辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学文试题 Word版含答案

2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试卷1. 已知，i 为虚数单位，若为实数，则( )A.B. C. 3 D.2. 如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，则( )A.B.C.D.3. 已知随机变量，且，则( )A.B.C.D.4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )A.B.C.D.5. 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是( )A.B.C.D.6. 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为( )A. B. C.D.7. 已知对于每一对正实数x ，y ，函数满足：，若，则满足的n 的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在中，若，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10. 阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为…，其中…，k，为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是( )A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B. 若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为C.若四面体在点处的离散曲率为，则平面D. 若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为11. 定义在R上函数，则( )A. 存在唯一实数a，使函数图像关于直线对称B. 存在实数a，使函数为单调函数C. 任意实数a，函数都存在最小值D. 任意实数a，函数都存两条过原点的切线12. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是( )A. 当时，，使得B. 当时，，C. 当时，，使得D. 当时，，13. 若，则______ .14. 已知单位向量，的夹角为，若，则记作已知向量，，则______ .15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为______ ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______ .16. 甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么做游戏次数是______ .17. 从①②③中选择一个条件补充到题目中：①，②，③，解决下面的问题.在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且_____.求角A；若D为边AB的中点，，求的最大值.18. 如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折，使点E翻折到点证明：；若，求二面角的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19. 在正项数列中，，求；证明：20. 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第…，号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；③若第…，号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.令随机变量表示n名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；若把比赛规则③改为：若第…，号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示n名同学在第Y轮比赛结束.求随机变量的分布列；证明：随n增大而增大，且小于21. 已知双曲线和集合，直角坐标平面内任意点，直线l：称为点N关于双曲线C的“相关直线”.若，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：；若点，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：22. 已知函数，是的导函数，且求a的值，并证明函数在处取得极值；证明：在区间有唯一零点.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，由于为实数，则，所以，故选：求出，再由为实数，能求出本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则、实数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由Venn图可知，，因为，，则，，因此，故选：分析可知，求出集合A、、，即可得集合本题考查集合的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，知，故故选：根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图，连接，BD，由正方体的结构特征可知，，异面直线直线与所成的角为，为等边三角形，故选：由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：分三种情况讨论：①三人每人2本，有种不同的分法，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法，③三人中一人4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则有种不同的分法，其中甲分得4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则甲得到4本的概率是故选：分三种情况讨论即可：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本．本题考查排练组合，考查古典概型，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：设，则，，，，则，令，解得，，，则，令，解得，故选：根据牛顿迭代法的运算法则，由求出再求出，结合选项得到最佳近似解．本题考查导数运算、考查数学运算能力，正确理解题意是关键，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数满足：，令得，，即，令得，，，，，，……，累加得，……，……，即当时，，令得，，解得或1，又，，即满足的n的个数是1个．故选：令得，，所以，先令求出的值，再利用累加法可求出的解析式，从而求出满足的n的个数．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：记坐标系二，三象限所在半平面为半平面，①当P在y轴左侧时，为平面解析几何问题②当P在y轴上及右侧时，如图建系，则，设，，，其中，，则，，，综上所述：A，P两点间距离的取值范围是故选：分当P在y轴左侧时与P在y轴上及右侧，分别进行计算可求A，P两点间距离的取值范围．本题考查圆的几何性质，考查翻折问题，属中档题．9.【答案】BD【解析】解：，，，，，，且，，A不一定等于B，错误，A错误；，且，，即，B正确；，且不一定等于，错误，C错误；，D正确．故选：根据及二倍角的正弦公式、切化弦公式、三角函数的诱导公式即可得出，从而得出，然后可判断A错误；根据即可判断B的正误；根据可判断C错误；根据可判断D的正误．本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；对于B，若，则菱形ABCD为正方形，平面ABCD，AB，平面ABCD，，，直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；对于C，在四面体中，，，，四面体在点上的离散曲率为，解得，由题意知，，，直四棱柱为正方体，平面，平面，，，，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，故C正确；对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则，是等边三角形，设，则是与平面的所成角，，故D错误．故选：根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理和性质能求出结果．本题考查直四棱柱、四面体的结构特征、离散曲率、立体几何等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立，所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数a，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，；，，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数a，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有，整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确．故选：根据对称性先用特殊值求得a的值，即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断本题考查导数的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：，又，，故A错误；设AB的中点，，，，，两式相减得，又，，，，又，得到点M的轨迹方程为：，，故B正确；联立直线与椭圆方程可得，，解得，，，故C 正确；由点差法可得点M的轨迹方程为：，，故D正确．故选：利用抛物线性质，结合每个选项计算可判断其正确性．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】【解析】解：若，所以，两边同时平方得，则故答案为：由已知结合和差距公式，二倍角公式及同角平方关系可求．本题主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，，故答案为：由数量积公式计算，再由模长公式计算本题考查了平面向量数量积和模长公式，属于中档题．15.【答案】，【解析】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，由它们均过，代入可得，，解可得：，，可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，则右边第二个溢流孔所在方程为，则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为，故答案为：，根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得p，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】略17.【答案】解：选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以；选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以；选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即；在中，设，由正弦定理得，所以，，其中，当时取等号，所以的最大值是【解析】选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解；在中，设，由正弦定理可得，进而得到，进而求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AD的中点O，连接OC、OE，是边长为2的等边三角形，，，翻折后有，，，，，，OP，平面POC，平面POC，，，平面POC，又平面POC，，解：由得，，二面角的平面角为，在中，，，由余弦定理得，，二面角的大小是，在平面POC内作，交PC于M，平面POC，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由得，四边形OABC为矩形，又，，则，，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，令，则，，平面PCD的一个法向量为，设直线PB与平面PCD所成角为，则，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】取AD的中点O，连接OC、OE，可得，进而可得，可证平面POC，可证结论；可求二面角的大小是，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量与直线PB的一个方向向量，可求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：依题意，当时，由，可得，即，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，，，，，证明：由题意及，可得，故不等式对任意恒成立．【解析】由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；先将第题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：由题设，可取值为1，2，3，，因此的分布列为：1 2 3P可取值为1，2，…，n，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：1 2 3…nP…证明：由知：，，故单调递增；由上得，故，，故【解析】由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；应用二项分布概率公式求取值1，2，⋯，n对应概率，即可得分布列；由分布列得，定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论．本题考查了独立事件乘法公式、互斥事件、二项分布和离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：直线l与双曲线C相切，理由如下：联立方程组，①，，，即，代入①得，，，直线l与双曲线C相切；证明：由知，直线l与双曲线的一支有2个交点，则：，，，，，；证明：设，，设，，，则，代入双曲线C：，利用M在l上，即，整理得，，同理得关于的方程，即、是的两根，，，【解析】直线l与双曲线C相切，理由：联立直线方程和曲线C的方程消去y可得出①，然后根据得出，然后代入①，得出方程①有二重根即可；由知，然后根据直线l与曲线C的一支有2个交点可得出，然后根据可得出，而根据可得出，最后即可得出；可设，，根据题意设，根据，，得出，从而得出，然后代入双曲线方程，并根据M在l上可得出关于的方程，同理可得出关于的方程，这样即可得出、是的两根，从而得出，然后即可得出结论．本题考查了直线和双曲线相切时，联立直线方程和双曲线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，该方程有二重根，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，点在直线或曲线上时，点的坐标满足直线或曲线的方法，考查了计算和推理能力，属于难题．22.【答案】解：，则，令，得，，，当时，，，故在单调递增；当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，，即在区间上，，是上的减函数，综上所述，在处取得极大值；证明：由知，，，，在区间至少有一个零点，以下讨论函数在区间上函数值的变化情况：由，令，则，令，上，解得，，①当时，在区间上，，递减，；在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，故在上，，递减，，在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，，故在上有唯一零点；②对任意正整数k，在区间上，，递减，，在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，在上，，，递减，在上，，，递增，，，，可得在上有唯一零点，即在上有唯一零点，综上，在区间有唯一零点．【解析】求出原函数的导函数，由可求得a，再由导数可得原函数的单调性，即可证明在处取得极值；由零点存在性定理可知在区间至少有一个零点，再分及k 为正整数讨论即可得证．本题考查导数运算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于较难题目．。

2021届辽宁省大连市高三第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C2．若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C．4．如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．5．函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6．等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前9项和是（）A. 9B. 81C. 10D. 90【答案】B【解析】设等差数列的公差是和的等比中项，，解得则数列的前项和故选7．某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，. 故选：B.8．已知首项与公比相等的等比数列中，满足（，），则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，即即故选9．过曲线上一点作曲线的切线，若该切线在轴上的截距小于0，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，切线斜率为切线方程为当时，则的取值范围是故选点睛：本题考查了导数的几何意义，运用导数先求出在切点处的切线方程，然后根据题意满足在轴上的截距小于0，从而计算出结果，本题较为简单，理清题目意思即可求解答案。

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．球的表面积公式：24S R π=，其中S 表示球的表面积，R 表示球的半径．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则y 的值为（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e2．设复数11iz i -=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos 47cos 73︒︒-︒︒的结果等于（ ）A.21B. 33C.22D.234. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）A.4B.6C.7D.12 5. 已知a b 、均为单位向量，且a b 3+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6. 若曲线22(1)(2)4x y -+-=上相异两点P Q 、关于直线20kx y --=对称，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线 画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 208. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为 （ ）A ．2,6πωπϕ==B ．,6πωπϕ==C ．,3πωπϕ==D ．2,3πωπϕ==9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ） A ．—1 B ．1 C ．—2 D ．210．下列说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∀∈，均有sin cos x x >B ．命题“R x ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”C ．“0a =”是“函数32()f x x ax x =++为奇函数”的充要条件D ．R x ∃∈，使得5sin cos 3x x +=成立11．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ）A ．1B ．1或3C ．2D ．2或612．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ）AB ][3,)+∞ C ][5,)+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13.已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．14. 已知双曲线CP 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．15．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===．则这个球的表面积为 ．16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且具有以下性质：①()()0f x f x --=；②(2)(2)f x f x +=-；③)(x f y =在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：（Ⅰ）)(x f y =的图象关于原点对称 ； （Ⅱ）)(x f y =为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）)(x f y =在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分) . 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n nn na a a a ++-=．前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[] 21,7,22.3（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？甲工艺乙工艺合计一等品非一等品合计()2P kχ≥0.05 0.01k 3.841 6.635附：()21122122121+2++1+2-=n n n n nn n n nχ，（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，求出上述甲工艺所抽取的100件产品的单件利润的平均数.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为2，D 为11A C 中点．（Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）三棱锥1B AB D -的体积．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x 轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线330x y ++=相切，过点P 直线椭圆M 相交于相异两点A 、C ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求Q 点坐标．21.（本小题满分12分）已知R m ∈，函数2()2xf x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上．(Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲是常数，a ∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．2013年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. B ；5.B ；6. D ；7．C ；8. C ；9. A ；10．C ；11．B ；12． A ． 二.填空题15．3π；16．（Ⅱ），（Ⅲ）．三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-=，∴11n n nnn a a a a ++-=3分1为首项，1为公差的等差数列．4分6分 2n n ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ②9分由①-②得121=2+2++22n n n S n +--⨯．∴1=(1)22n n S n +-+． 12分 法二：令212n n n b n c c +==-，令()2nn c An B =+，∴11()2()22n n nn n n b c c An A B An B n ++=-=++-+=．∴12A B ==-，． 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+． 12分18．解：（Ⅰ）22⨯列联表如下3分6分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关． 8分（Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件， 10分所以这100件产品单件利润的平均数为12分19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连结A1B 与AB1交于E ，连结DE ，则E 为A1B 的中点，∴BC1∥DE ， DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D , ∴1BC ∥平面1AB D ．6分（Ⅱ）过点D 作11DH A B ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1111AA A B C ⊥平面，1AA DH ⊥，1111AA A B A =，∴DH ⊥平面11ABB A ．DH 为三棱锥1D ABB -的高8分1122AB BB =10分12分 20.解：（Ⅰ）设以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ，∴1||NF a=，∵，∴2a c =，1||2F P a =． 3分∴2(,0)F c 是以1PF 为直径的圆的圆心，∴椭圆M 的方程为： 5分（Ⅱ）法一： 设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得8分 直线BC 的方程为：令0y =，则∴Q 点坐标为12分法二： 设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线方程为3x my =+．得22(34)18150m y my +++=，11 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得 122153y m =+8分 直线BC 的方程为：令0y =，则21534=m m +∴Q 点坐标为 12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-． 令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， 2分当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '<∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤． ∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． 4分（Ⅱ）①若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴ 6分 当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，12 有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞． （注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增）． 12分 解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()x h x m e '=-， 当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =， 当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '< ∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根 ∴m 的取值范围是(,)e +∞．8分22．解：（Ⅰ）证明,AC BD ABC BCD =∴∠=∠． 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ 7分 ∴△BEC ∽△CBD ，∴，∴BC =3． 10分23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ， 曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =， )0,2(到该直线距离为5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． 7分13 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得 θ不妨取锐角10分24．解：∴0)(≥x f 的解为． 5分 （Ⅱ）由0)(=x f得 7分作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． 10分。

大连市高三第一次模拟考试数学(文科)能力测试第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、集合{|13}A x x =-<<，集合{|12}B x x =-<<，则A B =A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3 D ．()1,3-2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12z i =+，则2z =A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i -- 3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b +=A．．2 D ．4 4、已知函数()5log ,02,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f =A ．4B ．14C ．4-D ．14- 5、某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x (元)与销售量y (万件)的统计资料如下表所示：已知销售量y (万件)与价格x (元)之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：ˆˆ40ybx =+，若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为 A ．7.66万件 B ．7.86万件 C ．8.06万件 D ．7.36万件 6、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为 A7、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．12 C ．12- D．-9、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是 A ．51 B ．49 C ．47 D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，以F 为 圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M ， 且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为 A．2BD ．2 11、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，满足 cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式1(ln )(ln()(1)2f x f xf -<的解集为A ．1(0,)e B ．(0,)e C ．1(,)e eD ．(,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2024年大连市高三第一次模拟考试数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4， B.{16}，C.{3}5，D.{1}2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m > B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D .若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种6.若π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.17.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D .复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f= D.1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．2024年大连市高三第一次模拟考试数学命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4，B.{16}，C.{3}5，D.{1}【答案】C 【解析】【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值 D.x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m >B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠【答案】D 【解析】【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D.若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B 【解析】【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6.若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.1【答案】A 【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得()225cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞【答案】C 【解析】【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x x f x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe exxg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sin πe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a =====+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ===，所以==ce a.故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D .【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππcos isin i 1i 4422z ⎫⎫=-=-=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD .10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得062x -≤≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f = D.1x =是()f x 的极小值点【答案】ACD【解析】【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f =∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．【答案】0【解析】【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．【答案】①.24π②.[]π,6π【解析】【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r ====（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________【答案】【解析】【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫==⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD 的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）14AP AD =，作图见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【小问1详解】在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；【小问2详解】FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,,1,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-===- ⎝ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m = ，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,,5542cos ,22n m n m n m ⎛⋅- ⋅==-⋅ ，所以平面与BCEF 与平面FGH成角的余弦值为22；【小问3详解】如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．【答案】（1）1a ≥-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x x x x x ->，1x >，再构造函数得到e e x x >，得到()()e 1e 1x x x x ->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【小问1详解】由已知得，1ln a x x -≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x -=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；【小问2详解】法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x x x x x->，设()()e e ,e e x x h x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e 1x x x x ->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x ->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1x x x >-成立．即证11ln e x x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e 2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．【答案】（1）335（2）分布列见解析，()275E X =（3）()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【小问1详解】设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；【小问2详解】X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X 3456P 1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r ，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．【答案】（1）24y x =-（2）（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【解析】【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【小问1详解】设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+=uuu r uuu r，()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++∴-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；【小问2详解】（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛-⎝（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，02,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()22200001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+-点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()001200208401x a y k k y y y-+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．【答案】（1）0，1，1（2）不会，理由见解析（3）507【解析】【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【小问1详解】由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.【小问2详解】数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；【小问3详解】数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。

辽宁省大连市数学高三上学期文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则（）A . {1,2,3}B . {2,3}C . (1,3]D . [1,3]2. （2分） (2020高二下·吉林月考) 复数等于（）A .B .C .D .3. （2分）设，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出四个命题①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；其中真命题的个数是（）．A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分）(2016·上饶模拟) 已知定义在[﹣， ]的函数f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）仅有一个零点，则实数a的取值范围是（）A . （，2]B . （﹣∞，）∪[2，+∞）C . [﹣，）D . （﹣∞，﹣]∪（，+∞）6. （2分） (2019高一上·项城月考) 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·衡水期中) 已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A . 有最大值eB . 有最大值C . 有最小值eD . 有最小值8. （2分）(2016·江西模拟) 设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6．若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且，则a=（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）已知函数，若对于任意的，，函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·湖北模拟) 已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）若函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，又f（2）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A . （﹣2，2）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）C . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D . （﹣2，0]∪（2，+∞）12. （2分）曲线y=cosx（）与两坐标轴所围成的图形的面积为（）A . 4B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·东莞期末) 函数在处的切线方程为________.14. （1分） (2019高一上·南海月考) 计算： ________；15. （1分） (2016高一上·澄海期中) 函数f（x）=x2﹣2x+b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．16. （1分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共7题；共40分)17. （5分）(2018·徐州模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ,.（1）求的值；（2）若，求的面积.18. （5分） (2019高三上·霍邱月考) 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．19. （5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．（I）求证：BC⊥平面ACFE；（II）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．20. （5分） (2018高三上·云南期末) 已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，是椭圆上两个不同的动点，且使的角平分线垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21. （5分） (2020高二下·上海期末) 已知函数的定义域为D，值域为A，其中．（1）若D关于原点对称，求实数a的取值范围；（2）试判断1是否在集合内，并说明理由；（3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．22. （5分）(2018·安徽模拟) 在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。

辽宁省大连市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={1,2,3}，，则为（）.A .B . {1}C . {2}D . {1,2}2. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知复数z1=3+4i，z2=t﹣i，且z1• 是实数，则实数t=（）A .B .C . ﹣D . ﹣3. （2分）设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-1)=（）A . -3B . -1C . 1D . 34. （2分）设函数。

若，则的最大值为（）A .B . 6C . 7D . 105. （2分） (2016高二下·宜春期末) 已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，，，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）在面积为9的正方形ABCD内部随机取一点P，则能使的面积大于3的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·海南期中) 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5，57，则判断框内应为（）A . k≤6？B . k≤5？C . k＞5？D . k＞4？9. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·广东期末) 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·邵东期末) 函数图象的一条对称轴方程可以为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·江北期中) 圆x2+（y﹣1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A . 1：1B . 2：1C . 3：1D . 4：1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·重庆模拟) 若，则 =________.14. （1分） (2016高一下·徐州期末) 在等差数列{an}中，a1=1，a4=7，则{an}的前4项和S4=________．15. （1分）(2017·漳州模拟) 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是________．16. （1分）若一个球的表面积为36π，则它的体积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且• =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．18. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．19. （10分）某学校为了制定治理学校门口上学，放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查，得到了如下的列联表（单位：人）同一限定区域停车不同一限定区域停车合计男5女10合计50已知在抽取的50分调查问卷中速记抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握恩威是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由．附临界表及参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2= ，其中n=a+b+c+d．20. （10分） (2019高二上·台州期末) 如图，已知椭圆：的左右顶点分别为A，B，过点的直线与椭圆交于C，D两点异于A，，直线AC与BD交于点P，直线AD与BC交于点Q．Ⅰ 设直线CA的斜率为，直线CB的斜率为，求的值；Ⅱ 证明：直线PQ为定直线，并求该定直线的方程；Ⅲ 求面积的最小值．21. （10分）(2017·山南模拟) 已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高二下·凤城月考) 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．23. （10分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

I 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.第I 卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}12≥=x x A ，则∁R A =( )A. (-∞,0]B. (-∞,0)C. [0，+∞)D. (0，+∞) 2．复数311iz +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 为( ) A.1-i B.1+i C.i 2121+ D. i 2121-3．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样D.分层抽样 4．向量a =)1,(m ,b =)1,(n ,则n m =是a //b 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．若角α的终边过点)2,1(-，则α2cos 的值为( ) A.53B.53-C.55 D.-6．若函数23x(x Z),f (x)f ([x])(x Z),ìïïïÎ=íïïÏïî([x]表示不大于x 则f (8.8)=（ ）A. 8B. 4C. 2D. 17．函数))(sin()(03>-=ωπωx x f 的周期是π，将函数)(x f 左平移6π得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是A. ()g x =)sin(421π-x B. ()g x =)sin(62π-xC. ()g x =x 2sinD. ()g x =)sin(322π-x 8．执行如图所示的程序框图,若输入],[π0∈x ，则输出y 的取值范围是( ) A.[0,1] B. [22，1] C. [-22,1] D. [-1,1]9．)(x f 是R 上的偶函数，)()(x f x f =+2，10≤≤x 时2x x f =)(，则函数x x f y 5log )(-=的零点的个数为 （ ）A. 4个B. 5个C.8 个D. 10个 10．在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,，则满足1-≥x y 的概率是( )（第8题图）A. 81B. 91C. 98D. 8711．已知双曲线:C )(014222>=-b b y x 的一条渐近线方程为x y 26=，21,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，1:3:21=PF PF ,+的值是( ) A. 4 B. 26 C. 210 D.5106 12．已知1+==x x g e x f x ln )(,)(，对R,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 1B.2C. 1D. 12-e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为 ．14．椭圆()x y a a a +=>+2221041的焦点在x 轴上，则它的离心率的最大值为 ． 15．设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足,53cos cos a C b B c =-则=CBtan tan ．16．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各1APBQ1C1B （第13题图）有一个动点P 、Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的 动点，则111M ABPQABC A B C M ABPQV V V ----的最大值是 ．三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，等比数列{}n b 的公比21，有153=S ,3211=+b a ，6422=+b a ． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n n b a ,； （Ⅱ）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.（Ⅰ）用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率；（Ⅱ）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率．（第18题图）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDBC⊥,P-,底面ABCD为直角梯形，ADBC//,CDAD CD BC 21==． （Ⅰ）若E 为PD 中点，证明：//CE 平面APB ；（Ⅱ）若PB PA =,PD PC =,证明：平面APB ⊥平面ABCD ．20. （本小题满分12分）已知过抛物线2:4C x y =的焦点F 直线与C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求线段AB 中点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）动点P 是抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 与抛物线C 的准线l 分别交于点,M N ，求⋅的值．CEABPD（第19题图）21.（本小题满分12分）已知 f(x)=2cosx 12x +-（Ⅰ）求证： x 0,f(x)0≥≥;（Ⅱ）,a R ∈证明：1a ≥,不等式2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，以R t △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心OC 为半径的⊙O 与AC 另一个交点E ，D 为斜边AB 上一点，且OD=OC ，2AD AE AC =⋅.（Ⅰ）证明AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若8DE OB ⋅=，求⊙O 的半径．（第22题图）D EABOC23. 选修4－4：极坐标与参数方程选讲（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为t t y t x (,2,1⎩⎨⎧+=+=为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式)(32*∈<-+-N a a x x 的解集为A ,且32A,A 2蜗.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.2017年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1.B2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题 13.π33 14.22 15.41 16.21三．解答题 17． 解：（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+,,,6232511111b d a b a d a解得,,,213211===b d a ………………4分所以.)(,n n n b n a 2113=-= ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⨯+⨯+⨯=82152122)(n S 321)(+n n n n ))(())((211321431-+-+⋅⋅⋅- ①①21⨯得+⨯+⨯=3221521221)()(n S 121132143+-+-+⋅⋅⋅n n n n ))(())(( ②……8分 ①-②得1322113212121321221+--+⋅⋅⋅++⨯+⨯=n n n n S ))((])()()[( 1121132112114131+-----+=n n n ))((])([， ………………10分整理得52153++-=n n n S ))((． ………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为0.1，在[15,20) 频率为0.2，[20,25)之间的频率为0.3， 在[30,35)频率为0.15，所以在[25,30)上的频率为0.25 ， 所以样本中二等品的频率为0.45，所以该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率0.45． ………………4分 （Ⅱ）因为一等品6件，所以在[10,15)上2件，在[30,35)上3件， ………………6分令[10,15)上2件为1a ，2a ，在[30,35)上3件1b ，2b ，3b ， 所以一切可能的结果组成的基本事件空间=Ω{（1a ，1a ），（1a ，2a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（1a ，3b ）……}由25个基本事件组成．恰有1件的长度在区间[30,35)上的基本事件有12个 …………10分所以取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率2512=p ． ………………12分 19.证明：（Ⅰ）取PA 中点F ,连接,,BF EF 因为E 为PD 中点，所以AD EF 21//,因为AD BC 21//, 所以BC EF //,所以EFBC 为平行四边形，所以CE BF // ………………4分 因为⊂BF 平面APB , ⊄CE 平面APB ,所以//CE 平面APB ． ………………6分（Ⅱ）取CD 中点G ，AB 中点H ，连接,PG HG ，PH ,E CABP DF∵PD PC =，CD 中点G ， ∴PG CD ⊥,∵APB ∆是等腰直角三角形，H 是AB 中点，∴AB PH ⊥，HG ∥AD 。

2020年大连市高三第一次模拟考试数学（文科）本试卷共6页，考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，刮纸刀. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷笫22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则集合A B 为（ ）A. {}2,1,0,1,2--B.1,0,1,2C. {}1,0,1,2,3-D.{}2,1,0,1,2,3--【答案】B 【解析】 【分析】直接判断集合B 有哪些元素在集合A 中即可.【详解】因为集合{}|23A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，所以集合{}1012A B ⋂=-，，， 故选：B【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】设,,z a bi a b R =+∈（） ，由()1i 22z z i z +=⇒=--（）2a bi i a bi ⇒+=--（） ，2a bi b a i ⇒+=-+-（） ,2a b b a =-⎧⇒⎨=-⎩1b ⇒=- ，故选B. 3.下列函数中是偶函数，且在()0,∞+是增函数的是（ ） A. ln y x = B. cos y x =C. 2y x =-D. 3y x =【答案】A 【解析】 【分析】对于A 选项：函数ln y x =是偶函数且函数ln y x =为增函数；对于B 选项：函数cos y x=是偶函数但当()0,x ∈+∞时不是增函数；对于C 选项：函数2y x =-是偶函数，但当()0,x ∈+∞时为减函数；对于D 选项：函数3y x =是奇函数.【详解】对于A 选项：因为函数ln y x =中自变量x 含有绝对值，所以是偶函数， 当0x >时，函数ln ln y x x ==为增函数，故正确； 对于B 选项：根据函数cos y x =的图像可知它是一个偶函数， 但当()0,x ∈+∞时有增有减，故错误；对于C 选项：函数2y x =-是开口向下的二次函数是偶函数， 但当()0,x ∈+∞时为减函数，故错误； 对于D 选项：函数3y x =是奇函数，故错误； 故选：A【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为（ ） A. 14 B. 28C. 36D. 48【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式以及等差数列的性质即可求出. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和， 所以()()18818842a a S a a +==+ ()45448a a =+=故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题. 5.PM 2．5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM 2．5日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在33575/g m μ-空气质量为二级，超过375/g m μ为超标，如图是某地1月1日至10日的PM 2．5（单位：3/g m μ）的日均值，则下列说法正确的是（ ）A. 10天中PM 2．5日均值最低的是1月3日B. 从1日到6日PM 2．5日均值逐渐升高C. 这10天中恰有5天空气质量不超标D. 这10天中PM 2．5日均值的中位数是43 【答案】D 【解析】根据给的图，列出对应的数据，即可得到.【详解】对于A 选项：10天中PM 2．5日均值最低的是1月1日，故A 选项不正确； 对于B 选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故B 选项不正确； 对于C 选项：不超过375/g m μ有8天，故C 选项不正确； 对于D 选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，可得到它的中位数为43，故D 选项正确 故选：D【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题. 6.已知抛物线24y x =上点B （在第一象限）到焦点F 距离为5，则点B 坐标为（ ） A. ()1,1 B. ()2,3 C. ()4,4D. (3【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线定义可得到B 点的横坐标，再代入抛物线方程即可. 【详解】设()()000,,0B x y y >， 因为点B 到焦点F 距离为5即5BF =, 根据抛物线定义：00152pBF x x =+=+=， 解得：04x =，代入抛物线方程24y x =， 得04y =即()4,4B 故选：C【点睛】本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题. 7.设非零向量m ，n ，则“m n ⊥”是“|2||2|m n m n +=-”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】 【分析】将|2||2|m n m n +=-两边平方化简可得0m n ⋅=，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】若|2||2|m n m n +=-，则22|2||2|m n m n +=-所以22224444m m n n m m n n +⋅+=-⋅+，即0m n ⋅=，故必要性成立； 若m n ⊥，则0m n ⋅=，即224444m m n n m m n n +⋅+=-⋅+， 所以22(2)(2)m n m n +=-，即22|2||2|m n m n +=-， 所以|2||2|m n m n +=-，故充分性成立，所以“m n ⊥”是“|2||2|m n m n +=-”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，同时考查向量的数量积，属于基础题.8.如图是函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，则ω，ϕ的值分别为（ ）A. 1，3πB. 1，6π-C. 2，6π-D. 2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像由6π到23π是半个周期即22362T πππ=-=，可得到周期2T ππω==，从而可求出ω的值，再由最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入计算即可. 【详解】由题意可得22362T πππ=-=， 即2T ππω==，解得：2ω=，因为函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><图象的最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以有：sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得：()2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ故选：D【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，121n n a S +=+，*n ∈N ，则5S 值为（ ） A. 363 B. 121C. 80D. 40【答案】B 【解析】 【分析】根据n a 与n S 的关系可得1121n n n n a S S S ++=+=-，利用构造法可判断出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出5S 的值. 【详解】因为1121n n n n a S S S ++=+=-， 所以有：111322n n S S +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即得到数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以公比为3的等比数列，所以有：1111133222n n n S S -⎛⎫+=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 即11313222n n n S -=⋅-=，当5n =时有5531243112122S --===故选：B【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题. 10.已知0a >，0b >，111a b+=，则+a b 的最小值为（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】D 【解析】 分析】根据已知条件，用+a b 乘以1，可得()11a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭，再展开利用基本不等式即可. 【详解】因111a b+=， 所以()()111a b a b a b ⎛⎫+⋅=+⋅+⎪⎝⎭ 11224a b a b a bb a b a b a=+++=++≥+⋅=，当且仅当a bb a=即2a b ==时等号成立 故选：D【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了“1”的乘积，属于一般题. 11.已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若a ∥α，b ∥β，a ∥b 则α∥β B. 若αβ⊥，a α⊥，则a ∥β C. 若αβ⊥，αγ⊥，a βγ=，则a α⊥D. 若α∥β，a ∥α，则a ∥β【答案】C 【解析】 【分析】对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ，则//αβ或αβ⋂；对于B 选项：当,a αβα⊥⊥，则//a β或a β⊂；对于C 选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若αβ⊥，αγ⊥，a βγ=，则a α⊥；对于D 选项：当//,//a αβα，则//a β或a β⊂.【详解】对于A 选项：当//,//,//a b a b αβ，则//αβ或αβ⋂，故A 选项不正确； 对于B 选项：当,a αβα⊥⊥，则//a β或a β⊂，故B 选项不正确； 对于C 选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知C 选项正确； 对于D 选项：当//,//a αβα，则//a β或a β⊂，故D 选项不正确； 故选：C【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题. 12.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,x y ,再求||x y -即可.【详解】由题,1011951050x y ++++=⨯=,即20x y +=. 又()()()()()22222110101010111091025x y ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦, 即()()2210108x y -+-=.代入20x y +=有()()222010108y y --+-=,解得8y =或12y =.故128x y =⎧⎨=⎩或812x y =⎧⎨=⎩.故||4x y -=.故选：D【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知x ，y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩则z x y =+的最大值为__________．【答案】4； 【解析】 【分析】根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.【详解】因为x ，y 满足约束条件0,0,2x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，所以得到可行域（如图）当目标直线过()2,2B 时目标函数z x y =+有最大值4 故答案为：4【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题.14.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±，则双曲线的离心率为_______．2【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，根据题意知1b a ±=±，所以1ba=. 双曲线的离心率2222222e 12c c a b b a a a a+====+=2点睛：在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，（1）离心率为c a， （2）焦点为()c,0，其中222a b c +=； （3）渐近线为：b y x a=±. 15.定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件（1）对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-．则()6f 的值是__________．【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件把()6f 化成342f ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据当(]1,2x ∈时，()2f x x =-代入即可. 【详解】因为对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立，所以有：()()()336232322422f f f f f ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 所以3312222f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()36422f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：2【点睛】本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题.16.已知矩形ABCD 中，点8AB =，6AD =，沿对角线BD 折叠成空间四边形ABCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为__________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先根据已知条件可确定球心为矩形对角线的交点，然后求出球的半径，利用球的表面积公式即可得到答案.【详解】在Rt ABD △中，22226810BD AD AB =+=+=，由题意知，球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为对角线AC ，BD 的交点，且半径152R BD ==， 所以空间四边形ABCD 的外接球的表面积224410100S πR ππ==⨯=. 故答案为：100π【点睛】本题主要考查空间四边形的外接球，球的表面积计算，同时考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设函数2()2sin cos 2cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，若02B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3a =1c =，求b ．【答案】（Ⅰ）(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）17【解析】 【分析】(I)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数()f x 进行化简得到：()2sin 21f x x =-，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；(II)由(I)得到的()2sin 21f x x =-可计算出()02Bf =中角B 的值，结合条件中,a c 的值，利用余弦定理即可求出b . 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知()22sin cos 2cos 2sin cos cos 2144f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21sin 2sin 212sin212x x x x x π⎛⎫=-+-=+-=- ⎪⎝⎭，由()22222k x k k z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （Ⅱ）由2sin 102B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，可得1sin 2B =， 由题意知()0,B π∈故6B π=,或56B π=由余弦定理22222231b a c accosB a c ac =+-=+=，1b ∴=7【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题.18.某中学高三(3)班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12](1)从每周平均体育锻炼时间在[0,4]的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；(2)已知全班学生中有40%是女姓，其中恰有3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：22()()()()()n ad bca b c d a c b d χ-=++++2()P≥χχ0.100 0.050 0.010 0.001 0χ 2.706 3.841 6.635 10.828【答案】(1)310；(2)没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.【解析】【分析】(1)用列举法求出所有可能的基本事件数，再根据古典概型计算公式求解即可；(2)根据已知条件，求出经常锻炼和不经常锻炼男生、女生的人数，写出22⨯列联表，计算2χ，查对临界值，作出判断即可.【详解】(1)由已知，锻炼时间在[0,2]，(2,4]中的人数分别是500.0222⨯⨯=(人)；500.0323⨯⨯=(人)分别记[0,2]中2人为12,a a ，(2,4]中3人为123,,b b b ，则随机抽取2人调查的所有基本事件有如下情况：()()()()()()()()()()12111213222231212133,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，共10种，所以,这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率310P =. (2)由已知可知，不超过4小时的人数为：500.022500.0325⨯⨯+⨯⨯=人， 又恰有3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时， 所以男生有2人每周平均体育锻炼时间不超过4小时，因此经常锻炼的女生有5040%317⨯-=人，男生有30228-=人. 所以22⨯列联表为： 男生 女生 小计 经常锻炼 28 17 45 不经常锻炼 2 3 5 小计 302050所以2250(283217)250.926 2.706302045527⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯χ，所以没有90%把握说明，经常锻炼与否与性别有关.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的面积即为相应的频数，古典概型概率的计算和独立性检验的应用，属于基础题.19.如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160CBB ∠=︒，A 在侧面11BB C C 上的投影恰为1B C 的中点O ，E 为AB 的中点.(1)证明：//OE 平面11ACC A ；(2)若AC 与平面11BB C C 所成角为45︒，且2BC =，求E 到平面11ACC A 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】 【分析】(1) 连结1BC ，1AC ，由O ，E 分别为1BC ，AB 中点，可得1//OE AC ，再由线面平行的判定定理即可证出；(2)因为//OE 平面11ACC A ，所以要求E 到平面11ACC A 的距离，只要求出O 到平面11ACC A 的距离即可，利用等体积法由11 三棱锥三棱锥O ACC A OCC V V --=，即可求出答案.【详解】(1)证明：连结1BC ，1AC ，因为O ，E 分别为1BC ，AB 中点，所以1//OE AC ，因为OE ⊄平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， 所以//OE 平面11ACC A .(2)因为AO ⊥平面11BB C C ，所以45ACO ∠=︒ 因为侧面11BB C C 为菱形，2BC =，160CBB ∠=︒，所以1BB C △是等边三角形，所以12B C =，又O 为1B C 的中点， 所以1OC =，所以在Rt AOC 中，1AO =，2AC =在1Rt AOC △中，2222111(3)2A AO O C C =+=+=，在1ACC △中，2AC =,112CC AC ==，所以12212272()22△ACC S =-= 又111133122△OCC O OC S C =⋅⋅==设O 到平面1ACC 的距离为d ，因为11 三棱锥三棱锥O ACC A OCC V V --=， 所以111133ACC OCC d S AO S ⋅=⋅△△，即1713133d =⨯ 所以217d =，又//OE 平面11ACC A ， 所以E 到平面11ACC A 的距离为217. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，等体积法求点到面的距离，同时考查转化与化归的思想，属于中档题. 20.己知过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的曲线C 2222(1)(1)2x y x y a -+++=. (1)求曲线C 的标准方程；(2)己知点()1,0F ，A 为直线4x =上任意一点，过F 作AF 的垂线交曲线C 于点B ，D ，求||||BD AF 最大值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)1【解析】 【分析】(1)将点P 的坐标代入曲线C 的方程可求出a 的值，再由曲线C 方程的几何意义即可求出曲线C 的方程；(2) 设()11,B x y ，()22,D x y ，设直线BD 的方程为1x my =+，令4x =即可求出点A 坐标，再由两点间距离公式即可求出||AF ，将直线BD 的方程为1x my =+与椭圆C 的方程联立消去x ，利用根与系数关系求出12y y +，12y y ，由弦长公式即可求出||BD ，进而可求出22||41||34BD m AF m +=+，令211t m +≥，则2||441||313BD t AF t t t==++，只需求出13t t +的最小值即可．【详解】(1)将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C 的方程得2a =， 由椭圆定义可知曲线C 的轨迹为以()1,0-，()1,0为焦点的椭圆，所以C 的标准方程为22143x y +=.(2)设()11,B x y ，()22,D x y ， 由题意知，直线BD的斜率不为0，可设BD 的方程为1x my =+，则AF 的方程为(1)y m x =--，所以(4,3)A m -， 所以22||(41)(30)31AF m m =-+--=+将直线BD 与椭圆C 的方程联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=所以122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+ 所以()()22212122121||1434m BD m y y y y m +=++-⋅=+，所以2||41||BD m AF +=，令211t m =+≥， 所以2||441||313BD t AF t t t==++，令1()3f t t t=+，1t ≥， 因为222121()20t f t t t-'=-=>，所以1()3f t t t =+在[1,)+∞上单调递增， 所以1()3(1)4f t t f t=+≥=，所以||4411||43BD AF t t=≤=+， 所以||||BD AF 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系及弦长公式，同时考查函数最值的求法，属于中档题.21.已知函数2()2sin 2f x x x x π=-+，曲线()f x 在函数零点处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)当0k >时，若有12()kx b f x +=成立，求证：210x x -≥. 【答案】(1)22244k b πππ=-⎧⎨=-+⎩；(2)证明见解析【解析】 【分析】(1)求()f x '，判断其单调性并结合零点存在性定理可求出函数()f x 的零点，根据导数的几何意义求出在零点切线的斜率，根据点斜式方程即可求出切线方程，再与y kx b =+比较对应项的系数，即可求出k ，b 的值；(2)构造函数2()(22)2sin 2F x x x x x ππ=+-+-，由()F x 单调性可知()(0)0F x F ≥=，从而可得2(22)2sin 2x x x x ππ+≥-+，进而可得22222(22)2sin 2x x x x +≥-+ππ，再结合122222sin (22)2x x ππx x =-++，即可证出210x x -≥.【详解】(1)由题意得：因为2()2sin 2f x x x x π=-+，定义域为x ∈R .()2cos 22f x x x π'=-+，因为()2sin 20f x x ''=--<，所以()f x '在x ∈R 上为减函数.因为(0)220f π'=+>，()20f ππ'=-<所以由零点存在定理可知，()f x '在(0,)x π∈上必存在一点0x 使()00f x '=所以当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，即()f x 在()0,x x ∈-∞上为增函数，当[)0,x x ∈+∞时，()0f x '≤，即()f x 在[)0,x x ∈+∞上为减函数，所以()f x 极大值()0f x =，故()f x 至多有两个零点，又因为(0)0f =，(2)0f π=，故0x =，2x π=是()f x 的两个零点， 所以由(0)22f π'=+，(2)22f ππ'=-，所以两切线方程为：(22)y x π=+或2(22)44y x πππ=--+所以220k b π=+⎧⎨=⎩或22244k b πππ=-⎧⎨=-+⎩(2)由已知得122222sin (22)2x x ππx x =-++，设2()(22)2sin 2F x x x x x ππ=+-+-()22cos 2F x x x '=-+，因为()2sin 20F x x ''=+≥，所以()22cos 2F x x x '=-+在x ∈R 上为增函数， 因为(0)0F '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞上为减函数， 当[0,)x ∈+∞时，()0F x '≥，()F x 在[0,)+∞上为增函数， 所以()(0)0F x F ≥=，即2(22)2sin 2x x x x ππ+≥-+， 所以222221(22)2sin 2(22)x x x x x πππ+≥-+=+， 所以21x x ≥，所以210x x -≥.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理，在一点处的切线方程，构造函数证明不等式，属于难题.请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为4-.记M 的轨迹为曲线C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ+=. (1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠±；23110x y ++=；7【解析】 【分析】(1)根据题意列出方程可求得曲线C 的方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直线l 的直角坐标方程；(2)设(cos ,sin )P αα，()α∈-π,π为曲线C 上一点，利用点到直线的距离公式和逆用两角差的余弦公式，即可求出C 上的点到l 距离的最小值.【详解】(1)由题设得211y y x x ⋅=-+-，化简得221(1)4y x x +=≠± 因为直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为23110x ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数，παπ-<<），设(cos ,2sin )P αα，()α∈-π,π为曲线C 上一点， 所以C 上的点P 到l |2cos 23sin 11|7αα++4cos 114cos 11377⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==ππαα， 当23πα=-时，4cos 113πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7. 故C 上的点到l 7.【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，普通方程互为参数方程，同时考查点到直线的距离公式及三角函数的最值求法，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b += 【解析】【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-，又()()32235x x x x ++-≥--+=，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立． 5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈，1m ∴=，∴综上所述：1m =，22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--， ()421371a b a a ⎛⎫∴+≥-⋅= ⎪-⎝⎭，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。

高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（ ）A. {-1，0，1，2}B. {-1，0，1}C. {0，1，2}D. {0，1}2.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列各点中,可以作为函数图象对称中心的是( )A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（ ）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S5=（ ）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为α∥β的充分条件的是（ ）A. m∥n，m⊂α，n⊂βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β7.科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（ ）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加8.若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.9.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 010.函数f（x）=的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.11.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则p的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 612.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（ ）A. [2，+∞）B. （-∞，2]C. （2，+∞）D. （-∞，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为______14.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．15.已知，的是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为______．16.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N*），则=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=6，AC=4．（Ⅰ）若sin B=，求△ABC的面积；（Ⅱ）若=2，AD=3，求BC的长．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．分组频数[55，65）2[65，75）4[75，85）10[85，95]4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离．20.椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|=6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．21.已知函数f（x）=+a ln x（a＞0）．（Ⅰ）若函数y=f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={-1，0，1，2}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：D．找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵=的实部与虚部相等，∴a+1=1-a，即a=0．故选A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，对函数的解析式进行化简是解题的关键，属于基础题．根据题意化函数为一个正弦型函数，根据正弦函数的对称性，即可求出图象的对称中心．【解答】解：y=sin x-cos x=2sin（x-），令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数y=sin x-cos x图象对称中心的是：（，0）．故选A．4.【答案】B【解析】解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：数列{a n}为等差数列，且a2=4，a4=2，所以由a2+a4=2a3，得a3=3，∴S5==5a3=5×3=15，故选：C．由a2+a4=2a3，再根据S5于a3的关系，可得．本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，为基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意知，m∥n，且m⊥α，n⊥β，则α∥β．故选：B．根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了面面垂直的判断问题，是基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由折线图和条形图可得答案【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D．8.【答案】C【解析】解：∵a=log2＜log21=0，0＜b=0.43＜0.41=0.4，c=ln2＞ln=，∴a，b，c的大小关系是a＜b＜c．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=，，PD=，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．∴其中正确的个数为3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；综上所述，只有B符合.故选B．11.【答案】D【解析】解：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，则|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，故选：D．求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都＞1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=3x1-2+1+ln x2=3x1+ln x2-1，∵f（x1）+f（x2）=2，∴3x1+ln x2-1=2，∴，∴=，（x2＞1）．构造函数，（x＞1）．则．∵x＞1，∴3x＞3，∴，∴．∴g′（x）＞0．∴g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数．∴g（x）min=g（1）=2．∴g（x）＞2．∴x1+x2＞2．故选：C．本题可现根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．本题主要考查函数与导数的相关知识，以及通过构造函数并求导确定该函数的单调性求二元函数的函数取值问题．本题属中档题．13.【答案】8【解析】解：a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，所以a+4b≥2=8，当且仅当a=4b时取得等号，即a=4，b=1时取得最小值8．故填：8．a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题．14.【答案】2【解析】解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是．则2c=4，c=2则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.【答案】【解析】解：由题意知，（+t）•（t+）=t+t+（t2+1）•=t2+2t+=（t+2）2-，当t=-2时数量积取得最小值为-．故答案为：-．由题意计算（+t）•（t+），利用二次函数的性质求出最小值．本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了利用二次函数求最值的应用问题，是基础题．16.【答案】n2【解析】解：由a n+1=，得，即，∴数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，则=．故答案为：．把已知数列递推式变形，可得，则数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵b=4＜6=c，∴B为锐角．∵sin B=，∴cos B==．∴=62+a2-12a×，化为：a2-4a+4=0，解得a=2．∴△ABC的面积S==4．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，则BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理可得：cos B==，解得x=．∴BC=．【解析】（Ⅰ）由b=4＜6=c，可得B为锐角．可得cos B=．利用余弦定理可得a．利用面积计算公式即可得出．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，可得BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200×=60（人），……..（2分）估计第二车间生产时间小于75min的人数为400×（0.025+0.05）×10=300（人）；……………………．（4分）（II）第一车间生产时间平均值约为=×（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），……………………………．（5分）第二车间生产时间平均值约为=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min）；…………………………..（6分）∵＞，∴第二车间工人生产效率更高；………………………………..（8分）（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；抽取2人基本事件空间为Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件；……………………………………………..（9分）设事件A=“2人中至少1人生产时间小于65min”，则事件A={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件；………………………………………………（10分）∴P（A）==．……………………………………………………（12分）【解析】（I）根据频率分布直方图和频率分布表计算第一、第二车间生产时间小于75min的人数；（II）分别计算第一、第二车间生产时间平均值，比较大小即可；（III）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19.【答案】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADE=，∠DAB=∠ABC=，∴在等腰ADB中，∠ADB=∠ABD=，∴∠DBC=-=，即BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB=O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（Ⅱ）设点C到平面PAB的距离为d，由题意得，OP⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，∵OP=OB=，∴PB=，∵AP=AB=1，∴S△PAB==，S△ABC==，∴V P-ABC==，又V P-ABC=V C-PAB==，∴d=．【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中连接BD，交AE于点O，证明BD⊥AE即可得出翻折后AE⊥平面POB，从而AE⊥PB；（Ⅱ）根据V P-ABC=V C-PAB列方程求出点C到平面PAB的距离．20.【答案】解：（I）∵e=，∴a=c，又2b=6，且a2=b2+c2，∴a2=18，b2=9，因此椭圆C的方程为+=1．（II）：设M（x0，y0），N（x1，y1），∵NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．∴直线NB1：y+3=-x……①直线NB2：y-3=-x……②由①，②解得：x1=，又∵+=1，∴x1=-，四边形MB2NB1的面积S=|B2B1|（|x1|+|x0|）=|x0|，∵0＜x02≤18，∴当x02=18时，S的最大值为．【解析】（Ⅰ）利用离心率为，2b=6且a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M（x0，y0），N（x1，y1），分别求出直线NB1和直线NB2的方程，即可求出x1和x0的关系，表示四边形ABF2F1面积，即可求出面积的最大值本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，+），f′（x）==，∵a＞0,∴当时，f′（x）取最大值，∴，∵a＞0，∴a=4，∴f′（x）=，当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值点为x=，无极大值点．（Ⅱ）∵f′（x）=，其中x＞0且a＞0，∴当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（）=a+a ln．∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+a ln＜2，∵a＞0，∴＜0，令g（x）=ln x+1-x，∴g′（x）=，当（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴＜0等价于＞0且．∴a的取值范围是a＞0且a≠2．【解析】本题考查利用导数求函数的单调性与极值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是较难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到当时，f′（x）取最大值，由求得a值，代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点．（Ⅱ）求出原函数的导函数，分析单调性，得到f（x）≥f（）=a+a ln，把关于x的不等式f（x）＜2有解转化为a+a ln＜2，即＜0，再由g（x）=ln x+1-x的单调性得到g（x）≤g（1）=0，则＜0等价于＞0且，由此求得a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）【解析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得-≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

一、单选题1. 宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（）A ．30B ．35C ．40D ．452. 如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（）A ．80B．C ．160D．3.腰长为的等腰的顶角为，且，将绕旋转至的位置得到三棱锥，当三棱锥体积最大时其外接球面积为（）A．B．C．D．4. 函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 已知复数Z 满足i 3z =1+i （i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．-1-iB ．-1+iC ．1-iD ．1+i6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．7. 已知经过坐标原点，半径，且与直线相切，则的方程为（ ）．A ．或辽宁省大连市2022届高三第一次模拟考试数学试题(1)辽宁省大连市2022届高三第一次模拟考试数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题B．或C ．或D ．或8. 关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）A．的最小正周期为B ．的图象关于直线对称C．的图象关于对称D ．在上单调递增9.若，则（ ）A．B ．C．D．10. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则（）A．B．C ．存在无数条直线与直线，，均相交D．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为11. 已知三棱锥的四个顶点都在球上，，，平面平面，则（ ）A ．直线与直线垂直B．到平面的距离的最大值为C ．球的表面积为D ．三棱锥的体积为12. 已知圆锥SO （O 是底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P ，Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积的最小值为11D ．直线SP 与平面所成角的余弦值的最小值为13. 计算：________.14. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________.15. 设，，将函数的图象左移个单位得到的图象，为偶函数，则______．16.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.17. 2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分布直方图：其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：；(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.19. 为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.20. 已知数列，，且满足.数列满足，数列的前项和为.(1)证明：数列为等比数列并求的通项公式；(2)求数列的通项公式.21. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，点（），以为圆心，为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，记面积为，面积为，求的取值范围.。

大连市高三第一次模拟考试 数学（文科）能力测试 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =+，则z =（ ）A ． 12i -B ．54i +C ． 1D ．2 2.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+<，{|1}B x x =>，则AB =（ ）A ．{|3}x x >B ．{|1}x x >C ．{|13}x x -<<D ．{|13}x x << 3. 设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4.直线430x y -=与圆22(1)(3)10x y -+-=相交所得弦长为（ ） A ． 6 B ． 3 C. 62．325.下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α外的直线a 不平行于平面α内不存在与a 平行的直线B ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么直线l ⊥平面γC.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D ．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6. 已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a +++=（ ）A ． 30B ． 18 C. 15 D ．97. 在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ． 6B ．4 C. 2 D ．08.函数xe y x=的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ． 4B ．73 C. 43 D ．8310. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A ．118 B ．54 C. 32 D ．231611. 若方程2sin(2)6x m π+=在[0,]2x π∈上有两个不相等实根，则m 的取值范围是（ ）A ．3)B ．[0,2] C. [1,2) D ．3] 12. 已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C. 1(,1)2D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为 ． 14. 已知函数()sin xf x e x =，则'(0)f = ．15. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知点(3,1)P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =•. （1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；（2）若A 为ABC ∆的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆的面积为334，求ABC ∆的周长.18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AD AP ==，27AB =，E 为棱PD 中点.（1）求证：PD ⊥平面ABE ；（2）求四棱锥P ABCD -外接球的体积. 20. 已知函数()ln f x ax x =-.（1）过原点O 作函数()f x 图象的切线，求切点的横坐标；（2）对[1,)x ∀∈+∞，不等式2()(2)f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21. 已知椭圆Q ：2221(1)x y a a+=>，12,F F 分别是其左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与椭圆Q 有且仅有两个交点. （1）求椭圆Q 的方程；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是1[,0)4-，求||AB 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为2515515x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求证：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准一．选择题（1）A ；（2）D ；（3）C ； （4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）A ；（8）B ；（9）D ；（10) B ； （11）C ； （12）D ． 二.填空题（13）95； （14）1； (15) 2； 16．128. 三.解答题 （17）解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， ∴()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+，∴当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值2．(2) ∵()=4f A ，∴23A =π， 又∵3BC =，∴22222cos 3a b c bc =+-π，∴29()b c bc =+-．133sin 24ABC S bc A ∆==，∴3bc =．∴23b c +=，∴三角形周长为323+.(18)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为,,,A B C D ，评分不小于90分的人数为2，记为,a b ，从6人人任取2人，基本事件空间为{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ω=(),(),(),(),()}Ca Cb Da Db ab ，共有15个元素. 其中把“两名用户评分都小于90分”记作M ， 则M={(),(),(),(),(),()}AB AC AD BC BD CD ，共有6个元素.所以两名用户评分都小于90分的概率为62155=. (19)解：(I)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ， ∴PA AB ⊥，又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PAAD A =，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AEAB A =，AE ⊂平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE .(II)法一：四棱锥P ABCD -外接球球心在线段BD 和线段PA 的垂直平分线交点O ， 由已知22222(27)42BD AB AD =+=+=， 设C为BD 中点，∴12212AM OM AP ===，，∴22221(22)3OA AM OM =+=+， ∴四棱锥P ABCD -外接球是34363AM =ππ．法二：四棱锥P ABCD -外接球和过,,,,P A B C D 的长方体外接球相同， 球心在对角线的中点2222222(27)26AB AD AP ++=++， ∴球的半径为3，∴四棱锥P ABCD -外接球是34363AM =ππ． (20)解：（Ⅰ）设切点为0x M （，))(0x f ，直线的切线方程为)()(00x x k x f y -=-，xa x f 1)(-=' ，001)(x a x f k -='=∴，即直线的切线方程为))(1(ln 0000x x x a x ax y --=+-， 又切线过原点O ,所以1ln 000+-=+-ax x ax ， 由1ln 0=x ，解得e x =0，所以切点的横坐标为e .（Ⅱ）方法一：∵不等式)2(ln 2x x a x ax -≥-对1[∈∀x ，)∞+恒成立, ∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.设x ax ax x g ln )(2--=，1[∈x ，)∞+，xa ax x g 12)(--='. ①当0≤a 时，01)12()(<--='xx a x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递减， 即0)1()(=≤g x g ，0≤∴a 不符合题意.②当0>a 时，x ax ax x g 12)(2--='.设18)41(212)(22---=--=ax a ax ax x h ，在1[，)∞+上单调递增，即()(1)1h x h a ≥=-.（ⅰ）当1≥a 时，由0)(≥x h ，得0)(≥'x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递增，即0)1()(=≥g x g ，1≥∴a 符合题意；（ii ）当10<<a 时，01<-a ，1[0∈∃∴x ，)∞+使得0)(0=x h ， 则)(x g 在1[，)0x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0)1()(0=<∴g x g ，则10<<a 不合题意.综上所述，1a ≥.（Ⅱ）方法二：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.当0a ≤时，2ln 0ax ax x --≤；当01a <<时，2ln g x ax ax x --（）=， 3ln30g a -≥（）=6不恒成立；同理x 取其他值不恒成立. 当=1x 时，2ln 0ax ax x --≥恒成立； 当1x >时，2ln x x a x≥-，证明2ln 1x x x x ≤-≥（）恒成立. 设2ln g x x x x =-+（），1[∈x ，)∞+， 212+0x x g x x-'=≤（）.∴g x （）在1[∈x ，)∞+为减函数． 1g x g ≤（）（）=0，∴1a ≥.（Ⅱ）方法三：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立, ∴等价于2ln a x x x -≥（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立.设212=ln y a x x y x =-（）,，当0a ≤时，12y y ≤；∴0a >， 函数1y 过点（0,0）和（1,0），函数2y 过点（1.0），12y y ≥在1x ≥恒成立，一定存在一条过点（1,0）的直线和函数1y 、2y 都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线2y 相切和函数1y 相交，但交点横坐标小于1，当都相切时1212=1y ax a a y x''=-==,． 33ln3g a a --（）=9不大于等于0. ∴1a ≥.(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 由题意可知1c b ==，∴2a =2212x y +=. (Ⅱ) 设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ，∴22121222422(),1212k k x x x x k k-+=-⋅=++. ∴2012002212(),(1)21212k kx x x y k x k k =+=-=+=++ ∴AB 的垂直平分线方程为001()y y x x k -=--， 令0y =，得00211242P x x ky k =+=-++∵1[,0)4P x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤． 4222221164(21)(22)||1|1k k k AB k x x k -+-=+-=+ 2113222[+]22(21)k =≥+， min 32||2AB =． (22)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（Ⅱ）(22,),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++，:230l x y +-=．M 到l 的距离10|sin()|545d πα==+，从而最大值为105. (23)解：（Ⅰ）法一：()|||2|=||||||22b bf x x a x b x a x x =++-++-+-，∵|||||()()|222b b b x a x x a x a ++-≥+--=+且||02bx -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2ba +，∴12ba +=，22ab +=.法二：∵2ba -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b-∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()22b bf a =+， ∴12ba +=，22a b +=. （Ⅱ）方法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a bt ab+≥恒成立，212121122()(2)(14)22a b a ba b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(14)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92. 方法二：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a bt ab+≥恒成立，212a b t ab b a+≤=+恒成立，21214(12)9222b a b a b a ++=+≥=+ ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92. 方法三：∵2a b tab +≥恒成立，∴2(2)(2)a a ta a +-≥-恒成立， ∴22(32)40ta t a -++≥恒成立， ∴2(32)3260t +-≤，∴1922t ≤≤，实数t 的最大值为92.大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（1）A ；（2）D ；（3）C ； （4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）A ； （8）B ；（9）D ；（10) B ； （11）C ； （12）D ． 二.填空题（13）95； （14）1；2； 16．128. 三.解答题（17）(本小题满分12分)解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--，3分∴()331sin 42sin()3f x x x x π=+-=-+，········ 5分 ∴当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值2．········· 6分 (2) ∵()=4f A ，∴23A =π， 7分 又∵3BC =，∴22222cos 3a b c bc =+-π，∴29()b c bc =+-． 9分133sin 2ABC S bc A ∆==3bc =． 10分∴23b c +=，∴三角形周长为323+12分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：频率组距0.0350.030.04频率组距0.0350.0412分………………………………………………………………………………………4分由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ……………………………………6分 （Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为,,,A B C D ，评分不小于90分的人数为2，记为,a b ，从6人人任取2人，基本事件空间为{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ω=(),(),(),(),()}Ca Cb Da Db ab ，共有15个元素. …………………………………8分其中把“两名用户评分都小于90分”记作M ， 则M={(),(),(),(),(),()}AB AC AD BC BD CD ，共有6个元素. …………10分所以两名用户评分都小于90分的概率为62155=.………………………………12分 (19)(本小题满分12分)解：(I)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ， ∴PA ⊥AB ，又∵底面 ABCD 为矩形，∴AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，AD=AP ，E 为PD 中点，∴AE ⊥PD ，AE ∩AB =A ，AE ⊂平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE . …………………………………6分(II)法一：四棱锥P-ABCD 外接球球心在线段BD 和线段PA 的垂直平分线交点O ，…8分 由已知22222(27)42BD AB AD =++9分 设C 为BD 中点，∴12212AM OM AP ===，，MBCD O E∴22221(22)3OA AM OM =+=+=，………………………………………11分 ∴四棱锥P-ABCD 外接球是34363AM =ππ． ············ 12分 法二：四棱锥P-ABCD 外接球和过P 、A 、B 、C 、D 的长方体外接球相同，……8分 球心在对角线的中点………………………………………………………………9分 2222222(27)26AB AD AP ++++=，…………………10分 ∴球的半径为3，…………………………………………………………………11分 ∴四棱锥P-ABCD 外接球是34363AM =ππ． ············ 12分(20) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为0x M （，))(0x f ，直线的切线方程为)()(00x x k x f y -=-，xa x f 1)(-=' ，001)(x a x f k -='=∴， ……………………………2分即直线的切线方程为))(1(ln 0000x x x a x ax y --=+-， 又切线过原点O ,所以1ln 000+-=+-ax x ax ，由1ln 0=x ，解得e x =0，所以切点的横坐标为e .……………………4分 （Ⅱ）方法一：∵不等式)2(ln 2x x a x ax -≥-对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立. 设xax ax x g ln )(2--=，1[∈x ，)∞+，xa ax x g 12)(--='.……………………………………………………5分 ①当0≤a 时，01)12()(<--='x x a x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递减，即0)1()(=≤g x g ，0≤∴a 不符合题意. …………………7分②当0>a 时，x ax ax x g 12)(2--='.设18)41(212)(22---=--=ax a ax ax x h ，在1[，)∞+上单调递增，即()(1)1h x h a ≥=-. ……………9分（i ）当1≥a 时，由0)(≥x h ，得0)(≥'x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递增，即0)1()(=≥g x g ，1≥∴a 符合题意； …………………10分（ii ）当10<<a 时，01<-a ，1[0∈∃∴x ，)∞+使得0)(0=x h ， 则)(x g 在1[，)0x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0)1()(0=<∴g x g ，则10<<a 不合题意. …………………11分综上所述，1a ≥. ………………………12分 （Ⅱ）方法二：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立, ∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.当0a ≤时，2ln 0ax ax x --≤；当01a <<时，2ln g x ax ax x --（）=， 3ln30g a -≥（）=6不恒成立；同理x 取其他值不恒成立.……………………6分 当=1x 时，2ln 0ax ax x --≥恒成立； 当1x >时，2ln x x a x≥-，证明2ln 1x x x x ≤-≥（）恒成立. ………………10分 设2ln g x x x x =-+（），1[∈x ，)∞+， 212+0x x g x x-'=≤（）.∴g x （）在1[∈x ，)∞+为减函数．…………………11分 1g x g ≤（）（）=0，∴1a ≥.…………………………………………………………12分（Ⅱ）方法三：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立, ∴等价于2ln a x x x -≥（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立. …………………………5分设212=ln y a x x y x =-（）,，当0a ≤时，12y y ≤；∴0a >，………………6分 函数1y 过点（0,0）和（1,0），函数2y 过点（1.0），12y y ≥在1x ≥恒成立， 一定存在一条过点（1,0）的直线和函数1y 、2y 都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线2y 相切和函数1y 相交，但交点横坐标小于1，………………………10分当都相切时1212=1y ax a a y x''=-==,． …………………………………11分33ln3g a a --（）=9不大于等于0. …………………………………………6分 ∴1a ≥.……………………………………………………………………………12分(21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 由题意可知1c b ==，…………………………………………………2分 ∴2a =2212x y +=.……………………………………4分 (Ⅱ) 设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， …………………………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ， ∴22121222422(),1212k k x x x x k k -+=-⋅=++.………………………………………6分 ∴2012002212(),(1)21212k k x x x y k x k k=+=-=+=++………………………7分 ∴AB 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--， 令0y =，得00211242P x x ky k =+=-++………………………………………9分 ∵1[,0)4P x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤．……………………10分 4222221164(21)(22)||1|1k k k AB k x x k -+-=+-=+ 2113222[+]22(21)2k =≥+， min 32||2AB =．……………………………………………………………………12分 ．(22)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=………………………………………2分 :230l x y +-=. ……………………………………………………5分（Ⅱ）(22,),4P π直角坐标为(2,2)，…………………………………6分1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++，:230l x y +-=．……8分 M 到l 的距离10|sin()|545d πα==+，…9分 10 ………………………………………10分 (23)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）法一：()|||2|=||||||22b b f x x a x b x a x x =++-++-+-， ……2分∵|||||()()|222b b b x a x x a x a ++-≥+--=+且||02b x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +，……4分∴12b a +=，22a b +=. …………5分 法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，3分 显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()22b b f a =+， ………4分 ∴12b a +=，22a b +=. …………………5分（Ⅱ）方法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立，……………7分212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a+=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= …………………………………………9分当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，∴92t ≥，即实数t 的最大值为92.………………………………………10分 方法二：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立，……………7分212a b t ab b a +≤=+恒成立， 21214(12)9222b a b a b a ++=+≥=+…………………………………………9分 ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92.………………………………………10分 方法三：∵2a b tab +≥恒成立，∴2(2)(2)a a ta a +-≥-恒成立，………7分 ∴22(32)40ta t a -++≥恒成立，∴2(32)3260t +-≤，…………………………………………………9分 ∴1922t ≤≤，实数t 的最大值为92.…………………………………10分。

辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）(含解析)参考答案与试题解析一．选择题：〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的〕1．〔5分〕〔2021•大连一模〕设集合A={2，lnx}，B={x，y}，假定A∩B={0}，那么y的值为〔〕A．0B．1C．e D．考点：交集及其运算．专题：计算题．剖析：依据给出的集合A与集合B，且A∩B={0}，说明A中的lnx=0，由此求出x=1，那么集合B中只要y=0．解答：解：由A={2，lnx}，B={x，y}，假定A∩B={0}，说明元素0即在A当中，又在B当中，显然lnx=0，那么x=1，所以y=0．应选A．点评：此题考察了交集及其运算，考察了集合中元素的特性，是基础的会考题型．2．〔5分〕〔2021•大连一模〕设双数，那么z为〔〕A．1B．﹣1 C．i D．﹣i考点：双数代数方式的乘除运算．专题：计算题．剖析：两个双数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭双数，运算求得结果．解答：解：双数===﹣i，应选D．点评：此题主要考察两个双数代数方式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．〔5分〕〔2021•大连一模〕计算sin47°cos17°﹣cos47°cos73°的结果为〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．剖析：应用诱导公式把要求的式子化为sin47°cos17°﹣cos47°sin17°，再应用两角差的正弦公式化为sin30°，从而求得结果．解答：解：sin47°cos17°﹣cos47°cos73°=sin47°cos17°﹣cos47°sin17°=sin〔47°﹣17°〕=sin30°=，应选A．点评：此题主要考察诱导公式、两角差的正弦公式的运用，特殊角的三角函数的值，属于基础题．4．〔5分〕〔2021•大连一模〕某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业状况，要从中抽取一个容量为20的样本．假定采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是〔〕A．4B．6C．7D．12考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．剖析：先求出每个集体被抽到的概率，再用此概率乘以该层的集体数，即得应从该层中抽取的集体数．解答：解：每个集体被抽到的概率等于=，而中型超市有120家，故抽取的中型超市数是120×=6，应选B．点评：此题主要考察分层抽样的定义和方法，用每层的集体数乘以每个集体被抽到的概率等于该层应抽取的集体数，属于基础题．5．〔5分〕〔2021•大连一模〕、均为单位向量，且，那么与的夹角为〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及运用．剖析：设与的夹角为θ，由可得+2+=3，解得cosθ的值，即可求得θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，由、均为单位向量，且，可得+2+=3，即1+2cosθ+1=3，解得cosθ=．再由0≤θ≤π可得θ=，应选B．点评：此题主要考察两个向量的数量积的定义，依据三角函数的值求角，属于中档题．6．〔5分〕〔2021•大连一模〕假定曲线〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=4上相异两点P、Q关于直线kx﹣y﹣2=0对称，那么k的值为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：直线与圆．剖析：由题意可得直线过圆心，把圆心的坐标代入直线的方程，可解k的值．解答：解：假定曲线〔x﹣1〕2+〔y﹣2〕2=4上相异两点P、Q关于直线kx﹣y﹣2=0对称，那么圆心〔1，2〕在直线kx﹣y﹣2=0上，故有k﹣2﹣2=0，解得k=4，应选D．点评：此题考察与直线关于点、直线对称的直线方程有关知识，属于中档题．7．〔5分〕〔2021•大连一模〕如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为〔〕A．4B．8C．16 D．20考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．剖析：经过三视图苹果几何体的外形，应用三视图的数据，求出几何体的体积即可．解答：解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：×6×2×4=16．应选C．点评：此题考察三视图与几何体的关系，考察先生的视图才干，空间想象才干与计算才干．8．〔5分〕〔2021•大连一模〕函数的图象〔局部〕如下图，那么ω，φ区分为〔〕A．B．C．D．考点：y=Asin〔ωx+φ〕中参数的物理意义．专题：计算题；三角函数的图像与性质．剖析：经过函数的图象，求出函数的周期，即可求出ω，应用函数的图象经过的特殊点求解φ．解答：解：由函数的图象可知A=2，T=，所以ω==π，由于函数的图象经过，所以2=2sin〔+φ〕，得，k∈Z，由于，所以取k=0，∴φ=．所以应选B．点评：此题考察三角函数的解析式的求法，考察先生的视图才干与计算才干．9．〔5分〕〔2021•大连一模〕运转如下图的算法框图，那么输入的结果S为〔〕A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2考点：顺序框图．剖析：经过依次对n的值判别算法执行，可以看出在算法执行进程中S的值以6为周期周期出现，再由判别框中的条件看出执行的n的最大值是2021，由此即可失掉算法输入的正确结果．解答：解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量S赋值0．执行；判别1＜2021，执行n=1+1=2，S=；判别2＜2021，执行n=2+1=3，S=；判别3＜2021，执行n=3+1=4，S=；判别4＜2021，执行n=4+1=5，S=；判别5＜2021，执行n=5+1=6，S=；判别6＜2021，执行n=6+1=7，S=0+；…由此看出，算法在执行进程中，S的值以6为周期周期出现，而判别框中的条件是n＜2021，当n=2021时满足判别框中的条件，此时n=2021+1=2021．所以顺序共执行了335个周期又3次，所以输入的S值应是﹣1．应选A．点评：此题考察了循环结构中的当型结构，当型结构的特点是当满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法完毕，是基础题．10．〔5分〕〔2021•大连一模〕以下说法正确的选项是〔〕A．∀x∈〔0，π〕，均有sinx＞cosxB．命题〝∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否认是：〝∀x∈R，均有x2+x+1＜0”C．〝a=0”是〝函数f〔x〕=x3+ax2+x为奇函数〞的充要条件D．∃x∈R，使得成立考点：命题的真假判别与运用．专题：计算题．剖析：选项A，可举x=说明错误；选项B，正确的应为〝∀x∈R，均有x2+x+1≥0”；选项C，可由奇函数的性质说明正确；选项D，由三角函数的知识可得sinx+cosx的值域为[，]，由于∉[，]，故错误．解答：解：选项A，当x=时，sin=，cos=，显然有x∈〔0，π〕，但sinx＜cosx，故A错误；选项B，命题〝∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否认应该为：〝∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故B错误；选项C，当a=0时，数f〔x〕=x3+x显然为奇函数，当f〔x〕=x3+ax2+x为奇函数时，由f〔0〕=0可得a=0，故〝a=0”是〝函数f〔x〕=x3+ax2+x为奇函数〞的充要条件，故C正确；选项D，sinx+cosx=sin〔x+〕∈[，]，由于∉[，]，故不存在x∈R，使，故D错误．应选C点评：此题考察命题真假的判别，触及函数的奇偶性和三角函数的性质以及特称命题的否认，属基础题．11．〔5分〕〔2021•大连一模〕A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px〔p＞0〕上，假定，线段AB的中点到直线的距离为1，那么p的值为〔〕A．1B．1或3 C．2D．2或6考点：抛物线的复杂性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：如图，设AB中点为M，A、B、M在准线l上的射影区分为C、D、N，衔接AC、BD、MN．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x0，y0〕，依据抛物线定义和梯形的中位线定理，列式并化简整理可得|2﹣p|=1，解之得p=1或3．解答：解：区分过A、B作交线l：x=﹣的垂线，垂足区分为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，衔接MN，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔x0，y0〕依据抛物线的定义，得∴梯形ACDB中，中位线MN=〔〕=2，可得x0+=2，x∵线段AB的中点M到直线的距离为1，可得|x0﹣|=1∴|2﹣p|=1，解之得p=1或3应选：B点评：此题给出抛物线的弦AB中点到直线的距离为1，并且F到A、B的距离之和为4的状况下求抛物线的解析式．着重考察了抛物线的定义、规范方程和复杂几何性质等知识，属于中档题．12．〔5分〕〔2021•大连一模〕定义在R上的函数f〔x〕满足f〔3〕=1，f〔﹣2〕=3，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，y=f′〔x〕的图象如下图，且f′〔x〕有且只要一个零点，假定非负实数a，b满足f〔2a+b〕≤1，f〔﹣a﹣2b〕≤3，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．考点：导数的几何意义．专题：数形结合．剖析：依据y=f′〔x〕图象失掉函数的单调性，从而将f〔2a+b〕≤1化成f〔2a+b〕≤f〔3〕，失掉0≤2a+b≤3，同理化简f〔﹣a﹣2b〕≤3，失掉﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐标系内作出所对应的平面区域，失掉如下图的阴影局部平面区域，应用直线的斜率公式即可求出的取值范围．解答：解：由y=f′〔x〕图象可知，当x=0时，f′〔x〕=0，当x∈〔﹣∞，0〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减，当x∈〔0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，f〔x〕单调递增，又∵a，b为非负实数，∴f〔2a+b〕≤1可化为f〔2a+b〕≤1=f〔3〕，可得0≤2a+b≤3，同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，作出所对应的平面区域，失掉如图的阴影局部区域，联立，解得，即A〔，〕，同理联立，可得B〔2，﹣1〕，而等于可行域内的点与P〔﹣1，﹣2〕连线的斜率，结合图形可知：k PB是最小值，k PA是最大值，由斜率公式可得k PB==，k PA=10，故的取值范围为[，10]应选：A点此题在给出函数的导数图象基础之上，求满足不等式组的的取值范围．着重考察了应用导数研讨评：函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．二.填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷卡的相应位置上〕13．〔5分〕〔2021•大连一模〕在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC的值为．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．剖析：由正弦定理可得，可设其三边区分为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值．解答：解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边区分为2k，3k，4k，由余弦定理可得16k2=4k2+9k2﹣12k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：．点评：此题考察正弦定理、余弦定理的运用，设出其三边区分为2k，3k，4k，是解题的关键．14．〔5分〕〔2021•大连一模〕双曲线C：〔a＞0，b＞0〕，P为x轴上一动点，经过点P的直线y=2x+m〔m≠0〕与双曲线C有且只要一个交点，那么双曲线C的离心率为．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的复杂性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：应用经过P的直线y=2x+m〔m≠0〕与双曲线C有且只要一个交点⇔此直线与渐近线平行即可得出．解答：解：由双曲线的方程可知：渐近线方程为．∵经过P的直线y=2x+m〔m≠0〕与双曲线C有且只要一个交点，∴此直线与渐近线平行，∴．∴∴==．故答案为．点评：正确了解经过P的直线y=2x+m〔m≠0〕与双曲线C有且只要一个交点⇔此直线与渐近线平行是解题的关键．15．〔5分〕〔2021•大连一模〕球面上有四个点P、A、B、C，假定PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=1，那么该球的外表积是3π．考点：球内接多面体；球的体积和外表积．专题：计算题；空间位置关系与距离．剖析：依据题意，区分以PA、PB、PC为长、宽、高作出正方体，求出该正方体的外接球外表积，即为此题所求外表积．解答：解：∵PA、PB、PC两两相互垂直，且PA=PB=PC=1，∴区分以PA、PB、PC为长、宽、高，作出正方体设所得正方体的外接球为球O，那么P、A、B、C四点所在的球面就是球O外表就是正方体的对角线长等于球O的直径即2R==，得R=∴球O的外表积为S=4πR2=4π〔〕2=3π故答案为：3π点评：此题给出两两垂直且相等的线段PA、PB、PC，求那么P、A、B、C四点所在的球的外表积，着重考察了球内接多面体和球的外表积公式等知识，属于基础题．16．〔5分〕〔2021•大连一模〕函数y=f〔x〕的定义域为R，且具有以下性质：①f〔x〕﹣f〔﹣x〕=0；②f 〔x+2〕=f〔2﹣x〕；③y=f〔x〕在区间[0，2]上为增函数，那么关于下述命题：〔Ⅰ〕y=f〔x〕的图象关于原点对称；〔Ⅱ〕y=f〔x〕为周期函数，且4是一个周期；〔Ⅲ〕y=f〔x〕在区间[2，4]上为减函数．一切正确命题的序号为〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕．考点：笼统函数及其运用．专题：计算题；函数的性质及运用．剖析：由：①f〔x〕﹣f〔﹣x〕=0可判别其奇偶性；由②f〔x+2〕=f〔2﹣x〕可判别其对称性；再结合③y=f〔x〕在区间[0，2]上的单调性即可对〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕的正误作出判别．解答：解：∵①f〔x〕﹣f〔﹣x〕=0，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，∴y=f〔x〕为偶函数，不是奇函数，故〔Ⅰ〕错误；又f〔x+2〕=f〔2﹣x〕，∴y=f〔x〕关于直线x=2对称，且f〔x〕=f〔4﹣x〕，∴f〔﹣x〕=f〔4﹣x〕，∴y=f〔x〕是周期为4的为周期函数，故〔Ⅱ〕正确；又y=f〔x〕在区间[0，2]上为增函数，∴偶函数y=f〔x〕在区间[﹣2，0]上为减函数，又y=f〔x〕是周期为4的为周期函数，∴y=f〔x〕在区间[2，4]上为减函数，即〔Ⅲ〕正确．综上所述，一切正确命题的序号为〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕．故答案为：〔Ⅱ〕、〔Ⅲ〕．点评：此题考察笼统函数及其运用，着重考察函数的奇偶性、对称性与单调性的综合运用，属于中档题．三.解答题：〔本大题共5小题，共70分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤〕17．〔12分〕〔2021•大连一模〕.各项均为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n•a n+1﹣a n=0．〔Ⅰ〕求证：数列是等差数列；〔Ⅱ〕求数列前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系确实定．专题：计算题；等差数列与等比数列．剖析：〔Ⅰ〕an+1+a n•a n+1﹣a n=0⇔﹣=1，应用等差数列的概念即可证得数列{}是等差数列；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=n•2n，S n=1×21+2×22+…+n×2n，应用错位相减法即可求得数列前n项和S n．解答：解：〔Ⅰ〕∵a n+1+a n•a n+1﹣a n=0，∴=0，∴﹣=1，〔3分〕又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．〔4分〕∴=1+〔n﹣1〕×1=n，a n=．〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=n•2n．S n=1×21+2×22+…+n×2n．①2S n=1×22+2×23+…+n×2n+1．②〔9分〕由①﹣②得﹣S n=21+22+…+2n﹣n×2n+1．∴S n=〔n﹣1〕2n+1+2．〔12分〕点评：此题考察数列的求和，考察等差关系确实定，求得an=是关键，突出考察错位相减法求和，属于中档题．18．〔12分〕〔2021•大连一模〕某工厂用甲、乙两种不同工艺消费一大批同一种零件，零件尺寸均在[21，7，22.3]〔单位：cm〕之间的零件，把零件尺寸在[21.9，22.1〕的记为一等品，尺寸在[21.8，21.9〕∪[22.1，22.2〕的记为二等品，尺寸在[21.7，21.8〕∪[22.2，22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺消费的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率散布直方图如下图：〔Ⅰ〕依据上述数据完成以下2×2列联表，依据此数据你以为选择不同的工艺与消费出一等品能否有关？甲工艺乙工艺算计一等品非一等品算计P〔x2≥k 0.05 0.01k 3.841 6.635附：〔Ⅱ〕以上述各种产品的频率作为各种产品发作的概率，假定一等品、二等品、三等品的单件利润区分为30元、20元、15元，你以为以后该工厂应该选择哪种工艺消费该种零件？请说明理由．考点：独立性检验．专题：运用题．剖析：〔I〕依据条件中所给的数据，写出列联表，留意数字比拟多，不要写错位置；依据做出的列联表，把数据代入求观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值停止比拟，失掉结论．〔II〕依据题意做出由题知运用甲、乙工艺消费单件产品的利润X的散布列和数学希冀，结合不同的统计量的意义，得出以后该工厂应该选择哪种工艺消费该种零件．解答：解：〔Ⅰ〕2×2列联表如下甲工艺乙工艺算计一等品50 60 110非一等品50 40 90算计100 100 200，所以没有理由以为选择不同的工艺与消费出一等品有关．〔Ⅱ〕由题知运用甲工艺消费单件产品的利润X的散布列为X 30 20 15P 0.5 0.3 0.2X的数学希冀为EX=30×0.5+20×0.3+15×0.2=24，X的方差为DX=〔30﹣24〕2×0.5+〔20﹣24〕2×0.3+〔15﹣24〕2×0.2=39．乙工艺消费单件产品的利润Y的散布列为Y 30 20 15P 0.6 0.1 0.3Y的数学希冀为EY=30×0.6+20×0.1+15×0.3=24.5，Y的方差为DY=〔30﹣24.5〕2×0.6+〔20﹣24.5〕2×0.1+〔15﹣24.5〕2×0.3=47.25．答案一：由上述结果可以看出EX＜EY，即乙工艺的平均利润大，所以以后应该选择乙工艺．答案二：由上述结果可以看出DX＜DY，即甲工艺动摇小，虽然EX＜EY，但相差不大，所以以后选择甲工艺．〔12分〕点评：此题考察独立性检验，此题解题的关键是看清各个位置的数字，不要在运算时出错，这种标题假定出现是一个送分标题．19．〔12分〕〔2021•大连一模〕如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．〔Ⅰ〕求证；BC1∥平面AB1D；〔Ⅱ〕三棱锥B﹣AB1D的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．剖析：〔Ⅰ〕连结A1B与AB1交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC1∥DE，再依据直线战争面平行的判定定理，证明BC1∥平面AB1D．〔Ⅱ〕过点D作DH⊥A1B1，应用平面战争面垂直的性质可得DH⊥平面ABB1A1 ，DH为三棱锥D ﹣ABB 1的高，求出和DE的值，再依据，运算求得结果．解答：解：〔Ⅰ〕连结A1B与AB1交于E，连结DE，那么E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．〔6分〕〔Ⅱ〕过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D﹣ABB1的高．〔8分〕∵，〔10分〕且，∵．〔12分〕点评：此题主要考察证明直线战争面平行的判定定理的运用，平面战争面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题．20．〔12分〕〔2021•大连一模〕设离心率的椭圆的左、右焦点区分为F1、F2，P是x轴正半轴上一点，以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．〔Ⅰ〕求椭圆M的方程；〔Ⅱ〕假定相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．考点：直线与圆锥曲线的综分解绩；椭圆的复杂性质．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围效果．剖析：〔Ⅰ〕设圆所过短轴端点为N，由|NF1|=a，∠PNF1=，，可判别F2〔c，0〕是以PF1为直径的圆的圆心，依据圆和直线相切可得，据此解得c值，从而失掉a，b；〔Ⅱ〕设点A〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，那么点B〔x1，﹣y1〕，设直线PA的方程为y=k〔x﹣3〕，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，写出直线BC的方程，令y=0可得点Q的横坐标，代入韦达定理即可求得其值，从而失掉点Q的坐标；解答：解：〔Ⅰ〕设以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，∴|NF1|=a，∠PNF1=，∵，∴a=2c，∴，|F1P|=2a．∴F2〔c，0〕是以PF1为直径的圆的圆心，∵该圆和直线相切，∴，∴，∴椭圆M的方程为：．〔Ⅱ〕设点A〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，那么点B〔x1，﹣y1〕，设直线PA的方程为y=k〔x﹣3〕，联立方程组，化简整理得〔4k2+3〕x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，由△=〔24k2〕2﹣4•〔3+4k2〕•〔36k2﹣12〕＞0得．那么．直线BC的方程为：，令y=0，那么，∴Q点坐标为．点评：此题考察直线方程、椭圆方程及其位置关系，考察先生对效果的剖析处置才干，韦达定理、判别式是常用内容，要结实掌握．21．〔12分〕〔2021•大连一模〕m∈R，函数f〔x〕=mx2﹣2e x．〔Ⅰ〕当m=2时，求函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假定f〔x〕有两个极值点，求m的取值范围．考点：应用导数研讨函数的极值；应用导数研讨函数的单调性．专题：导数的概念及运用．剖析：〔Ⅰ〕把m=2代入可得函数解析式，求导数可得单调区间，进而可得最值，可证f'〔x〕＜0，可得单调区间；〔Ⅱ〕可得a，b是方程f'〔x〕=2mx﹣2e x=0的两不等实根，令，求导数可得单调性，进而可得只需m＞h〔1〕即可，进而可得m的范围．解答：解：〔Ⅰ〕m=2时，f〔x〕=2x2﹣2e x，f'〔x〕=4x﹣2e x=2〔2x﹣e x〕．令g〔x〕=2x﹣e x，g'〔x〕=2﹣e x，〔2分〕当x∈〔﹣∞，ln2〕时，g'〔x〕＞0，x∈〔ln2，+∞〕时，g'〔x〕＜0∴g〔x〕≤g〔ln2〕=2ln2﹣2＜0．∴f'〔x〕＜0．∴f〔x〕在〔﹣∞，+∞〕上是单调递减函数．〔4分〕〔Ⅱ〕①假定f〔x〕有两个极值点a，b〔a＜b〕，那么a，b是方程f'〔x〕=2mx﹣2e x=0的两不等实根．∵x=0显然不是方程的根，∴有两不等实根．〔6分〕令，那么当x∈〔﹣∞，0〕时，h'〔x〕＜0，h〔x〕单调递减，h〔x〕∈〔﹣∞，0〕，当x∈〔0，1〕时，h'〔x〕＜0，h〔x〕单调递减，x∈〔1，+∞〕时，h'〔x〕＞0，h〔x〕单调递增，要使有两不等实根，应满足m＞h〔1〕=e，∴m的取值范围是〔e，+∞〕…〔12分〕点评：此题考察应用导数研讨函数的极值，触及函数的单调性，属中档题．四、选做题请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假设多做，那么按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选标题对应的标号涂黑．22．〔10分〕〔2021•大连一模〕选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆上的，过C点的圆的切线与BA的延伸线交于E点．〔Ⅰ〕证明：∠ACE=∠BCD；〔Ⅱ〕假定BE=9，CD=1，求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．专题：证明题．剖析：〔I〕由同圆中等圆弧的性质可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出证明．〔II〕应用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性质可得，即可求出BC．解答：〔Ⅰ〕证明：∵，∴∠ABC=∠BCD．又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，∴∠ACE=∠BCD．〔Ⅱ〕∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，由〔Ⅰ〕可得∠BCD=∠ABC．∴△BEC∽△CBD，∴，∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．点评：熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．23．〔2021•大连一模〕选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔α为参数〕，曲线C2的参数方程为〔β为参数〕，P是C2上的点，线段OP的中点在C1上．〔Ⅰ〕求C1和C2的公共弦长；〔Ⅱ〕在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标．考点：参数方程化成普通方程；极坐标描写点的位置．专题：计算题．剖析：〔Ⅰ〕先将曲线C1、C2化成普通方程，是两个圆的方程，失掉两圆的公共弦所在直线为y=x，其中一个圆的圆〔2，0〕到该直线距离为，应用直角三角形求出公共弦长．〔Ⅱ〕将曲线C1、C2的直角坐标方程化成极坐标方程，设M〔ρ，θ〕，那么P〔2ρ，θ〕，两点区分代入C1和C2解得极径和极角，从而得出点P的一个极坐标．解答：解：〔Ⅰ〕曲线C1的普通方程为x2+〔y﹣2〕2=4，曲线C2的普通方程为〔x﹣2〕2+y2=4．〔2分〕两圆的公共弦所在直线为y=x，〔2，0〕到该直线距离为，所以公共弦长为．〔5分〕〔Ⅱ〕曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．〔7分〕设M〔ρ，θ〕，那么P〔2ρ，θ〕，两点区分代入C1和C2解得，θ无妨取锐角，所以．〔10分〕点评：此题主要考察把参数方程化为普通方程的方法，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，以及两圆位置关系的判别方法，求两圆的公共弦长等，属于基础题．24．〔2021•大连一模〕选修4﹣5：不等式选讲f〔x〕=|2x﹣1|+ax﹣5〔a是常数，a∈R〕〔Ⅰ〕当a=1时求不等式f〔x〕≥0的解集．〔Ⅱ〕假设函数y=f〔x〕恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：相对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判别．专题：计算题；函数的性质及运用．剖析：〔Ⅰ〕当a=1时转化不等式f〔x〕≥0，去掉相对值，然后求解不等式的解集即可．〔Ⅱ〕函数y=f〔x〕恰有两个不同的零点，结构函数应用函数的图象推出a的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕f〔x〕=|2x﹣1|+x﹣5=，∴f〔x〕=|2x﹣1|+x﹣5≥0：化为或，解得：{x|x≥2或x≤﹣4}．〔5分〕〔Ⅱ〕由f〔x〕=0得，|2x﹣1|=﹣ax+5．〔7分〕令y=|2x﹣1|，y=﹣ax+5，作出它们的图象，可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数y=f〔x〕有两个不同的零点．〔10分〕点评：此题考察相对值不等式的解法，函数的零点定理的运用，考察计算才干．。