第1讲 有理数与数轴(个性化)讲义

第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。

它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。

在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。

一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。

整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。

有理数可以是正数、负数或零。

1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。

•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。

二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。

2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。

分数可以是正数、负数或零。

2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。

它可以是正整数、负整数或零。

2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。

它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。

三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。

原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。

3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。

我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。

数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。

有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。

有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。

了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。

参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。

第一讲有理数的有关概念一、知识要点：（一）利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1．运用数轴直观地表示有理数；2．运用数轴形象地解释相反数；3．运用数轴准确地比较有理数的大小；4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题。

（二）数轴、相反数的意义（三）在数轴上有两点A与B,它们分别表示数a和b,则A、B两点间的距离________________。

（四）如果数轴上表示数a和b的两点分别是A和B，那么线段AB的中点C所表示的数为______________二、知识运用典型例题例1：a是有理数,那么a与-a的大小关系是 ( )A. a大于- aB. a小于- aC. a大于- a或小于- aD. a不一定大于- a练习：若a是有理数，在－a与a之间有151个整数，则有理数a的取值范围是_____________。

例2：数轴上有A、B两点，如果点A对应的数是一2，且A、B两点的距离为3，那么点D对应的数是． (江苏省竞赛题)(2)在数轴上，点A 、B 分别表示31-和51，则线段AB 的中点所表示的数是 ． (江苏省竞赛题)思路点拨(1)确定B 点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系．练习： 如图，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是( ) ．例3：比较a 与a1的大小． 思路点拨因为a 表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由aa a 11、=无意义得出011，，-=a ，据此3个数把数轴分为6个部分．练习：已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点距离的和。

(北京市竞赛题)例4：电子跳蚤从数轴上某点0M 开始跳动，第1步从0M 向左跳1个单位到1M ，第2步从1M 向右跳2个单位到2M ，第3步从2M 向左跳跳3个单位到3M ，第4步从3M 向右跳4个单位到4M … …，按以上规律跳了160步时，电子跳蚤落在数轴上的点160M 所表示的数为20.03，试求电子跳蚤初始位置0M 所表示的数。

2019年沪科版7（上）有理数——数轴、相反数、绝对值【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．要点二、有理数的分类（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】1．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数．2．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉；（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】1.数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为2.（1）如果a＝－13，那么－a＝______；(2) 如果－a＝－5.4，那么a ＝______；(3) 如果－x＝－6，那么x＝______；(4) －x＝9，那么x＝______.3. －4的倒数的相反数是（ ）A ．－4B ．4C ．－D ． 4.填空：(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 155-是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数；（6）a 和 互为相反数.（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．5. 已知21m -与172m -互为相反数，求m 的值.6．化简：（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．41412.法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】1．计算：（1）145-- （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)|2．若|a ﹣1|=1﹣a ，则a 的取值范围是（ ）A. a ≥1B. a ≤1C. a ＜1D. a ＞13. 若a ＞3，则|6﹣2a|= （用含a 的代数式表示）．4. 如果数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为 ．如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ；如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ．5.化简||||x x x +的结果是 . 6. 比大小： （1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--．7. 若m ＞0，n ＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．8. 已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：.9. 已知|a －2|＋|b －3|＝0，求a －b 的值.10. 已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【练习】1、下列说法中，错误的个数有（ ）.①绝对值是它本身的数有两个：0和1②一个有理数的绝对值必为正数③0.5的倒数的相反数的绝对值是2④任何有理数的绝对值都不是负数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、在－(－2.5)，3，0，－5，－0.25，中正整数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、在数轴上表示－2的点离开原点的距离等于( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．44、有理数a 在数轴上的位置如图所示：化简1+a 的结果是（ ）A 、b a +B 、1+-aC 、1-aD 、1--a5、若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是()．12-A ．a ＞bB ．|a |＞|b |C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b |6、若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2，则x 2＋5(a ＋b )－8c d ＝______. 7、若实数a ，b 满足|3a －1|＋(b －2)2＝0，则a b ＝______.8、（1）当x ＝______时，|x －3|＋1有最小值为_______；（2）当x ＝______时，2－|x －1|有最大值为________.9、已知|a|＝4，|b|＝2，且ab ＜0，则a ＋b ＝_________.10、若|m －n|＝n －m ，且|m|＝4，|n|＝3，则m ＋n ＝_________.11、若x =8-，则=x ；若8-=-x ，则x = .12、若a a -=-，则=a .13、13=-x ，则=x .14、如果a ＜0，b ＞0且|a|＜|b|，则a ＋b 0.15、已知|x ＋2|＋(2y －3)²＝0，求x ＋2y 的值.【思考题】求的最小值．。

有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。

初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数： 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数（含正有限小数负整数 理 0 和循环小数）有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数（含负有限小数和循环小数）注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。

如：0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。

（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。

（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。

（3）数0既不是正数，也不是负数。

0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。

（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。

（5）正整数、0、负整数统称整数。

整数可以看作分母为1的分数。

（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。

所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。

（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。

问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。

（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。

第一讲 有理数与数轴入门测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为A ．+3B ．﹣3C ．31+D ．31-B2．以下4个有理数中，最小的是A ．-1B ．1C ．0D ．-2D 3．31-的相反数是 ． 134．下列说法正确的是①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③一个有理数不是正数就是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ A5．若数轴上点A 表示的数是-3, 则与点A 相距4个单位长度的点B 表示的数是 ． -7或16．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 AA ．aB ．bC ．cD ．d7．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为25.0+，1-，5.0+，75.0-．小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为 千克．99教学目标1．理解并掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的意义2．会比较有理数的大小3．会求有理数的相反数和绝对值4．会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识梳理1．正数和负数大于的数叫做0 正数，等在正数前面加上负号"" 的数小于的数叫做，形如-3-0.50 负数0 既不是正数也不是负数2．有理数、和统称为正整数0 负整数整数、统称为正分数负分数分数和统称为整数分数有理数所以有理数可以分为．和正有理数 0 负有理数 3．数轴数轴：规定了 ． 和 的直线叫做数轴原点 正方向 单位长度所有的有理数都可用数轴上的点来表示4．数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”） （3）确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； （4）选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，… 从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…5．相反数相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数符号就是0的相反数 0求一个数的相反数只要在 加上"-"即可，若求一个代数式的相反数就是用括号把这 个代数式括起来，再在这个 加上"-"．前面括号前性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=，1ab=-（b 0≠）两个数相加为零，则这两个数互为，他们分别位于原点的，且到原点的相反数两侧距离相等6．绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离在数轴上离开的距离就叫做这个数的原点绝对值一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是绝对值的代数意义：||() () ()aa aaa a=>=-<⎧⎨⎪⎩⎪00典型例题例题1：1．我们把向东运动5米记作“+5米”，则向西运动3米记作________米．-32．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示A．支出80元B．收入20元C．支出20元D．收入80元A练习1：1．如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作CA．-5B．-10C．-5 D．-10练习2：1．在－3，－1，2，0这四个数中，是正数的数是CA．－3 B．－1 C．2 D．0例题2：1．有8筐白菜, 以每筐25千克为标准, 超过的千克数记作正数, 不足的千克数记作负数,称后的记录如下：1．5 -3 2 -0．5 1 -2 -2 -2．5回答下列问题：（1）这8筐白菜中, 最接近25千克的那筐白菜为__________千克; 24.5（2）以每筐25千克为标准, 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？5.5（3）若白菜每千克售价2.6元, 则出售这8筐白菜可卖多少元？505.7练习1：1．某日，司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送游客。

第一章《有理数》专题1数轴的理解与运用一．知识要点：1.数轴：数轴是一条具有原点，正方向，单位长度的直线.2.任何有理数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.数轴上两点之间的距离：当点A表示的数是a，点B表示的数是b时，AB=|a-b|.4.数轴上平移的规律：假设起点是a，向右平移b个单位，则得到的数是a+b，向左平移b个单位，得到的数是a-b.5.相反数的几何意义：在原点两侧，关于原点对称，即表示互为相反数的两个数到原点的距离相等.6.中点坐标公式：A点表示的数是a，B点表示的数是b，则线段AB的中点C.表示的数是a+b2二．模块训练：一．数轴与有理数1．数轴上，表示数﹣2.2与3.5的两点之间的整数点的个数是（）．A．5 B．6C．7 D．82．数轴上点A表示数﹣3，将点A沿数轴移动7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）．A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．﹣10或43．若数轴上表示数a和﹣3的两点的距离等于5，则a＝．4．数轴上点A表示的数是3，点B与点A距离为7，则数轴上点B表示的数为（）．A．10 B．﹣4 C．﹣4或10 D．4或105．如图所示，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则点C表示的数是（）．A．﹣2 B．0C．2 D．46．已知数轴上点A表示的有理数是6，点B是数轴上在点A左侧的一点，A，B两点之间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动5秒，则数轴上点B表示的数是，点P表示的数是．二．数轴与相反数7．如图，表示互为相反数的两个点是（）．A．A与D B．B与D C．B与C D．A与C8．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）．A．点M B．点N C．点P D．点Q9．数轴上点A表示的数是﹣3，点B与点A的距离为5，则点B表示的数是（）A．2B．﹣8C．2或5D．2或﹣810．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系正确的是（）．A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．﹣b＞b＞a＞﹣aB．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞﹣b＞﹣a＞b11．一个点从数轴上表示1的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是．12．若a和b是符号相反的两个数，在数轴上a所对应的点和b所对应的点相距6个单位长度，如果a=-2，则b的值为.12．根据如图所示的数轴，解答下面的问题：（1）点A表示的数是，点B表示的数是．（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是．（3）若将数轴折叠，使得点A与表示数﹣3的点重合，则点B与表示数的点重合；（4）若数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中的折叠后互相重合，求M，N两点表示的数．。

第一讲有理数的分类、数轴、相反数一、知识结构·有理数的分类1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数·数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

标题初一数学课教学文案数轴与有理数初一数学课教学文案：数轴与有理数引言：在初中数学课程中，数轴与有理数是一个非常重要的知识点。

理解数轴与有理数的概念，能够帮助学生建立对数学概念的整体认识，并能够运用数轴解决实际问题。

本文将以初一数学课教学为背景，探讨如何有效地教授数轴与有理数的相关内容。

一、数轴的引入1. 数轴的定义数轴是一个直线上的图形，用来表示数与数之间的大小关系。

数轴通常包括一个原点、一个单位长度与正方向。

通过数轴，我们可以直观地理解数的相对大小和位置。

2. 数轴的绘制与标记通过在纸上画一条直线，并标记出原点以及单位长度，我们就可以绘制一个数轴。

为了方便，我们通常将数轴上的整数点标记出来，以便于数的表达与比较。

例子：请同学们在纸上绘制一个数轴，并标记出-5、0、2和7这几个整数点。

二、有理数的概念与表示方法1. 有理数的定义有理数包括正数、负数和零，可以用两个整数的商来表示。

有理数以分数的形式表达，其中分子表示正负和大小，分母表示单位。

2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数两大类。

整数是分母为1的有理数，例如2、-3；而分数则是分母不为1的有理数，例如1/2、-5/3。

例子：请同学们列举出一些有理数，并判断它们属于整数还是分数。

三、数轴上的有理数表示1. 正数和负数数轴上，我们用右侧的正方向表示正数，用左侧的负方向表示负数。

原点则表示零。

通过数轴，同学们可以直观地了解正数、负数和零的相对大小和位置。

2. 数轴上有理数的标记在数轴上，我们可以将有理数的表示方法与数轴的标记相结合。

正数、负数和零分别标在数轴的相应位置上。

例子：请同学们将之前列举的一些有理数表示在数轴上，并判断它们的相对大小。

四、数轴上的有理数运算1. 有理数的加法与减法通过数轴，我们可以直观地理解有理数的加法与减法。

对于有理数的加法，我们可以将数轴上的有理数向右移动；对于减法，则是向左移动。

通过这种移动的方式，我们可以很直观地理解加法与减法的操作。

模块一 正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.。

负数都小于0. 0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ） A ．150 B ．-150 C ．150米 D ．-150米 【难度】1星【解析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】“正”和“负”相对，所以高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米． 故选D ．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【例2】飞机上升了-80米，实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米，再下降80米D．下降80米【难度】1星【解析】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反，即下降．【答案】负号表示与上升意义相反，即下降，则飞机上升了-80米，实际上是下降80米．故选D．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【例3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】1星【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【答案】①0不带“-”号，但是它不是正数．②-0带负号，但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意0这个特殊的数字，既不是正数也不是负数．【例4】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【难度】1星【解析】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【答案】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”，低于20℃记作负，由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【例5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点，在A地的正______南方向，距A地____千米．②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油_______40.5升.【难度】2星【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【答案】①根据题意可得：南记为正，北记为负，则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米．②从A地出发，汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【例6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|，负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【难度】1星【解析】把各式化简得：3，-2.1，- ，9，1.4，8，0，-3．【答案】-2.1为负数有限小数，- 为负数无限循环小数，- 是负整数，所以是负有理数．共3个．【点评】判断一个数是有理数还是无理数，要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【例7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【难度】1星【解析】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案，注意：2002年国际数学协会规定，零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【答案】①0是整数，故本选项正确；②0是自然数，故本选项正确；③能被2整除的数是偶数，0可以，故本选项正确；④非负数包括正数和0，故本选项正确．所以①②③④都正确，共4个．故选A．【点评】本题主要对0的特殊性的考查，熟练掌握是解题的关键．【例8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有，是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【难度】1星【解析】根据有理数的分类，采用排除法判断．【答案】0是非负有理数，但不是正有理数，A 错误；零不是没有，它是整数，也是有理数，B 错误； 0也是整数，C 错误；整数和分数统称为有理数，这是定义，D 正确． 故选D ．【点评】本题主要考查有理数学习中概念的理解，必须熟练掌握． 【例9】既是正数，又是分数的数是（ ）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【难度】1星【解析】按照有理数的分类进行选择即可．【答案】A ．+2虽然是正数，但不是分数，不合题意，故A 错误；B ．0既不是正数，也不是分数，故B 错误；C ．符合题意，故C 正确；D ．312-虽然是分数，但不是正数，故D 错误． 故选C ．【点评】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．【例10】最小的正整数是 _____1，最大的负整数是 _______. 【难度】1星【解析】根据有理数的相关知识进行解答． 【答案】最小的正整数是1，最大的负整数是-1．【点评】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数，但0既不是正数也不是负数．【巩固】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______0和负整数，是负数而不是分数的是 ________。

- 1 -有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．1、 正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量． 2、 有理数的概念整数和分数统称为有理数． 3、 有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．有理数内容分析知识结构模块一：有理数的意义知识精讲【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？（1）10元；（2）3.5元；（3）100-元；（4）0元．【难度】★【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；（3）支出100元；（4）没有收入也没有支出．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．【总结】本题考查了正数和负数的意义．【例2】下列说法错误的是（）A．收入200元和支出300元是相反意义的量B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量【难度】★【答案】C【解析】粮食和水是两回事，故C错误．【总结】本题考查了具有相反意义的量．【例3】下列说法中正确的是（）A．正有理数和负有理数组成了全体有理数B．在有理数中，零的意义仅表示没有C．所有的小数都是有理数D．0既不是正数也不是负数【难度】★【答案】D【解析】有理数按正负可分为：正有理数、零、负有理数；有理数按意义可分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．【例4】把下列各数填入它所属的圈内：10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0．76，23-，158．例题解析正数负数- 2 -【难度】★【答案】正数：69、45、279、46%、0.76、158；负数：10-、 1.7-、23-．【解析】根据有理数的分类填写即可．【总结】本题考查了有理数的分类．【例5】下列各数中，哪些是正数？哪些是整数？哪些是非负数？哪些是有理数？8-，0.126，0，227，()2--，4.5，12-，101.0101，π，20．【难度】★★【答案】正数：0.126、227、()2--、4.5、101.0101、π、20；整数：8-、0、()2--、20；非负数：0.126、0、227、()2--、4.5、101.0101、π、20；有理数：8-、0.126、0、227、()2--、4.5、12-、101.0101、20．【解析】根据正数、整数、有理数的意义分类填写【总结】本题考查了有理数的意义和分类．【例6】回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【难度】★★【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【解析】正确的有理数分类．【总结】本题考查了有理数的分类及意义．【例7】改写下列各句，使其不含负数：（1）海平面上升了0.8-米表示_____________________；（2）公交车向北行驶了5-千米表示______________________．【难度】★★【答案】（1）海平面下降了0.8米；（2）公交车向南行驶了5千米．- 3 -- 4 - 【解析】上升对应的相反意义的量是下降；向北对应的相反意义的量是向南． 【总结】本题考查了正负数的意义及具有相反意义的量．【例8】 某市2016年元旦的最高气温为2C ︒，最低气温为8C -︒，那么这天的最高气温比最低气温高______C ︒．【难度】★★【答案】C 10．【解析】由题意最高气温减去最低气温，即可得到答案，()1082=--． 【总结】本题考查了有理数的意义及简单运算．【例9】 观察下列数列，填上空缺的数．（1）1，1-，2，2-，3，______，______，______； （2）1，2-，3，4-，5，______，______，______． 【难度】★★【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8． 【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可；（2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号． 【总结】本题考查了按规律填数．【例10】 在一次数学测验中，小智所在班的平均分为87分，把高于平均分的高出部分记为正，（1）小智得了94分，应记作多少分？（2）小智的同学小方得分被记作8-分，他的实际成绩是多少分？ 【难度】★★【答案】（1）7+分；（2）79分．【解析】根据正负数在日常生活中常用来表示具有相反意义的量； （1）小智得了94分，应记作787-94+=； （2）小方被记作8-分，他实际得分是79887=-． 【总结】本题考查了根据正负数的意义解答简单实际问题的能力．【例11】 某中学对初一男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数（1）这8名男生有几人达标？ （2）达标的百分比是多少？ 【难度】★★★- 5 -A BC D123455- 4- 3- 2- 1-【答案】（1）达标的成绩为2、0、3、1、0，达标人数有5人；（2）达标率为()%5.62%10085=⨯÷． 【解析】（1）根据非负数是达标人数即可；（2）达标人数除以总人数即可． 【总结】本题考查了正数和负数及百分数的应用．【例12】 若以45分钟为1个单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正．例如9 : 15记为1-，10 : 45记为1等，依次类推，上午7 : 45应记为（ ）A ． 3.15-B ．3-C ． 2.15-D ．7.45-【难度】★★★【答案】B【解析】 10时以前记为负，10时以后记为正，且以45分钟为1个单位时间单位； ∴上午45:7与10时相隔135分，即3个单位；应记为3-．故选B ． 【总结】本题考查了正负数的意义．1、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．【例13】 指出下列数轴上的的点A 、B 、C 、D 分别表示什么数． 【难度】★ 【答案】数轴上的D C B A 、、、各点分别表示113442--、、、．模块二：数轴知识精讲例题解析- 6 - a b0 【解析】任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示． 【总结】本题考查了数轴上的点表示数．【例14】 用数轴上的点分别表示4-，5，122-，3.2以及它们的相反数，并用“<”把它们连接起来．【难度】★【答案】如图所示4-，5，122-，3.2的相反数分别是4，5-，122， 3.2-，大小顺序为：1154 3.222 3.24522-<-<-<-<<<<．【解析】见上图．【总结】本题考查了数轴上的点表示数以及相反数的概念．【例15】 下列各数中，哪些数是相等的？哪些数互为相反数？2.3，5-，112-，3210，4.5，5，112， 3.2-．【难度】★【答案】相等的有：3.2与1032；互为相反数的有：5-与5、211-与211． 【解析】相等的量及互为相反数的量定义． 【总结】本题考查了有理数的互化及相反数的意义．【例16】 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示：（1）在数轴上作出它们的相反数；（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来． 【难度】★★【答案】见解析． 【解析】（1）只有符号不同的两个数互为相反数．（2）b a a b <-<<-，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大． 【总结】本题考查了相反数的定义及有理数的大小比较．321- 7 -abABCD【例17】 以下叙述中，正确的是（ ）A ．正数和负数互为相反数B ．表示相反意义的量的两个数互为相反数C ．任何有理数都有相反数D ．任何有理数都有倒数 【难度】★★【答案】C【解析】只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互 为相反数；0没有倒数．【总结】本题考查了正负数的意义及应用．【例18】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离为2个单位，则a =______． 【难度】★★【答案】2±．【解析】到原点的距离为2个单位的点即2±． 【总结】本题考查了数轴的应用．【例19】 数轴上有A ，B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A ，B 两点的距离为3个单位，求点B 对应的数．【难度】★★【答案】1，5-．【解析】解：设点B 对应的数为x ，由题意得：32=--x ，解得：5-=x 或1． 【总结】本题考查了数轴的应用及意义．【例20】 如图，如果数a 到原点的距离是数b 到原点的距离的3倍，则数轴的原点可能是A ，B ，C ，D 【难度】★★★ 【答案】点C 或点D ．【解析】由题意得：b a 3=，根据图形分以下两种情况讨论， ①当31a b =-=，时，数轴的原点为C 点； ②当62a b =-=-，时，数轴的原点为D 点． 【总结】本题考查了数轴的知识应用．模块三：绝对值- 8 -1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．【例21】 求1.3，7-，355，0，124-的绝对值．【难度】★【答案】33111.3 1.3-775500-225544=====；；；；． 【解析】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 【总结】本题考查了绝对值的计算．【例22】 下列结论中，正确的是（ ）A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值一定是正数D ．一个数的绝对值的相反数一定是负数【难度】★【答案】B 【解析】0≥a ．【总结】本题考查了绝对值的意义．【例23】 绝对值小于3的整数有______个，分别为____________________．知识精讲例题解析【难度】★【答案】5；012±±，，．【解析】因为3<a ，且a 为整数；所以012a =±±，，，故有5个． 【总结】本题考查了绝对值的意义．【例24】 已知3x =，那么x =______． 【难度】★【答案】3±． 【解析】因为3=x ，故3±=x ．【总结】本题考查了绝对值的意义及计算．【例25】 如图，a 、b 为数轴上两点表示的有理数，则在a b +，2b a -，a b -，b a -中，负数有几个？【难度】★★【答案】0个．【解析】由题意得：00a b a b <><，，；则0>+b a ；02>-a b ；0>-b a ；0>-a b ．故均为正数． 【总结】本题考查了有理数绝对值意义及大小比较．【例26】 判断题：（1）a a -=；（ ） （2）a a -=-；（ ）（3）a aaa=（0a ≠）；（ ） （4）若a b =，则a b =；（ ） （5）若a b =，则a b =；（ ） （6）若a b >，则a b >；（ ） （7）若a b >，则a b >；（ ） （8）若a b >，则b a a b -=-．（ ）【难度】★★【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）√．【解析】 0a ≥，由绝对值的性质和意义可得，举反例即可．【总结】本题考查了绝对值的意义．【例27】 设数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，则b a a c c b -+++-化简后的结果- 10 - 为多少？【难度】★★【答案】c 2-．【解析】先判断绝对值里的正负，再由性质进行去绝对值运算；由数轴得：000b a a c c b -<+<-<，，，故原式()()()2b a a c c b c =---+--=-． 【总结】本题考查了绝对值的性质．【例28】 已知2x <-，求11x -+化简后的结果． 【难度】★★★【答案】x --2．【解析】由2-<x ，则01<+x ，所以111122x x x x -+=++=+=--． 【总结】本题考查了含绝对值符号的化简．【例29】 如果3a =，5b =，求a b a b +--的绝对值． 【难度】★★★【答案】6．【解析】解：由题意得：35a b =±=±，；分情况讨论：如当3,5a b ==时，原式6=，其绝对值为6；同理即可得其它情况均为 6．【总结】本题考查了绝对值的计算及应用．【例30】 化简： （1）x ；（2）2x -；（3）424x x ++-．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1） ①当0≥x 时，x x =；②当0<x 时，x x -=． （2） ①当2>x 时，22-=-x x ；②当2=x 时，02=-x ； ③当2<x 时，x x -=-22．（3）①当4-<x 时，原式()()x x x 3424-=--+-=； ②当24≤≤-x 时，原式()8424+-=--+=x x x ； ③当2>x 时，原式x x x 3424=-++=．【总结】本题主要考查零点分段法的运用，解题时注意要分类讨论，综合性较强，老师可以 选择性讲解．【习题1】 把下列各数填入它所属的圈内： 17-，12，2-，914，107-，0.5， 2.32-，30-，101，2．333． 【难度】★【答案】见解析12，101 71-，2-，710-，32.2-，30- 【解析】149，5.0，333.2 12，149，5.0，101，333.2【总结】本题考查了整数的分类．【习题2】 填空：（1）某水库的水位上升3米，记作3+米，那么水位下降4米，记作______米；（2）如果规定向东走为正，那么走了5-千米的意义是__________________________；（3）如果20%+表示增加20%，那么5%-表示_________________；（4）时钟的分针顺时针方向旋转了90︒记作90-︒，那么逆时针方向旋转180︒记作______．【难度】★【答案】（1）4-；（2）向西走5千米；（3）降低%5；（4） 180+．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量．【总结】本题考查了正负数的意义．【习题3】 判断：（1）整数包括正整数和负整数；（ ）（2）比正有理数小的数是负有理数；（ ）（3）a -一定是负数；（ ）（4）一个数的相反数的相反数是它本身．（ ）【难度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√．【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数．随堂检测 正整数 负数正分数 非负数【总结】本题考查了有理数的意义和分类．【习题4】 用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来．（1）3的相反数；（2）213的相反数；（3）23-的相反数的倒数； （4）0；（5）4-的绝对值；（6）4-的绝对值的相反数．【难度】★★【答案】见解析．【解析】A 代表3-；B 代表321-；C 代表23；D 代表0；E 代表4；F 代表4-． 423032134<<<-<-<-． 【总结】本题考查了绝对值的意义及大小比较．【习题5】 求下列各数的绝对值：（1）25-； （2）0.35； （3）a （a < 0）；（4）3b （b > 0）； （5）2a -（a < 2）；（6）a b -． 【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）25；（2）35.0；（3）a -；（4）b 3；（5）a -2；（6）分类讨论：当b a >时，其绝对值为b a -；当b a =时，其绝对值为0； 当b a <时，其绝对值为a b -．【总结】本题考查了绝对值的运算，注意（6）要分类讨论．【习题6】 按一定规律填数：（1）16，8-，4，______，______，12-； （2）1，2，3-，4，5，6-，7，8，9-，_____，_____，…，_______(第2016个数)．【难度】★★【答案】（1）2-，1；（2）10，11，2016-．【解析】符号和数字分开看．【总结】本题考查了按规律填数．【习题7】 有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在a b +、2b a -、b a -、a b -、2a +、4b --中，负数共有几个？【难度】★★【答案】3． 【解析】由数轴得：0,0><b a ，b a >，则0<+b a ，02>-a b ，0<-a b ， 0>-b a ，02>+a ，04<--b ；所以负数有3个．【总结】本题考查了绝对值的性质．【习题8】 3x -和2y +互为相反数，求x y +的值．【难度】★★★【答案】1． 【解析】由题意得：023=++-y x ，所以3=x ，2-=y ；所以1=+y x ．【总结】本题考查了绝对值的意义及性质，绝对值为非负数．【习题9】 a ，b ，c 三点在数轴上的位置如图所示：试判定a b a b -+，a b a b +-，a bc a bc+-之间的大小关系． 【难度】★★★【答案】b a b a cb a cb a b a b a -+<-+<+-． 【解析】由数轴，得：a b bc <<，因为b a cb a cb a b a +<-<+<-<0，所以：1;1<-+<+--+<+-<cb a cb a b a b a b a b a cb a cb a ，所以：ba b a cb a cb a b a b a -+<-+<+-． 【总结】本题考查了对数轴上的点的理解，以及有理数的大小比较．【习题10】 如图所示，在数轴上有6个点，且AB = BC = CD = DE = EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是多少？【难度】★★★【答案】1 【解析】由F A 、两点所表示的数可知，16511=+=AF ，EF DE CD BC AB ==== ，2.3516=÷=∴EF ，∴E 点表示的数为8.72.311=-；点C 表示的数为：4.12.32.38.7=--；∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．【总结】本题综合性较强，注意解题时认真分析，主要是利用线段间的关系，从而得到相应 的数．【作业1】 在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？4，5-，143，56-，99，0，0．31，125-， 2.02-． 【难度】★【答案】整数：45990-，，，；正数：144990.313，，，；负数：5152 2.0265----，，，； 有理数：4，5-，143，56-，99，0，0．31，125-， 2.02-． 【解析】有理数按意义可分为整数和分数；按正负可分为正有理数，0，负有理数．【总结】本题考查了有理数的分类．【作业2】 填空：（1）如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数表示表示潜水艇的高度为______，鲨鱼的高度为______；（2）9点为基准，9点过半小时记作0.5+，则差半小时9点记作___________．【难度】★【答案】（1）40-米，30-米；（2）5.0-．【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量．【总结】本题考查了正负数的意义．【作业3】 最大的负整数是______，最小的正整数是______，最小的自然数是______，倒数等于本身的数是______，相反数等于它本身的数是______．【难度】★【答案】1-；1；0；1±；0．【解析】正确理解有理数的意义分类，倒数和相反数的概念．【总结】本题考查了有理数的有关概念及其分类．【作业4】 比较两个有理数的大小：（1）0．33____13；（2）114-____127-；（3）4-____142-；（4）；a ____1a （01a <<）； 课后作业（5）3%____310；（6）2--____()2--；（7）172-____173-；（8）2-____13． 【难度】★★【答案】（1）<；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）<；（7）<；（8）>．【解析】正确掌握分数、小数、百分数的互化，理解负数比较大小的方法：绝对值大的反而 小．【总结】本题考查了有理数的大小比较．【作业5】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：求1a b -，1c b -，1a c-中最大的数． 【难度】★★【答案】bc -1． 【解析】由题意得：a b c >>>0，于是0<-b a ，0>-b c ，0<-c a ，因此111000a b c b a c <><---，，，所以在111a b c b a c ---，，中，最大的是bc -1． 【总结】本题考查了有理数的大小比较．【作业6】 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图，则1c a c a b -+-+-化简后的结果是多少？【难度】★★【答案】b c +-21． 【解析】由数轴得：b a c <<<<-01，所以1000c a c a b -<->-<，，；故原式()()b c b a c a c +-=---+--=211．【总结】本题考查了数轴上不同位置的点大小关系及绝对值的化简．【作业7】 已知a a =-，化简12a a ---．【难度】★★【答案】1-． 【解析】由题意得：a a -=，故0=+a a ，又0≥a ，所以0≤a ；所以1020a a -<-<，，原式()()121-=-+--=a a ．【总结】本题考查了绝对值的化简．【作业8】 比较有理数a 和1a（0a ≠）的大小．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】解：分类讨论：当1=a 或者1-=a 时，a a 1=； 当1-<a 或10<<a 时，a a 1<；当01<<-a 或1>a 时，aa 1>． 【总结】本题考查了利用作差法比较两个有理数的大小，注意要分类讨论．【作业9】 化简：253x x ++-【难度】★★★【答案】见解析．【解析】先计算052=+x ，25-=x ；03=-x ，3=x ； ①当25-<x 时，原式()()23352--=--+-=x x x ； ②当325≤≤-x 时，原式()()8352+=--+=x x x ； ③当3>x 时，原式()()23352+=-++=x x x ．【总结】本题考查了去绝对值号的问题，注意化简时要分类讨论．【作业10】 若29a =，87b =且a b a b +≠+，求a b -的值．【难度】★★★【答案】116或58．【解析】由题意得：8729±=±=b a ，，由于b a b a +≠+，故0<+b a 因此当29=a 时，87-=b ，()1168729=--=-b a ；当29-=a 时，87-=b ，()588729=---=-b a ．【总结】本题考查了绝对值的化简及运算，注意分类讨论．。