高三上学期第三次月考数学(文)试题

新疆昌吉市教育共同体2019届高三上学期第三次月考（12月）数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，，则A. B. 0，1， C. D. 1，【答案】C【解析】解：集合或，0，1，，则．故选：C．化简集合M，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中，值域为的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：，该函数的值域为；B.，，，，，该函数的值域为；C.，即该函数的定义域是由孤立的自然数组成，所以值域也应是不连续的数构成；D.，该函数的值域为，所以该选项正确．故选：D．A中的函数变成：，B中的函数可以变成：，由可得到，C中的函数的值域显然不连续，所以便选D．考查值域的概念，以及通过化简原函数解析式来求函数值域的方法，由定义域的不连续便得到值域不连续．3.若，则下列不等式关系中，不能成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于A选项：因为，不等式两边同时除以ab得：，故A正确，对于B选项：因为，所以，不等式两边同时除以得：，故B正确，对于C选项：因为，则，又，所以，故C 正确，对于D选项：因为，不等式两边同时除以ab得：，由函数，为减函数，所以，故D错误故选：D．由不等式的性质，用排除法即可本题考查了不等式的基本性质，属简单题．4.若函数在区间上递减，且有最小值1，则的值可以是A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】解：在上是递减的，且有最小值为1，，即．检验各数据，得出B项符合．故选：B．根据函数在此区间上的单调性切有最小值求得的值，进而求得的值的集合，对四个选项逐一验证即可．本题主要考查了三角函数的单调性及最值问题考查了考生的分析问题的能力．5.已知等差数列的公差为3，且其前n项和为，若，则A. B. 3 C. 2 D.【答案】D【解析】解：等差数列的公差为3，且其前n项和为，，由题意可得，解得，则．故选：D．由题意可得，求出，由此能求出．本题考查等差数列的第2项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.已知，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，则，故选：C．利用诱导公式求得的值，再利用二倍角公式进行化简三角函数式，可的结果．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．7.设x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. C. 4 D. 5【答案】C【解析】解：由题意作出其平面区域，由解得，经过可行域A时，取得最大值，此时，时，有最大值，故选：C．由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8.已知等比数列的前n项和为，，且，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，等比数列中，设其公比为q，若，则，解可得：，则；故选：D．根据题意，设该等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式可得，变形可得q的值，又由，变形可得答案．本题考查等比数列的前n项和的计算，涉及等比数列的性质，属于基础题．9.在1和17之间插入个数，使这n个数成等差数列，若这个数中第一个为a，第个为b，当取最小值时，n的值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：根据题意，设这n个数组成的数列为，则有，，当且仅当时等号成立，又由，则，，这个数列首项为1，公差为，最后一项为17，则有，解可得；故选：D．根据题意，设这n个数组成的数列为，分析可得，又由，由基本不等式的性质可得当且仅当时，取得最小值，分析可得a、b的值，结合等差数列的性质分析可得答案．本题考查等差数列的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．10.如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：为BC的中点，，又，O，N三点共线，，得．扇形的面积为．故选：A．由题意可求，由M，O，N三点共线，可求，利用扇形的面积公式即可计算求解．本题考査向量的线性运算，考查了平面向量的运算，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．11.若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的最大值为A. B. C. D. 1【答案】B【解析】解：，令，，并代入不等式，则问题转化为不等式在，上恒成立，即解得．则实数a的最大值为：．故选：B．利用诱导公式以及二倍角公式化简表达式，通过三角代换结合函数恒成立，列出不等式组，求解即可．本题考査结合三角函数的二次不等式解法的问题．12.在数列中，，其前n项和为若点在直线上，则等于A. 1290B. 1280C. 1281D. 1821【答案】C【解析】解：点在直线上，可得，又，所以数列是首项为1公比为2的等比数列，所以，得，当时，，故．故选：C．利用点在直线上，推出递推关系式，推出数列是首项为1公比为2的等比数列，求出通项公式，然后求解即可．本题考査等差数列的综合性质递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集为______．【答案】或【解析】解：根据题意，且，解可得：或，则原不等式的解集为或；故答案为：或根据题意，原不等式等价于且，解可得不等式的解集，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是将原不等式变形为整式不等式．14.正项等比数列中，，，则______．【答案】254【解析】解：设正项等比数列的公比为q，则，，，，解得，或舍去故答案为：254由已知数据可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．15.已知函数，若，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数是奇函数，，故在R递增，若，则，故，即，解得：，解得：，故答案为：．求出函数的导数，得到函数的单调性，结合函数的奇偶性以及单调性得到关于t的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．16.若等边的边长为2，平面内一点M满足，则的值为______．【答案】【解析】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，，，则，，所以，所以，所以，所以．故答案为：．根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算向量的数量积即可．本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数，，且的解集为．求m的值；若a，b，c都为正数，且，证明：．【答案】解：函数，，且的解集为，可得的解集为，所以．因为a，b，c都为正数，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即．【解析】运用绝对值的解法，即可得到所求值；运用乘1法和基本不等式，即可得到证明．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用绝对值的含义，考查不等式的证明，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．18.已知等比数列中，，．求数列的通项公式；若，设，且数列的前n项和为，求．【答案】解：在等比数列中，，．，解得，当时，数列的通项公式为：．当时，数列的通项公式为：．即或．，，，数列的前n项和为．【解析】求出数列的公比，然后求解数列的通项公式；若，求出，利用裂项消项法求解数列的前n项和为．本题考查等比数列的通项公式与裂项求和法考查转化思想以及计算能力．19.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，，且AD为BC边上的中线，AE为的角平分线．求线段AD的长；求的面积．【答案】解：根据题意，，，，，，，由余弦定理可得，，，在中，由余弦定理得，解得．根据题意，因为AE平分，所以，故，变形可得，，则，所以．【解析】在中，利用余弦定理计算BC，再在中利用余弦定理计算AD；根据三角形的面积公式可得故，得出CE，于是．本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角三角形的面积公式，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用．20.已知数列的前n项和为，，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，．即；当时，，由可得，即数列是以3为首项和3为公比的等比数列，故．由知，则，则，，由得故．【解析】由已知中，利用法，可得数列是以3为首项和3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式；由知，利用错位相减法，可得数列的前n项和．本题考査数列通项公式的求法与数列求和中错位相减法的运用，难度中档．21.学校计划制作一些铁皮箱子，需要小号铁皮100块，大号铁皮45块已知市场出售A、B两种不同规格的铁皮，经过测算，A种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮3块，小号铁皮10块；B种规格的铁皮可同时裁得大号铁皮6块，小号铁皮12块已知A 种规格铁皮每张195元，B种规格铁皮每张260元分别用x，y表示购买A、B两种不同规格的铁皮的张数．用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；根据施工需求，A、B两种不同规格的铁皮各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数．【答案】解：由题意可得x，y满足的数学关系式为，则对应的平面区域如图所示：设花费资金为z元，则目标函数为，得，平移直线，由图象得当直线经过可行域中的M点当M为整点或靠近M 的整点时，截距最小，此时z最小．由，得，此时可行域里的整点为时z有最小值，最小值，即购买A，B两种铁片分别为3张，6张时，花费资金最少，为2145元．【解析】由题意可得x，y满足的数学关系式为，画出可行域即可．设花费资金为z元，则目标函数为，得，利用目标函数的几何意义求解最值即可．本题考査线性规划和基本不等式的应用考查数形结合以及计算能力．22.已知函数若，求的单调区间；若恒成立，求a的值．【答案】解：，，，令，得或；令，得，所以函数的单调増区间是，，单调减区间是；记，要证恒成立，又，即证恒成立．要满足式，即要在时取得最大值．，令，解得：．当时，，当时，；当时，，当时，在上单调递增；在上单调递减，从而符合题意．所以．【解析】求出a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；记，问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。

福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学（文）（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则AB = （ ）A ．()3,1--B ．(]3,5 C.()13-， D.(]3,5- 2．已知角α的终边经过点)3,4(-，则=αcos （ ）A ． 54B ．53C ．53-D ．54-3. 已知i 为虚数单位, 则复数z =i (2+i ）在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．下列函数中, 在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y =2(1)y x =- C. 2x y -= D. 0.5log y x =5.如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a =（ ）A.1B.13-C. 23- D. 2- 6. 为了得到函数()sin(2)6f x x π=+的图象，则只要将()sin 2g x x =的图像（ ）A. 向右平移π12个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D. 向左平移π6个单位长度7．设向量a ,b 满足||=10a b +，||=6a b -，则a b ⋅=( )A.1B.2C.3D.58．中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为430x y +=，则该双曲线的离心率为( )9．程序框图如右图所示，则输出的值为( ) A ．15B ．21C ．22D ．281,0n S ==10．函数log 1(0,1)m y x m m =+>≠的图像恒过定点M ，若点M 在直线1(0,0)ax by a b +=>>上，则14a b+的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1211．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304-（，）成中心对称图形，且满足3()()2f x f x =-+，(1)1f -=,(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2014)f f f f ++++的值为( )A.1B.2C. 0.-2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置. 13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.14．已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是15．P 是抛物线24x y =上一点，抛物线的焦点为F ，且5PF =，则P 点的纵坐标为________．16. 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确命题的编号)100 80 90 110 120 底部周长(第13题)①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3x y = ②直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线C ：x y e =三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且3,a =3=b ,31cos =B . (Ⅰ)求边c 的长度； (Ⅱ)求)cos(C B -的值.18（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，且点,1()n n a a +在函数1y x =+的图象上(n N*)∈,数列{}n b 是各项都为正数的等比数列，且242,8b b ==. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足(1)n n n n c a b =-+，记数列{}n c 的前n 项和为n T ,求100T 的值.19．（本小题满分12分）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“街舞”社团抽取的同学8人。

泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。

天津一中2022-2023-1高三年级第三次月考数学试卷（答案）本试卷总分150分，考试用时120分钟。

考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合3{Z |Z}1A x x=∈∈-，2{Z |60}B x x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{2} B ．}{2,0,2- C ．{}2,1,0,1,2,3,4-- D ．}{3,2,0,2,4--【详解】{A x =∈2Z |x x --{2,1,0,1,2,3,4--．，b ，c 为非零实数，则“A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质可判定“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，然后利用列举法判定“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，从而可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞c ，∴a ＞c ，b ＞c ，则a +b ＞2c ， 即“a ＞b ＞c ”能推出“a +b ＞2c ”，但满足a +b ＞2c ，取a ＝4，b ＝﹣1，c ＝1，不满足a ＞b ＞c ， 即“a +b ＞2c ”不能推出“a ＞b ＞c ”，所以“a ＞b ＞c ”是“a +b ＞2c ”的充分不必要条件， 故选：A ．3、已知2log 0.8a =，0.12b =，sin 2.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b<c<a 【答案】B【详解】因为22log 0.8log 10<=，0.10122>=，0sin 2.11<<， 所以a c b <<， 故选：B 4、函数2sin ()1x xf x x -=+的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值来确定正确选项. 【详解】由题意，函数2sin ()1x xf x x -=+的定义域为R ， 且22sin()sin ()()()11x x x xf x f x x x -----===--++，所以函数()f x 奇函数，其图象关于原点对称，所以排除C 、D 项，2120212f πππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以排除B 项． 故选：A5、已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C．y = D．y =【答案】C【解析】由题意，1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，且满足1221:||:2:3:4F F F M F M =，可得122F F c =，23F M c =，14F M c =， 由双曲线的定义可知21243a F M F M c c c =-=-=，即2c a =，又由b ==，所以双曲线的渐近线方程为y =．故选：C ．6、设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S = （ ）A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾． 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q S qq--++===--，则332q=， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q q S qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=．故选：B ． 7、直线1y kx =-被椭圆22:15x C y +=截得最长的弦为（ ） A ．3 B ．52C ．2D【答案】B【解析】联立直线1y kx =-和椭圆2215xy +=，可得22(15)100k x kx +-=，解得0x =或21015kx k =+，则弦长21015kl k =+，令215(1)k t t +=≥，则10l === 当83t =，即k =，l 取得最大值55242⨯=， 故选：B8、设函数()sin()(0)4f x x πωω=->，若12()()2f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，则（ ）A ．函数()f x 的周期为3πB ．将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数为奇函数 C ．当(,)63x ππ∈，()f x的值域为D ．函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个 【答案】D【解析】由题意，得23T π=，所以23T π=，则23T πω==，所以()sin(3)4f x x π=-选项A 不正确； 对于选项B ：将函数()f x 的图像向左平移4π个单位，得到的函数是 ()sin[3()]cos344f x x x ππ=+-=为偶函数，所以选项B 错误；对于选项C ：当时(,)63x ππ∈，则33444x πππ<-<，所以()f x的值域为，选项C 不正确；对于选项D ：令()0,Z 123k f x x k ππ=⇒=+∈，所以当3,2,1,0,1,2k =---时，[,]x ππ∈-，所以函数()f x 在区间[,]-ππ上的零点个数共有6个，D 正确， 故选：D ．9、设函数()(),01,,10,1xx mf x x x m x ⎧≤<⎪⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩，()()41g x f x x =--.若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]11,1,4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}11,15⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】C 【详解】令()()410g x f x x =--=，则()41f x x =+，当01x ≤<时，41xx m=+，即4x mx m =+，即函数1y x =与24y mx m =+的交点问题，其中24y mx m =+恒过A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.当10x -<<时，()411x x m x -=++，即1114mx m x -+=++，即函数3111x y =-++与24y mx m =+的交点问题 分别画出函数1y ，2y ，3y 在各自区间上的图象： 当2y 与3y 相切时，有且仅有一个零点，此时()411xx m x -=++，化简得：()24510mx m x m +++=，由()2251160m m ∆=+-=得：11m =-，219m =-（舍去）当直线2y 的斜率，大于等于直线1y 的斜率时，有且仅有一个零点，把()1,1B 代入24y mx m =+中，解得：15m =，则15m ³综上，m 的取值范围是{}11,5⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10、已知复数z 满足()2i i z -=，则5i z -=___________．【答案】3【解析】因为圆22:20(0)C x ax y a -+=>的标准方程为：()222x a y a -+=，所以圆必坐标为(,0)a ，半径为a ，由题意得：32a a += 解得：3a = ，故答案为：3.12、已知3π3sin 85α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】725-【解析】2πcos 2cos 22cos 1488ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦232cos 182ππα⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦223372sin 1218525πα⎛⎫⎛⎫=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：725- 13、直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，l 过抛物线2:4C y x =的焦点，交C 于A ，B 两点，若||5AB =，则E 的离心率为_______．【详解】依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为1x my =+，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得：2440y my --=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，则2212||()4(1)5AB y y m ++=，解得：12m =±，∴直线l 的方程为220x y +-=或220x y --=；直线的斜率为：2±．直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的一条渐近线平行，可得2b a =，所以22224b a c a ==-，1e >，解得e =故14、已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为_______． 【答案】9lg2【解析】由已知，令lg 2log 2lg a m a ==，lg 4log 4lg b n b==， 所以lg 2lg a m =，lg 42lg 2lg b n n ==，代入lg 12lg a b =-得：lg 24lg 21m n+=， 因为1a >，1b >，所以lg 24lg 24log 2log 4()1()()5lg 2(lg 2lg 2)a b m nm n m n m n n m+=+⨯=++=++ 2lg 25lg 25lg 24lg 29lg 2n m≥+=+=．当且仅当4lg 2lg 2m n n m=时，即1310a b ==时等号成立． log 2log 4a b +的最小值为9lg2． 故答案为：9lg2．15、在Rt ABC 中，90C ∠=，若ABC 所在平面内的一点P 满足0PA PB PC λ++=，当1λ=时，222PA PB PC+的值为 ；当222PA PB PC+取得最小值时，λ的值为 ．【答案】5；-1【解析】（1）如图5-26，以C 为坐标原点建立直角坐标系， 因为0PA PB PC λ++=，所以点P 为ABC 的重心，设BC a =，AC b =，所以(),0A b ，()0,B a ，易得,33a b P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222222411499991199a b a b PA PBPC b a ++++=+5=． （2）设(,)P x y ,则(,),(,),(,)PA b x y PB x a y PC x y =--=--=--, 所以2,2,b x x a y y λλ-=⎧⎨-=⎩可得(2),(2),b x a y λλ=+⎧⎨=+⎩于是222222222||||()()||PA PB x b y x y a x y PC +-+++-=+()222222222x y bx ay a b x y +--++=+ 22222222(2)(2)2(2)2(2)2x y x y x y λλλλ+++-+-+=++()()222222222x y x y λλλλ+++=++ 2222(1)11λλλ=++=++…当1λ=-时取等号,所以222||||||PA PB PC +的最小值为1． 故答案为：5；-1．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、如图，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos cos 0B a C c A ++=． （1）求B ；（2）若2AB CD ==，ABC 的面积为2，求AD ． 【答案】（1）34B π=；（2）4=AD ．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式即可得到cos B=出B；（2）由三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求出AC，即可求出cos CAB∠，依题意cos cosCAB CAD∠=∠，最后利用余弦定理得到方程，解得即可；【详解】（1）cos cos cos0B aC c A++=，cos sin cos cos sin0B B AC A C++=，()cos sin0B B A C++=，cos sin0B B B+=，因为0Bπ<<，所以sin0B>，所以cos B=34Bπ=．（2）因为ABC的面积2S=，所以1sin22==ABCS ac B，2=，所以a=由余弦定理得AC==所以222cos2AB AC BCCABAB AC+-∠==⋅因为AC平分BAD∠，所以cos cosCAB CAD∠=∠，所以2222cosCD AC AD AC AD CAD=+-⋅⋅∠，所以24202AD AD=+-⨯28160AD AD-+=，所以4=AD．17、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF⊥平面ABEF，//CD EF，2DF=，22EF CD==，2EN NC=，2BM MA=．（1）求证：//MN平面ACF；（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；（3）求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2；（3）45【详解】（1）证明：在EF上取点P，使2EP PF=，因为2EN NC=，所以//NP FC，于是//NP平面ACF，因为2BM MA=，四边形ABEF为正方形，所以//MP AF，所以//MP平面ACF，因为MP PN P =，所以平面//MNP 平面ACF ，因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面ACF ；（2）解：因为DF ⊥平面ABEF ，所以DF FA ⊥，DF EF ⊥， 又因为四边形ABEF 为正方形，所以AF EF ⊥，所以FA 、FE 、FD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， (2AD =-，0，2)，(2EB =，0，0)，(0EC =，1-，2)，设平面BCE 的法向量为(m x =，y ，)x ， 2020EB m x EC m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，(0m =，2，1)， 所以直线AD 与平面BCE所成角的正弦值为||2||||22AD m AD m ⋅=⋅⋅ （3）解：(2FA =，0，0)，(0FC =，1，2)， 设平面ACF 的法向量为(n u =，v ，)w ，2020FA n u FC n v w ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1w =-，(0n =，2，1)-， 由（1）知平面BCE 的法向量为(0m =，2，1)， 设平面ACF 与平面BCE 所成二面角的大小为θ，||33cos ||||55m n m n θ⋅===⋅⋅，4sin 5θ==．所以平面ACF 与平面BCE 所成二面角的正弦值为45． 18、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=． （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=．【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x yM x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM +=，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【详解】（1）解：因为2212tan 22b b a PF F c ac ∠==26b =，即()226a c -=， 则()261e -=，解得e =（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即212222144232344x x y y b ⎛⎫+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭⎭， 即()()()222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ ()()22222148444410k x kk x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+， 所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >， 所以21222x x b ⋅=-，AB 方程为112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④ 将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=， 经检验满足212b >， 所以椭圆C 的方程为22551164x y +=. 19、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且455=S 455=S ，40342=+a a .数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T 413=+)(*N n ∈.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）若1)23(+⋅-=n n n n n a a a b c ，求数列}{n c 的前n 项和n R ； （3）设n n n b S d =，求证：11248-=+-<∑n n k k n d . 【答案】（1）32+=n a n ，14-=n n b ；（2）51524-+=n R n n ；（2）证明见详解． 【详解】（2）；（3）124n n n n n b c b b ++=， 112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==， 则12124)2(444--+=++<n n n n n n c ，122-+<n n ． 设1122n n k k k S '-=+=∑， 11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑ 213422222n n n S +'∴=++⋯+ 12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--，1482n n n S -+'∴=- 综上，11248-=+-<∑n n k k n c ． 20、已知函数()e cos x f x x =，()cos (0)g x a x x a =+<，曲线()y g x =在π6x =处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0f x g x -≥恒成立，求实数t 的取值范围； （3）设方程()'()f x g x =在区间()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、…、n x 、…，求证：12n n x x +->π．【答案】（1）1a =-；（2）1t ≥；（2）证明见详解．【分析】（1）由'π362g ⎛⎫= ⎪⎝⎭来求得a 的值. （2）由()'()0f x g x -≥，对x 进行分类讨论，分离常数t 以及构造函数法，结合导数求得t 的取值范围.（3）由()'()f x g x =构造函数()e cos sin 1x x x x ϕ=--，利用导数以及零点存在性定理，结合函数的单调性证得12n n x x +->π.【详解】（1）因为()cos (0)g x a x x a =+<，则()'1sin g x a x =-， 由已知可得'π131622g a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-． （2）由（1）可知()'1sin g x x =+，对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()'()0tf x g x -≥恒成立， 即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立， 当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立； 当π02x -<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x+≥， 令1sin ()e cos x x h x x +=，其中π02x -<≤， ()()2'2e cos e (cos sin )(1sin )e cos x x x x x x x h x x --+=2(1cos )(1sin )0e cos x x x x-+=≥且()'h x 不恒为零， 故函数()h x 在π,02⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则max ()(0)1h x h ==，故1t ≥． 综上所述，1t ≥．（3）由()'()f x g x =可得e cos 1sin x x x =+，e cos 1sin 0x x x --=，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()'e (cos sin )cos x x x x x ϕ=--， 因为()ππ2π,2π32x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，则sin cos 0x x >>，所以，()'0x ϕ<，所以，函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减，因为π2π3ππ2πe cos 2π33n n n ϕ+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 2π13n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭π2π31e 12n +=π2π3e 102+≥>，π2π202n ϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 所以，存在唯一的()ππ2π,2π32n x n n n +⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭N ，使得()0n x ϕ=， 又1ππ2(1)π,2(1)π32n x n n +⎛⎫∈++++ ⎪⎝⎭()n +∈N ，则()1ππ2π2π,2π32n x n n n ++⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭N 且()10n x ϕ+=， 所以，()()12π112πe cos 2πn x n n x x ϕ+-++-=-()1sin 2π1n x +---12π11e cos sin 1n x n n x x +-++=--112π11e cos e cos n n x x n n x x ++-++=-()112π1e e cos 0n n x x n x ++-+=-<()n x ϕ=， 因为函数()ϕx 在()ππ2π,2π32n n n +⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭N 上单调递减， 故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π．。

陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 文满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．若复数（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ）A 。

6-B.2-C. 4D.62．已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U⋃=（ ）A. {}1,4 B 。

{}1,3,4 C 。

{}4 D 。

{}2 3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且b a ⊥，则32a b +=( )A.(7,2)B.(7,14)- C.(7,4)- D 。

(7,8)- 4．“2a =-"是“直线()12:30:2140l ax y lx a y -+=-++=与互相平行"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。

充分必要条件 D 。

既不充分也不必要条件5．已知}{na 为等差数列，若π=++951a a a,则)cos(82a a+的值为( ）A.21 B.23C 。

21- D 。

23- 6．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（）A.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 。

()(),22,-∞-+∞C 。

RD 。

()2,2-7．已知实数x,y满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为( ）A ．10B ．8C ．2D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ）A 。

3 B 。

33 C.332D.33410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3 B ．21-C ．21D 311．直线l ：(2y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直212221线l 倾斜角的取值范围是（ ）A 。

2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。

高级中学2012届高三上学期第三次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U={(x,y)｜x ∈R,y ∈R},A={(x,y)｜2x-y+m>0},B={(x,y)｜x+y-n ≤0}，那么点P(2，3)∈A ∩(C U B)的充要条件是A.m>-1且n<5B.m<-1且n<5C.m>-1且n>5D.m<-1且n>52．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）． A ．40 B ．30 C ．20 D ．36 3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[)6,10内的频数为（ ）A.8B.32C.40D.无法确定4、设21,F F 为椭圆1422=+y x 的两焦点，P 在椭圆上，当21PF F ∆面积为1时，21PF PF⋅的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、05.若直线mx+2ny-4=0(m,n ∈R)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-4=0的周长，则m ·n 的取值范围是 A.(0，1]B.(0，1)C.(-∞，1]D.(-∞，1)6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. 45B. 5C. 25D.57．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是( )．A ．4B . 12 C. 4(13)+ D . 88.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是2第7题图（A ）45 (B)35 （C ）25 (D)159.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．22 C ．13 D ．1210.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+A.12+B. 12-C. 322+D 322-11. 若函数f (x )=a x －1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x )=log a 11+x 的图象是二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上)12. 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )A ．[3-23,)+∞B ．[323,)++∞C ．7[-,)4+∞D ．7[,)4+∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上) 13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =,sin cos 2B B +=, 则角A 的大小为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同。

遂溪一中届高三级第三次月考数学（文科）试卷命 题： 戚 亮 审 题：廖堪文一．选择题（请将下列各题的四个选项中唯一正确的答案的代号填到答题卷中相应的答题处，每题5分，满分50分） 1．已知集合{}1(1)0,01P x x x Q x x ⎧⎫=-≥=>⎨⎬-⎩⎭，那么P Q ⋂等于（ ）Ａ．∅Ｂ．{}1x x ≥ Ｃ．{}1x x >Ｄ．{}10x x x ≥≤或2．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ） Ａ．π2Ｂ．πＣ．2πＤ．4π3．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 Ｃ．关于直线π4x =对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．图中的图象所表示的函数的解析式为 A ．|1|23-=x y ()02x ≤≤ B ．|1|1--=x y ()02x ≤≤C ． |1|23--=x y ()02x ≤≤ D ． |1|2323--=x y ()02x ≤≤6. 设p q ，是两个命题：251:||30:066p x q x x ->-+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<8．函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭， Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，9．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞10．已知函数2()sin (),(0,0,0)2f x A x A πωθωθ=+>><<，且()f x 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴的距离为2，并且过点(1,2)，则(1)(2)(3)(2006)f f f f ++++的值等于（ ）A ．2005B ．2006C ．2007D ．2008二、填空题 （每题5分，满分20分，请将答案填写在答题卷相应横线上） 11．()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． 12．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积是．13．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= ．14．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x ， 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 ．三、解答题：（本大题满分80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．16．（本小题满分12分）已知24()sin cos 2x f x a x x =+在6x π=时取到最大值，（1）求函数()f x 的定义域； （2）求实数a 的值。

贵州师大附中高三年级第三次月考数 学（文科） 2009.11.3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。

2. 选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

其余题目用黑色钢笔将答案直接写在答题卡上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设集合M ={x |x |<2，x ∈Z }，N ={-2，-1，0}，则M ∪N = ( )（A ）M （B ）N （C ）{-2，-1，0，1} (D ){-2，-1，0，1，2} （2）若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2}，值域为N ={y |0≤y ≤2}，则函数y =f (x )的图象可能是( )（3）设命题p ：x >2是x 2>4的充要条件，命题q ：若22cb ca，则a >b ．则 ( )（A ） “p 或q ”为真 （B ） “p 且q ”为真 （C ） p 真q 假 （D ） p ，q 均为假命题（4）已知函数f (x )=log a x ，其反函数为f -1(x )，若f --1(2)=9，则f (27)的值为 ( )（A ）3 （B ）1 （C ）21 （D ）31（5）函数f(x)=log 2(2x )与g (x )= (12)x-1在同一直角坐标系下的图象是（ ）（6）下列各图是正方体或三棱锥，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面．．．的的图象共有（A ）０个 （B ）１个 （C ）２个 （D ）3个（7）已知函数f (x )=x 3+x ，则a +b >0是f (a )+f (b )>0的 ( )（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（8）若f （x ）是偶函数，且当x ∈［0，＋∞）时，f （x ）＝x －1，则不等式f （x －1）＜0的解集是（ ）（A ）{x ｜－1＜x ＜0} （B ）{x ｜x ＜0或1 ＜x ＜2} （C ）{ x ｜0＜x ＜2} （D ）{ x ｜1＜x ＜2}（9）在21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是 （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( )（A ）120种 （B ）48种 （C ）36种 （D ）18种（11）已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x+2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最不值为 （ ） （A ）5 （B ）4 （C）5（D ）115（12）已知定义域为R 的函数f (x )对任意的x ∈R 满足f (x +1)=1()22f x -+,且1()2f =1,那么f (62)等于( )(A) 9个 (B) 62 (C) 64 (D) 83··· ·SP QR ·· · ·SP QR ·S ·P · Q ·R ·S ·P ·Q ·R数 学（理科）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（13）已知映射f ：A →B ,集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为log 3x ,那么A 中元素13的象是 .（14）已知点P （2，2）在曲线y =ax 3+bx 上.如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab = 。

宁夏银川市第一中学2014届高三上学期第三次月考数 学 试 卷（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数(2)12i i i+-等于A ．iB ．i -C ．1D ．—12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为A ．41B ．15C ．32D ．315．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥- ,则=λA ．4-B ．3-C ．2-D ．-16．函数321()2f x x x =-+的图象大致是7．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于（ ）A.21+B.21-C.223+D.223-xyOA. BCD xyOxyO xyO 18．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2B.-2C.12D.12-9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+10. 函数()412x xf x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称11. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，=++且||||=，则向量在CB 方向上的投影为A.3B. 3C. 3-D. 3-12．设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在．．零点的是 A ．[]4,2-- B ．[]2,0- C ．[]0,2 D ．[]2,4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知数列{a n }满足a 1=33, a n+1-a n =2n ，则a n = .14．在ABC ∆中，BC =52，AC =2，ABC ∆的面积为4，则AB 的长为 。

山西省朔州市应县一中2014届高三补习班上学期第三次月考数学（文）试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1. 图中阴影部分表示的集合是( )A. A ∩（B ） B （A ）∩BC. (A∩B)D. (A ∪B) 2. 下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（ ）A.a >b +1 B. a >b -1 C. 2a>2bD.3a >3b3. 在ABC ∆中, 已知060,34,4===B b a ,则角A 的度数为（ ）A ． 030 B ．045 C ．060 D ．0904．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )A ．－2B ．2C ．1D ．45. 函数在闭区间 [-3，0] 上的最大值、最小值分别是( )A ．1， 1B ．1，－ 17C ．3， －17D ．9， 1976．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是()7．设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，3()31f x x x =-+[215+],215+()A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 若函数()f x 的零点与()43xg x e x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A ．()21f x x =+B.()21f x x =-C.()21x f x =-D.()lg(2)f x x =-9． 如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点， O 为坐标原点， 则OA →·OB →的值为( )A.12πB.19π2＋1C.19π2－1D.13π2－1 10．设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1+ B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞11．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为 ( )A.23B.－23C.56D.－56 12.已知是定义在上的奇函数，且当时不等式f(x)+xf 1(x)＞0成立，若()0.30.333a f =⋅()y f x =R 0x>(),log 3log 3b f ππ=⋅，则大小关系是( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13. 复数512i+的共轭复数为 .14．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ． 15．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)的值为 ．16．下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)已知()απαπαcos ,53)6cos(,,0求=-∈18．(本小题满分12分)函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求 f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．19．(本小题满分12分)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．20．(本小题满分12分)已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围．a b c >> , , a b c 3311,log log 99c f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ c a b >> a c b>> c b a>>21．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…， f (a n )…(n ∈N)是首项为m 2，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．22. (本小题满分12分)已知函数x x a x x f ln )1( 21)(2---=，其中R a ∈．⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；⑵若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求a的取值范围．参考答案11．解析：记向量a 与b 的夹角为θ.注意到a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|a ||b |，即6cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，θ＝π，向量a ，b 反向且共线，∴a ＝－23b ，即(x 1，y 1)＝－23(x 2，y 2)，∴x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23，选B.12.【解析】令由题意知，由于f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，因为,所以. 二．13.i 21+ 14.15 15.6 16.115.[解析] 设BC 边中点为D ，则AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.16.①是“p 或q ”形式的复合命题，只要p 和q 中的一个真命题就真．故命题①真．②是“p 或q ”形式的复合命题，同理为真；③否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对角线也相等． [答案] 1 三．17.[解析]18.解析：由3－4x ＋x 2>0得x >3或x <1，∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x<2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．19.[解析] (1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)()(),g x xf x =0,()0x g x '>>0.331|log |3log 39π>> c a b >>＝sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－14sin x 其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．(2)b n ＝2n a n ＝π2(2n －1)·2n∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ]2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1]相减得，－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]． 20．解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1,1(,230)(22=-=--≥⇔≥'∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故．解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在21.[解析] (1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n ＋1. ∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．⑵（方法一）依题意1ln )1( 212≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，0>x 。

山东省临淄一中2013届高三第三次月考数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( ) A [1,2) B [1,2] C ( 2,3] D [2,3] 2. 复数55i12i+的虚部是( )A. -1B. 1C. ID . –i3. 已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ） A. -12 B. -6 C. 6 D. 124. 设βα、为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，且,m n αβ⊂⊂,有两个命题：p ：若//m n ，则//αβ；q ：若m β⊥，则αβ⊥；那么( )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ” 是假命题D ．“非p 且q ”是真命题5.设f(x)是定义在R 上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图像关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( ) A f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) C f(6.5)<f(3.5)<f(1.5)D f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)6．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50B C m =，105,45ABC BC A ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为( ) A．m B．m C．mD.2m7. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车.A.1B.2C.3D.48.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a ( )BACA.81 B.81-C.857 D.8559.设函数()y f x =的定义域为实数集R ，对于给定的正数k ，定义函数()(()()(())k f x f x k f x kf x k ≤⎧=⎨>⎩，给出函数2()2f x x =-+，若对于任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1 10. 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所 示，则它的体积是( )ππ π 11若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log,log)(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是( )A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞- 12.已知n n a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状， 记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A =( )A. 9231）（B. 9331）（C.9431）（D.11231）（第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z=2x y +的最大值为___ _.14.已知奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则)27(f 的值为___ _15.已知向量()()1,,2,y b x a =-=，其中x ，y 都是正实数，若b a ⊥，则y x t 2+=的最小值是_______. 16.下列命题： ①函数⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin πx y 在[]π,0上是减函数； π②点A （1，1）、B （2，7）在直线03=-y x 两侧；③数列{}n a 为递减的等差数列，051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值； ④定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312xx x xx f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是.0536=--y x其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）.三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6π单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．18.在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222b c bc a +=+ （１）求∠A ；（２）若a =22b c +的取值范围。

高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 13. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −14. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 36. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 1127. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013二、多选题（本大题共4小题，共20分。

2013—2014学年度上学期高三一轮复习数学（文）单元验收试题（3）【新课标】命题范围：立体几何说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线 2．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台3．（2013年高考广东卷（文））设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 5．在正三棱锥P ABC -中,,DE 分别是,AB AC 的中点,有下列三个论断:①PB AC ⊥;②AC //平面PDE ;③AB ⊥平面PDE ,其中正确论断的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个 C ．有且只有3个 D ．有无数个7．已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1BC ．2D ．38．已如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误．．的是（ ） A.D 1O ∥平面A 1BC 1 B. D 1O ⊥平面MAC C.异面直线BC 1与AC 所成的角等于60° D.二面角M －AC －B 等于90°9．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）AB．C ．132D．10．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ） Ａ．2R π B ．73R π C ．83R π D ．76Rπ 11．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =，则球O 的表面积等于（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π12．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

卜人入州八九几市潮王学校四中2021届高三数学第三次月考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，应选A.2.设集合为，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母一样，故，应选B.3.焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C.或者 D.2或者【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，应选A.4.一支田径队有男运发动40人，女运发动30人，要从全体运发动中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，那么抽取的男运发动人数为〔〕A.20B.18C.16D.12【答案】C【解析】因为田径队男运发动，女运发动人，所以这支田径队一共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运发动中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运发动人，所以男运发动要抽取人，应选C.5.等差数列中，是函数的两个零点，那么的前9项和等于〔〕A.-18B.9C.18D.36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，应选C...................6.，那么〔〕A.0B.1C.32D.-1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．那么．在原二项展开式中令，可得．故此题答案选．7.以下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的HY评分，，，时，等于〔〕A.11B.10C.7D.8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，假设满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，假设不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，应选D.【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8.的面积为12，假设，那么的面积为〔〕A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接那么，，，，所以可得的面积为，应选C.9.，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为〔〕A. B. C. D.1【答案】B【解析】对求导得假设函数有极值点，那么有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率应选：B．【点睛】此题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10.三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如以下图，且满足那么其外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，应选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的外表积公式11.为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，那么的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，应选D.12.，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，那么，两式相加可，同理可得，，应选D.【方法点睛】此题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特成效，大大进步理解题才能与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准打破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们可以纯熟掌握并应用于解题当中.解答此题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.__________．【答案】1【解析】由，故答案为.14.在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，那么最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：〔阴影局部〕，由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时获得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.15.假设半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，那么两切点间的球面间隔〔即经过两点的大圆的劣弧长〕是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面间隔是弧，故答案为.16.在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，那么，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，.〔1〕求证：；〔2〕假设，求面积的最大值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕48【解析】试题分析：〔1〕由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；〔2〕视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大.试题解析：〔1〕由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；〔2〕方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。