2018一轮北师大版(理)数学教案：第2章 第6节 对数与对数函数 Word版含解析

教课方案：2.2.1 对数教课目的：、知识与技术目标理解对数的观点，认识指数与对数的关系，掌握对数与指数的互化。

培育学生剖析问题，解决问题能力。

、过程与方法经过指、对式互化，培育学生类比、剖析、概括能力；使学生学会从特别到一般，再由一般到特别的认知方法培育学生逻辑揄的能力和思虑问题的谨慎品质。

、感情态度与价值观让学生感觉到数学根源于生活又运用于实践，培育学生科学运用数学知识解决生活中实质问题的能力，帮助学生建立正确的人生观和科学的认知观；培育学生学习数学的热忱，提高学习数学的踊跃性。

教课要点：对数的观点教课难点：对数观点的理解 .讲课种类：新讲课课时安排：课时教具：多媒体一、教课内容剖析本节课是人教版高中数学版必修①中第二章对数函数学习的第一课时。

学习对数函数的重要基础，对数的定义和运算性质的目的主假如为了学习对数函数，对数函数关于学生来说是一个崭新的函数模型，学习起来比较困难。

对数观点与指数观点有关，是在指数观点的基础上定义的，在一般对数定义(> ≠)以后，给出两个特别的对数：一个是当底数时，称为常用对数，简记作；另一个是底数 ( 一个无理数 ) 时，称为自然对数，简记作。

经过本节课的学习，能够让学生理解对数的观点，进而进一步深入对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。

同时，经过对数观点的学习，对培育学生对峙一致，互相联系、互相转变的思想，培育学生的逻辑思想能力都拥有重要的意义。

二、学生学习状况剖析此刻大多数学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依靠性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的惧怕感。

经过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次领会了对峙一致、互相联系、互相转变的思想，而且研究能力、逻辑思想能力获得了必定的锻炼。

所以，学生已具备了研究发现研究对数定义的认识基础，故应经过指导，教会学生独立思虑、勇敢研究和灵巧运用类比、转变、概括等数学思想的学习方法。

三、设计思想学生是教课的主体 , 本节课要给学生供给各样参加时机。

§4.1 对数及其运算（第一课时）一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系 .2. 过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪四．教学过程：1．对数的概念一般地，若(0,1)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.举例：如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. 提问：你们还能找到那些对数的例子2．对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1（2）log xa a N N x =⇔=指数式⇔对数式幂底数←a →对数底数指 数←x →对数幂 ←N →真数说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程xa N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算。

3．思考交流p79归纳小结：对数的定义 log (b N a a N b a =⇔=＞0且a ≠1）1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质 l o g 1a a = a ＞0且a ≠1 log a N a N =通常将以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .例题分析例1将下列指数式写成对数式:(1) 54 =625; (2) 3-3=1/27;(3)84/3=16; (4) 5a =15.例2将下列对数式写成指数式:(1) ㏒1/216=-4;(2) ㏒3243=5;(3) ㏒1/31/27=3;(4) lg0.1=-1.例3 求下列各式的值:(1)㏒525(2) ㏒1/232(3)3㏒310;(4)㏑1,(5) ㏒ 2.52.5.练习p80 1,2,3作业习题3-4 1,2课后反思：§4.1 对数及其运算（第二课时）一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程：1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();n m n mn ma a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a+⋅=，那m n+如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。

（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。

答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。

错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。

第六节对数与对数函数A组基础题组1.(2016河南洛阳模拟)函数f(x)=的定义域是()A.(-3,0)B.(-3,0]C.(-∞,-3)∪(0,+∞)D.(-∞,-3)∪(-3,0)2.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f的值为()A.-log23B.-log32C.D.3.如果lo x<lo y<0,那么()A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x4.函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致为()5.(2016山东济南模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(-x),当x∈时,f(x)=log2(x+1),则f(x)在区间内是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<06.计算:log23·log34+(=.7.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.8.已知函数f(x)=a x+log a x(a>0且a≠1)在1,2]上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为.9.计算:(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2;(2).10.(2017广东茂名一中期末)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.B组提升题组11.设函数f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当x≥1时,f(x)=lnx,则有()A.f<f(2)<fB.f<f(2)<fC.f<f<f(2)D.f(2)<f<f12.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c13.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是.14.设f(x)=log a(1+x)+log a(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2,求f(x)在区间上的最大值.15.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈1,4]时,求函数h(x)=f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.A因为f(x)=,所以要使函数f(x)有意义,需使即-3<x<0.2.B由y=f(x)是函数y=3x的反函数,知f(x)=log3x,从而f=log3=-log32,故选B.3.D由lo x<lo y<0,得lo x<lo y<lo 1.所以x>y>1.4.A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称.设g(x)=log a|x|,先画出x>0时g(x)的图象,然后作其关于y轴对称的图象,即画出x<0时g(x)的图象,最后将函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合选项知选A.5.B因为f(x)是R上的奇函数,则有f(x+1)=f(-x)=-f(x).当x∈时,x-1∈,所以f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在区间内是减函数且f(x)<0.6.答案4解析log23·log34+(=·+=2+=2+2=4.7.答案(-∞,-1);(-1,+∞)解析作出函数y=log2x的图象,再作出其关于y轴对称的图象即可得到函数y=log2|x|的图象,再将y=log2|x|的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).8.答案2解析显然函数y=a x与y=log a x在1,2]上的单调性相同,因此函数f(x)=a x+log a x在1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+log a1)+(a2+log a2)=a+a2+log a2=log a2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).9.解析(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)×lg2+lg52=(lg2+lg5+1)×lg2+2lg5=(1+1)×lg2+2lg5=2×(lg2+lg5)=2.(2)原式===-.10.解析(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3).令t=-x2+2x+3,则t=-x2+2x+3在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减.又y=log4t在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是(1,3).(2)存在.理由如下:假设存在实数a,使f(x)的最小值为0.令h(x)=ax2+2x+3,则h(x)有最小值1,因此应有解得a=.故存在实数a=,使f(x)的最小值为0.B组提升题组11.C由f(2-x)=f(x),得f(1-x)=f(x+1),即函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,结合图象,可知f<f<f(0)=f(2),故选C.12.A∵a>0,∴2a>1,∴lo a>1,∴0<a<.∵b>0,∴0<<1,∴0<lo b<1,∴<b<1.∵>0,∴log2c>0,∴c>1,∴0<a<<b<1<c,故选A.13.答案(1,+∞)解析问题等价于函数y=f(x)与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.14.解析∵f(1)=log a2+log a2=2log a2=2,∴log a2=1,解得a=2,∴f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)·(3-x)]=log2-(x-1)2+4],设u=-(x-1)2+4,∵x∈,∴3≤u≤4,∵y=log2u在定义域内是增函数,∴log23≤log2u≤2,即log23≤f(x)≤2,∴f(x)在区间上的最大值是2.15.解析(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2,因为x∈1,4],所以log2x∈0,2],故函数h(x)的值域为0,2].(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,令t=log2x,因为x∈1,4],所以t=log2x∈0,2],所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈0,2]恒成立,①当t=0时,k∈R;②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15恒成立,因为4t+≥12,当且仅当4t=,即t=时取等号,所以4t+-15的最小值为-3,∴k<-3.综上,k∈(-∞,-3).。

第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。

第6讲对数与对数函数一、知识梳理1．对数概念如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作b＝log a__N．其中a叫作对数的底数，N叫作真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a__N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)2.对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．换底公式的三个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n mlog a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1． (log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.答案：42．若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________． 解析：由题意知f (x )＝log 2x ， 所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)4．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(自主练透)1．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：22．若lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则log 32xy 的值为________．解析：依题意，可得lg(xy )＝lg(2x －3y )2， 即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得：4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94. 因为x >0，y >0，2x －3y >0，所以x y ＝94，所以log 32xy＝2.答案：23．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________．解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：104．已知log 23＝a ，3b＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab.答案：2＋a ＋ab 2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(师生共研)(1)(2019·高考某某卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜313x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值X 围________．【解析】 (1)对于函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.(2)由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3(ab )＝0，故ab ＝1.结合函数f (x )的图象，在区间[3，＋∞)上， 令f (x )＝1可得c ＝3、d ＝7、cd ＝21. 令f (x )＝0可得c ＝4、d ＝6、cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.【答案】 (1)D (2)(21，24)对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 比较大小已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【解析】 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a .因为b ＝ln 2＝1log 2e<1<log 2e ＝a ， 所以a >b . 所以c >a >b . 【答案】 D比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1，0等中间量进行比较角度二 解简单对数不等式已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值X 围是________．【解析】 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12求解对数不等式的两种类型及方法类型 方法log a x >log a b借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论log a x >b需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解[提醒] 注意对数式的真数大于零，且不等于1. 角度三 与对数函数有关的综合问题已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2019·高考某某卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A.a ＝log 52<log 55＝12，而c ＝0.50.2>0.51＝12，故a <c ；b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2，而c ＝0.50.2<0.50＝1，故c <b .所以a <c <b .2．若定义在区间(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A.因为－1<x <0，所以0<x ＋1<1.又因为f (x )>0，所以0<2a <1，所以0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值X 围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上递增， 则y ＝ax 2－x 在[3，4]上递增， 且y ＝ax 2－x >0恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞数形结合法在对数函数问题中的应用设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【解析】作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．显然x1<0，x2<0.不妨令x1<x2，则x1<－1<x2<0，所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，此时10x1<10x2，即lg(－x1)<－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)<0，所以0<x1x2<1，故选D.【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值X围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值X围是(0，1)．答案：(0，1)[基础题组练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.1<a ＝log 35＝12log 325<12log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln 2<1，所以c <a <b ，故选A.3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D.由log 12x <log 12y <0，得log 12x <log 12y <log 121，所以x >y >1.4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选 C.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值X 围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上是增加的，(0，1)上是减少的， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上是增加的， 可得函数g (x )的减区间为(0，1)．[综合题组练]1．若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y解析：选B.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1, x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1. 又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝xt ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .2．(2020·某某模拟)已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.3．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是减少的，则a 的取值X 围为________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞) 是减少的， 所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内是增加的，且恒大于0， 所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 答案：(－4，4]4．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：235．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

第六节对数与对数函数一、教材概念·结论·性质重现1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(2)对数的性质①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N；④log a a N＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1 log b a.(2)loga mb n＝nm log a b.(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.(1)一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质 0<a <1a >1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0减函数增函数对数函数图象的特征(1)由图可知，0<d <c <1<b <a .(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、第四象限．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ． (×) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．(×)(3)函数y＝log2x及y＝log133x 都是对数函数．(×) (4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(5)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A．0 B．2C．4 D．6D解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3．函数y＝log a(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．(2,2)解析：当x＝2时，函数y＝log a(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．4．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．5．若函数y＝f (x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x)＝()A．log2x B．12x C．log0.5x D．2x－2A解析：由题意知f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)．因为f (2)＝1，所以log a2＝1.所以a＝2.所以f (x)＝log2x.考点1 对数运算问题——基础性1．填空：(1)12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是________． (2)已知2x ＝12，log 213＝y ，则x ＋y 的值为________．(3)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(1)－12 (2)2 (3)10 解析：(1)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.(2)因为2x ＝12，所以x ＝log 212， 所以x ＋y ＝log 212＋log 213＝log 24＝2.(3)因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10.所以m ＝10.2．(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110C 解析：由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H ＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ．解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点2 对数函数的图象及应用——综合性(1) 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )C 解析：先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示．(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)B 解析：易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图．由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，所以22＜a ＜1.故选B ．1．将本例(2)中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 与函数y ＝log a x的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22. 2．若本例(2)变为：已知不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1 解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x .设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示．要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B 解析：易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称，将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位长度所得图象y ＝ln[－(x －2)]＝ln(2－x )即与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0.关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞) 解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合图象可知a >1.考点3 对数函数的性质及应用——应用性考向1 比较函数值的大小设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <aC 解析：因为0<a ＝0.50.4<0.50＝1，b ＝log 0.40.3>log 0.40.4＝1，c ＝log 80.4<log 81＝0，所以c <a <b .比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2 对数方程或不等式问题(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)C 解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )， 解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C ．(2)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．x＝5解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又x>1，所以x＝ 5.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考向3对数函数性质的综合问题若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)D解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2－(－2)a－3a>0，解得－2≥－2且(－2)4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D．解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <aB 解析：因为a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1,0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B ．2．已知不等式log x (2x 2＋1)<log x 3x <0成立，则实数x 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②.解不等式组①，得13<x <12；不等式组②无解．所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.3．若函数 f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________.2 解析：令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.。

第六节对数与对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质①a log a N＝N(a>0且a≠1，N>0)。

②log a a N＝N(a＞0，且a≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零，且不等于1)。

②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a MN ＝log a M －log a N 。

③log a M n ＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n＝nm log a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N⇔x＝log a N。

2．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log am b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

故0<c<d<1<a<b。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

一、走进教材1．(必修1P75A组T11改编)(log29)·(log34)＝()A ．14B ．12 C ．2 D ．4解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4。

第6讲对数与对数函数板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 对数的定义如果a x＝N(a〉0,且a≠1）,那么数ｘ叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数．考点2 对数的运算法则如果a＞0且ａ≠1，M>０,N>0，那么(1)lｏｇa(M·N）=ｌog a M+logａN，(2)log a错误!未定义书签。

=log a M－ｌoｇa N，（3）log a M n=n lｏｇaＭ(n∈R).考点3对数函数的图象与性质(０,+∞)考点4 反函数指数函数y =ａｘ(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝l ｏｇa x (a >0且ａ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y =x 对称．［必会结论］1.对数的性质(a >0且ａ≠1） (1)lo ｇa 1=0;（2)ｌog a a =1；(3）a log ａN=N .2.换底公式及其推论（1)log ａb ＝错误!未定义书签。

(a ,c 均大于0且不等于1，ｂ＞0); (２)log a b ·log ｂａ＝1，即log a b =错误!; （３)lo ｇａm ｂn=错误!未定义书签。

l ｏｇa b ; （4）ｌｏg a b ·log b c ·l ｏｇc d ＝lo ｇa ｄ． 3.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y =1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故０<c ＜d ＜１<a <b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.[考点自测］1.判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若MN 〉0,则ｌｏg a （MN )=ｌog ａＭ+ｌｏg a N ．( ) (2）log ａｘ·ｌog ａｙ＝l ｏg a （ｘ＋ｙ）．( )ﻬ（３)对数函数ｙ＝lo ｇａｘ（a >0且a ≠1）在(0,＋∞）上是增函数.( )（４)函数ｙ＝ln 错误!与y =ln (1+x )-ln (1－ｘ）的定义域相同.( ）（5)对数函数ｙ=lo ｇa x (a >０且a ≠１）的图象过定点（1，0)且过点(a ，１），错误!未定义书签。