5+0.18+0.1210080⨯=（）(件)在样本中所占比例为80%,因此不能认为这种产品符合规定-------------------------------2分 (2)由频率分布直方图知,活动前样本的均值为0.02100.18200.50300.12400.16500.026032.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,活动后的均值为31,所以均值降低了1.8；-------------------------------------------------------4分 (3)由样品估计总体知,该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为1,2二等品的概率为310, 三等品的概率为1,5--------------------------------------------------------------------------5分 随机变量X 的所有可能取值为240,270,300,330,360. -------------------------6分12111313(240),(270),552510525P X P X C ==⨯===⨯⨯=12113329(300),251010100P X C ==⨯⨯+⨯=12133111(330),(360).21010224P X C P X ==⨯⨯===⨯=所以的分布列为：--------------------------------------------------10分X 的数学期望132931240270300330360318.2525100104EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---12分 21. 解：(1)()xf x e m '=-,若0m ≤,则()0f x '>,()f x 在(,)-∞+∞单调递增,所以()f x 无极值-----------------------------------------------2分若0m >,当ln x m >时,()0f x '>,当ln x m <时,()0f x '<,()f x 在(,ln )m -∞单调递减,在(ln ,)m +∞单调递增,所以()f x 的极小值为(ln ),f m 由(ln 1)11m m m -++=,解得1m = ------------------5分(2)方法1：令()(1)1ln(1)2xmg x e m x x =-++++(0x ≥)-------------------------------------6分 ()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,222(1)()2(1)x x e m h x x +-'=+,令2()2(1)xp x x e m =+-, 显然()p x 在[0,)+∞单调递增,()(0)2p x p m ∴≥=-.---------------------------------------------8分 当2m ≤时,()0,p x ≥∴'()0h x ≥,∴()h x 在[0,)+∞单调递增,()(0)102mh x h ∴≥=-≥,即'()0g x ≥,∴()g x 在[0,)+∞单调递增, 所以()(0)20g x g m ≥=-≥,此时符合题意；-------------------------------------------------------10分 当2m >时,(0)0,p <∴0(0,),x ∃∈+∞使0()0p x =,故()p x 在0(0,)x 恒为负值,()h x 在0(0,)x 单调递减,此时()(0)102mh x h <=-<, 所以()g x 在0(0,)x 单调递减,所以()(0)20g x g m <=-<,此时不符合题意, 故所求m 的取值范围为(,2]-∞.--------------------------------------------12分 【方法2：把0x =代入不等式()ln(1)02mf x x ++≥得2m ≤,下面验证当2m ≤时, 不等式(1)1ln(1)02xme m x x -++++≥对0x ≥恒成立,--------------------------------------7分 令()(1)1ln(1)2xm g x e m x x =-++++---------------------------------------------------------------8分()2(1)x m g x e m x '=-++,令()2(1)xm h x e m x =-++,2()2(1)x m h x e x '=-+,当0x ≥时,22(1)1x +≥,又2m ≤, 212(1)m x ∴≤+,又1xe ≥,()0h x '∴≥,()h x 在(0,)+∞单调递增,--------------11分 ()(0)102mh x h ≥=-≥,所以()g x 在(0,)+∞单调递增, ()(0)20g x g m ∴≥=-≥,故所求m 的取值范围为(,2]-∞------------------------------12分】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,-------------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,----------------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ----------------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ分故OAB ∆的面积为((12sin 21264⨯+⨯+⨯=+π.----------------------------------10分 23.(1)解：1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩--------------------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-------------------------------------------------5分 (2)解法1：1,x y +=且0,0x y >>,2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. ------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”. ------------------------------------------------------------------10分 【解法2：1,x y +=且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=---------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------10分】。

5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(文科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|11M x x =-<<,{|N x y =,则MN =A.1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B.1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C.{}|01N x x =≤<D.1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭2.复数13ii +的共轭复数的虚部为 A.110 B.310 C.110- D.310-3.已知双曲线221mx y +=的一条渐近线方程为20x y +=,则m 的值为A.41-B.1-C.2-D.4- 4.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如右的列联表,由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 参照附表,得到的正确结论是 A .有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B .有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C .在犯错误的概率不超过0.1％的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D .在犯错误的概率不超过0.1％的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 5.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,右图是几类项目的投资占比 情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占821,那么不少于3万元的项目投资共有A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元6.已知1sin ,cos 11a aa a -==-++θθ,若θ是第二象限角,则tan θ的值为 A. 12- B. 2- C. 34- D. 43-7.已知βα,是平面,n m ,是直线,则下列命题中不正确．．．的是 A.若m ∥α⊥m n ,,则α⊥n B.若m ∥n =⋂βαα,,则m ∥n C.若⊥m βα⊥m ,,则α∥β D.若⊥m βα⊂m ,,则⊥αβ8.已知函数e 0()ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，，，，则1[()]3f f 的是A.13 B.1eC.eD.3 9. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为：“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,执行该程序框图,若输入20x =,则输出的结果为A.3B.4C.5D.610. 设函数()cos 2sin(2)2f x x x π=++,则下列结论错误．．的是 A.−2π为f (x )的一个周期 B.y =f (x )的图像关于直线x =2π对称 C.f (x )的一个零点为x =4πD.()f x 的最大值为211.设F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线32ax =上一点,APF ∆是底角为030的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为A.34B.23C.12D.1312.若函数()f x =22()x x ax b -++的图像关于直线1x =-对称,则()f x 的最大值是A.2-B.1-C.0D.1二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若x ,y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则32z x y =-的最小值为 .14.已知平面向量1(21,),(2,1)2a mb m =+-=,且∥,则实数m 的值为 .1D包裹件数0.0020.0010.005频率15.已知四棱锥S ABCD-的正方形,且四棱锥S ABCD-的顶点都在半径为2的球面上,则四棱锥S ABCD-体积的最大值为.16.已知△ABC中,AC=是BC边上的一点,且△ABD为等边三角形,则△ACD面积S的最大值为.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题,考生根据要求做答.17.(12分)已知等差数列{}n a的前n项和为n S,公差d不为零,若139,,a a a成等比数列,且410S=.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求证：121112nS S S+++<.18.(12分)已知如图,长方体1111ABCD AB C D-中,4AB BC==,1BB=,点E,F,M分别为11C D,11A D,11B C的中点,过点M的平面α与平面DEF平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.(1)在图中画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(画图说出作法,不用说明理由)；(2)求证：1D B⊥平面DEF.19.(12分)已知抛物线2:4C x y=的焦点为F,直线(0)y kx m m=+>与抛物线C交于不同的两点,M N.(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直,求m的值；(2)若2m=,求MF NF⋅的最小值.20.(12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹,除收费10元之外,超过1kg的部分,每超出1kg(不足1kg,按1kg计算)需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表).(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人,每人每天工资100元,以样本估计总体,试估计该公司每天的利润有多少元？(3)小明打算将(0.9),(1.3),(1.8),(2.5)A kgB kgC kgD kg四件礼物随机分成两个包裹寄出,且每个包裹重量都不超过5kg,求他支付的快递费为45元的概率.21.(12分)已知函数()ln 1f x x a x =--.(1)若函数()f x 的极小值为0,求a 的值； (2)0t ∀>且1a ≤,求证：2()2t a f e t >. (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系xOy 中,直线1:C y ,圆()()222:125C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()R 6=∈πθρ,设1C 与2C 的交点为,,O A 圆2C 与3C 的交点为,O B ,求OAB ∆的面积.23. [选修4-5：不等式选讲] (10分)已知正实数x , y 满足1x y +=. (1)解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； (2)证明：2211(1)(1)9x y --≥.揭阳市2019高考二模数学 (文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.解析：11.由题意可知0312cos 60,,2a cPFx a c -∠=∴=+解得23c e a ==. 12.22()()f x x x ax b =-++的图像关于直线1x =-对称,且2x 重根0,所以2x ax b ++重根2-,22()(2)f x x x ∴=-+,所以()f x 的最大值是0.【或由对称性可知(2)(0)f f -=,得24a b =+,由题意可知'(1)0f -=,得324a b =+,解得4a b ==,得22()(2)f x x x =-+,可知()0f x ≤,所以()f x 的最大值是0.】15.显然球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M,21,AC OM ===所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为3,此时四棱锥SABCD -体积的为21363⨯⨯=16.因为△ABD 为等边三角形.所以ADB ∠=60°, ADC ∠=120°.在△ADC 中,AC =由余弦定理得：2222cos AC CD AD CD AD ADC =+-⋅⋅∠,2212CD AD CD AD =++⋅≥2CD AD CD AD ⋅+⋅,即4AD CD ⋅≤故1=sin 2S AD CD ADC AD CD ⋅⋅∠=⋅≤当且仅当=AD CD 时△ACD 面积S17.解：(1)由139,,a a a 成等比数列,可得2111(2)(8)a d a a d +=+且0d ≠,化简得1a d =---------------------------------------3分 由410S =可得1235a d +=由上解得11a d ==,1(1)1n a n n ∴=+-⋅=---------------------------------------------------6分PNM EF C 1B 1D 1A 1DCBAQ PNMEFC 1B 1D 1A 1DCB A(2)由(1)知(1)2n n n S +=,------------------------------------------------------------------------------7分 12112()(1)1n S n n n n ==-++------------------------------------------------------------------------9分 ∴121111111122(1)2()2()2222311n S S S n n n +++=⋅-+⋅-++⋅-=-<++------------12分18.解：(1)设N 为11A B 的中点,连结MN,AN 、AC 、CM,则四边形MNAC 为所作图形；-------------------------------------2分易知MN 11//A C (或//EF ),四边形MNAC 为梯形,且12MN AC ==分过M 作MP ⊥AC 于点P ,可得MC ==2AC MNPC -=得MP =分 所以梯形MNAC 的面积=12⨯-----------------------------6分(2)证法1：在长方体中1111ABCD A B C D -,设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点并且为11D B 的四等点,如图,114D Q =⨯分由DE DF =得DQ EF ⊥,又1EF BB ⊥,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥-------------------------------------------------------------------10分 1111,2D Q D D D D DB ==11,D QD BD D ∴∠=∠111190QD B D QD DD B BD Q ∴∠+∠=∠+∠=︒, 1DQ DB ∴⊥1D B ∴⊥平面DEF --------------------------------------------------------------------------12分【证法2：设11D B 交EF 于Q,连接DQ,则Q 为EF 的中点,且为11D B 的四等分点,114D Q =⨯分由11111BB A B C D ⊥平面可知1BB EF ⊥, 又11B D EF ⊥,1111BB B D B =,EF ∴⊥平面11BB D D ,1EF D B ∴⊥---------------10分由11112D Q D D D D DB ==得11tan tan QDD D BD ∠=∠, 得11QDD D BD ∠=∠,BDB 1D 1Q1190QDB D BD QDB QDD ∴∠+∠=∠+∠=︒,1DQ D B ∴⊥,又DQEF Q =,1D B ∴⊥平面DEF ---------------------------------------------------------------12分】【其它解法请参照给分】19.解：(1)设1122(,),(,),M x y N x y 对24x y =求导得：=2xy '，------------------------------------1分故抛物线C 在点M 和N 处切线的斜率分别为12x 和22x ,又切线垂直, 12122x x ∴⋅=-,即124x x ⋅=-,----------------------------------------------------------------------------3分 把2440.y kx m C x kx m =+--=代入的方程得124.x x m ∴=--------------------------------5分 故 1.m =---------------------------------------------------------------------------------------------------------6分(2)解：设()11,Mx y ,()22,N x y ,由抛物线定义可知11MFy =+,21NF y =+---------------8分由(1)和2m =知12128,4x x x x k =-+=所以()()()()()212121212113339MF NF y y kx kx k x x k x x ⋅=++=++=+++=249k +------11分所以当0k=时, MF NF ⋅取得最小值,且最小值为9.-----------------------------------------------------12分20.解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；--------------------------------------------2分【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6,所以每天包裹数量的平均数为1(506150625030350124506)26060⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=】 设中位数为x ,易知(200,300)x ∈,则0.00110020.005(200)0.5x ⨯⨯+⨯-=,解得x =260. 所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件. -----------------------------------------4分 (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260,利润为260531001000⨯-⨯=(元),所以该公司平均每天的利润有1000元.-------------------------------------------------7分 (3)设四件礼物分为二个包裹E 、F,因为礼物A 、C 、D 共重0.9 1.8 2.5 5.2++=(千克), 礼物B 、C 、D 共重1.3 1.8 2.5 5.6++=(千克),都超过5千克,------------------8分 故E 和F 的重量数分别有1.8 4.7和,2.5 4.0和,2.2 4.3和,2.7 3.8和,3.1 3.4和共5种, 对应的快递费分别为45、45、50,45,50(单位：元)------------------------------10分 故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------12分 21.解：(Ⅰ)'()x af x x-=,----------------------------------------------------------------1分 当0a ≤时,'()0f x >,函数()f x 在定义域上递增,不满足条件； 当0a >时,函数()f x 在(0,)a 上递减,在(,)a +∞上递增,故()f x 在x a =取得极小值0,()ln 10f a a a a ∴=--=,-------------------------3分令()ln 1p a a a a =--,()ln p a a '=-,所以()p a 在(0,1)单调递增, 在(1,)+∞单调递减,故()(1)0p a p ≤=,()0f a ∴=的解为1a =,故1a =.----------------------------------------------------------------------------------------------6分 (2)证法1：由222()11222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔->+,---------------------7分 1a ≤,所以只需证当0t >时,2112t e t t ->+恒成立. ----------------------------------9分令21()1,()1,2tt g t e t t g t e t '=---=-- 由(1)可知ln 10x x --≥,令t x e =得10te t --≥---------------------------------------11分∴ ()g t 在(0,)+∞上递增,故()(0)0g t g >=,所以命题得证. -------------------------12分【证法2：222()110222t t t a a af e t e at t e t at >⇔-->⇔--->, 设2()12t a g t e t at =---(0t >),则'()t g t e at a =--, 则''()t g t e a =-,又01t e e >=,1a ≤,得''()0g t >, 所以'()g t 单调递增,得'()(0)10g t g a >=-≥, 所以()g t 单调递增,得()(0)0g t g >=,得证.】22.解：(1)因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,---------------------------------------------------1分所以1C的极坐标方程为sin 0-=θθ,即3=πθ()R ρ∈,------------------3分2C 的极坐标方程为22cos 4sin 0--=ρρθρθ. ----------------------------------------4分即2cos 4sin 0--=ρθθ------------------------------------------------------------------------5分 (2)3=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得11=+ρ-----------------------7分6=πθ代入2cos 4sin 0--=ρθθ,解得22=ρ---------------------------------8分故OAB ∆的面积为((12sin 21264⨯+⨯+⨯=+π.------------------------10分 23. 解：(1)1,0,0x y x y +=>>且0152522212x x y x y x x <<⎧⎪∴++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩-------------------------------------------2分010111121()21222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 解得116x ≤<,所以不等式的解集为1[,1)6-----------------------------------5分 (2)解法1：1,x y +=且0,0x y >>, 2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y +-+-∴--=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x yy x=++59≥=. -------9分 当且仅当12x y ==时,取“=”. ----------------------------------------------------10分 【解法2：1,x y +=且0,0x y >>,2222221111(1)(1)x y x y x y--∴--=⋅-------------------------------------------------------------------------6分 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xyxy +++=--------------------------------8分 21xy =+2219()2x y ≥+=+ 当且仅当12x y ==时,取“=”. ---------------------------------------10分】。

揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()lg(63)f x x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．[1,2)-D ．[1,2]-2.已知复数312a iz i+=+（a R ∈，i 是虚数单位）是纯虚数，则z 为（ ） A ．32 B ．152C ．6D ．33.“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分要件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-=（ ）A ．89- B ．23 C ．89D ．95.已知01a b c <<<<，则（ ）A ．b a a a >B ．a b c c >C ．a b c c >D ．log log b b c a > 6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ）A ．14B ．122π+C ．12π+D ．382π+7.设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j 表示），则判断框中应填入的条件是（ ）A ．58?i <B ．58?i ≤C ．59?j <D ．59?j ≤8.某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ） A ．14 B ．34 C ．35 D ．129.已知实数,x y 满足不等式组202300x y x y y a -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，若2z x y =-的最小值为3-，则a 的值为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．7310.函数21()()2x f x x =-的大致图象是（ ）11.已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（ ）A ．64B ．128C ．192D ．384 12.已知函数211()sin sin (0)222x f x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．155(,)(,)484+∞ B ．15(0,][,1)48 C ．1155(,)(,)8484D ．115(,)(,)848+∞第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,2)a x =-，(2,1)b x =-满足a b a b ∙=-∙，则x = ． 14.已知直线3460x y --=与圆2220x y y m +-+=（m R ∈）相切，则m 的值为 ．15.在ABC ∆中，已知AB 与BC 的夹角为0150，2AC =，则AB 的取值范围是 ．16.已知双曲线22214x y b-=（0b >，12,F F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点，(0,)B b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ∙的最小值为 ．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =，12(1)1nn n a a n n++=++. （1）求证：数列{1}na n+是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S .18. 已知图3中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，//EF CD ，,O Q 分别为线段,AB CD 的中点，OQ 与EF 的交点为P ，1OP =，2PQ =，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得OQ =,AD BC ，得一几何体如图4所示（1）证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；（2）若图3中，045A ∠=，2CD =，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 19. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关，规定第一关没过者没奖励，过n （*n N ∈）关才奖励12n -件小奖品（奖品都一样），图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率.（1）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； （2）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数； （3）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率.20. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与抛物线22y px =（0p >）共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足252QF =. （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y kx m =+交椭圆于,A B 两点，设线段AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的取值范围.21. 设函数2()()f x x a =-（a R ∈），()l n gx x=，（1）试求曲线()()()F x f x g x =+在点(1,(1))F 处的切线l 与曲线()F x 的公共点个数； （2）若函数()()()G x f x g x =∙有两个极值点，求实数a 的取值范围. （附：当0a <，x 趋近于0时，2ln ax x-趋向于+∞） 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线1:tan l y x α=∙（0,2παπα≤<≠），抛物线2:2x t C y t⎧=⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，O 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线1l 和抛物线C 的极坐标方程；（2）若直线1l 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与1l 垂直的直线2l ，2l 和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求OAB ∆的面积的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x =-.（1）求不等式()1f x ≤的解集A ；（2）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）.（116=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())2224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4s in (22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当 ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB 与BC 的夹角为150°知30B ∠=,由正弦定理得：||||4sin sin 30AB AC C ==||4sin AB C ⇒=,又0150C <<得0||4AB <≤.（16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min 4()5x y +=，故12PF PF ⋅的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ， ∴)1(2111+=+++nan a n n ，又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ， ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列． 证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++， 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列． （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2， 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅])1(321[n n +-++++- ， 设23122232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-+⋅，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅，---------②①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，又(1)123(1)2n n n n +++++-+=， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+． （18）解：(Ⅰ)证明：在图中，四边形ABCD 为等腰梯形，,O Q 分别为线段,AB CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB //CD EF //， ∴OP EF ⊥、PQ EF ⊥，①在图中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥由①及P PQ OP = ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF OQ ⊥， 又OPEF P =，∴OQ ⊥平面ABFE ，又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)在图中，由45A ∠= ，2CD =，易得3PE PF ==，4AO OB ==， 以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示，则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C 得)0,1,1(--=，(0,BC =- 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m m，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取3z =，得(3,m =-同理可得平面ADE的一个法向量(3,n =- 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35． （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，333)16(=ξP C 001.01.03==所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p ， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ， 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=， ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ， ∴椭圆的方程为18922=+y x ．- （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-． （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=， 切线l 的斜率为a F 23)1('-=， ∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=x x x )1)(12(--=， 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减， 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ， ∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点． (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=x a x a x x G 在),0(∞+至少有两不同根， 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xa x 恰有一根2x ， 由a x x ==12得1a =，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分 ③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=x a x x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ， 由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ， ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e-∈-+∞．选做题： （22）解：（Ⅰ）可知1l 是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈抛物线C 的普通方程为x y 42=，其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．（Ⅱ）解法1：由直线1l 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ， 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ， 代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ， ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴OAB ∆的面积的最小值为16．解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ， 依题意得直线2l 的方程为1y x k =-，同理可得点2(4,4)B k k -，故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴OAB ∆的面积的最小值为16（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤， 解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-； （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =---因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤， 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，而()()()1110m n mn m n +-+=--≤ ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．。

绝密★启用前揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数23()=ln(2)1xf x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2] （2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=，若2a b -与c 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题（B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞ （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2016S 的值为 （A ）20152016 （B ）20162017 （C ）20142015 （D ）20172018（9）函数()(1cos )sin f x x x =+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y 满足条件20,40,3.x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22y x 的取值范围为（A ）[4,)+∞ （B ）1[,2]3 （C ）[0,4] （D ）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+ (C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O 的直线l 与曲线2x y e-=交于不同的两点A 、B ，分别过A 、B 作x 轴的垂线，与曲线ln y x =交于点C 、D ，则直线CD 的斜率为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）12ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________． (附：若Z ～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=，且152AB AC ⋅=-.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， AB=PC=2，PA=PB=2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为63，若动点A 在椭圆C 上，动点B 在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）OPAB DC E图7(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>， (Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCDACBBADAC解析：（6）如右图，易得所求不等式的解集为(,0)(2,)-∞+∞，（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A).(10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤.（11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.ABCDE二、填空题：题号 131415 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤， 所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21.三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分 (Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分 解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BAC ACD BC ⨯∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠< ∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==， ∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15-------------------------8分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分 5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO ⊥AB ，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO ⊥CO ，-------------------------------------------------------4分 又ABCO O =，∴PO ⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分（Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分 故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO ⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分 设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分 则(3,1,)HC λλ=--，(3,0,0)OC =为平面PAB 的法向量， 设CH 与平面PAB 所成的角为θ， 则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-，设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则由222233113A AA A A y kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分 由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分 ∵222223(1)||1||31AAA k OA x y k x k +=+=+=+，--------------------------------8分∴222213(1)||1()||2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)2||||31)312==1||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S OA OB k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)-或(3,0)，B 点的坐标为6(0,)2， 这时，6321634d ⋅==+，---------------------------------------------------------------------------11分 综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A 、B 的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分 由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d ，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分 2022********2222266200000000602222111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】(21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210a e --<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分（2）当0a =，由x e b ≥，得0b ≤，∴0a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >；即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <， ∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020x b e ax -≥--，于是0020001122x x x a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分 记1()(1)22x x h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分 由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增， ∴min 1()(1)h x h e=-=-，综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分 得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分 28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P 的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分 则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分 3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分 当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AOBP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分 ∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分 ∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分 当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2a a <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分 综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。

揭阳、金中2016届高三级两校三模联考数学（文科）一、选择题：(每小题5分，共60分)．1．复数2(12)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ． 4B ． 4-C ． 4iD ． 4i - 2．已知集合211{|(),}2x A y y x R +==∈，则满足A B B ⋂=的集合B 可以是（ ）A ．1{0,}2B ．{|11}x x -≤≤C ．1{|0}2x x << D ．{|0}x x > 3．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为则27211l o g l o g a a +的值 为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知平面向量(0,1),(2,2),2a b a b λ=-=+=，则λ的值为A．1 B1 C ．2 D ．15．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内的点都在圆2221()(0)2x y r r +-=>内，则r 的最小值是( )A2B 12C 1 D6．如图所示为函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f （2016）=（ ）A ． B ．﹣ C ．-1 D ．17. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）（A ）16 （B ）17 （C ）14 （D ）15第6题图8．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段BD 1上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知点12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A B 、两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4 CD11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一 周回到起点，其最短路径为A ．4＋43πB ．C ．4＋23πD ．612．设函数)(x f y =对任意的R ∈x 满足)()4(x f x f -=+,当]2,(-∞∈x 时,有x x f -=2)(-5．若函数)(x f 在区间))(1,(Z ∈+k k k 上有零点,则k 的值为A ．-3或7B ．-4或7C ．-4或6D ．-3或6二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 满足111,n n a a a n -=-=(2)n ≥，则数列{}n a 的通项公式n a =_________ 14．若直线()2100,0ax by a b +-=>>经过曲线()cos 101y x x π=+<<的对称中心，则21a b+的最小值为 15．已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，3,EA EB ==2,AD =60AEB ∠=︒，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为 .16．已知函数111,[0,]242()1,(,1]22x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，()cos52(0)2x g x a a a π=+->若存在1x ，2x ∈[0，1]，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6 元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=（1）求角C 的大小， （2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,D E 分别为111,A B AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （1）求证：//EF 平面1BDC ；（2）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1:15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.20. 已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为22，且一个焦点坐标为)0,2(． （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于B A ,两点，以线段OB OA ,为邻边作平行 四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点．求点O 到直线l 的距 离的最小值．21. 已知函数()2212x f x e x kx =--- .（1）当0k =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求k22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ,DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ,OE 交AD 于点F ．（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若25AC AB =，求AFDF的值．23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为3 2.x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2)ρθθ=∈π． （Ⅰ）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l 的距离最短．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-．（Ⅰ）若不等式()(5)1≥f x f x m -+-有解，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若||1,||3a b <<，且0a ≠，证明：()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭． ABOCD FE数学（文科）参考答案一．选择题 （每小题5分，共60分）二 填空题 （每小题5分，共20分）13.1(1)2n n + 14 15 16π 16 7,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦三 解答题17. (本小题满分12分)（1）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则 41)12531(1)(=+-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． 4分 （2）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． 6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,，共16种情形． 10分 其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． 12分 18. (本小题满分12分)（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ， ∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C 为三角形内角，∴C=； ………….. 6分（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab≥2ab+ab=3ab ， ∴ab≤，（当且仅当a=b 时成立）， ∵S=absinC=ab≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC 的面积最大为． …………12分19. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB = F ∴为AM 的中点， 又E 为1AA 的中点，1//EF A M ∴在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴//,EF BD ∴BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D //EF ∴平面1BC D………6分（Ⅱ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15， 则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=> 所以符合要求的点G 不存在 …………….12分20. (本小题满分12分) ．⑴由已知设椭圆M 的方程为)0( 12222>>=+b a by a x ，则2=c ．…………1分由22==a c e ，得2,4,222===b a a ． ∴椭圆M 的方程为12422=+y x ……4分 ⑵当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为m kx y +=． 则由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x m kx y 消去y 得0424)21(222=-+++m kmx x k ．0)42(8)42)(21(416222222>-+=-+-=∆m k m k m k ．① 设点P B A ,,的坐标分别是),(),,(),,(002211y x y x y x ．∵四边形OAPB 为平行四边形，∴2210214kkmx x x +-=+=． 2212102122)(k mm x x k y y y +=++=+=．……6分由于点P 在椭圆M 上，∴1242020=+y x ．从而1)21(2)21(42222222=+++k m k m k ，化简得22212k m +=，经检验满足①式．………8分 又点O 到直线l 的距离为22211)1(2111211||2222=-≥+-=++=+=k kk km d ．…10分 当且仅当0=k 时等号成立．当直线l 斜率不存在时，由对称性知，点P 一定在x 轴上．从而点P 的坐标为)0,2(-或)0,2(，直线l 的方程为1±=x ，∴点O 到直线l 的距离为1． ∴点O 到直线l 的距离的最小值为22．………………………………12分 21. (本小题满分12分) （1）当0k =时，()212xf x e x =--，()222x f x e '=-， ………1分令()0f x '>，则2220xe ->，解得：0x >， 令()0f x '<，则2220xe-<，解得：0x <， ……3分 所以，函数()212xf x ex =--的单调增区间为()0,+∞， 单调减区间为(),0-∞． …….4分 （2）由函数()2212xf x ex kx =---，则()()2222221x xf x e kx e kx '=--=--，令()21xg x ekx =--，则()22x g x e k '=-． ……6分由0x ≥，所以，①当2k ≤时，()0g x '≥，()g x 为增函数，而()00g =，所以()0g x ≥，即()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞上为增函数， 而()00f =，所以()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立． …………9分 ②当2k >时，令()0g x '<，即220xek -<，则10ln 22kx ≤<．即()g x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而()00g =，所以，()g x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上小于0． 即()0f x '<，所以()f x 在10,ln 22k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，而()00f =，故此时()0f x <，不合题意．综上，2k ≤． … ……12分 22（或23或24）(本小题满分10分)22．解析：（Ⅰ）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠，//OD AE ..............3分又AE DE ⊥，∴OD DE ⊥，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线；........5分 （Ⅱ）过D 作AB DH ⊥于点H ，连接BC ，则有HOD CAB ∠=∠，...............7分 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==， ∴7AH x =...............8分由AED AHD ∆≅∆可得7A E A H x ==，又由~A E F D OF ∆∆， 可得...............10分 23．解析：（Ⅰ）由2sin ρθ=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=， ..........1分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-= （或()2211x y +-=）， .........3分因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=； ..........5分 （Ⅱ）因为曲线C 22(1)1x y +-=是以G (0,1)为圆心，1为半径的圆， 因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π， .......7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ........8分因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =， .........9分此时D 点的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭． ........10分24．解析：（Ⅰ）因为()(5)32(3)(2)5-≤f x f x x x x x -+=-+--+=， 当且仅当2≤x -时等号成立，所以15≤m -，解得46≤≤m -； ...........5分（Ⅱ）证明：要证()||f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证|3|3||ab b a a->-， 只需证|3||3|ab b a ->-， 即证22(3)(3)ab b a ->-，又22222222(3)(3)99(1)(9)ab b a a b a b a b ---=--+=--，||1, ||3a b <<， 所以22(1)(9)0a b -->， 所以22(3)(3)ab b a ->-，故原不等式成立． ..........10分。

广东省揭阳市高三数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）若是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角2. （2分）已知集合,则等于（）A . {-1,0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {0,1}3. （2分）(2016·浦城模拟) 已知复数z= ，则在复平面上所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2019高二下·中山期末) “ ”是“ ”（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，，，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高一上·洛阳期末) 函数y=lnx与y=﹣2x+6的图象有交点P（x0 ， y0），若x0∈（k，k+1），则整数k的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）函数f(x)=2x+(x>0)有（）A . 最大值8B . 最小值8C . 最大值4D . 最小值48. （2分） (2017高三上·唐山期末) 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分）(2020·日照模拟) 某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是（）A . 2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B . 支出最高值与支出最低值的比是C . 第三季度平均收入为60万元D . 利润最高的月份是2月份10. （3分）(2020·聊城模拟) 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（）A . C的渐近线上的点到距离的最小值为4B . C的离心率为C . C上的点到距离的最小值为2D . 过F的最短的弦长为11. （3分）(2020·济宁模拟) 已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A . 函数的最小正周期为B . 函数的最大值为1C . 函数在上单调递增D . 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为12. （3分） (2020高一下·如东期末) 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点，平面，，，，则（）A . 三棱锥的体积为B . 平面截三棱锥所得的截面面积为C . 点与点到平面的距离相等D . 直线与直线垂直三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分），则n=________．14. （1分） (2019高三上·雷州期末) 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球的表面积等于________.15. （1分）(2020·兴平模拟) 已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2017高二上·静海期末) 在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是________．五、解答题 (共6题；共61分)17. （1分）设函数，其中 .已知 .（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.18. （10分）(2019·揭阳模拟) 已知数列的前n项和为，且满足， .（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．19. （10分）(2018·凯里模拟) 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，，点为中点，与交于点 .（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. （10分）(2018高三上·沈阳期末) 在平面直角坐标系中，点，圆，以动点P为圆心的圆经过点，且圆P与圆内切.（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若直线l过点，且与曲线E交于两点，则在x轴上是否存在一点，使得x轴平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.21. （15分）(2017·淮北模拟) 为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2016年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育有关与教育无关合计男301040女35540合计651580（1）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”？参考公式：（n=a+b+c+d）．附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635（2）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（3）以（2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．22. （15分） (2019高三上·日照期中) 己知函数．（1）证明：当恒成立；（2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共61分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第二次月考数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M=｛1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．｛3} B．{2，3｝C．{1，3} D．{1，2，3｝2．设f（x）是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(）A．f（x）f（﹣x)是奇函数 B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f(x）﹣f(﹣x）是偶函数D．f（x）+f（﹣x)是偶函数3．下列各式错误的是（）A．30。

8＞30。

7B．log0.50.4＞log0..50。

6C．0.75﹣0.1＜0.750。

1D．lg1.6＞lg1.44．设集合M=｛x｜﹣1≤x＜2｝，N=｛x｜x﹣k≤0}，若M∩N≠∅,则k的取值范围是（)A．（﹣∞，2]B．［﹣1,+∞）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，2］5．若f（x）是奇函数,且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点,则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x)e x﹣1 B．y=f（x)e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣16．函数的单调递减区间为（)A．（﹣∞，+∞）B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3］D．［3，+∞）7．如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2,四个值,与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为(）A．B．C．D．8．函数f(x）=4lnx﹣x2的大致图象是（)A．B．C． D．9．下列有关命题的说法中错误的是（)A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1"是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0"，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”10．如图所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍,则函数y=f （x)的图象是（)A．B．C．D．11．函数的零点x0属于区间(）A．B．C．D．12．设命题p:函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，命题q：函数y=lg(x2+2x﹣c）的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确,则c的取值范围为()A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞) D．R二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在题中横线上。

5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(理科)本试卷共23题,共150分,共4页,考试结束后将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|11M x x =-<<,{}|21N x y x ==-,则MN =A.1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B.1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C.{}|01N x x =≤<D.1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭2.复数1122ii ++的共轭复数的虚部为A.110B.110- C.310D.310-3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项13a =,前三项和为21,则345a a a ++=A.33B.72C.84D.189 4. 已知向量(1,),(3,2)a m b ==-,且()a b b ⊥+,则m =A.－8B.－6C. 6D. 8 5.已知双曲线221mx y +=的虚轴长是2,则实数m 的值为 A.4- B.2- C.1- D.41-6.某公司2018年在各个项目中总投资500万元,右图是几类项目的投资占比 情况,已知在1万元以上的项目投资中,少于3万元的项目投资占821,那否T=a+b输入xa=1，b=1，T=0，S =0，n=1n=n+1开始结束输出n S <x ？S =S +Ta ＝2a ，b=12b是俯视图侧视图主视图324么不少于3万元的项目投资共有A.56万元B.65万元C.91万元D.147万元7.如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三 视图,尺寸如图所示,则这个多面体的体积为 A.12 B.16 C.18 D.208. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为： “今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍, 小鼠日自半。