最新2015届安徽中考数学总复习+考点跟踪突破6一次方程与方程组

考点跟踪突破16统计的应用一、选择题(每小题6分，共24分)1．(2014·温州)如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一个组是( C )A．5～10元B．10～15元C．15～20元D．20～25元2．(2014·舟山)小红同学将自己5月份的各项消费情况制作成扇形统计图(如图)，从图中可看出( A )A．各项消费金额占消费总金额的百分比B．各项消费的金额C．消费的总金额D．各项消费金额的增减变化情况3．(2014·武汉)为了解某一路口某一时段的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计通过该路口的汽车数量(单位：辆)，将统计结果绘制成如下折线统计图：由此估计一个月(30天)该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为( C )A．9 B．10 C．12 D．154．(2014·安徽)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(单位：mm)的数据分布如右表，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为( A )棉花纤维长度x 频数0≤x＜8 18≤x＜16 216≤x＜24 824≤x＜32 632≤x＜40 3A.0.8 B．0.7 C．0.4二、填空题(每小题6分，共24分)5．(2012·苏州)某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有__216__人．,第5题图),第6题图) 6．(2014·宁波)某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图所示，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是__150__支．7．(2014·成都)在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是__520__．,第7题图),第8题图) 8．(2013·山西)四川雅安发生地震后，某校九(1)班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息：__能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为20，5，10，15，加起来等于50__．三、解答题(共52分)9．(16分)(2014·凉山)某教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图．(如图)请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)a＝__10__%，并写出该扇形所对圆心角的度数为__36°__，请补全条形图；(2)在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？(3)如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？解：(1)a＝1－(40%＋20%＋25%＋5%)＝1－90%＝10%，所对的圆心角度数＝360°×10%＝36°，被抽查的学生人数：240÷40%＝600，8天的人数：600×10%＝60，补全统计图如图所示：故答案为10，36°(2)参加社会实践活动5天的最多，所以众数是5天，600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，所以中位数是6天(3)2 000×(25%＋10%＋5%)＝2 000×40%＝800(人)10．(16分)(2013·丽水)本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．根据统计图解答下列问题：(1)本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？(2)本次测试的平均分是多少？(3)通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中，得4分、5分的学生分别有多少人？解：(1)根据题意得：得4分的学生有50×50%＝25(人)，答：得4分的学生有25人(2)根据题意得平均分＝2×10＋3×50×10%＋4×25＋5×1050＝3.7(分) (3)设第二次测试中得4分的学生有x 人，得5分的学生有y 人，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝45，3×5＋4x ＋5y ＝（3.7＋0.8）×50，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝30.答：第二次测试中得4分的学生有15人，得5分的学生有30人11．(20分)(2014·铁一中模拟) 为了准备2014年中考体育测试，现在各学校九年级学生都在积极训练考试项目．某校学生小王对本班同学“自己选测的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他用收集到的数据绘制的两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)该班共有__50__名学生；(2)补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，“仰卧起坐”部分所对应的圆心角的度数等于__72°__；(4)若小王所在学校共有600名毕业生，由此估计选测“掷实心球”的学生人数． 解：(1)15÷30%＝50，故答案为50 (2)如图所示：(3)72° (4)(16÷50)×600＝825×600＝192(人)，答：该校选测“掷实心球”的学生人数约为192人。

一次方程(组)及其应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·无锡)方程2x －1＝3x ＋2的解为( D )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－32．(本溪模拟)某品牌自行车1月份销售量为100辆，每辆车售价相同.2月份的销售量比1月份增加10%，每辆车的售价比1月份降低了80元.2月份与1月份的销售总额相同，则1月份的售价为( A )A ．880元B ．800元C ．720元D ．1080元3．(2015·内江)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，下列方程组正确的是( D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝523x ＋2y ＝20B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝522x ＋3y ＝20 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝202x ＋3y ＝52 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝203x ＋2y ＝524．(铁岭模拟)若方程2x m －1＋y 2n ＋m ＝12是二元一次方程，则mn 为( D ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－15．(2015·黑龙江)为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案( C )A ．4B ．3C ．2D ．1点拨：设5人一组的有x 个，6人一组的有y 个，根据题意可得：5x ＋6y ＝40，当x＝1，则y ＝356(不合题意)；当x ＝2，则y ＝5；当x ＝3，则y ＝256(不合题意)；当x ＝4，则y ＝103(不合题意)；当x ＝5，则y ＝52(不合题意)；当x ＝6，则y ＝53(不合题意)；当x ＝7，则y ＝56(不合题意)；当x ＝8，则y ＝0；故有2种分组方案．故选：C 二、填空题(每小题5分，共25分)6．关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝b ，2x －y ＝7和方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝8，x ＋by ＝a 的解相同，则ab ＝__2__． 7．(抚顺模拟)已知x ＝2是关于x 的方程a(x ＋1)＝12a ＋x 的解，则a 的值是__45__． 8．(2015·枣庄)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝5，则2a ＋b 的值为__265__． 9．(2015·嘉兴)公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为__1338__． 10．(大连模拟)如果实数x ，y 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x ＋3y ＝3的解，那么代数式(xy x ＋y ＋2)÷1x ＋y 的值为__1__．三、解答题(共50分)11．(14分)(1)(2014·滨州)解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2； 解：去分母得：12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)，去括号得：12－4x －2＝3＋3x ，移项合并得：－7x ＝－7，解得x ＝1(2)(沈阳模拟)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4①，3x ＋y ＝1②.解：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4①，3x ＋y ＝1②，①代入②得：3x ＋2x －4＝1，解得x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝－2，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－212．(8分)一列快车长306 m ，一列慢车长344 m ，两车分别行驶在互相平行的两条轨道上，若两车相向而行，则从车头相遇到车尾离开需要13 s ；若两车同向而行，则快车从追到慢车到离开慢车需要65 s ，求快车和慢车的速度．解：设快车速度为x m /s ，慢车速度为y m /s ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧13（x ＋y ）＝306＋344，65（x －y ）＝306＋344， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝20.答：快车速度为30 m /s ，慢车速度为20 m /s13．(8分)(丹东模拟)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？解：设每件衬衫降价x 元，依题意有120×400＋(120－x)×100＝80×500×(1＋45%)，解得x ＝20.答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标14．(8分)(2015·黄冈)已知A ，B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A ，B 两件服装的成本各是多少元？解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本为y 元，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝500，30%x ＋20%y ＝130，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300，y ＝200，答：A 服装成本为300元，B 服装成本为200元15．(12分)(锦州模拟)学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)(1)乙两种车型各几辆？(2)为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？解：(1)设需要甲种车x 辆，乙种车y 辆，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋8y ＝120，400x ＋500y ＝8200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝10.答：甲种车安排8辆，乙种车安排10辆 (2)设安排甲种车x 辆，乙种车y 辆，则丙种车(14－x－y)辆，∴5x ＋8y ＋10(14－x －y)＝120，∴y ＝10－52x ，∵车辆为整数且大于零，∴x ＝2，y ＝5，此时14－x －y ＝7，此时运费为400×2＋500×5＋600×7＝7500(元)，∴甲种车2辆，乙种车5辆，丙种车7辆，此时运费为7500元如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。

第二章方程与不等式第6讲一次方程与方程组1．定义(1)含有未知数的__等式__叫做方程；(2)只含有__一个__未知数，且含未知数的项的次数是__一次__，这样的整式方程叫做一元一次方程；(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1，这样的整式方程叫做二元一次方程．(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有__两个未知数__，且含未知数的项的次数都是__一次__，这样的方程组叫做二元一次方程组．2．方程的解(1)能够使方程左右两边__相等的__未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．3．解法(1)解一元一次方程主要有以下步骤：__去分母__；__去括号__；__移项__；__合并同类项__；未知数的系数化为1.(2)解二元一次方程组的基本思想是__消元__，有__代入消元法__与__加减消元法__．即把多元方程通过__加减__、__代入__、换元等方法转化为一元方程来解．两个方法(1)代入消元法；(2)加减消元法．1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )A．2B．－2C．6D．－62．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( B )A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87C ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60＋x )＝87D ．2×0.9x ＋1.2×0.8(60－x )＝873．(2014·抚州)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，a ＋2b ＝6，则3a ＋b 的值为( A )A ．8B ．4C ．－4D ．－84．(2014·襄阳)若方程mx ＋ny ＝6的两个解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ，n 的值为( A )A ．4，2B ．2，4C ．－4，－2D ．－2，－45．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球的质量为( A )A ．10克B ．15克C ．20克D ．25克一元一次方程的解法【例1】 解下列方程： (1)12x －45＝710； (2)7x －12[x －12(x －1)]＝23(x －1)．解：(1)5x －8＝7，5x ＝8＋7，5x ＝15，∴x ＝3(2)7x －12(12＋12)＝23(x －1)，7x －14x －14＝23x －23，去分母，得84x －3x －3＝8x －8，73x ＝－5，∴x ＝－573【点评】 (1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．1．解方程： (1)3－57x ＝135；(2)2x －16＝5x ＋18；(3)x ＋24＝2x －36＋1.解：(1)－57x ＝85－3，－57＝－75，∴x ＝4925(2)4(2x －1)＝3(5x ＋1)，8x －4＝15x ＋3，－7x ＝7，∴x ＝－1 (3)3(x ＋2)＝2(2x －3)＋12，3x －4x ＝－6＋12－6，－x ＝0，∴x ＝0二元一次方程(组)的解法【例2】(1)(2014·六安模拟)方程x ＋2y ＝5的正整数解有( B ) A ．一组 B ．二组 C ．三组 D ．四组(2)(2014·威海)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3，x 2－y 3＝1.解：方程组整理，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝3①，3x －2y ＝6②，②－①，得3y ＝3，即y ＝1，将y ＝1代入①，得x ＝83，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝1【点评】 (1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．2．解方程组：(1)⎩⎨⎧718（x ＋y ）＝1，①34x ＋79（x ＋y ）＝5；②(2)(2014·滁州模拟)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.解：(1)把①代入②，得34x ＋2×1＝5，34＝3，∴x ＝4，把x ＝4代入①，得718(4＋y )＝1，4＋y ＝187，y ＝187－4＝－107，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－107(2)∵1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3，∴⎩⎨⎧1－6x ＝3y －x2，①3y －x 2＝x ＋2y 3，②化简得⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋3y ＝2，x ＝y ，∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝17y ＝17已知方程(组)解的特征，求待定系数【例3】 (1)(2014·宣城模拟)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值是( B )A ．－34B .34C .43D ．－43(2)已知方程组⎩⎨⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎨⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，3x ＋2y ＝11，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.把⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－1，2ax ＋3by ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝5【点评】 (1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k 的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．3．(1)当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解；(2)已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，∴⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－1.代入mx －y ＝0，得4m ＋1＝0，m ＝－14 (2)解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1，取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1 解法二：整理得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1第7讲一元二次方程1．定义只含有__一个未知数__，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．2．解法首先考虑__直接开平方法__，__因式分解法__；其次考虑__配方法__，__公式法__．3．公式一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式： __x ＝2a (b 2－4ac ≥0)__．4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有两个__不相等__的实数根； (2)b 2－4ac ＝0⇔方程有两个__相等__的实数根； (3)b 2－4ac ＜0⇔方程__没有__实数根． 5．一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝__－ba __，x 1x 2＝__ca__．转化思想一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．一个注意注意：(1)根的判别式“b 2－4ac ”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．一个防范正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．1．(2014·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C ) A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 22．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2－4ac满足的条件是( B )A．b2－4ac＝0B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥03．(2014·安徽)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值是( B )A．－6 B．6C．－2或6 D．－2或304．(2014·枣庄)x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )A．x1小于－1，x2大于3B．x1小于－2，x2大于3C．x1，x2在－1和3之间D．x1，x2都小于35．(2014·玉林)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的是结论是( A )A．m＝0时成立B．m＝2时成立C．m＝0或2时成立D．不存在一元二次方程的解法【例1】解下列方程：(1)(2014·滁州模拟)x2＋4x－1＝0；(2)(1997－x)2＋(x－1996)2＝1.(1)解：原式可化为(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5，两边开方，得x＋2＝±5，解得x1＝－2＋5，x2＝－2－ 5(2)解法一：(1997－x)2＋(x－1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x－1997)(x－1995)＝0，(x－1997)[(x－1997)＋(x－1995)]＝0，2(x－1997)(x－1996)＝0，x1＝1997，x2＝1996 解法二：因为(1997－x)2＋(x－1996)2＝[(1997－x)＋(x－1996)]2－2(1997－x)(x－1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x )(x －1996)＝1，2(1997－x )(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．1．用指定的方法解下列方程：(1)(2014·亳州模拟)(2x －1)2＝9；(直接开平方法)(2)x 2＋3x －4＝0；(配方法)(3)x 2－2x －8＝0；(因式分解法) (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2＋3x －4＝0，(x ＋32)2＝254，x ＋32＝±52，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x (x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1，∴x 1＝－3－172x 2＝－3＋172配方法【例2】 用配方法把代数式3x －2x 2－2化为a (x ＋m )2＋n 的形式，并说明无论x 取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x 取何值时，这个代数式的值最大．解：3x －2x 2－2＝－2(x 2－32x )－2＝－2(x 2－32x ＋916－916)－2＝－2(x 2－32x ＋916)＋98－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78＜0，当x ＝34时，代数式最大值为－78【点评】 (1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为( A )A．(x＋b2a2＝b2－4ac4a2B．(x＋b2a)2＝4ac－b24a2C．(x－b2a)2＝b2－4a4a2D．(x－b2a)2＝4ac－b24a2(2)对于二次三项式x2－10x＋36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由．解：不同意小聪的说法．理由如下：x2－10x＋36＝x2－10x＋25＋11＝(x－5)2＋11≥11，当x＝5时，x2－10x＋36有最小值11一元二次方程根的判别式【例3】(2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C )A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．(x－2)(x－3)＝12【点评】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．3．(2014·十堰)已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．解：解：(1)由题意有Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1(2)由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，(x1－x2)2＝16－x1x2，(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m －9＝0，解得m＝－9或m＝1.∵m≥－1，∴m＝1与几何问题的综合【例4】(1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－9x＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．解：(1)解方程x2－9x＋20＝0，x1＝4，x2＝5，当腰长x＝4时，4＋4＝8，不合题意，舍去，∴腰长x＝5(2)(2014·六安模拟)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3k x＋8＝0，则△ABC的周长是__6或12或10__．【点评】(1)将构成三角形的条件“三角形任意两边之和大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想．(2)根据题意得k≥0且(3k)2－4×8≥0，而整数k＜5，则k＝4，方程变形为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，所以△ABC的边长可以为2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分别计算三角形周长．4．(2014·芜湖模拟)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( A )A．5.5B．5C．4.5D．4第8讲列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出包含未知数的__等量关系__；(4)__列出方程(组)__；(5)__求出方程(组)的解__；(6)__检验并作答__．2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．(3)几何图形问题：面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)；体积问题：V长方体＝abh(a，b，h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝13πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价；(x表示打x折)利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价．(6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．(2)间接设元．1．(2014·宁夏)服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利20%，则这款服装每件的进价是__200__元．2．(2014·新疆)六一儿童节前夕，某超市用3360元购进A ，B 两种童装共120套，其中A 型童装每套24元，B 型童装每套36元．若设购买A 型童装x 套，B 型童装y 套，依题意列方程组正确的是( B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12036x ＋24y ＝3360B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12024x ＋36y ＝3360C .⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋24y ＝120x ＋y ＝3360 D .⎩⎪⎨⎪⎧24x ＋36y ＝120x ＋y ＝33603．(2014·莱芜)已知A ，C 两地相距40千米，B ，C 两地相距50千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地，设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( B )A .40x ＝50x －12B .40x －12＝50xC .40x ＝50x ＋12 D .40x ＋12＝50x4．(2013·安徽)目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是( B ) A ．438(1＋x )2＝389 B ．389(1＋x )2＝438 C ．389(1＋2x )＝438 D ．438(1＋2x )＝3895．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__20%__．一元一次方程的应用【例1】 (2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：例如：一户居民7月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度？解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，得0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，∴6月份用电500－x＝310度．当5月份用电量为x度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度【点评】(1)列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．(2)当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．1．(2014·合肥模拟)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校的矿泉水件数是(2x－400)，依题意得方程(2x－400)＋x＝2000，解得x＝800，2x－400＝1200.答：该企业捐给甲校的矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件二元一次方程组的应用【例2】(2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元？解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧180x ＋150y ＝213，180x ＋60y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.6，y ＝0.7，则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．答：这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．2．(2014·济南)2014年世界杯足球赛在巴西举行，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？解：设小李预定了小组赛球票x 张，淘汰赛球票y 张，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，550x ＋700y ＝5800，解之⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴小李预定了小组赛球票8张，淘汰赛球票2张分式方程的应用【例3】 (2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x . 解：(1)(4000＋25x )元(2)设购买每副乒乓球拍用去了x 元，则购买每副羽毛球拍用去了(x ＋20)元，由题意得2000x ＝2000＋25x x ＋20，解得x 1＝40，x 2＝－40，经检验，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＞0，∴x ＝40.即每副乒乓球拍为40元【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．3．(2014·芜湖模拟)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x 元，由题意得300（1＋20%）x ＋400x ＝260，解得x ＝2.5，经检验：x ＝2.5是原分式方程的解，(1＋20%)x ＝3，购买甲种粽子为3003＝100个，乙种粽子为4002.5＝160个．答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例4】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x1＝10，x2＝30，因应尽快减少库存，故x＝30.答：每件衬衫应降价30元【点评】(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．4．(2014·蚌埠模拟)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米第9讲不等式与不等式组1．定义(1)用__不等号__连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做__不等式的解__；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做__不等式的解集__；(4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式．2．不等式的基本性质(1)不等式两边都__加上(或减去)__同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a＞b，则a±c＞b±c.(2)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__正数__，不等式仍然成立；若a＞b，c＞0，则ac＞bc，ac ＞b c.(3)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__负数__，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a＞b，c＜0，则ac＜bc，ac＜bc3．解一元一次不等式的步骤及程序除了“不等式两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向改变”这个要求之外，与解一元一次方程类似．4．列不等式解应用题的一般步骤(1)__审题__；(2)__设元__；(3)找出能够包含未知数的__不等量关系__；(4)__列出不等式(组)__；(5)__解不等式(组)__；(6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；(7)写出答案．5．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集有四种情况，其口诀为“同大取其大、同小取其小、大小小大中间夹、大大小小无处找(无解)”．“解与解集”的联系与区别不等式的解是指使不等式成立的每一个数，而不等式的解集是指由全体不等式的解组成的一个集合．两个失误与防范“≥”“≤”分别表示“大于或等于”“小于或等于”的意思，它们都包括后面连接的数．“非负整数”即“不是负数的整数”，包含了0和正整数，此时0易被忽略，从而造成漏解．利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语(特别要注意理解好生活和生产实际中“不超过”、“至少”的含义，这两者转化为相应的不等号应分别是“≤”和“≥”)，列出不等式(组)，迎刃而解．1．(2014·绍兴)不等式3x ＋2＞－1的解集是( C ) A ．x ＞－13 B ．x ＜－13C ．x ＞－1 D ．x ＜－12．(2014·怀化)不等式组⎩⎨⎧4x －1＜7，2x ＋3≥1的解集是( A )A ．－1≤x ＜2B ．x ≥－1C ．x ＜2D ．－1＜x ≤23．(2013·安徽)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3＞0，x ＋1≥0，其解集在数轴上表示正确的是( D )4．(2014·钦州)不等式组⎩⎨⎧3x ≥9，x ＜5的整数解共有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2014·绵阳)某商品的标价比成本价高m %，根据市场需要，该商品需降价n %出售，为了不亏本，n 应满足( B )A ．n ≤mB ．n ≤100m100＋mC ．n ≤m 100＋mD ．n ≤100m100－m不等式的性质【例1】 若a ＜b ＜0，则下列式子：①a ＋1＜b ＋2；②a b ＞1；③a ＋b ＜ab ；④1a ＜1b ，正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点评】 将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．1．(1)(2014·滨州)a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是( C ) A ．a ＋x ＞b ＋x B ．－a ＋1＜－b ＋1 C ．3a ＜3b D .a 2＞b2(2)如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a ，b ，则下列结论正确的是( C )A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．a －b ＞0D ．|a |－|b |＞0一元一次不等式的解法【例2】 (2014·北京)解不等式：12－1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：3x －6≤4x －3，∴x ≥－3【点评】 整个解一元一次不等式的过程与解一元一次方程极为相似，只是最后一步把系数化为1时，需要看清未知数的系数是正数还是负数．如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号方向改变．2．(2014·淮北模拟)解不等式：2x －13－9x ＋26≤1，并把解集表示在数轴上．解：去分母，得2(2x －1)－(9x ＋2)≤6，去括号，得4x －2－9x －2≤6，－5x ≤10，系数化为1，得x ≥－2，在数轴上表示为一元一次不等式组的解法【例3】 (2014·东营)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1，2（1－x ）≤5.把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋23＜1①，2（1－x ）≤5②，解不等式①，得x ＜1，解不等式②，得x ≥－32，所以不等式组的解集为－32≤x ＜1.解集中的整数解有－1，0【点评】 求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．3．(1)(2014·马鞍山模拟)若把不等式组⎩⎨⎧2－x ≥－3，x －1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为( B )A ．长方形B ．线段C ．射线D ．直线(2)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是__k ＞2__．(3)(2014·遵义)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥－1，①1＋2x 3＞x －1，②并把不等式组的解集在数轴上表示出来．解：由①，得x ≥－1，由②，得x ＜4，故此不等式组的解集为－1≤x ＜4.在数轴上表示为一元一次不等式的应用【例4】 (2014·铜陵模拟)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？解：设应答对x 道，则：10x －5(20－x )＞90，解得x ＞1223，∵x 取整数，∴x 最小为13，答：他至少要答对13道题【点评】利用列不等式解决实际问题，其关键是根据题中的“超过”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映数量关系的词语，列出不等式或不等式组，问题便迎刃而解．4．(1)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( B )A ．30x －45≥300B ．30x ＋45≥300C ．30x －45≤300D ．30x ＋45≤300(2)(2014·安庆模拟)在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场？解：设这个班要胜x场，则负(28－x)场，由题意，得3x＋(28－x)≥43，2x≥15，解得x≥7.5，∵场次x为正整数，∴x≥8.答：这个班至少要胜8场。

专题跟踪突破七 综合型问题1．(30分)(2013·绥化)如图，直线MN 与x 轴、y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴、y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC(OA ＞OC)的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个实数根．(1)求C 点坐标；(2)求直线MN 的解析式；(3)在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．解：(1)解方程x 2－14x ＋48＝0得x 1＝6，x 2＝8.∵OA ，OC(OA ＞OC)的长分别是一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的两个实数根，∴OC ＝6，OA ＝8.∴C(0，6)(2)设直线MN 的解析式是y ＝kx ＋b(k ≠0)．由(1)知，OA ＝8，则A(8，0)．∵点A ，C都在直线MN 上，∴⎩⎨⎧8k ＋b ＝0，b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝6，∴直线MN 的解析式为y ＝－34x ＋6(3)∵A(8，0)，C(0，6)，∴根据题意知B(8，6)．∵点P 在直线MN ∶y ＝－34x ＋6上，∴设P(a ，－34a ＋6)，当以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC ＝PB 时，点P 是线段BC 的垂直平分线与直线MN 的交点，即P 1(4，3)；②当PC＝BC 时，a 2＋(－34a ＋6－6)2＝64，解得a ＝±325，则P 2(－325，545)，P 3(325，65)；③当PB ＝BC 时，(a －8)2＋(－34a ＋6－6)2＝64，解得a ＝25625，则－34a ＋6＝－4225，∴P 4(25625，－4225)．综上所述，符合条件的点P 有P 1(4，3)，P 2(－325，545)，P 3(325，65)，P 4(25625，－4225)2．(30分)(2013·梅州)如图，已知抛物线y ＝2x 2－2与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)写出以A ，B ，C 为顶点的三角形面积； (2)过点E(0，6)且与x 轴平行的直线l 1与抛物线相交于M ，N 两点(点M 在点N 的左侧)，以MN 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P 的坐标；(3)过点D(m ，0)(其中m ＞1)且与x 轴垂直的直线l 2上有一点Q(点Q 在第一象限)，使得以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似，求线段QD 的长．(用含m 的代数式表示)解：(1)∵y ＝2x 2－2，∴当y ＝0时，2x 2－2＝0，x ＝±1，∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(1，0)，AB ＝2，又当x ＝0时，y ＝－2，∴点C 的坐标为(0，－2)，OC ＝2，∴S △ABC ＝12AB·OC ＝12×2×2＝2(2)将y ＝6代入y ＝2x 2－2，得2x 2－2＝6，x ＝±2，∴点M 的坐标为(－2，6)，点N 的坐标为(2，6)，MN ＝4.∵平行四边形的面积为8，∴MN 边上的高为8÷4＝2，∴P 点纵坐标为6±2.①当P 点纵坐标为6＋2＝8时，2x 2－2＝8，x ＝±5，∴点P 的坐标为(5，8)或(－5，8)；②当P 点纵坐标为6－2＝4时，2x 2－2＝4，x ＝±3，∴点P 的坐标为(3，4)或(－3，4)(3)∵点B 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，－2)，∴OB ＝1，OC ＝2.∵∠QDB ＝∠BOC ＝90°，∴以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB 与BD 边是对应边时，△OBC ∽△DBQ ，则OB DB ＝OC DQ ，即1m －1＝2DQ，解得DQ＝2(m －1)＝2m －2；②OB 与QD 边是对应边时，△OBC ∽△DQB ，则OB DQ ＝OC DB ，即1DQ＝2m －1，解得DQ ＝m －12.综上所述，线段QD 的长为2m －2或m －123．(40分)(2014·泰安)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，4)，且与直线y ＝－12x ＋1相交于A ，B 两点(如图)，A 点在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(－3，0)． (1)求二次函数的表达式；(2)点N 是二次函数图象上一点(点N 在AB 上方)，过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；(3)在(2)的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．解：(1)由题设可知A(0，1)，B(－3，52)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，9a －3b ＋c ＝52，a －b ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－54，b ＝－174，c ＝1，则二次函数的解析式是y ＝－54x 2－174x ＋1(2)设N(x ，－54x 2－174x ＋1)，则M ，P 点的坐标分别是(x ，－12x ＋1)，(x ，0)．∴MN ＝PN －PM ＝－54x 2－174x ＋1－(－12x ＋1)＝－54x 2－154x ＝－54(x ＋32)2＋4516，则当x ＝－32时，MN的最大值为4516(3)连接MC ，BN ，BM 与NC 互相垂直平分，即四边形BCMN 是菱形，由于BC ∥MN ，MN ＝BC ，且BC ＝MC ，即－54x 2－154x ＝52，且(－12x ＋1)2＋(x ＋3)2＝254，解得x ＝－1，故当N(－1，4)时，BM 和NC 互相垂直平分。

考点跟踪突破2 整式及其运算一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·师大附中模拟)下列运算正确的是( C )A ．3a 2－2a 2＝2B ．(a 2)3＝a 5C ．a 3·a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 42．(2012·安徽)为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为( A ) A ．2a 2 B ．3a 2 C ．4a 2 D ．5a 23．(2014·呼和浩特)下列运算正确的是( C )A .54·12＝326 B .（a 3）2＝a 3C ．(1a ＋1b )2÷(1a 2－1b 2)＝b ＋a b －aD ．(－a)9÷a 3＝(－a)64．(2014·毕节)若－2a m b 4与5a n ＋2b 2m ＋n 可以合并成一项，则m n 的值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．15．(2014·日照)某养殖场2013年底的生猪出栏价格是每千克a 元，受市场影响，2014年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克( A )A ．(1－15%)(1＋20%)a 元B ．(1－15%)20%a 元C ．(1＋15%)(1－20%)a 元D ．(1＋20%)15%a 元二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·连云港)计算(2x ＋1)(x －3)＝__2x 2－5x －3__．7．(2014·凉山州)已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 12＋x 22＝__10__．8．(2012·长沙)若实数a ，b 满足|3a －1|＋b 2＝0，则a b 的值为__1__．9．(2012·黔东南州)二次三项式x 2－kx ＋9是一个完全平方式，则k 的值是__±6__．10．(2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数__165__．三、解答题(共40分)11．(6分)计算：(1)(2014·宁波)化简：(a ＋b)2＋(a －b)(a ＋b)－2ab ；解：原式＝a 2＋2ab ＋b 2＋a 2－b 2－2ab ＝2a 2(2)(2014·无锡)(x ＋1)(x －1)－(x －2)2.解：原式＝x 2－1－x 2＋4x －4＝4x －512．(8分)先化简，再求值：(1)(2014·盐城)(a ＋2b)2＋(b ＋a)(b －a)，其中a ＝－1，b ＝2；解：(a＋2b)2＋(b＋a)(b－a)＝a2＋4ab＋4b2＋b2－a2＝4ab＋5b2，当a＝－1，b＝2时，原式＝4×(－1)×2＋5×22＝12(2)(2014·衡阳)(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2.解：原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2＝a2＋ab；当a＝1，b＝－2时，原式＝12＋1×(－2)＝1－2＝－113．(8分)观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1，②2×4－32＝8－9＝－1，③3×5－42＝15－16＝－1，④__4×6－52＝24－25＝－1__，……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．解：(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1(3)n(n＋2)－(n＋1)2＝n2＋2n－(n2＋2n＋1)＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1.所以一定成立14．(8分)(2012·珠海)观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×__275__＝__572__×25；②__63__×396＝693×__36__．(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b)，并证明．解：(1)①∵5＋2＝7，∴左边的三位数是275.右边的三位数是572，∴52×275＝572×25；②∵左边的三位数是396，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，∴63×396＝693×36；故答案为：①275，572；②63，36(2)∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，∴一般规律的式子为：(10a＋b)×＝×(10b＋a)证明：左边＝(10a＋b)×＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a ＋b)(10b＋a)，右边＝×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，∴左边＝右边，故“数字对称等式”一般规律的式子为：(10a＋b)×＝×(10b＋a)15．(10分)试确定a和b，使x4＋ax2－bx＋2能被x2＋3x＋2整除．解：由于x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．因此，设x4＋ax2－bx＋2＝(x＋1)(x＋2)·M.当x＝－1时，即1＋a＋b＋2＝0，当x＝－2时，即16＋4a＋2b＋2＝0，∴a＝－6，b＝3。

考点跟踪突破1 实数及其运算一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·宁波)下列各数中，既不是正数也不是负数的是( A )A ．0B ．－1 C.3 D ．22．(2014·湘潭)下列各数中是无理数的是( A ) A. 2 B ．－2 C ．0 D.133．(2014·舟山)2013年12月15日，我国“玉兔号”月球车顺利抵达月球表面．月球离地球平均距离是384 400 000米，数据384 400 000用科学记数法表示为( A )A ．3.844×108B ．3.844×107C ．3.844×106D ．38.44×1064．(2014·新疆)下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温：A ．阿勒泰B ．喀什C ．吐鲁番D ．乌鲁木齐5．(2014·宁波)杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4筐杨梅的总质量是( C )A ．19.7千克B ．19.9千克C ．20.1千克D ．20.3千克二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·碑林区模拟)计算3tan30°－|1－2|2＝27．(2014·河北)若实数m ，n 满足|m －2|＋(n －2014)2＝0，则m －1＋n 0＝__32__． 8．(2014·铁一中模拟)用科学计算器计算：847－5sin 20°＝__53.1__．(结果精确到0.1)9．(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__．10．(2014·白银)观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝__552__． 三、解答题(共40分)11．(6分)计算：(1)(2014·成都)9－4sin30°＋(2014－π)0－22；解：原式＝－2(2)(2014·梅州)(π－1)0＋|2－2|－(13)－1＋8.解：原式＝1＋2－2－3＋22＝ 212．(8分)(2012·广东)定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如2不能表示为两个互质的整数的商，所以2是无理数．可以这样证明：设2＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0.则2＝a2b2，a2＝2b2.因为2b2是偶数，所以a2是偶数，则a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以2是无理数．仔细阅读上文，然后请证明：5是无理数．证明：设5＝ab，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则5＝a2b2，a2＝5b2.因为5b2是5的倍数，所以a2是5的倍数，所以，a不为0且为5的倍数．设a＝5n(n是整数)，所以b2＝5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的整数矛盾．所以5是无理数13．(8分)在数1，2，3，…，2014前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得结果可能的最小非负数是多少？解：因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，2014之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，2014中有2014÷2个奇数，即有1007个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n＋1，n＋2，n＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n－(n＋1)－(n＋2)＋(n＋3)＝0.这启发我们：将1，2，3，…，2014每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(2009－2010－2011＋2012)－2013＋2014＝1.所以，所求最小非负数是114．(8分)(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：(1)32－4×12＝5①(2)52－4×22＝9②(3)72－4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×( 4 )2＝( 17 )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．解：(2)第n个等式为(2n＋1)2－4n2＝4n＋1.∵左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边，∴第n个等式成立15．(10分)已知数14的小数部分是b，求b4＋12b3＋37b2＋6b－20的值．解：分析：因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．解：因为9＜14＜16，即3＜14＜4，所以14的整数部分为3.则依题意得14＝3＋b，两边平方得14＝9＋6b＋b2，所以b2＋6b＝5.b4＋12b3＋37b2＋6b－20＝(b4＋2·6b3＋36b2)＋(b2＋6b)－20＝(b2＋6b)2＋(b2＋6b)－20＝52＋5－20＝10。

专题跟踪突破四情境应用型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·随州)我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小粮仓，农户实际出资是( A ) A．80元B．95元C．135元D．270元2．(2014·咸宁)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( D )A．20 B．40 C．100 D．1203．(2014·咸宁)6月15日“父亲节”，小明送给父亲一个礼盒(如左图所示)，该礼盒的主视图是( A )4．(2014·淄博)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A－B－F－C的路径行走至C，乙沿着A－F－E－C－D的路径行走至D，丙沿着A－F－C－D的路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是( B ) A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙5．(2014·绍兴)如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红(绿)灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为( D )A．50秒B．45秒C．40秒D．35秒二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：长的温度为__－1__℃.7．(2013·济宁)如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20 cm ，到屏幕的距离为60 cm ，且幻灯片中的图形的高度为6 cm ，则屏幕上图形的高度为__18__ cm .8．(2014·山西)一走廊拐角的横截面积如图，已知AB ⊥BC ，AB ∥DE ，BC ∥FQ ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m ，EF ︵的圆心为O ，半径为1 m ，且∠EOF ＝90°，DE ，FQ 分别与⊙O 相切于E ，F 两点．若水平放置的木棒MN 的两个端点M ，N 分别在AB 和BC上，且MN 与⊙O 相切于点P ，P 是EF ︵的中点，则木棒MN 的长度为m .9．(2013·黄冈)钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y(海里)与所用时间t(小时)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是__7：00__．10．(2013·衢州)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种__10__棵橘子树，橘子总个数最多．三、解答题(共40分) 11．(10分)(2014·陕西模拟)如图①，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ，CD 相交于点O ，B 、D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且EF ＝32 cm .(1)求证：AC ∥BD ；(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数(精确到0.1°)；(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 61.9°≈0.553；可使用科学记算器)解：(1)证明：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，∴OB ＝OD ＝85 cm ，∴OA OB ＝OCOD ＝35，又∵∠AOC ＝∠BOD ∴△AOC ∽△BOD ，∴∠OAC ＝∠OBD ，∴AC ∥BD (2)解：在△OEF 中，OE ＝OF ＝34 cm ，EF ＝32 cm ；作OM ⊥EF 于点M ，则EM ＝16 cm ，∴cos ∠OEF ＝EM OE ＝1634＝817≈0.471，用科学记算器求得∠OEF ＝61.9° (3)小红的连衣裙会拖落到地面；在Rt △OEM 中，OM ＝OE 2－EM 2＝342－162＝30 cm ，过点A 作AH ⊥BD 于点H ，同(1)可证：EF ∥BD ，∴∠ABH ＝∠OEM ，则Rt △OEM∽Rt △ABH ，∴OE AB ＝OM AH ，AH ＝OM·AB OE ＝30×13634＝120 cm ，所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122 cm ＞晒衣架的高度AH ＝120 cm ，小红的连衣裙会拖落到地面12．(10分)(2014·毕节)我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A ：篮球，B ：足球，C ：排球，D ：羽毛球，E ：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图(如图)．(1)请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；(2)该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．解：(1)该班总人数是：12÷24%＝50(人)，则E 类人数是：50×10%＝5(人)，A 类人数为：50－(7＋12＋9＋5)＝17(人)．补全频数分布直方图如下：(2)画树状图如下：或列表如下：共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，则概率是：412＝1313．(10分)(2014·邵阳)小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．(1)两种型号的地砖各采购了多少块？(2)如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？解：(1)设彩色地砖采购x 块，单色地砖采购y 块，由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＝100，80x ＋40y ＝5 600，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝60.答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块 (2)设购进彩色地砖a 块，则单色地砖购进(60－a)块，由题意，得80a ＋40(60－a)≤3 200，解得a ≤20.∴彩色地砖最多能采购20块14．(10分)(2014·泉州)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A ，B 出发，沿轨道到达C 处，在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(分)后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d 1，d 2，则d 1，d 2与t 的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：(1)填空：乙的速度v 2＝__40__米/分； (2)写出d 1与t 的函数关系式；(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？解：(1)乙的速度v 2＝120÷3＝40(米/分)，故答案为：40(2)v 1＝1.5v 2＝1.5×40＝60(米/分)，60÷60＝1(分钟)，a ＝1，d 1＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－60t ＋60（0≤t ＜1），60t －60（1≤t ≤3） (3)d 2＝40t ，当0≤t≤1时，d 2－d 1＞10，即－60t ＋60－40t ＞10，解得0≤t＜12，当0≤t＜12时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，d 1－d 2＞10，即40t －(60t －60)＞10，解得1≤t＜52，当1≤t＜52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．综上所述：当0≤t＜12或1≤t＜52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰。

专题跟踪突破五 阅读理解型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·潍坊)对于实数x ，我们规定表示不大于x 的最大整数，例如＝1，＝3，＝－3，若[x ＋410]＝5，则x 的取值可以是( C ) A ．40 B ．45 C ．51 D ．562．(2013·永州)我们知道，一元二次方程x 2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2＝－1(即方程x 2＝－1有一个根为i)．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝i 2·i ＝(－1)·i ＝－i ，i 4＝(i 2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n ＋1＝i 4n ·i ＝(i 4)n ·i ＝i ，同理可得i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1.那么i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2012＋i 2013的值为( D )A ．0B ．1C ．－1D ．i3．(2014·河北)定义新运算：a ⊕b ＝⎩⎨⎧a b （b ＞0）－a b（b ＜0）例如：4⊕5＝45，4⊕(－5)＝45.则函数y ＝2⊕x(x ≠0)的图象大致是( D )4．(2014·贺州)张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2(x ＋1x)；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x (x ＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2(x ＋1x )＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是( C ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．105．(2014·常德)阅读理解：如图①，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对(θ，m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为( A )A ．(60°，4)B ．(45°，4)C ．(60°，22)D ．(50°，22)二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·上海)一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a ，b ，紧随其后的数就是2a －b ”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y 表示的数为__－9__．7．(2014·荆门)我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3·转化为分数时，可设0.3·＝x ，则x ＝0.3＋110x ，解得x ＝13，即0.3·＝13.仿照此方法，将0.45··化成分数是__511__．8．(2014·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ，例如，图中三角形ABC 是格点三角形，其中S ＝2，N ＝0，L ＝6；图中格点多边形DEFGHI 所对应的S ，N ，L 分别是__7，3，10__．经探究发现，任意格点多边形的面积S 可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数，则当N ＝5，L ＝14时，S ＝__11__．(用数值作答)9．(2013·成都)若正整数n 使得在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，各数位上均不产生进位现象，则称n 为“本位数”，例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为__711__．10．(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a ＋b)n (n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出(a ＋b)4的展开式，(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4．三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·临夏州)阅读理解：我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称作二阶行列式，规定他的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.如⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 34 5＝2×5－3×4＝－2.如果有⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 3－x 1 x ＞0，求x 的解集． 解：由题意得2x －(3－x)＞0，去括号得2x －3＋x ＞0，移项合并同类项，得3x ＞3，把x 的系数化为1，得x ＞112．(12分)(2014·金华)合作学习如图，矩形ABOD 的两边OB ，OD 都在坐标轴的正半轴上，OD ＝3，另两边与反比例函数y ＝k x(k ≠0)的图象分别相交于点E ，F ，且DE ＝2，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点F 作FG ⊥EH 于点G.回答下列问题：①该反比例函数的解析式是什么？②当四边形AEGF 为正方形时，点F 的坐标是多少？(1)阅读合作学习内容，请解答其中的问题；(2)小亮进一步研究四边形AEGF 的特征后提出问题：“当AE>EG 时，矩形AEGF 与矩形DOHE 能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．解：(1)①∵四边形ABOD 为矩形，EH ⊥x 轴，而OD ＝3，DE ＝2，∴E 点坐标为(2，3)，∴k ＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y ＝6x；②设正方形AEGF 的边长为a ，则AE ＝AF ＝a ，∴B 点坐标为(2＋a ，0)，A 点坐标为(2＋a ，3)，∴F 点坐标为(2＋a ，3－a)，把F(2＋a ，3－a)代入y ＝6x得(2＋a)(3－a)＝6，解得a 1＝1，a 2＝0(舍去)，∴F 点坐标为(3，2) (2)当AE ＞EG 时，矩形AEGF 与矩形DOHE 不能全等．理由如下：假设矩形AEGF 与矩形DOHE 全等，则AE ＝OD ＝3，AF ＝DE ＝2，∴A 点坐标为(5，3)，∴F 点坐标为(5，1)，而5×1＝5≠6，∴F 点不在反比例函数y ＝6x的图象上，∴矩形AEGF 与矩形DOHE 不能全等；当AE ＞EG 时，矩形AEGF 与矩形DOHE 能相似．∵矩形AEGF 与矩形DOHE 能相似，∴AE ∶OD ＝AF ∶DE ，∴AE AF ＝OD DE ＝32，设AE ＝3t ，则AF ＝2t ，∴A 点坐标为(2＋3t ，3)，∴F 点坐标为(2＋3t ，3－2t)，把F(2＋3t ，3－2t)代入y ＝6x得(2＋3t)(3－2t)＝6，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝56，∴AE ＝3t ＝52，∴相似比＝AE OD ＝523＝5613．(16分)(2014·自贡)阅读理解：如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与A ，B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的强相似点；(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 与BC 的数量关系．(1)∵∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，∴∠AED ＋∠ADE ＝135°，∠AED ＋∠CEB ＝135°，∴∠ADE ＝∠CEB ，在△ADE 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，∠ADE ＝∠BEC ，∴△ADE ∽△BEC ，∴点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点(2)如图所示，点E 是四边形ABCD 的边AB 上的强相似点(3)∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，△AEM ∽△BCE ∽△ECM.∴∠BCE ＝∠ECM＝∠AEM.由折叠可知：△ECM≌△DCM ，∴∠ECM ＝∠DCM ，CE ＝CD.∴∠BCE＝13∠BCD＝30°，BE ＝12CE ＝12AB.在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE BC ＝tan 30°＝33，∴AB BC ＝233。

一次方程与方程组 一、选择题(每小题6分，共30分)1．下列方程组中是二元一次方程组的是(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋y ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y ＝3，1x ＋y ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝0，3x －y ＝15D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y 3＝7 2．(2012·某某)若x ＝1m是方程mx －3m ＋2＝0的根，则x －m 的值为( A ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．23．(2014·某某)方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝12的是( D ) A ．x ＋2y ＝1 B ．3x ＋2y ＝－8C ．5x ＋4y ＝－3D ．3x －4y ＝－84．(2014·某某)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝m ，nx －y ＝1的解，则m －n 的值是( D )A ．1B ．2C ．3D ．45．(2014·某某)按如图的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( D )A ．x ＝5，y ＝－2B ．x ＝3，y ＝－3C ．x ＝－4，y ＝2D ．x ＝－3，y ＝－9二、填空题(每小题6分，共30分) 6．依据下列解方程0.3x ＋0.50.2＝2x －13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为3x ＋52＝2x －13，( 分式的基本性质 ) 去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1)．( 等式性质2 )去括号，得9x ＋15＝4x －2.( 去括号法则或分配律 )( 移项 )，得9x －4x ＝－15－2.( 等式性质1 )合并，得5x ＝－17.( 合并同类项 )( 系数化为1 )，得x ＝－175.( 等式性质2 ) 7．(2012·某某)已知(x －y ＋3)2＋2－y ＝0，则x ＋y ＝__1__．8．(2014·某某)设实数x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧13x －y ＝4，13x ＋y ＝2，则x ＋y ＝__8__． 9．若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为__－1__．10．(2014·东营)如果实数x ，y 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，2x ＋3y ＝3的解，那么代数式(xy x ＋y ＋2)÷1x ＋y的值为__1__． 三、解答题(共40分)11．(6分)(1)(2014·滨州)解方程：2－2x ＋13＝1＋x 2； 解：去分母得：12－2(2x ＋1)＝3(1＋x)，去括号得：12－4x －2＝3＋3x ，移项合并得：－7x ＝－7，解得：x ＝1(2)(2014·某某)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7，2x －y ＝3. 解：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7①，2x －y ＝3②，①＋②得：5x ＝10，即x ＝2，将x ＝2代入①得：y ＝1，则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝112．(8分)(2014·某某)解方程组：⎩⎨⎧5x 2－4y 2＝20，15x －2y ＝215. 解：依题意⎩⎨⎧5x 2－4y 2＝20①，15x －2y ＝215②，由②得4y 2＝15x 2－60x ＋60③，将③代入①化简得x 2－6x ＋8＝0，解此方程得x ＝2或x ＝4，代入②得y ＝0或y ＝15，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎨⎧x ＝4y ＝1513．(8分)(2012·某某)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，ax －by ＝－4与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝16，bx ＋ay ＝－8的解相同，求(2a ＋b)2012的值．解：由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝－6，3x －5y ＝16的解为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2即为⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝－4，bx ＋ay ＝－8的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝－4，2b －2a ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.∴(2a＋b)2012＝(2－3)2012＝114．(8分)(2014·贺州)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12mx ＋ny ＝5的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，求m ，n 的值．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3代入⎩⎪⎨⎪⎧mx －12ny ＝12，mx ＋ny ＝5得 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －32n ＝12 ①2m ＋3n ＝5 ②②－①得：92n ＝92，∴n ＝1，把n ＝1代入②得m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝115．(10分)已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求这个公共解．解：解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1，取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1 解法二：整理得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5，∵当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，可知方程(x ＋y －2)a ＝x －2y －5有无数个解，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1。

考点跟踪突破30图形的平移一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标为( A )A．(1，2) B．(2，9)C．(5，3) D．(－9，－4)2．(2014·滨州)如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，则线段A′B与线段AC的关系是( D )A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直3．(2014·邵阳)某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( D )A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长4．(2014·舟山)如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF，若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为( C )A．16 cm B．18 cmC．20 cm D．22 cm5．(2013·滨州)如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数有( D )A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·陕西模拟)如图，△ABC 的三个顶点均在方格纸的格点上，B ，C 两点的位置分别用有序数对(0，－2)、(3，－1)表示，将△ABC 平移后，点C 的对应点C 1的位置为(1，2)，则点A 的对应点A 1的位置为__(－1，3)__．7．如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1.若BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分的面积为2，则BB 1＝．,第7题图) ,第8题图)8．(2012·无锡)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8 cm ，D 是AB 的中点．现将△BCD 沿BA 方向平移1 cm ，得到△EFG ，FG 交AC 于点H ，则GH 的长等于__3__ cm .9．如图①，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A′B′D′的位置得到图②，则阴影部分的周长为__2__．10．(2012·广安)如图，把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为__272__．三、解答题(共40分) 11．(10分)(2013·云南)如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．(1)把“鱼”向右平移5个单位长度，并画出平移后的图形； (2)写出A ，B ，C 三点平移后的对应点A′，B ′，C ′的坐标．解：(1)如图所示：(2)结合坐标系可得A′(5，2)，B ′(0，6)，C ′(1，0)12．(10分)(2014·湘潭)在边长为1的小正方形网格中，△AOB 的顶点均在格点上． (1)B 点关于y 轴的对称点坐标为__(－3，2)__；(2)将△AOB 向左平移3个单位长度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1； (3)在(2)的条件下，A 1的坐标为__(－2，3)__．解：(1)B 点关于y 轴的对称点坐标为(－3，2) (2)△A 1O 1B 1如图所示：(3)A 1的坐标为(－2，3)13．(10分)(2014·珠海)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，线段AB 为半圆O 的直径，将Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得到△DEF ，DF 与BC 交于点H.(1)求BE 的长；(2)求Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积．解：(1)连接OG ，如图，∵∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝5，∵Rt △ABC 沿射线AB 方向平移，使斜边与半圆O 相切于点G ，得△DEF ，∴AD ＝BE ，DF ＝AC ＝3，EF ＝BC ＝5，∠EDF ＝∠BAC ＝90°，∵EF 与半圆O 相切于点G ，∴OG ⊥EF ，∵AB ＝4，线段AB 为半圆O 的直径，∴OB ＝OG ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △EOG ∽Rt △EFD ，∴OE EF ＝OG DF ，即OE 5＝23，解得OE ＝103，∴BE ＝OE －OB ＝103－2＝43(2)BD ＝DE －BE ＝4－43＝83.∵DF ∥AC ，∴DH AC ＝BD AB ，即DH 3＝834，解得DH ＝2.∴S 阴影＝S △BDH ＝12BD·DH ＝12×83×2＝83，即Rt △ABC 与△DEF 重叠(阴影)部分的面积为8314．(10分)(2013·绍兴)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2，…，第n 次平移将矩形A n －1B n －1C n －1D n －1沿A n －1B n －1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n (n ＞2)．(1)求AB 1和AB 2的长； (2)若AB n 的长为56，求n.解：(1)∵AB ＝6，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形A 1B 1C 1D 1，第2次平移将矩形A 1B 1C 1D 1沿A 1B 1的方向向右平移5个单位，得到矩形A 2B 2C 2D 2…∴AA 1＝5，A 1A 2＝5，A 2B 1＝A 1B 1－A 1A 2＝6－5＝1，∴AB 1＝AA 1＋A 1A 2＋A 2B 1＝5＋5＋1＝11，∴AB 2的长为5＋5＋6＝16(2)∵AB 1＝2×5＋1＝11，AB 2＝3×5＋1＝16，∴AB n ＝(n ＋1)×5＋1＝56，解得n ＝10。

2015年901班中考数学第一轮总复习讲义（一） 数与代数1、有理数的概念考点1：有理数的意义、数轴、相反数、绝对值的概念（B ）考点2：有理数大小的比较（B ）1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； a1也可表示为a -1,若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab ＝－1⇔ a 、b 互为负倒数. 6．非负数：零和正数统称非负数。

①常见的非负数的形式：|a| 、2a 、)0(≥a a ；②非负数定理： 几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0； 注意点：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数 （2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.（3）0即不是正数，也不是负数。

考点跟踪突破5 二次根式及其运算一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·金华)在式子1x －2，1x －3，x －2，x －3中，x 可以取2和3的是( C ) A .1x －2 B .1x －3C .x －2D .x －32．(2014·安徽)设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( D )A ．5B ．6C ．7D ．83．(2014·泸州)已知实数x ，y 满足x －1＋|y ＋3|＝0，则x ＋y 的值为( A )A ．－2B ．2C ．4D ．－44．(2014·白银)下列计算错误的是( B )A .2×3＝ 6B .2＋3＝ 5C .12÷3＝2D .8＝2 25．(2014·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( C )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·衡阳)化简：2(8－2)＝__2__．7．已知：一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是__2__．8．(2012·江西)当x ＝－4时，6－3x 的值是．9．(2014·福州)计算：(2＋1)(2－1)＝__1__．10．(2012·杭州)已知a(a －3)＜0，若b ＝2－a ，则b 的取值范围是．三、解答题(共40分) 11．(6分)(2013·济宁)(2－3)2012·(2＋3)2013－2|－32|－(－2)0. 解：原式＝2012·(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝112．(12分)(1)(2014·成都)先化简，再求值：(a a －b －1)÷b a 2－b2，其中a ＝3＋1，b ＝3－1； 解：原式＝b a －b×（a ＋b ）（a －b ）b ＝a ＋b ，当a ＝3＋1，b ＝3－1时，原式＝2 3(2)先化简，再求值：1－2a ＋a 2a －1－a 2－2a ＋1a 2－a－1a ，其中a ＝2－ 3.解：∵a ＝2－3，∴a －1＝2－3－1＝1－3＜0，∴原式化简得（1－a ）2a －1－（a －1）2a （a －1）－1a ＝a －1－1－a a （a －1）－1a＝a －1＋1a －1a ＝a －1＝1－ 313．(7分)已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，求x 2013－y 2013的值． 解：∵1＋x －(y －1)1－y ＝0，∴1＋x ＋(1－y)1－y ＝0，∴x ＋1＝0，y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝1，∴x 2013－y 2013＝(－1)2013－12013＝－1－1＝－214．(7分)已知m ＝20112012－1，求m 5－2m 4－2011m 3的值． 解：∵m ＝20112012－1＝2012＋1，∴m －1＝2012，(m －1)2＝2012，∴原式＝m 3(m 2－2m －2011)＝m 3(m 2－2m ＋1－2012)＝m 3＝015．(8分)已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值． 解：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴2＜5－7＜3，∴m ＝2，n ＝(5－7)－2＝3－7，将m ，n 代入amn ＋bn 2＝1，得a ×2×(3－7)＋b ×(3－7)2＝1，(6－27)a ＋(16－67)b－1＝0，(6a ＋16b －1)＋(－2a －6b)7＝0，∵a ，b 为有理数，∴⎩⎨⎧6a ＋16b －1＝0，－2a －6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.∴2a ＋b ＝2×32＋(－12)＝3－12＝52第一章 数与式自我测试一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2014·宜宾)下列运算的结果中，是正数的是( C )A ．(－2014)－1B ．－(2014)－1C ．(－1)×(－2014)D ．(－2014)÷20142．(2014·泰安)PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( B )A ．2.5×10－7B ．2.5×10－6C ．25×10－7D ．0.25×10－53．(2014·丽水)在数23，1，－3，0中，最大的数是( B ) A.23B ．1C ．－3D ．0 4．(2013·淄博)如果分式x 2－12x ＋2的值为0，则x 的值是( A ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±15．(2013·东营)16的算术平方根是( D )A ．±4B ．4C ．±2D ．26．(2014·安徽)(－2)×3的结果是( C )A ．－5B ．1C ．－6D ．67．(2014·长沙)下列计算正确的是( D )A .2＋5＝7B ．(ab 2)2＝ab 4C ．2a ＋3a ＝6aD ．a ·a 3＝a 48．(2014·潍坊)若代数式x ＋1（x －3）2有意义，则实数x 的取值范围是( B ) A ．x ≥－1 B ．x ≥－1且x ≠3C ．x ＞－1D ．x ＞－1且x ≠39．(2014·菏泽)下列计算中，正确的是( B )A ．a 3·a 2＝a 6B ．(π－3.14)0＝1C ．(13)－1＝－3 D .9＝±3 10．(2014·南昌)如图①，将一个边长为a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图②所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为( B )A ．2a －3bB ．4a －8bC ．2a －4bD ．4a －10b二、填空题(每小题4分，共24分)11．(2012·广安)实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则|n －m|＝__m －n__．12．(2014·株洲)分解因式：x 2＋3x(x －3)－9＝__(4x ＋3)(x －3)__．13．(2014·白银)化简：x 2x －2＋42－x＝__x ＋2__． 14．(2012·攀枝花)若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝__1__． 15．(2014·梅州)已知a ＋b ＝4，a －b ＝3，则a 2－b 2＝__12__．16．(2014·咸宁)观察分析下列数据：0，－3，6，－3，23，－15，32，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是．(结果需化简)三、解答题(共46分)17．(6分)(2013·东营)计算：(23)－1＋(π－3.14)0－2sin 60°－12＋|1－33|. 解：原式＝32＋1－2×32－23－(1－33)＝32＋1－3－23－1＋33＝3218．(6分)(2014·福州)先化简，再求值：(x ＋2)2＋x(2－x)，其中x ＝13. 解：原式＝6x ＋4，把x ＝13代入得原式＝619．(6分)(2013·北京)已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2的值． 解：代数式化简得4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x ＝1，代入得原式＝1220．(6分)(2013·衢州)如图，将长和宽分别是a ，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；(2)当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab －4x 2(2)依题意得：ab －4x 2＝4x 2，将a ＝6，b ＝4，代入上式得x 2＝3，解得x ＝3(x ＝－3舍去)，∴正方形边长为 321．(6分)(2014·铁一中模拟)先化简，再求值：(1－1x ＋2)÷x 2＋2x ＋12x 2－8，其中x 满足(x ＋2)(x －1)＝0.解：原式＝(x ＋2x ＋2－1x ＋2)÷x 2＋2x ＋12x 2－8＝(x ＋2x ＋2－1x ＋2)×2x 2－8x 2＋2x ＋1＝2（x －2）x ＋1，解方程(x ＋2)(x －1)＝0得，x ＋2＝0或x －1＝0，所以x 1＝－2，x 2＝1，其中x ＝－2使分式1x ＋2分母为0，无意义，∴x ＝－2(舍去)，把x ＝1代入2（x －2）x ＋1得，原式＝－122．(8分)(2012·北京)符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)＝1＋21，f(2)＝1＋22，f(3)＝1＋23， f(4)＝1＋24，…… (1)利用以上运算的规律写出f(n)＝__1＋2n__；(n 为正整数) (2)计算：f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)的值．解：(2)f(1)·f(2)·f(3)·…·f(100)＝(1＋21)(1＋22)(1＋23)…(1＋2100)＝31×42×53×…×102100＝101×1022＝515123．(8分)(2014·上海)解方程：x ＋1x －1－2x 2－1＝1x ＋1. 解：去分母得：(x ＋1)2－2＝x －1，整理得：x 2＋x ＝0，即x(x ＋1)＝0，解得：x ＝0或x ＝－1，经检验x ＝－1是增根，分式方程的解为x ＝0。

考点跟踪突破3因式分解一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·衡阳)下列因式分解中正确的个数为( C )①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)；②x2＋4x＋4＝(x＋2)2；③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)．A．3个B．2个C．1个D．0个2．(2014·广东)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D )A．x(x2－9) B．x(x－3)2C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3)3．(2012·台湾)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A )A．2x－2 B．2x＋2C．4x＋1 D．4x＋24．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D )A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝05．(2012·宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B )A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·铁一中模拟)分解因式：x3－2x2y＋xy2＝__x(x－y)2__.7．(2014·潍坊)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__．8．(2014·呼和浩特)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．9．(2014·连云港)若ab＝3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是__15__．10．(2012·宜宾)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为__2__.三、解答题(共40分)11．(6分)分解因式：(1)(2013·达州)x3－9x；解：a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4)(2)(2012·南充)x2－4x－12；解：x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝(x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6)(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.解：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)12．(8分)若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(1＋2b)(a－c)＝0.∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角形13．(8分)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是__a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b)(a ＋2b)__． 解：或a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b)(a ＋2b)14．(8分)设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．解：原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc)＋c 2＝(a ＋b)2－2(a ＋b)c ＋c 2＝(a ＋b －c)2＝2＝(12m)2＝14m 215．(10分)如果多项式2x 3＋x 2－26x ＋k 有一个因式是2x ＋1，求k 的值．解：∵2x＋1是2x 3＋x 2－26x ＋k 的因式，∴可设2x 3＋x 2－26x ＋k ＝(2x ＋1)·R.令2x ＋1＝0，x ＝－12，得2×(－12)3＋(－12)2－26×(－12)＋k ＝0，－14＋14＋13＋k ＝0，k ＝－13。

专题跟踪突破六 运动型问题1．(30分)(2014·武汉)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；(2)连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；(3)试证明：PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上．解：(1)①当△BPQ ∽△BAC 时，∵BP BA ＝BQ BC，BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，∴5t 10＝8－4t 8，∴t ＝1 ②当△BPQ ∽△BCA 时，∵BP BC ＝BQ BA ，∴5t 8＝8－4t 10，∴t ＝3241，∴t ＝1或3241时，△BPQ 与△ABC 相似(2)如图所示，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8－4t ，∵∠NAC ＋∠NCA ＝90°，∠PCM ＋∠NCA ＝90°，∴∠NAC ＝∠PCM 且∠ACQ ＝∠PMC ＝90°，∴△ACQ ∽△CMP ，∴AC CM ＝CQ MP ，∴68－4t ＝4t 3t，解得t ＝78(3)如图，仍有PM ⊥BC 于点M ，PQ 的中点设为D 点，再作PE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC于点F ，∵∠ACB ＝90°，∴DF 为梯形PECQ 的中位线，∴DF ＝PE ＋QC 2，∵QC ＝4t ，PE ＝8－BM ＝8－4t ，∴DF ＝8－4t ＋4t 2＝4，∵BC ＝8，过BC 的中点R 作直线平行于AC ，∴RC ＝DF ＝4成立，∴D 在过R 的中位线上，∴PQ 的中点在△ABC 的一条中位线上2．(30分)(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －4与x 轴交于点A(－2，0)和点B ，与y 轴交于点C ，直线x ＝1是该抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)若两动点M ，H 分别从点A ，B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ，设点M 的运动时间为t 秒(t ＞0)．求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －4与x 轴交于点A(－2，0)，直线x ＝1是该抛物线的对称轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －4＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴抛物线的解析式是：y ＝12x 2－x －4(2)分两种情况：①当0＜t ≤2时，∵PM ∥OC ，∴△AMP ∽△AOC ，∴PM OC ＝AM AO，即PM 4＝t 2，∴PM ＝2t.解方程12x 2－x －4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∵A(－2，0)，∴B(4，0)，∴AB ＝4－(－2)＝6.∵AH ＝AB －BH ＝6－t ，∴S ＝12PM·AH ＝12×2t(6－t)＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9，当t ＝2时，S 的最大值为8 ②当2＜t ≤3时，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，作PF ⊥y 轴于点F ，则△COB ∽△CFP ，又∵CO ＝OB ，∴FP ＝FC ＝t －2，PM ＝4－(t －2)＝6－t ，AH ＝4＋32(t －2)＝32t ＋1，∴S ＝12PM·AH ＝12(6－t)(32t ＋1)＝－34t 2＋4t ＋3＝－34(t －83)2＋253，当t ＝83时，S 最大值为253.综上所述，点M 的运动时间t 与△APH 面积S 的函数关系式是S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋6t （0＜t ≤2），－34t 2＋4t ＋3（2＜t ≤3），S 的最大值为253 3．(40分)(2013·岳阳)某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合．三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q.(1)求证：DP ＝DQ ；(2)如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；(3)如图③，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ，仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E ，连接PE ，若AB ∶AP ＝3∶4，请帮小明算出△DEP 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝DC ，∠DAP ＝∠DCQ ＝90°，∵∠PDQ ＝90°，∴∠ADP ＋∠PDC ＝90°，∠CDQ ＋∠PDC ＝90°，∠ADP ＝∠CDQ ，在△ADP与△CDQ 中，∵⎩⎨⎧∠DAP ＝∠DCQ ，DA ＝DC ，∠ADP ＝∠CDQ ，∴△ADP ≌△CDQ(ASA )，∴DP ＝DQ (2)PE ＝QE.证明：∵DE 是∠PDQ 的平分线，∴∠PDE ＝∠QDE ，在△PDE 与△QDE 中，∵⎩⎨⎧DP ＝DQ ，∠PDE ＝∠QDE ，DE ＝DE ，∴△PDE ≌△QDE(SAS )，∴PE ＝QE (3)解：∵AB ∶AP ＝3∶4，AB ＝6，∴AP ＝8，BP ＝2，由(1)知：△ADP ≌△CDQ ，则AP ＝CQ ＝8，由(2)知：PE ＝QE ，设CE ＝x ，则PE ＝QE ＝CQ －CE ＝8－x ，在Rt △PEB 中，BP ＝2，BE ＝6＋x ，PE ＝8－x ，由勾股定理得22＋(6＋x)2＝(8－x)2，解得x ＝67，∵BP ∥CD ，∴BM CM ＝BP CD ，∴BM 6－BM ＝26，∴BM ＝32，∴ME ＝CM ＋CE ＝6－32＋x ＝6－32＋67＝7514，∴△DEP 的面积为S △DEP ＝S △DME ＋S △PME ＝12·ME·DC ＋12·ME·PB ＝12·ME·(DC ＋PB)＝12×7514·(6＋2)＝12×7514×(6＋2)＝1507。

考点跟踪突破8 列方程(组)解应用题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·枣庄)某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( B )A ．350元B ．400元C ．450元D ．500元2．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则被移动的玻璃球的质量为( A )A ．10克B ．15克C ．20克D ．25克 3．(2014·温州)20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，列方程组正确的是( D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝523x ＋2y ＝20B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝522x ＋3y ＝20 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝202x ＋3y ＝52 D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝203x ＋2y ＝52 4．(2014·福州)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( A )A .600x ＋50＝450xB .600x －50＝450xC .600x ＝450x ＋50D .600x ＝450x －505．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( D )A ．144(1－x)2＝100B ．100(1－x)2＝144C ．144(1＋x)2＝100D ．100(1＋x)2＝144二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·西工大附中模拟)某电器商店对一款冰箱在原价的基础上打7折销售，如果有贵宾卡还可以再优惠10%，小颖爸爸持有贵宾卡，买这款冰箱花费4410元，则这款冰箱的原价为__7000__元．7．(2014·上海)某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔__352__支．8．(2014·滨州)某公园“六一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备__34__元钱买门票．9．(2012·山西)如图①是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是__1000__.10．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是__1__ m ．(可利用的围墙长度超过6 m )三、解答题(共40分)11．(6分)(2014·菏泽)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？解：设A 饮料生产了x 瓶，则B 饮料生产了(100－x)瓶，由题意得，2x ＋3(100－x)＝270，解得：x ＝30，100－x ＝70，答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶12．(8分)(2014·遂宁)我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售．打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2件甲商品和3件乙商品需用220元．而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？解：设甲商品单价为x ，乙商品单价为y ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝190，2x ＋3y ＝220，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝40，则购买10件甲商品和10件乙商品需要900元，∵打折后实际花费735元，∴这比不打折前少花165元．答：这比不打折前少花165元13．(8分)(2014·广州)从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．解：(1)根据题意得：400×1.3＝520(千米)，答：普通列车的行驶路程是520千米(2)设普通列车平均速度是x 千米/时，根据题意得：520x －4002.5x＝3，解得：x ＝120，经检验x ＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时14．(8分)(2014·宜昌)在“文化宜昌·全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量(单位：本)进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．(1)求2014年全校学生人数；(2)2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本(注：阅读总量＝人均阅读量×人数)①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a ，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a ，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a 的值．解：(1)由题意，得：2013年全校学生人数为：1000×(1＋10%)＝1100人，∴2014年全校学生人数为：1100＋100＝1200人 (2)①设2012人均阅读量为x 本，则2013年的人均阅读量为(x ＋1)本，由题意，得1100(x ＋1)＝1000x ＋1700，解得：x ＝6.答：2012年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.5×6＝15本，2014年读书社人均读书量为15(1＋a)2本，2014年全校学生的人均读书量为6(1＋a)本，80×15(1＋a)2＝1 200×6(1＋a)×25%，2(1＋a)2＝3(1＋a)，∴a 1＝－1(舍去)，a 2＝0.5.答：a 的值为0.515．(10分)(2012·德州)某饰品店老板去批发市场购买新款手链，第一次购手链共用100元，按该手链的定价2.8元销售，并很快售完．由于该手链深得年轻人喜爱，十分畅销，第二次去购手链时，每条的批发价已比第一次高0.5元，共用去了150元，所购数量比第一次多10条．当这批手链售出45时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的手链．试问该老板第二次售手链是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 解：设第一次批发价为x 元/条，则第二次的批发价为(x ＋0.5)元/条．依题意得(x ＋0.5)(10＋100x)＝150，解得x 1＝2，x 2＝2.5.经检验x 1＝2，x 2＝2.5都是原方程的根．由于当x ＝2.5时，第二次的批发价就是3元/条，而零售价为2.8元，所以x ＝2.5不合题意，舍去．故第一次的批发价为2元/条．第二次的批发价为2.5元/条．第二次共批发手链＝1502.5＝60(条)．第二次的利润＝(45×60×2.8＋15×60×2.8×0.5)－150＝1.2(元)．所以老板第二次售手链赚了1.2元。

考点跟踪突破7 一元二次方程一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·宜宾)若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．(2014·益阳)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足条件是( D )A ．m>1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m ≤13．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为( A )A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b 24a 2C ．(x －b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2D ．(x －b 2a )2＝4ac －b 24a 24．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( B )A ．1B ．－1C ．0D ．－25．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋k ＝0的两个根，则k 的值是( B )A ．27B ．36C ．27或36D ．18二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·舟山)方程x 2－3x ＝0的根为7．(2013·佛山)方程x 2－2x －2＝0．8．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－则a ＝__1__．9．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8__．10．(2013·白银)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__－1或4__．三、解答题(共40分)11．(6分)(1)(2014·遂宁)解方程：x 2＋2x －3＝0；解：(1)∵x 2＋2x －3＝0，∴(x ＋3)(x －1)＝0，∴x 1＝1，x 2＝－3(2)(2012·杭州)用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.解：二次项系数化为1得：x 2－2x ＝12，x 2－2x ＋1＝12＋1，(x －1)2＝32，x －1＝±62，∴x 1＝62＋1，x 2＝1－6212．(8分)解方程：(1)(2012·安徽)x 2－2x ＝2x ＋1；解：x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5，x －2＝±5，x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5(2)(2014·自贡)3x(x －2)＝2(2－x)．解：(x －2)(3x ＋2)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2313．(8分)(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)将x ＝1代入方程x 2＋ax ＋a －2＝0得，1＋a ＋a －2＝0，解得，a ＝12；方程为x 2＋12x －32＝0，即2x 2＋x －3＝0，设另一根为x 1，则1·x 1＝－32，x 1＝－32(2)∵△＝a 2－4(a －2)＝a 2－4a ＋8＝a 2－4a ＋4＋4＝(a －2)2＋4＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根14．(8分)(2012·南充)关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值．解：(1)∵方程有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，即9－4(m －1)≥0，解得m ≤134(2)由题意可得：x 1＋x 2＝－3，x 1·x 2＝m －1，又∵2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，∴2×(－3)＋(m －1)＋10＝0，解得m ＝－315．(10分)(2014·泸州)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28，解得：m ＝－4或m ＝6；当m ＝－4时原方程无解，∴m ＝6(2)当7为底边时，此时方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个相等的实数根，∴△＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0，解得：m ＝2，∴方程变为x 2－6x ＋9＝0，解得：x 1＝x 2＝3，∵3＋3＜7，∴不能构成三角形；当7为腰时，设x 1＝7，代入方程得：49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得：m＝10或4，当m ＝10时方程为x 2－22x ＋105＝0，解得：x ＝7或15∵7＋7＜15，不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17。

考点跟踪突破19线段、角、相交线和平行线一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2014·济宁)把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( C )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边2．(2014·长沙)如图，C，D是线段AB上两点，D是线段AC的中点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则AD的长等于( B )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm3．(2014·汕尾)如图，能判定EB∥AC的条件是( D )A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBDC．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE4．(2014·丽水)如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是( D )A．50°B．45°C．35°D．30°5．(2013·钦州)定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p，q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点有( C )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·杭州)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__139°10′__．,第6题图),第7题图) 7．(2014·湘潭)如图，直线a，b被直线c所截，若满足__∠1＝∠2(答案不唯一)__，则a，b平行．8．(2013·河南)将一副直角三角板ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为__15°__．9．(2014·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝__40°__．,第9题图) ,第10题图)10．(2014·铁一中模拟)如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝__360°__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·益阳)如图，EF ∥BC ，AC 平分∠BAF ，∠B ＝80°.求∠C 的度数．解：∵EF ∥BC ，∴∠BAF ＝180°－∠B ＝100°，∵AC 平分∠BAF ，∴∠CAF ＝12∠BAF ＝50°，∵EF ∥BC ，∴∠C ＝∠CAF ＝50°12．(10分)(2013·邵阳)将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F.(1)求证：CF ∥AB ；(2)求∠DFC 的度数．解：(1)证明：∵CF 平分∠DCE ，∴∠1＝12∠DCE ＝12×90°＝45°，∴∠3＝∠1，∴AB ∥CF(内错角相等，两直线平行)(2)∵∠1＝∠2＝45°，∠E ＝60°，∴∠DFC ＝45°＋60°＝105°13．(10分)(2013·湘西)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.(1)求DE 的长；(2)求△ADB 的面积．解：(1)∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DC ＝3(角平分线的性质) (2)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝10，∴S △ADB ＝12AB·DE ＝12×10×3＝1514．(10分)(2013·嘉兴)小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图①，直线a ，b 所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图②，画PC ∥a ，量出直线b 与PC 的夹角度数，即直线a ，b 所成角的度数．(1)请写出这种做法的理由；(2)小明在此基础上又进行了如下操作和探究(如图③)：①以点P 为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b ，PC 于点A ，D ；②连接AD 并延长交直线a 于点B ，请写出图③中所有与∠PAB 相等的角，并说明理由；(3)请在图③画板内作出“直线a ，b 所成的跑到画板外面去的角”的平分线(画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．解：(1)PC ∥a(两直线平行，同位角相等)(2)∠PAB ＝∠PDA ＝∠BDC ＝∠1，如图，∵PA ＝PD ，∴∠PAB ＝∠PDA ，∵∠BDC ＝∠PDA(对顶角相等)，又∵PC∥a ，∴∠PDA＝∠1，∴∠PAB ＝∠PDA＝∠BDC ＝∠1 (3)如图，作线段AB 的垂直平分线EF ，则EF 是所求作的图形。