2[1].4.3十字相乘、选主元、双十字相乘法(一).讲义学生版

十字相乘法分解因式学生/课程年级学科授课教师日期2020-12-04 时段核心内容用十字相乘法分解二次三项式课型教学目标1、理解十字相乘法的根据；2、能用十字相乘法分解二次三项式；重、难点1、掌握十字相乘法分解因式；2、理解并熟练掌握二次项项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．知识导图知识梳理1．二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式 (a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．导学一：二次项系数为1的十字相乘法知识点讲解 1例 1. [单选题] 如果二次三项式可分解为，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．1 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）a2－7a+6；例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）a2－4ab-5 ；（2）例 4. 阅读材料：分解因式：x2+2x-3解：原式=x2+2x+1-1-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2-4mn+3n2；（2）无论m取何值，代数式m2-3m+2015总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值．我爱展示1. [单选题] 两整式相乘的结果为-a-12 的是（）A．(a+3)(a-4) B．(a-3)(a+4) C．(a+6)(a-2) D．(a-6)(a+2)2.把下列各式分解因式：（1）y2+5y+4；（2）b2－7b-8；3.用十字相乘法分解下列因式（1）(ab)2－4ab-5；（2）(a+1)2－4(a+1)+34.阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．导学二：二次项系数不为1的十字相乘法知识点讲解 1：例 1. [单选题] 如果二次三项式2可分解为(2x-1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．4 D．2例 2. 把下列各式分解因式：（1）；（2）．例 3. 用十字相乘法分解下列因式（1）2a2－ab- ；（2）例 4. 阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2= ．我爱展示1. [单选题] 如果二次三项式2 可分解为(2x+1)(x+a)，那么a＋b的值为( )A．－2 B．－1 C．3 D．22.把下列各式分解因式：（1）6x2－11x+3；（2）3a2－7a－63.用十字相乘法分解下列因式（1）4a2－3ab- ；（2）4.如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a，宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2图③（1）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+5ab+2b2，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式3a2+5ab+2b2分解因式为．（2）如图③，是用B类长方形（4个）拼成的图形，其中四边形ABCD是大正方形，边长为m，里面是一个空洞，形状为小正方形，边长为n，观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）①= 2 （a2+b2 ）；②；③= 4ab限时考场模拟： __分钟完成1.[单选题] 下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y）D．2x+4=2（x+2）2.[单选题] 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．B．C．D．3.[单选题] 把多项式分解因式，结果正确的是（）A．2（-8）B．2 C．2（x+2）（x-2）D．2x（x-4）4.[单选题] 已知多项式因式分解为，则b、c的值为（）．A．B．C．D．5. 分解因式（1）a2（x﹣y）+（y﹣x）= ；（2）2m2﹣8n2=．6.两名同学将一个二次三项式进行因式分解时，一名同学因为看错了一次项系数而分解成，另一位同学看错了常数项而分解成，请写出原多项式并将它因式分解.7.分解因式：（1）（2）8. 用十字相乘法分解下列因式（1）x 2－11x+10；； （2）a 2－2a －3； （3）2x 2－11x+5；； （4）4a 2－7a －2； （5）x 2－3xy+2 ； （6）3a 2－8ab -3自主学习1. [单选题] 下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）.B ．D ．2. [单选题] 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．B ．C ．D ．3. [单选题] 下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）.A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bxB ．C ． ﹣1=（y+1）（y ﹣1）D ．ax+by+c=x （a+b ）+c4. [单选题] 将（﹣2）2015+（﹣2）2016因式分解后的结果是（ ） A ．22015B ．﹣2C ．﹣22015D ．﹣15. 已知x+y=6，xy=4，则x 2y+xy 2的值为 ．6. 因式分解：（1）； （2）．7. 已知二次三项式2x 2+3x ﹣k 有一个因式是（2x ﹣5），求另一个因式以及k 的值．A ． C ．8.（1）用乘法公式计算①；②（2）根据= ，分解因式。

因式分解的一点补充——十字相乘法（适用于新课标人教版八年级数学上册）青山初级中学李鑫教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。

教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。

难点：灵活运用十字相乘法因分解式。

教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。

因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).课前练习：下列各式因式分解1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48；3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。

我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。

二、新课例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。

双十字相乘法双十字相乘法分解形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。

则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=（x+2y-1）（3x-y+4）分解二次五项式要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例：ab+b2+a-b-2=0×1×a2+ab+b2+a-b-2=（0×a+b+1）（a+b-2）=（b+1）（a+b-2）分解四次五项式提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。

例：2x4+13x3+20x2+11x+2=2y2+13xy+15x2+5y+11x+2=（2y+3x+1）（y+5x+2）=（2x^2+3x+1）（x^2+5x+2）=（x+1）（2x+1）（x^2+5x+2）因式分解法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作数，于是上式可变形为2x2-（5+7y)x-（22y2-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕=(x+2y-3）（2x-11y+1）．这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．双十字相乘法(因式分解)分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．可分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．1、x2-y2＋2yz-z22、(1-xy)2-(y-x)23、x2y2-x2-y2-6xy＋44、x3＋3x2-45、4x2＋8x＋36、9x2-30x＋257、39x2-38x＋88、4x2-6ax＋18a29、20a3bc-9a2b2c-20ab3c10、x2＋ax-12＝(x＋b)(x-2）11、2x＋1是不是4x2＋5x-1的因式？12、若x＋2是x2＋kx-8的因式，求k13、若2x3＋11x2＋18x＋9＝(x＋1)(ax＋3)(x＋b)，则a-b＝14、若a2＋b2＋c2＋4a-8b-14c＋69＝0，求a＋2b-3c的值15、mx2-m2-x＋116、a2-1-2ab＋b217、ab(x2-y2)＋xy(a2-b2)18、xy2-2xy-3x-y2-2y-119、7(x-1)2＋4(x-1)(y＋2)-20(y+2)220、x2+3xy+2y2+4x+5y+321、2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。

因式分解的几种方法(一提二套三分四造),换元法和十字相乘法的运用因式分解是代数运算中的一项重要技能，它可以帮助我们将复杂的表达式简化，便于理解和计算。

在中学数学学习中，我们通常会接触到多种因式分解的方法，其中包括一提二套三分四造、换元法、十字相乘法等。

本文将对这些方法进行详细介绍，以帮助大家更好地掌握因式分解的技巧。

一、一提二套三分四造1. 一提：提取公因式提取公因式是将多项式中的公共因子提取出来，从而简化表达式。

例如，对于表达式x^2 +2x +1，我们可以提取出公因式x，得到x(x +1)^2。

2. 二套：套用公式套用公式主要包括平方差公式和完全平方公式。

平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)完全平方公式：a^2 ±2ab + b^2 = (a ± b)^2例如，对于表达式x^2 -4，我们可以利用平方差公式分解为(x +2)(x -2)。

3. 三分：分组分组是将多项式中的项进行分组，从而便于提取公因式或使用其他分解方法。

例如，对于表达式x^3 +6x^2 +9x，我们可以将x^3+6x^2分为一组，9x分为一组，然后分别提取公因式，得到x(x +3)(x +3)。

4. 四造：创造公因式创造公因式是指在多项式中寻找隐藏的公因式。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以将6分解为2 ×3，然后找到公因式(x +2)，得到(x +2)(x +3)。

二、换元法换元法是将多项式中的某一项或几项替换为新的变量，从而简化表达式。

通过换元，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，便于分解。

例如，对于表达式x^2 +5x +6，我们可以令x +2 = y，得到y^2 -3y +2 = (y -1)(y -2)。

三、十字相乘法十字相乘法是一种分解二次多项式的方法。

对于表达式ax^2 + bx + c，我们可以通过构造一个十字相乘的表格，从而找到分解式。

十字相乘法顺口溜是什么
十字相乘法是初中数学阶段非常重要的一个知识，今天为大家整理十字相乘法的口诀，仅供大家参考。

十字相乘法概念
十字相乘法是因式分解中12种方法之一。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

十字相乘法的口诀
1.首尾分解，交叉相乘，求和凑中，平行书写。

竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

2.竖分常数交叉验
（1）竖分二次项和常数项, 即把二次项和常数项的系数竖向写出来,
（2）交叉相乘, 和相加, 即斜向相乘然后相加,得出一次项系数,
（3）检验确定, 检验一次项系数是否正确。

3.横写因式不能乱，即把因式横向写,而不是交叉写, 这里不能搞乱。

十字相乘法重难点
难点：灵活运用十字分解法分解因式。

因为并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法分解因式。

重点：正确地运用十字分解法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。

9.15 十字相乘法教学目标:1.理解十字相乘法的概念2.掌握用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.3.通过课堂交流思考,形成从特殊到一般,从具体到抽象的思维品质.教学重点:用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.教学难点:如何运用十字相乘的方法来因式分解.教学突破口:从乘法公式中的多项式乘以多项式的公式,利用逆向思维,找出公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab中的a,b,使a+b等于一次项系数,ab等于常数项.教学过程: 9.15十字相乘法一、复习导入：计算口答:1. (x+2)(x+1) 2. (x-2)(x+3)3. (x-1)(x-5)4. (x+3)(x-4)(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x－4)(3) (x－3)(x+4) (4) (x－3)(x－4)2．问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?[在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ]二、探索新知1、观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.2、体会与尝试：①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2－ 2x －3将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).x +3x +13x + x = 4x②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.③拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：6= ； 12= ； 24= ；-6= ； -12= ； -24= .④练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x2－7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12；(4) x2－11x－12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2－x－12；一. 复习引入.回顾一下多项式乘以多项式的乘法公式:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab那么我们说,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)符号规律:q＞0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同.q＜0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.二. 新课探究:1.如何将x2+3x+2分解因式?——(不是完全平方公式,因此不能用完全平方公式来分解.) 小组讨论,进行探究.如果没有结论,则提示: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)我们只要使二次三项式中x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)找出规律:只要使二次三项式中常数项q化为ab,即两数之积;把一次项系数p化为(a+b),即两数之和,就可以了.则x2+3x+2= x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)我们也可以借助十字交叉线来分解,即把x2分解为x×x,常数项2分解为1×2.x2+3x+2=(x+1)(x+2)x 2x×1则x+2x=3x.定义:利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.2.体会与尝试.1).因式分解:x2+4x+3 x2+7x+62).试一试:把下列各数表示为两个整数的积的形式(尽可能多的表示出来).6= ＿＿ -6= ＿＿12= ＿＿-12= ＿＿24= ＿＿ -24= ＿＿3.例1.分解因式.1) x2-7x+12 2). x2-11x-12 3). x2-4x-12 4). x2+8x+125). x2+13x+12 6). x2-x-12(通过对比,找出分解的规律,让学生感受成功的喜悦!)符号规律:q＞0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同.q＜0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.4.例2.分解因式:1) x2+5xy-24y2 2). x4-5x2-36 3).(2x+y)2+6(2x+y)-27三.练一练.1). x2+8x-20 2). x2-5x-24 3). x2+12x+27 4). x2-3x-41). x2+6xy-16xy2).x4+13x2+36 3).(a+b)2-15(a+b)+56 4).(a2+a)2-8(a2+a)+12 5).a x4-14ax2-32a例题：1、把m²+4m-12分解因式分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -21 ╳ 6所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）2、解方程x²-8x+15=0分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。

十字相乘法公式技巧
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意相乘时要带上系数前边的负号，否则无法与原式相等。

十字相乘法是因式分解的方法之一，也可应用于二次函数求解，二元一次方程求根。

因式分解定义
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法
十字相乘法、提公因式法、公式法、双十字相乘法、轮换对称法、拆添项法、配方法、因式定理法、换元法、综合除法、主元法、特殊值法、待定系数法、二次多项式法。

十字相乘因式分解法（实用版）目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法的基本原理3.十字相乘法的具体步骤4.十字相乘法的应用举例5.十字相乘法的优点与局限性正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法，又称为“十字相乘因式分解法”，是一种常用的因式分解方法。

这种方法主要适用于两个数的乘积为四位数或者更高位数的情况。

它通过将两个数的个位数相乘得到一个两位数，然后将这个两位数分解为两个一位数的乘积，再将这两个一位数分别乘以两个数的十位数，最后将四个乘积相加，从而得到原数的因式分解式。

【2.十字相乘法的基本原理】十字相乘法的基本原理是将一个四位数分解为两个两位数的乘积，而这两个两位数分别是由原数的个位数和十位数相乘得到的。

具体来说，设原数为 abcd，其中 a 和 b 为十位数，c 和 d 为个位数，则可以将原数分解为 (10a+c)(10b+d) 的形式。

【3.十字相乘法的具体步骤】(1) 将原数的个位数与十位数相乘，得到一个两位数 ac。

(2) 将这个两位数 ac 分解为两个一位数的乘积，即 a 和 c。

(3) 将原数的十位数分别乘以 a 和 c，得到两个乘积 10a 和 10c。

(4) 将原数的个位数分别乘以 b 和 d，得到两个乘积 bd 和 cd。

(5) 将这四个乘积相加，即 10a+ac+10b+bd=10(a+b)+(ac+bd)，得到原数的因式分解式。

【4.十字相乘法的应用举例】以原数 325 为例，按照十字相乘法的步骤进行分解：(1)3×2=6，得到两位数 62。

(2)62 分解为 2 和 31，即 62=2×31。

(3)3×2=6，1×3=3，得到两个乘积 6 和 3。

(4)2×3=6，5×1=5，得到两个乘积 6 和 5。

(5) 将四个乘积相加，即 6+3+6+5=20，得到原数的因式分解式325=(5×6)(3×4)=15×12。

初中数学十字相乘法摘要：一、十字相乘法概念二、十字相乘法步骤1.首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式2.其次，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间3.接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果4.最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果三、十字相乘法应用与实际问题四、总结与回顾正文：初中数学十字相乘法是一种计算多项式乘积的方法，它通过将两个多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间，最后将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果并相加，得到最终结果。

这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。

首先，我们需要了解十字相乘法的概念。

十字相乘法是一种计算两个多项式乘积的方法，其核心思想是将多项式分解成两个括号相乘的形式，然后将每个括号中的项相乘并将结果填写在十字中间。

这种方法可以帮助我们快速、准确地计算多项式乘积，是初中数学中一个重要的知识点。

其次，我们需要了解十字相乘法的具体步骤。

首先，将两个多项式写成两个括号相乘的形式。

例如，对于多项式3x^2 + 6x + 4，我们可以将其写成(3x^2 + 6x) + 4的形式。

接下来，将每个括号中的项相乘，并将结果填写在十字中间。

在这个例子中，我们可以得到以下十字相乘法：```3x^2 6xx 3x^2 6x------- ----3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```接着，将十字相乘法分解成两个部分，分别计算每个部分的结果。

在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 6x^2+ 9x^2 18x------- ----3x^3 8x^2```最后，将两个部分的结果相加，得到最终结果。

在这个例子中，我们可以得到以下结果：```3x^3 8x^2+ 9x^2 18x------- ----12x^2 26x```因此，多项式3x^2 + 6x + 4与多项式2x + 4相乘的结果为12x^2 + 26x + 16。