圆周角的定义及推论

圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。

也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。

即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。

例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。

圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。

其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。

数学知识点：圆周角定理_知识点总结在数学的世界中，圆周角定理是一个非常重要的概念，它为我们解决与圆相关的几何问题提供了有力的工具。

接下来，让我们一起深入了解圆周角定理的奥秘。

圆周角的定义首先得搞清楚。

圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

比如说，在一个圆中，顶点在圆上的角，如果它的两条边都与圆相交，那这个角就是圆周角。

圆周角定理指出：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

这是个关键且核心的定理。

为了更好地理解这个定理，咱们来看几个具体的例子。

假设在一个圆中，有一段弧 AB，那么不管在圆周上取哪个点作为顶点，形成的圆周角的度数都是相等的，并且都等于弧 AB 所对圆心角的一半。

这个定理的证明其实也不难。

我们可以通过连接圆心和圆周角的顶点，然后利用三角形的内角和定理以及圆心角和圆周角之间的关系来进行推导。

圆周角定理有很多重要的推论。

比如，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

为什么说半圆（或直径）所对的圆周角是直角呢？因为半圆所对的圆心角是 180°，根据圆周角定理，它所对的圆周角就是 90°，所以是直角。

而 90°的圆周角所对的弦是直径，这是因为圆周角是 90°，那么它所对的圆心角就是 180°，而圆心角所对的弦就是直径。

在实际的解题应用中，圆周角定理及其推论的作用可大了。

比如，在证明一些直角三角形与圆的关系时，就经常会用到“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这个推论。

再比如，当我们已知圆周角的度数，要求圆心角的度数时，就可以直接运用圆周角定理来计算。

还有，在计算与圆相关的角度问题时，如果能够巧妙地运用圆周角定理，往往能够使问题变得简单明了。

另外，圆周角定理也和其他的几何定理相互关联。

比如，它和圆的内接四边形的性质定理就有着密切的联系。

圆的内接四边形的对角互补，而当其中一个角是圆周角时，通过圆周角定理和对角互补的性质，我们可以解决很多关于角度计算和证明的问题。

人教版初三上册数学第24章知识点复习：
圆周角定理及推论
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。

①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
以上就是为大家整理的人教版初三上册数学第24章知识点复习：圆周角定理及推论，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。

圆周角的定义是：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。

其特点可归纳为：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。

这两个条件缺一不可。

圆周角定理为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

具体来说，定理有三方面的意义：
圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中；
它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧；
具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

此外，还有以下推论：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

直径(半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦为直径。

如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆周角--知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1．理解圆周角的概念．了解圆周角和圆心角的关系；2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径；4．掌握圆内接四边形的对角互补.5．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于( )A．45° B．60° C．30° D．55°【答案】A.∵ AB＝BC＝CD＝DA，∴»»»»90 AB BC CD DA====°，∴∠BEC＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．类型三、圆内接四边形4.如图，在圆的内接四边形ABCD中，∠ABC=120°，则四边形ABCD的外角∠ADE的度数是（）A．130° B．120° C．110° D．100°【思路点拨】先根据圆内接四边形的对角互补及邻补角互补得出∠ADC+∠B=180°，∠ADC+∠ADE=180°，然后根据同角的补角相等得出∠ADE=∠B=120°．【答案】B；【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=120°，∴∠ADE=120°．【总结升华】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（）A．52°B．54°C．56°D．60°【答案】B．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，∴∠DCE=∠BAD=108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠DCE=54°．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠BOD=130°，则∠DCE=°．【思路点拨】由圆周角定理，可求得∠A的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得∠DCE=∠A．【答案】65；解：∵∠BOD=130°，∴∠A=∠BOD=65°，∵∠A+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A=65°．【总结升华】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，点C是AB上一点，O是圆心，且∠AOB=120°，则∠ACB=度．【答案】120；解：设点E是优弧AB上的一点，∵∠AOB=120°，∴∠AEB=60°，∴∠ACB=180°﹣∠AEB=120°．。

24.1圆的有关性质（第四课时）一、内容和内容解析1.内容圆周角概念，圆周角定理及其推论.2.内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角.顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系.从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来.圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，弧、弦相等等数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弦、弧之间关系的继续，又是后续研究圆与其他平面图形的桥梁和纽带.圆周角定理得证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.2.目标解析达成目标（1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理和推论解决简单问题.达成目标（2）的标志是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理.三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法,分情况证明.学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏.因此，教学的关键是:①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面，让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系,为后面证明中的分类讨论做好铺垫.②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想他们之间的数量关系，然后教师在利用计算机软件来验证，让学生进一步明确他们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.③从特殊的位置关系——圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形.基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理.四、教学过程设计1.了解圆周角的概念问题1 如图1，∠ACB 的顶点和边有哪些特点？师生活动：学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到：∠ACB 的顶点在O Θ上，角的两边分别交O Θ于点A,B 两点.教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角与圆心角都是圆有关的角.设计意图：结合图形，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第88页练习第一题.师生活动：学生思考并回答问题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解.2.探索圆周角定理问题2 在图2中，∠ACB 是圆周角，作出弧AB所对的圆心角∠AOB.分别测量∠ACB 和∠AOB 的度数.他们之间有什么关系？师生活动：学生画图，连接OA,OB 得到圆心角∠AOB.跳时指出∠ACB 和∠AOB 都对着弧AB 提出以下问题.教师追问1：图2中，∠ACB 和∠AOB 有怎样的关系？师生活动：学生通过观察，度量，猜想AOB ACB ∠=∠21.即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问2：在O Θ上任取一条弧，做出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图度量，并验证猜想外，教师也可以利用《几何画板》软件的动态功能和度量功能进行演示，从更广泛的角度验证猜想：①拖动圆周角的顶点在优弧AB 上运动；②改变弧的大小；③改变圆的大小后分别进行①和②的掩演示.引导学生发现，在演示过程中，∠ACB 和∠AOB 度数的比值保持不变.设计意图：引导学生经历观察猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？教师追问1：在圆上任取弧BC ，画出圆心角∠BAC 和圆周角∠BOC,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系（图3）：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续.同时进一步明确证明的必要性和证明的方法.教师追问2：第①种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到第①种情况属于特殊情况，另外两种情况比第①种情况复杂.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.师生结合图3（1），分析第①种情况，得到BOC A C A BOC C A OC OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21教师指出：符号”B A “⇒表示由条件A 推出B ，可以用”“⇒方式给出推理过程.设计意图：从特殊情况入手，证明猜想G 便于学生的学习又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.教师追问3: 在第②③种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？师生活动：学生思考，尝试解决.如果学生有困难，教师可提示学生：将第②③种情况转化成第①种情况.根据学生的情况，师生共同研究完成第②种情况的证明.证明：如图4，连接AO 并延长交ΘO 于点D.BOD BAD B BAD BOD B BAD OB OA ∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=21. 同理,COD CAD ∠=∠21. BOC COD BOD CAD BAD BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠∴212121. 学生独立完成第③种情况的证明.从而得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4.探究特殊情况，获得推论问题4 我们知道，一条弧，可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？师生活动：学生画出弧BC 所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等.再思考同弧或等弧的情况.如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论.设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系.问题5 半圆或直径所对的圆周角有什么特殊性？师生活动：学生画出弧AB 所对的几个圆周角和圆心角（图6），通过观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.教师进一步引导学生得出：90°的圆周角所对的弦是直径.设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论.5.应用圆周角定理与推论例如图7，OΘ的直径AB的长为10cm.弦AC长为6cm，∠ACB的平分线交OΘ于点D, 求BC,AD,BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路.如图8，欲求BC的长，由BC所在的△ABC中AB为OΘ的直径，可知∠ACB=90°.又AB和AC已知，在Rt△ABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分∠ACB得∠ACD=∠BCD，连接OD，可得∠AOD=∠BOD=90°,进而由勾股定理可求AD,BD的长.学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流.设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学的内容.6.小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了哪些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认知数学思想、教学方法，积累数学活动的经验.7.布置作业教科书第88页练习题第2，3，4题.。

半径所对的圆周角-概述说明以及解释1.引言1.1 概述圆周角是圆的一个重要性质，它是指从圆心出发所夹的两条弧所对的角。

而半径所对的圆周角则是指一条弧所对的角的顶点处于圆的中心，并且与圆的半径相交。

本文将探讨半径所对的圆周角的性质及其与半径的关系，旨在帮助读者更深入地理解圆的几何特性。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍圆周角的定义，以便读者了解基本概念。

其次，将详细讨论半径所对的圆周角性质，包括相关定理和推论。

最后，将探讨圆周角与半径之间的关系，分析它们之间的几何性质和相互影响。

通过这些内容的讨论，读者能够深入了解圆周角的相关知识，为进一步学习和研究奠定基础。

1.3 目的本文旨在探讨半径所对的圆周角这一重要概念。

通过深入分析圆周角的定义、性质以及与半径的关系，我们希望读者能够更好地理解这一概念，并且能够应用在实际问题中。

此外，我们也将通过展望部分，展示半径所对的圆周角在数学领域以及其他相关领域中的潜在应用价值，为读者提供更广阔的思考空间和启发。

通过本文的阐述，我们希望读者能够对半径所对的圆周角有一个全面而深入的了解，从而加深对数学知识的理解和掌握。

2.正文2.1 圆周角的定义圆周角是指以圆心为顶点，圆上的一条弧所夹的角。

在直角坐标系中，圆周角的度数通常用弧度来表示，其中一个完整的圆周角等于360度或2π弧度。

圆周角的大小与所夹的圆弧的长度成正比，当圆弧长度为半径的长度时，圆周角大小为一个弧度。

根据圆周角的定义，我们可以得出一个重要定理：弧长相等的两个圆周角是相等的。

这个定理可以方便我们计算圆周角的大小，只需要知道所夹弧的长度和半径的长度即可求得圆周角的大小。

总之，圆周角是一种特殊的角度，它的大小与所夹的圆弧长度成正比，是圆的重要性质之一。

在接下来的内容中，我们将探讨半径所对的圆周角的性质以及圆周角与半径之间的关系。

2.2 半径所对的圆周角性质在一个圆上，一个半径所对的圆周角是一个直角。

这是一个非常重要的性质，也是我们在几何学中经常会应用到的一个定理。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆周角教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 EF∵∠AOC 是△ABO 的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°即AD ⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：===2R ． 分析：要证明===2R ，只要证明=2R ，=2R ，=2R ，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB∵CD 是直径121212121212sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c C2a R 2b R 2cR∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=，即2R= 同理可证：=2R ，=2R ∴===2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．六、布置作业1．教材P95 综合运用9、10、 BC DC sin a Asin b B sin c Csin a A sin b B sin c C。

圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。

一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。

另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。

例如，考虑一个六边形。

由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。

另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。

此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。

同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。

由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。

总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。

圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。

与圆有关的角主讲：黄冈中学高级教师 汤长安 一周强化 一、一周知识概述 (一)圆周角 1、顶点在圆上，两条边都和圆相交的角叫做圆周角． 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角等于 90° ；90° 的圆周角所对的弦是直径． 4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补． 推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角． (二)弦切角 1、弦切角：顶点在圆上，一条边和圆相交，另一条边和圆相切的角叫做弦切角． 2、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 二、重点难点疑点突破 1、对圆周角的理解定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．突破：①如图，∠AOB 与∠ACB 是 的度数等于 的度数一半．对的圆心角与圆周角，故有：，∠AOB=2∠ACB，∠ACB1②定理的作用是勾通圆心角，圆周角之间的数量关系．③定理的证明． (1)为什么要分情况证明？ 应不应分情况，主要看各种情况的证明方法是否相同，相同，不分情况；不同，则必须分情况，而且分情况要分得 正确，不能重复或遗漏．而圆周角定理的证明，分三种情况，它们的证法都不相同，故要分情况证明． (2)如何分类讨论？ 以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况： ①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部． (3)如何证明定理？ 先证明第一种情况，再用第一种情况证明第二、三种情况． 2、对圆周角定理的两个推论的理解 (1)推论 1：①是圆中证角相等最常用的方法之一．②若将推论 1 中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了． 因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况不相等(如图中的∠1 与∠2)．③推论 1 中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”， 离开这个前提条件， 结论不成立(如图 中的 )．2(2)推论 2 应用广泛，一般地，如果题目中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；如果需要直角或证明垂直 时，也往往作出直径即可解决问题，推论也是证明弦是直径常用的办法． 3、对圆的内接四边形定理的理解 (1)“内对角”是圆内接四边形的专用名词，是指与四边形的一个外角相邻的内角的对角． (2)定理的另一个含义是对角和相等(都为 180° )． (3)定理是证明与圆有关的两角相等或互补关系的重要依据． (4)使用定理时，要注意观察图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置． 4、对弦切角的理解 ①弦切角所夹的弧是构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧． ②弦切角定理的证明可以仿照圆周角定理的证明，也分三种情况，第一种情况是特殊情况，其它两种是一般情况， 可通过作辅助线转化为第一种情况． ③弦切角可以是锐角、钝角、直角，一条切线和过切点的弦形成两个弦切角． ④弦切角=它所夹弧对的圆周角=所夹弧对的圆心角的一半=所夹弧的度数一半． 三、解题方法技巧点拨 1、圆心角、圆周角和弧之间的换算 例 1、已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P，且∠APD=60° ，∠COB=30° ，则∠ABD=________度．分析：要求圆周角∠ABD，可求同弧所对的圆心角∠AOD 的度数，而∠AOD=∠ODC＋∠APD，故只须求∠ODC，3而∠ODC=∠C=∠OPD－∠COB=30° ，故∠AOD 可求． 解：连结 OD．∵∠C=∠APD－∠COB，∠APD=60° ，∠COB=30° ．∴∠C=60° －30° =30° ． ∵OC=OD，∴∠ODC=∠C=30° ，∴∠AOD=∠APD＋∠ODC=60° ＋30° =90° ，例 2、如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=80° ，以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D，交 BC 于 E．求的度数．分析：只需求出所对圆周角的度数就可以了，为此可连结 AE，构造圆周角∠BAE、∠DAE．点评：(1)辅助线 AE，构造了“直径上的圆周角是直角”的基本图形，因此在关于直径的问题中，常添辅助线使之构 成直角三角形． (2)本题还有副产品 BE=EC，你注意了吗？该副产品有时很有用． 2、圆内角、圆外角、圆周角、弧之间的运算题 圆内角：角的顶点在圆内的角叫做圆内角． 圆外角：角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．4例 3、如图，圆的弦 AB、CD 延长线交于 P 点，AD、BC 交于 Q 点，∠P=28° ，∠AQC=92° ，求 cos∠ABC 的值．分析：圆内角和圆外角都是通过圆周角建立联系，故圆内角∠AOC 与圆外角∠P 可通过圆周角∠ABC(∠ADC)与 ∠A(∠C)建立起联系。

圆周角定理及其推论的证明和应用《圆周角定理及其推论的证明和应用》
圆周角定理又被称为“角定律”，是不论圆弧大小都成立的一个数学公理，它指出圆形中任意大小的圆弧所对应的圆心角之和，都是 360 度。

这一定理被著名数学家费马正式地证明。

圆周角定理表明，圆心角累加360度，任意两个圆心角之间的圆弧相连，形成一个封闭的面。

根据其特点，学者们推导出了以下几个推论：全角相等推论、全边相等推论、定点外接圆内接圆推论、正多边形五边形内角之和推论、外角等于内角和推论、立体角之和推论等。

圆周角定理及其推论的证明和应用，主要是在几何中，这些定理及其推论也被广泛应用到绘图，比如构造一个正多角形及相关图形，解决正多角形有关问题，画出平行线，学习平面三角函数等。

例如利用圆周角定理及其推论，可以将人们自然认定的几何图形（如梯形、多边形等），实际转化为一组有效的数学公式，以绘制直观的几何图形，从而解决数学问题。

总之，圆周角定理与其相关的推论，是构成数学的一项重要基础，在几何中有着广泛的应用，在数学中起到至关重要的作用，是值得大家及早去学习和掌握的重要内容。

知识点一圆周角圆周角的定义：顶点在圆上，角的两边在圆内的部分是圆的弦，这样的角叫做圆周角.知识点二圆周角定理圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.推论1：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.推论3：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（推论4（补充）：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.）【例1】下图中是圆周角的有【例2】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？BA【例3】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．【例4】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．同步训练：（学生做）1.如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3.已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为 cm ．A.2cmB.3cmC.cm 5D.cm 524. 如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA5.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.OA BCDCBAO6.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．知识点三确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆.知识点四三角形外接圆三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆，叫做三角形的外接圆这个三角形叫做这个圆的内接三角形.（如图中的△ABC叫做⊙O的内接三角形，⊙O叫做△ABC外心：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等）.(如图中的圆心O就是△ABC的外心)COB（注意：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部.）知识点五 圆内接四边形圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.定理：圆内接四边形的对角互补.推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.∠A+∠BCD=∠B+∠D=180°，∠1=∠A.【例5】 四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若∠B= 80， 则∠ADC=______ ∠CDE=______1O A DCB EDBAC80【例6】 已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a ，b 是方程x 2－3x ＋1=0的两根，求Rt △ABC 的外接圆面积．同步训练：（学生做）1.四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC=︒100，则∠B=______∠D=______2．四边形ABCD 内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠3.梯形ABCD 内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=︒75,则∠C=_____4.已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5求△ABC的外接圆的半径.5.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示）DAA知识点六 直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.（表中：d 表示圆心到直线的距离，r 表位 置 关 系 相 离 相 切 相 交图 形lPOlPOlBAPO公共点的个数 0 12 d 与r 关系 d>rd=rd<r切线：当直线与圆有惟一公共点时，则直线和圆相切 切点：切线与圆的惟一的公共点【例7】在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC= 4cm,以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有什么样的位置关系？为什么？（1）r=2cm ； （2）r=2.4cm; (3)r=3cm同步训练：（学生做）1.已知⊙O的直径为12cm , 圆心O到直线M, N, P的距离分别5.5cm ,6cm , 11cm , 那么直线M, N, P分别与⊙O有、、个公共点.2.圆心O到直线L的距离等于⊙O直径的2/3 , 则直线L与⊙O的位置关系是3.⊙O的半径为3 cm ,两弦AC=22cm , AB=2 cm ,若以点O为圆心，再作一个圆与AC 相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系又怎样？4.下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线5.直线l1与l2垂直，垂足为O，AM⊥l1于M，AN⊥l2于N，AM=4，AN=3，以A为圆心，R为半径作⊙A，根据下列条件，确定R的取值范围。

圆周角定理及其推论的证明1. 引言说到数学，大家的第一反应可能就是那些看起来复杂的公式，脑袋一团浆糊。

但其实，数学有时候就像一杯清爽的柠檬水，喝下去后让你清新无比！今天我们来聊聊一个非常经典而又简单易懂的知识点——圆周角定理。

想象一下，如果把数学比作一场派对，那么圆周角定理就是那位人人都想要和他搭讪的明星！那么，什么是圆周角定理呢？简单来说，就是在一个圆里，任何一个圆周角的度数等于它所对的弦所夹的中心角的一半。

这个定理可谓是数学界的小明星，闪耀着自己的光芒，吸引着无数人的目光。

2. 圆周角定理的证明2.1 先来个简单的图示好了，咱们先准备好纸和笔，来画个图。

想象一个圆，圆心叫 O，任意选两个点 A 和 B，连接起来形成一条弦。

然后，随便找个点 C，在圆的边上，形成一个圆周角∠ACB。

接下来，我们再从圆心O 向A 和B 连线，这样就形成了两个中心角：∠AOB。

接下来，我们就要通过一些小技巧来证明这个定理。

这里面可有趣了！2.2 把复杂变简单首先，我们知道，中心角∠AOB 的度数是与弦 AB 所对应的圆周角∠ACB 的两倍。

那为什么会这样呢？我们来试试从几何的角度分析一下。

当我们把 OA 和 OB 这两条线延长，就能把圆周角的顶点 C 和中心 O 连接起来。

这样，我们就能看到，∠ACB 是一个小角，而∠AOB 是个大角。

简单来说，∠AOB 就像是∠ACB 的“老大”，他可得分配个更大的份额，毕竟他是两条线夹起来的嘛！于是，大家就明白了：∠ACB = 1/2 ×∠AOB，这就是我们所说的圆周角定理啦！3. 推论与应用3.1 推论一：相等的圆周角现在我们说说这个定理的一个有趣推论。

你们知道吗？如果在同一个圆内，任意两条弦所对的圆周角相等，那么这两条弦必定相等。

这就像是“只要你有我有，大家都是好朋友”的道理！试想一下，假如你和朋友都穿着同样的衣服出门，别人会不会觉得你们很像？其实，圆周角也有这样的“搭档”，它们总是能通过弦的长度互相呼应。