【互动乐学】2012寒假初二数学讲义(第1-2讲)

2 矩形、菱形性质、判定知识目标目标一掌握矩形的性质和判定目标二掌握菱形的性质和判定目标三综合应用矩形和菱形的性质和判定解题模块一矩形的性质和判定题型一矩形性质例1 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E,AC 、BD 交于点O,BE:ED=1:3 (1)求证：BE= OE ； (2)求∠AOB 的度数．O EDCBA练 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点0，AE ⊥BD 于点E ，若 ∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC 的度数？O EDCBA例2如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点M 为DA 延长线上一点，MB 、DE 的 延长线交于点N ，且∠MNC ＝90°． (1)求证：AD=2EN ： (2)求证：DM=DN ．ENMDCBA练 如图，矩形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上 ，连结DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ， 点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，求AB 的值。

EFGDCBA拓 l 、（2012年全国初中数学竞赛）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ， DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求CE 的长．F EDCBA2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上不与AD 重合的一动点，PE ⊥BD PF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求PE+PB 的值．OFEPDCBA题型二 矩形的判定例3 如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB ＝∠OBA (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)作BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 求证：BE=CFOFEDCB A练 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于点P ，CN 与DQ 交于点M ．证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA例4 如图，等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． (1)求∠CAE 的度数；(2)取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，证明：四边形AFCE 是矩形．FEDCBA练 如图，平行四边形ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角， 求证：四边形ABCD 是矩形．OMDCBA模块二菱形的性质和判定题型一菱形的性质例5如图，菱形ABCD 中∠A=60°，AB =4，O 为BD 的中点，OE ⊥AB 于点E ． (1)求∠ADB 的度数；(2)求OE 的长．E ODCBA练如图，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连OH ，若AC=8，OH=3， 求AH 的值．HODCBA例6如图，菱形ABCD 中，AB=1，∠ABC=60°，点E 、F 分别在CB 、DC 边的延长线上，且∠EAF=60°．(1) 求证：∠AEB ＝∠AFC ；(2)求CE - CF 的值FEDC BA练如图，菱形ABCD 中，∠ADC=120°，N 为DB 延长线上一点，E 为DA 延长线上一点，且BN=DE ，连CN 、EN ．(1)求∠CBN 的度数；(2)求证：CN=EN ．ENDCBA拓 如图l ，菱形ABCD 中，∠BAD －∠ABC=60°，M 为BC 上一点，点N 在CD 上， ∠AMN=60°．(1)直接写出∠B 的度数为______________； (2)求证：AM=MN ；NMDBA题型二 菱形的判定例7 如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、AD 上，且EF 垂直平分AC 于O ． (1)求证：四边形AECF 为菱形： (2)若AD =8，AB =6，求AE 的长，OEFDCBA练 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 边上的中点，点F 在CD 边上，点G 、H 分别在边AB 、DC 的延长线上，FG 经过点E 并且平分∠AFH ，且CH=CD ． 求证：四边形AGHF 是菱形HEGF DCB A拓 如图，矩形ABCD 中，DE ∥CA ，AE ∥BD ，AE 、DE 交于点E ，连EO ． 证明：OE ⊥AD ．OEDCB例8 如图，△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，PE ∥AB 交AC 于点E ，PF ∥AC 交AB 于点F ． 求证：四边形AEPF 为菱形．PFECBA练 如图，Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M 、交AC 于点E ，AN 平分∠CAD 交BC 于点N ． 求证：四边形AMNE 为菱形．NM D ECAB挑战压轴题：1如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转到矩形AEFG ，使得点B 恰好落在CD 上，连接 BG 交AE 于点M ．(1)求证：∠BAE=2∠CBE(2)若N 是BE 中点，猜测AF 与MN 的数量关系并证明； (3)若AB =5，BC =3，求BG 的值．2如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作平行四边形APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠EAP ＝∠EPA ． (1)平行四边形APCD 是否为矩形？请说明理由； (2)求证：∠ABC=∠AEP ；(3)如图2，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN （点M 是ME 与BA 延 长线的交点）．取EN= EM ，连接NP 并延长，交BC 于F ，请问在旋转过程中，点F 的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点F 的位置．图2图1FNMABD CEP P ECD B第2讲 [课后作业] 矩形、菱形性质、判定 1．矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D.对角线平分一组对角2．如图，E 、 F 、G 、H 分别是BD 、 BC 、AC 、 AD 的中点，且AB=CD.下列结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG =21(BC －AD)；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠D ＝60°，∠FAD ＝45°，则∠CFE=____度．4．如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A= 60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，四边形BEDF 的面积为____________5．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 为BC 上的动点，则△APE 的周长最小值为_________GH FE DCB AF ED C BA A BC D E F EDC B A6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF ．(1)求证：四边形BCFE 是菱形：(2)若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积．FE D C A7．如图，点A 是四边形BCED 外一点，且满足AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，∠BAD=∠CAE ． 求证：四边形BCED 是矩形．ED CB A8．如图，菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG ．(1)求证：△AED ∽△DFB ；(2)求∠BGD 的度数；(3)求证：DG+BG=CG ．’ G FE DCB A9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且BC=3， AC=4，D 为斜边AB 上一点，以CD 、 CB 为边作平行四边形CDEB ．当□CDEB 是菱形时，求线段AD 的长A BE D C10．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP=CP ． AP ⊥CP ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．（1）若AP=5；，AB=31BC ，求矩形ABCD 的面积； （2）若CD=PM ，求证：AC=AP+PNN M PDC B A。

BC寒假班初二年级数学复习（第一章）第一课时考点1：轴对称及轴对称图形的意义（4课时）一、知识点：1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。

二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。

变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 最短。

变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。

三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D 6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）：BlA ．B ．C ．D ．A B C D （1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180 ．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。

二、基本图形：1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。

目录专题一整式 (2)§1整式的概念 (2)§2整式运算 (3)§3乘法公式 (8)专题二因式分解 (14)§1因式分解的概念 (14)§2因式分解的方法 (15)§2.1提公因式法 (15)§2.2运用公式法 (16)§2.3十字交叉法 (17)§3因式分解.变形技巧 (18)专题三分式 (23)§1分式的概念与性质 (23)§2分式运算（化简、求值） (25)§3分式方程 (28)专题一整式§1整式的概念1、单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

例1.下列说法正确的是（）A．没有加减运算的式子叫单项式 B.35ab π-的系数是35-C.单项式-1的次数是0D.3222+-ab b a 是二次三项式例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m，n 的值§2整式运算一、整式加减：化简、合并同类项二、幂的运算1、同底数幂的乘法法则：mnm na a a+= （n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()a b a b a b ++=+ 2、幂的乘方法则：mnnm aa =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2013寒假初二数学讲义（三）（几何计算与证明三）一、填空题：1、ABC ∆中，AC AB =，042=∠A ，DE 垂直平分AB 于E ，交AC 于D ，则=∠C ，=∠DBC ，若10=+BC AB ，则B C D ∆的周长为 ；2、 如图，四边形OABC 中，OC OB OA ==，2∠是1∠的3倍，那么4∠ 是3∠的 倍；3、如图，等腰梯形ABCD 的周长是cm 80，如果它的中位线EF 与腰长 相等，它的高是cm 12，则这个梯形的面积为 ；4、 如图：已知菱形ABCD 中，AB DE ⊥于点E ，且DE OA =，边长8=AD 。

则菱形ABCD 的面积为 ；5、在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若将△ABC 沿直线BD 翻折，使点C 落在直线AC 上的'C 处，则'AC ＝ ；6、如右图，已知ABC ∆中，,AB AC AD AE ==，30BAD ∠=︒，则EDC ∠= ；7、已知40MON ∠=，P 是MON ∠内一点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，则当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数等于__________；8、如图：已知平行四边形ABCD 中，070=∠ABC ，AB BC 2=， AB CE ⊥，垂足E ，M 为AD 中点。

则AEM ∠的度数为 ；A B C D F E A B C DE OA B C D E M9、如图所示，已知四边形CDEF 是正方形，四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD cm =，下底35BC cm =，那么ADE 的面积为__________2cm ；10、如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠= ，15AB cm = 180ADB CBD ∠+∠= ，连接对角线BD ，那么四边形ABCD 的面积为__________2cm ；二、解答题：11、已知AD 为Rt ABC ∆的斜边BC 上的高，ABD ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于P ，CAD ∠的平分线交BP 于Q ，6AQ cm =，求DQ的长；12、已知：如图，正方形ABCO 的边长为6，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，M 是边AB 上的一点，且有一个反比例函数的图象经过点M ，并与边BC 相交于点N ．（1）如果12AM BM =，求这个反比例函数的解析式； （2）当点M 在AB 边上运动时（它与A 、B 两点不重合），请问：OB 与 MN 之间有怎样的位置关系？并证明你所得到的结论。

1对3辅导教讲义（1）学员姓名：冯亦龙学科教师：张小臣年级：八年级辅导科目：数学授课日期时间主题一元二次方程教学内容1．掌握开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程并能用适当的方法解一元二次方程；2．了解一元二次方程根的判别式的意义，能用一元二次方程根的判别式判别一元二次方程根的情况，学会运用一元二次方程判别式解决相关应用问题；3．会列一元二次方程解面积问题、增长率问题等常见的应用题．案例：比赛（握手）、互送礼物问题问题1：要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场（即单循环比赛），现有x支球队，一共要比赛n场．①当x＝2时，n＝场；②当x＝3时，n＝场；③当x＝4时，n＝场；……④根据以上规律，探讨x与n的关系，n＝．问题2：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，现有x名兴趣小组的同学，一①当x ＝2时，n ＝ 件； ②当x ＝3时，n ＝ 件； ③当x ＝4时，n ＝ 件； ……④根据以上规律，探讨x 与n 的关系，n ＝ ． 练习：运用以上知识，解决下列问题：（1）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排28场比赛，设有x 支球队参加比赛，则所列方程化为一般形式为： ．（2）一个小组有x 人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则所列方程化为一般形式： ． （3）参加一次同学聚会，每两个人都握了一次手，所有人共握手56次．设有x 人参加聚会，则所列方程化为一般形式为： ．（4）某次足球赛采用“主客场”制，即每支球队在主场与其他球队比赛一场，在客场与其他球队比赛一场.已知此次比赛一共赛了56场，设有x 支球队参加，那么所列方程为： ．例题1：解方程：()()21112x x ---=．试一试：若()()230x y x y +--+=，则x y +的值为 。

思考： 1、若()()2222230x y xy +--+=，则22x y +的值为 。

目录第01讲等腰三角形 (2)第02讲直角三角形 (9)第03讲垂直平分线与角平分线 (16)第04讲不等式的基本性质与解集 (23)第05讲一元一次不等式与一次函数 (32)第06讲不等式（组）及其应用 (41)第07讲图形的平移与旋转 (52)第08讲中心对称 (62)第09讲因式分解 (70)第10讲分式及分式的混合运算 (77)第11讲分式方程与简单应用 (89)第12讲分式方程的应用 (98)第13讲平行四边形 (107)第01讲等腰三角形知识结构知识精讲1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。

即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

例题讲练考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20例2、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°例4、在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°例5、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ．例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形底边长为．例7、如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．例8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．考点二：等腰三角形的判定例1、在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=20°，∠B=80°D．∠A=40°，∠B=80°例2、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是正确的例3、△ABC的三边长a，b，c满足关系式（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．无法确定例4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个例5、如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②∠DFB=∠EFC；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的是．（填序号，错选、漏选不得分）例6、如图，已知AB∥CD，AC∥BD，CE平分∠ACD．（1）求证：△ACE是等腰三角形；（2）求证：∠BEC＞∠BDC．巩固训练A1、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cmC．20cm D．16cm或20cm2、等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40° B．80°，20°C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°3、如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40° B．30°C．70° D．50°4、如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°5、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①② B．①③C．③④ D．②③6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 或时，△AOP为直角三角形；当∠A= 或或时，△AOP为等腰三角形．7、如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A= °．8、如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1= 度，图中有个等腰三角形．9、如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE=DF．10、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．11、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．巩固训练B1、已知等腰三角形的一个底角的度数为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55° B．70°，40°C．55°，55°或70°，40° D．以上都不对2、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（）A．42° B．60°C．36° D．46°3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44° B．66°C．88° D．92°4、如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（）A．40° B．50°C．60° D．不能确定5、如图，在△ABC，∠A=36°，∠B=72°，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个6、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为．7、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：．8、如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分，则图中等腰三角形的个数是．9、如下图中，在△ABC中，有AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若有∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．走进中考1、下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：22、如下图中，将△ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．（1）求∠BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）归纳总结1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

学科教师辅导讲义第9题图第10题图∴______∥_______（）．∴∠1=_________（）．∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．7．把命题“两个无理数的积仍是无理数”改写成“如果……那么……”的形式结果是_____ ____，那么_______ ___．8．命题“直角都相等”的题设是______ __，结论是_______ _____．9．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．10．如图，已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=______．三、解答题（共49分）11．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（15分）（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b=0，则ab=0；（3）若ab=0，则a+b=0．12．（10分）如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．13．（10分）如图，∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，求∠BEC的度数．14．（14分）如图，AB∥DE．（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系，仍然满足（1）中的结论吗？若符合，请你证明；若不符合，请你写出正确的结论并证明（要求：•画出相应的图形）．第三部分经典证明例题解析在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；题型二：证明两线平行；题型三：证明两线垂直；题型四：证明两角相等；题型五：证明线段或角的和差倍；题型六：证明两次全等；证明线段相等的方法要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（一）要证明的两条线段分别在两个三角形中——利用全等三角形；一般的思路是证三角形全等——两全等三角形中对应边相等。

勾股定理及其逆定理(二)本章内容：1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长4、b、C有下面关系：a2+b2= c2,那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

1.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：(1)首先求出最大边(如c)；(2)验证a2+b2与是否具有相等关系；若卜皿,则ZXABC是以ZC=90°的直角三角形。

若d H/+方2,则AABC不是直角三角形。

2.直角三角形的判定方法小结：(1)三角形屮有两个角互余；(2)勾股定理的逆定理；3.紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 12、16、20 等。

典型例题：例1.在RtAABC屮，ZC = 90° , CD丄AB 于D,求证:AB2 = AD2 -^-DB2 +2CD2 (2) CD2 = AD DB分析：在图中有AABC、MDC与ABCD三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。

证明:例2、已知\ABC中，AB = 5cm, BC=\2cm, AC=l3cm,求AC边上的高线的长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形, 并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。

例3•已知：如图，△肋C中，AB=AC, D为BC上任一点、,求证：AE—Alf=BD・ DC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AELBC于/便出现两个全等的直角三角形。

例4•如图，已知四边形加匕9的四边AB、BC、CD和刃的长分别为3、4、13、12, Z伽二90° , 求S四边形ABCD例5、在正方形初CZ?中，尸为％的中点，F为力上一点，且兀二-BC,4求证：AEFA二90°分析：通过图形结构和求证本题思路I•分明显，就是要找RtA,那就是要通过勾股定理逆泄理来完成。

学科教师辅导讲义b ＜0（二）例题讲解例1. 在函数y=（m+6）x+（m-2）中，当_______时是一次函数．当 时是正比例函数。

巩固练习：1．一次函数y=（m-2）x+（3-2m ）的图像经过点（-1，-4），则m 的值为（ ）．A ．-3B ．3C ．1D ．-12、若直线y ＝（m ＋1）x ＋5中，y 的值随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A 、m ＜－1B 、m ＞－1C 、m ＝－1D 、m ＜13、正比例函数y ＝-23x 中，y 随着x 的增大而_______________。

例2．一次函数y=kx+b 满足x=0时y=-1；x=1时，y=1，则一次函数的表达式为（ ）．A ．y=2x+1B ．y=-2x+1C ．y=2x-1D ．y=-2x-1巩固练习：1．如图，线段AB 对应的函数表达式为（ ）A ．y=-32x+2 B ．y=-23x+2 C ．y=-23x+2（0≤x ≤3） D ．y=-23x+20（0<x<3）2．函数y=-x-1的图像不经过（ ）象限．A ．第一B ．第二C ．第三D ．第四例3．已知函数y=x-3，若当x=a 时，y=5；当x=b 时，y=3，a 和b 的大小关系是（ ）A ．a>bB ．a=bC ．a<bD ．不能确定巩固练习：1．若点P （a ，b ）在第二象限内，则直线y=ax+b 不经过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S ，则S 等于（ ）．A ．6B ．12C ．3D ．24y x O yxOP 的坐标，若不能请说明理由。

3、画直线434--=x y 的图象，并解答下列问题： （1）设它的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，求AB 的长。

（2）求△AOB 周长（O 为坐标原点）。

（3）求点O 到直线的距离。

（4）求△AOB 的面积。

DC BA初二数学第一讲 复习专题——— 三角形一、学习要求：1、掌握三角形辅助线的基本做法。

2、能够掌握几何中常见的几何证明和计算 二、知识梳理方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

三、典型例题（一）、倍长中线（线段）造全等例1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.EDFCBA例2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.练习：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A总结：如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

（二）、与角平分线的辅助线作法过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.E DGFCBA例2、已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

学科教师辅导讲义年 级：初二 辅导科目：数学 课时数：3课时课 题 整式方程教学目的1.知道一元整式方程与高次方程的有关概念；2.通过解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程、高次方程，体会分类讨论的思想以及由特殊到一般、一般到特殊的辩证思想.教学内容 【知识梳理】1.字母系数：方程0mx n +=、20ax bx c ++=，其中m 、n 、a 、b 、c 是用字母表示的已知数．x 是未知数．项mx 、2ax 、bx 中m 、a 、b 是项的系数，叫做字母系数.n 、c 是常数项，也叫做字母系数．2．含字母系数的一元一次方程：只含有一个求知数且未知数的最高次数为l 的含字母系数的方程叫做含字母系数的一元一次方程．3.含字母系数的一元二次方程：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程叫做含字母系数的一元二次方程．4.含字母系数的一元=次方程的解法解一元二次方程一般方法有；①因式分解法；②开平方法；③配方法；④公式法，当心含字母系数的代数式去乘或除方程两边时，要讨论.5.整式方程的概念：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程.6.一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中，含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程．7.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项．另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 0nax b +=(0,0.a b n ≠≠是正整数）．8．二项方程的解法 将方程0n ax b +=变形为n b x a=-.当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n 为偶数时，如果0ab <，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0ab >，那么方程没有实数根，9．双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程，关于x 的双二次方程的一般形式为： ()4200ax bx c a ++=≠.10．解双二次方程的基本思想：解高次方程的基本思想是降次，使其转化为一元一次方程或者一元二次方程．降次通常采用换元法或因式分解法．11．解双二次方程的一般过程(1)换元，设2x y =，则原方程变为关于y 的一元二次方程：()200ay by c a ++=≠ (2)运用公式法、因式分解等方法解一元二次方程；(3)回代．【典型类型讲解】题型一：一元整式方程【例1】解关于x 的方程：()5x a ax b -=+．【例2】解关于x 的方程：220x x a ++=．【借题发挥】1.解关于x 方程：()34b x +=.【例3】判断下列关于x 的方程，哪些是整式方程？这些整式方程分别是一元几次方程？①32230x x +-= ②1532b x x b +=-③21x x += ④4640x -= ⑤212x a x+=+ ⑥42690x x ++=题型二：二项方程的概念及其解法【例4】在下列方程中，不是二项方程的为 ( )(A)51x = (B)6x x = (C)31309x += (D)4160x +=【例5】利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：(l)51813x =； (2)()()2214212115x x +-=-；(3)31110645125x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； (4)()45230x --=．【借题发挥】1.利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）：（1）421003x -= （2）312054x +=题型三：双二次方程的概念及其解法【例6】下列方程中①423100x x --=;②4260x x -=；③312160x x -+=;④422651x x x -+=+是双二次方程的有 ．【例7】解方程：424320x x --=．【借题发挥】1.解下列方程：（1）42560x x -+= （2）422950y y +-=【随堂练习】一、填空题：1．如果方程中只有 个未知数，且方程两边都是关于未知数的 ，那么这个方程叫一元整式方程．2．已知关于x 的方程()()224220a x a x --+-=，当a 时，它是一元一次方程；当a 时，它是一元二次方程．3．关于x 的一元n 次二项方程的一般式为 ．4．利用计算器解得方程836x =的近似根是 （保留四个有效数字）．5．已知二项方程0n x m +=（m 是正数），则当n 为奇数时，方程 实数根；当n 为偶数时，方程 实数根．6．280x -=是一元 次二项方程，它的解为 ．7.3380x +=是一元 次二项方程，它的解为 ．8．若关于x 的()400,0ax b a b +=≠≠有一根为1x =-，那么它的解为 ．9．关于x 的双二次方程的一般式为 ，解双二次方程常用的方法是 ．10．用换元法解方程425240x x --=时，若设2x y =，那么原方程可化为 ，这是关于y 的一元 次方程．二、选择题：4．下列关于x 的方程中，整式方程的个数是( )．(1)324x x x += (2)421110234x x -+= (3)21ax x a += (4)211x x x ++= (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．若关于x 的方程1mx x +=无解，那么m 的取值范围是( )．(A)0m = (B) m ≠O (C) m ≠-1 (D) 1m =-6．下列关于x 的整式方程中，次数最高的是( )．(A)231102x a x +-= (B)422a x x += (C)320x -= (D) 221a b x x += 三、解答题：7．解下列关于x 的方程：(1)1ax x +=； (2)()()211ax ax x +-= ； (3)()()2121a x x a -=-；（4）510x -= ； （5）4160x -=； （6）613022x -=；（7）()3280x -+=；（8）42450x x --=【课堂总结】【课后作业】一、基础复习巩固填空题：1.关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为 .2.对于二项方程()00,0nax b a b +=≠≠的解的情况： 当n 为奇数时，方程 ；当n 为偶数时，如果0ab <，那么方程 ；如果0ab >，那么方程 ．3.23x =是一元 次二项方程，它的解为 ．4.3270x +=是一元 次二项方程，它的解的情况是 ．5.()600,0ax b a b +=≠≠有一个解3x =，那么它的解的情况是 ．6.()4230x m +-=有一个解7x =，那么它的另一个解是 .选择题：7．关于x 的方程()4800ax a -=≠的两根可能是( )． (A)1和2 (B)1和O (C)2和-1 (D)2和-28．下列方程中有两个实数根的是( )．(A)680x -= (B)4230x += (C) 580x -= (D) 30x =9．方程423106x x x += ( )．(A)没有实数根 (B)有一个实数根 (C)有两个实数根 (D)有四个实数根10.如果关于x 的方程()()432312110x m x x n x +++--+=是双二次方程，那么m 、n 的值分别为( )．(A)1和1 (B)1和-1 (C) -1和1 (D) -1和-1解下列关于x 的方程： (1)222224x n x n+=-； （2）()()121a x x -=+； （3）2212nx nx +=；（4）442859x x +=+； （5）3357x x +=- ； （6）42540x x -+=；利用计算器解下列方程（结果保留三位有效数字）（1）511803x -= ； （2）4357x -=.二、综合能力提高1.解下列关于x 的方程： ()()2228120x xx x ---+=；。

第一讲三角形的证明一．等腰三角形的相关概念1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(三线合一) .例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.例题：1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．2.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．同步练习1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则它的顶角为（）A．36°B．54°C．72°或36°D．54°或126°2．等腰三角形的顶角为36°，则底角为（）A．36°B．60°C．72°D．75°3．已知：等腰三角形△ABC中，腰等于8，底等于5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．21或18 C．20 D．18二．直角三角形的性质1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.例题1.如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由．同步练习1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，点D是AB的中点，则CD=（）A．4 B．5 C．6 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°三．线段的垂直平分线1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.例题：1.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.其中，正确的说法有_____个同步练习：1．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且BC=8，AC=6，则△ACD的周长为．2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点E，交AC于点D，连接CE，若∠A=30°，∠ACB=65°，则∠BCE= ．3．如图，AB垂直平分CD，AC=6，BD=4，则四边形ADBC的周长是．四．角平分线角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，，这种对称的图形应用得也较为普遍，3．OA OB例题：1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°，求证：DE=DF．同步练习：1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=15，BD：CD=3：2，则点D到AB的距离是2．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为．综合考查：1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠BEC的度数．（2）若AE=5，求BC的长．2．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D．（1）求证AD=ED；（2）若AC=AB，DE=3，求AC的长．3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB=20，则CD=4．一个直角三角形斜边上的中线和高线的长分别是5cm和4.8cm，这个三角形的面积为cm2．5．如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（）A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm6．如图，在△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．7．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6第二讲 不等式及不等式组一． 一元一次不等式的概念不等式 2.9x ≥，2<48x +，2<3x x -，143y +≥0，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0.像这样的不等式，叫做一元一次不等式.一元一次不等式必须满足的条件：（1）只含有一个未知数（2）未知数最高次数是1（3）用不等号连接的式子.例题：1.下列各式：（1）5x -≥；（2）30y x -＜；（3）50πx +<；（4）23x x +≠；（5）333x x+≤；（6）20x +<是一元一次不等式的有_____个2.已知（m+4）x |m|﹣3+6＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=_____．同步练习：1．下列给出四个式子，①x ＞2；②a≠0；③5＜3；④a≥b，其中是不等式的是（ ）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 2．下列式子：①a+b=b+a ；②﹣2＞﹣5；③x≥﹣1；④y ﹣4＜1；⑤2m≥n；⑥2x ﹣3，其中不等式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二． 不等式的性质不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.例题：1.设a ＞b ＞0，c 为常数，给出下列不等式①a ﹣b ＞0；②ac ＞bc ；③＜；④b 2＞ab ，其中正确的不等式有_____同步练习：1．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）A ．m ﹣2＜n ﹣2B ．C ．6m ＜6nD ．﹣8m ＞﹣8n2．若a ＜b ，则（ ）A ．a ﹣2c ＞b ﹣2cB ．a ﹣2c≥b﹣2cC ．a ﹣2c ＜b ﹣2cD ．a ﹣2c≤b﹣2c 3．已知a ，b 都是实数，且a ＜b ，则下列不等式的变形正确的是（ ）A ．3a ＜3bB ．﹣a+1＜﹣b+1C ．a+x ＞b+xD ．＞三．不等式的解和解集1.能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.2.一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.例题：1下列各数中，不是不等式2（x ﹣5）＜x ﹣8的解的是______A.-4B.-5C.-3D.52.在数轴上表示下列不等式的解集：（1）5x -≤； （2）0x ≥；（3）<4x ； （4）1>12x -.同步练习：1．已知如图是关于x 的不等式2x ﹣a ＞﹣3的解集，则a 的值为 ．2．x=﹣1 不等式≤+1的其中一个解．（填“是”或“不是”）四．一元一次不等式的解法1.解一元一次不等式的依据是：不等式的基本性质1和不等式的基本性质2；2.解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3. 取不等式组的解集时还可以采用非数轴法，即“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”. 解集情况表示如下（假定<a b ）：()()()()x a x b x bx a x a x bx a a x b x b x b x a >⎧⇒>⎨>⎩<⎧⇒<⎨<⎩>⎧⇒<<⎨<⎩>⎧⇒⎨<⎩同大取大同小取小大小小大中间找无解大大小小解不了 例题：1.（1）解不等式x+＞﹣，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式：32523x x --≥ ，并写出它的正整数解．同步练习： 1． 解不等式：3x ﹣1≥2（x ﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．2．解不等式≤2，并把它的解表示在数轴上．五．一元一次不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组.例题：1.解下列一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（1）3(1)<72323x xxx x--⎧⎪⎨--⎪⎩≤；（2）2.解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的最小整数解．同步练习：1．解不等式组：2.已知关于a的不等式组．（1）求此不等式组的解；（2）试比较a﹣3与的大小．综合考查：1.不等式的解集是_______2.在式子：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5中是不等式的有__________．（填序号）3.若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值．4.若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由．5.根据“当x为任意正数时，都能使不等式x+3＞2成立”，能不能说“不等式x+3＞2的解集是x＞0”？为什么？6.解不等式﹣＜1，并把解表示在数轴上．7.求不等式的负整数解8.解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．9.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．10.解不等式组：，并写出它的所有整数解．第三讲平移一．平移的性质1.平移：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移．平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向，但改变图形的位置；图形平移的三要素：原位置、平移方向、平移距离．2.平移的性质：（1）对应点的连线平行（或共线）且相等；（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致．例题：1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm，DB=2cm．（1）求△ABC向右平移的距离AD的长；（2）求四边形AEFC的周长．2.如图，△ABC中，∠B=90°，把△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，若AB=4，BE=3，PE=2，求图中阴影部分的面积．同步练习：1．如图，将△ABC沿着由点B到点C的方向平移到△DEF，已知AB=7，BC=6，EC=4，那么平移的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．62．如图，若△DEF是由△ABC平移后得到的，已知点A、D之间的距离为1，CE=2，则BC=（）A．3 B．1 C．2 D．不确定3．如图，将直线11沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．125°B．55°C．90°D．50°二．平移作图1.平移作图的方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法2.平移作图的步骤：（1）找关键点；（2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点；（3）连接对应点，将各个对应点按照原图的顺序相连，即得到平移后的图形．例题：1.如图，在每个小正方形边长为1的网格纸中，将格点△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（2）线段AA′与BB′的数量关系是_______，位置关系是_______．（3）△A′B′C′的面积为_______．2.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A′B′C′；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．同步练习：1．数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．老师说苗苗和小华两位同学画法都是正确的，两位同学的画法如下：苗苗的画法：①将含30°角的三角尺的最长边与直线a重合，另一块三角尺最长边与含30°角的三角尺的最短边紧贴；②将含30°角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线b，则b∥a．①将含30°角三角尺的最长边与直线a重合，用虚线做出一条最短边所在直线；②再次将含30°角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线b，则b∥a．请在苗苗和小华两位同学画平行线的方法中选出你喜欢的一种，并写出这种画图的依据．答：我喜欢学的画法，画图的依据是三．平移的运用例题：1.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示请你帮助测算一下，买地毯至少需要多少元？2.如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？同步练习：1．如图，在多边形ABCDEFGH中，AB=5cm，BC=8cm，则该多边形的周长为（）A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定2．小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（）A．小华用的多B．小明用的多C．两人用的一样多D．不能确定谁用的多3．如图所示，共有3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方形的整体，则应将上面的方格块（）A．向右平移1格，向下3格B．向右平移1格，向下4格C．向右平移2格，向下4格D．向右平移2格，向下3格综合考查：1．如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（）A．10cm B．5cm C．cm D．不能确定2．如图，将△ABC先向左平移3个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2．①请你在图上画出△A1B1C1和△A2B2C2．3．如图，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是平方米．第四讲旋转一．旋转旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.例题：1．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）2．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是（）A．（2，2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）3．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（﹣2，5）同步练习：4．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF 的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A．5 B．C．7 D．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，△DEF是由△ABC绕点O旋转180°而得到的，则下列结论不成立的是（）A．点A与点D是对应点B．BO=EO C．∠ACB=∠FDE D．AB∥DE7．如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至在△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D点处，则∠BDE=（）A．90°B．85°C．80°D．40°8．如图，BA=BC，∠ABC=70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，且点E在线段AD上，若AF=4，∠F=60°．（1）指出旋转中心和旋转角度；（2）求DE的长度和∠EBD的度数．二．中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.例题：1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．扇形B．正五边形C．菱形D．平行四边形同步练习：1．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆 B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形2．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD、BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是4．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n= ．5．已知点A（2a+2，3﹣3b）与点B（2b﹣4，3a+6）关于坐标原点对称，求a与b的值．三．图案设计在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.例题：1．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．同步练习：1．如图，P，Q是方格纸中的两格点，请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形．（1）在图1中画出一个面积最小的▱PAQB．（2）在图2中画出一个四边形PCQD，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线CD由线段PQ 以某一格点为旋转中心旋转得到．注：图1，图2在答题纸上．2．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．3．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，线段AB的端点在格点上．（1）请建立适当的平面直角坐标系xOy，使得A点的坐标为（﹣3，﹣1），在此坐标系下，B点的坐标为_______；（2）将线段BA绕点B逆时针旋转90°得线段BC，画出BC；在第（1）题的坐标系下，C点的坐标为______；（3）在第（1）题的坐标系下，二次函数y=ax2+bx+c的图象过O、B、C三点，则此函数图象的对称轴方程是______ ．综合考查：1．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（4，1）C．（3，1）D．（4，0）2．如图，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AED，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，若AC=8，则AF的长为（）A．4 B．3 C．4D．43．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长．4．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．5．如图，已知点A、B、C的坐标分别为（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），（0，0），将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A1B1C1．（1）画出△A1B1C1．（2）画出点B关于直线AC的对称点B2，并写出点B2的坐标．第五讲因式分解一．提公因式法一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.例题：1．分解因式x3+4x的结果是（）A．x（x2+4）B．x（x+2）（x﹣2）C．x（x+2）2D．x（x﹣2）22．下面运算正确的是（）A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4D．3y2﹣2y2=y2 3．将﹣a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（）A．a+2b B．﹣a+2b C．﹣a﹣b D．a﹣2b4．把8m2n﹣2mn分解因式（）A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）同步练习：1．因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=2.因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．3．因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）= ．二．公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22-=+-a b a b a b要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.例题：1．将（x+3）2﹣（x ﹣1）2分解因式的结果是（ ）A ．4（2x+2）B ．8x+8C ．8（x+1）D ．4（x+1）2．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．x 2+y 2B ．﹣x 2﹣y 2C ．﹣x 2+y 2D ．x 2﹣y 3 3．对多项式x 2﹣2x+1因式分解，结果正确的是（ ）A ．（x+1）2B ．（x+1）（x ﹣1）C ．（x ﹣1）2D ．（x+1）（x ﹣2）4．分解因式x 4﹣1的结果是（ ）A ．（x+1）（x ﹣1）B ．（x 2+1）（x 2﹣1）C ．（x 2+1）（x+1）（x ﹣1）D ．（x+1）2（x ﹣1）2 同步练习：1．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．a 2﹣b 2+2abB ．a 2+b 2+abC ．25n 2+15n+9D ．4a 2+12a+92．下列各式中，不能完全用平方公式分解的个数为（ ）①x 2﹣10x+25；②4a 2+4a ﹣1；③x 2﹣2x ﹣1；④m 2﹣m+；⑤4x 4﹣x 2+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．因式分解：a 2（a ﹣b ）﹣4（a ﹣b ）= ．3．分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2= ．4．把下列各式因式分解：（1）a4﹣1 （2）（x+2）（x+4）+x2﹣45．因式分解：（1）x2+2xy2+2y4；（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；7．因式分解：x4﹣18x2y2+81y4．三．分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：例题：1．分解因式：b2﹣ab+a﹣b=________．2．分解因式：a2+2ab+b2﹣4= ．3．分解因式：9﹣6y﹣x2+y2=同步练习：1．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为2．分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．3．分解因式（1）x3﹣9x；（2）﹣x3y+2y2x2﹣xy3；（3）1﹣a2+2ab﹣b2．4．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y=（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）=x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）=（x﹣y）（x+4）．乙：a2﹣b2﹣c2+2bc=a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）=（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）m 3﹣2m 2﹣4m+8． （2）x 2﹣2xy+y 2﹣9．四．十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.例题：1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣4=（x+4）（x ﹣4）B ．x 2+x+1=（x+1）2C ．x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4D ．2x+4=2（x+2） 2．把x 2﹣4x+c 分解因式得：x 2﹣4x+c=（x ﹣1）（x ﹣3），则c 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．﹣3D ．﹣4同步练习：1．分解因式：x 2+4x ﹣12=________． 2．因式分解：x 2﹣3x+（x ﹣3）= ． 3．分解因式：x 2﹣3xy ﹣4y 2= ． 4．分解因式：（1）（m+n ）2﹣4m （m+n ）+4m 2 （2）a 3b ﹣ab ； （3）x 2+2x ﹣35．因式分解（1）2x3﹣8x （2）x2﹣2x﹣3 （3）4a2+4ab+b2﹣1五．因式分解的应用例题：1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南2．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定3．如果259+517能被n整除，则n的值可能是（）A．20 B．30 C．35 D．404．已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则此三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形同步练习：1．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．2．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．3.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．综合考查：1.分解因式：2a2﹣8a= ．2．分解因式：2xy﹣6y= ．3. 已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2018的值为4. 因式分解：（1）a（a2﹣1）﹣a2+1；（2）（a+1）（a﹣1）﹣8．5．（若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．6．分解因式：x3+3x2﹣4= ．。

1对3辅导教讲义（2）学员姓名：冯亦龙 学科教师：张小臣年 级： 八年级 辅导科目：数学 授课日期时 间主 题正反比例函数综合 教学内容1．巩固正反比例函数图像的性质和基本几何图形的性质；2．培养灵活运用正反比例函数与几何图形的性质解决相关的综合性问题．问题1：反比例函数4y x=经过点A （1，4），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ． 问题2：反比例函数ky x=经过点A （a ，b ），过点A 向x 轴、y 轴作垂线，垂足为M 、N ，则矩形AMON 的面积为 ，三角形AOM 的面积为 ，三角形AON 的面积为 ． 根据以上规律，完成以下两题：1．如图，P 是反比例函数图像上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______． 2．反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为 ．第1题图 第2题图例题1：已知函数21y y y +=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，当1=x 时，1-=y ，当3=x 时，5=y ． （1）求y 关于x 的函数的解析式； （2）求当3-=x 时的函数值．试一试：已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式．例题2：一个有进、出水管的容器，单位时间内进、出水量都是一定的，设从某时刻开始4分钟内只进水不出水，之后的4分钟内只出水不进水，得到的时间x （分钟）与水量y (升)之间关系如图，求： （1）每分钟进多少升水； （2）每分钟出多少升水；（3）0≤x ≤4时，y 关于x 的解析式．试一试：我国有很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某城市制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y （元）是用水量x (吨)的函数，其函数图像如图所示。