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江苏省连云港灌云县第一中学高中数学 三角函数复习与小结教案 新人教A 版必修1教学目标：1．掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；2．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题； 3．通过师生互动，学生自主探究、交流与合作，培养学生探求新知及合作能力．教学重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用． 教学难点：平面向量的数量积运算律的理解．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程： 一、复习导引复习提问：1．（1）两个非零向量夹角的概念； （2）平面向量数量积的定义； （3）“投影”的概念； （4）向量数量积的几何意义； （5）两个向量的数量积的性质． 2．判断下列各题正确与否：①若0a = ，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠ ，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × )③若0a ≠ ，0a b ⋅= ，则0b =； ( × )④若0a b ⋅= ，则,a b至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = 当且仅当0a ≠时成立； ( × )⑥对任意向量a，有22||a a = ． ( √ )二、学生活动问题1 已知实数a ，b ，c (0≠b )，则c a c b b a =⇒⋅=⋅.a b ⋅ =b ·c ⇒a =c是否成立？问题2 实数的运算律有ab =ba ；a (b +c )=ab +ac ；(ab )c =a (bc )．在向量的数量积中是否成立？（举例说明）三、建构数学1．数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）．（1）交换律：a b b a ⋅=⋅ ；证明：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅ ，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅，∴a b b a ⋅=⋅ ．（2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅证明：若0=λ，此式显然成立．若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅= ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅= ，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅综上可知()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅成立．（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作−→−OA =a , −→−AB =b ，−→−OC =c，Cc∵a b + （即−→−OB ）在c 方向上的投影等于,a b 在c方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+ ，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．说明：（1）一般地，(a b ⋅)·c ≠a ·（b ·c ） （2）a ·c ＝b ·c ，c ≠0a ＝b（3）有如下常用性质：a 2＝|a |2,(a ＋b )2＝a 2＋２a b ⋅ ＋b 2（a ＋b ）·（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d,2．向量的数量积不满足结合律．分析：若有（a b ⋅ ）c ＝a （b ·c ），设a 、b 夹角为α，b 、c 夹角为β，则(a b ⋅ )c＝|a |·|b |cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·|b ||c |cos β，∴若a ＝c ，α＝β，则|a |＝|c |，进而有：（a b ⋅ ）c ＝a ·(b •c )，这是一种特殊情形，一般情况下不成立．举反例如下：已知|a |＝１，|b |＝１，|c |＝2，a 与b夹角是60°，b 与c 夹角是45°，(a b ⋅ )·c ＝（|a|·|b |cos60°）·c ＝21c ，a ·(b ·c )＝（|b |·|c |cos45°）a ＝a 而21c ≠a，故（a b ⋅ ）·c ≠a ·（b ·c ） 四、数学运用 1．例题．例1 已知,a b都是非零向量，且3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，求a 与b 的夹角．例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和． 变式1 用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．变式2 如图，,,AD BE CF 是ABC ∆的三条高，求证：,,AD BE CF 相交于一点．变式3 用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点．例3 四边形ABCD 中，−→−AB =a ，−→−BC =b ，−→−CD =c ，−→−DA ＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d＝d ·a，试问四边形ABCD 是什么图形？例 4 设a 与b 是夹角为60°，且|a |>|b |，是否存在满足条件的a ，b，使|a +b |=2|a -b|？请说明理由．2．巩固．（1）已知|a |=1,|b |=2，（1）a -b 与a 垂直，则a b ⋅ 的夹角是______； （2）若a //b，a b ⋅ ___=； （3）若a 、b 的夹角为3π，则|a +b |____=；（2）已知|a |=2,|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量a -4b 的模为_____；|a -4b |·|a -b|____=（3）设1e 、2e 是两个单位向量，其夹角为060，求向量a =21e +2e 与b =22e -31e 的夹角；（4）对于两个非零向量a ，b，当a tb + ()t R ∈的模取最小值时，①求t 的值； ②求证：b 与a tb +垂直．五、回顾反思通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题．BC。
江苏省扬州市高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教学设计新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省扬州市高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积教学设计新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。
平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具,同时也为空间向量数量积的学习奠定基础.教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义;(2）掌握向量数量积的性质和运算律;.(3)会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。
过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想； 情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律。
难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论,学生成果展示教学用品： 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一)课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积(内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ｜|b ｜cos 叫做a 与b 的数量积(或内积），记作a b ,即有a b = |a |｜b |cos规定：0与任一向量的数量积为0,即=⋅练习：判断正误，并简要说明理由：(1）a b 是向量吗？ （ ）（2）a b 一定是非负实数吗? ( ）（3）00=⋅a ,00=a . （ )(4）若a =0或b = 0，有a b = 0 （ ）（5）若a b = 0，则a = 0或b = 0 （ ）（6）若a 0且b 0,则a b 0 ( ）3。
第二章平面向量2.4 平面向量的数量积第一课时平面向量数量积的物理背景及其含义1 教学目标[1]掌握平面向量的数量积[2]掌握平面向量数量积的几何意义[3]掌握平面向量数量积的运算律2教学重点/难点重点：平面向量数量积的定义及几何意义难点：平面向量数量积的运算律的理解和运用3 专家建议[1]平面向量数量积满足数乘结合律，但不满足乘法结合律，应加以详细讲解[2]稍微向外扩展一下点乘与叉乘的区别，加深对数量积的理解4 教学方法互动探究，类比式教学，启发式教学5 教学过程5.1 引入【师】首先，请同学们回答我三个问题，请看：【板演/PPT】问题1：前面几节课，我们学习过向量的什么知识？问题2：我们是怎么探索和研究向量的加法运算和减法运算的？问题3：在物理学中，我们是如何求一个力所做功的多少的？【生】讨论，思考【师】我们来把问题一个一个地解决掉【板演/PPT】答问题1：平面向量的相关定义（零向量，单位向量，平行向量，共线向量）平面向量的线性运算和坐标运算（数乘运算，坐标的加减法运算）答问题2：从物理角度入手探索，再理解概念，再学习运算律，再到知识的运用答问题3：如果一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所做的功就可以用如下公式计算：θcos ||||S F W = （θ是F 和S 的夹角）【师】同学们，大家都知道力和位移是矢量，功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？5.2 新知介绍[1] 平面向量的数量积定义【师】从以上问题，我们知道，数学与物理知识之间存在着联系，那我们再从物理问题入手，思考下，物理中的人拉船模型中的数学知识【板演/PPT 】人的拉力（F ）的方向与船前进（S ）的方向往往是成一个夹角的，我们设为θ，那么这个力所做的功的大小与三个因素有关，（前提是忽略摩擦），力的大小、方向、船的位移。
其实，就两个矢量，力（F ）和位移（S ），夹角是力和位移之间的一种关系，能够形成功，一是要有力，二是要有位移。
§2.4平面向量的数量积教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量错误！嵌入对象无效。
与非零向量错误！嵌入对象无效。
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使错误！嵌入对象无效。
=λ错误！嵌入对象无效。
.2．平面向量基本定理：如果错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量错误！嵌入对象无效。
，有且只有一对实数λ1，λ2使错误！嵌入对象无效。
=λ1错误！嵌入对象无效。
+λ2错误！嵌入对象无效。
3．平面向量的坐标表示分别取与错误！嵌入对象无效。
轴、错误！嵌入对象无效。
轴方向相同的两个单位向量错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
作为基底.任作一个向量错误！嵌入对象无效。
，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数错误！嵌入对象无效。
、错误！嵌入对象无效。
，使得错误！嵌入对象无效。
把错误！嵌入对象无效。
叫做向量错误！嵌入对象无效。
的（直角）坐标，记作错误！嵌入对象无效。
4．平面向量的坐标运算若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
，则错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
.若错误！嵌入对象无效。
，错误！嵌入对象无效。
§2.4 平面向量的数量积（2）教学目标：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两向量共线、垂直的几何判断，会证明两量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质教学过程：一、问题情境1．情境引入：平面向量数量积（内积）的定义,θcos ||||b a b a =⋅.2．提出问题：平面向量数量积有怎样的一些运算性质呢?与实数积的性质是否相同?二、学生活动问题1：实数积的运算率有哪些？交换律，结合律，分配律.问题２：向量数量积也有交换律、结合律、分配律吗？三、建构数学１.向量的交换律：a b b a ⋅=⋅ 证：设，夹角为θ，则θcos ||||=⋅，θcos ||||=⋅ ∴⋅=⋅ ２.数乘结合律：⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(若0>λ,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅,θλλcos ||||)(=⋅； 若0<λ，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(=--=-=⋅θλλcos ||||)(=⋅，θλθλθπλλcos ||||)cos (||||)cos(||||)(b a b a b a b a =--=-=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴λλλλ)()()(3．向量的分配律：⋅+⋅=⋅+)( 设向量,,和实数λ，则向量的数量积满足下列运算率：（1）⋅=⋅（2）b a b a b a b a ⋅=⋅=⋅=⋅λλλλ)()()(（3）⋅+⋅=⋅+)(4.回顾反思：（１）向量的数量积运算满足结合率吗？在实数中，有)()(bc a c ab =，但是)()(c b a c b a ⋅≠⋅显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线. （２）有如下常用性质：⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+)()(2222)(b b a a b a +⋅+=+五、数学运用1.例题例1．已知4||,6||==b a ，，的夹角为060，求)3()2(b a b a -⋅+的值.例2．已知5||,3||==b a ，且λ+与λ-垂直，求λ.例3．已知2||,1||==，（1）若//，求⋅；（2）若，的夹角为060，求||+； （3）若-与垂直，求，的夹角.例4．设,是两个单位向量，夹角为060，求向量n m a +=2与m n b 32-=的夹角.２．练习：可以讨论课本P80练习第1、2、3题.六、总结反思。
平面向量的数量积教案教学目标1．理解掌握平面内两向量夹角的概念及取值范围[0，π]．2．理解掌握两个非零向量的数量积(内积)cosθ的定义及其几何意义．3．理解掌握两向量共线、垂直的几何判定．4．理解掌握平面向量数量积的五个重要性质．教学重点和难点重点：本节课是全章的重点内容，所有内容都非常重要，主要有：平面向量夹角的概念；平面向量数量积的定义；平面向量数量积的几何意义；平面向量共线、垂直的判定；平面向量数量积的五个重要性质．难点：对平面向量数量积的定义，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的五条重要性质的正确理解和掌握．教学过程设计(一)学生阅读课文．阅读思考题：(1)怎样定义平面内两向量的夹角．(2)什么是平面向量的数量积，它的几何意义是什么？(3)怎样应用平面向量的数量积判断两直线的垂直和平行．(4)平面向量的数量积有那些重要性质．(二)教师在学生回答思考题的基础上进行讲评．1．平面向量的夹角：(1)两向量的夹角：已知非零向量，作，∠AOB＝θ，(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角．当θ＝0时，与同向；当θ＝π时，与反向．(2)两向量的垂直：如果与的夹角是90°，则说与垂直，记作．2．平面向量的数量积：已积两个非零向量和，它们的夹角为θ，把数量|a|·|b|cosθ叫做与的数量积(内积、点积)记作，即cosθ．并且规定零向量与任一向量的数量积为0．(1)两个平面向量的数量积是一个数量，不是向量，它的值等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．(2)两平面向量的数量积与数a与数b的积a·b不同，的数值与向量的夹角有关，而a·b没有这一因素，因之二者有不同之处．如当a≠时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量即有＝0，这与a·b＝0，则a＝0或b ＝0不同．又如，已知实数a、b、c，(b≠0)由ab＝bc我们可以推出a＝c，但对于向量，这种推理是不正确的．并不能一定推出．即cos＝cos这里表示向量与的夹角，表示向量与的夹角，由cos＝cos可推得，，推不出．3．两向量共线与垂直的判定两向量共线，若与共线同向，θ＝0．则；若与共线反向，θ＝π，则重要方法：4．平面向量数量积的几何意义：(1)投影：在cosθ中， cosθ叫做向量在方向上的投影．当θ为锐角时，它是正值，当θ为钝角时，它是负值；当θ＝90°时，它是零；当θ＝0°时，它是；当θ＝180°时，它是－．(2)的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影cosθ的乘积．5．平面向量数量积的五个重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角．(1) (提问学生，给出证明)证：(2)证：，向量与的夹角为90°，＝0，即cosθ＝0，cosθ＝0，θ＝90°(3)当与同向时，；当与反向时，．特别地证：与同向，与的夹角为0°．与反向，与的夹角为180°．因与的夹角为0°．即(4)cosθ＝．证：∵这是求两向量夹角时常用的公式．(5)证：．这里|cosθ|≤1．∴在以上这五个性质中，较常用的是：cosθ＝同学们要牢牢掌握．(三)学生练习，教师辅导．练习1：课本练习2．解：＝8，＝6，、夹角60°．·＝·cos60°＝24．练习2：课本练习3．θ＝135°．练习3：课本练习4．解：△ABC中，＝，＝．当＜0时，、夹角为钝角，△ABC为钝角三角形．当＝0时，⊥，△ABC为直角三角形．解：练习5：＝4，与的夹角为30°，求与方向上的投影．练习6：已知＝－40，＝10，＝8，求与的夹角θ．(四)教师小结．1．平面向量的数量积，射影．2．平面向量的性质，(2)，(3)，(4)．(五)作业。
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2.4 平面向量的数量积小结【学习目标】1. 理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．【新知自学】知识梳理:1．向量的夹角已知两个________向量a和b,作错误!＝a，错误!＝b,则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a,b〉．向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．若<a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．2．平面向量的数量积__________叫做向量a和b的数量积(或内积），记作a·b＝__________。
可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中｜a｜cos θ(｜b｜cos θ）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）的投影．数量积的记号是a·b,不能写成a×b，也不能写成ab.向量数量积满足下列运算律：①a·b＝__________(交换律)②(a＋b）·c＝__________（分配律)③(λa）·b＝__________＝a·（λb）(数乘结合律)．3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝（a1，a2)，b＝（b1，b2）定义 a ·b ＝|a |｜b ｜cos<a ,b >a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2模 a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝错误!｜a ｜＝错误!若A （x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则错误!＝(x 2－x 1，y 2－y 1)｜错误!|＝错误!a ⊥b a ·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＝0夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ｜|b |(|a |｜b ｜≠0）cos 〈a ,b >＝错误!｜a ·b ｜与|a |｜b |的关｜a ·b ｜≤｜a ||b ｜|a 1b 1＋a 2b 2|≤错误!错误!系对点练习：1．已知下列各式：①｜a｜2＝a2；②错误!＝错误!；③(a·b)2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有（)．A．1个 B．2个C．3个 D． 4个2．设向量a＝（1,0)，b＝错误!，则下列结论中正确的是( ）．A．｜a|＝｜b| B．a·b＝错误!C．a∥b D．a－b与b垂直3．已知a＝(1，－3），b＝(4,6），c＝（2,3），则（b·c）a等于（)．A．（26，－78） B．(－28，－42)C．－52 D．－784．若向量a，b满足|a｜＝1,｜b｜＝2且a与b的夹角为错误!,则｜a＋b|＝__________。
黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4 平面向量数量积习题课教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4 平面向量数量积习题课教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4平面向量数量积习题课模式与方法讲练结合教学目的（1）掌握平面向量数量积的坐标表示.（2) 平面向量数量积的应用。
培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力。
（3）正确运用向量运算律进行推理、运算.重点用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.难点平面向量数量积的综合应用教学内容师生活动及时间分配知识梳理一、选择题1．已知向量a＝(1，－1），b＝（2，x)，若a·b＝1，则x等于( ）A．－1 B．－错误!C。
错误!D．12．设x，y∈R，向量a＝(x,1），b＝（1,y)，c＝（2,－4），且a⊥c，b∥c,则｜a＋b｜等于( )A.错误!B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝(1,2），b＝(2，－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥（a＋b），则c等于( )A。
错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，课上限时做答10~对正确答案师讲解并引深题的考点，典型例题则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C。
错误!D。
错误!二、填空题5．已知向量a,b夹角为45°，且｜a｜＝1,｜2a－b｜＝错误!，则|b｜＝________。
高中数学 2.4.1平面向量数量积的含义学案新人教A 版必修4【学习目标】1、 理解平面向量数量积的含义，2、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；3、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【重点难点】1、 掌握数量积公式，理解几何意义及投影定义；2、 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质和运算律解决有关问题。
【学习内容】问题情境导学一、向量数量积的定义【想一想】(1)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？(2)如果我们把上述公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又如何表述？【填一填】(1)已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量_____叫做a与b 数量积(或内积),记作b a ⋅即b a ⋅=________，(2)规定零向量与任一向量的数量积为______________．【思考】向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？二、向量数量积的几何意义【想一想】 结合图形，你能作出θcos b 吗？【填一填】数量积的几何意义：数量积b a ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影___________的乘积．【思考】b 在a 方向上的投影θcos b 是个什么量？三、向量数量积的性质【想一想】的夹角︒=0θ，︒90，︒180时，b a ⋅的结果怎样？当b a =时，b a ⋅的结果又怎样？【填一填】设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________________；(2)当a 与b 同向时，b a ⋅=________，当a 与b 反向时，b a ⋅=________；(3)a a ⋅=________或a a a ⋅=2a =；(4)ba b a ⋅=θcos ； (5) ||b a ⋅b a =．【思考】若b a ⋅0>，a 与b 的夹角是锐角吗？若b a ⋅0<，a 与b 的夹角是钝角吗？返过来呢？四、向量数量积的运算律 【想一想】若c b a ，，，λ是实数，则下列运算律成立：(1)a b b a ⋅=⋅；(2))()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅；(3)c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；(4))()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅． 若以上字母除λ外都是向量，以上运算律还成立吗？【填一填】(1)b a ⋅=________；(2)=⋅b a )(λ________________))((R b a ∈⋅=λλ ；(3)=⋅+c b a )(__________________．【思考】若c a b a ⋅=⋅，b 与c 一定相等吗？为什么？课堂互动探究【类型一】数量积的基本运算例１、已知4=a ，5=b ，当①a //b ；②b a ⊥；③a 与b 的夹角为︒135时，分别求a 与b 的数量积．【类型二】与向量的模有关的问题例2、已知向量a 、b 满足2=a ，3=b ，4=+b a 求 b a -．【类型三】两向量的垂直与夹角问题例3、已知3=a ，2=b ，向量a 、b 的夹角为︒60，=c b a 53+，b a m d 3-=，求当m 为何值时，d c 与垂直？【课后作业与练习】基础达标(1)若2=a ，21=b ，a 与b 的夹角为︒60，则b a ⋅为 (A)21 (B)41(C)1 (D)2(2)已知3=b ，a 在b 方向上的投影是32，则b a⋅为(A)31 (B)34 (C)3 (D)2 (3)已知10=a ，12=b ，且b a ⋅60-=，则a 与b 的夹角(A)︒60 (B)︒120 (C)︒135 (D)︒150(4)设a 与b 的模分别为4或3，夹角为︒60，则b a +等于(A)37 (B)13 (C)37 (D)13(5)已知a 、b 是非零向量，且满足a b a ⊥-)2(，b a b ⊥-)2(，则a 与b的夹角是 (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π (6)若两个单位向量1e ，2e 夹角为32π，且向量2112e e b -=，21243e e b +=，则=⋅21b b ___________________．(7)已知向量a 、b 满足b a ⋅，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角是___________________．(8) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，若b a c +=，且a c ⊥，则b a的值为___________________． 能力提升(9)已知1=a ，b a ⋅21= ，21)()(=+⋅-b a b a ． ①求a 与b 的夹角θ；②求b a +．(10)在边长为1的正三角形ABC 中，设BD BC 2=， CE CA 3=，求BE AD ⋅．(11)已知b a ⊥，且2=a ，1=b ，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得b t a )3(-+与b t a k +-垂直，试求k 的最小值．(12) 已知非零向量a 与b 的夹角为︒120，2=a ，4=b ，设)(R x b a x y ∈+= ，试求y 的最小值，并求出相应的x 值．。
第二章第四节平面向量的数量积第一课时教学设计(一)整体设计教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版)§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．教学过程活动一：创设问题情境，引出新课1．提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．2．提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用．3．新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．设计意图1．明白新旧知识的联系性．2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．活动二：探究数量积的概念1．给出有关材料并提出问题3：(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.图12)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是________量，②F(力)是________量，③s(位移)是________量，④θ是________．(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．2．明晰数量积的定义(1)数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.(2)定义说明①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．设计意图1．认识向量的数量积的实际背景．2．使学生在形式上认识数量积的定义．3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．3．提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b的模有关，还和它们的夹角有关．4引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．5．研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.图2(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设计意图这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．6．研究数量积的物理意义(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积．(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．设计意图通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．活动三：探究数量积的运算性质1．提出问题6：(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？(2)比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？2．请证明上述结论．3．明晰数量积的性质设a和b都是非零向量，则(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|.设计意图将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．活动四：探究数量积的运算律1．提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的．关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．设计意图要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．学生活动：证明运算律(2)在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb 的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5．师生活动：证明运算律(3)设计意图学会利用定义证明运算律(1)(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．活动五：应用与提高1．学生独立完成：已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，求a·b.设计意图通过计算巩固对定义的理解．2．师生共同完成：已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3．学生独立完成：对任意向量a，b是否有以下结论：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.设计意图让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．4．师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋k b与a －k b 互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．5．反馈练习(1)判断下列各题正确与否：①若a≠0，则对任一非零向量b ，有a·b≠0.②若a≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c.(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a·b<0或a·b ＝0时，试判断△ABC 的形状．设计意图1．加强学生的练习．2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．活动六：小结1．本节课我们学习的主要内容是什么？2．平面向量的数量积有哪些应用？3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？设计意图通过学生讨论总结，加强了学生对概念、法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义．活动七：布置作业1．课本习题2.4A 组1、2、3.2．拓展与提高：已知a 与b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．(本题供学有余力的同学选做)设计意图通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情境来引入数量积概念，能激发学生的学习兴趣．通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前，有助于学生更好地理解数量积的结果是数量而不是向量．数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情境，让学生自己去探究、去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明．这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则学习研究的重要性，例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的，这能使学生更好地掌握概念法则．。
2.4 平面向量的基数量积第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cos_θ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_θ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义(2)①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔a·b＝0．②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.④cos θ＝a·b|a||b|.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．[课前反思](1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．讲一讲1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a －2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．练一练1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：[思考] 如何求向量的模|a|?讲一讲2．(1)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，则|a －3b |＝________． (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． [尝试解答] (1)因为a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1， 所以|a －3b |＝（a －3b ）2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝12＋9×12＝10. (2)因为|2a ＋b|＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． 答案：(1)10 (2) 2向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2.练一练2．(1)已知非零向量a ＝2b ＋2c ，|b |＝|c |＝1，若a 与b 的夹角为π3，则|a |＝________；(2)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则|a －b |＝________． 解析：(1)由于c ＝12a －b ，所以c 2＝14|a |2＋|b |2－2×12|a ||b |×12，整理得|a |2－2|a |＝0，所以|a |＝2或|a |＝0(舍去)．(2)由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10 答案：(1)2 (2)10[思考1] 如何求a 与b 的夹角θ？名师指津：利用cos_θ＝a·b|a ||b |求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.[思考2] 两非零向量a 与b 垂直的充要条件是什么？ 名师指津：两非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0. 讲一讲3．(1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a|＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：(1)π3求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 练一练3．已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d ，得c·d ＝0， 即c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算，见讲1； (2)向量的模的计算，见讲2； (3)向量的夹角及垂直问题，见讲3. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b )·c不一定等于a·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．课下能力提升(十九) [学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算 1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( )A.92 B ．3 C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.A.49B.43 C ．－43 D ．－49题组2 向量的模5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选A 由已知得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________． 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝（5a －b ）2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 答案：77．已知非零向量a ，b ，满足a⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a||b|＝________． 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝（a ＋2b ）·（a －2b ）|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2（a 2＋4b 2）2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233. 答案：233题组3 两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由c⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.故选B.10．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________．解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值． 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.[能力提升综合练]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )A.322B．3 C．4 D．5解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×22＝322.2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5解析：选A ∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1，故选A.A．2 3 B.32C.33D. 3解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，＝0＋4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25. 答案：－255．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ.则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b |b |22＋|a |2－（a ·b ）2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0， ∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小． (2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？提示：|a|＝（x1i＋y1j）2＝x21＋y21；|b|＝（x2i＋y2j）2＝x22＋y22.(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．(3)三个重要公式①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ[问题思考](1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝ ±⎝ ⎛⎭⎪⎫x|a |，y |a |＝±⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋y2，y x 2＋y 2，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向． 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正，负号表示不同的方向．(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2吗？[课前反思](1)平面向量数量积的坐标表示： ；(2)两个向量垂直的坐标表示： ；(3)向量模的公式： ；(4)向量的夹角公式： ．讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy 中，已知＝(－1，t )，＝(2，2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c .(2)法一：①∵2a ＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.答案：(1)5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．练一练1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得＝a ＝(x ，y )，∴||＝|离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．讲一讲2．(1)若向量a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，则|a －b |的最小值为________． (2)若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[尝试解答] (1)∵a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，∴a －b ＝(2x －1，3－x )－(1－x ，2x －1)＝(3x －2，4－3x )，∴|a －b |＝（3x －2）2＋（4－3x ）2＝18x 2－36x ＋20＝18（x －1）2＋2. ∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.(2)①∵a ＝AB ―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋（－3）2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.答案：(1) 2求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 练一练2．已知向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，若a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．解：法一：设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨⎧3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12，所以c ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.法二：由于a ·b ＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a |＝|b |＝2，从而以a ，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于a ·c ＝b ·c ，所以c 与a ，b 的夹角相等，从而c 与正方形的对角线共线．此外，由于|c |＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b |＝22)的一半，故c ＝12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝－12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.[思考] 当a 与b 是非坐标形式时，如何求a 与b 的夹角？如果a 与b 是坐标形式时，又如何求a 与b 的夹角？名师指津：(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 讲一讲3．已知平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．[尝试解答] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m 、n 的夹角为3π4.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.练一练3．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围． (1)a 与b 的夹角为90°. (2)a 与b 的夹角为锐角． 解：(1)设a 与b 的夹角为θ. |a |＝12＋22＝5，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a 与b 不同向． 因此1＋2λ>0，所以λ>－12.又a 与b 共线且同向时，λ＝2.所以a 与b 的夹角为锐角时，λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题． 2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积，见讲1； (2)解决向量模的问题，见讲2； (3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3. 3．本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1 解析：选D a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 解析：选B 法一：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0， 则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3y ≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.法二：利用排除法．D 中，y ＝0，∴D 不符合题意；C 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334不是单位向量，∴C 不符合题意；A 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12使得a ·b ＝2， ∴A 不符合题意．故选B. 题组2 向量模的问题4．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2解析：选D 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.5．设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________． 解析：a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5. 答案： 56．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则||的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2，0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则＝(2，－y )，＝(1，h －y )，∴||＝25＋（3h －4y ）2≥25＝5. 故||的最小值为5.答案：5题组3 向量的夹角与垂直问题7．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 8．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )， 又c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0， 故m ＝－79，n ＝－73.9．以原点O 和点A (5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量的坐标．解：设点B 坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )，＝(x －5，y －2)．∵⊥，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－5x －2y ＝0. 又∵||＝||， ∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，即10x ＋4y ＝29.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝29， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝72.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72. ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，32. 10．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0， 整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]A.32 B ．－32C ．4D ．－4解得m ＝4.2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C 设P (x ，0)，则＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)，∴＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ―→·BP ―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4，3)，2a ＋b ＝(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x ，6＋y )＝(3，18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12， 故b ＝(－5，12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 4．已知a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 55．如图，已知点A (1，1)和单位圆上半部分上的动点B ，若⊥，则向量的坐标为________．解析：依题意设B (cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，即cos θ＋sin θ＝0，解得θ＝3π4， 所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 6．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 解析：因为a 与b 的夹角为锐角，所以0<a ·b |a ||b |<1， 即0<3λ2＋4λ5λ2×9λ2＋4<1， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 7．已知O 为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴存在M (2，1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意．。
