北师大八年级下数学期中考试常考易错题集锦(绝对经典)

八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．7㎝B ．9㎝C ．12㎝或者9㎝D ．12㎝2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．40°或70°3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（ ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是_____.5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高 6.如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知A （4，3），P 是坐标轴上的一点，若以O ，A ，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P 共有______个，写出其中一个点P 的坐标是______．7.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于_____.8.正三角形ABD 和正三角形CBD 的边长均为1，现把它们拼合起来如图，E 是AD 上异于A ，D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF=1，当E ，F 移动时，三角形BEF 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形非正三角形D ．正三角形9.如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点，ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ）Ａ．90°－∠Ａ Ｂ．90°－21∠Ａ Ｃ．45°－21∠Ａ Ｄ．180°－∠Ａ10.如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．11.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.9A. B. C.18.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．819.（2015•南昌）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．20.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．21.（2015•黄冈）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．22.（2015•苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则x2+（y﹣4）2的值为．23.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为____.24.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．25.如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为____m（容器厚度忽略不计）26.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．27.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A.6B.12C.32D.6428.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S n= ．（用含n的式子表示）29.用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.30.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.31.如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），32.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．33.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.34.如图，A,B为一公司的两个分部，为了方便A,B两分部的联系和沟通，现准备在距离2km 的A,B两部分之间修筑一条笔直的公路（如图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？35.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．36.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．37.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．38.（2015•常州）如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB ；（2）若AB+CD=2+2，求AB ．39.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE40.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.41.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME42.如图，已知：AB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD⊥ED.43.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD.（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.44.（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP 绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．45.（2015•永州）如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离；（2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间．第二章 不等式(组)（1）已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围.(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12 ，则a 的取值范围是____ （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=___,b=____ (4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><mx x 8 无解,那么m 的取值范围是 （ ） A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8(5)①如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是( )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3②若关于x 的一元一次不等式组有解，则m 的取值范围是_____.(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是_____．(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围.2.解不等式（组） （1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上. 3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为（ ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k yl +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为_____（3）已知一次函数y=ax+b的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2,0），则关于x 的不等式a(x-1)-b＞0的解集为_____.(4)某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元。

易错题练习（一）一、若E^l 是一个完全平方式，则0的值是__________________________二.下列说法正确的是（）A、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

C、将分式0 中的（3和回的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。

D.若分式H 的值为0.则凶的值是乙三、解不等式组:四.分解因式：[^1五.化简求值：，其中S1/1六、解分式方程：I X I七、如图，点B为AC上一，分别以AB. AC为边在AC冋侧作等边三角形ABC和等边三角形BCE,点P、爪N分别是AC、AD、CE的中点。

(1)求证：PM=PN； (2)求ZMP7的度数。

八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原左的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原左人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。

求原左人数是多少人？1/1易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为回耳,下来时平均速度为E E （上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是_________________________________________________________________ ■二、如图，将等腰宜角三角形ABC绕A点旋转15°后得到㈢若AC二1,则图中阴影部分的面积为（）A、凶B、回C、凶D、凶三、解不等式组：S四.分解因式：■ 一■1/1五.化简求值・然后给日选一个你认为合适的数代入求值。

1/1六.解分式方程：I X I七.如图，点0是L±d内一点，连接OB. 0C,并将AB、0B、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG。

(1)求证：四边形DEFG是平行四边形：(2)如果Z0BC=45° , ZOCB二30° , 0C二4.求EF 的长。

北师大版八年级数学下1-5单元易错题集锦（一）一、选择题1.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AB B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上说法均不对2.如果a>b ，c<0，那么下列不等式成立的是（ ）A.a+c>bB.a+c>b-cC.ac-l>bc-1D.a （c-1）<b （c-1） 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A.()ab ac d a b c d ++=++B.2(2)(2)4x x x +-=- C.623ab a b =⋅ D.22816(4)x x x -+=-4.下列等式中成立的是（ ）A.123a b a b +=+B.212a b a b =++ C.2ab a ab b a b =-- D.a aa ba b =--++ 5.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知等腰三角形的一个角为50°，则其顶角为（ ） A.50° B.80° C.50°或65° D.50°或80°7.下列说法中，错误的是（ ） A.不等式x<5的整数解有无数多个 B.不等式x>-5的负整数解有有限个 C.不等式-2x<8的解集是x<4 D.-40是不等式2x<-8的一个解8.下列式子能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.21681a a ++B.239a a -+ C.2441a a +- D.2816a a --9.（2020广东佛山华英学校期中）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A.22x y x y ++B.22x y x y -+C.2x xxy + D.2xy y10.下列说法中，不正确的是（ ） A.图形平移是由移动的方向和距离所决定的 B.图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的 C.任意两条相等的线段都成中心对称 D.任意两点都成中心对称11.钟表上的时针走1小时旋转了_________度. 12.当x=_________时，分式225x x -+的值为0. 13.已知x ，y 是二元一次方程组23245x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则代数式224x y -的值为___________.14.用“>”或“<”填空：若a<b<0，则5a -_________5b -；1a _________1b；21a -_________21b -.15.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若DB=14cm ，则AC=_________.16.（2020独家原创试题）如图，已知在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2a +1，3a -4），则点P 到x 轴的距离为_________.17、计算及解方程。

欢迎来主页下载---精品文档易错题练习（一）216?x?kx k。

的值是一、若是一个完全平方式，则）下列说法正确的是（二、、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

A 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

B a?b a b的值都扩大为原来的2中的C、将分式倍，分式值不变。

和2a42?x4x的值是2。

0，则D、若分式的值为2x?42x?7?3(x?1)??三、解不等式组：?24x?3?1?x?33?32x65x?x?四、分解因式：3xx2x?)(?4?x五、化简求值：，其中2x?2x?2x?4精品文档．欢迎来主页下载---精品文档2x1?1?六、解分式方程：x??22xD同侧作AC，分别以 AB、AC为边在七、如图，点B为AC上一E、、AD、BCE，点P、MN分别是ACABC等边三角形和等边三角形MN CE的中点。

的度数。

2（）求∠MPN）求证：（1PM=PN；ACBP按原定的人数估计共需费陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，八、参加活动的每个后因人数增加到原定人数的300用元，2一共只需享受优惠，480元，倍，同学平均分摊的费用比原计划少元。

求原定人数是多少人？4精品文档．精品文档---欢迎来主页下载）易错题练习（2nm hkm/h/km（上去与下来，下来时平均速度为小明爬山时，上去的平均速度为一、。

的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是'?AB'C A，°后得到15将等腰直角三角形ABC绕A点旋转如图，二、），则图中阴影部分的面积为（若AC=1B'33333、 D、 B A、 C、BC'C63x?1?3?x??解不等式组：三、?xx1???362?218??1)((a?1)?12a2分解因式：四、x?12x?11?(x?)?x化简求值选一个你认为合适的数代入求值。

五、，然后给2xxx?x精品文档．欢迎来主页下载---精品文档2?x1??1六、解分式方程：x?x?33AABC?、、OB内一点，连接OB、OCO七、如图，点是，并将AB GD、G依次连接，得到四边形DEFG。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式,则k 的值是 。

二、下列说法正确的是( ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合.C 、将分式24a b a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变. D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ,其中4=x六、解分式方程:xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE,点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

(1）求证:PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数.八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠,一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路)则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆,若AC=1,则图中阴影部分的面积为( ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63 三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

常考、易错题型集锦（1）1、若a2表示一个整数，则整数a 可以取的值有可以取的值有 ( ) A ．1个 B ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2、若分式yx y x -+中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则分式的值倍，则分式的值 （ ） A 、不变、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的615、若：a b =c d =e f =g h =3，则a ＋c ＋e ＋g b ＋d ＋f ＋h= 。

若：m n =23 ，则m ＋n n ＝ 。

6、（1）4233ay ax - （2）4)()(42-+-+b a b a7、已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围。

的取值范围。

8、某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。

该商场为促销制定了如下两种优惠方式：惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款。

第二种：按购买金额打九折付款。

八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本支，书法练习本 x （x ≥10）本。

试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）9、函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ¹0）的图象如图所示，则关于x 的不等的不等式kx+b>0的解集为（的解集为（ ）． A ．x>0 B ．x<0 C ．x<2 D ．x>2 1010、下列各组代数式中没有公因式的是、下列各组代数式中没有公因式的是、下列各组代数式中没有公因式的是 （（ ）A ．4a 2bc 与8abc 2B B．．a 3b 2+1与a 2b 3–1C. b (a –2b )2与a （2b –a ）2D. x +1与x 2–11111、若将分式、若将分式24ab a +中的a 与b 的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将倍，则这个分式的值将 （（ ） A ．扩大为原来的2倍 B. B. 分式的值不变分式的值不变分式的值不变 C. C. C. 缩小为原来的缩小为原来的21 D D．缩小为原来的．缩小为原来的41 12、已知y x 32=，则下列比例式成立的是，则下列比例式成立的是（ ） A ．32y x = B 。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式，则k 的值是 。

二、下列说法正确的是（ ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

C 、将分式24a b a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。

D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ，其中4=x六、解分式方程：xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数。

八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。

求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63 三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等， 因此只能是：5cm ，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33 综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ， ∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD ∥OA ，∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO ， ∴PD=OD=4cm ，∵∠AOB=30°，PD ∥OA ， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt △PDF 中，PF=21PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB, ∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm9.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∴BM=ME ，EN=CN ， ∴MN=BM+CN ， ∵BM+CN=9， ∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（B ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ， ∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD ∴ADM ADE S S V V = ∵DE=DG ，DM=DE ， ∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的外角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF=DN ，在Rt △DEF 和Rt △DMN 中，Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39， ∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（A ） A.B.C.D.解：在Rt △ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222=+=+BC AC 过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，则由ABC S V =21AC ．BC=21AB ．CD ，得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（A ）A.1 B.2 C.3 D.4解：∵AD ⊥BC ， ∴∠EAH+∠B=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，∴△AEH ≌△CEB （ASA ） ∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解：延长CF 交AB 于点G ， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ， ∵AF 垂直CG ， ∴∠AFG=∠AFC ， 在△AFG 和△AFC 中，∴△AFG ≌△AFC （ASA ） ∴AC=AG ，GF=CF ， 又∵点D 是BC 的中点， ∴DF 是△CBG 的中位线， ∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F. 求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF. ∵FE 垂直平分AD ， ∴FA=FD ，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90° ∴△ADC ≌△BDF ∴AC=BF∵AB=BC ，BE ⊥AC ∴AC=2AE ∴BF=2AE(2)解：设AD=x ，则BD=x ∴AB=BC=2+x∵△ABD 是等腰直角三角形 ∴AB=2AD ∴2+x=2x 解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE 证明：延长BE 至F ，使EF=BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60°，AB=BC ∴AB=BC=EF∵AD=BE ，BD=AB+AD, BF=BE+EF ∴BD=BF∴△BDF 是等边三角形 ∴∠F=60°，BD=FD 在△BCD 和△FED 中， BC=EF∠B=∠F=60° BD=FD∴△BCD ≌△FED （SAS ） ∴DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.证明：延长AE 、BC 交于点F ∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD （ASA ） ∴AF=BD 又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点 ∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME证明：过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点 ∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形， ∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ， ∴△EAC ≌△BAD ，∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.证明：连接AD. ∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF ∴易证△BED ≌△AFD （SAS ） ∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° ∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（C ） A ．x-2＜y-2 B ．2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b而不等式组的解集为：3<x <5 ∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （B ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m ≤3 B ． m ≥3 C ．m=3 D ．m ＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ，∴m ≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32-． 解：解该不等式组得∵有三个整数解 ∴2＜x ＜6a+10∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围.提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】 （1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（C ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x 解：设可以打x 折． 那么（600×10x-500）÷500≥8% 解得x ≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） <B ．>C ．≤D ．≥惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本； 第二种：按购买金额打九折付款。

北师大八年级数学下册易错题整理第一章三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（）A．40° B．50° C．60° D．40°或70°3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.8. 如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA 于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.910.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A.11 B.5.5 C.7 D.3.511．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A. B. C. D.12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A.1 B.2 C.3 D.413.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．16. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．17.如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．18.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（ ）A ．x-2＜y-2B ． 2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y (2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-1 ，则a 的取值范围是（3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-0b x a x 的解集是3<x <5,那么a= ,b=(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是( )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是． 并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（ ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为4.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打 折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） x <yB ．x >yC ．x ≤yD ．x ≥y（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）． （1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。

请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权八年级下册易错题明证一章三角形的第）1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D㎝㎝或者9㎝ D．12 A．7㎝ B．9㎝ C．12等腰三考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，角形两腰相等，5cm,2cm.因此只能是：5cm， 2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D） D70°．40°或A．40° B．50° C．60°°；底角就是70①当40°是顶角时，考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：.°就是一个底角②40）10cm，则最长边上的高是（D3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、 D. 4.8cmA.2.4cmB.3cmC.4cm是直角三角形，利用面积相等求，即h,由题意可得△ABC提示：设最长边上的高为11h10.6..8 .22解得h=4.8330.3或30等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是4.°ABD=30解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠11，AB=∴AD=×6=322∵AB=AC，11ACB=∠°∠BAD=(90°-30)=30°，∴∠ABC=22，∠ABCABD=∴∠；∴底边上的高AE=AD=3 ABD=30°②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠°，A=90∴∠°-30°=60 ABC∴△是等边三角形，333∴底边上的高为6=×233或综上所述，底边上的高是3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（5.B）的交点三条高 C.三个内角平分线 B.三边垂直平分线三条中线 D.A.考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权】边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”的周，则△ADCAB于D，交BC于E，6.如图，在△ABC中，AB=5AC=3，BC的垂直平分线交长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.60°7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°已知：△ABC ,求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于答案：°60°，即每一内角都大于证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60 °°=180C>60°+60°+60∠,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+B+∠则∠A>60°度矛盾．假设不成立．°，这与三角形的内角和为180∠B+∠C>180即∠A+60中至少有一个内角小于或等于°∴△ABC反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出考查知识：【注意：反证法一般很少用到，除非是与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】PE⊥OAD，交OB于点OC∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为上任意一点，PD∥OA8. 如图所示， PD=_________cm．，若PE=2cm，则于点E，OB于F解：过点P作PF⊥，平分∠AOB°，∵∠AOB=30OC °，∠BOC=15∴∠AOC= ，∥OA∵PD AOP=15°，∴∠DPO=∠ AOP=15°，∴∠DPO=∠，∠∴∠BOC=DPO ，∴PD=OD=4cm ，∥OA∵∠AOB=30°，PD BDP=30°，∴∠1 PF=，PD=2cm中，∴在Rt△PDF2OB, ⊥OA⊥，PFPEOC∵为角平分线，PE=PF=2cm ，∴PE=PF∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除AC，交于ME作MN∥BC交AB过点9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， A.6 B.7 C.8 D.9），若BM+CN=9，则线段MN的长为（于N，的平分线相交于点E∵∠ABC、∠ACB解： ECB，EBC，∠ECN=∠∴∠MBE=∠ BC，∵MN∥ ECB，，∠ECN=∠∴∠EBC=∠EBC EN=CN，∴BM=ME，，∴MN=BM+CN ，∵BM+CN=9MN=9∴平分，必有等腰三角形考查知识点：平行的面积分和△AEDE=D，△ADA是△AB的角平分线，DF⊥AB，垂足10如图 A.11 B.5.5 C.7 D.3.553，则△ED的面积为为，DN，作⊥AC解：作DM=DE交AC于M 中AED和△AMD∵在△AMDAED≌△∴△SS?∴ADMADE VV，DE=DG，DM=DE∵ DM=DG，∴，⊥的外角平分线，是△∵ADABCDFAB只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除DF=DN，∴中，Rt△DMNRt在△DEF和HL），DEF≌Rt△DMN（Rt△和39，∵△ADG和△AED的面积分别为5=50-39=11ADMDAD1SS?S?11=5.5 =×MDG VVV DNMDEF22角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等考查知识点： AB的距离是（A）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到11．在 C.D. B.A. BC=12，中，解：在Rt△ABCAC=9，222215AC12?BC?9?? AB=根据勾股定理得：，，交过C作CD⊥ABAB于点D1129x3611AC.BCS =，得CD==．AC=则由．BC=ABCD ABC V1552AB2考查知识：利用面积相等法，EH=EB=3HCEADED中12.如图，在△ABCAD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为、，、交于点，已知A.1 B.2 C.3 D.4A CH，则AE=4的长是（）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除B解A°B=9∴EAHCA°∴EAHAHE=9BAH∴EH=E中AE和CE在△ASA）∴△AEH≌△CEB（ CE=AE，∴，EH=EB=3∵，AE=4CH=CE-EH=4-3=1∴.考查知识：利用三角形全等求线段长度的长AB=5,AC=2,则DF于点是中线，AE是角平分线，CF⊥AEF，中，13.如图，在△ABCAD3. 为2，AB延长CF交于点G解：BAC∵AE平分∠，∠CAF，GAF=∴∠，CG∵AF垂直AFG=∴∠∠AFC，AFCAFG在△和△中，只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ASA）∴△AFG≌△AFC ，GF=CF，∴AC=AG 是BC的中点，又∵点D CBG的中位线，DF∴是△3111）=）∴DF==（AB-ACAB-AGBG=（2222一般出现既是角平本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，点评：分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除．于点EAB，过点D作DE⊥16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D ；≌△AED（1）求证：△ACD 的长．，求BD（2）若∠B=30°，CD=1CAB 平分∠∵AD (1)证明：EAD∠∴∠CAD= AB，∠C=90°，∵DE⊥ AED=90°∴∠ACD=∠ AD=AD，又∵≌△AED∴△ACDAED ACD ≌△）解：∵△（2DE=CD=1∴°，B=30°，∠DEB=90∵∠BD=2DE=2∴交于点BEAD与⊥BC于点D，∠BAD=45°，BE如图，△ABC中，AB=BC，⊥AC于点E，AD17. CF．F，连接BF=2AE；（1）求证：的长．CD=，求AD（2）若）证明：（1，∠BAD=45°⊥BC∵ADBAD =∠ABD=∠45°∴∠AD=BD ∴AC⊥∵BE AFE=90°∠∴∠CAD+BC⊥∵AD °∠∴∠FBD=BFD=90只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BFD AFE=∠又∠FBDCAD=∠∴∠ BDF=90°又∠ADC=∠BDF ≌△∴△ADCAC=BF∴AC ⊥∵AB=BC，BEAC=2AE ∴∴BF=2AEBD=x (2)解：设AD=x，则2+x∴AB=BC= 是等腰直角三角形∵△ABD2AD ∴AB=22x ∴+x=2解得x=2+2即AD=2+18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴DC=DE19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线. 且AE=2证明：延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD1BD 又AE=2∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：两点，NBD，CE于M过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交均为等边三角形，和△ACD ∵△ABEAB=AE ，，AD=AC∴∠EAB=∠CAD=60°BAC，∠BAD=60°+∠∵∠EAC= BAD，∴△EAC≌△11AM.??S?SBDCE.AN CE=BD ∴BAD VV EAC22AN=AM∴（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）AF平分∠DME∴ED.⊥求证：FDAB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.21.如图，已知：连接AD.证明：BC的中点D是AB=AC ∵∠A=90°（直角三角形中，中线等于斜边的一半）CAD AD=BD B=45°=∠⊥BC ∠ADB=90°∠AD∴BE=AF且SAS）≌△∴易证△BEDAFD （∠ADB=90°∠∠∴∠BDE=ADF ∵∠ADE+EDB=ADE=90°∠∴∠ADF+⊥FDED∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_____°.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_____.第二章不等式(组)不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）xy-y -x＞D．-2y C．-2x＜＜A．x-2y-2 B．＜221.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.2，则a的取值范围是a x＜＞1. (2) 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为1?a0 利用不等式的基本性质三：a-1＜提示：x?a?0?的解集是3<（3）如果不等式组x<5,那么a=3,b=-5. ?x?b?0?提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b而不等式组的解集为：3<x<5∴a=3,b=-5x?8?无解,那么m的取值范围是(4) 如果不等式（B）?x?m?A．m＞8 B.m≥8 C.m＜8 D.m≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】x?8?4x?1?x?3，则m的取值范围是(A )如果不等式组(5)的解集是．?x?m?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3m＜D．C．m=3 m≥3 A．m≤3 B．解不等式组得提示：不等式组解集：同大取大；3x?=”就满足题意】【而该不等式组的解集是“=”一定要考虑，这个题取“，∴m≤3??1x?2?x?3?6?25?ax??≤的不等式组．有三个整数解，则的取值范围是＜a(6)关于x25??36?x2a?5??3?解该不等式组得解：∵有三个整数解6a+10＜x＜∴23,4,5 ∴三个整数解应该是6 ＜6a+10≤∴525?? a解得≤＜36,m?2x?y??my. 的取值范围的解】【自己解答(7) 若方程组，均为正数，求?x3m??5y?64x?y均为正数，列，y 用含m的式子表示出来，然后利用提示：先将m当作已知数，将x、x的取值范围的不等式组，解出出含mm不等式组的结果不能写成大括号的形式2.解不等式（组）【】【自己解】）?1（3x2x?11??）解不等式，并将解集在数轴上表示出来；（123)1(x?x?1?35??，并把它的解集表示在数轴上）解不等式组.（2115x?2x????1?23?3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，找出与x轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.?0）的图象如图所示，则关于x为常数，bk的不等、（＋＝函数(1)ykxbk式kx+b>0的解集为（C）．只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权x>2D．x<2 C B．x<0 ．A．x>0xy?kx?bl::ly?k在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则（2）直线与直线2112x x?kkx?b的不等式关于的解x<-121一元一次不等式（组）应用题4.，则此商品8%600元，打折销售后要保证获利不低于◆一件商品的进价是500元，标价为.9折最多打；②获利是在进；“售价”也叫“标价”商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”x价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10折．设可以打x解：x8% ≥那么（600×-500）÷50010．9解得x≥．故答案为：9斤．价格为30◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20y?x元．后来他以每斤y 每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）2x xxxyyyy D ．C B．> ．≥≤<y2030x?根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是解：50yx?元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则以每斤2y?20yx?30x＞250y＞解得：x只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权＞y∴赔钱的原因是x该商场为促销制5元。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式，则k 的值是 。

二、下列说法正确的是（ ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

C 、将分式24ab a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。

D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ，其中4=x六、解分式方程：xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数。

八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。

求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式，则k 的值是 。

二、下列说法正确的是（ ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

C 、将分式24a b a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。

D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ，其中4=x六、解分式方程：xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数。

八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。

求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63 三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。