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【人教A版】选修4-5数学：3.2《一般形式的柯西不等式》ppt课件

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高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修45
第十七页，共36页。
证法二：(利用柯西不等式)
(x＋y＋z)1x＋4y＋9z
≥
x·
1x＋
y·
4y＋
z·
92 z
＝(1＋2＋3)2＝36，
当且仅当 x2＝14y2＝19z2，
即 x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．
第十八页，共36页。
【例 2】 设 a，b，c 为正实数，且 a＋b＋c＝3，求证： 2a＋1 ＋ 2b＋1＋ 2c＋1≤3 3.
an 2
an＋a1
×
1 2
＝
[(
a1＋a2 )2 ＋ (
a2＋a3 )2 ＋ … ＋
(
an－1＋an)2＋(
an＋a1)2]×
a1a＋1 a22＋
a2 2 a2＋a3
第三十二页，共36页。
＋…＋
ana－n1－＋1 an2＋
ana＋n a12×12≥
a1＋a2· a1a＋1 a2＋
a2＋a3· a2a＋2 a3＋…＋
第二十一页，共36页。
【变式训练 2】 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值．
第二十二页，共36页。
解 方法一：由柯西不等式，得 ( 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1)2＝(1× 4a＋1＋1× 4b＋1 ＋1× 4c＋1)2 ≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1) ＝3[4(a＋b＋c)＋3]＝21. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号． 故 4a＋1＋ 4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21.
an－1＋an·
ana－n1－＋1 an＋ an＋a1· ana＋n a12×12＝(a1＋a2＋…＋an)2×12

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

数学·选修4-5(人教A版)课件：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式

4．一般形式的柯西不等式
定理 设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数 k，使 得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
[(2－a)＋(2－b)]2－a2 a＋2－b2 b＝[( 2－a)2＋
a 2 b 2
(
2－b)2]
2－a
＋
2－b
≥
2－a· a ＋ 2－a
2－b·
b 2 2－b ＝(a＋b)2＝4.
所以 a2 ＋ b2 ≥
4
＝2，
2－a 2－b （2－a）＋（2－b）
所以原不等式成立．
(2)由柯西不等式知：
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。

高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式

高二数学人教A版选修4-5课件：3.2 一般形式的柯西不等式

探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:由基本不等式得到 u=ax+by+cz≤5 是正确的,但这只
是能说明 u 的最大值有小于或等于 5 两种可能,并不能得出 u 的最大
值一定是 5.事实上,如果 u 的最大值为 5,错解中的三个不等式应同时
取“=”,于是 a=x,b=y,c=z,从而得出 a2+b2+c2=x2+y2+z2,即 t=5,这是不
=
������������时,等号成立,此时
u=ax+by+cz
的最大值为
3,从
而 t 的最小值为 3.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
12345
1.已知 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小值是(
.
解析:由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所
以a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案:12
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
x=251,y=-1,z= 159或
x=-151,y=-3,z=151
时等号成立.
∴25×1≥(x+y+z-2)2.

高中数学人教A版选修4-5课件：3-2一般形式的柯西不等式

高中数学人教A版选修4-5课件：3-2一般形式的柯西不等式

目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
三维形式的柯西不等式
【例 1】 在△ABC 中,设其各边长分别为 a,b,c,外接圆半径为 R,求 证:(a2+b2+c2) sin2 ������ + sin2 ������ + sin2 ������ ≥36R2.
1 1 1
证明： ∵ sin������ = sin������ = sin������ = 2������, ∴(a2+b2+c2) ≥
答案：B
1
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
1
2
【做一做 1-2】 已知 a,b,c>0,且 a+b+c=1,则 3������ + 1 + 3������ + 1 + 3������ + 1的最大值为( A.3 B.3 2 C. 18 ) D. 9
解析： 由柯西不等式得( 3������ + 1 + 3������ + 1 + 3������ + 1)2≤(1+1+1)· (3a+1+3b+1+3c+1)=3[3(a+b+c)+3]. ∵a+b+c=1, ∴( 3������ + 1 + 3������ + 1 + 3������ + 1)2≤3× 6=18. ∴ 3������ + 1 + 3������ + 1 + 3������ + 1 ≤ 3 2, 当且仅当 a=b=c = 3 时 , 等号成立.

3.2 一般形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)

3.2 一般形式的柯西不等式 课件(人教A选修4-5)

设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，
2 2 则(a2＋a2＋…＋a2 )(b1＋b2＋…＋b2 )≥ (a1b1＋a2b2＋… 1 n 2 n
＋anbn)2 ，当且仅当 bi＝0(i＝1,2…n)或存在一个数 k，使
得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
1 2 1 2 1 2 ＝[( a) ＋( b) ＋( c) ＋( d) ]· ) ＋( ) ＋( ) ＋ [( a b c 1 1 1 1 1 ( )2]≥( a· ＋ b· ＋ c· ＋ d· )2 ＝(1＋1＋1＋ d a b c d
2 2 2 2
1)2＝42＝16， 当且仅当 a＝b＝c＝d 时取等号．
1．三维形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，b1，b2，b3 是实数，则
2 2 (a1＋a2＋a2)(b2＋b2＋b2)≥ 2 3 1 3
(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且
仅当 bi＝0(i＝1,2,3) 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3) 时等号成立． 2．一般形式的柯西不等式
1 2 1 2 ＝[( x1) ＋( x2) ＋…＋( xn) ][( ) ＋( ) ＋…＋ x1 x2 1 2 1 1 1 2 ( ) ]≥( x1· ＋ x2· ＋…＋ xn· ) ＝n2 xn x1 x2 xn 1 1 1 n2 ∴ ＋ ＋…＋x ≥ . x1 x2 x1＋x2＋…＋xn n
柯西不等式的结构特征可以记为： (a1＋a2＋…＋an)· 1＋b2＋…＋bn)≥( a1b1＋ (b a2b2＋…＋ anbn)2. 其中 ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等 式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确 地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲 二 一般形式的柯西不等式

高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲 二 一般形式的柯西不等式

(a1b1+a2b2 +„+anbn)2 ≥________________
1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成 可以吗？
a1 a 2 a 3 b1 b2 b3
提示：不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况，则分式不 成立了，但是，可以利用分式的形式来形象地记忆 .
2．已知a，b，c大于0，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小 值为_______. 【解析】根据柯西不等式，有(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥(a ＋b＋c)2＝1，所以 a 2＋b 2＋c 2 1 .
【典型例题】
3
答案：1
3
3.设x,y,z∈R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z的最大值是____. 【解析】(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)·(12+22+32)=5×14=70,所 以 (x + 2y + 3z) max = 70. 答案： 70
1.对柯西不等式一般形式的理解 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的 柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不 等式来总结，左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使 用时，关键是△ABC的面积，则
abc abc ax by cz 2S 2 . 4R 2R abc ab bc ca 1 x y z 2R abc 2R 1 a 2 b2 c2 , 故不等式成立. 2R
ab bc ca
类型 二 柯西不等式的一般形式的应用
a+2b+3c≤9.
【拓展提升】应用柯西不等式需要掌握的方法与技巧

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)

【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

人教A版高中数学高二选修4-5课件 3.2 一般形式的柯西不等式

人教A版高中数学高二选修4-5课件 3.2 一般形式的柯西不等式

练一练
【解】 (1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m.
由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.
(2)证明：由(1)知a1＋21b＋31c＝1.又 a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋21b＋31c≥
典例精析
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果． 同时，要注意等号成立的条件．
练一练
1．已知 x＋4y＋9z＝1，求 x2＋y2＋z2 的最小值． 【解】 由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)＝98(x2＋y2＋z2)． 又 x＋4y＋9z＝1，∴x2＋y2＋z2≥918，(*) 当且仅当 x＝4y＝9z时，等号成立，∴x＝918，y＝429，z＝998时，(*)取等号． 因此，x2＋y2＋z2 的最小值为918.
a·1a＋
2b· 12b＋
3c· 13c2＝9.
本课小结
— 三维形式 一般形式的柯西不等式—— 一般形式
— 一般形式的应用
随堂检测
1．设 a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则 a·b 的最小值为( )
A．18
B．6
C．－18
D.12
【解析】 |a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18.
∴－18≤a·b≤18，当 a，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C
把该不等式称为三维形式的柯西不等式．
课堂探究
教材整理 2 一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋…＋a2n)(b12＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn).2当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)

高中数学 3 2 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4 5

高中数学 3 2 一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4 5
行配凑,向柯西不等式形式转化.
第十五页，共20页。
问题(wèntí)
导学
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
1
2
3
4
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
5
1.已知12 + 22 +…+2 =1,12 + 22 +…+2 =1,则 a1x1+a2x2+…+anxn 的最
大值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
解析:∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(12 + 22 +…+2 )×(12 +
22 +…+2 )=1×1=1,
∴a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是 1.
第十六页，共20页。
问题(wèntí)
导学
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
1
1 +2
(an+a1)]×
2
2
2 +3
+
-1
-1 +
2
2
+
3
3 +4
+

+ 1
2
+…+
2
1
×
2
=[( 1 + 2 )2+( 2 + 3 )2+…+( -1 + )2+( + 1 )2]×
2

人教版选修A4-5数学课件：3.2一般形式的柯西不等式(共22张PPT)

人教版选修A4-5数学课件：3.2一般形式的柯西不等式(共22张PPT)

������ · √������ √������
������2 ������ ������ + (a+b+c)= + + ������ √������ √������ 2 ������ ������ + · ������ + · ������ =(a+b+c)2 √ √ √������ √������ ������2 ,又因为 a,b,c 为正实数 ,所以 ������
-4-
二 一般形式的柯西不等式
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. ������ ������ ������ (1)在三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是 1 = 2 = 3 .
二
一般形式的柯西不等式
-1-
二 一般形式的柯西不等式
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.掌握 三维形式和一 般形式的柯西不等式. 2.能够利用柯西不等 式解决相关问题.
-2-
二 一般形式的柯西不等式
+
-6-
二 一般形式的柯西不等式
探究一 探究二 思维辨析
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
反思感悟应用柯西不等式证明不等式的方法与技巧 应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结 构特点,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式 进行证明.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1) 巧拆常数;(2)重新安排各项的次序;(3)改变式子的结构;(4)添项等.

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有

人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件

人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件

2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
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栏
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结
目 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有
(12＋12＋…＋12)(a12＋a22＋…＋an2)≥(1×a1＋
2020/8/1
n 个 12
栏
1×a2＋…＋1×an)2，所以
n(a12＋a22＋…＋a2n)≥(a1＋a2＋…＋an)2.
第三讲 柯西不等式与排序不等式 3．2 一般形式的柯西不等式
2020/8/1
栏 目 链 接
2020/8/1
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证： ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9. 分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝
ab，a2＝
栏 目 链 接
bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而 得证．
目 链
接
点评：准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯
西数组是运用柯西不等式的关键所在．
2020/8/1
►变式训练
1．已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
证明：由柯西不等式知：
栏
目
a12＋b12＋c12＋d12b12＋c12＋d12＋a12≥
链 接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
2020/8/1
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
bcda
栏
目
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立，
链 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
栏 目
链
___n_2__．
接
2020/8/1
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故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
当且仅当 2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即 x＝367，y＝298，z＝2125时等号 栏
目
成立，此时 umax＝2 30.
链 接
点评：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．
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►变式训练
2．n
个正数的和与这
n
个正数的倒数和的乘积的最小值是
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最值问题Βιβλιοθήκη 设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6的
最大值．
栏
分析：将已知等式变形，直接应用柯西不等式．
目 链
接
解析：由柯西不等式有：
120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1× 2x＋1＋1× 3y＋4 ＋1× 5z＋6)2.
2020/8/1
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证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
ba2＋
bc2＋
ac2≥
目 链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
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∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．