湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考数学(理)试题

高三数学12月联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集2，3，4，5，，集合3，，2，，则A. B.C. 2，4，D. 2，3，4，2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则的最小值为A. 12B.C. 15D.4.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.已知a，，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9.在长方体中，，，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1 C. D.10.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且时，，则A. B. C. 1 D.11.如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.12.已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．14.已知是定义在R上的偶函数，且若当时，，则______15.已知梯形ABCD，，，，P为三角形BCD内一点包括边界，，则的取值范围为______．16.瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形．如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为______．三、解答题（本大题共7小题）17.数列的前n项和为，已知，2，3，Ⅰ证明：数列是等比数列；Ⅱ求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为等边三角形．当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19.已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过焦点F斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．20.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数 5 30 40 50 45 20 10若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算．在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．参考数据：；；21.已知函数e为自然对数的底数，是的导函数．Ⅰ当时，求证；Ⅱ是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围．23.已知函数，．若，求a的取值范围；若，对，，都有不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解．【解答】解：由全集2，3，4，5，，集合3，，得4，，又2，，则4，，2，，2，4，．故选C．2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D．根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．根据已知条件，，，得出，继而可得等式，再求解等式即可．【解答】解：，，，，即，，当且仅当，即，，时取等号，的最小值为：．故选B．4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，，，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个．故选：C．6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，，若为奇函数，则，即，，即函数为奇函数的充要条件是，，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件．故选：B．根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B．本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题．根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可．8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，，分子，分母之和为16的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，，，，，，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项．故选：C．观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次．本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，，为直角三角形，故，故选：A．找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P 在平面ABCD上的位置．本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧的运用．10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，，解得，又，，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，，；又，，；，其图象的对称轴为，；当，，其对称轴为，，．故选：B．由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值．本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，，可得，，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，，．则抛物线的标准方程为．故选：C．求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：令，则，函数．由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C．令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系，属于中档题．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设，，，则，，可得，，，该双曲线的离心率．故答案为：．14.【答案】216【解析】【分析】本题主要考查了利用函数的周期性求解函数的函数值，属于基础题．由，可知周期，结合已知函数代入即可求解．【解答】解：，，即周期，则，当时，，．，故答案为：216．15.【答案】【解析】解：，分别以边AB，AD所在的直线为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，，设，则，由得，，，，设，则表示斜率为的一族平行直线，在y轴上的截距为a，当截距最大时最大，当截距最小时最小，由图可看出，当直线经过点时截距最小为1，当直线经过点时截距最大为，的取值范围为．故答案为：．根据题意可分别以边AB，AD所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，从而得出，，，，设，从而根据可得出，从而得出，并设，从而根据线性规划的知识求出直线截距的最小值和最大值，即得出的最小值和最大值，从而得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，利用线性规划的知识求变量最值的方法，数形结合的方法，考查了计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，又因为，，由余弦定理可得：，取BC的中点O，则，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，设，因为，所以，所以，从而，故所求概率为：，故答案为：．由三角函数的余弦定理得：，由两直线垂直得：，所以，从而，由几何概型中的面积型得：，得解．本题考查了三角函数的余弦定理及几何概型中的面积型，属中档题．17.【答案】解：Ⅰ证明：，2，3，，可得，可得，可得，则数列是首项为1，公比为2的等比数列；Ⅱ，即，可得前n项和，，相减可得，，化简可得．【解析】Ⅰ运用数列的递推式，化简变形，结合等比数列的定义，即可得证；Ⅱ，即，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：当时，平面平面ABCD，证明如下：在中，因为，所以，又，，AD，平面PAD，所以平面PAD，又平面ABCD，所以平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为为等边三角形，O为AD的中点，所以，O，E为AD，BC的中点，所以，又，所以，故为二面角的平面角，所以，如图，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，因为，，所以，0，，2，，1，．可得，，设y，为平面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，设AB与平面PBC所成角为，则有所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】当时，推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，推导出，，由，得，从而为二面角的平面角，进而，分别以的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本题考查满足面面垂直的线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ依题设，，则，．由，得：，解得，又，所以．所以椭圆C的方程为；Ⅱ椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．依题直线l的方程为．联立，得：．在椭圆内，则恒成立，设，，弦AB的中点为，则，，所以，，所以．则直线MD的方程为，令，得，则．若四边形ADBE为菱形，则，所以．，所以．所以．若点E在椭圆C上，则．即整理得，解得．所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形．此时点E到y轴的距离为．【解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了设而不求的解题方法，此法的依据是二次方程中根与系数的关系，训练了学生的计算能力，属有一定难度题目．Ⅰ题目给出了椭圆的右焦点坐标，则知道了c的值，再由，列式求出的值，结合隐含条件求出的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由点斜式写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B中点的坐标，然后写出MD所在的直线方程，求出D点的坐标，根据四边形ADBE是菱形，列式求出E点的坐标，把E点的坐标代入椭圆方程求出的值，则E点到y轴的距离可求．20.【答案】解：由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则，；显然，所以有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15 30 45 60P所以，需要的总金额为．【解析】根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而，根据原则，计算即可；列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．21.【答案】解：Ⅰ证明：当时，，则，令，则，令，得，故在时取得最小值，0'/>，在上为增函数，；Ⅱ，由，得对一切恒成立，当时，可得，所以若存在，则正整数a的值只能取1，2．下面证明当时，不等式恒成立，设，则，由Ⅰ，，当时，；当时， 0'/>，即在上是减函数，在上是增函数，，当时，不等式恒成立，所以a的最大值是2．【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．Ⅰ求出函数的导数，根据函数的单调性判断最值；Ⅱ求出函数的导数，得到，问题转化为证明当时，不等式恒成立，设，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：由得，将，代入上式中，得曲线C的普通方程为：；将l的参数方程为参数代入C的方程中，整理得，因为直线l与曲线C有两个不同的交点，所以，化简得．又，所以，且，．设方程的两根为，，则，，所以，，所以．由，得，所以，从而，即的取值范围是．【解析】本题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，是中档题．由得由此能求出曲线C的普通方程将l的参数方程为参数代入C的方程，得由直线l与曲线C有两个不同的交点，得设方程的两根为，，则，，从而，，由此能求出的取值范围．23.【答案】解：，若，则，得，即时恒成立，若，则，得，即，若，则，得，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当时，，因为，所以当时，，即，解得，结合，所以a的取值范围是．【解析】利用，通过，，，分别求解即可．要使得不等式恒成立，只需，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质以及绝对值不等式的几何意义，考查分类讨论思想的应用．。

高三文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.12 14.2- 15.75- 16.1010三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】（1）3A =π；（2）【解析】（1）∵2sin()cos cos 2c A a B b A 5π+=+， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，…………2分由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，…………4分 又0C <<π，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，…………5分 又0A <<π，∴3A =π.…………6分（2）设ABC △外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，…………8分由余弦定理得()22222cos33a b c bc b c bc π=+-=+-，…………9分 即3273bc =-，8bc ∴=，……………10分ABC ∴∆的面积11sin 8222S bc A ==⨯⨯=。

…………12分 18.【答案】（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；…………1分当2n ≥时，()()11112121222nn n n n n n n a S S ----=-=---=-=.…………3分11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；…………5分（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =.所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，…………6分 ()121212nnb n n ∴=+-=-，…………7分 ()212n n b n ∴=-⋅.…………8分()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，…………9分上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，…………11分因此，()12326n n T n +⋅=-+。

湖南省五市十校教研教改共同体2020届高三12月联考数学（理）试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知是虚数单位，则（）A. B. C. D.2.设集合，，则（）A. B.C. D.3.已知向量，满足，，，（）A. B. C. D.4.已知数列满足，，，则（）A. B. C. D.5.已知，分别是三棱锥的棱，的中点，，，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.6.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为（）A. B. C. D.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（）A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B. C. D.9.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A. B. C. D.10.已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A. B. C. D.11.已知，，是双曲线上的三个点，直线经过原点，经过右焦，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.设是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题。

13.若实数，满足约朿条件，则的最大值为____________.14.的展开式中的系数为____________.15.函数的部分图像如图所示，则的值为_______________.16.将正整数分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当且是正整数的最佳分解时我们定义函数，例如.则的值为___________，数列的前项的和为____________.三、解答题。

2020届三省三校高三12月联考数学（理）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．()221(1)+-ax ax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ） A ．2 B ．-2C．D．-【答案】B【解析】利用二项展开式，得到4x 项，即可得到a 的值. 【详解】解：22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149B ．73C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确； 由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是5O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a【答案】C【解析】由题意可得()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，进而判断出()f x 为偶函数，且在(0)+∞，上递增，即可比较大小. 【详解】解：依题意，有()()g x g x -=-，则()e e xxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a .【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】823【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-=312-=222822⨯⨯=． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________.【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2115sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=21515()c a c c -=，又1215PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围． 【答案】(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴31cos sin 333cos 13(1cos )122sin sin 22A AA A A A ++=+=+⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ31cos 31cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴， 3132b c +<+<+∴，即b c +的取值范围是3132⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 533，试求λ的值.【答案】（1）证明见解析 （2）12λ=【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC V 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，则ABC V 为直角三角形， 点O 为ABC V 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-u u u u v u u u v u u u v，，，，，，，，，(110)BC =-u u u v ，，，(101)PC =-u u u v ，，，(20).MC λλ=--u u u u v，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u u v v ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭v，，． 设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩u u u v r u u u v r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，，22·cos||?||33n mn mn mλ-+〈〉===r vr vr v，解得111222⎛⎫=-⎪⎝⎭，，，，λM即M为P A的中点．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知函数2()(1)xf x k x e x=--，其中k∈R．(1)当k=－1时，求函数()f x的单调区间；(2)当k∈[1，2]时，求函数()f x在[0，k]上的最大值．【答案】(1) ()f x的单调递增区间为(0)()f x-∞，，的单调递减区间为(0)+∞，(2)2max()(1)e kf x k k k=--【解析】(1) 首先求出()'f x，再由()'0f x>求得单调递增区间，由()'0f x<，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x'=，结合k的范围，可求得函数在20lnk⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln kk⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k，的大小，即可求得最大值.【详解】解：（1）21()(1)e xk f x x x=-=---，，令()e2(e2)00x xf x x x x x'=--=-+=⇒=，故(0)()0(0)()0x f x x f x''∈-∞>∈+∞<，，；，，，()f x的单调递增区间为(0)()f x-∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e2(e2)x xf x kx x x k'=-=-，令2()0ln[0ln2]f x xk'=⇒=∈，，其中[12]k∈，．令2()ln[12]g k k kk=-∈，，，211()21102kg kkk⎛⎫'=⨯--=--<⎪⎝⎭，故()g k在[12]，上单调递减，故2()(1)ln210lng k g kk=-<⇒<≤，故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2) k >k <【解析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明； (2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾，所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ．【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB率． 【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin 2θ=±， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。

数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。

3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。

4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。

5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。

6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。

7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。

9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。

过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。

过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。

化学参考答案
选择题每小题3分 1-5 BCCBD 5-10 CBACD 11-15 BCAAA
非选择题每空2分，除最后的合成路线3分
16、（1）①直形冷凝管(或冷凝管) 除去Cl 2中混有的HCl 杂质 ②F C B ③将装置内的氯气排入D 内吸收以免污染空气，并将B 中残留的S 2Cl 2排入E 中收集 ④滴入浓盐酸的速率(或B 中通入氯气的量，其他合理答案均得分) （2）防止S 2Cl 2遇水分解放热，放出腐蚀性烟气
（3）①ac （多选,漏选不给分） ②22.4m 233V ×100%或2240m 233V %或9.6m V %或9.61m V %
17．（1） 负 ） SO 2＋2H 2O －2e －
＝SO 42－
＋4H ＋
（2） ①防止亚硫酸铵被氧化 ②ABCD （2分,漏选不给分）
③ K 2SO 4在有机溶剂乙二醇中溶解度小，能充分析出 ④ 4(NH 4)2SO 3＋2NO 2＝4(NH 4)2SO 4＋N 2
18(1)2NH 3+2O 2==N 2O+3H 2O (2)Fe0++CO= Fe ++CO 2 (写可逆符号同样给分) 小于 (3) ①＞ ②＜ ③8.9*10-4或1/1125
19. 【答案】（1） 取代反应 甲苯
（2）
（3）+CH 3Br +HBr
（4）4
分(其他合理答案均可,如将甲基环氧乙烷改为环氧丙烷)。

道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =>-，{}|3B x x =<，则AB =（ ） A.()1,3- B.(),3-∞ C.()1,-+∞ D.∅2.已知i 为虚数单位，复数z 满足32iz i =+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A.25B.9C.17D.204.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A.12B.15C.20D.215.已知()0,απ∈，且3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.17- B.7 C.17-或－7 D.17或7 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α⊂，n α⊂，则“a β”是“m β且n β”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.函数()y f x =的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 ②函数()y f x =在区间1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减 ③函数()y f x =在区间()4,5单调递增④当2x =时，函数()y f x =取得极小值 ⑤当12x =-时，函数()y f x =取得极大值 则上述判断中正确的是（ ）A.①②B.②③C.③④⑤D.③8.刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.某“阳马”的三视图如图所示，则其外接球的体积为（ ）。

祁阳、宁远、道县、东安、新田、蓝山、江华、江永八县2021届高三12月联考 数学试卷（新高考）本试卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，2{|40}B x x x =+≤，则A B =（ ） A .[4,)-+∞ B .[4,1)--C .(1,0]-D .[4,0)-2.复数13i32iz +=-在复平面上对应的点在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高2.5cm ，孔径8cm .外径18cm ，则该玉璧的体积为（ ）A .3158.5cm πB .3160.5cm πC .3162.5cm πD .3164.5cm π4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若422S =，616a =，则3a =（ ） A .3B .4C .5D .75.已知2nx x ⎛- ⎝展开式中，所有项的二项式系数的和为32，则其展开式中的常数项为（ ） A .60B .60-C .80D .80-6.声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg110xf x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般噪声时，声音的等级约为90dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般噪声时声音强度的（ ） A .410倍B .510倍C .610倍D .710倍7.已知函数()22x x f x a x -=+⋅-为奇函数，则不等式(1)(5)0f x f x -++<的解集为（ ） A .(,3)-∞- B .(3,)-+∞ C .(,2)-∞-D .(2,)-+∞8.已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，虚轴的两个端点分别为1A ，2A ，点P 为C 上一点，120PA PA ⋅=，123PA PA =，则C 的离心率为（ ） A .3B .23C .2D .22二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020届高三数学12月联考试题理注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合则2.已知是的共轭复数,则3.边长为2的正方形中,则4.已知三棱锥中,则三棱锥的体积是5.满足条件的面积的最大值是6.已知为等比数列.下面结论中正确的是若则若则7.定义域为的函数满足以下条件：①对任意②对任意当时，有则下列不等式不一定成立的是8.若且则二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。

9. 若函数的图象关于直线对称,则函数的最大值为为函数的一个对称中心函数在上单调递增10.已知双曲线过点且渐近线为则下列结论正确的是的方程为的离心率为曲线经过的一个焦点直线与有两个公共点2020届高三数学12月联考试题理注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合则2.已知是的共轭复数,则3.边长为2的正方形中,则4.已知三棱锥中,则三棱锥的体积是5.满足条件的面积的最大值是6.已知为等比数列.下面结论中正确的是若则若则7.定义域为的函数满足以下条件：①对任意②对任意当时，有则下列不等式不一定成立的是8.若且则二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南省永州市道县、东安、江华、蓝山、宁远高三12月联考数学（理）试题一、单选题 1．设集合|01x M x x ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭…，{}|02N x x =<<，则M N =（ ）A ．{}|01x x <…B ．{}|02x x ≤<C ．{}1|0x x <<D ．{}|02x x <<【答案】C【解析】首先确定集合M 中的元素，然后求交集． 【详解】 由01xx ≤-得(1)010x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，即{|01}M x x =≤<，∴{|01}MN x x =<<．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0．2．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．3．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）A ．43π B ．3π C ．2πD ．83π 【答案】B【解析】由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算． 【详解】由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知1r =，∴321411112333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体．4．以下说法错误．．的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”． B ． “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件． C ．若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题．D ．若命题p:x ∃∈R,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R,则210x x ++≥． 【答案】C【解析】若p q ∧为假命题,则只需p q 、至少有一个为假命题即可. 5．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 6．湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：设球半径为，则,解得：所以球面上的点到冰面的最大距离为故选B.【考点】空间几何体的结构特征.7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.【考点】1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ） A ．6个 B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()f x x =，所以当[]1,0x ∈-时，()f x x =-，函数3()log y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。

2020年湖南省永州市宁远县第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若关于的方程没有实根，则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：B2. 在△ABC中, ,,E,F为BC的三等分点,则 = ( )A．B．C．D．参考答案：B3. 一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是A．12 cm3 B. 36cm3 C．cm3 D．cm3参考答案：B4. 函数的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。

则方程的实数根的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4参考答案：C 5. 已知P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为A .6 B. 7 C. 8 D. 9参考答案：答案：D6. 已知,是单位向量，,的夹角为90°，若向量满足：|--|=2，则||的最大值为（）A.2-B.C. 2D.2+参考答案：D7. 等比数列｛an｝中，a2=2,a4=8,an>0,则数列{log2an}的前n项和为参考答案：【知识点】数列的求和．L4【答案解析】A 解析：设等比数列{a n}的公比为q．∵a2=2，a4=8，a n＞0，∴a1q=2，=8，解得q=2，a1=1．∴．∴数列{log2a n}的前n项和=log2a1+log2a2+…+log2a n===．故选：A．【思路点拨】利用等比数列的通项公式可得a n，再利用对数的运算性质、等差数列的前n项和公式、指数的运算性质即可得出．8. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】剩余几何体为四棱锥，分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为=2，∴原直三棱柱的体积为2×4=8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积=6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为=4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选C．9. 设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+1参考答案：A 考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．解答：解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题10. 已知复数（i是虚数单位），则的虚部为A． -3 B．-3i C．3 D．3i参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线 M ：y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，抛物线M 与 椭圆N交于A ，B ，若F ，A ，B 共线，则椭圆N 的离心率等于 ．参考答案：﹣1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：AF⊥x轴， =c ，代入抛物线方程即可求得A 点坐标，代入椭圆方程，利用离心率公式即可求得椭圆N 的离心率． 【解答】解：如图所示由F ，A ，B 共线， 则AF⊥x 轴，由抛物线 M ：y 2=2px （p ＞0）与椭圆有相同的焦点F ，∴=c ，把x=，代入抛物线方程可得：y 2=2p?，解得：y=p ． ∴A（，p ），即A （c ，2c ）．代入椭圆的方程可得：，又b 2=a 2﹣c 2，∴，由椭圆的离心率e=，整理得：e 4﹣6e 2+1=0，0＜e ＜1． 解得：e 2=3﹣2，∴e=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆的离心率公式，考查数形结合思想，属于中档题．12. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若a 5+2a 10=0，则的值是 ．参考答案：考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．分析： 设出等比数列的公比，由已知求得，代入的展开式后得答案．解答： 解：设等比数列{a n }的公比为q （q≠0），由a 5+2a 10=0，得，∵a 1≠0，∴．则===．故答案为：．点评： 本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式，是基础的计算题． 13. 二项式为虚数单位）的展开式中含项的系数等于—28，则n _____.参考答案：814. 已知点在直线上,点Q在直线上，PQ的中点，且，则的取值范围是________.参考答案：15. 若圆与圆的公共弦长为,则a=______参考答案：516. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于____________.参考答案：略17. 若集合，则=_______________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.【试题分析】解得，所以，，所以,故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届湖南省百所重点高中高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．若向量()3,2a =v ，()1,b m =-v ，且a b //v v ，则m =（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】若1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，且a b //r r，则有12210x y x y -=，列出方程可求得m. 【详解】//r r Q a b ，12210∴-=x y x y ，代入得32(1)0-⨯-=m ，解得23m =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量平行的等价条件，属于基本题.2．设集合{}(2)0A x =<，{}12B x x =-<<，则（ ） A ．{}12A B x x ⋂=-<< B ．{}04A B x x ⋃=≤< C ．{}02A B x x ⋂=≤< D ．{}12A B x x ⋃=-<<【答案】C【解析】对集合A ，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合A ，再与B 进行交、并运算，从而得到答案. 【详解】因为{|04}A x x =≤<，{|12}B x x =-<<， 所以{|02}A B x x =≤<I ，{|14}A B x x ⋃=-<<. 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力.3．设函数()()()ln ,0,1,0,x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩若()f x 是奇函数，则()2e g =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A【解析】先求出()2e -f 的值，再根据奇函数的性质()()f x f x -=-，可得到()2e f 的值，最后代入()22e (e )1=+fg ，可得到答案.【详解】 ∵()f x 是奇函数()()222e e ln e 2∴=--=-=-f f()()22e e 13g f ∴=-=-．故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列判断正确的是( )A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB ．若m γ⊥，n γ⊥，则//m nC ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n 【答案】B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：对于A ，由αγ⊥，βγ⊥，得//αβ或α与β相交，故A 错误； 对于B ，由m γ⊥，n γ⊥，利用线面垂直的性质可得//m n ，故B 正确；对于C ，由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，得m n ⊥或//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故C 错误；对于D ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得//m n 或m 与n 异面．∴判断正确的是B ．故选：B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于基础题． 5．函数()348xxf x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】分别计算()110f =-<，302f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到答案. 【详解】因为()110f =-<，302f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，且()f x 为增函数 故()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查了函数零点的范围，灵活使用零点存在定理是解题的关键.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭ZC ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 8．设tan 211a ︒=，则sin17cos17sin17cos17︒+︒=︒-︒（ ）A ．221aa - B ．221-a a C ．21a a - D ．241aa - 【答案】A【解析】先对式子进行化简,分子分母同时除以cos17︒,再利用正切的和角公式求解可得,原式tan62=-︒,根据诱导公式可得tan 211tan31︒=︒=a ,进而利用倍角公式求解即可 【详解】()sin17cos17tan171ta tan 4n 5tan 45117tan 1745tan 62sin17cos17tan171tan17︒︒︒︒+︒++===-+=---︒︒︒︒︒︒︒︒-,因为tan 211tan31︒=︒=a , 所以222tan 312tan 621tan 311︒︒==-︒-a a ,故2sin17cos172sin17cos171︒+︒=︒-︒-aa 故选：A 【点睛】本题考查利用正切的和角公式、倍角公式进行化简,考查三角函数分式齐次式求值问题 9．已知函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，则m 的取值范围为（ ）A ．(,-∞B ．)⎡+∞⎣C ．(,-∞D ．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数,等价于()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，然后分离变量，得2122e 2e x x m +-≤+，求出2122e 2e +-+x x 的最小值，就能确定m 的取值范围. 【详解】 因为函数()212ee x xf x mx +-=--在R 上为增函数，所以()2122e 2e 0x x f x m +-'=+-≥对x ∈R 恒成立，即2122e 2e x x m +-≤+对x ∈R 恒成立，又因为2122e 2e x x +-+≥=，所以m ≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，分离变量是解决本题的关键. 10．在直角坐标系xOy 中，直线l ：4y kx =+与抛物线C ：21y x =-相交于A ，B 两点，()0,1M ，且MA MB MA MB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】联立消y ，得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12+=∴x x k ，125x x =-，因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，列出等式可得k 的值，然后可求得OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【详解】由24,1,y kx y x =+⎧⎨=-⎩得250x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12+=∴x x k 125x x =-，1122(,1),(,1)=-=-u u u r u u u rMA x y MB x y因为MA MB MA MB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，则()()()2121212331MA MB x x kx kx k x x ⋅=+++=+u u u r u u u r ()1239k x x +++()2251390k k =-+++=，所以22k =．所以()()()2121212121416358169OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=⨯-++=u u u r u u u r ．故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解是解决本题的关键.11．棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的内切球半径为（ ）A ．BC ．D【答案】D【解析】由边长为a 的正四面体可求得外接球的半径，接着求出正三棱锥的侧棱长，从而算出正三棱锥的表面积S 及体积V ，最后代入公式13Sr V =，可得内切球的半径r . 【详解】由题意，多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，易求得正四面体ABCD 的高3=AF a ，外接球的半径为4a ．设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为23AE a h ==+，所以6h a =．因为底面BCD ∆的边长为a ，所以2EB EC ED a ===， 则正三棱锥E BCD -的三条侧棱两两垂直．易求得正三棱锥E BCD -的表面积2S =，体积31132E BCD V -=⋅=．设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由31324S r a ⋅=，得12r =． 故选：D【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球与内切球的半径问题，属于难题. 12．设()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()cos 0sin x f x f x x '-<，则不等式()23sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】B 【解析】令()()sin f x h x x =，易得()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，因为()()cos 0sin x f x f x x '-<，可知()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解. 【详解】 令()()sin f x h x x=，∵()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，∴()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，由()()cos 0sin xf x f x x'-<，得()()sin cos 0f x x f x x '⋅-⋅<，∴()()()2sin cos 0sin f x x f x x h x x'⋅-⋅'=<，则()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 将()sin 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()3h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则32x ππ<<．又()()sin f x h x x=是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数．∴()h x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且33h h ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，将()sin 33f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭化为()3sin sin3ππ⎛⎫⎪⎝⎭>f f x x ，即()33h x h h ππ⎛⎫⎛⎫>=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则03x π-<<． 综上，所求不等式的解集为,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用函数的单调性解不等式，构造函数是解决本题的关键.二、填空题13．设向量(1,a =v ，2b =v ，1cos ,3a b =-vv ，则()a ab ⋅+=v v v ______．【答案】7【解析】先求出a u u r 的值，然后代入公式22=uu r r a a ，cos ,ab a b a b =u u v u v v v v v ，可得到答案。

高三理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3117 14.F+V －E=2 15.(,1]-∞ 16.5三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、解：（1）∵ 2222cos 4c a b ab C =+-= ∴ 2c = 故ABC∆的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分（2） ∵1cos 4C =且C 为ABC ∆的内角 ∴ sin C =由正弦定理sin sin a c A C =得sin A = ∴ 7cos 8A = ∴11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=…………………………………………………………………………12分 18、解：(1）依题知21()2n n n S a a =+ ……………………………………………………………………………………………………① ∴ 21111()2a a a =+， 又0n a > ∴11a = 21111(a a ),n 22n n n S ---=+≥……………………………………………………………………………………………② 由①-②得22111()2n n n n n a a a a a --=-+- ∴22111,0n n n n n a a a a a ---+=-->n 且a ,则11n n a a --=∴{}n a 是等差数列，∴1(1)1n a n n =+-⨯=…………………………………………………………………………6分(2) ∵ 11()()22nnn n b a n ==， ∴2311112()3()222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n1（）2， ∴23411111()2()3()2222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n+11（）2，两式相减得123111111()()()-()22222n n T n +=+++⋅⋅⋅+⨯n1（）2，∴11()112()2(2)()12212nn n n T n n -=-=-+-.…………………………………………………………………………12分19．解：（1）证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=， 所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则())()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C A B λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-， 设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()11,3,n λ=-，．．．．．．．．．．．7分∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴1212cos 1n n n n θ===+．．．．．．．．．．．．．10分∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ，当λ=时，cos θ有最大值12． ∴1cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20..解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1＋k 2＝k 3＋k 4＝0，即k 3＝－k 4， ∴l 2垂直于x 轴，得|AB |＝2a ＝23，|CD |＝2b 2a ＝433，得a ＝3，b ＝2，∴椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1. ------------------------------------ 4分(2)焦点F 1，F 2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)， -------------------------- 5分 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝m 1（x ＋1），得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 21－6＝0， ∴x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21，k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 1＋x 2x 1x 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 21m 21－2＝－4m 1m 21－2， --------------- 7分 同理k 3＋k 4＝－4m 2m 22－2， ----------------------------------------------------------- 8分 ∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2m 22－2，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0 ----------------------------------------------------- 9分 设P (x ，y )，则y x ＋1·y x －1＋2＝0，即y 22＋x 2＝1(x ≠±1)， --------------------------- 10分又当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴点P (x ，y )在椭圆y 22＋x 2＝1上，存在点M (0，－1)和点N (0，1)，使得|PM |＋|PN |为定值，定值为2 2. ----------------- 12分 21、解（1）10,(),x f x a x'>=-………………………………………………………………………1分 ()0,()0+f x f x '>∞若a<0,在（，）上单调递增,3)0,0(),ae x f x =->→→-∞3且f(e 时，此时，f(x)存在唯一零点； (3)分10,x a'==1-ax 若a>0,f (x)=x 11(0,),(),(,),()x f x x f x a a∈∈+∞ max 1()()ln 4f x f a a∴==---4ln 40,a>e a --<当即时，f(x)无零点； -4当-lna-4=0,即a=e 时，f(x)有一个零点；-4当-lna-4>0,即0<a<e 时，f(x)有两个零点。

高三物理参考答案一．选择题二．实验题13、 (1)减小B 的质量(或增大A 的质量) 增加细线的长度(或降低B 的起始高度)(2)如图所示 (3)0.414. (1)最大 R 1-R 2 （2）D (3). 1b a b +R 2-R 115．解：（1）设匀速圆周运动速度大小为v ，B 点时由牛顿第二定律得：F-mg=m 2v r（2分）P 到A 由机械能守恒得： mgh=12mv 2 （2分） 因为F=1.5mg ，可解得h=r/4 （1分）（2）从A 运动到B 由动能定理得：mgr -W 克= 0 （2分）解得：W 克=mgr （1分）16、解：（1） B 、C间的距离为v-t 图中梯形面积 (1分)()[]m m BC 12002075206521S =⨯+-=(2分) (2)加速时： 2211m/s m/s 20-20a == (1分) 减速时： 2270220020/2/10v a m s m s t --=== (1分) 要使所需时间最短，必有先加速'1t 再减速'2t ，则有： '122a t a t ='； (1分)2'21221122BC a t a t s +=' (1分) 解得： t ,=40s (1分)17. （1）B 球不带电时，从图示位置运动到PQ 位置的过程中，以AB 系统为研究对象，由动能定理有：2EqL =2•2•21v m 根据U =Ed 可知MN 与PQ 之间的电势差U =E ·3L （2分） 得：qmgLU 12=（1分） （2）B 球带负电 （1分）令B 球的带电量为q B ,AB 系统从开始至B 球恰好到达PQ 位置的过程中，由动能定理有：0=•)(+2L Eq -L q -q E EqL B B （2分）得:q q B 32=（1分） （3）仅A 在电场中： Eq =2ma 1,得：a 1=2gAB 系统做初速度为0，加速度为的a 1匀加速直线运动，位移为L ， 由：21121=t a L 得gLt =1 （2分） 由：111=t a v 得gL v 2=1 仅B 在电场中：Eq B =2ma 3,得：3g a 4=3 AB 系统做加速度为的a 3匀减速直线运动，位移为2L ，由：23321=2t a L 得gLt 3=3 （2分） 则该过程的初速度332=t a v 得gL v 334=2AB 都在电场中：E （q-q B ）=2ma 2,得：3g a 2=2 AB 系统做加速度为的a 2匀边速直线运动，位移为L ，始末速度分别为v 1、v 2 由：v 2=v 1+a 2t 2 得()gLt 3-32=2 （2分） 根据运动的对称性，可知全过程的总时间t=t 1+2(t 2+t 3)得：()gLt 5-36=（1分） 18.解：⑴由动量守恒知铁块2m 的速度先达到零（得结论即可） (1分)对2m 从碰撞至速度为零，由动能定理得：202max 2210υm gx m μ-=-(2分)解得：m 25.2220max ==gμυx (1分)⑵研究1m 与墙碰后过程，1m 碰后速度等值反向，2m 以速度0υ继续向右运动，规定向左方向为正方向，当1m 与2m 向左达到共同速度共υ时，对应小车的最小长度min l ，由动量守恒定律和能量关系得：共υm m υm υm )(210201+=-(2分) 2212021min 2)(21)(21共υm m υm m gl m μ+-+=(2分)代入数据解得：21m m =45(2分)（3）小车第一次与墙相撞后向左所走路程为s 1，由动能定理得－μm 2gs 1＝0－12m 1v 02 其中小车向左运动的最远距离：S 1=9/8m(1分)规定向右为正方向，小车与墙第1次碰后至第2次碰前（已同速），由动量守恒定律有：1210201)(υm m υm υm +=+-解得：210121)(m m m m +-=υυ(1分)第二次相撞后平板车向左走的路程为s 2，由2ax=v 2得s 2/s 1＝1/9 (1分)同理可得小车与墙第n-1次碰后至第n 次碰前，由动量守恒定律有：1212221)(---+=+-n n n m m m m υυυ解得：212-n 121-n )(m m m m +-=υυ= v n-2/3(1分)以后每次相碰反弹向左行的路程满足2211-n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n V V S S ， 则1-n n 91S S = (1分) 小车所走的路程为一个无穷等比数列之和． 公比q ＝1/9故s ＝2s 1(1+q+q 2+q 3+……)＝121s q- ＝81/32m (1分)。